EFEITO DA FREQUÊNCIA DE EXCITAÇÃO NA
RESPOSTA DINÂMICA DE SISTEMAS MODELADOS
ATRAVÉS DE SUPERELEMENTOS
Paulo Alvarez Vilella
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO
DO GRAU
DE MESTREEM
CIÊNCIAS EMENGENHARIA
OCEÂNICA.
Severino Fonseca da Silva Neto, D. Sc. (Presidente)
' & L - u
eu-
L *
b
a
Eliane Maria Lopes Carvalho, D. Sc.Humberto Lima Soriano, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL ABRIL DE 1996
VILELLA, PAULO ALVAREZ
Efeito da Freqüência de Excitação na Resposta Dinâmica de Sistemas Modelados através de Superelementos [Pio de Janeiro] 1996.
W , 5 9 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M Sc., Engenharia Oceânica, 1996) Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE.
1. Análise Estrutural 2. Resposta Dinâmica 3. Síntese Moda1 I.COPPE/UFRJ
II.
Título (Série)A
minha família.AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Severino Fonseca da Silva Neto pela orientação, apoio, incentivo e amizade.
A Equipe do Laboratório de Estruturas Navais, pelo apoio e uso das dependências do laboratório.
Aos amigos pelo apoio e incentivo.
RESUMO DA TESE APRESENTADA A COPPE/UFRJ COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M. SC.)
EFEITO DA FREQÜÊNCIA DE EXCITAÇÁO NA RESPOSTA DINÂMICA DE SISTEMAS MODELADOS ATRAVÉS DE
SUPERELEMENTOS
Paulo Alvarez Vilella Abril de 1996
ORIENTADOR : Severino Fonseca da Silva Neto PROGRAMA : Engenharia Oceânica
O objetivo deste trabalho é analisar o efeito da fiequência de excitação na resposta dinâmica de estruturas modeladas através de superelementos. O método de Craig-Bampton é o método de Síntese Moda1 utilizado. Utilizam-se bases compostas por modos de Lanczos, obtidos dos vetores de Lanczos-Ritz, gerados a partir da distribuição espacial do carregamento. A utilização desta base pode levar a erro. A influência da fiequência de excitação é analisada. É proposta a inclusão de vetores adicionais na base em determinadas condições, possibilitando obter-se respostas mais confiáveis. Resultados de exemplos numéricos são apresentados, mostrando redução de erro no cálculo da resposta dinâmica.
ABSTRACT OF THESIS PRESENTED TO COPPE/UFRT AS PARTIAL, FULLFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE (M. SC.)
THE EXCITATION FREQUENCY EFFECTS ON THE DYNAMIC RESPONSE OF SISTEMS MODELED AS SUBSTRUCTURES
Paulo Alvarez Vilella April, 1996
CHATRMAN : Severino Fonseca da Silva Neto PROGRAM : Ocean Engeneering
The objetive of this work is to analyse the excitation frequency effects on the dynamic response of structures modeled as substructures. The component-mode synthesis technique used is the Craig- Bampton method. A set of Lanczos' modes are used, including effects of the spatial distribution of the dynamic load vector. Some errors may occur. The excitation frequency effect is analysed. A construction of a new basis is suggested, leading to reliable response values. Some numerical experiments' results are presented showing reduction on dynamic response calculation errors.
1. Introdução
2. Formulação do Problema Dinâmico para Sistemas Discretos. 2.1 Sistemas com Um Grau de Liberdade
2.2 Sistemas com n Graus de Liberdade 3. Síntese Modal de Componentes
3.1 Métodos de Síntese Modal
-
Conceitos Básicos e o Método de Craig Bampton4. A Influência da Freqüência de Excitação na Formação das Bases na Resposta Dinâmica
4.1 Introdução
4.2 Resultados Numéricos 4.2.1 Pórtico em L
4.2.2 Pórtico de Plataforma (modelo simplificado) 4.2.3 Pórtico em L com Carregamento Formado por
Combinação de Modos Normais 5. Conclusões
6. Bibliografia
A análise dinâmica de uma estrutura através do método dos elementos finitos requer modelos com um elevado número de graus de liberdade de forma a garantir a adequada representação das suas características dinâmicas. Um refinamento elevado toma a solução do problema computacionalrnente custosa. Neste sentido, as formas de redução do número de graus de liberdade, através da transformação de coordenadas, tornam-se recomendáveis.
Paralelamente, as técnicas de Subestruturação Dinâmica apresentam algumas vantagens quando empregadas em problemas complexos de análise estrutural dinâmica. Os métodos de Síntese Moda1 são muito úteis na resolução de problemas dinâmicos em estruturas complexas com muitos graus de liberdade. Nos métodos de Subestruturação Dinâmica, a estrutura é tratada em partes antes do acoplamento e análise final, o que pode ser bastante útil quando cada uma das partes é projetada por diferentes departamentos de uma organização, e a montagem de um modelo único da estrutura fica prejudicada. Em estruturas que apresentam complexidades localizadas, os métodos facilitam na montagem de modelos mais simples, permitindo um maior refinamento da modelação nas partes que assim o exigirem. Outro ponto forte desta metodologia é a utilização em estruturas onde ocorre repetição de uma subestrutura básica, facilitando a elaboração do modelo e a resolução do problema.
O Método de Síntese Moda1 de Componentes foi inicialmente apresentado por HURTY (1965). A estrutura é analisada por componentes, e os deslocamentos de cada subestrutura são expressos por coordenadas generalizadas definidas como a contribuição de modos de deslocamentos, os quais formam as bases do componente. A compatibilidade entre os deslocamentos nas fionteiras dos superelementos deve estar assegurada. A adoção de coordenadas generalizadas automaticamente opera a redução das dimensões do problema. As bases dos superelementos eram compostas por Modos de Corpo Rígido, Modos Normais e Modos de Restrição.
O trabalho desenvolvido por CRAIG e BAMPTON (1968) sugere bases formadas por Modos Normais, com a fionteira fixa, e Modos de Restrição. A adoção dos Modos de Restrição da forma sugerida agrupou os modos relativos aos graus de liberdade da fionteira. Ao conjunto de coordenadas generalizadas de cada superelemento, é imposta a condição de compatibilidade entre deslocamentos na fionteira, o que determina a redução do número de coordenadas generalizadas do modelo.
No que se refere à utilização de um conjunto de modos normais como base para redução das dimensões de problemas dinâmicos, WILSON et a1 (1982) citam o custo computacional da obtenção destes modos, e a falta de confiabilidade na definição do número de modos a ser retido na base. A proposta apresentada é a adoção de um conjunto de vetores de Ritz, ou do tipo
Lanczos-Ritz, com participação expressiva na distribuição espacial do carregamento, que é utilizada como vetor de partida na obtenção da base. A construção de uma base de vetores de Ritz gerada a partir do vetor distribuição espacial do carregamento determina um critério automático de se1ec;ão dos vetores da base. Os autores também destacaram que as bases formadas por vetores de Ritz apresentam melhores resultados que aquelas formadas por um mesmo número de modos normais. Nestas condições o subespaço definido por estes vetores aproxima com mais fidedignidade a resposta dinâmica da estrutura.
Na mesma linha WILSON e BAYO (1986) sugerem nos métodos de Síntese Moda1 que se adote um conjunto de vetores de Ritz, incorporando o efeito da distribuição espacial do carregamento. Apresenta-se assim uma alternativa à utilização de modos normais nas bases dos superelementos.
Para melhorar a eficiência apresentada pela base de Ritz, SILVA NETO (1992), a partir de critério sugerido em SORIANO e VENÂNCIO FILHO (1988), propõe que seja considerado o conteúdo de freqüência da excitação como forma de selecionar os vetores de Ritz e avaliar a base de transformação adotada na redução das dimensões do problema dinâmico. O presente trabalho estende este conceito ao nível de superelemento, e determina a importância da magnitude da freqüência de excitação na escolha dos vetores das bases.
No Capítulo 2 introduzem-se os conceitos básicos do problema dinâmico para sistemas discretos. Inicialmente é apresentada a equação dinâmica para sistemas discretos com um grau de liberdade, destacando-se o efeito da frequência de excitação na amplificação da resposta dinâmica. Posteriormente, são estendidos os conceitos para sistemas com n graus de liberdade, apresentando-se as técnicas de redução das dimensões do problema. Duas importantes bases são apresentadas: a base moda1 e a base de Lanczos- Ritz, obtida a partir do vetor de distribuição espacial do carregamento.
No Capítulo 3 a linha geral dos métodos de Síntese Moda1 de Componentes é apresentada. O método de Craig-Bampton, utilizado neste trabalho, é descrito. Destaca-se também a variação introduzida por WILSON e BAYO, incorporando o efeito da distribuição espacial do carregamento na
construção das bases das subestruturas.
No Capítulo 4 discute-se o efeito da frequência de excitação na escolha dos vetores de bases em análise dinâmica. A avaliação das bases geradas pelo vetor da distribuição espacial do carregamento sob o enfoque da fi-equência, pode levar à inclusão de outros modos na base, permitindo obter-se resultados mais confiáveis.
Resultados com modelos numéricos estão expostos no item 4.2, mostrando que a avaliação das bases leva a um ganho na qualidade da análise,
pela redução do erro no cálculo da resposta dinâmica em algumas faixa da freqüência de excitação.
As conclusões deste trabalho e algumas sugestões de continuidade dos estudos sobre o tema estão descritos no Capítulo 5.
2.
FORMULAÇÃO
DO PROBLEMA
DINÂMICO
PARA SISTEMAS DISCRETOS.
Este capítulo tem como objetivo apresentar o problema da dinâmica estrutural. Este é tratado sob a ótica de sistemas discretos compatível com o Método dos Elementos Finitos, amplamente utilizado em problemas estruturais. Inicialmente será apresentado o problema simplifícado para um grau de liberdade, destacando-se os conceitos de maior relevância, que posteriormente serão extendidos ao problema com n graus de liberdade.
2.1
-
Sistemas com Um Grau de LiberdadeA equação do movimento para um sistema amortecido com um grau de liberdade e solicitado por uma força variável no tempo é :
onde :
m
-
massa,c
-
amortecimento viscoso, k-
rigidez,u, zi e u
-
aceleração, velocidade e deslocamento, ep(t) - força externa, que adotando-se a separação de variáveis pode ser escrita como p(t) = po . f(t).
Para este sistema as seguintes equações são válidas :
onde :
Ç
-
fator de amortecimento viscosow
-
fiequência naturalo ,
-
fiequência natural amortecidaAssim, 2.1 pode ser reescrita na forma :
Para uma excitação harmônica ( p(t)= p, sin ( 75 t ) ) , a solução da equa~ão diferencial 2.1 é [CRAIG (198 I)] :
onde A1 e A2 são constantes que dependem das condições iniciais e a amplitude do movimento harmônico
-
U-
e o ângulo de fase-
9-
são :A resposta do sistema representada pela eq. 2.5a pode ser desmembrada em duas parcelas. A primeira representa a resposta transiente, enquanto a segunda refere-se à resposta permanente do sistema, que será analisada neste trabalho.
A resposta de um sistema com 1 grau de liberdade a uma excitação harmônica é um movimento harmônico de mesma freqüência porém defasado de certo ângulo 8. A amplitude deste movimento (eq. 2.6) é o resultado do produto entre a resposta estática - p, / k - e o fator de amplificação dinâmico H(G) :
O fator de amplificação dinâmico caracteriza o efeito da proximidade entre a fieqüência natural e a fieqüência de excitação, e o efeito do amortecimento na resposta dinâmica. Para o movimento amortecido, a condição de ressonância ocorre na freqüência o,
,
pouco inferior à fiequência natural não amortecida a. A influência do amortecimento e da proximidade entre as fiequências no fator de amplificação dinâmico pode ser observada no gráfico da figura 2.1. Pelo gráfico verifica-se que o efeito do amortecimento na resposta dinâmica é significativo para ficeqüências em torno da ficeqüência natural (0.25 < Z/o < 3). Para Z/o abaixo de 0.25 o fator de amplificação dinâmico é praticamente unitário caracterizando ausência de amplificação, ou seja a amplitude do movimento harmônico é a própria resposta estática à amplitude da força de excitação [SORIANO e VENÂNCIO FILHO (1988)l. Para freqüências de excitação muito maiores que a freqüência natural o fator de amplificação tende a zero, ou seja, o sistema praticamente não reage à excitação. Na faixa intermediária, onde fieqüência natural e fiequência de excitação estão próximas, ocorre amplificação da resposta e o fator deamortecimento viscoso
- -
passa a ter uma influência sigmficativa. Fica claro então, o quão determinante é a relação entre as freqüências natural e de excitação para a resposta dinâmica a excitação forçada.iu/o .
Finura - 2.1
-
Fator de Amplificação Dinâmico.2.2
-
Sistemas
com nGraus de Liberdade
A equação do movimento para um sistema com n graus de liberdade sujeito a um carregamento variável no tempo na presença de amortecimento é
[CRAIG (198 I)] :
onde :
M , C e K
-
matrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema; u, u e u-
vetores de aceleração, velocidade e deslocamento do sistema; p(t )-
vetor das forças de excitação.sendo po o vetor da distribuição espacial do carregamento (amplitudes) e f ( t ) a função variável no tempo.
A equação 2.9 representa um sistema diferencial linear com n equagões acopladas . Como forma de reduzir as dimensões do problema adota-se a seguinte mudança de coordenadas :
onde a matriz T constitui uma base q-dimensional fomada por vetores linearmente independentes, sendo q < n . O vetor y representa o novo sistema
de coordenadas, onde cada elemento nada mais é que a contribuição a resposta do vetor de T coirespondente.
A transformação 2.11 leva a um problema na forma 2.9 modificado :
onde :
A solução para o sistema original é obtida aplicando-se a transformação 2.11 a solução do problema reduzido 2.12. A utilização desta metodologia permite além da redução do número de equações a obtenção,
dependendo da base T adotada, de matrizes modificadas de massa, amortecimento e rigidez diagonais,. No caso da diagonalização dessas matrizes, o problema se reduz a um conjunto de q equações diferenciais desacopladas.
A solução final obtida é uma aproximação para a solução exata do modelo 2.9. A qualidade da solução fmal é o reflexo direto da escolha dos vetores da base T. Do ponto de vista matemático, a solução obtida é a projeção da solução exata no subespaço gerado pelos q vetores da base T. Uma vez que esta base represente bem um subespaço que contenha a solução exata, a boa qualidade da aproximação estará assegurada. Desta forma, a garantia da qualidade da aproximação introduzida através de 2.11 recai na escolha do número e dos vetores da base T utilizada. Neste texto, serão destacadas duas importantes bases utilizadas na redução e desacoplamento do sistema de equações original: a Base Modal e a Base de Lanczos-Ritz.
-
Base Modal :A base moda1 é constituída dos vetores solução do problema de vibração livre do sistema representado por:
As soluções deste problema são autopares constituídos por um autovalor
-
3L-
e um autovetor -4
- correspondente.Seja então a base @ constituída de n autovetores, os quais são denominados de modos normais de vibração, normalizados em relação à matriz de massa. Neste caso:
onde A é uma matriz diagonal contendo os n autovalores h. Utilizando-se o modelo de amortecimento proposto por Rayleigh, que será adotado neste trabalho, a utilização da base @ em 2.1 1 levará a eq. 2.12 na forma :
onde : ~i =
4:
POti
-
fator de amortecimentow i
-
fi-eqüência natural relativa ao modo i(Ri
= w,Z)Este conjunto de equações pode então ser resolvido aplicando-se um dos Métodos de Integração Direta, tais como os métodos de Wilson e de Newmark.
A utilização da base modal completa fornece a resposta exata para o modelo 2.9. Entretanto, para sistemas com muitos graus de liberdade a obtenção dos n modos normais toma-se inviável devido ao tempo computacional envolvido. Neste caso, pode-se adotar uma base modal com um número reduzido de modos normais. Escrevendo a base modal na forma :
onde aí, contem os j primeiros modos e
a2
o restante, pode-se utilizar ã>, como base:Neste caso a solução obtida pode requerer uma correção estática devido ao truncamento dos modos superiores [TORRES e LIMA (1982)l. Esta correção no entanto é calculada a partir da base :
Com a utilização da base modal reduzida a j modos normais, o sistema 2.19 é reduzido para j equações. A qualidade da solução recai na escolha adequada dos modos retidos em ã>,
.
WILSON et a1 (1982) sugeriram a escolha dos modos pela sua participação na distribuição espacial do carregamento. SILVA NETO (1992) destacou que a escolha dos vetores da base deveria considerar,além da participação emp,, o conteúdo de fiequências da função
f(0.
Para bases modais, a escolha dos modos levando-se em conta a distribuição espacial do carregamento é efetuada analisando-se a projeção do modo
4
no vetor p, :Para valores depi próximos a zero o modo 4 pode ser descartado.
Base de Lanczos-Ritz.
Conforme foi apresentado, a base modal requer o cálculo dos j primeiros modos normais e a posterior avaliação dos modos que devem ser retidos na base. Do ponto de vista da distribuição espacial do carregamento, existe uma forma mais eficiente de se obter diretamente os modos relevantes na análise, trata-se da base de Lanczos-Ritz.
A base de Lanczos-Ritz parte da sequência de Krylov. A partir de um vetor inicial q, das matrizes K , = K
-
p M e M, e adotando-se a iteração inversa, a seqüência de Krylov é definida como:Esta seqüência converge para o autovetor correspondente ao autovalor it mais próximo da translação p efetuada na matriz de rigidez.
O método de Lanczos utiliza a sequência de Krylov como aproximação de q autovetores. Entretanto como esta sequência fornece aproximações sucessivas para um mesmo autovetor é necessário que seja efetuada em cada etapa uma ortogonalização em relação aos vetores anteriormente calculados de forma a se obter um conjunto \de vetores ortogonais. Adotando-se a ortogonalização de Gram-Schmidt em cada etapa do processo, obtém-se um conjunto de q vetores
(e)
que se aproxima de q autovetores do problema. O vetor adotado como vetor de partida é a resposta estática do sistema à distribuição espacial do carregamento - po.
A base de Lanczos gerada é então utilizada como base de Ritz na análise de Rayleigh-Ritz. O resultado é um conjunto de vetores M-ortonormais mais próximos dos q modos normais que o conjunto de vetores da base de Lanczos - Q. Do ponto de vista matemático, ambas as bases Q e a base resultante da análise de Rayleigh-Ritz, a qual será denominada Modos de Lanczos, representam o mesmo subespaço do espaço n-dimensional. No entanto, os referidos vetores além de diagonalizar a matriz de massa, diagonalizam a matriz de rigidez, desacoplando o sistema de equações 2.12. Da mesma forma, permitem obter aproximações para as freqüências naturais do sistema.
Conforme mencionado na formação dos vetores de Lanczos, existe a necessidade de se efetuar a ortogonalização dos vetores em relação aos anteriores. Alguns autores têm sugerido que a ortogonalização apenas em relação aos dois últimos vetores calculados é suficiente para garantir que os vetores obtidos sejam ortogonais entre si [NOUR-OMID E CLOUGH ,19841. Neste trabalho, utilizou-se a ortogonalização completa como forma de se evitar a perda de ortogonalidade devido às aproximações numéricas efetuadas. O algoritmo de formação da base Q é :
I
se ni+, < pequeno valorI
A base Q resultante é um conjunto de vetores M-ortonormais que será então utilizada como base de Ritz na análise de Rayleigh-Ritz. O problema de autovalor:
K @ = M @ A
é resolvido através do problema reduzido
T,@*= A * @ *
onde,
T, = QT MK" M Q
A aproximação para a solução da eq. 2.24 é obtida a partir da solução da eq. 2.25, aplicando-se as seguintes relações :
A solução da eq. 2.25 possui apenas q autovetores, conseqüentemente apenas q aproximações da solução da eq. 2.24 são obtidas. Quanto aos autovetores obtidos, pode não haver convergência para os q primeiros autovetores, uma vez que o vetor de partida pode ser ortogonal a um destes, neste caso ocorre "quebra" na seqüência de autopares. A qualidade da aproximação para os autovalores é boa para os primeiros, perdendo-se precisão para os autovalores mais elevados. Dentre as aproximações obtidas para os q autovetores, os primeiros vetores de @L convergem para os autovetores
correspondentes, entretanto os últimos tendem a ser combinações lineares dos modos restantes da base moda1 @, não ortogonais ao vetor de partida. Desta forma, como os vetores de maior relevância do ponto de vista da distribuição espacial do carregamento estão representados em @L a correção estática,
adotada em alguns casos quando da utilização da base modal, torna-se desnecessária.
A grande vantagem da base formada pelos modos de Lanczos sobre a base modal é a utilização do vetor de resposta estática do sistema ao carregamento po como vetor de partida na sequência de Krylov. Desta forma a inclusão dos vetores de maior relevância do ponto de vista da distribuição espacial do carregamento ocorre de maneira automática. WILSON et a1 (1982) demonstraram que bases formadas por modos normais não são as melhores bases utilizadas na transformação de coordenadas e destacaram a eficiência das bases formadas por vetores de Ritz de mesmas dimensões, que incorporam a informação da distribuição espacial do carregamento.
3.
S ~ T E S E
MODAL DE COMPONENTES
Este capítulo apresenta a formulação geral dos métodos de Síntese Modal. Os Métodos de Síntese Modal de Componentes estão inseridos dentro do conceito de Subestruturação Dinâmica, cuja idéia central é a subdivisão da estrutura em subestruturasl
.
Em uma fase inicial, a estrutura é subdivida e de cada uma das partes são extraídas características que serão utilizadas para o acoplamento da estrutura global e solução do problema dinâmico. As características relevantes são as matrizes de massa e de rigidez e um grupo de vetores característicos da subestrutura, os quais são denominados modos. Dentre os métodos existentes será apresentado o método de Craig-Bampton que utiliza uma base formada por dois tipos de modos para cada subestrutura: modos normais, resultantes do problema de vibração livre das subestruturas, e modos de restrição.3.1
-
Métodos de Síntese Modal-
Conceitos Básicos e o Método de Craig-BamptonNa Síntese Modal, a estrutura global é subdividida em unidades de menor complexidade. Destas subestruturas são extraídas carcterísticas básicas que são utilizadas na montagem do modelo global e redução do número de graus de liberdade do problema. Para ilustrar o método será utilizada uma viga bi-dimensional composta por dois superelementos, a e
P
-
figura 3.1.Conforme ilustrado, os graus de liberdade de cada componente são divididos em dois grupos - i e j. O grupo ui representa os graus de liberdade internos do componente e o grupo uj representa os graus de liberdade da
Neste texto também serão adotadas as nomenclaturas componente e superelemento sem qualquer distinção ao termo subestrutura.
fronteira ou externos, os quais são comuns a dois ou mais componentes e onde ocorre o acoplamento.
F i m a 3.1
-
Viga bidimensional composta por superlementos a eP
Para cada componente a equação do movimento na ausência de amortecimento é escrita da forma:
{U;}
+["'
i}{"""{:;.I
"ji "jj ujonde J; e
A.
representam ,respectivamente, as forças atuantes nos graus de liberdade internos e da fronteira do componente. Adota-se então a seguinte mudança de base :onde, a base @ contém um conjunto de vetores linearmente independentes, os quais denominam-se modos, e as coordenadas generalizadas y representam as contribuições de cada modo nos deslocamentos. O conjunto de bases dos superelementos formará uma base única que será utilizada na solução do problema estrutural global.
Os diversos métodos de síntese moda1 diferem entre si pela natureza dos modos adotados. Os principais tipos de modos são: modos normais, modos de restrição, modos de acoplamento e modos de corpo rígido. Alguns destes modos ainda podem ser definidos com fionteira livre ou engastada. O método
de Craig-Bampton utiliza uma base formada por modos normais com Fonteira fixa e modos de restrição. Os modos utilizados neste trabalho serão apresentados posteriormente.
Para a obtenção do sistema de equações do sistema global parte-se das equações de Lagrange:
onde :
ui - coordenada fisica do sistema,
E;I - forças externa atuante no grau de liberdade i,
L - Lagrangeano que para sistemas com restrição é definido por :
T - energia cinética do sistema, V - energia potencial do sistema, A, - multiplicadores de Lagrange,
f,- funções de restrição entre as coordenadas - f, = (u,,~,u,)
O somatório anterior pode ser reescrito na forma matricial :
onde o produto C tc representa as c equações de restrição, e assim a matriz C é de ordem c x n.
Escrevendo-se as equações de energia cinética e potencial do sistema constituído de dois superelementos a e
P,
obtém-se :Operando-se a mudança de coordenadas representada pela eq. 3.2, para cada superelemento :
onde :
As equações de Lagrange podem então ser reescritas segundo as coordenadas generalizadas y :
onde Q, são as forças generalizadas do sistema,
Para o sistema apresentado, as equações de restrição representam a compatibilidade entre os deslocamentos na interface de acoplamento, assim:
Esta equação pode ser reescrita na forma matricial em função das coordenadas generalizadas,
Substituindo-se então as equações 3.5, 3.6, 3.9 e 3.10 em 3.11 obtém-se o sistema de equações do movimento,
No entanto, o conjunto de coordenadas y não é linearmente independente conforme representado na eq. 3.14. Assim, dividindo-se y em dois conjuntos de coordenadas dependentes
-
y,-
e independentes-
y,-
pode-se explicitar a eq. 3.14 na forma :Pode-se então escrever o vetor y como função de y, ,
onde q é o vetor de coordenadas generalizadas independentes.
Combinando-se 3.14 e 3.17 obtém-se,
que juntamente com 3.17 quando substituída em 3.15, e pré-multiplicada por ST, resulta na equação do movimento em h ç ã o das coordenadas generalizadas na ausência de amórtecimento,
onde :
O Método de Craig-Bampton :
Como foi mencionado, os métodos de Síntese Moda1 diferem entre si pela natureza dos modos utilizados na formação das bases dos superelementos. No método de Craig-Bampton as coordenadas físicas são aproximadas por,
onde :
@+
-
matriz contendo k modos normais com fronteira fixa,-
matriz contendo c modos de restrição, sendo c o número de graus de liberdade da fronteira.
Os modos normais do superelemento são calculados mantendo-se a interface fixa e os demais graus de liberdade livres. O resultado deve estar normalizado em relação a matriz de massa do superelemento.
Para um superelemento a equação do movimento em vibração livre é:
Supondo-se a fronteira fixa
-
u j = O-
tem-se,que resulta no problema de autovalor,
Kii@- AMiidí= O
cuja solução @, normalizada em relação a matriz de massa, satisfaz:
onde A é uma matriz diagonal contendo os n autovalores do problema. Dos n modos calculados apenas k modos serão retidos em @, . Como a base inclui os graus de liberdade da interface, os modos normais são escritos na forma,
onde os vetores nulos representam os graus de liberdade da interface, fixos no cálculo dos modos normais.
Os modos de restrição Y, são obtidos através da resposta estática do superelemento a imposições de deslocamentos unitários na fronteira. Os graus de liberdade da fionteira são liberados um a um. Neste caso, o número de
modos de restrição é igual ao número de graus de liberdade da interface (c = j). A equação matricial que defme esta condição é :
onde R, são as reações nos graus de liberdade da interface. Da eq. 3.27 tem- se,
Desta forma os modos de restrição são definidos por,
já incluídos os graus de liberdade da interface.
modo normal 1 modos de restrição
Figura 3.2 - Modos do Superelemento a.
No caso do superelemento a, os modos normais e de restrição seriam da forma indicada na figura 3.2. A condição de independência linear entre os vetores da base é naturalmente obtida pela forma de obtenção dos modos, uma
vez que os deslocamentos nos graus de liberdade da fronteira são nulos nos modos normais e nos modos de restrição são unitários uma única vez, um em cada vetor.
Obtidos então os k modos normais e os c modos de restrição (c=j) para cada superelemento, pode-se acoplar as subestruturas. Assim, para cada subestrutura temos a seguinte base, que pode ter o número de vetores variável,
Esta mudança de coordenadas para o superelemento a resulta na seguinte matriz de massa relativa às suas coordenadas generalizadas
,
p" =
r
pkk p k c ~r
~ Í ~ P ~ ~ M , ,M..P
V L c k PCC]
=Lojk
I , ] Lklji M . . ] B Os termos de pa são : Pkk =Ikk ~ k= c~ c ; = Q i : ( M , i ~ c + M,,) Pcc =y c ~ ( ~ i i y C
+
MJ+
+
M,onde,
Observa-se que o método resulta em matrizes de massa não diagonais, caracterizando acoplamento dinâmico entre os graus de liberdade, e matrizes de rigidez diagonais. Arnbas as matrizes são de ordem m x m ( m = k+j ), reduzindo assim as dimensões do problema (m < n)
Estendido o procedimento a todos os superelementos, resultando no conjunto de matrizes de massa e rigidez, além das bases, as matrizes da estrutura acoplada em termos de coordenadas generalizadas podem ser montadas,
Como mencionado, com o acoplamento das subestruturas aparecem equações de restrição envolvendo os graus de liberdade. No método de Craig-
Bampton as equações de restrição refletem a compatibilidade entre os deslocamentos na interface, eq. 3.13. Como pela eq. 3.30, as coordenadas generalizadas yc são as próprias coordenadas fisicas u, da interface, pode-se escrever
Desta forma a equação de compatibilidade 3.14 pode ser reescrita,
A existência de c equações de compatibilidade resulta na não independência do conjunto de coordenadas y. Neste caso existem c coordenadas dependentes no vetor y. Definindo-se então yE como o conjunto de coordenadas dependentes e reescrevendo a eq. 3.37, tem-se
A matriz S e o vetor q podem então ser definidos.
A equação final pode ser obtida operando-se as transformações 3.20,
O sistema de equações diferenciais original reduz-se a um sistema de 2k
+
c equações .O Método de Wilson e Bayo :
Análogo ao método de Craig-Bampton, WILSON e BAYO (1986) propõem um método que utiliza uma base de superelementos formada por k vetores de Ritz, como aproximação dos modos normais, e um conjunto de vetores adicionais incorporando o efeito dos deslocamentos da fronteira.
O método possui a característica de incluir na obtenção da base um critério automático baseado nas características da distribuição espacial do carregamento. Os k vetores de Ritz são gerados utilizando-se como vetor de partida a resposta estática a distribuição espacial do cmegamento atuante naquele superelemento. Dispensa-se desta forma, a verificação (2.23) da participação dos vetores da base na distribuição espacial do carregamento.
O procedimento apresentado por Wilson e Bayo representa um avanço na escolha dos vetores das bases dos superelementos, uma vez que garante a inclusão de modos importantes na obtenção da resposta dinâmica sob o aspecto da distribuição espacial do carregamento. A base obtida através dos vetores de Ritz apresenta para alguns tipos de carregamento resultados melhores que a utilização da base moda1 de mesma dimensão (WILSON (1982)). No entanto, o
aspecto da proximidade entre a freqüência de excitação e as fiequêmias normais do superelemento é desprezado, podendo comprometer a confiabilidade dos resultados.
EXCITAÇÃO
NA
FORMAÇÃO DAS BASES NA
RESPOSTA DINÂMICA
Neste capítulo analisa-se a influência da frequência de excitação na qualidade da reposta dinâmica sob o enfoque da formação das bases dos superelementos. Inicialmente expõe-se uma breve discussão sobre a seleção de modos de bases utilizadas em análise dinâmica, estendendo-se os conceitos a nível de superelementos. Em seguida alguns exemplos são desenvolvidos, onde se aplica uma verificação das bases quanto as fiequências nelas representadas.
4.1. Introdução
Conforme abordado por SILVA NETO (1992) a utilização de bases modais selecionadas, bases de Lanczos-Ritz, ou ainda a utilização de vetores de Ritz, na transformação de coordenadas e redução das dimensões de problemas de análise dinâmica, garante apenas a qualidade da seleção dos modos no aspecto relativo à participação destes vetores na distribuição espacial do carregamento - po
.
Sob o ponto de vista do conteúdo da fiequência de excitação não fica garantida a representatividade dos vetores selecionados. O autor destacou que em casos de proximidade entre fiequências naturais e o conteúdo de freqüência da excitação a qualidade da resposta pode ficar comprometida, principalmente na presença de baixos fatores de amortecimento. Uma base que não aproxime satisfatoriamente as fkequências naturais da estrutura pode levar a dois tipos de erro: no primeiro o conteúdo de frequência de excitação cobre freqüências naturais, mal representadas, levando a uma sub-estimativa da resposta ressonante; no segundo o conteúdo de frequência de excitação é predominante nas fiequências aproximadas pela base, e o resultado da resposta dinâmica indica falsa ressonância. Assim,quanto melhores forem as aproximações das frequências naturais na faixa de freqüência de excitação, mais confiáveis serão os resultados da resposta dinâmica.
Seguindo a mesma linha, a escolha dos modos das bases dos superelementos deve ser adequada para aproximar as frequências na faixa da frequência de excitação. A utilização do vetor distribuição espacial do carregamento
-
p:-
como vetor de partida na montagem das bases ou como critério de seleção de modos normais pode levar a exclusão de algum modo por sua quase-ortogonalidade a p,", ainda que sua respectiva freqüência seja relevante pela proximidade com a freqüência da excitação. Neste caso, conforme representado pelo fator de amplificação dinâmico-
H(=), este modo normal passa a ser importante na solução da resposta estrutural dinâmica.A análise da possível proximidade entre frequências naturais e de excitação toma necessário que se conheça o conteúdo das base no que se refere as frequências, ali representadas por seus respectivos modos. Neste sentido, a adoção de bases de Lanczos-Ritz torna-se indicada como aproximação dos modos normais no método de Craig-Bampton, uma vez que fornece aproximações para as freqüências naturais de cada superlelemento. A precisão obtida na estimativa decresce para as últimas freqüências calculadas, resultando em boa aproximação para as primeiras. A obtenção da base se desenvolve em duas etapas : primeiro o cálculo de q vetores de Lanczos
-
Qq , posteriormente a utilização de Qq como vetores de Ritz na análise de Rayleigh- Ritz, O número de vetores q da base passa inicialmente a estar condicionado a grandeza do fator de participação ni (n, = qTp,) de cada vetor de Qq em pa.
Paralelamente, como forma de avaliar o conteúdo das frequências da base gerada é necessário que seja determinado o número de freqüências naturais do componente até a faixa de excitação. Esta verificação pode ser
realizada utilizando-se o conceito da sequência de Sturrn, na qual é efetuado
2
um "shift" - p =me - na matriz de rigidez Kii do superelemento, onde coe é a fiequência de excitação. A sequência de Sturm possibilita a obtenção do número de autovalores do superlelemento inferiores a p. Determina-se assim, o número de autovetores relevantes à resposta dinâmica sob a ótica da fiequência de excitação. Uma vez que os modos de Lanczos gerados incorporam apenas o efeito de p,*
,
é possível que algum modo, cuja fiequência seja relevante, não seja gerado devido à sua baixa participação neste vetor. Uma verificação das aproximações para as fiequências naturais calculadas via vetores de Lanczos possibilita localizar se algum vetor relevante foi desprezado. A adoção de um vetor de partida adicional muitas vezes é suficiente para se obter este modo, garantindo a representatividade da base utilizada sob os dois aspectos enfocados.Tendo em vista que o subespaço gerado pela nova base aproxima melhor as fiequências naturais do sistema global na faixa de interesse, incorporando os efeitos da distribuição espacial do carregamento e da proximidade da fiequência de excitação com alguma fiequência natural de superlelemento, os resultados da análise dinâmica alcançados serão muito mais confiáveis.
4.2. Resultados Numéricos
Neste item apresentam-se três exemplos, analisados pelo método dos elementos fínitos, que demonstram falha na escolha das bases pelo critério da não-ortogonalidade à distribuição espacial do carregamento. Os exemplos referem-se a dois pórticos, o primeiro um pórtico em L, e o segundo um pórtico de plataforma fma simplificado. O primeiro exemplo foi apresentado
por GOMES (1988) que apontou uma solução alternativa para os erros apresentados. Ambos os exemplos foram submetidos a carregamentos dinâmicos em várias frequências de excitação. A escolha das frequências foi determinada pela indução de erro na solução, de forma que a distribuição espacial do carregamento - p," - fosse ortogonal a modos correspondentes a estas frequências. Procurou-se também destacar aquelas frequências próximas a fiequências naturais da estrutura global e fieqüências naturais dos superelementos.
A análise foi efetuada utilizando-se os programas SMIS (Symbolic Matrix Interpretive System), desenvolvido por Edward L. Wilson na Universidade da Califomia, implantado nos computadores do Laboratório de Estruturas Navais da COPPEIUFRJ, e MATLAB (utilizado somente no segundo exemplo).
O método de Síntese Moda1 empregado foi o método de Craig- Bampton, com bases formadas por Modos Normais e Modos de Restrição. Os Modos Normais foram aproximados por Modos de Lanczos -
cD,
- calculados de acordo com o procedimento apresentado em 2.1, incorporando o efeito da distribuição espacial do carregamento. Paralelamente foi efetuado o cálculo com as bases modais completas, cujo resultado será considerado como soluqão exata para efeito de comparação. Assim para cada superelemento foram calculados os Modos Normais, os Modos de Restrição e Modos de Lanczos.A verificação do número de autovalores dos superelementos, cobertos
por
0,2 ,
não foi efetuada através da sequência de Sturm, uma vez que aobtenção dos Modos Normais e das respectivas freqüências era necessária para o cálculo da resposta dinâmica exata. Para cada subestrutura, as frequências naturais exatas foram calculadas através da solução do problema de autovalor pelo método direto de Jacobi generalizado.
A análise dos modelos completos envolveu três etapas: a primeira foi a obtenção da resposta dinâmica exata utilizando todos os Modos Normais e Modos de Restrição; na segunda etapa adotaram-se bases reduzidas compostas por Modos de Lanczos e Modos de Restrição, cuja montagem considerou apenas a distribuição espacial do carregamento; finalizando incluiu-se na base os vetores julgados necessários sob o aspecto da fiequência de excitação, mostrando que a utilização de p, na formação das bases dos superelementos não é condição única que garanta a qualidade da solução.
A resposta dinâmica do modelo completo foi obtida pelo desacoplamento das equações dinâmicas e resolução da equação de movimento para sistemas com 1 grau de liberdade, através do método de Wilson-8, em um intervalo de tempo equivalente a 25 ciclos de excitação. Os resultados foram obtidos discretizando-se cada ciclo em 20 intervalos de tempo. O desacoplamento das equações dinâmicas foi alcançado a partir da solução do problema de autovalor do modelo completo no espaço reduzido das bases dos superelementos.
4.2.1. Pórtico em L
O pórtico plano abaixo foi modelado com 9 nós e 8 elementos de mesmo comprimento. O modelo foi submetido a um carregamento constituído por uma força horizontal aplicada ao nó 1. Foram analisadas oito freqüências de excitação: me = 0,7
,
2,2,
5 3,
7,O,
8,54,
26,O,
42,O e 50,O radls.2,O m
Figura 4.1
Para utilização do Método da Síntese Moda1 o pórtico foi dividido em dois superelementos correspondentes aos trechos horizontal e vertical, conforme indicado na Fig (4.1). As principais características destes componentes são :
Super-H : 15 graus de liberdade (12 GL internos e 3 GL de fronteira), após condensação estática das rotações internas :
1 1 G L = 8 G L i + 3 G L j
Super-V : 12 GL ( 9 GL internos e 3 GL de fronteira), após condensação estática das rotações internas :
Para cada superelemento foi adotada a condensação estática das rotações internas como forma de reduzir as dimensões do problema. Através da análise do problema de vibrações livres de cada subestrutura obteve-se os modos normais e as frequências naturais necessários à solução da resposta dinâmica exata, e à verificação, sob o enfoque da freqüência de excitação, do conteúdo da base de Lanczos-Ritz gerada pela distribuição espacial do carregamento. A Tabela-4.1 apresenta os resultados das freqüências naturais, a nível de superelemento, obtidas da análise de vibrações livres :
Tabela 4.1 - Freqüências Naturais dos Superelementos -
Análise de Vibrações Livres.
I
Freauência naturais - Sutíer-V:I
Freqüência Naturais - Super-H: Modo
o (radls) Modo o (radls)
Para análise da resposta dinâmica do modelo global com redução de
1 2 3 4 5 6 8,54498 24,6772 50,2259 70,2747 105,174 124,061 7 8 133,004 231,825 Modo o (radh)
coordenadas foram montadas bases compostas por 4 Modos de Lanczos e 3
1 2 3 4 5 6
48,4060 55,7559 89,4427 116,863 148,13 1 243,498
Modos de Restrição para cada superelemento. A escolha do número de vetores de Lanczos na matriz Q foi definida pela avaliação do fator de participação dos vetores na distribuição espacial do carregamento. Uma vez que a parcela do carregamento global atuante sobre o superelemento vertical é nula, definiu-se como vetor de partida para este superelemento um carregamento composto por forças unitárias em todos os graus de liberdade. Para o superelemento horizontal os vetores gerados pelo algaritmo de Lanczos tendem à repetição a partir do quinto vetor, já que neste caso particular a distribuição espacial do carregamento é ortogonal a quatro dos oito modos normais do superelemento. A seleção para o componente vertical seguiu o fator de participação, embora o vetor de partida da série tenha sido aleatório. A partir do quinto vetor, inclusive
o fator de participação caiu da ordem de 10-~, e a matriz Q foi truncada no quarto vetor.
A análise de Ritz efetuada sobre a base de vetores de Lanczos forneceu aproximações de ótima qualidade para as fi-equências naturais de cada componente - Tabela 4.2.
Tabela 4.2 - Aproximações para Frequências Naturais e Correspondência entre Modos de Lanczos e Modos Normais - Base de Lanczos-Ritz.
Freqüências Naturais - Super-H:
Paralelamente adotaram-se as bases Modais Completas para obtenção da resposta dinâmica exata. Para o componente vertical 6 Modos Normais e para o componente horizontal 8, além dos 3 Modos de Restrição para cada superelemento.
Modo de Lanczos Modo Normal
o íradfs)
Freqüências Naturais - Super-V:
Arnbas as soluções para o problema de resposta dinâmica, com Bases Modais e Bases de Lanczos, foram alcançadas inicialmente através da análise de vibração livre do modelo global, com obtenção de seus modos normais e fkequências naturais. Desta forma, foi possível desacoplar seu sistema de equações dinâmicas e resolvê-lo como um conjunto de equações de 1 grau de liberdade na forma da equação 2.5. As fi-eqüências naturais mais relevantes
estão destacadas no Tabela 4.3.
1 2 3 4 2 4 5 6 24,6772 70,2747 105,174 124,061 Modo de Lmczos Modo Normal o (radls) 1 2 3 4 1 2 4 6 48,4061 55,7559 116,863 243,498
Tabela 4.3 - Frequências Naturais para o Modelo Global e Aproximações.
Os deslocamentos mais significativos estão apresentados na Tabela 4.4. Os resultados alcançados apontam deficiência na escolha das bases dos
Modos
superlementos. Os maiores erros ocorreram na faixa de fiequências acima dos 5,5 radls, principalmente para deslocamentos verticais devido a
Freqüências Naturais (radfs)
ortogonalidade do carregamento aos modos de flexão do superlemento
B. Modais Completas
horizontal. Pelo exame das freqüências naturais dos superelementos e dos
4 M L + 3 M R
Modos de Lanczos retidos nas suas bases, pode-se verificar a ausência do primeiro modo do superelemento horizontal, cuja freqüência corresponde a 8,54498 radls. A ausência deste modo é justificada pela ortogonalidade com a distribuição espacial do carregamento atuante, entretanto com a introdução de erros por aproximação na análise numérica, a contribuição deste modo -
pi = - deixa de ser nula. Embora pi seja muito pequena, no caso de excitação a uma fiequência muito próxima da freqüência deste modo e próxima de alguma frequência natural do modelo global, este modo passa a ser importante para a resposta dinâmica. Assim, do ponto de vista da frequência de excitação, este modo deveria ser incluído na base. Neste sentido foi efetuada nova análise incluindo na base do superelemento vertical um Modo de Lanczos adicional. Para se obter este modo utilizou-se como vetor de partida um vetor cujos elementos são iguais a razão mii / kii.
Tabela 4.4 - Resultados da Análise da Resposta Dinâmica - Deslocamentos em 1 0 - ~ m.
w, = 0,7 rads
Nó
I
DireçãoI
B. Modais CompletasI
4 M L + 3 M Ro, = 2,2 rads Erro % w, =5,5 rad/s -3,41 -11,17 -3,43 -10,34 -4,OO 1 1 2 2 5 5
1
Rz -20,75 538,62 -21,24 336,68 -8,23 1 1 2 2 5 x Y x Y Rz w, = 50,O rads 16,235 x Y x Y Rz w, = 7,O rads 63,383 106,83 62,845 79,647 48,941 1 1 2 2 5 0,14405 61,224 94,899 60,687 71,408 46,981 18,101 1,8529 17,582 1,9781 6,9638 -99,ll 14,345 11,833 13,847 8,63 8 6,3907 x Y x Y Rz o, = 8,54 rads 37,497 52,111 36,820 36,226 1,8414 1 1 2 2 5 11,060 0,88006 10,549 0,34419 1,2973 15,826 17,010 15,284 11,697 1,7075 x Y x Y Rz -70,50 -98,3 1 -71,35 -99,05 -29,55 o, = 26.0 rads 16,944 17,501 16,347 14,490 6,0215 7,06 2,89 6,95 23,88 252,65 1 1 2'
2 ' 5 2,0557 0,22152 1,4837 0,061477 0,46221 x Y x Y Rz w, = 42,O rads 2,0714 0,21526 1,4966 O, 12707 O, 17636 1I
xI
7.1807I
2.2839 0,76 -2,83 0,87 106,70 -61,84 -68.19A Tabela 4.6 apresenta os resultados para a nova base. Na Tabela 4.5 estão as aproximações para as frequências naturais do modelo global ao lado dos resultados anteriores.
Tabela 4.5 - Freqüências Naturais para o Modelo Global.
I
ModosI
Freqüências Naturais (radls)I
B. Modais CompletasI
4 M L + 3 M R1
4ML+lMa+3MRI
A análise dos resultados da tabela 4.6 mostra a grande contribuição do primeiro modo do superelemento horizontal na resposta dinâmica para frequências de excitação mais baixas. O erro dos deslocamentos aumenta a medida que à frequência de excitação cresce. Este resultado reflete a qualidade das aproximações das fi-eqüências naturais do modelo global para a faixa de baixas frequências. Uma vez que a base resulte em boas aproximagões para uma faixa de freqüência, a qualidade da resposta dinâmica está assegurada nesta faixa.
Este mesmo exemplo ilustra a tese de GOMES (1988). Neste trabalho foi utilizada uma base de Lanczos-Ritz com 4 vetores para redução das dimensões do problema de análise dinâmica. A ortogonalidade do vetor de partida (distribuição espacial do carregamento) aos deslocamentos verticais da barra horizontal gerou erro na estimativa destes deslocamentos. A solução apresentada pela autora constituiu-se de um processo iterarivo. Inicialmente uma base de Lanczos-Ritz, gerada a partir de p,, fornece as primeiras aproximações para deslocamentos, velocidades e acelerações do sistema, calcula-se neste ponto uma aproximação para as forças de inércia atuantes. Este vetor é adicionado ao vetor p, e um novo vetor de partida é definido. Com a base reconstruída nova análise dinâmica é efetuada. O processo
Tabela 4.6 - Resultados da Análise de Resposta Dinâmica com Utilização de Modo de Lanczos Adicional - Deslocamentos em 1 m.
w, = 0,7 rads
Nó
I
DireçãoI
B. Modais CompletasI
S-H : 4ML+lMA+3M RI
Erro 1 1 I o, = 7.0 rads I w, = 2,2 rads I w, = 8.54 rads I x Y 1 1 2 2 5I
w, = 26,O rads 30,225 42,934 x Y x Y Rz w, = 42,O rads S-V : 4ML+MR 30,225 42,935 63,383 106,83 62,845 79,647 48.941 1I
x w, = 50,O rads 0,OO 0,OO 1 1 63,381 106,85 62,843 79,636 48.940 1 I Y1
11.5451
0.20486 1 -98.23 7,1807 0,OO 0,02 0,OO -0,Ol 0.00 2,15401
-70,OO x Y 1,5905 0,19199 2,7305 1,4076 71,68 633,16se repete até ocorrer convergência dos resultados. A autora destacou a necessidade de apenas uma iteração para atingir resultados satisfatórios.
Analisando a solução proposta nessa tese, e os resultados alcançados, verifica- se que uma verificação da base do ponto de vista da fiequêcia de excitação seria suficiente para reduzir os erros apresentados pela base de Lanczos-Ritz. Elimina-se também a necessidade de utilização do processo iterativo que
4.2.2. Pórtico de Plataforma (Modelo Simplificado)
O modelo de pórtico de plataforma está ilustrado na figura 4.2 abaixo. O pórtico plano foi modelado com 10 nós e 12 elementos As características do
material e da seção transversal foram escolhidas próximas às de estruturas reais situadas na Bacia de Campos. A estrutura foi submetida a um carregamento lateral de mesma intensidade. Duas fiequências de excitação foram consideradas 1 ,O e l7,46 radls.
r - - -
I
{ SUPER-M I I
Para a análise pelo Método da Síntese Moda1 o modelo foi dividido em dois superlementos. O primeiro denominado mesa e o segundo base. Suas características são :
Super-B: 12 graus de liberdade, sendo 6GL internos e 6GL de fionteira; Super-M: 18 graus de liberdade, sendo 12GL internos e 6GL de fionteira.
A análise de vibrações livres resultou nas fiequências naturais da tabela 4.7. Estes resultados foram utilizados para verificar o conteúdo de fiequências da base de Lanczos e a formação das bases Modais Completas para obtenção da resposta dinâmica exata.
Tabela 4.7 - fiequências Naturais dos Superelementos -
Análise de Vibrações Livres.
I
Freaüências Naturais - Su~er-B:I
Freqüências Naturais - Super-M:
Modo
I
1 2 3 4 5 6Modo o (radls)
1 2 3 4 5 6
21,6092 27,0841 150,963 178,458 467,492 467,501
A redução das dimensões do problema foi adotada através de bases formadas por 2 Modos de Lanczos para o superelemento mesa e 1 Modo de Lanczos para o supelemento base em conjunto com 6 Modos de Restrição para cada. A seleção do número de modos de Lanczos das bases seguiu o critério do fator de participação dos vetores da matriz Q no vetor distribuição espacial do carregamento. O terceiro vetor da matriz para o superelemento mesa apresentou fator de participação 100 vezes inferior ao anterior, portanto a base foi truncada no segundo vetor. A base do segundo superelemento foi truncada no primeiro vetor, uma vez que o fator de participação para o segundo vetor era
o (radfs) Modo o (radls) 1,89561 7,88625 16,9758 17,4664 28,1306 32,0246 7 8 9 1 O 11 12 85,9416 108,588 108,692 127,560 294,671 294,690
de ordem 10 vezes inferior ao primeiro. Os resultados do problema de vibrações livres para os superlementos estão na tabela 4.8.
Tabela 4.8 - Aproximações para Frequências Naturais e Correspondência entre Modos de Lanczos e Modos Normais - Base de Lanczos-Ritz.
I
Freqüências Naturais - Super-B:I
Freqüências naturais - Super-M:I
Modo de LanczosI
1I
Modo de LanczosI
1 21
As bases modais completas eram compostas por 6 Modos Normais para o superelemento base, e 12 Modos Normais para o superelemento mesa, além dos Modos de Restrição (6). As frequências naturais do modelo global obtidas da análise do problema de autovalor estão apresentadas na tabela 4.9. As bases formadas por Modos de Lanczos forneceram boas aproximações apenas para as primeiras frequências naturais. Os modos calculados foram utilizados no desacoplamento do sistema de equações diferenciais do movimento.
Modo Normal
Tabela 4.9 - Frequências Naturais para o Modelo Global.
1
I
Modo NormalOs deslocamentos mais significativos estão resumidos na tabela 4.10.
46
1
1
Modos
1
Freqüências Naturais (radls) Bases Modais Completas
0.89666
S - M : 2 M L + 6 M R S-B: 1 M L + 6 M R
Tabela 4.10 - Resultados da Análise da Resposta Dinâmica -
Deslocamentos em 1 0 - ~ m.
A segunda Kequência de excitação corresponde à fiequência natural do me = 1,O radls
4" modo do superelemento mesa, também muito próxima da freqüência do 3"
Nó
1 3
modo. Pela Kequência de excitação é então recomendável a inclusão destes modos à base. Estes modos adicionais foram alcançados tomando como
Direção
x x
vetores de partida a razão mji / kii para obter o 4" modo, e um vetor
complementar a distribuição espacial do carregamento na obtenção do 3"
B. Modais Completas
10,818 7,6889
modo. A tabela 4.11 apresenta as novas aproximações para as freqüências naturais do modelo global e a tabela 4.12 os resultados para a resposta
S-M : 2 M L
+
6 M RS - B : 1 M L + 6 M R
10,822 7,6915
dinâmica mais signifícativos. Os erros da ordem de 10 a 20 % foram reduzidos
Erro %
0,04 0,03
Tabela 4.1 1 - Frequências Naturais para o Modelo Global - Base corrigida. Modos
1
2 3
Freqüências Naturais (radls) Bases Modais Completas 0,89666 3,4786 7.9369 S - M : Z M L + 2 M L a + 6 M R S-B: 1 M L + 6 M R 0,89669 3,4785 7.9369
Tabela 4.12 - Resultados da Análise da Resposta Dinâmica com Inclusão de Vetor Adicional - Deslocamentos em 1 0 - ~ m.
I
o, = 17.46 rads o, = 1,O rads Nó 1 3 Direção x x B. Modais Completas 10,818 7,6889 S-M : 2 M L +2 ML adc + 6 M R S-B: 1 M L + 6 M R 10,822 7.69 17 Erro % 0,04 0.044.2.3. Pórtico em L com Carregamento Formado por Combinação de Modos Normais
Ao pórtico da figura 4.1, modelado como no item 4.2.1, foi aplicado novo carregamento, composto por uma combinação de modos normais do superelemento horizontal. Nenhuma carga foi aplicada ao superelemento vertical. O carregamento foi definido como:
p = 10e-06 .
+
#2H+
+4H+
#5H no elemento horizontalaplicado às mesma freqüências anteriores.
A análise da resposta dinâmica do modelo global pelo método da Síntese Moda1 baseou-se em bases formadas por 3 modos de Lanczos para os superelementos horizontal e vertical, juntamente com 3 modos de restrição para cada componente. Pela ausência de carregamento no superelemento vertical utilizou-se um vetor de partida unitário na obtenção dos modos de Lanczos. A escolha do número de vetores de Lanczos da matriz Q condicionou-se ao fator de participação ni. Para o superelemento horizontal o 4" vetor de Lanczos apresentava fator de participação 10 vezes inferior ao do 3" vetor, assim a série foi truncada no terceiro vetor, e apenas 3 modos de Lanczos foram calculados. O superelemento vertical por se tratar de um componente com número inferior de graus de liberdade internos (6 GLi) a série foi truncada no terceiro vetor. As aproximações para as ftequências naturais dos componentes estão apresentadas na tabela 4.13. Observa-se de imediato a ausência do 1" modo normal do componente horizontal. Embora com pequena participação, este modo está presente no carregamento.
Tabela 4.13 - Aproximações para Frequências Naturais e Correspondência entre Modos de Lanczos e Modos Normais - Base de Lanczos-Ritz.
Freqüências Naturais - Super-H:
Modo de Lanczos
I
1 2 32 combinação de modos combinação de modos
1
24.6771 8 1.0423 37.1084Freqüências Naturais
-
Super-V; -- - ---
Modo de Lanczos
I
1 2 3A solução do problema dinâmico do sistema global foi alcançado pela análise do problema de vibrações livres, levando a obtenção de seus modos normais e freqüências naturais, o que possibilitou o desacoplamento do sistema. As freqüências naturais aproximadas para o modelo global estão na tabela 4.14, e os deslocamentos mais significativos na tabela 4.15.
Modo Normal
cu (radls)
Tabela 4.14 - Frequências Naturais para o Modelo Global.
1 2 combinação de modos
48,4066 55,7598 129,814
Os resultados apontam erros relevantes acima de 2,2 radís,
Modos
1
principalmente para freqüências acima dos 5,5 radís. Pode-se o b s e m que para a freqüência de 7,O radls, os erros são bastante siginificativos tanto para
Freqüências Naturais (radls)
graus de liberdade verticais como horizontais. Esta frequência corresponde
B. Modais Completas
2,8681
3 M L - I - 3 M R
Tabela 4.15 - Resultados da Análise da Resposta Dinâmica - Deslocamentos em 1 O" m. o, = 0,7 rads Nó 1 1 2 2 5 me = 8,54 rads 1 1 2 2 5 me = 26.0 rads Direção F Y --x Y Rz 1 1 2 2 5 x Y x Y Rz B. Modais Completas 1 19,63 175,79 1 19,23 131,77 87,149 x Y x Y Rz 59,800 66,195 59,161 45,434 7,5039 me = 42,O rads 3 M L + 3 M R 119,61 174,44 1 19,62 130,87 87,133 3,5651 0,62685 3,1709 O, 10943 1,8564 1 1 2 2 5 Erro % -0,02 -0,77 0,33 -0,68 -0,02 62,925 66,170 - - 62,364 54,927 22,434 5,23 - -0,04 5,41 20,89 198,96 3,5378 0,30786 3,1644 0,19445 0,23576 x 9 x 3' Rz -0,77 -50,89 -0,20 77,69 -87,30 o, = 50,O rads 2,7413 3,2137 2,1680 0,41966 4,5870 1 1 2 2 5 2,3727 0,17551 1,9465 0,11879 0,12055 5 1 x Y x Y Rz -13,45 -94,54 -10,22 -71,69 -97,37 0,80591 0,16760 - 0,60867 O, 1 1704 1,0016 0,95821 0,073896 0,74951 0,062785 0,0082681 18,90 -55,91- 23,14 -46,36 -99,17
à 95% da 2" fkeqüência natural do sistema, e 82% da fiequência do 1" modo normal do superelemento horizontal. A correção dos resultados foi alcançada pela inclusão deste modo, ausente da base do componente horizontal.
A obtenção do modo normal ausente foi alcançada utilizando-se um vetor de partida unitário no algorítmo de Lanczos-Ritz. As aproximações para as Feqüências naturais do sistema e os resultados da análise dinâmica estão nas tabelas 4.16 e 4.17.
Tabela 4.16 - Freqüências Naturais para o Modelo Global - Base corrigida.
O exame dos resultados da tabela 4.17 revela a contribuição do 1 O modo
Modos
1
normal do superlemento horizontal. Para fkeqüências até 8,54 radls ocorreu praticamente eliminação dos erros apresentados.
Freqüências Naturais (radls) B. Modais Completas
2,8681
3 M L + 1MHadc+3 M R
Tabela 4.17 - Resultados da Análise da Resposta Dinâmica - Deslocamentos em 10" m. - - - -
