UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CAMPUS DE ARAPIRACA
MATEMÁTICA - LICENCIATURA
ANA PAULA FERREIRA LIMA
GEOMETRIA ESPACIAL: ANÁLISE DE LIVRO DIDÁTICO COM BASE NOS ESTUDOS DA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
ARAPIRACA 2019
Ana Paula Ferreira Lima
Geometria espacial: Análise de livro didático com base nos estudos da teoria dos registros de representação semiótica
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura da Universidade Federal de Alagoas - UFAL, Campus de Arapiraca, como requisito parcial à obtenção do grau de Licenciada em Matemática.
Orientadora: Prof.ª Ma. Vanessa da Silva Alves
Arapiraca 2019
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por sua presença constante em minha vida, por não me deixar desistir de lutar pelos meus sonhos, mesmo quando tudo parece não dar certo ele está comigo e me dar forças para continuar lutando.
Agradeço a família maravilhosa que tenho, em especial pelos meus pais, Vanildo e Joseana que são pessoas incríveis que me apoiaram na decisão de seguir meus estudos, sempre me deram força e lutaram para me dar condições de continuar estudando. Sem o incentivo deles nada teria acontecido, não teria entrado na graduação. Obrigada Pai e Mãe!
A Raul que foi um anjo da guarda que Deus colocou no meu caminho, talvez sem a ajuda dele não tivesse conseguido chegar aqui.
Agradeço aos meus amigos de curso, em especial aos meus amigos da turma, pessoas incríveis, corajosas. Uma turma maravilhosa que unida conseguiu vencer todos os obstáculos um dando apoio ao outro, incentivando e não deixando o outro desistir de lutar até o último minuto. Então um muito obrigado especial também vocês meus amigos Vanessa Murici, Priscila, Jemerson, Rodolfo, Kelvin, Lucas, Sheyla, Sebastião, Lindinês, Vanessa Kaline, Ricardo, Fernando, Alan, Rodrigo Galdino. Seria injusta se não deixasse um agradecimento especial a Viviane que foi com quem tive primeiro contato na turma, conversa, estudo. Tempos depois vieram Robério e minha querida amiga Joyce inseparáveis, em todos os momentos junto comigo e Rodrigo Costa alguém especial, que me ajudou muito no curso, nos estudos, me dando força, me incentivando, Joyce e Rodrigo sempre com palavras de apoio que não me faziam desistir diante dos obstáculos. Foram vividos momentos especiais com cada um de vocês, de alegria, preocupação, de loucura, de estudo, que não serão esquecidos. Obrigada minha turma querida por cada momento!
A minha orientadora Professora Ms. Vanessa Alves, que me apoiou e acreditou no meu trabalho. Agradeço por me ensinar, por compartilhar seu conhecimento, comprometida com seu trabalho, dedicada e muito competente não seria diferente para a pessoa que és admirável. Aos membros da banca professor Fábio Boia e professor José Barros que aceitaram o convite feito e fazem parte dessa caminhada.
Aos professores que fizeram parte da minha trajetória acadêmica, cada um teve um papel importante na minha formação, pelo comprometimento de cada um com seu trabalho.
Obrigada a cada um que com uma palavra de conforto e incentivo tornou essa caminhada difícil, em momentos de aprendizado.
RESUMO
O presente trabalho apresenta uma análise do conteúdo de Geometria Espacial de livro didático de matemática. O objetivo do trabalho é a partir da teoria dos Registros de Representação Semiótica, abordada por Reymond Durval, no que diz respeito à geometria, analisar quais especificidades da teoria são abordadas nos livros didáticos analisados. Uma questão que se busca estudar é quanto o conteúdo de Geometria espacial abordado no livro didático contempla aspectos da Teoria de Representação Semiótica. Como base para o trabalho buscamos pesquisar sobre o ensino de matemática no Brasil desde o Brasil colonial (1500-1822) até o Movimento da Matemática Moderna onde tivemos as maiores mudanças. Como faremos análise de livro didático, o estudo aborda a história do programa de livro e busca em documentos importantes para o ensino tais como os Parâmetros Curriculares Nacionais, o Guia de Livro Didático, respostas sobre o uso do livro e sua importância para o ensino e aprendizagem. A fundamentação teórica, é baseada em estudos de Reimond Durval sobre a teoria, e análise de alguns trabalhos voltados ao estudo da Geometria com base na Teoria de Representação Semiótica. Na análise dos livros buscou-se descrever sob o olhar da teoria o que se passa em cada conteúdo de geometria abordado. Por fim, nas considerações finais analisamos tudo o que coletamos nos exemplares buscando identificar pontos positivos na abordagem do conteúdo e pontos em que há a falta elementos que, se acordo com a teoria, é importante para a aprendizagem do indivíduo.
Palavras-chave: Geometria espacial. Representação Semiótica. Livro Didático. Ensino de Geometria.
ABSTRACT
The present work presents an analysis of the contents of Spatial Geometry of didactic textbook of mathematics. The objective of the work is to look at the theory of Registers of Semiotic Representation, addressed by Reymond Durval, regarding geometry and analyze what specificities of the theory are addressed in the textbooks analyzed. One question that we seek to study is how much of the content of Spatial Geometry addressed in the textbook contemplates aspects of the Theory of Semiotic Representation. As a basis for this work we seek to research on the teaching of mathematics in Brazil from colonial Brazil (1500-1822) to the Modern Mathematics Movement where we had the greatest changes. As we will do analysis of textbook we go a little through the history of the book program and we look for important documents for teaching National Curriculum Parameters, Guide of Didactic Book search answer on the use of the book and its importance for teaching and learning. As a theoretical basis, we use Reimond Durval's studies on the theory, and analysis of some works aimed at the study of Geometry based on Semiotic Representation Theory. In the analysis of the books he sought to describe under the gaze of theory what happens in each content of geometry addressed. Finally, in the final considerations, we analyze everything we collect in the copies, seeking to identify positive points in the content approach and points where there is a lack of elements whose theory is important for the individual's learning.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Apresentando as formas Geométricas ... 37
Figura 2 - Exercícios ... 38
Figura 3 - Explanação de sólidos geométricos ... 39
Figura 4 - Exercício que pode ser utilizado para a conversão ... 39
Figura 5 - Exercício de conversão planificação=> representação no plano ... 40
Figura 6 - Exercício de conversão representação no plano => planificação ... 40
Figura 7 - Sólidos geométricos ... 41
Figura 8 - Exercício de associação ... 42
Figura 9 - Exercício de identificação dos elementos do sólido ... 42
Figura 10 - Exercício de associar sólido a sua planificação ... 43
Figura 11 - Exercício de associação ... 43
Figura 12 - Apresentando sólidos geométricos espaciais ... 45
Figura 13 - Exercícios de poliedros e não poliedros ... 46
Figura 14 - Poliedros e seus elementos ... 47
Figura 15 - Exercícios de poliedros ... 48
Figura 16 - Relação entre vértice, face e arestas ... 49
Figura 17 - Exercícios de conversão ... 50
Figura 18 - Contexto: objetos do mundo real e a matemático ... 50
Figura 19 - Exercício de cálculo de volume ... 51
Figura 20 - Exercício de cálculo de área com conversão planificação=> representação no plano ... 52
Figura 21 - Apresentando cálculo de volume ... 53
Figura 22 - Exercício de cálculo de volume e mudança de unidade de medida ... 53
Figura 23 - Exercício trabalhando noção de espaço e medida ... 54
Figura 24 - Volume do paralelepípedo ... 55
Figura 25 - Exercício de cálculo do volume ... 56
Figura 26 - Exercício de conversão: Cálculo de capacidade e medida ... 57
SUMARIO
1 INTRODUÇÃO ... 8
1.1 Descrição dos capítulos do trabalho... 9
1.2 Objetivos ... 10
2 UM RECORTE HISTÓRICO ... 11
2.1 Sobre o ensino de matemática no Brasil ... 11
2.2 Brasil Colonial (1500-1822)... 11
2.3 Brasil Império (1822-1889) ... 13
2.4 Brasil República (A Partir de 1889) ... 14
2.5 Sobre o ensino de Geometria no Brasil ... 17
3 O LIVRO DIDÁTICO... 21
3.1 O Programa Nacional de Escolha do Livro Didático ... 21
3.2 O papel do livro didático para o ensino ... 23
4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 25
4.1 A Teoria dos Registros de Representação Semiótica ... 25
4.2 O Ensino de Geometria e os Registros de Representação Semiótica ... 28
4.3 Analisando Trabalhos Anteriores ... 32
5 METODOLOGIA ... 35
5.1 Análise do livro didático... 37
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 59
1 INTRODUÇÃO
O ensino de matemática no Brasil passou por muitas mudanças, e estudos mostram que desde o Brasil colonial o ensino de matemática não era tão valorizado, de modo que não era a área de ensino mais procurada, assim como também não existia uma estruturação como conhecemos atualmente. Nos tempos antigos não existia a disciplina de matemática, existiam campos de estudos da matemática. A aritmética, a álgebra e a geometria eram as disciplinas matemáticas, pouco procurada e explorada por alunos. Com as diversas reformas pelas quais o ensino no Brasil passou, as disciplinas matemáticas foram unificadas e se tornaram a disciplina de matemática como concebida nos dias atuais.
A geometria era a parte da matemática menos explorada, apesar da importância dada ao conhecimento que ela promove a sociedade. Desde os tempos antigos ela é utilizada como instrumento para o ser humano se situar no mundo que vive, oferecendo um parâmetro de localização, sentido, direção, formas dos objetos, construções, entre outros. Tudo isso evidencia a importância do estudo da geometria, porém apesar disso ela ainda continua sendo pouco explorada no ensino de matemática.
Para alguns pesquisadores existe um abandono do ensino de geometria. Por mais que ela esteja presente nos livros e apareça em projetos, sua realização no ensino não é bem explorada e estudada. Encarando a geometria como um instrumento importante para compreendermos o espaço em que vivemos, ela desperta no ser humano o raciocínio visual e ainda é facilitadora para a compreensão e resolução de problemas.
Vendo a importância que o estudo da geometria tem e observando que mesmo estando nos livros didáticos, ela aparece solta entre os exemplares distribuídos para o alunado, principalmente a geometria espacial, observa-se que a geometria plana é mais explorada nos livros, na sala de aula enquanto que a geometria espacial não é tão abordada. Pensando nisso, buscou-se no presente estudo, procurar caminhos e analisar porque isso acontece e como o livro didático aborda o conteúdo de geometria espacial. Buscou-se então, focar essa pesquisa na análise de livros didáticos, utilizando estudos de Duval (2003) sobre representação semiótica, com propósito de investigar como está apresentado tal conteúdo nos livros, levando em consideração também o que segundo consta no PCN, Parâmetros Curriculares Nacionais. “Não possuindo a oportunidade e condições para aprimorar sua formação e não dispondo de outros recursos para desenvolver as práticas da sala de aula, os professores apoiam-se quase exclusivamente nos livros didáticos, que, muitas vezes, são de qualidade insatisfatória” (PCN, 1998, p. 21-22).
Sendo assim o professor se apega ao livro como único recurso de ensino, o que acarreta, muitas vezes, na falta de aprendizado do aluno. A partir disso temos algumas questões sobre tal abordagem, que pretendem ser resolvidas no decorrer do trabalho.
Sob o olhar da teoria de representação semiótica: Como é introduzido tal conteúdo?
Quais registros da geometria espacial são trabalhados no livro didático? Que tratamentos são trabalhados?
As conversões, articulações ocorridas entre os diferentes registros, são trabalhadas? Quais são as mais frequentes?
Segundo Duval (2003), a aprendizagem em geometria favorece três formas diferentes do pensamento cognitivo: a visualização, a construção e o raciocínio. Sendo elas, pontos importantes no ensino aprendizagem de geometria. Para que a aprendizagem na matemática se realize é preciso que o individue saiba utilizar os diferentes tipos de registros para o mesmo objeto, pois a abstração só se dá quando ele consegue transitar entre os diferentes registros de representação. Na geometria um ponto importante que deve ser destacado é que é de suma importância abordar ao mesmo tempo o registro figural e discursivo para que o indivíduo possa ligar as duas formas de registro.
1.1 Descrição dos capítulos do trabalho
O capítulo 1 traz um recorte histórico do ensino de matemática no Brasil desde a Brasil colônia até o movimento da matemática moderna para chegar ao que conhecemos atualmente. Traz ainda uma pequena abordagem do ensino de geometria no Brasil, sua importância e como vem sendo abordado desde os tempos antigos.
O capítulo 2 contempla uma discussão acerca do livro didático, trazendo um recorte histórico dos programas do livro até chegar na fase atual do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). Buscando ainda nesse capítulo, pesquisar e esclarecer sobre a importância do livro didático para o ensino e aprendizagem da matemática.
O capítulo 3 delimita a metodologia, especificando quais livros foram analisados, os exemplares, de que editora e de que localidade e como foram adquiridos. Tratando ainda, de como será feita a análise dos livros didáticos, o que será observado, os tipos de registro, tratamento e conversão. Ainda nesse capítulo, será detalhada a análise desenvolvida, pontuando tudo o que foi constatado.
O capítulo 4 inclui as considerações finais, trazendo uma visão geral do que foi apresentado no trabalho e quais as conclusões acerca do que foi analisado nos livros didáticos com base na teoria de representação semiótica.
1.2 Objetivos
Almejando despertar com este trabalho o interesse no estudo do livro didático enquanto uma ferramenta de ensino importante, buscou-se analisar como, não somente o conteúdo de geometria é abordado, mas como os diversos conteúdos abordados no estudo de matemática estão sendo utilizados nos livros didático, seja um estudo sob o enfoque na teoria de representação semiótica ou baseado num estudo de outra teoria, mas que tenha o intuito de buscar melhorias para o ensino. Espero que este trabalho sirva de fonte de pesquisa para outros trabalhos na área e que seja um conhecimento partilhado e aproveitado por quem procura por trabalhos que tragam o enfoque sobre o livro didático e o ensino de geometria voltado para análise do livro didático e a teoria de Representação Semiótica.
2 UM RECORTE HISTÓRICO
As formas de ensino sofreram diversas transformações ao longo dos séculos, diante disso, é importante que para contemplar os objetivos do presente estudo, seja desenvolvido um estudo cronológico de como foi se desenvolvendo o ensino de matemática no Brasil, dedicando ainda, um tópico especifico acerca do ensino de geometria no país.
2.1 Sobre o ensino de matemática no Brasil
A matemática como conhecemos atualmente nem sempre foi apresentada assim, mas é resultado de por constantes mudanças no decorrer dos anos, tanto em sua representação quanto em seu ensino. Ela foi utilizada durante muitos séculos apenas como recurso para a sobrevivência humana, mas sempre esteve em constante evolução, se adaptando as necessidades sócias que se modificavam a cada século.
Nesta seção é desenvolvida uma abordagem histórica do desenvolvimento do ensino de matemática no Brasil nos diferentes períodos que compõe a história do país. Começando pelo período Colonial e passando pelo Império e República, até chegar no período do Movimento da Matemática Moderna, que foi o movimento que teve maior destaque na história da disciplina. Ainda serão realizadas breves abordagens das reformas de maior destaque no ensino da matemática no Brasil, pois foi por conta dos diversos movimentos de transformação e de pessoas que lutavam por mudanças na educação, que conhecemos e vivenciamos a matemática como ocorre nos dias atuais.
2.2 Brasil Colonial (1500-1822)
Desde o início das civilizações, com a construção das escolas e estruturação do ensino, a educação na maioria das civilizações era oficio de padres e sacerdotes. No Brasil não foi diferente. No início a educação era restrita, de modo que ensinar era privilegio dos padres da companhia de Jesus. “O primeiro grupo de jesuítas chegou ao Brasil em 1549, junto com o primeiro governador-geral, Tomé de Souza. Esses seis padres, liderados pelo padre Manuel da Nóbrega, foram os responsáveis pela criação da primeira escola elementar, na cidade de Salvador” (GOMES, 2012, p.14). Com o tempo a educação jesuíta foi crescendo, espalhando escolas elementares e colégios por vários locais do Brasil.
O ensino nesses dois estabelecimentos era diferenciado. No que diz respeito ao ensino das matemáticas nas escolas elementares, ele ocorria a partir do “ensino da escrita dos números no sistema de numeração decimal e o estudo das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números naturais”. Já o ensino nos colégios “era de nível secundário e privilegiava uma formação em que o lugar principal era destinado às humanidades clássicas” (EVANGELISTA, 2014, p.18-19). Foi uma época em que o ensino das matemáticas era pouco valorizado e o latim tinha maior destaque. Apesar de pesquisadores confirmarem que nas bibliotecas dos colégios jesuítas teriam muitos livros de matemática, os estudos nessa área do conhecimento não recebiam grande atenção.
Segundo Miorim (2017), o estudo da matemática seria mais explorado no ensino superior, mesmo assim sempre com baixa valorização. No curso de filosofia, onde se estudava as matemáticas, os programas das escolas jesuítas, conforme reformas feitas ao longo dessa fase, se distribuía inicialmente nos três anos de curso. Posteriormente, passou a ser estudada a partir do segundo ano do curso, pois os jesuítas não gostavam dessa área do conhecimento pois consideravam que o ensino das matemáticas era inútil.
Gomes (2012) relata que em 1759 os jesuítas foram expulsos das colônias pelo Marquês de pombal Sebastião de Carvalho e Melo. Neste momento o ensino no Brasil sofria um grande impacto já que os jesuítas eram os responsáveis pela maior parte das escolas elementares e colégios espalhados pelo país, de modo que restaram poucas instituições de ensino dirigidas por outras ordens religiosas e militares. Entretanto, a partir de 1772 eram criadas pela reforma pombalina as chamadas “aulas regias - aulas de disciplinas isoladas- que tinham como objetivo o preenchimento da lacuna deixada” (MIORIM, 1995, p.166), onde as disciplinas eram ensinadas isoladamente. Essa reforma introduziu as novas disciplinas matemáticas. Porém as disciplinas matemáticas: aritmética, álgebra e geometria não eram destaques na procura por seu ensino. Esse foi um período em que os estudos matemáticos foram pouco explorados, como destaque para tal fato temos no início a resistência dos jesuítas, com as aulas regias. A matemática era uma área de estudo pouco valorizada, havia dificuldade de encontrar professor e este era um curso de pouca procura por parte de alunos.
Em 1798 a criação do Seminário de Olinda pelo bispo de Pernambuco, Dom Azevedo Coutinho, foi um marco importante e de destaque no século XVII para a matemática. De modo que “essa instituição, que funcionou a partir de 1800 e não formava somente padres, tornou-se uma das melhores escolas secundárias do Brasil. Ela conferiu importância ao ensino dos temas matemáticos e científicos” (GOMES, 2012, p.15).
2.3 Brasil Império (1822-1889)
No período imperial, o ensino no Brasil teve um olhar de D. Pedro I para a criação de uma legislação especial que tratasse da instrução pública, com base em uma Constituição. Em 1824 se afirmava que a gratuidade da instrução primaria deveria ser um direito de todos os brasileiros. Mas só em 1827 após diversos debates, a assembleia legislativa votou em favor da primeira lei de instrução pública nacional, determinando que houvesse escolas para tal instrução espalhadas por toda parte do país. Gomes (2012) destaca ainda que a lei diferenciava a educação de meninos e meninas quanto aos conteúdos ensinados e que as escolas eram separadas por sexo.
No ensino para os meninos as demandas eram “ler, escrever, as quatro operações aritméticas, prática de quebrados, decimais e proporções, noções gerais de geometria, gramática da língua nacional, moral cristã e doutrina católica”. Já o ensino nas escolas femininas “seriam dirigidas por professoras e em seu currículo eliminava-se a geometria e a prática de quebrados, incluindo-se o ensino de práticas importantes para a economia doméstica” (GOMES, 2012, p.15-16). Sendo verificado que na verdade o que existia na verdade era um ensino maquiado para as mulheres em um processo discriminatório entre os sexos, a partir da certeza do homem de que a mulher não era digna de obter conhecimento, mas que deveria ser preparada apenas para o lar. De modo que a exclusão faz parte da história da educação, pois além do preconceito de gênero, ainda excluía índios e negros do direito à educação, pois acreditava-se que para eles o ensino era dispensável.
As escolas de ensino secundário no século XIX tinham segundo Miorim (1995, p.170), “como objetivo comum a preparação dos alunos para o ingresso nas academias militares e escolas superiores”. Esse caráter preparatório dessas escolas traria como consequência “o oferecimento apenas das matérias exigidas pelos exames de seleção das escolas superiores. Como as exigências eram ainda em grande parte restrito aos estudos humanísticos, as disciplinas matemáticas ficariam, na maior parte das vezes, limitada ao estudo da aritmética e da geometria” (MIORIM, 1995, p.171). Pois continuava a baixa na procura por essas aulas.
O quadro do ensino secundario no Brasil passa a mudar com a criação do Colegio Pedro II, em 1837. Com uma estrutura influenciada pelos modelos de educação dos franceses. O colégio oferece uma nova etapa a educação, mas ontinuaria predominando as disciplinas clássico humanista. As matemáticas, que eram as disciplinas de Aritmética, Álgebra, Geometria, e posteriormente a Trigonometria. Apesar do predomínio das disciplinas literárias
e humanistas, as matemáticas estavam presentes em todas as séries do curso do Colégio Pedro II e em todas as várias reformas que modificaram o seu plano de estudos ao longo do tempo. (GOMES, 2012, p.16) O colégio Pedro II trouxe muitas mudanças para a educação no Brasil e para o ensino de matemática que até então era desvalorizado e pouco explorado. Tornou-se uma referência no ensino secundário no Brasil.
2.4 Brasil República (A Partir de 1889)
A República foi um período de muitas mudanças para a educação no Brasil. Foi durante esse período que ocorreram muitas reformas no ensino. A primeira reforma pela qual o ensino no Brasil passou veio com a criação do Colégio Pedro II. Uma proposta do colégio Pedro II “trazia alterações na seriação do curso secundário e propunha uma radical mudança para os programas do ensino de matemática” (MIORIM, 1995, p.181). Propostas essas defendidas pelo movimento internacional de modernização do ensino de matemática. O maior defensor dessas ideias era o professor Euclides Roxo, grande defensor das ideias modernizadoras e responsável pela proposta de modernização do ensino no Brasil. O professor “foi o responsável direto pela reforma que originou o primeiro o programa de Matemática brasileiro para o ensino secundário (a 1ª série do ensino secundário, da época, equivale à 5ª série de hoje e assim sucessivamente totalizando 7 anos divididos em dois ciclos: o 1º de 4 anos e o 2º de 3 anos) ” (WERNECK, 2003, apud BERT, 2005, p.7). Ainda segundo Bert (2005), foi Euclides Roxo que trouxe a proposta de unificação das disciplinas matemáticas.
O plano de Roxo era introduzir suas propostas gradativamente no ensino, para que as transformações que ocorreriam no ensino acontecessem pausadamente, sem transtornos. Porém, seu plano foi interrompido com a reforma Francisco Campos, que com um decreto em 1931, “criou o programa nacional do ensino de matemática acatando todas as propostas de Euclides Roxo” (BERT, 2005, p.8). Na reforma Francisco Campos trazia uma proposta curricular para além de uma listagem de conteúdos a serem seguidos, mas trazia como deveriam ser ensinados na escola secundaria.
O ensino da Matemática tem por fim desenvolver a cultura espiritual do aluno pelo conhecimento dos processos matemáticos, habilitando-o, ao mesmo tempo, à concisão e ao rigor do raciocínio pela exposição clara do pensamento em linguagem precisa. Além disso, para atender ao interesse imediato da sua utilidade e ao valor educativo dos seus métodos, procurará, não só despertar no aluno a capacidade de resolver e agir com presteza e atenção, como ainda favorecer lhe o desenvolvimento da capacidade de
compreensão e de análise das relações quantitativas e espaciais, necessárias às aplicações nos diversos domínios da vida prática e à interpretação exata e profunda do mundo objetivo (GOMES, p.19, 2012).
Ainda de acordo com Gomes (2012), a proposta traz o abandono do ensino sistematizado, e propõe fazer do aluno um descobridor de conhecimento capaz de raciocinar. A reforma deixou o ensino de matemática mais presente durante as etapas de ensino da época. Porém, nem todos aprovaram essas mudanças, existiram opiniões contrarias à reforma, pois professores da época tiveram dificuldades na adaptação, principalmente pela falta de livros didáticos voltados para as novas diretrizes do ensino. Além disso, entre os críticos à reforma, estavam defensores do ensino mais tradicionalista que valorizava o latim e acreditavam que a reforma trazia mais conteúdos, como a fusão das disciplinas de matemática e rebaixavam o ensino tradicional.
Com a chegada de Benjamin Constante tivemos mais uma reforma do ensino que se referia a instrução publica de nível primário e secundário no Distrito Federal, que até então era situado no Rio de Janeiro.
A lei buscava romper com a tradição humanista e literária do ensino secundário pela adoção de um currículo que privilegiava as disciplinas científicas e matemáticas A Matemática era tida como a mais importante das ciências no ideário positivista do filósofo francês Auguste Comte (1798-1857), ao qual aderiram Benjamin Constant e o grupo de militares brasileiros que liderou a proclamação da República (GOMES, 2012, p.17)
Entre as propostas da reforma estava a de separar o ensino em séries, e cada sala ficaria com uma série e um professor para cada turma. Desse modo, o ensino começava a se moldar chegando perto de como se encontra nos dias atuais.
Tudo começou em 1934, quando Gustavo Capanema (1900-1985) assume o Ministério da Educação e Saúde. Sua intenção de trazer melhorias ao ensino o fez seguir um caminho diferente, ao buscar “sugestões” para elaborar um plano de ensino. Ele recolheu essas informações distribuindo um questionário no qual continham diversos aspectos de ensino. Dentre esses um despertou a atenção de muitos professores da época. “Qual orientação deveria ser dada no ensino secundário” (ROCHA; DASSIE, p.6). Ainda segundo os autores, para debater esse problema, a Associação Brasileira de Educação, entre maio e agosto de 1937, promoveu uma série de conferências sobre a temática. Entre os conferencistas estava Euclides Roxo, que teve a oportunidade de apresentar qual era sua proposta para o ensino de matemática no ensino secundário.
Depois de anos de pesquisa e análise dos dados coletados, Gustavo Capanema redige a lei orgânica do ensino secundário, que foi promulgada em 1942. Com essa lei o
ensino secundário “foi organizado em dois ciclos: o ginasial, de quatro anos, e o colegial, de três anos, nas modalidades clássico e científico. Criou-se o ramo secundário técnico-profissional, subdividido em industrial, comercial e agrícola, além do normal, para formar professores para a escola primária” (GOMES, 2012, p.21).
Para Bert (2005), a reforma Capanema foi uma resposta à reforma Francisco Campos. O programa de matemática teve um recuo ao ensino tradicionalista, como era defendido por alguns professores da época. A única coisa que se manteve das propostas de Euclides Roxo foram as orientações metodológicas para os programas do curso ginasial.
O parecer dos militares foi decisivo para que houvesse um recuo de Euclides Roxo em relação à fusão das partes da matemática em uma única disciplina. Esse recuo pode ser sentido nos programas para o curso ginasial, por ele apresentado, em 20 de maio de 1942. Neles, pode-se notar uma diferença marcante em relação aos programas implantados pela Reforma Francisco Campos no curso fundamental. Isso porque, os conceitos aritmético, algébrico e geométrico foram destacados, dando a entender que, na realidade, não ocorreria o ensino simultâneo dos diversos ramos da matemática, mas sim, que seriam ministradas mais de uma disciplina por série: aritmética, álgebra e geometria (DASSIE; ROCHA, 2003, p.7)
Antes de falarmos do movimento da matemática moderna não deixaremos de destacar o movimento Escola Nova, que trazia como princípios e objetivo “o princípio da atividade e o princípio de introduzir nas escolas situações da vida real” (MIORIM, 1995, p.179). Ainda segundo a autora, esses principios trariam mundanças no ensino dos anos iniciais, principalmente no ensino da matemática. As escolas secundarias continuariam a seguir seu ensino tradicional, não seriam adeptas do modo de ensino dos escolonovistas, porém as mudanças causadas pelo movimento no ensino dos anos iniciais não deixariam de trazer reflexos para o ensino secundário e principalmente no de matemática.
Após a reforma Capanema o ensino no Brasil passaria a ter novas e mais significativas mudanças a partir do fim da década de 50, quando começaram a surgir congressos com encontros de professores de matemática e onde teve início o Movimento da Matemática Moderna. Com o avanço da tecnologia russa, os Estados Unidos tomaram providencias para mudar o ensino de matemática com finalidade de recuperar essa desvantagem.
A origem do movimento estava ligada à necessidade de uma reflexão e fundamentação acerca de vários conceitos e teorias novas que haviam surgido durante o longo período de experimentação dos estudos matemáticos, especialmente daqueles ligados à mecânica e à astronomia (BERT, 2005, p.9).
Não se pode deixar de destacar que essa mudança proposta parece mais um ato de egoísmo que de preocupação com o ensino, afinal, estaríamos retrocedendo à época em que o ensino era mecanizado e voltado apenas para interesses políticos e econômicos, mais uma vez de uma pequena minoria privilegiada. Mas era também, o início de um novo ciclo para a educação no Brasil.
Começava a se organizar congressos voltados para o ensino, em particular para o ensino de matemática. Um desses o V Congresso de Matemática realizado no Brasil teve como foco discutir o movimento da matemática moderna, e reuniu muitos professores de outros países defensores desse movimento. Seus principais objetivos seriam:
Integrar os campos da aritmética, da álgebra e da geometria no ensino, mediante a inserção de alguns elementos unificadores, tais como a linguagem dos conjuntos, as estruturas algébricas e o estudo das relações e funções. Enfatizava-se, ainda, a necessidade de conferir mais importância aos aspectos lógicos e estruturais da Matemática, em oposição às características pragmáticas que, naquele momento, predominavam no ensino, refletindo-se na apresentação de regras sem justificativa e na mecanização dos procedimentos. (GOMES, 2012, p.24)
Ainda de acordo com Gomes (2012), essa nova matemática não traria melhorias para o ensino, trazendo dificuldades para os professores na sala de aula, que não eram preparados para essa nova matemática, e faltava até mesmo livros didáticos que atendessem a esse novo modo de ensinar. O movimento da matemática moderna assim como outras reformas que aconteceram no país, teve muitas críticas e acreditasse que esse movimento desencadeou o abandono do ensino de geometria no Brasil.
2.5 Sobre o ensino de Geometria no Brasil
Para diversos pesquisadores, o ensino de geometria atualmente anda esquecido e defasado, e isso teria ocorrido com os processos e reformas que o ensino no Brasil veio sofrendo ao longo dos anos. Estudos relatam que a geometria existe a muitos séculos, e teria surgido junto com as primeiras civilizações, de modo que a princípio sendo percebida nas pinturas rupestres, deixadas em paredes de caverna, pedras, cerâmica e traçados pelos primeiros povos aqui da terra.
Não existem muitos textos acerca do ensino de geometria no Brasil durante todos os períodos pelos quais o país passou até chegar aos dias atuais, são poucas as passagens encontradas sobre o ensino de tal conteúdo que não foi muito explorado no período Colonial e Imperial, mas que já existia nessa época como uma das disciplinas das matemáticas. Isso
mesmo, a geometria junto com a aritmética e álgebra e posteriormente com a trigonometria eram disciplinas isoladas, e foi apenas muito tempo depois, com a proposta do professor Euclides Roxo então Professor do renomado colégio de ensino secundário Pedro II e com a reforma de Francisco Campos, que essas disciplinas foram unificadas e formaram a disciplina de matemática que é conhecida e estudada nas escolas atualmente.
Faremos aqui breves abordagens sobre o ensino de geometria no Brasil no período colonial e imperial, e estenderemos um pouco os relatos no período da Republica, visto que esse foi o período em que mais se teve mudanças no ensino de matemática no Brasil e consequentemente no ensino de geometria.
No período colonial enquanto os jesuítas eram responsáveis pelo ensino, a matemática era pouco explorada e a geometria não era estuda, foi com a expulsão deles e com a criação das aulas regias pelo Marques de Pombal que as novas disciplinas matemáticas, dentre elas a geometria, foram introduzidas no currículo de ensino, mas não tiveram muito destaque. Miorim (1995), destaca a fala de Maria Nunes com relação à frequência dos alunos nas aulas de um curso de geometria que seria oferecido aos alunos. A declaração foi dada pelo governador de São Paulo e encontrada em um edital da época que ameaça de punição aqueles que não se apresentassem ao Padre Frei Jose do Amor Divino Duque. (NUNES, 1962 apud MIORIM, 1995, p.168).
A procura por tal disciplina era tão escassa que se chegaria ao ponto de ameaçar de punir para obter alunos e frequência nas aulas de um curso de geometria. Tal passagem mostra o quão desvalorizado seria o ensino das matemáticas nesse período, porém com as aulas régia não se tinham aulas frequentes no Brasil, pelo contrário, eram aulas avulsas em todas as áreas de ensino.
No Brasil império esse quadro não mudou muito. No ensino das matemáticas era cobrado que se ensinasse as noções gerais de geometria, ainda com pouco espaço para isso. Com a criação do Colégio Pedro II alguns aspectos no ensino mudam com relação ao ensino das matemáticas, geometria, álgebra, aritmética e depois trigonometria, essas teriam sempre um espaço em todos os anos do curso.
No Brasil República, o sistema educacional brasileiro passaria por uma reforma, ou melhor, por constantes reformas. A primeira delas, foi a reforma Benjamim Constante. Segundo Miorim (1995), ele tentaria introduzir no país uma formação cientifica que romperia com o tradicional ensino clássico humanístico, seguindo as ideias do filosofo Augusto Conte. Não se tem detalhes sobre o ensino de geometria nessa reforma, apenas que “não ocorreria o ensino simultâneo dos diversos ramos da matemática, mas sim, que seriam ministradas mais
de uma disciplina por serie: aritmética, álgebra e geometria” (DASSIE; ROCHA, 2003, p.7). A forma de ensino proposta por Euclides Roxo e implantada por Francisco Campos teria sido alterada.
Francisco Campos (1931), acata todas as sugestões de Euclides Roxo, unifica as três disciplinas matemáticas em uma só disciplina, a matemática. Quanto ao ensino de geometria destaca o seguinte,
Na parte relativa à geometria, percebe-se uma preocupação em introduzir os raciocínios lógicos apenas após um trabalho inicial que familiarize o aluno com as noções básicas presentes nas figuras geométricas, não apenas em sua posição fixa, mas, também através de seus movimentos. Em relação a esse último aspecto, enfatizada a importância de serem trabalhadas as noções de simetria axial e central, de rotação e de translação (MIORIM, 1995, p. 190). Começa-se a ter mudanças, não apenas no conteúdo a ser ensinado, mas também no modo como o mesmo será repassado para o aluno. É importante destacar também, que a reforma enfatizava a importância de que se devia ter uma ligação no ensino dessas disciplinas, que elas não poderiam ser ensinadas separadamente, pois existem ligações entre as mesmas. Muitos estudiosos afirmam que a decadência no ensino de geometria no Brasil teve início com o movimento da matemática moderna (décadas de 1960 e 1970), ou seja, esse movimento não trouxe melhorias para o ensino de tal disciplina. Segundo Gomes
Um dos efeitos da disseminação das ideias do Movimento da Matemática Moderna, de acordo com vários autores, foi uma diminuição da presença dos conteúdos geométricos nas práticas pedagógicas realizadas nas escolas, tanto pelo papel de relevo adquirido pela álgebra quanto pela falta de subsídios dos professores para efetivar as propostas modernistas para a geometria (GOMES, 2012, p.25).
O ensino de geometria passa a entrar em esquecimento com a falta de foco dos livros didáticos que não conseguiram se adaptar às novas exigências do ensino de tal disciplina e a falta de preparo para os professores que se deu com a ampliação das escolas públicas e o que tornou cada vez maior a demanda de professores. Na tentativa de suprir essa demanda, criam-se cursos rápidos para professores, criam-sem muito investimento. Porém, assim com pouco investimento, esses não estariam preparados para ensinar geometria. Tais fatores culminaram no que os pesquisadores denominam de abandono do ensino de geometria.
Esse abandono se agravou quando, segundo PAVANELLO (1989) apud Passos, (2000, p. 58) a lei de diretrizes e bases do ensino de 1° e 2° graus “facilitou de certa forma, o abandono do ensino de geometria no Brasil, principalmente no ensino público, pois permitiu que cada professor montasse seu próprio programa “de acordo com as necessidades da clientela”. Assim no ensino fundamental os alunos eram limitados à aprender aritmética e
noções de conjuntos e a geometria era esquecida, passando a ser ensinada apenas no ensino médio. Esse abandono no ensino de geometria pode se ter dado na má interpretação de frases ditas no periodo, tais como a do metemático Jean Dieudonné ao afirmar: “Abaixo Euclides”.
A falta de preparo dos professores e a liberdade que a lei de diretrizes de bases da educação de 1971 dava às escolas quanto à decisão sobre os programas das diferentes disciplinas, fez com que muitos professores de Matemática, sentindo-se inseguros para trabalhar com a Geometria, deixasse de incluí-la em sua programação. Os que continuaram a ensina-la o faziam de modo precário. Os próprios livros didáticos passaram a parte de Geometria para o final do livro, o que fez com que durante o Movimento da Matemática Moderna a Álgebra tivesse um lugar de destaque (SOARES, 2001 apud FERREIRA, p.7).
Tais dificuldades são notadas no ensino atual, onde percebemos que livros didaticos trazem o conteúdo de geometria já para o fim do ano letivo, e assim tal conteúdo é ensinado se der tempo, ou então aborda o mesmo de maneira dispersa, uma parte no inicio do livro outra solta no meio. Muitas vezes nem são feitas ligações com outras áreas do ramo da matemática, o que acaba fazendo com que o aluno e o próprio professor despreparado façam um trabalho superficial ou deixem o ensino de geometria esquecido.
3 O LIVRO DIDÁTICO
O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) é um programa financiado pelo FNDE (Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação). Com base nisso, desenvolvemos uma breve abordagem histórica do PNLD e apresentando informações sobre o programa com o propósito de discutir sobre como é realizada a escolha dos livros, qual o papel e a importância deles na sala de aula.
3.1 O Programa Nacional de Escolha do Livro Didático
Segundo consta no trabalho de Schäffer (1988), o livro didático surge no século XVII como material impresso destinado ao processo de aprendizagem, mas o volume de obras só aumentou em meados do século XIX. No Brasil até o século XIX os livros vinham de Portugal e a escassez de material fazia com que pais e professores usassem cartas como material de leitura. Foi na década de 20, com o movimento modernista e nacionalista que o país passou a ter um papel decisivo no surgimento de uma política sobre o livro didático, que só veio a se concretizar no Estado Novo.
O programa nacional do livro didático é o programa mais antigo quando se fala em distribuição de obras didáticas para alunos da rede pública de ensino. Ele teve início em 1937, e durante sua vigência o programa passou por modificações quanto sua execução e ao seu nome.
Conforme mostra sua história apresentada no site do FNDE, o programa de livro didático teve início em 1937 com o decreto-lei nº 93 sendo criado o Instituto Nacional do Livro (INL). Em 1938 pelo decreto-lei nº 1.006 é criada a Comissão Nacional do Livro Didático (CNLD), com sua política de controle de produção e circulação do livro didático no país. Em 1945 é consolidada a legislação sobre as condições de produção, importação e utilização do livro didático, redimensionando a função do CNLD centralizando na esfera federal o poder de legislar sobre o livro didático.
Em 1970 o Instituto Nacional do Livro (INL) assumiu a responsabilidade de promover e agilizar, em ação conjugada com as editoras, o programa de coedição de obras didáticas. A partir de 1971 o Instituto Nacional do Livro (INL) passou a desenvolver o Programa do Livro Didático para o Ensino Fundamental (PLIDEF), assumindo as atribuições
administrativas e de gerenciamento dos recursos financeiros até então a cargo da Comissão do Livro Técnico e Livro Didático (COLTED).
Em 1976 o governo assume a compra de boa parte dos livros que seriam distribuídos para as unidades públicas. Há a extinção do INL e assim a Fundação Nacional do Material Escolar (FENAME) fica responsável pela execução do programa do livro didático. Em 1983 a FENAME é substituída pela Fundação de Assistência ao Estudante (FAE) que incorpora o PLIDEF e assim o grupo propõe a participação dos professores na escolha dos livros.
Em 1985 o PLIDEF deixa seu lugar para o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD),
A partir de agosto de 1985, por meio do Decreto-Lei n. 91542, o programa recebeu a denominação de Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), tendo como seus objetivos substancialmente ampliados. Estabeleceu-se como meta o atendimento de todos os alunos de primeira a oitava série do primeiro grau das escolas públicas federais, estaduais, territoriais, municipais e comunitárias do país, com prioridade para os componentes básicos Comunicação e Expressão e Matemática (HOFLING, 1998, p.164).
Trouxe também mudanças como os professores indicando os livros e abolindo o livro descartável, dando início a reutilização do livro. O sistema do LD começa a ficar parecido com o que é usado atualmente, o exemplar é utilizado durante três anos e os professores possuem a oportunidade de analisar e ter autonomia para escolher os livros. Em 1996 é dado início ao processo de avaliação pedagógica dos livros indicados para o PNLD e é publicado o primeiro guia de livros didáticos.
A Secretaria de Educação Básica coordena o processo de avaliação pedagógica sistemática das obras inscritas no PNLD, esse processo é realizado em parceria com Universidades Públicas, de diversas regiões de todo o país, que se responsabilizam pela avaliação de livros didáticos nas seguintes áreas: Alfabetização, Língua Portuguesa, Matemática, Ciências, História, Geografia e Dicionário da Língua Portuguesa (BAYER; BIEH, 2009, p.3).
De modo que “essas universidades foram selecionadas por meio de concorrência pública, conforme Portaria SEB/MEC nº 28” (PNLD, 2017, p.7). Feito isso, é elaborado o Guia dos Livros Didáticos e nele são apresentados os princípios, critérios e resenhas sobre as obras que foram analisadas e aprovadas. Depois o guia é enviado para as escolas e serve como suporte para que os professores possam fazer uma boa escolha do livro que irá acompanha-lo durante pelo menos três anos de trabalho. Nota-se que o processo de escolha do livro didático recai sobre o professor, cabe a ele analisar as opções que são oferecidas e escolher a que
considerar mais adequada e que cumprirá bem o seu papel na sala de aula na relação professo-aluno, ensino e aprendizagem.
3.2 O papel do livro didático para o ensino
O Livro didático é um assunto muito pesquisado e estudado em diversos trabalhos, principalmente no meio acadêmico, onde muito se discute sobre sua função no processo de ensino e aprendizagem. Para muitos autores o livro é um importante instrumento auxiliar do professor, além de um importante facilitador na aprendizagem do aluno, mas o professor não deve ser refém de um livro didático e sim se impor diante do material que possui sua identidade e sua forma de ensino. Buscando outros materiais que auxiliem no ensino, considerando que o LD esteja além de material de apoio na sala de aula, tenha também o papel de “um agenciador de conhecimentos capaz de induzir e provocar no aluno a aprendizagem e assim estimular o desenvolvimento do senso crítico” (SANTOS; MARTINS, 2011, p. 9)
O Livro Didático é um instrumento importante e o mais utilizado por professores na sala de aula. É considerado como o guia do que deve ser aplicado na sala de aula e a sequência de conteúdos que deve ser seguida. Diante de tamanha importância, podemos nos perguntar: o que é o livro didático? Falamos muito nele e o utilizamos muito, mas qualquer texto impresso pode ser considerado didático? Para alguns, o LD seria como um manual, para Lajolo livro Didático
É o livro que vai ser utilizado em aulas e cursos, que provavelmente foi escrito, editado, vendido e comprado, tendo em vista essa utilização escolar e sistemática. Sua importância aumenta ainda mais em países como o Brasil, onde uma precaríssima situação educacional faz com que ele acabe determinando conteúdos e condicionando estratégias de ensino, marcando, pois, de forma decisiva, o que se ensina e como se ensina o que se ensina (LAJOLO, 1996, p. 4)
O material escolar é importante no ensino e aprendizagem. Está presente em todos os estabelecimentos de ensino, que traz sua sequência e metodologia. Talvez por isso muitas vezes o professor não se desvincula do livro, não se dar a oportunidade de pesquisar outros meios de passar o conteúdo para o aluno, e sem falar que se o professor fica preso ao livro, e se o mesmo não tem boa qualidade de conteúdo, consequentemente a aula para processo de aprendizagem do aluno pode não apresentar também uma boa qualidade.
Lajolo (1996, p. 7) “o livro didático bom, adequado e correto, também pressuponha que o professor personifique o uso que dele faz na sala de aula, o livro didático ruim exige que o professor interfira de forma sistemática nos conteúdos e atividades propostos e considerados inadequados”. O fato é que o professor deve impor sua personalidade nas suas aulas, e que o desempenho e qualidade de ensino não dependem apenas de um bom livro didático, mas também de um bom profissional. O processo de ensino e aprendizagem deve envolver materiais variados e nenhum deles deve ser mais importante do que o educador, que deve ser o autor do ato de ensinar, de modo a definir objetivos próprios e de seguir metodologias específicas conforme o público que ele atende, e não segundo um modelo proposto no livro didático (BATISTA, 2011, p.14). Segundo Libâneo (2002)
O livro didático é um recurso importante na escola por ser útil tanto ao professor quanto ao aluno. Pois, através dele o docente pode reforçar seus conhecimentos sobre um assunto específico ou receber sugestões de como apresentá-lo em sala de aula. Já para o aluno, é uma forma de ter de maneira mais organizada e sistematizada um assunto que possibilite que ele revise em sua casa e faça exercícios que reforcem este conhecimento. (LIBÂNEO, 2002, apud BATISTA, 2011, p.15)
Por isso uma boa análise do professor sobre os exemplares disponíveis na escolha do LD é importante para o andamento das aulas e para o processo de ensino e aprendizagem, de modo que o livro esteja de acordo com a realidade de cada localidade. Por isso é de suma importância que o professor avalie de forma atenta, e faça uma escolha consciente desse material que irá acompanha-lo durante o ano na sala de aula. É também justo que a escola proporcione momentos com os professores, para que possam analisar detalhadamente o material, caso contrário o professor escolherá um produto que não o ajudará, e dessa forma é possível que o livro não seja bem explorado por ele e consequentemente pelo aluno.
Diante da leitura de muitas pesquisas realizadas acerca da função e importância do LD, pode-se concluir que ele é um instrumento importante no processo de ensino e aprendizagem, sendo um elemento cobrado pela família do alunado e até mesmo pelo próprio aluno. É um guia para o professor, mas pode-se perceber durante a pesquisa, que o professor não pode ser apegado e seguir o livro fielmente, ele deve se impor e trazer sua personalidade. Deve pesquisar novas metodologias, buscar outros recursos pedagógicos e levar para a sala de aula. Para o aluno ele é um manual para revisão onde os conteúdos estão expostos numa boa sequência de estudo, onde as atividades o ajudam na compreensão. Além disso, deve ser um estimulante da aprendizagem e da capacidade crítica do aluno.
4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Esta seção tem por objetivo trazer o referencial teórico utilizado para embasamento desta pesquisa. Apresentado uma abordagem sobre a teoria dos registros de representação semiótica e ensino de geometria, principais pilares desse trabalho. Tal teoria foi desenvolvida por Raymond Duval (2003), que trata das diversas formas de representar um mesmo objeto sem que se perca a essência do mesmo. Abordando o desenvolvimento e funcionamento cognitivo do pensamento, uma importante ferramenta na abordagem de conteúdo no ensino e aprendizagem de matemática.
Quando se trata do ensino e aprendizagem de matemática, percebemos que a teoria é um importante instrumento de ensino para o professor, pois é muito difícil representar com objetos, algo que muitas vezes é tão abstrato como são alguns conteúdos dessa disciplina. No presente trabalho abordamos o conteúdo de geometria espacial. É um estudo complexo, não é tão simples trabalhar com esse conteúdo. É um conteúdo em que se trabalha muito com figuras geométricas, e por isso é importante não deixar que o aluno confunda a representação do objeto com o objeto.
4.1 A Teoria dos Registros de Representação Semiótica
A teoria das representações semióticas trata de uma breve abordagem sobre as teorias de representações e alguns estudos baseados na teoria e suas diversas formas de aplicação na representação da visualização matemática. Tal teoria foi desenvolvida por Raymond Duval (2003). Em resumo “ele desenvolveu um modelo de funcionamento cognitivo do pensamento, em termos de mudança de registros de representação semiótica, na referida obra “Semiosis et pensée humaine”. (MACHADO, 2003, p.7). Trata-se das várias maneiras de se representar um objeto sem perder a essência do mesmo. Falar em diferentes formas de representar o objeto nos leva a observar a forma como os objetos matemáticos são representados, sendo assim a teoria de representação semiótica é um importante meio de se entender o processo de ensino e aprendizagem de matemática.
Atingir o aprendizado em matemática não é algo fácil, isto porque muitos alunos veem tal disciplina como a mais difícil entre todas aquelas estudadas. A matemática tem sim suas dificuldades e para que o aluno alcance o aprendizado é preciso que o professor esteja atento de onde está a dificuldade e ao descobrir é importante buscar meios de superar essas
dificuldades. O processo de como ocorre essa aprendizagem é um ponto muito importante, para Duval (2003, p.11)
É necessária uma abordagem cognitiva, pois o objetivo do ensino da matemática, em formação inicial não é nem formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos instrumentos que só lhe serão eventualmente úteis muito mais tarde e sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de análise e de visualização.
Fazer com que o aluno obtenha um aprendizado mais significativo e desenvolvimento cognitivo mais satisfatório, depende muito da forma de como determinado conteúdo está sendo abordado na sala de aula, e por mais que seja abordado de formas diferentes é comum que não se tenha um aprendizado imediato.
Quando falamos em representações semióticas na matemática devemos observar que elas estão presentes de várias maneiras nos desenhos, nas imagens gráficas, nos gráficos, nas fórmulas algébricas e língua natural. Muitas vezes não temos acesso aos objetos matemáticos, eles são muito abstratos. É por meio das representações semióticas que podemos expressar as representações mentais que temos desses objetos. Somos capazes de criar uma imagem mental quando ouvimos, por exemplo, a palavra “quadrado”, mas quando passamos essa imagem do quadrado para o papel, produzimos uma representação semiótica que tem como base a conceptualização desse objeto. Com base nos mecanismos de apreensão e conceptualização, Duval (2003) destaca “semiose” como a apreensão ou a produção de uma representação semiótica, e “noésis” como a apreensão conceitual de um objeto. Esses dois conceitos são inseparáveis.
Duval (2003), aponta que existe uma diferença entre a atividade cognitiva requerida pela matemática e aquela requerida em outros domínios do conhecimento, e que essas diferenças não devem ser procuradas nos conceitos, mas na importância fundamental das representações semióticas e nas várias formas que essas representações se apresentam na matemática. Ressalta que há muitos tipos de representações e dentre esses há dois onde está a originalidade da atividade matemática, está na mobilização simultânea desses dois registros, na possibilidade de trocar de registro de representação a qualquer momento, se trata dos tratamentos e as conversões dois tipos de representação semiótica bem distintos.
O tratamento de uma representação é a transformação desta representação no mesmo registro onde ela foi formada. O tratamento é uma transformação interna a um registro. [...] já a conversão de uma representação é a transformação desta função em uma interpretação em outro registro, conservando a totalidade ou uma parte somente do conteúdo da representação inicial (DUVAL, 2012, p. 272).
Quando se trabalha com o tratamento permanecemos em um mesmo registro de representação, por exemplo, quando trabalhamos funções sempre na sua forma algébrica, desde a apresentação do que é uma função até resolução, estamos mantendo o mesmo padrão, fazendo assim uso do tratamento. No entanto, quando trabalhamos funções e apresentamos sua forma algébrica e passamos para o gráfico estamos fazendo uso das conversões, visto que este tipo de representação apresenta o objeto em suas diversas formas. Com a conversão, o aluno apresenta dificuldade na compreensão do objeto, pois ela requer que ele conheça mais que um tipo de registro de representação.
A conversão se caracteriza em dois fenômenos chamados de variações de congruência e não congruência e a heterogeneidade dos dois sentidos de conversão, onde a atividade de congruência é analisada na comparação da representação do registro de partida e de chegada. No primeiro fenômeno, Duval (Op. Cit.) destaca que “ou a representação terminal transparece na representação de saída e a conversão está próxima de uma situação simples de conversão (diz que há congruência) ou ela não transparece absolutamente e se dirá que ocorre a não congruência” (2003, p.19).
O segundo fenômeno, a heterogeneidade, enfatiza o sentido que irá ocorrer a conversão “nem sempre a conversão se efetua quando se inverte os registros de partida e de chegada. Isso pode mesmo conduzir a contrastes muito fortes de acerto quando se inverte o sentido de conversão” (DUVAL, 2003, p.20), isso significa que quando se inverte os registros de chegada e saída é possível que o aluno não reconheça a situação que lhe foi apresentada, pois ele já tinha em mente uma determinada situação em que deveria chegar. Isso nos leva a refletir o quão importante passa a ser a forma como tratamos os conteúdos de matemática e de como as representações influenciam para um desenvolvimento e um aprendizado mais eficiente no aluno. É na capacidade de trocar de registro naturalmente que se encontra o auge do aprendizado, fazer a transição de um registro para outro é ponto importante da aprendizagem.
É apontado em pesquisas que as dificuldades dos alunos aparecem quando se muda o registro de representação. No caso da conversão quando ela é não congruente a dificuldade é ainda maior, visto que o objeto na conversão não congruente não é facilmente visualizado, a dificuldade do aluno está em reconhecer o objeto em mais de uma representação. É aí que está a limitação da capacidade do aluno de alcançar o aprendizado, muitas vezes isso ocorre porque o objeto muitas é apresentado para o aluno em uma única representação. Para Duval “a compreensão em matemática implica na capacidade de mudar de registro. Isso porque não se deve jamais confundir um objeto e sua representação” (DUVAL, 2003, p.21).
No ensino da matemática existe uma relação próxima entre a matemática e como está sendo estabelecido seu ensino, destacando sempre a diferença entre o objeto e a forma de como o mesmo é representado.
Em matemática, toda a comunicação se estabelece com base em representações, os objetos a serem estudados são conceitos, propriedades, estruturas, relações que podem expressar diferentes situações, portanto, para seu ensino, precisamos levar em consideração as diferentes formas de representação de um mesmo objeto. (DAMM, 2010, p.167)
Muitas vezes o aluno está limitado a apenas um tipo de representação de determinado objeto e quando é apresentada uma forma diferente ou quando é cobrada uma mudança de registro, ele se perde. É como se compreendesse determinado objeto sob uma única forma de representação, o que implica que ele tem um conhecimento limitado sobre esse objeto. Seu aprendizado só será alcançado quando ele conseguir fazer a mudança de registros necessária, isso de forma espontânea e natural. Ou seja, quando o aluno consegue reconhecer o objeto em suas várias formas de representação.
Falou-se muito em registros de representações, que são sistemas que nos permite visualizar objetos abstratos da matemática na mudança de registro e que a aprendizagem é alcançada quando o aluno consegue passar de um registro para o outro de forma espontânea e natural, mas é importante destacar que
Um registro é um sistema semiótico cognitivamente criador. Isso quer dizer que, para considerar um sistema semiótico como um registro, é preciso identificar as operações de produção de representações que ele permite executar de maneira original e específica (DUVAL, 2003, p.7).
A atividade matemática tem como característica importante a diversidade dos registros de representação semiótica, uma diversidade raramente levada ao ensino. Para Duval (2003), analisar as dificuldades no processo de aprendizagem em matemática requer estudar a conversão das representações e não os tratamentos. As diversas maneiras de representação de um mesmo objeto seria o caminho para aprendizagem.
4.2 O Ensino de Geometria e os Registros de Representação Semiótica
Começamos esta etapa nos perguntado por que a geometria está presente no currículo escolar? Qual o objetivo de ensinar geometria? Como ela deve ser abordada na sala de aula? E por que é considerada tão difícil sua abordagem? Tentaremos ao longo deste tópico responder
a esses questionamentos, tomando como base Parâmetros Curriculares Nacionais de matemática, e a contribuição dos registros de representação semiótica para o ensino e aprendizagem desse conteúdo.
Para tal abordagem comecemos refletindo que o ensino de matemática não é novidade. Sempre ouvimos que a matemática é uma disciplina chata, que o desempenho dos alunos em tal disciplina é baixo, que o aprendizado é defasado e que não se sabe o porquê de estuda-la. Talvez esse pensamento surja da maneira como a matemática é abordada na sala de aula. É necessário fazer com que o alunado perceba que essa disciplina está extremamente ligada ao ambiente em que vive. É preciso desperta no aluno o interesse e a curiosidade pela matemática.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais explicitam o papel da Matemática no ensino fundamental pela proposição de objetivos que evidenciam a importância de o aluno valorizá-la como instrumental para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas (BRASIL, 1998, p.15)
Tal papel deve ser exposto ao aluno em cada conteúdo apresentado, mostrando a ele que a matemática está intimamente ligada ao seu mundo e ao seu cotidiano. Essas características nos remetem a geometria, que se faz presente na vida do ser humano em cada detalhe do ambiente. A geometria se constitui enquanto uma importante ferramenta de estudo que está inteiramente ligada ao espaço que o homem vive, “entre os vários campos do conhecimento matemático, a geometria se apresenta como um rico campo de exploração das várias representações do objeto matemático” (CARDOSO, 2012, p.2). Por isso sua importância e a inserção de seu estudo na escola.
Quanto ao ensino de geometria, os Parâmetros Curriculares dividem as fases do ensino em ciclos e destaca a importância de trazer seus conceitos desde o ensino fundamental 1, mas de forma leve, sem expor ao alunado que está tratando de geometria. No primeiro ciclo:
Trazer figuras geométricas mais simples, relacionando com objetos ao redor do aluno, estimular sua capacidade de fazer ponto de referência em seu entorno, situar e deslocar no espaço, entender termos como direita, esquerda, cima, abaixo, movimentos de deslocamento, observar as semelhanças e diferenças entre formas bidimensionais e tridimensionais, figuras planas e não planas, simétricas ou não (BRASIL, 1997, p.49).
No segundo ciclo orienta-se que o aluno aprimore aquilo que lhe foi passado no ciclo anterior. Com relação ao ensino da geometria busca-se em linhas gerais ainda que o aluno se situe no espaço, observando seu deslocamento, o de outras pessoas. Além de observar e
manipular formas, perceber a relação dos objetos no espaço e utilizar o vocábulo correto para expressar o que enxerga. Destaca-se ainda a importância de incentivar o trabalho com representações no espaço, produzir e interpretar, trabalhar com malhas e diagramas, a exploração de guias e mapas pode constituir um recurso para a representação do espaço. Assim como também estimular a observação de característica de figuras bidimensionais e tridimensionais, permitindo identificar propriedades e estabelecer algumas relações. (BRASIL, 1997, p.57 - 58)
No terceiro ciclo o aluno deve reorganizar e ampliar seus conhecimentos de espaço, bem como trabalhar com problemas mais complexos de localização e formas presentes no espaço, além de enfatizar a noção de sentido, ângulo, paralelismo, perpendicularismo, classificação das figuras geométricas e relações entre figuras espaciais e suas representações planas (BRASIL, 1998, p.68).
De antemão é adiantado que os objetivos finais para o primeiro, segundo e terceiro ciclos, e como o foco é como se dá a abordagem a partir do terceiro ciclo, serão apresentados os objetivos apontados pelo PCN a partir do ciclo que temos o interesse no estudo e análise quanto ao ensino de Geometria Espacial. De acordo com o PCN de matemática os conhecimentos básicos que o aluno deve adquirir sobre geometria espacial no terceiro ciclo são “estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas, envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de vista, construindo e interpretando suas representações” (BRASIL, 1998, p.65). Percebamos que é um estudo continuado daquilo que o aluno vem aprendendo durante todos os ciclos anteriores, mas agora está acrescentado o estudo de figuras espaciais.
Quando observamos o PCN e analisamos a proposta do ensino de geometria, o aluno deve através dela reconhecer e identificar o mundo ao seu redor. É importante pensar nessa relação entre a geometria e o mundo, porque sabemos que a geometria está presente nele nas mais diversas formas e representações e precisamos fazer com que o aluno transite em meio a essas representações de forma espontânea e natural.
Pensando nisso temos como principal recurso para essa análise a teoria dos registros de representação semiótica. Com ela podemos identificar os tipos de representações, os tratamentos e as conversões existentes quando trabalhamos com geometria. “Falar de registro de representação semiótica da conversão e da coordenação de registros significa colocar em jogo o problema da aprendizagem e disponibilizar ao professor instrumentos que deverão ajudá-lo a tornar mais acessível a compreensão da matemática” (ALMOULOUD, 2003,
