8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA
Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007
IDENTIFICAÇÃO DAS DERIVADAS DE ESTABILIDADE E CONTROLE
LONGITUDINAIS DE UMA AERONAVE EM VÁRIOS PONTOS DO ENVELOPE DE
VÔO ATRAVÉS DE TÉCNICAS DE ESTIMAÇÃO POR MÁXIMA
VEROSSIMILHANÇA E REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
Benedito C. O. Maciel*, Luciane F. R. Souzaº, Luiz C. S. Góes*, Eduardo M. Belo º
* Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos,SP,Brasil, º Escola de Engenharia de São Carlos, São Carlos,SP,Brasil
*e-mail: bcmaciel@ita.br
RESUMO
Neste trabalho é apresentado um procedimento para identificação das derivadas de estabilidade e controle do movimento longitudinal de uma aeronave militar, em diferentes pontos do envelope de vôo. Além disso, é feita a extrapolação dos parâmetros do modelo para pontos do envelope não contemplados nos ensaios em vôo, fornecendo assim uma excelente ferramenta para análise aerodinâmica e de estabilidade e desempenho de aeronaves. Para isso, são utilizados métodos baseados na técnica de estimação paramétrica por máxima verossimilhança e algoritmo de otimização de Levenberg-Marquardt em conjunto com técnicas baseadas em Redes Neurais Artificiais. A metodologia é aplicada a dados reais de ensaio em vôo de uma aeronave militar, o Xavante AT-26 da Força Aérea Brasileira (FAB).
INTRODUÇÃO
Desde a introdução dos modelos matemáticos para descrição da dinâmica de uma aeronave, é sabido que as derivadas de estabilidade e controle fornecem significativas informações sobre as qualidades de vôo (flying qualities) e pilotagem (handling qualities). Assim, as estimativas numéricas dessas derivadas aerodinâmicas são fundamentais para o projeto de novas aeronaves, compreensão de sua dinâmica de vôo, adaptação de sistemas de piloto automático, bem como para o desenvolvimento de modelos aerodinâmicos e suas aplicações em simuladores de vôo de alta fidelidade.
Além disso, visando aplicações militares, a estimação das derivadas torna-se fundamental para a análise do impacto de diferentes sistemas de armamentos na dinâmica de vôo das aeronaves utilizadas pela Força Aérea Brasileira . A técnica de identificação de parâmetros aplicada aos dados de ensaios em vôo, objetiva a extração dos parâmetros aerodinâmicos do modelo de uma aeronave através do processamento de dados obtidos por sensores instalados na mesma. Admite-se conhecer a estrutura aproximada do modelo dinâmico, restringindo o problema à estimação de seus parâmetros.
O advento dos computadores e os sistemas digitais de aquisição de dados para instrumentação revolucionaram as técnicas de identificação de parâmetros aplicadas a ensaios em vôo. Desse modo, foi possível transferir de modo automático, grandes quantidades de dados da instrumentação para o processamento de computadores, possibilitando técnicas de identificação mais complexas, antes consideradas impraticáveis. Em [1], os autores apresentaram um algoritmo computacional para a determinação das derivadas de estabilidade a partir dos dados de ensaios em vôo, com bons resultados práticos. Esta técnica vem sendo utilizada pela NASA, sendo uma das principais metodologias de identificação de parâmetros para ensaios em vôo nos EUA desde então.
Nesse contexto, as Redes Neurais Artificiais surgem como mais uma ferramenta poderosa, permitindo a modelagem dos processos através de identificação, utilizando-se dos dados de entrada e saída dos mesmos. Têm se mostrado também estimadores de parâmetros bastante eficazes, aplicáveis em reconhecimento de padrões, na área de controle de processos, em problemas de otimização ou previsão devido à sua capacidade de aprendizado assim como o seu processamento paralelo.
Por possuírem, além de todas as vantagens dos métodos não convencionais, velocidade de processamento razoavelmente alta comparada a outros métodos convencionais e capacidade de aprendizagem, as redes neurais têm sido bastante exploradas na área de engenharia Aeronáutica para identificação e controle de sistemas dinâmicos lineares e não lineares e e para a estimação de parâmetros. Para capturar a dinâmica de componentes, redes neurais recorrentes com atrasos normalmente são exploradas e na estimação de parâmetros redes multicamadas feedforward. O trabalho está organizado da seguinte maneira: na seção 2 apresentamos o equacionamento do modelo dinâmico utilizado. Na seção 3 é apresentada a metodologia de identificação, com a descrição do método do erro de saída (Output-error Method) com critério de máxima verossimilhança e algoritmo de otimização por Levenberg-Marquardt. Na seção 4 introdu-se o conceito de Redes Neurais Artificiais. Os resultados obtidos com os dados de ensaio em vôo são mostrados e analisados na seção 4. Na última seção temos as conclusões do trabalho.
MODELO DINÂMICO
A separação das equações de movimento longitudinal e látero-direcional, através do uso da teoria de pequenas perturbações, é bem estabelecida. Em [2], o autor apresenta as equações de forma detalhada. Esta teoria simplifica e lineariza o conjunto de equações em torno de condições de referência, onde ocorrem as perturbações.
Assim, neste trabalho o problema de identificação de parâmetros é aplicado ao modelo longitudinal do movimento de uma aeronave, em particular ao modo de período curto, para o qual as equações em espaço de estados lineares são definidas como, (1 ) . q e q e Z Z Z e M M M q q α δ α δ α ⎡ + ⎤ α ⎡ ⎤δ ⎡ ⎤= ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ & & (1)
O vetor de saídas desse sistema é formado pelos próprios estados. As equações apresentam seis parâmetros aerodinâmicos cujos valores são desconhecidos e que precisam ser estimados. Estes parâmetros são denominados derivadas dimensionais de estabilidade e controle e formam então um vetor Q Î Â6:
[
Za,Z Mq, a,M Zq, de,Mde]
TIDENTIFICAÇÃO PARAMÉTRICA Método Output-error
Nesta seção, é apresentada a metodologia de identificação paramétrica aplicada ao modelo linear do movimento longitudinal apresentado. O método Output-error, cuja formulação em diagrama de blocos é mostrada na Fig. 1, é um dos mais usados métodos de estimação para aplicação na estimativa de parâmetros aerodinâmicos a partir de dados de ensaio em vôo. Este método apresenta uma série de propriedades estatísticas que o tornam eficiente, incluindo sua aplicabilidade a sistemas não lineares e levando em conta ruídos nos canais de medição e aquisição de dados [1].
Figura 1: Diagrama de blocos do procedimento de identificaçào paramétrica.
O modelo é considerado conhecido e por tanto, o processo de identificação consiste na determinação do vetor de parâmetros que forneça a melhor predição das variáveis de saída usando algum critério de otimização. A obtenção de uma estimativa através da otimização de uma função custo baseada no erro de predição da planta requer, geralmente a minimização de uma função não linear. Portanto, um método de otimização baseado na formulação de Gauss-Newton, conhecido por método de Levenberg_Marquardt, é utilizado para estimar os parâmetros do modelo. Assim, a função custo a ser minimizada envolve o erro de predição,
( ) ˆ( ) ( )
e k = y k - y k (3) onde ˆy k é a predição da saída baseada na estimativa atual do vetor de parâmetros ˆ( ) Q .
Considera-se então um sistema dinâmico, com um modelo definido por M Q e saída y . Supondo-se que ( ) ( )
p y Q é a distribuição de probabilidade condicional da variável de saída y com dimensão m , médiaf(Q e )
covariância R , com dimensão m´ m. p y Q é conhecida como funcional de verossimilhança, nomenclatura ( )
encontrada dada por Goodwin and Payne em [3], que atribuíram esse nome pelo fato que é uma medida da probabilidade da ocorrência da observação y para um dado parâmetro Q . Portanto, o funcional de verossimilhança é: ( ) ( ) ( ) [ ]
[
]
[ ( )]{
1}
2 1 2 1 1 exp , , . 2 2 n T T n k m T p y e k R e k R p -= Q = -å
Q Q (4)A estimativa de máxima verossimilhança (Maximum Likelihood Estimate) é definida como o valor de Q que maximiza este funcional, de tal modo que a melhor estimativa de Q é
( )
ˆ A rg Max p y
Q = Q (5) A maximização de p y Q é equivalente a minimização de ( ) J Q , que é dado por ( )
( )
{
[ ( )][
]
1[ ( )]}
1 1 , , ln . 2 n T T k J e k R - e k R = Q =å
Q Q + (6) Assim, no processo de otimização, J Q é equivalente a ( ) - ln p y( ( Q)), exceto por um termo constante.Algoritmo de otimização
O método de otimização de Levenberg-Marquardt consiste numa técnica de segunda ordem baseada no método de Gauss-Newton. Este método, apesar de complexo, é adequado para uma função custo de forma quadrática, e apresenta uma convergência rápida. Para sua aplicação ao processo de estimação de parâmetros, primeiro aproxima-se J Q por uma função parabólica ( ) JL(Q na condição ) Q (retendo apenas os três primeiros termos da série de L
Taylor ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1( )
[
2 ( )]
( ). 2 T T T L L L L L L L L J Q @J Q + Q - Q ÑQJ Q + Q - Q ÑQJ Q Q - Q (7)A condição de otimização é obtida quando
( ) 0.
J *
Q
Ñ Q = (8) Aplicando a eq. (8) na eq. (7):
( ) ( ) ( )T
[
2 ( )]
0,L L L L
J J J
Q Q Q
Ñ Q = Ñ Q + Q - Q Ñ Q = (9)
que pode ser usada para achar o ótimo Q , através da recursão *
( )
[
2]
1 ( ) 1 T . i i J i J i -+ Q Q Q = Q - Ñ Q Ñ Q (10)A complexidade no cálculo da matriz Hessiana, Ñ2QJ(Qi), na eq. (10), é evitada através da aproximação de
Gauss-Newton, que usa a aproximação
( ) [ ( )] 1[ ( )] 2 1 ˆ ˆ ˆ , n T k J y R - y Q = Q é ù Q Ñ Q »
å
Ñ Q ê úë û Ñ Q (11)Onde os termos envolvendo derivadas de segunda ordem são descartados e o gradiente da saída estimada, ÑQˆy(Q , )
é chamado função sensibilidade.
Assim, o método de Levenberg-Marquardt é uma extensão do algoritmo de Gauss-Newton, onde a idéia é modificar a eq. (11) para: ( ) [ ( )] 1[ ( )] 2 1 ˆ ˆ ˆ n T k J y R - y lI Q = Q é ù Q Ñ Q »
å
Ñ Q ê úë û Ñ Q + (12)onde a inversão da matriz não é executada explicitamente, mas resolvendo por decomposição em valores singulares (Singular Value Decomposition) a seguinte expressão:
( )
[
Ñ2QJ Q + lI]
D Q = ш ^ TQJ(Q). (13)A adição do termo Il na equação (13) resolve o eventual problema de mal-condicionamento da matriz. O algoritmo de Levenberg-Marquardt pode ser interpretado da seguinte maneira: para valores pequenos de l ele se comporta como o algoritmo de Gauss-Newton, enquanto que para valores altos de l este se comporta como o algoritmo do gradiente.
REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
Redes neurais artificiais são sistemas de processamento de informação com capacidade de aprender através de exemplos [4]. Baseadas em conceitos de neurobiologia, redes neurais artificiais são compostas por conjuntos de elementos interconectados chamados de neurônios. Estes processam os sinais apresentados à rede neural, somando cada estímulo dado a esta e passando o valor total por uma função chamada função de ativação. Os estímulos dados aos neurônios são modificados por um valor real chamado peso sináptico e cada um caracteriza a respectiva conexão entre os neurônios.
A Figura 2 mostra uma representação típica de um neurônio j, onde x1, x2,..., xp são estímulos de entrada, wj1,wj2,...,wjp, são os pesos sinápticos, θj é um valor chamado bias, vj é o potencial de ativação, oj é o sinal de saída do neurônio e ϕ(.) is a função de ativação (geralmente adota-se a função não linear sigmoidal).
Figura 2: Típica representação de neurônio. Então, da Figura 2, pode-se observar que a saída do neurônio é dada por
⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + =
∑
= p i i ji j j w x o 1 θ ϕ .Arquitetura de rede é o nome dado aos arranjos dos neurônios em camadas e como são conectados. As redes neurais típicas têm a seguinte arquitetura: (1) camada de entrada - onde o estimulo de entrada é apresentado à rede; (2) camadas escondidas ou intermediárias - camadas internas de uma rede, e (3) camada de saída - a última camada da rede, onde as saídas são fornecidas.
Uma vez que treinada, pode-se supor que a rede neural armazenou o conhecimento fornecido a ela. Entretanto, o conhecimento em uma rede neural não é armazenado numa região específica. Depende de sua topologia e do valor dos pesos na camada da entrada. A generalização de uma rede neural artificial é a capacidade reproduzir sinais desejados para sinais de entrada diferentes dos usados durante o treinamento da rede. As redes neurais, devido a sua capacidade de generalização dentre outras vantagens, têm sido bastante aplicadas em várias áreas, inclusive em problemas envolvidos em dinâmica de vôo.
RESULTADOS
Para estimar as derivadas de estabilidade e de controle a partir das respostas da aeronave, foi aplicada a técnica de identificação usando o método de estimação por Máxima Verossimilhança, com algoritmo Output-error e algoritmo de otimização de Levenberg-Marquardt a 12 dos 60 conjuntos de dados de ensaio em vôo da aeronave Xavante. Um esquema representativo do envelope de vôo está mostrado na Figura 3 a seguir.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000 Mach A lti tu d e ( m ) Treinamento Generalização Estimação
Tabela 1: Valores de altitude e velocidade em Mach de pontos do envelope de vôo medidos.
Caso H (m) Mach Caso H (m) Mach Caso H (m) Mach Caso H (m) Mach 11 9156,3 0,6161 26 9135,6 0,5020 42 6100,3 0,6070 56 6091,8 0,4984 12 9163,2 0,6153 27 9132,4 0,5015 43 6094,5 0,6041 57 6096,1 0,4973 13 9175,6 0,6133 28 9131,7 0,5008 44 6098,7 0,6028 58 6100,3 0,4958 14 9204,3 0,6113 29 9099,4 0,3666 46 6100,4 0,6016 59 6104,7 0,4950 16 9149,1 0,5078 31 9083,7 0,3681 47 6072,4 0,5915 61 6116,3 0,4925 17 9154,8 0,5057 33 9072,8 0,3701 48 6071,4 0,5905 62 6121,7 0,4920 18 9160,1 0,5052 34 9062,4 0,3703 49 6066,5 0,5070 63 6130,9 0,4902 19 9163,6 0,5039 36 9051,9 0,3695 50 6066,6 0,5064 64 6108,0 0,4015 21 9163,6 0,5030 37 9055,1 0,3649 51 6072,2 0,5035 66 6113,4 0,3993 22 9164,5 0,5027 38 6112,3 0,6084 52 6078,9 0,5020 67 6111,6 0,3995 23 9155,5 0,5031 39 6113,1 0,6079 53 6083,6 0,5012 68 6107,1 0,4000 24 9147,7 0,5011 41 6110,8 0,6075 54 6087,1 0,5003
Estimação das derivadas aerodinâmicas e de controle usando rede neural artificial
Destes dados, especificamente, dados correspondentes a 6 pontos do envelope, de vôo serão usados para treinamento da rede neural artificial e o restante será usado para verificar a capacidade de generalização da RNA.
Para a estimação das derivadas de estabilidade e de controle da aeronave nos outros pontos do envelope de vôo, será usada uma rede neural artificial feedforward, com 20, 18 e 6 neurônios respectivamente nas camadas intermediárias e de saída e para treiná-la será usado o algoritmo Backpropagation. Foram usados dois tipos de entradas: dinâmicas e estáticas. Como entradas dinâmicas foram fornecidas para a rede neural velocidade de arfagem, entrada usado no profundor e variação do ângulo de ataque e como entradas estáticas foram fornecidas a massa, altitude, número de Mach e velocidade inicial da aeronave. Um esquema da rede utilizada está mostrado na Figura 4.
m U0 M q
α
eδ
ESTÁTICAS DINÂMICAS αZ
α M qZ
q M eZ
δ eM
δ RNA h m U0 M qα
eδ
ESTÁTICAS DINÂMICAS αZ
α M qZ
q M eZ
δ eM
δ RNA hFigura 4: Diagrama de blocos representativo da RNA.
A rede foi treinada durante 2000 épocas e o erro atingiu ordem de 10-5 e para verificar se ela havia generalizado, foram apresentados dados referentes às outras 6 posições do envelope desconhecidos por esta e comparados. Pôde-se concluir que a rede neural havia mesmo generalizado.
Finalmente foram estimados os outros 48 conjuntos de derivadas referentes aos pontos do envelope onde não são conhecidas as derivadas. 12 conjuntos de derivadas estas estão mostradas na Tabela 1. Os outros não serão mostrados para não deixar o texto extenso. Para poder fazer a verificação destas, é necessário simular o comportamento dinâmico da aeronave e comparar as respostas. Alguns gráficos serão mostrados.
Tabela 2: Derivadas longitudinais estimadas (dimensionais). Caso α
Z
Z
qM
αM
qZ
δeM
δe 11 -1.8229 0.2715 -8,5412 -1,193 -0,8636 14,5209 12 -1.7412 0.2776 -8,7804 -0,7917 -0,8391 15,4029 13 -1.3392 0.2557 -5,2546 -0,6824 -0,8141 7,2760 14 -1.6944 0.2399 -9,7244 -1,8737 -0,9119 12,1295 16 -1.4670 0.2593 -6,7746 -0,6610 -0,8350 9,2683 17 -1.1611 0.2279 -0,6033 -1,7700 -0,7441 6,2536 18 -1.0962 0.2521 -2,6509 -0,6937 -0,6916 5,0179 19 -1.7378 0.2720 -8,7353 -0,9174 -0,8614 14,6875 21 -1.0020 0.2575 -1,5053 -0,7721 -0,6301 4,4032 22 -1.2950 0.2562 -7,3935 -0,7123 -0,6897 13,8744 23 -1.0533 0.2473 -1,7514 -1,7703 -0,6175 3,8270 24 -1.0440 0.2605 -3,5330 -0,8050 -0,6194 6,9180Como dito anteriormente, estas derivadas estimadas são desconhecidas e portanto, só podem ser verificadas se colocadas no simulador para verificar se fornecem ou não respostas próximas das reais. As Figuras 5 (a), (b) (c) e (d) mostram a simulação da aeronave usando as derivadas referentes ao caso 1 mostrado na tabela anterior.
0 50 100 150 -6 -4 -2 0 2 amostra d p [g ra u s ] 0 50 100 150 -2 0 2 4 amostra al p h a [ g ra us ] medida predicao 0 50 100 150 -10 -5 0 5 10 15 amostra q [ g ra us /s ] medida predicao 0 50 100 150 0 1 2 3 amostra az [g ] medida predicao
(a) Simulação da aeronave no caso 11 usando derivadas estimadas 0 100 200 300 -10 -5 0 5 10 amostra dp [ g ra u s ] 0 100 200 300 4 5 6 7 8 amostra al pha [ g raus ] medida predicao 0 100 200 300 -5 0 5 10 amostra q [ g raus /s ] medida predicao 0 100 200 300 0.9 1 1.1 1.2 1.3 amostra az [g ] medida predicao
(b) Simulação da aeronave no caso 34 usando derivadas estimadas
0 50 100 -4 -2 0 2 amostra dp [ g ra us ] 0 50 100 -0.5 0 0.5 1 1.5 amostra al ph a [ g ra us ] medida predicao 0 50 100 -5 0 5 10 amostra q [ g ra us /s ] medida predicao 0 50 100 0.8 1 1.2 1.4 1.6 amostra az [g ] medida predicao
(c) Simulação da aeronave no caso 55 usando derivadas estimadas 0 50 100 150 -4 -2 0 2 amostra dp [ g ra us ] 0 50 100 150 0 1 2 3 4 amostra al ph a [ g ra us ] medida predicao 0 50 100 150 -10 -5 0 5 10 amostra q [ g ra us /s ] medida predicao 0 50 100 150 0.8 1 1.2 1.4 1.6 amostra az [g ] medida predicao
(d) Simulação da aeronave no caso 19 usando derivadas estimadas
Figura 5: Comparação das variáveis medidas e preditas.
CONCLUSÃO
Neste trabalho foi apresentado um procedimento para identificação das derivadas de estabilidade e controle do movimento longitudinal de uma aeronave militar, em diferentes pontos do envelope de vôo. Foram utilizados dois métodos, um baseado na técnica de estimação paramétrica por máxima verossimilhança e algoritmo de otimização de Levenberg-Marquardt e outro baseado em Redes Neurais Artificiais. Estas metodologias foram aplicadas a dados reais de ensaio em vôo de uma aeronave militar, o Xavante AT-26 da Força Aérea Brasileira. Usando o método baseado na técnica de estimação por máxima verossimilhança foram obtidos alguns conjuntos de derivadas de estabilidade e de controle da aeronave para treinar a rede neural e com estes foi possível treinar a RNA e estimar as derivadas para todo o envelope de vôo. Para verificar os resultados obtidos, gráficos foram plotados e comparadas as respostas simuladas usando as derivadas estimadas com as respostas reais, medidas em ensaio em vôo, podendo verificar que os resultados foram bastante satisfatórios. Conclui-se que o método baseado em estimação de parâmetros por máxima verossimilhança aplicado a dados obtidos em ensaio em vôo para conseguir alguns conjuntos de derivadas é bastante eficaz e que as RNA’s, depois de treinadas, são capazes de estimar as derivadas da aeronave em outros pontos do envelope de vôo desconhecidos por ela. Usando-se estes dois métodos combinados, mostrou-se que é possível estimar as derivadas aerodinâmicas de estabilidade e de controle de uma aeronave dentro de um extenso envelope de vôo.
SIMBOLOGIA E NOMENCLATURA
α : ângulo de ataque (graus)
q : velocidade angular de arfagem (graus/s) e
δ : deflexão do profundor (graus) y : vetor de saídas medidas ˆy : vetor de saídas estimadas
Θ : vetor de parâmetros
R : matriz de covariância do erro de saída
REFERÊNCIAS
1
.
Iliff, K. W. and Taylor, L. W., 1972, “Determination of stability derivatives from fight test data using a Newton- Raphson minimization technique”, NASA TD D-6579, Washington.3. Goodwin, G. C. and Payne, R. L., 1977, “Dynamicsystem identification - experiment design and data analysis”, Academic Press, New York.
4. Haykin, S., 1994, “Neural Network: a Comprehensive Foundation”, Macmillan College Publishing Company, New York.
5.
