CONTROLE DE SISTEMAS ROB ´OTICOS COM RESTRI ¸C ˜OES CINEM ´ATICAS
Gustavo M. Freitas, Antonio C. Leite, Fernando Lizarralde∗ ∗Programa de Engenharia El´etrica - COPPE
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil
Email: gfreitas@coep.ufrj.br, toni@coep.ufrj.br, fernando@coep.ufrj.br
Abstract— This paper presents a control methodology for robotic systems with kinematics constraints based on a recently proposed method. A case study for parallel robots and redundant robots is discussed from the following concepts: forward kinematics, differential kinematics, singularities and kinematic control. The main idea is to consider the kinematic constraints of the used mechanisms from its structural equations, instead of explicitly using the constraint equations. Simulations results illustrate the performance and viability of the proposed methodology.
Keywords— Parallel robots, redundant robots, multi-robot coordination, singularities.
Resumo— Este artigo apresenta uma metodologia de controle para sistemas rob´oticos com restri¸c˜oes cinem´ a-ticas baseada em um esquema recentemente proposto na literatura. Um estudo de caso para robˆos paralelos e robˆos redundantes ´e discutido a partir dos conceitos de cinem´atica direta, cinem´atica diferencial, singularida-des e controle cinem´atico. A id´eia principal ´e considerar as restri¸c˜oes cinem´aticas dos mecanismos abordados a partir de suas equa¸c˜oes estruturais, ao inv´es de utilizar explicitamente as equa¸c˜oes de restri¸c˜ao. Resultados de simula¸c˜oes ilustram o desempenho e a viabilidade da metodologia proposta.
Palavras-chave— Robˆos paralelos, robˆos redundantes, coordena¸c˜ao de multi-robˆos, singularidades.
1 Introdu¸c˜ao
Em sistemas rob´oticos avan¸cados, acur´acia, repetibilidade e capacidade de carga s˜ao habilidades fundamentais para a execu¸c˜ao de diversas tarefas pr´aticas, onde o efetuador do robˆo tem que manipu-lar um objeto ou realizar alguma opera¸c˜ao sobre uma superf´ıcie. A estrutura de um robˆo manipulador con-siste de uma s´erie de corpos r´ıgidos ou elos conecta-dos por meio de juntas de revolu¸c˜ao ou prism´aticas, formando uma cadeia cinem´atica. Do ponto de vista topol´ogico, uma cadeia cinem´atica pode ser classifi-cada em (i) aberta ou serial, quando existe apenas uma sequˆencia de elos conectando as duas extremi-dades da cadeia, e (ii) fechada ou paralela, quando uma sequˆencia de elos forma no m´ınimo um la¸co. Em geral, robˆos de cadeia serial podem apresentar limi-ta¸c˜oes no espa¸co de trabalho, singularidades cinem´ a-ticas, acur´acia e rigidez reduzidas, ou sensibilidade a escalamento. Estas desvantagens podem ser supera-das atrav´es do emprego de robˆos paralelos, robˆos se-riais redundantes e/ou robˆos m´oveis para executar a tarefa de interesse (Murray et al., 1994).
Robˆos paralelos fornecem uma conex˜ao r´ıgida en-tre a carga do efetuador e a estrutura da base do robˆo, com precis˜ao da pose superior `a obtida por manipuladores de cadeia serial (Merlet, 1993; Mer-let and Gosselin, 2008). As principais desvantagens do emprego de robˆos paralelos s˜ao: a limita¸c˜ao do es-pa¸co de trabalho, a maior dificuldade para obten¸c˜ao do mapeamento de cinem´atica direta e a complexi-dade da an´alise de singularidade (Wen and O’Brien, 2003; O’Brien et al., 2006). Em contraste com os ma-nipuladores de cadeia serial, as singularidades em me-canismos paralelos possuem diferentes manifesta¸c˜oes. Neste contexto, as singularidades podem ser classi-ficadas em: singularidades do efetuador e
singulari-Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq.
dades do atuador (Gosselin and Angeles, 1990). Robˆos seriais redundantes possuem mais graus de liberdade que aqueles estritamente necess´arios para executar uma tarefa. Os graus de liberdade extras podem ser utilizados para evitar obst´aculos e sin-gularidades cinem´aticas, ou optimizar o movimento do robˆo relativo a uma fun¸c˜ao custo. Al´em disso, na presen¸ca de limites das juntas, manipuladores re-dundantes pode ser utilizados para aumentar o es-pa¸co de trabalho do robˆo (Siciliano, 1990; Chiaverini et al., 2008). Robˆos cooperativos e robˆos m´oveis dota-dos de manipuladores antropom´orficos, por exemplo, pertencem `a classe de robˆos redundantes (Caccavale and Uchiyama, 2008). A coordena¸c˜ao de m´ultiplos robˆos ´e essencial em diversas aplica¸c˜oes industriais, como as tarefas de produ¸c˜ao e montagem, que incluem muitas vezes situa¸c˜oes onde m´ultiplos bra¸cos rob´oticos est˜ao agarrando um objeto em contato com o ambi-ente. Exemplos t´ıpicos s˜ao: pintura, polimento, segui-mento de contorno, alinhasegui-mento de objetos, usinagem e plotagem (Namvar and Aghili, 2005).
Motivado pelas aplica¸c˜oes de robˆos paralelos e robˆos seriais redundantes, este trabalho apresenta uma metodologia de controle para sistemas rob´oticos com restri¸c˜oes cinem´aticas baseado em um m´etodo recente-mente proposto em (Wen and O’Brien, 2003). A id´eia principal ´e considerar as restri¸c˜oes cinem´aticas dos mecanismos abordados a partir de suas equa¸c˜oes es-truturais, ao inv´es de utilizar explicitamente a equa¸c˜ao de restri¸c˜ao. Resultados de simula¸c˜oes obtidos a partir dos modelos cinem´aticos de um mecanismo 4-bar link-age e uma plataforma de Gough-Stewart planar ilus-tram a viabilidade da metodologia proposta.
2 Nota¸c˜ao e Defini¸c˜oes
Neste trabalho, a seguinte nota¸c˜ao ser´a utilizada: ¯
coorde-nadas ortonormal a e ~xa, ~ya, ~za denotam os
ve-tores unit´arios associados aos eixos.
Para um dado vetor ν ∈ Rk, seus elementos
s˜ao denotados por νi para i = 1 · · · k, isto ´e,
ν= [ ν1 ν2 · · · νk]T.
ne : n´umero de graus de liberdade (DOFs)
efe-tivos do mecanismo1ou graus de mobilidade.
nt : n´umero de graus de liberdade necess´arios
para executar uma tarefa.
Defini¸c˜ao 1 Para um mecanismo de cadeia aberta constitu´ıdo por n + 1 elos conectados por n juntas, onde o elo 0 ´e fixo, cada junta confere um grau de mobilidade a estrutura do mecanismo.
Defini¸c˜ao 2 Para um mecanismo de cadeia fechada constitu´ıdo por n + 1 elos, o n´umero de juntas l deve ser maior que n. Neste caso, o n´umero de malhas fechadas ´e igual a l−n.
Defini¸c˜ao 3 Um sistema rob´otico pode ser classifi-cado como: (i) sub-atuado se ne< nt; (ii) atuado se
ne= nt; (iii) super-atuado ou redundante se ne> nt.
3 Sistemas Rob´oticos com Restri¸c˜oes Esta se¸c˜ao considera a cinem´atica de sistemas rob´oticos de cadeia fechada sujeitos `a restri¸c˜oes cine-m´aticas. A metodologia geral para calcular a cinem´ a-tica direta e diferencial neste tipo de sistema consiste em abrir a malha, propagar a cinem´atica ao longo dos ramos e adicionar as restri¸c˜oes cinem´aticas.
Considere p a posi¸c˜ao do efetuador com respeito a base do robˆo, expressa no sistema de coordenadas da base ¯E0, e φ a representa¸c˜ao em ˆAngulos de
Eu-ler para a orienta¸c˜ao do sistema de coordenadas do efetuador ¯Ee com respeito ao sistema de coordenadas
da base ¯E0 (Sciavicco and Siciliano, 2000). Neste
en-foque, a postura do efetuador x ∈ Rm´e obtida a partir do mapeamento de cinem´atica direta
x= » p φ – = h(θ) , (1) onde h(·) : Rn
7→ Rm´e uma fun¸c˜ao vetorial n˜ao-linear
e θ ∈ Rn´e o vetor de vari´aveis das juntas (ou
coorde-nadas generalizadas) expressas no espa¸co de configu-ra¸c˜ao n˜ao-restrito Q. As juntas ativas s˜ao denotadas por θa ∈ Rna e as juntas passivas s˜ao denotadas por
θp∈ Rnp, onde n = na+np. Ent˜ao, pode-se ordenar o
vetor de ˆangulos das juntas, tal que, θT= [ θT a θpT].
As restri¸c˜oes cinem´aticas podem ser represen-tadas localmente como uma restri¸c˜ao alg´ebrica no es-pa¸co de configura¸c˜ao
c(θ) = 0 , (2)
onde c(·) : Rn
7→ Rr. Ent˜ao, o mecanismo tem n e= n−r
graus de liberdade efetivos. A restri¸c˜ao descrita em (2) ´e um exemplo de restri¸c˜ao holonˆomica (Murray et al., 1994). Considerando a restri¸c˜ao escrita em termos do vetor de velocidade da juntas tem-se
JC(θ) ˙θ = 0 , (3)
1Os DOFs efetivos de um mecanismo podem ser calcu-lados atrav´es da f´ormula de Gruebler (Murray et al., 1994).
onde JC=∂c(θ)∂θ ∈ Rr×n´e denominado Jacobiano da
re-stri¸c˜ao. A equa¸c˜ao de cinem´atica diferencial pode ser obtida a partir da derivada temporal do mapeamento de cinem´atica direta (1) como
v= ˙x = » ˙p ˙ φ – = JA ˙θ , (4)
onde ˙p e ˙φ s˜ao as velocidades linear e rotacional do efetuador respectivamente, e JA=∂h(θ)∂θ ∈ Rm×n ´e o
Jacobiano anal´ıtico.
Particionando os Jacobianos JC e JA de acordo
com as dimens˜oes das vari´aveis de juntas θae θp
tem-se JC = [ JCa JCp] e JA = [ JAa JAp]. Ent˜ao, as
equa¸c˜oes (3) e (4) podem ser reescritas como (Wen and O’Brien, 2003; O’Brien et al., 2006):
0 = JCa ˙θa+ JCp ˙θp, (5)
v = JAa ˙θa+ JAp˙θp, (6)
onde JCa∈ Rnp×na, JCp∈ Rnp×np, JAa∈ Rm×na e
JAp∈ Rm×np.
A partir de (5), se JCp for invers´ıvel implica que
o n´umero de restri¸c˜oes ´e igual ao n´umero de juntas passivas e ˙θppode ser calculada em fun¸c˜ao das juntas
ativas como
˙θp= −JCp−1JCa˙θa. (7)
Substituindo (7) em (6), a equa¸c˜ao de cinem´atica diferencial pode ser reescrita como
v= (JAa− JApJCp−1JCa)
| {z }
¯ J(θa,θp)
˙θa, (8)
onde ¯J∈ R6×n−r. No caso de ¯J ser invers´ıvel, o
pro-blema de controle ´e similar ao caso de controle cine-m´atico de um manipulador de cadeia em s´erie (Hsu and Lizarralde, 2007).
Analisando a equa¸c˜ao (8), observa-se que a singu-laridade de ¯Jpode ser causada pela perda de posto da matriz JCp. Neste caso significa que existe movimento
interno das juntas, mesmo quando as juntas ativas es-t˜ao travadas. Este tipo de singularidade ´e denominada de singularidade inst´avel ou singularidade do atuador.
4 Manipuladores Paralelos
Nesta se¸c˜ao, um mecanismo 4-bar linkage ´e uti-lizado para ilustrar o problema de controle de mani-puladores paralelos. Em seguida, a metodologia apre-sentada ´e aplicada para uma plataforma de Gough-Stewart planar. Um manipulador paralelo ´e um me-canismo em cadeia fechada com efetuador e base fixa, composto pela uni˜ao de pelo menos duas cadeias ci-nem´aticas abertas. Manipuladores paralelos podem apresentar vantagens sobre manipuladores de cadeia aberta em termos de rigidez da estrutura, devido a presen¸ca de duas ou mais cadeias fechadas, e aloca¸c˜ao de atuadores, uma vez que na maioria dos casos so-mente algumas das juntas s˜ao atuadas (Merlet and Gosselin, 2008).
O mecanismo 4-bar linkage considerado ´e for-mado por uma ´unica cadeia cinem´atica fechada, com-posta pela uni˜ao de duas cadeias abertas (Figura 1). A estrutura mecˆanica consiste de quatro corpos r´ıgi-dos conectar´ıgi-dos atrav´es de juntas de revolu¸c˜ao, onde a junta ativa ´e θa = θ1 e as juntas passivas s˜ao
¯ E0 ~ x0 ~ y0 ~ z0 ¯ Ee ~xe ~ ye ~ ze l1 l2 l3 l4 θ1 θ2 θ3 θ4
Figura 1: Manipulador paralelo 4-bar linkage.
4.1 Cinem´atica direta
A cinem´atica direta de um manipulador paralelo ´e descrita atrav´es da configura¸c˜ao do sistema de co-ordenadas do efetuador ¯Ee em rela¸c˜ao ao sistema de
coordenadas da base ¯E0, determinada para cada
ca-deia cinem´atica. Para mecanismos paralelos, o pro-blema da cinem´atica direta ´e muito mais complexo que o problema da cinem´atica inversa, com poss´ıveis m´ultiplas solu¸c˜oes (Merlet and Gosselin, 2008).
Ent˜ao, para obter a rela¸c˜ao de cinem´atica direta um sistema de coordenadas apropriado ¯Ei ´e fixado
no i-´esimo elo do mecanismo, para i = 1, · · · , k. As equa¸c˜oes estruturais do mecanismo s˜ao dadas por:
pe = p01+ p13+ p3e | {z } cadeia 1 = p02+ p24+ p4e | {z } cadeia 2 , (9) φe = θ1+ θ3 | {z } cadeia 1 = θ2+ θ4 | {z } cadeia 2 , (10)
onde pij∈ R3 ´e o vetor posi¸c˜ao da origem do sistema
de coordenadas ¯Ej com respeito a origem do sistema
de coordenadas ¯Ei.
As equa¸c˜oes estruturais do manipulador introdu-zem restri¸c˜oes entre os ˆangulos das juntas do mani-pulador. Considerando o caso planar, onde pe∈ R2
e φe∈ R, as igualdades de posi¸c˜ao (9) e orienta¸c˜ao
(10) correspondem a r = 3 restri¸c˜oes. Desta ma-neira, o mecanismo paralelo com n = 4 juntas possui ne= n − r = 1 grau de liberdade efetivo. Este
resul-tado tamb´em pode ser obtido a partir da f´ormula de Gruebler (Murray et al., 1994).
Observa¸c˜ao 1 Em mecanismos paralelos, o n´umero de restri¸c˜oes ´e sempre igual ao n´umero de juntas pas-sivas, isto ´e, r = np. Portanto, o vetor de ˆangulos das juntas θ∈ Rnpode ser particionado em θ
p∈ Rr juntas passivas e θa∈ Rn−r juntas ativas.
As restri¸c˜oes estruturais do mecanismo permitem con-trolar a orienta¸c˜ao do efetuador φ especificando ape-nas a posi¸c˜ao da junta ativa θa= θ1, e as demais juntas
assumes valores adequados a fim de satisfazer as equa-¸c˜oes estruturais. Assim, as juntas passivas θp∈ R3
po-dem ser calculadas em fun¸c˜ao das juntas ativas θa∈ R
atrav´es da equa¸c˜ao de cinem´atica direta do mecanismo usando a cadeia 1 pe = p01+ p13+ p3e= − l0 2~x0+ l1R01(θ1) ~x0+ (l3+ l4) R01(θ1) R13(θ3) ~x0, (11) ou a cadeia 2 pe = p02+ p24+ p4e= l0 2 ~x0+ l2R02(θ2) ~x0+ l4R02(θ2) R24(θ4) ~x0, (12)
onde Rij(θi) ∈ SO(3) denota a orienta¸c˜ao do sistema
de coordenadas ¯Ejcom respeito ao sistema de
coorde-nadas ¯Ei. Note que, neste caso Rij´e uma matriz de
rota¸c˜ao elementar de um ˆangulo θi em torno do eixo
zdo sistema de coordenadas ¯E0.
Ap´os o uso de identidades alg´ebricas e geom´etri-cas, as juntas passivas θps˜ao obtidas por:
θ2 = π − cos−1 „ l20− l21+ l2d 2 l0ld « − cos−1 „ l22− l32+ l2d 2 l2ld « , θ3 = π + cos−1 „ l21− l20+ l2d 2 l1ld « + cos−1 „ l23− l22+ l2d 2 l3ld « , θ4 = 2π − cos−1 „ l22+ l23− l2d 2 l2l3 « , onde l2d= l20+ l21− 2lol1cos(θ1) .
Agora, ´e poss´ıvel calcular a posi¸c˜ao do efetuador p a partir de (11), e a orienta¸c˜ao do efetuador φ utilizando (10) em fun¸c˜ao da junta ativa θa= θ1.
Observa¸c˜ao 2 Neste caso, uma t´ecnica mais direta para solucionar o problema de cinem´atica inversa e obter os ˆangulos das juntas passivas θp´e aplicar o m´e-todo de sub-problemas de Paden-Kahan, em particular os sub-problemas 1 e 3 (Murray et al., 1994). 4.2 Cinem´atica diferencial
Analogamente, a cinem´atica diferencial de uma manipulador paralelo ´e obtida considerando-se as di-versas cadeias cinem´aticas abertas que comp˜oem a estrutura do mecanismo. A velocidade do efetuador ve∈ R3pode ser obtida a partir da derivada temporal
das equa¸c˜oes estruturais resultando em uma matriz Jacobiana para cada cadeia s´erie
ve= S J1 » ˙θ1 ˙θ3 – = S J2 » ˙θ2 ˙θ4 – , (13)
onde S ∈ R3×6´e uma matriz de sele¸c˜ao dada por:
S= 2 4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 5 , (14) e as matrizes Jacobianas J1∈ R6×2 e J2∈ R6×2 s˜ao
(Sciavicco and Siciliano, 2000):
J1 = » ~ z0× p1e ~z0× p3e ~ z0 ~z0 – , (15) J2 = » ~ z0× p2e ~z0× p4e ~ z0 ~z0 – , (16) com p1e = l1R01(θ1) ~x0+ p3e, p2e = l2R02(θ2) ~x0+ p4e, p3e = (l3+ l4) R01(θ1) R13(θ3) ~x0, p4e = l4R02(θ2) R24(θ4) ~x0.
O Jacobiano anal´ıtico do mecanismo pode ser reescrito de maneira mais usual, empilhando-se os Jacobianos de cada cadeia aberta
» S J1 0 0 S J2 – | {z } J 2 6 6 4 ˙ θ1 ˙ θ3 ˙ θ2 ˙ θ4 3 7 7 5 | {z } ˙ θ = » I I – | {z } A ve, (17) ou equivalentemente, J ˙θ= A ve, (18)
onde a matriz A ∈ R6×3 possui posto completo. Uti-lizando essa nota¸c˜ao, ´e poss´ıvel obter o Jacobiano da restri¸c˜ao JC∈ R3×4e o Jacobiano anal´ıtico JA∈ R3×4
atrav´es de:
JC= ˜A J , JA= A†J , (19)
onde eA∈ R3×6 ´e denominada matriz aniquiladora de
A, tal que eAA= 0, e A†
∈ R3×6´e a pseudo-inversa de
A, tal que A†A = I. Conforme apresentado
previa-mente, a partir de (8) e utilizando-se JC e JA, a
cine-m´atica diferencial do mecanismo ´e dada por ve= ¯J ˙θa. 4.3 Singularidades
As singularidades de mecanismos paralelos po-dem ser classificadas em (i) singularidades de efetua-dor ou serial e (ii) singularidades de atuaefetua-dor ou para-lela. Quando ambas as singularidades ocorrem simul-taneamente, as singularidades s˜ao denominadas estru-turais (Gosselin and Angeles, 1990).
Em uma configura¸c˜ao singular serial, as juntas podem ter uma velocidade n˜ao nula enquanto o meca-nismo est´a em repouso. Neste caso, o efetuador perde graus de liberdade no espa¸co da tarefa. Por outro lado, em uma configura¸c˜ao singular paralela existem velocidades n˜ao nulas do mecanismo para as quais as velocidades das juntas s˜ao zero, e neste caso o efetu-ador ganha alguns graus de liberdade no espa¸co da tarefa. Uma singularidade paralela ´e especialmente importante para mecanismos paralelos uma vez que correspondem `as configura¸c˜oes onde o robˆo perde con-trolabilidade. Al´em disso, for¸cas excessivas podem ocorrer nas proximidades de poses singulares e con-sequentemente levar a quebra do robˆo.
Finalmente, ´e importante notar que em alguns ca-sos, as configura¸c˜oes singulares podem ser muito ´uteis. Por exemplo, elevados fatores de amplifica¸c˜ao entre o movimento do efetuador e o movimento das juntas atuadas podem ser essenciais para dispositivos de po-sicionamento de precis˜ao com um espa¸co de trabalho muito pequeno ou para melhorar a sensibilidade ao longo de algumas dire¸c˜oes de medi¸c˜ao para um robˆo paralelo usado, por exemplo, como um sensor de for¸ca. 4.4 Controle Cinem´atico
A abordagem de controle cinem´atico pode ser uti-lizada para modificar a postura do mecanismo 4-bar linkage a fim de realizar uma determinada tarefa. Con-sidere que o objetivo de controle ´e conduzir a orien-ta¸c˜ao do efetuador φ para uma orienta¸c˜ao desejada variante no tempo φd(t), isto ´e,
φ→ φd(t) , eφ= φd(t) − φ → 0 , (20)
onde eφ∈ R ´e o erro de orienta¸c˜ao. Considerando o
problema de controle cinem´atico do mecanismo atu-ado (ne= nt= 1) a velocidade da junta ativa ´e
equiva-lente ao sinal de controle, ou seja, ˙θa= u.
O esquema de controle proposto consiste em co-mandar a velocidade da junta ativa ˙θa a fim de
al-can¸car o objetivo de controle (20). Ent˜ao, a partir de uma lei de controle feedforward e proporcional
u= [ 0 0 1 ] ¯J−1[ 0 0 1 ]T(K
φeφ+ ˙φd) , (21)
a dinˆamica do erro de orienta¸c˜ao ´e governada por ˙eφ+ Kφeφ= 0. Portanto, para uma escolha
apropri-ada de Kφ como uma constante positiva tem-se que
limt→∞eφ(t) = 0.
4.5 Plataforma de Gough-Stewart
Um outro exemplo de mecanismo paralelo ´e a pla-taforma de Gough-Stewart. Dentre as diversas aplica-¸c˜oes desta estrutura destacam-se: tecnologia de m´ a-quinas ferramentas e gruas, simuladores de vˆoo, po-sicionamento de antenas e telesc´opios. Nesta se¸c˜ao, ´e considerada uma vers˜ao planar da plataforma de Gough-Stewart (Figura 2). A estrutura mecˆanica ´e composta pela uni˜ao de trˆes cadeias abertas e possui nove juntas, onde as trˆes juntas prism´aticas s˜ao ativas θa= [ d2 d5 d8]T, e as seis juntas de revolu¸c˜ao s˜ao
passivas θp= [ θ1 θ3 θ4 θ6 θ7 θ9]T. Pode-se obter os
DOFs efetivos do mecanismo aplicando a f´ormula de Gruebler (Murray et al., 1994) para o caso planar:
ne= 3(g − n) + n
X
i=1
fi= 3 , (22)
onde g ´e o n´umero de elos m´oveis do mecanismo, n o n´umero total de juntas e fi ´e o n´umero de DOFs da
i-´esima junta. A partir de (22) verifica-se que o me-canismo possui trˆes graus de liberdade efetivos, o que permite controlar a posi¸c˜ao e orienta¸c˜ao da plataforma respectivamente. l l l ~ xs ~ ys ~ zs ¯ Es ~ x0 ~ y0 ~ z0 ¯ E0 θ1 d2 θ3 θ4 d5 θ6 θ7 d8 θ9
A cinem´atica direta do mecanismo ´e descrita a partir da configura¸c˜ao do sistema de coordenadas ¯Es
fixado na plataforma com respeito ao sistema de co-ordenadas da base ¯E0, determinada para cada cadeia
cinem´atica. As equa¸c˜oes estruturais do mecanismo s˜ao dadas por: ps= p03+ p3s | {z } cadeia 1 = p04+ p46+ p6s | {z } cadeia 2 = p07+ p79+ p9s | {z } cadeia 3 ,(23) φs= θ1+ θ3 | {z } cadeia 1 = θ4+ θ6 | {z } cadeia 2 = θ7+ θ9 | {z } cadeia 3 , (24)
onde p04e p07s˜ao assumidos constantes e conhecidos.
Note que, considerando um mecanismo paralelo, as equa¸c˜oes estruturais permitem a formula¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes que contˆem as restri¸c˜oes cinem´ a-ticas do sistema e pode ser utilizado para calcular a posi¸c˜ao das juntas passivas θp em fun¸c˜ao das juntas
ativas θa. A solu¸c˜ao deste sistema de equa¸c˜oes pode
ser simples, como no caso do mecanismo 4-bar lin-kage, ou possuir solu¸c˜ao complexa, como ´e o caso da plataforma de Gough-Stewart apresentada nesta se-¸c˜ao. A cinem´atica direta da plataforma de Gough-Stewart planar pode ser calculada atrav´es da meto-dologia apresentada em (Zhang and Gao, 2006), onde o sistema com 6 equa¸c˜oes e 6 inc´ognitas (θp∈ R6) ´e
resolvido utilizando o M´etodo de Conjuntos Caracte-r´ısticos de Ritt-Wu.
A cinem´atica diferencial ´e obtida considerando as diversas cadeias abertas que comp˜oem a estrutura do mecanismo. A velocidade da plataforma vs∈ R3 pode
ser obtida derivando as equa¸c˜oes estruturais, obtendo uma matriz Jacobiana para cada cadeia:
vs= SJ1 2 4 ˙θ1 ˙ d2 ˙θ3 3 5 = SJ2 2 4 ˙θ4 ˙ d5 ˙θ6 3 5 = SJ3 2 4 ˙θ7 ˙ d8 ˙θ9 3 5 , (25)
onde S ∈ R3×6´e a matriz de sele¸c˜ao dada em (14) e as
matrizes Jacobianas J1∈ R6×3, J2∈ R6×3e J3∈ R6×3
s˜ao (Sciavicco and Siciliano, 2000): J1 = » ~ z0× p0s R01(θ1) ~x0 ~z0× p3s ~z0 0 ~z0 – , (26) J2 = » ~ z0× p4s R04(θ4) ~x0 ~z0× p6s ~z0 0 ~z0 – , (27) J3 = » ~ z0× p7s R07(θ7) ~x0 ~z0× p9s ~z0 0 ~z0 – , (28) com p03 = d2R01(θ1) ~x0, p3s = l R01(θ1) R13(θ3) ~x0, p0s = p03+ p3s, p46 = d5R04(θ4) ~x0, p6s = l R04(θ4) R46(θ6) ~x0, p4s = p46+ p6s, p79 = d8R07(θ7) ~x0, p9s = l R07(θ7) R79(θ9) ~x0, p7s = p79+ p9s. ´
E importante notar que os Jacobianos J1, J2 e
J3 dependem da posi¸c˜ao das juntas ativas e passivas.
Para o mecanismo de Gough-Stewart planar, n˜ao ´e
trivial calcular a posi¸c˜ao das juntas passivas θp em
fun¸c˜ao das juntas ativas θa utilizando suas equa¸c˜oes
de cinem´atica direta. Por´em, para obter a cinem´atica diferencial do sistema, a posi¸c˜ao da junta passiva θp
pode ser obtida. por exemplo, integrando-se a velo-cidade das juntas passivas ˙θp. O Jacobiano do
ma-nipulador pode ser reescrito de maneira mais usual, empilhando-se os Jacobianos de cada cadeia aberta:
2 4 S J1 0 0 0 S J2 0 0 0 S J3 3 5 | {z } J 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 ˙θ1 ˙ d2 ˙θ3 ˙θ4 ˙ d5 ˙θ6 ˙θ7 ˙ d8 ˙θ9 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 | {z } ˙ θ = 2 4 I I I 3 5 | {z } A vs, (29) ou, equivalentemente J ˙θ= A vs, (30)
onde a matriz A ∈ R9×3 possui posto completo.
Uti-lizando essa nota¸c˜ao, ´e poss´ıvel obter o Jacobiano da restri¸c˜ao JC∈ R6×9e o Jacobiano anal´ıtico JA∈ R3×9
atrav´es de:
JC= ˜A J , JA= A†J . (31)
Conforme apresentado previamente, a partir de (8) e utilizando-se JC e JA, a cinem´atica diferencial do
mecanismo ´e dada por vs= ¯J ˙θa.
De acordo com a se¸c˜ao 4.4, a abordagem de con-trole cinem´atico pode ser utilizada para modificar a postura da plataforma xs a fim de rastrear uma
postura desejada variante no tempo xsd(t),
minimi-zando o erro de postura es = xsd− xs. Ent˜ao, a
partir de uma lei de controle feedforward e propor-cional u = ¯J−1(Kxes + ˙xsd) , a dinˆamica do erro
de postura ´e governada por ˙es + Kxes = 0, onde
Kx = diag{kp, kp, kφ}. Portanto, para uma escolha
apropriada de kpe kφcomo constantes positivas
tem-se que limt→∞es(t) = 0.
5 Manipuladores Redundantes Muitas tarefas s˜ao dif´ıceis ou mesmo imposs´ıveis de serem realizadas por um ´unico robˆo. Alguns exem-plos t´ıpicos incluem: posicionamento de cargas pesa-das, montagens complexas ou manipula¸c˜ao de objetos flex´ıveis. Estas tarefas tornam-se vi´aveis com a utiliza-¸c˜ao de mais de um robˆo trabalhando cooperativamente (Caccavale and Uchiyama, 2008). O mecanismo apre-sentado na Figura 3, considerando um contato cont´ı-nuo dos manipuladores com o objeto, ´e formado por uma cadeia cinem´atica fechada onde todas as juntas s˜ao ativas.
Em geral, robˆos cooperativos correspondem a sis-temas super-atuados ou redundantes, onde os graus de liberdade efetivos do sistema s˜ao superiores aos exigi-dos pela tarefa a ser realizada (ne> nt). Esta
capaci-dade aumenta a destreza do mecanismo, podendo ser utilizada para evitar singularidades, limites de juntas, obst´aculos no espa¸co de trabalho, e tamb´em para a mi-nimiza¸c˜ao de torque nas juntas, consumo de energia ou, em geral, para optimizar indices de desempenho.
v+1 v1− v+2 v−2 l11 l12 l13 l21 l22 l23 ~ xc ~ yc ~zc ¯ Ec ~ x0 ~ y0 ~z0 ¯ E0 θ11 θ12 θ13 θ21 θ22 θ23
Figura 3: Robˆos cooperativos carregando um objeto.
5.1 Cinem´atica direta
A cinem´atica direta de um sistema rob´otico re-dundante composto por manipuladores cooperativos ´e descrita a partir da configura¸c˜ao de um sistema de co-ordenadas ¯Ecfixado no objeto manipulado em rela¸c˜ao
ao sistema de coordenadas da base ¯E0, determinada
para cada manipulador pertencente ao sistema. As equa¸c˜oes estruturais do mecanismo redundante apre-sentado na Figura 3 s˜ao dadas respectivamente por:
pc = P0e1+ Pe1c | {z } robˆo 1 = P0e2+ Pe2c | {z } robˆo 2 , (32) φc = Φ0e1+ Φe1c | {z } robˆo 1 = Φ0e2+ Φe2c | {z } robˆo 2 , (33) onde P0ei∈ R
3: ´e o vetor posi¸c˜ao da origem do sistema de
coordenadas do efetuador ei do i-´esimo manipulador
¯
Eei em rela¸c˜ao a origem do sistema de coordenadas da base ¯E0.
Peic∈ R
3: ´e o vetor posi¸c˜ao da origem do sistema de
coordenadas do objeto manipulado ¯Ec em rela¸c˜ao a
origem do sistema de coordenadas do efetuador ei do
i-´esimo manipulador ¯Eei. Φ0ei ∈ R
3: denota a orienta¸c˜ao do sistema de
coor-denadas do efetuador ei do i-´esimo manipulador ¯Eei com respeito ao sistema de coordenadas da base ¯E0.
Φeic∈ R
3: denota a orienta¸c˜ao do sistema de
coorde-nadas do objeto manipulado ¯Ec com respeito ao
sis-tema de coordenadas do efetuador ei do i-´esimo
ma-nipulador ¯Eei.
As equa¸c˜oes estruturais introduzem restri¸c˜oes ao sistema, decorrente do contato cont´ınuo dos manipu-ladores com o objeto manipulado. Diferentemente dos mecanismos paralelos, o n´umero de restri¸c˜oes de um mecanismo redundante n˜ao ´e igual ao n´umero de jun-tas passivas do sistema. De fato, para o mecanismo apresentado na Figura 3, as juntas passivas est˜ao as-sociadas aos pontos de contato entre os manipuladores e o objeto (Caccavale and Uchiyama, 2008).
5.2 Cinem´atica diferencial
Considerando cada cadeia aberta, a velocidade v+i
do efetuador eido i-´esimo manipulador ´e relacionada
a velocidades das juntas θipor
vi+= Ji(θi) ˙θi, (34)
onde Ji´e o Jacobiano do i-´esimo manipulador, obtido
em fun¸c˜ao dos ˆangulos das juntas θi. Considere vc
a velocidade do sistema de coordenadas ¯Ecfixado no
objeto manipulado. A velocidade v−
i do objeto no(s)
ponto(s) de contato com o manipulador est´a relacio-nadas com vcatrav´es de:
vi−= Aivc, Ai= » I −Peic× 0 I – (35) onde Ai´e a transforma¸c˜ao que relaciona as
velocida-des dos sistemas de coordenadas do objeto ¯Ec e do
efetuador eido i-´esimo manipulador ¯Eei.
A velocidade relativa de cada ponto de contato pode ser parametrizada por um vetor velocidade wi
usando
vi−= vi++ H T
i wi, (36)
onde as colunas da matriz HT
i representam as dire¸c˜oes
livres para movimento nos pontos de contato. O Jacobiano anal´ıtico pode ser reescrito de ma-neira mais usual, empilhando-se os Jacobianos de cada cadeia cinem´atica aberta
» J1 0 0 J2 – | {z } J ˙θ =» v1+ v2+ – | {z } v+ , (37) ou, equivalentemente J ˙θ= v+. (38)
Assim, as rela¸c˜oes de cinem´atica diferencial podem ser reescritas como
v++ HTw= v−, v−= A vc. (39)
onde AT= [ AT
1 · · · ATm] possui posto completo.
Defi-nindo ˙θp= w, ´e poss´ıvel representar o sistema de uma
forma mais geral, conforme (5) e (6), atrav´es de (Wen and Wilfinger, 1999) ˜ Aˆ J HT ˜ | {z } JC » ˙θa ˙θp – = 0 , (40) A†ˆ J HT ˜ | {z } JA » ˙θa ˙θp – = vc , (41)
onde eA´e a matriz aniquiladora de A, tal que eAA= 0, e A†´e a pseudo-inversa de A tal que A†A= I. Note que,
a partir de (8) e utilizando-se JC e JA, a cinem´atica
diferencial do objeto ´e dada por vc= ¯J ˙θa. 5.3 Modelo de contato
As restri¸c˜oes do sistema devido aos pontos de contato s˜ao representadas apropriadamente atrav´es de uma matriz de sele¸c˜ao H. Essa matriz funciona como um tipo de filtro que aceita ou rejeita componentes de movimento no ponto de contato.
Considerando o exemplo apresentado na Figura 3 para o caso planar, um sistema de m´ultiplos robˆos com garras n˜ao permite movimentos de transla¸c˜ao e rota-¸c˜ao, que implica em H = 0. Por outro lado, para um sistema de m´ultiplos robˆos sem garras, pontos de con-tato com atrito podem ser considerados. Neste caso,
apenas o movimento angular entre o efetuador e ob-jeto s˜ao permitidos e a matriz de sele¸c˜ao H ´e dada por:
H =ˆ 0 0 1 ˜T . (42)
Alguns exemplos de outros tipos de contatos e valores da matriz de sele¸c˜ao H associados podem ser encontra-dos em (Murray et al., 1994; Wen and Wilfinger, 1999).
5.4 Singularidades
A configura¸c˜ao do manipulador, obtida em fun¸c˜ao dos ˆangulos das juntas θ, ´e dita ser singular se a ma-triz Jacobiana ¯Jn˜ao possui posto completo. A partir de (8) pode-se observar que quando o robˆo n˜ao est´a em uma configura¸c˜ao singular ´e poss´ıvel gerar veloci-dades e acelera¸c˜oes com o efetuador em determinadas dire¸c˜oes. Para analisar a rela¸c˜ao linear (8), o m´etodo da decomposi¸c˜ao em valores singulares (SVD) pode ser utilizada para obter o posto de ¯Je estudar mape-amentos quase-lineares (Chiaverini et al., 2008).
Neste contexto, a SVD do Jacobiano pode ser re-presentada por ¯J = U Σ VT = Pm
i=1σiuiviT, onde
U∈ Rm×m´e a matriz ortogonal dos vetores singulares
de sa´ıda ui, V ∈ Rn×n ´e a matriz ortogonal dos
veto-res singulaveto-res de entrada vi, e Σ ∈ (D0) ∈ Rm×n´e a
matriz cuja sub-matrix diagonal D ∈ Rm×m cont´em
os valores singulares σida matriz Jacobiana ¯J.
Consi-derando que rank( ¯J) = k tem-se: (i) σ1 ≥ σ2≥ · · · ≥
σr≥ σk+1= ... = 0 , (ii) R( ¯J) = span{u1,· · · , uk} e
(iii) N ( ¯J) = span{vk+1,· · · , vn}, onde R( ¯J) denota
o espa¸co imagem de ¯J e N ( ¯J) denota o espa¸co nulo de ¯J. Ent˜ao, a seguinte an´alise em fun¸c˜ao do posto de
¯
Jpode ser estabelecida:
posto completo (k = m): (i) σi6= 0 , i = 1, · · · , m ,
(ii) R( ¯J) ∈ Rm, (iii) N ( ¯J
) ∈ Rn−m.
posto deficiente (k < m): (i) σi6= 0 , i = 1, · · · , k , (ii)
R( ¯J) ∈ Rk⊂ Rm, (iii) N ( ¯J
) ∈ Rn−k.
Uma interpreta¸c˜ao desta an´alise em termos de veloci-dades ´e apresentada a seguir (Chiaverini et al., 2008): Velocidades fact´ıveis: A cada configura¸c˜ao do mani-pulador, R( ¯J) ´e o conjunto de velocidades do efetu-ador que podem ser obtidas como resultado de todas as poss´ıveis velocidades das juntas ˙θ e s˜ao denomina-das de velocidades fact´ıveis do efetuador. A base de R( ¯J) ´e obtida pelos primeiros k vetores singulares de sa´ıda, que representam as combina¸c˜oes lineares independentes de componentes das velocidades do efetuador. Ent˜ao, o efeito de uma singularidade ´e diminuir a dimens˜ao de R( ¯J), eliminando uma com-bina¸c˜ao linear das componentes das velocidades do efetuador do espa¸co das velocidades fact´ıveis. Velocidades do espa¸co nulo: A cada configura¸c˜ao do manipulador, N ( ¯J) ´e o conjunto de velocidades das juntas ˙θ que n˜ao produzem velocidade no efetuador, e s˜ao denominadas velocidades do espa¸co nulo. A base N ( ¯J) ´e dada pelos ´ultimos n − k vetores sin-gulares de entrada, que representam as combina¸c˜oes lineares independentes de velocidades de cada junta. O efeito de uma singularidade ´e aumentar a dimen-s˜ao de N ( ¯J) introduzindo mais uma combina¸c˜ao li-near independente das velocidades das juntas que n˜ao produzem velocidades no efetuador.
5.5 Controle Cinem´atico
A abordagem de controle cinem´atico pode ser uti-lizada para modificar ambas as posturas dos robˆos ma-nipuladores a fim de realizar uma determinada tarefa de manipula¸c˜ao com o objeto de interesse. Considere que o objetivo de controle ´e conduzir a configura¸c˜ao atual do objeto xc para uma configura¸c˜ao desejada
variante no tempo xcd(t), isto ´e
xc→ xcd(t) , ec= xcd(t) − xc→ 0 , (43)
onde ec ´e o erro de postura do objeto. Considerando
o problema de controle cinem´atico diferencial do me-canismo super-atuado (ne> nt = 1), a velocidade da
junta ativa ´e equivalente ao sinal de controle, ou seja, ˙θa= u. O esquema de controle proposto consiste em
comandar as velocidades das juntas ativas do sistema de m´ultiplos robˆos ˙θaa fim de alcan¸car o objetivo de
controle (43).
Considerando a cinem´atica diferencial de um me-canismo atuado vc= ¯J ˙θacom ne= nt, as velocidades
das juntas podem ser obtidas a partir da simples in-vers˜ao da matriz Jacobiana ¯Jcomo ˙θa= ¯J−1v, onde v
´e uma lei de controle cartesiana. Por outro lado, para um mecanismo redundante onde ne> nt, a mesma
re-la¸c˜ao ´e reescrita de maneira gen´erica como (Sciavicco and Siciliano, 2000; Chiaverini et al., 2008):
˙θa= ¯J†v+ (I − ¯J†J)¯
| {z }
P
˙θa0, (44)
onde P representa a matriz de proje¸c˜ao ortogonal no espa¸co nulo de ¯J e ˙θa0 ´e um vetor arbitr´ario de ve-locidade das juntas θa. Note que, o lado direito de
(44) pode ser interpretado como uma velocidade do espa¸co nulo cujo efeito ´e gerar movimentos internos. Ent˜ao, a partir de uma lei de controle tipo feedforward e proporcional
u= ¯J†( ˙xcd+ Kxec) + (I − ¯J†J) ¯¯ u , (45)
onde ¯u´e um sinal de controle auxiliar, a dinˆamica do erro de postura do objeto ´e governada por ˙ec+Kxec=
0, uma vez que o lado direito de (45) ´e projetado no espa¸co nulo de ¯J. Portanto, para uma escolha apro-priada de Kxcomo uma constante positiva tem-se que
limt→∞ec(t) = 0.
O controle auxiliar ¯upode ser escolhido a fim de melhorar o desempenho do mecanismo para a execu-c˜ao da tarefa. Uma escolha t´ıpica ´e:
¯ u= ¯K „∂f(θ a) ∂θa «T , (46)
onde ¯K >0 ´e uma fator de ganho e f (θa) ´e uma func˜ao
objetivo2 das vari´aveis das juntas ativas, que pode ser
escolhida para satisfazer a um determinado ´ındice de desempenho. Alguns exemplos t´ıpicos s˜ao:
Manipulabilidade: f (θa) =
p
det( ¯J ¯JT).
Limite das juntas: f (θa) = −2n1 Pni=1
“ θ ai− ¯θai θaMi−θami
” , θami< θai< θaMi, onde θaMie θamidenotam o limite m´aximo e m´ınimo das juntas respectivamente, e ¯θai ´e a m´edia geom´etrica entre θaMi e θami.
2f(·) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, diferenci´avel, suave e convexa.
Distˆancia de obst´aculos: f (θa) = min kp(θa) − pok,
onde po´e vetor posic˜ao de um ponto adequadamente
fixado sobre o obst´aculo e p ´e o vetor posic˜ao de um ponto gen´erico ao longo da estrutura do mecanismo.
6 Resultados de Simula¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao, s˜ao apresentados alguns resultados de simula¸c˜ao obtidos a partir de um mecanismo 4-bar linkage e uma plataforma de Gough-Stewart planar. As dimens˜oes estruturais adotadas s˜ao: l0= 1 m, l1=
1.2 m, l2= 1.4 m, l3= 0.6 m, l4= 1.4 m e l = 5 m.
Para os comprimentos liadotados θ1∈ [ 0.72 2.27 ] rad
e φ ∈ [ 5.88 7.89 ] rad. Os parˆametros de controle s˜ao: Kφ= 50 rad s−1, kp= 50 mm s−1 e kφ= 1 rad s−1.
A evolu¸c˜ao no tempo do erro de orienta¸c˜ao do mecanismo 4-bar linkage para as referˆencias trem de pulso e sonoidal ´e apresentado nas Figuras 4b e 4d res-pectivamente. As Figuras 5b e 5c ilustram a evolu¸c˜ao no tempo do erro de posi¸c˜ao e do erro de orienta¸c˜ao da plataforma de Gough-Stewart em fun¸c˜ao de uma trajet´oria de referˆencia senoidal. O rastreamento de trajet´oria ´e ilustrado nas Figuras 4a, 4c e 5a, onde pode-se observar que um desempenho satisfat´orio foi obtido atrav´es da metodologia proposta.
0 5 10
6.5 7 7.5
(a) orientação do efetuador
(s) (rad) φd φ 0 5 10 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 (b) erro de orientação (s) (rad) 0 5 10 6 6.5 7 7.5 (c) orientação do efetuador (s) (rad) 0 5 10 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 (d) erro de orientação (s) (rad) φd φ
Figura 4: Resultados de simula¸c˜ao para o mecanismo 4-bar linkage. 10 12 14 16 18 10 11 12 13 14 15 16 17 18
(a) posição da plataforma
X (m) Y (m) p pd 0 5 10 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 (s) (m) (b) erro de posição e p x e p y 0 5 10 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 (c) erro de orientação (s) (rad)
Figura 5: Resultados de simula¸c˜ao para a plataforma de Gough-Stewartplanar.
7 Conclus˜oes e Trabalhos Futuros Este trabalho apresenta uma metodologia de con-trole para sistemas rob´oticos com restri¸c˜oes cinem´ ati-cas, baseada em um esquema proposto recentemente na literatura. A id´eia principal ´e considerar as res-tri¸c˜oes cinem´aticas dos mecanismos a partir de suas equa¸c˜oes estruturais, ao inv´es de utilizar explicita-mente a equa¸c˜ao de restri¸c˜ao. Resultados de simu-la¸c˜ao obtidos a partir dos modelos cinem´aticos de um mecanismo 4-bar linkage e de uma plataforma de Gough-Stewart planar ilustram o desempenho e a via-bilidade da metodologia apresentada.
Alguns t´opicos de pesquisa, aplicados `a mecanis-mos paralelos e robˆos redundantes, que podem ser in-vestigados a partir das ideias apresentadas neste tra-balho s˜ao: considerar o problema de controle dinˆ a-mico, avaliar a possibilidade de aplica¸c˜ao da teoria dos helic´oides (Ribeiro et al., 2008) para o tratamen-tos das restri¸c˜oes cinem´aticas e desenvolver estrat´egias para evitar obst´aculos e configura¸c˜oes singulares.
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