MBIF-MODELO BASEADO EM INDIVÍDUOS FUZZY: PROPOSTA E APLICAÇÃO EM UM SISTEMA COMPLEXO

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MBIF-MODELO BASEADO EM INDIV´IDUOS FUZZY: PROPOSTA E APLICA ¸C ˜AO EM UM SISTEMA COMPLEXO

Gledson Melotti∗, Lucymara de R. Alvarenga∗, Maur´ılio J. In´acio∗, Erivelton G. Nepomuceno†, Eduardo M. A. M. Mendes∗, Ricardo H. C. Takahashi∗, Walmir M.

Caminhas∗

∗_{Programa de P´}_os-Gradua¸_c˜_{ao em Engenharia El´}_etrica-UFMG †_{Departamento de Engenharia El´}_etrica-UFSJ

Emails: gledsonmelotti@yahoo.com.br, lucymarareal@yahoo.com.br, maurilio@cpdee.ufmg.br, nepomuceno@ufsj.edu.br, emmendes@cpdee.ufmg.br,

taka@mat.ufmg.br, caminhas@cpdee.ufmg.br

Abstract— The study of infectious diseases opened a whole new area of science, the mathematical epidemi-ology, that considers models that can aid in the study of the spreading of these diseases. These models include the SIR model (Susceptible - Infected - Removed) and the IBM (Individuals Based Model). The SIR model does not consider the spatial distribution of the individuals. As alternative is the IBM model, that by means of the concepts of complex systems analyzes the individual as an unique and discrete entity and also incorporates a spatial distribution that considers local and non local contacts. The goal of this work is to introduce a flexibility in mathematical epidemiology, by means of the model IBM with fuzzy rules to explain the diseases scattering in different situations practices. The time series originated from the models SIR and IBM are also compared qualitatively and quantitatively.

Keywords— SIR model, Individual Based Model, complex systems, local and non local contacts, epidemiology, fuzzy logic.

Resumo— O estudo das doen¸cas infecciosas fez surgir uma nova área da ciência: a epidemiologia matemática. A epidemiologia matemática propõe modelos que possam ajudar no estudo da dissemina¸cão dessas doen¸cas. Esses modelos incluem o modelo SIR (Suscet´ıvel - Infectado - Recuperado) e o MBI (Modelo Baseado em Indiv´ıduos). O modelo SIR não considera a distribui¸cão espacial dos indiv´ıduos. Um alternativa é o modelo MBI, que por meio dos conceitos de sistemas complexos analisa o indiv´ıduo como entidade única e discreta e também incorpora a distribui¸cão espacial que considera contatos locais e não locais. O objetivo deste trabalho é introduzir uma flexibilidade em epidemiologia matemática, por meio do modelo MBI com regras fuzzy para explicar o espalhamento de doen¸cas em diferentes situa¸cões práticas. As séries temporais originadas do modelo SIR e MBI são também comparadas qualitativamente e quantitativamente.

Palavras-chave— Modelo SIR, Modelo Baseado em Indiv´ıduo, sistemas complexos, contatos locais e n˜ao locais, epidemiologia, l´ogica fuzzy.

1 Introdu¸c˜ao

O estudo das doen¸cas infecciosas, em virtude dos danos sócio-econômicos, é um importante ramo da ciência. O número de mortes provocado pe-las maiores epidemias de todos os tempos é im-preciso, mas é incomparavelmente maior do que o número de mortes provocado por todas as guerras (Anderson e May, 1992). No controle da prolife-ra¸cão das doen¸cas infecciosas a ciência tem con-tribu´ıdo de diversas formas, desde campanhas de vacina¸cão até o desenvolvimento de modelos ma-temáticos capazes de representar a dinâmica de doen¸cas infecciosas (Yang, 2001).

A modelagem matemática de doen¸cas infecci-osas fundamenta-se em hipóteses matemáticas que quantificam alguns aspectos biológicos da propa-ga¸cão de epidemias. Neste artigo, a modelagem matemática trata especificamente das infeçcões de transmissão direta. Esse tipo de transmissão é ba-seada em infeçcões viróticas ou bacterianas, cuja dissemina¸cão ocorre diretamente através do meio f´ısico, quando se dá um contato apropriado entre os indiv´ıduos suscet´ıveis (aqueles que não tiveram

contato com o v´ırus) e os indiv´ıduos infectantes, isto é, os que apresentam em seus organismos con-centra¸cões razoáveis de v´ırus e, assim, encontram-se eliminando estes para o ambiente (Yang, 2001). Um dos modelos mais estudados é o mo-delo compartimental denominado SIR (Suscet´ı-vel - Infectado - Recuperado) (Hethcote, 2000). O modelo SIR permite analisar determinadas ca-racter´ısticas de doen¸cas infecciosas, tais como as constantes de tempo caracter´ısticas da fase epi-dêmica, o patamar endêmico, e a existência de limiares nas taxas de propaga¸cão para possibili-tar a erradica¸cão de doen¸cas infecciosas pelo me-canismo de extin¸cão dos pontos fixos não nulos (Hethcote, 2000). Entretanto, o modelo SIR con-sidera a distribui¸cão dos indiv´ıduos espacial e tem-poralmente homogênea (Hethcote, 2000), a partir da premissa de que o tamanho da popula¸cão seja tão grande a ponto de permitir a aproxima¸cão por variáveis cont´ınuas dos diversos compartimentos. Porém, a distribui¸cão espacial de transmissão da doen¸ca deve ser considerada no caso de popula¸cões pequenas e dispersas ou com alta mobilidade.

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de doen¸cas e considerar a dinâmica espacial é com base nos conceitos de sistemas complexos. Tais sistemas são definidos como uma cole¸cão de agentes individuais com liberdade para agir de forma nem sempre previs´ıvel, e cujas a¸cões es-tão interligadas de tal maneira que a a¸cão de um agente mude o contexto de outros agentes (Bar-Yam, 1997). Dito de outra forma, a análise do sis-tema é feita pelo comportamento global gerado pe-las intera¸cões dos componentes individuais e não pela análise do comportamento dos componentes individuais (Melotti, 2009).

Para suprir a deficiência da distribui¸cão espa-cial em propaga¸cões de doen¸cas por certos mode-los epidemiológicos, tem-se uma abordagem estu-dada em ecologia para lidar com a questão de po-pula¸cões heterogêneas é a dos chamados Modelos Baseados em Indiv´ıduos, MBI (ou IBM,do inglês Individual Based Model ) (Lacerda et al., 2010; Al-varenga, 2008). Segundo Grimm (1999), “cada in-div´ıduo é tratado como uma entidade única e dis-creta que possui idade e ao menos mais uma pro-priedade que muda ao longo do ciclo da vida, tal como peso, posi¸cão social, entre outras”. O MBI é uma ferramenta matemática que faz com que todos os indiv´ıduos se interagem uns com os ou-tros e o resultado final é o comportamento global gerado pelas intera¸cões individuais dos componen-tes. Assim, o MBI é um modelo matemático capaz de estudar a propaga¸cão de doen¸cas por meio dos conceitos de sistemas complexos.

Este trabalho propõe uma formula¸cão de MBI e três situa¸cões incorporadas ao MBI proposto para analisar a dinâmica de epidemias. A primeira situa¸cão considera as mesmas particularidades do modelo SIR. A segunda considera apenas o con-tato dos indiv´ıduos com sua vizinhan¸ca (contatos locais). A última considera os contatos locais e uma taxa de contato não local determinada alea-toriamente para cada indiv´ıduo, que influencia a distância obtida por meio de regras fuzzy, em que um indiv´ıduo infectado pode-se deslocar por toda a popula¸cão.

Este artigo apresenta alguns conceitos preli-minares na se¸c˜ao 2: os modelos SIR e MBI. A metodologia adotada para representar a propaga-¸

cão de doen¸cas por meio do MBI e de regras fuzzy está explicada na se¸cão 3. Na se¸cão 4 apresenta-se os resultados e sua análise. As considera¸cões finais são apresentadas na Se¸cão 5.

2 Conceitos Preliminares

2.1 Modelo SIR

O modelo SIR é composto por equa¸cões dife-renciais e utiliza a estratégia de compartimen-tos (Hethcote, 2000). Esse modelo epidemiológico analisa a dissemina¸cão de doen¸ca numa popula-¸

cão. O modelo divide a popula¸cão em três classes: i) suscet´ıvel (S): indiv´ıduos que podem contrair a doen¸ca; ii)infectados (I): indiv´ıduos que podem

transmitir a doen¸ca; iii) recuperados (R): indiv´ı-duos que se recuperaram da doen¸ca e não estão sujeitos a nova contamina¸cão. O sistema de equa-¸

c˜oes diferenciais pode ser assim representado: dS dt = µN − µS − βIS N , S(0) = S0≥ 0 dI dt = βIS

N − γI − µI, I(0) = I0≥ 0 (1)

dR

dt = γI − µR, R(0) = R0≥ 0

em que µ é a taxa de novos suscet´ıveis, γ é a taxa com que os infectados tornam-se recuperados, β é a taxa de transmissão da doen¸ca, N é o número total de indiv´ıduos e S(t) + I(t) + R(t) = N (cons-tante).

Para modelos epidemiológicos clássicos, um parâmetro essencial é o valor de reprodutividade basal, Ro, que dá o número de casos secund´ a-rios causados por um indiv´ıduo infectado introdu-zido numa popula¸cão totalmente suscet´ıvel. Esse parâmetro indica em que condi¸cões a doen¸ca se propaga na popula¸cão. Neste modelo pode-se expressá-lo da seguinte forma (Hethcote, 2000):

Ro=

β

µ + γ, (2)

A determina¸cão dos parâmetros do modelo SIR é feita por meio de estudos estat´ısticos de uma epidemia em uma determinada região.

2.2 Modelo MBI

Para avaliar computacionalmente a propaga¸cão de epidemias, será utilizado o Modelo Baseado em Indiv´ıduos (MBI) proposto por Alvarenga (2008), tendo como referência o modelo SIR (Hethcote, 2000). A seguir são apresentadas algumas pre-missas utilizadas para formula¸cão do MBI. Essas premissas são formuladas de forma a coincidir com aquelas explicitadas para o modelo SIR clássico, as quais se tornam um subconjunto das premissas do modelo MBI. As premissas são as seguintes:

1. Popula¸cão constante. Como se deseja reali-zar compara¸cões com o modelo SIR utilizado neste trabalho, optou-se por utilizar a popu-la¸cão constante de tamanho m.

2. Caracter´ısticas do indiv´ıduo. Um indiv´ıduo ´e caracterizado por um conjunto de n caracte-r´ısticas.

3. Categorias de indiv´ıduos. H´a trˆes categorias para um indiv´ıduo: 0 (suscet´ıvel), 1 (infec-tado) e 2 (recuperado).

4. Mudan¸ca de categoria. Uma vez em uma ca-tegoria, o indiv´ıduo pode mudar para uma outra categoria em cada instante de tempo. Neste trabalho, adotou-se a transi¸c˜ao dis-creta. As transi¸c˜oes podem ocorrer de uma das seguintes formas:

(a) 0,1,2 → 0. Isso significa que o indiv´ıduo morreu e um outro nasceu (para manter

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a popula¸cão constante ver premissa 1). Caso o indiv´ıduo não morra, pode ocor-rer a transi¸cão do item b) ou c), descritas a seguir.

(b) 0 → 1. Um indiv´ıduo infectado, pode encontrar com um indiv´ıduo suscet´ıvel. Caso ocorra o encontro, o indiv´ıduo sus-cet´ıvel adquire a doen¸ca e passa para a categoria 1.

(c) 1 → 2. Um indiv´ıduo infectado recupera-se e passa para a categoria 2.

5. Distribui¸cão estat´ıstica. A mortalidade (e consequentemente nascimento) segue uma distribui¸cão uniforme. Essa distribui¸cão tam-bém foi utilizada para a transi¸cão de recu-pera¸cão. As probabilidades de transi¸cão de estado são representadas na Tabela 1.

Tabela 1: Probabilidade de transi¸c˜ao de estado, dada pela probabilidade de morte e probabilidade de que um indiv´ıduo se recupere.

Transi¸c˜ao Interpreta¸c˜ao Probabilidade

S,I,R → S morte µ

I → R recupera¸c˜ao γ

6. Processo de infeçcão. A transmissão da do-en¸ca é representada como sendo um processo probabil´ıstico. Cada indiv´ıduo infectado e cada indiv´ıduo suscet´ıvel têm igual probabi-lidade de comunicar-se uns com os outros, e desta maneira transmitir a infeçcão. Este es-tado de transi¸cão é baseado em dois estágios:

(a) A parte inteira do parâmetro β é inter-pretada como o número de pessoas que irão interagir com cada indiv´ıduo infec-tado – estes indiv´ıduos são escolhidos aleatoriamente em toda a popula¸cão. (b) A parte fracionária do parâmetro β é

interpretada como a probabilidade de cada indiv´ıduo infectado ter um outro contato. A decisão aleatória é feita com tal probabilidade e, no caso do contato ocorrer, outro indiv´ıduo é escolhido na popula¸cão para ter contato com o indi-v´ıduo infectado.

Um indiv´ıduo ´e representado por:

Im,t= [C1 C2 · · · Cn], (3)

em que m é o tamanho da popula¸cão, t é o ins-tante que o indiv´ıduo apresenta um conjunto espe-c´ıfico de caracter´ısticas e Cn é uma caracter´ıstica do indiv´ıduo. Foi adotada apenas uma caracte-r´ıstica que representa o estado do ponto de vista epidemiológico, que pode ser suscet´ıvel, infectado e recuperado. Outras caracter´ısticas poderão ser incorporadas como idade, o sexo, classe social ou

quaisquer outras caracter´ısticas consideradas re-levantes. Por sua vez, uma popula¸c˜ao ´e represen-tada por:

Pt= [I1,t I2,t I3,t · · · Im,t]T, (4)

em que Im,t ´e um indiv´ıduo no instante t e P ´e uma matriz m × n.

A popula¸cão inicial é determinada de modo aleatório. Em cada instante de tempo, cada in-div´ıduo é considerado e verifica-se por meio de distribui¸cões probabil´ısticas qual a transi¸cão que ocorrerá. Após os m indiv´ıduos serem avaliados, o tempo de simula¸cão é incrementado em ∆t. O algoritmo termina quando o tempo de simula¸cão atinge o valor final tf.

3 Metodologia

Foi incorporado ao modelo MBI proposto desen-volvido de forma clássica a variável espacial no espalhamento de epidemia, portanto, cada indiv´ı-duo poderá estabelecer duas formas de contato: contato local e não local.

3.1 Contatos locais

Incluem os oito indiv´ıduos geometricamente mais próximos (Emmendorfer e Rodrigues, 2001), con-forme a Figura 1. Cada indiv´ıduo é representado por uma célula. A célula de cor preta (circunfe-rência preta) tem como vinhan¸ca as oitos células em formato de “x”. Isso significa que um indiv´ı-duo suscet´ıvel só pode manter contato e adquirir a doen¸ca por meio dos vizinhos mais próximos.

3.2 Contato n˜ao local

A ideia de contato não local foi obtida do traba-lho de Peixoto e Barros (2004) e incorporada no MBI proposto. O objetivo do contato não local é garantir que um indiv´ıduo infectado pode-se des-locar dentro de uma região até uma distância L e ter a possibilidade de infectar um indiv´ıduo sus-cet´ıvel, como ilustra a Figura 1. Esta distância é determinada por meio de regras fuzzy. Assim, o MBI torna-se MBI fuzzy (MBIF). Neste trabalho considera-se que cada indiv´ıduo infectado possui uma taxa de contato não local, Pnl, e diferente em cada instante de tempo, determinada de forma aleatória. A cada instante o deslocamento L pode ser diferente para cada indiv´ıduo infectado.

X X X X X X X X L

Figura 1: Poss´ıveis contatos locais (x) e n˜ao local (o) com indiv´ıduo localizado a uma distˆancia L.

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3.3 Regras Fuzzy e o Deslocamento L

A teoria fuzzy tem por objetivo principal tratar matematicamente certos termos lingu´ısticos sub-jetivos. Genericamente, um sistema baseado em regras fuzzy consiste em três componentes: um processador de entrada (fuzzyficador), um con-junto de regras lingü´ısticas associadas a meca-nismo de inferência fuzzy e um processador de sa´ıda (defuzzyficador), que gera um número real como sa´ıda (Zadeh, 1965).

A modelagem do parâmetro L por meio de um sistema de regras fuzzy traduz o conhecimento que se tem sobre a dependência com respeito a Ro, ou seja, o quanto a doen¸ca é capaz de evoluir em determinado ambiente e Pnl. Portanto, Ro e Pnl são as variáveis de entrada do sistema de regras fuzzy e a sa´ıda será a distância L, como mostra a Figura 2, em que L é dependente de Ro e Pnl.

R₀

Base de conhecimentos Pnl

L

Figura 2: Sistema baseado em regras fuzzy.

Para as variáveis de entrada (Ro e Pnl), as fun¸cões de pertinência utilizadas foram nomeadas de muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Para a variável de sa´ıda (L), as fun¸cões de perti-nência foram nomeadas pequena, média e grande, conforme as regras adotadas no trabalho de Pei-xoto e Barros (2004). As fun¸cões de pertinência de entrada e sa´ıda podem ser vistas na Figura 3.

0 2 4 6 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Função Pertinência Ro

MuitoBaixa Baixa Média Alta MuitoAlta

0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Função Pertinência pnl

MuitoBaixa Baixa Média Alta MuitoAlta

0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Função Pertinência L

Pequena Média Grande

Figura 3: Fun¸cões de pertinência: Roe Pnl são as variáveis de entrada, L é a variável de sa´ıda.

Segundo Peixoto e Barros (2004) as regras fuzzy foram obtidas com o aux´ılio de especialistas da área de medicina. Para a inferência foi utili-zado o método de Mamdani (Zadeh, 1965), com os operadores m´ınimo e máximo. A sa´ıda geral foi calculada pelo método de defuzzifica¸cão do Centro de Gravidade.

4 Resultados

Os indiv´ıduos suscet´ıveis, infectados e recupera-dos estão representados pelas cores cinza, preta e branca respectivamente. Os parâmetros utiliza-dos foram: N = 2500, ∆t = 1, µ = 1/60, γ = 1/3 β = 3,5 para todas as simula¸cões. Todas as si-mula¸cões iniciaram-se com apenas um indiv´ıduo infectado e demais indiv´ıduos suscet´ıveis.

A evolu¸cão da propaga¸cão da epidemia, ob-tida por meio do MBI desenvolvido de modo a coincidir com o modelo SIR clássico é ilustrada na Figura 4. Isso significa que o indiv´ıduo infectado tem a probabilidade de infectar todos os indiv´ı-duos suscet´ıvei em um mesmo instante de tempo.

(a) t=0 (b) t=10

(c) t=30 (d) t=300

Figura 4: Caso em que a popula¸c˜ao se mistura homogeneamente: (a) condi¸c˜ao inicial, (b) 10 uni-dades de tempo (ut), (c) 30 ut, (d) 300 ut.

A Figura 5 mostra a compara¸cão evidenciada quantitativamente e qualitativamente simulando o modelo SIR e o MBI. As séries temporais produ-zidas pelo SIR e a técnica proposta são muito pr´ o-ximas, em termos de valor de pico de uma doen¸ca, bem como o per´ıodo em que a doen¸ca se estabi-liza. Nesse caso, a popula¸cão se mistura homoge-neamente, em que todos os indiv´ıduos estabelecem contatos entre si, ou seja, todos indiv´ıduos tem a mesma probabilidade de encontrar uns com os ou-tros.

A propaga¸cão da epidemia com o MBI, em que cada indiv´ıduo infectado estabelece contatos apenas locais com sua vizinhan¸ca, é apresentada na Figura 6. Nessa simula¸cão fica evidente que a propaga¸cão de doen¸ca se espalha apenas entre os indiv´ıduos suscet´ıveis mais próximos. Com o passar do tempo, a doen¸ca se espalha por toda a popula¸cão, pois cada indiv´ıduo infectado tem a probabilidade de infectar os vizinhos suscet´ıveis mais próximos.

A simula¸c˜ao representada pela Figura 7 ilus-tra a evolu¸c˜ao temporal da epidemia dada pelo

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0 50 100 150 200 250 300 0 2000 4000 (a) S 0 50 100 150 200 250 300 0 1000 2000 (b) I 0 50 100 150 200 250 300 0 2000 4000 (c) R t

Figura 5: Compara¸cão entre MBI desenvolvido de forma clássica (—), caso em que a popula¸cão se mistura homogeneamente e SIR (- - -).

(a) t=0 (b) t=10

(c) t=30 (d) t=300

Figura 6: Caso em que cada indiv´ıduo estabelece contato apenas com sua vizinhan¸ca: (a) condi¸c˜ao inicial, (b) 10 unidades de tempo (ut), (c) 30 ut, (d) 300 ut.

modelo MBI que estabelece apenas contatos lo-cais comparado com o modelo SIR clássico. Ob-serve que o aumento do número de infectados no in´ıcio da propaga¸cão da epidemia no MBI é mais suave, isso deve-se ao fato da doen¸ca se propa-gar em torno do foco da epidemia. Isso representa uma popula¸cão em que os indiv´ıduos não têm mui-tos contamui-tos uns com os outros, por exemplo, uma popula¸cão rural.

A Figura 8 mostra a evolu¸cão espacial da pro-paga¸cão da epidemia com contato local e não lo-cal, obtida por meio do MBI fuzzy (MBIF). Nesse caso, a popula¸cão pode estabelecer contato com sua vizinhan¸ca e cada indiv´ıduo ainda pode esta-belecer um contato não local com outro indiv´ıduo, localizado a uma distância L. Tal distância é de-terminada por regras lingü´ısticas do sistema fuzzy. A Figura 8 (b) mostra claramente a forma¸cão de focos secundários. Isso significa que os indiv´ıduos infectados se deslocam por toda a popula¸cão. A

0 50 100 150 200 250 300 0 2000 4000 (a) S 0 50 100 150 200 250 300 0 1000 2000 (b) I 0 50 100 150 200 250 300 0 2000 4000 (c) R t

Figura 7: Compara¸c˜ao entre MBI (—) caso em que a popula¸c˜ao estabelece contato apenas com sua vizinhan¸ca, e SIR (- - -).

Figura 8 (d) ilustra a propaga¸c˜ao da doen¸ca esta-bilizada.

(a) t=0 (b) t=5

(c) t=30 (d) t=300

Figura 8: Caso em que a popula¸cão estabelece contato com a vizinhan¸ca e cada indiv´ıduo pode estabelecer contato não local baseado em regras de um sistema fuzzy: (a) condi¸cão inicial, (b) 5 unidades de tempo (ut), (c) 30 ut, (d) 300 ut.

A Figura 9 apresenta a evolu¸cão temporal do MBIF da Figura 8 comparada com a do modelo SIR clássico. Observa-se que ao incorporar a taxa de contato não local no modelo MBI, o compor-tamento temporal se assemelha com o do modelo SIR, ou seja, comportamentos qualitativos pare-cidos (valor de pico alto para os infectados, além do tempo em que a doen¸ca se estabiliza). Porém, os valores de picos das séries temporais dos indi-v´ıduos são diferentes. Isto mostra que o MBIF (contatos locais e não locais) obteve um compor-tamento diferente do modelo SIR, isto é, compor-tamentos quantitativos diferentes.

O modelo SIR considera que todos os indiv´ı-duos est˜ao em contatos uns com os outros. Esse fato n˜ao invalida o MBI para a segunda e terceira

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0 50 100 150 200 250 300 0 2000 4000 (a) S 0 50 100 150 200 250 300 0 1000 2000 (b) I 0 50 100 150 200 250 300 0 2000 4000 (c) R t

Figura 9: Compara¸cão entre MBIF (—) no caso em que a popula¸cão estabelece contato com a vizi-nhan¸ca e cada indiv´ıduo pode estabelecer contato não local baseado em regras de um sistema fuzzy e o modelo SIR clássico (- - -).

situa¸cões, pois no espalhamento real, os indiv´ıduos não estão todos em contatos uns com os outros. Contudo, qualitativamente mostra que o modelo de MBI proposto captura algumas caracter´ısticas do espalhamento de doen¸cas, como o pico de indi-v´ıduos infectados que surge na popula¸cão. Além disso, as séries do MBI se estabilizam depois de um certo instante de tempo como as séries do SIR.

5 Conclus˜oes

O artigo apresentou abordagens estocásticas para a modelagem de epidemias. A formula¸cão mate-mática é geral e pode levar em conta caracter´ısti-cas f´ısicaracter´ısti-cas e sociais dos indiv´ıduos. A modelagem obtida venha a reproduzir situa¸cões práticas que anteriormente não eram contempladas para as t´ ec-nicas convencionais, como o modelo SIR.

A varia¸cão entre situa¸cões do tipo global, lo-cal e não local permite analisar diversas situa¸cões de interesse na dinâmica de epidemias. Tais va-ria¸cões podem ser explicadas e realizadas com o MBIF por meio dos conceitos de sistemas comple-xos. Pois com o MBIF é poss´ıvel explicar como a doen¸ca se propaga por meio das intera¸cões entre os indiv´ıduos e a possibilidade de criar cenários diferentes que representam as propaga¸cões de do-en¸cas, como por exemplo, fazer com que um in-div´ıduo infectado se desloque de uma região para a outra. Note que as essas duas últimas situa-¸

cões evidenciam que o modelo SIR tradicional não as reproduz adequadamente. Utilizando o modelo MBIF, uma análise e compreensão da dinâmica do sistema torna-se mais clara, o que pode levar a um estudo de forma mais eficiente. Assim, nas estratégias de modelagem e estudos dos compor-tamentos de epidemias, um modelo feito a partir da técnica apresentada poderá ser mais adequado, em certas situa¸cões, do que a partir do clássico

modelo SIR. Porém, para afirmar que um modelo é mais adequado que outro, deve-se realizar um estudo estat´ıstico de situa¸cões reais em diversos cenários com os modelos e assim compará-los. Tal estudo não foi contemplado neste artigo.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq, CAPES, FAPE-MIG, UFMG, UFSJ e ao IFES-S˜ao Mateus pelo apoio financeiro.

Referˆencias

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