( Uma
Nova
Generaliza¸c˜ao dos N´
umeros Reais )
Gentil Lopes da Silva
∗04 de abril de 2007
“Um exame superficial da matem´atica pode dar uma impress˜ao de que ela ´e o resultado de esfor¸cos individuais separados de muitos cientistas espalhados por continentes e ´epocas diversas. No entanto, a l´ogica interna de seu desenvolvi-mento nos lembra muito mais o trabalho de um ´unico intelecto, desenvolvendo o seu pensamento sistem´atico e consistentemente, usando a variedade das indi-vidualidades humanas somente como um meio. Assemelha-se a uma orquestra executando uma sinfonia composta por algu´em. Um tema passa de um instru-mento a outro, e quando chegou a hora de um dos participantes abandonar o tema, ele ´e substitu´ıdo por outro, que o executa com precis˜ao irrepreens´ıvel...” I.R. Shafarevich “Nenhuma produ¸c˜ao de ordem superior, nenhuma inven¸c˜ao jamais procedeu do homem, mas emanou de uma fonte ultraterrena. Portanto, o homem deveria consider´a-la um dom inspirado do Alto e aceit´a-la com gratid˜ao e venera¸c˜ao. Nestas circunstˆancias, o homem ´e somente o instrumento de uma Potˆencia Su-perior, semelhante a um vaso julgado digno de receber um conte´udo divino”. Goethe “A obten¸c˜ao de um resultado novo em pesquisa ´e, para o cientista, uma fonte de intenso prazer, ligado intimamente ao instinto de cria¸c˜ao e eternidade, pois, independentemente da importˆancia da contribui¸c˜ao no contexto da ciˆencia, ou de sua utiliza¸c˜ao, representa algo acrescentado ao conhecimento humano que marca sua existˆencia na terra”.
Pierre Curie (F´ısico) “O gˆenio, porque sabe encontrar rela¸c˜oes novas entre as coisas, revela-nos novas harmonias e nos aproximam do pensamento de Deus.” E = m· c2
Pietro Ubaldi “Sois de tal modo levados a vos tomar por tipos do Universo, que credes sempre que fora do vosso mundo n˜ao h´a mais nada. Pareceis verdadeiramente com esses selvagens que nunca sa´ıram de sua ilha e crˆeem que o mundo n˜ao vai mais longe”.
O Livro dos M´ediuns “Eu penso que seria uma aproxima¸c˜ao relativamente boa da verdade (que ´e demasiadamente complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma apro-xima¸c˜ao) dizer que as id´eias matem´aticas tˆem a sua origem em situa¸c˜oes emp´ıri-cas... Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento pr´oprios governados quase que inteiramente por motiva¸c˜oes est´eticas. . . ”.
J. Von Newmann (1903− 1957) “A matem´atica ´e um campo demasiadamente ´arduo e in´ospito para agradar `aqueles a quem n˜ao oferece grandes recompensas. Recompensas que s˜ao da mesma ´ındole que as do artista.
...Acrescenta ainda que ´e no ato de criar que o matem´atico encontra sua cul-minˆancia e que ‘nenhuma quantidade de trabalho ou corre¸c˜ao t´ecnica pode sub-stituir este momento de cria¸c˜ao na vida de um matem´atico, poeta ou m´usico’ ”.
coisa que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa que ocorreu em sua mente corresponde exatamente a alguma coisa que aconteceu na natureza. ´E surpreendente, todas as vezes que ocorre. Ficamos espantados com o fato de que um construto de nossa pr´opria mente possa realmente materializar-se no mundo real que existe l´a fora. Um grande choque, e uma alegria muito grande”.
Leo Kadanoff “Apenas aqueles que pensam por metades se tornam ateus, aqueles que se aprofundam em seus pensamentos e vˆeem as maravilhosas rela¸c˜oes entre as leis universais reconhecem um poder criador”.
Max Planck “O prazer ´e apenas um artif´ıcio imaginado pela natureza para obter do ser vivo a conserva¸c˜ao da vida; mas n˜ao indica a dire¸c˜ao em que a vida ´e lan¸cada. J´a o deleite anuncia sempre que a vida teve ˆexito, que ganhou terreno, que alcan¸cou uma vit´oria: todo deleite tem um acento triunfal.” Bergson
“N˜ao sabemos sen˜ao em raz˜ao da nossa faculdade de recep¸c˜ao”. Pit´agoras “Tenho agarrado pela garganta as inferiores leis biol´ogicas da animalidade, para estrangul´a-las e super´a-las. Tenho vivido minhas afirma¸c˜oes como reali-za¸c˜ao biol´ogica antes de formul´a-las em palavras”.
Pietro Ubaldi/As No´ures “A fus˜ao entre f´e e ciˆencia, t˜ao auspiciada, j´a se completou em meu esp´ırito: vis˜ao ´unica na substˆancia e de uma a outra eu passo unicamente por uma mudan¸ca de perspectiva visual ou de focaliza¸c˜ao de meus centros ps´ıquicos ”. Pietro Ubaldi/As No´ures
“N˜ao se pode imaginar que tenacidade de resistˆencia, que massa de in´ercia rep-resenta o homem m´edio, justamente o que imp˜oe as normas da vida social”. Pietro Ubaldi/As No´ures “Um teorema possui vida em abundˆancia: nasce, cresce, reproduz-se e . . . n˜ao morre”.
Gentil “Mas a atividade mais feliz e mais bem-aventurada ´e aquela que produz. Ler ´e delicioso, mas ler ´e uma atividade passiva, enquanto que criar coisas dignas de serem lidas ´e ainda mais precioso”.
Ludwig Feuerbach “. . . que o meu pensamento quis aproximar-se dos problemas do esp´ırito pela via de uma diversa experimenta¸c˜ao de car´ater abstrato, especulativo, resultante das conclus˜oes de processos l´ogicos da mais moderna f´ısico-matem´atica.”
Sum´
ario
1 Os N´umeros Hipercomplexos−2D 9
1.1 Considera¸c˜oes de ordem geral . . . 9
1.1.1 Como se Cria um Conjunto . . . 10
1.2 Defini¸c˜ao: N´umeros Hipercomplexos . . . 15
1.3 Propriedades das opera¸c˜oes . . . 17
1.4 Imers˜ao de R em H . . . 21
1.5 Unidade hiperimagin´aria . . . 24
1.5.1 Forma alg´ebrica . . . 25
1.5.2 Exegese da unidade hiperimagin´aria . . . 28
1.6 Forma trigonom´etrica . . . 30
1.6.1 Rota¸c˜ao & Oscila¸c˜ao . . . 41
1.7 Potencia¸c˜ao . . . 47
2 Equa¸c˜oes 51 2.1 Resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao a· w = b . . . 51
2.2 Radicia¸c˜ao . . . 60
2.3 Fun¸c˜oes Transcendentes . . . 64
2.3.1 F´ormula de Euler . . . 64
2.3.2 Fun¸c˜oes trigonom´etricas com argumentos hipercomplexos. . . 64
TESOUROS NO C´
EU
− N˜ao ajunteis tesouros na terra, onde a tra¸ca e a ferrugem tudo consomem, e onde os ladr˜oes minam e roubam. Mas ajuntai tesouros no c´eu, onde nem a tra¸ca nem a ferrugem consomem, e onde os ladr˜oes n˜ao minam nem roubam.
(Mt. 6 : 19 − 20)
−Exegese: Daqui podemos inferir que tudo o que se deteriora com o tempo, ou que ´e pass´ıvel de furto, n˜ao pode ser tesouro no c´eu. Ao contr´ario, o que ´e atemporal e `a prova de furtos, tem chances de ser um tesouro no c´eu.
Como por exemplo, cada uma dasp´erolasa seguir: anm= (−1 ) j n−1 2m−1 k anm= (−1 ) ( n−1 2m−1) anm = (−1 ) µn−1 2m−1 1m+ 2m+ 3m+· · · + nm= m X j=0 n j + 1 a(m−j) a(m−j) = j X k=0 (−1)k j k (1− k + j)m (x, y, z)≡ (X, Y ) = ( y − x · sen θ, z − x · cos θ) anm= m Y j=0 a( n−1 j ) 1(m−j) anm= m X j=0 n − 1 j a1(m−j) ( i =⌊n−1 N ⌋ + 1 j = n− N⌊n−1 N ⌋ 0, 999 . . . = 9 10+ 9 100+ 9 1000 +· · · = 0 n = f (i, j) = N (i− 1) + j 0 1 (0,2 3) 1 (1, 1) s λ ⇒ λ(t) = 2 3+ 1 3t, 0≤ t < 1; 0, t = 1. n 2j−1 ∈ N ⇐⇒ 2n−1j−1 e 2j−1n
tˆem paridades distintas.
Topologia Qu^antica O Milagre!:conexo por caminhos
r Ge n t i l / f e v− 2 0 0 9
Pref´
acio
Neste trabalho construimos umnovosistema num´erico: os n´umeros Hiper-complexos−2D (uma nova generaliza¸c˜ao dos n´umeros reais). Nota¸c˜ao: H.
Este sistema, tal como acontece com C, ´e construido sobre o R2. N˜ao raro
uma primeira pergunta que se coloca de imediato ´e se este novo sistema ´e um
corpo. Respondemos que n˜ao, se o fosse − muito provavelmente − seria des-tituido de interˆesse uma vez que um corpo j´a existe: o pr´oprio C. Ent˜ao, um novo sistema num´erico (sobre R2), para que tenha algum interˆesse,
natural-mente deve ter “novas propriedades” n˜ao partilhadas pelo corpo C. De fato, assim acontece com nosso sistema, nele existe um n´umero, j = (0, 1), o qual possui duas propriedades que, em conjunto, n˜ao s˜ao partilhadas por nenhum n´umero complexo, quais sejam,
(
j2=
−1, −1 · j = j
Esta “hiperestranha” propriedade foi obtida com o sacrif´ıcio daassociatividade, como se vˆe.
Uma pequena digress˜ao: Ao passarmos de R para C trocamos uma proprie-dade do primeiro conjunto em favor de uma do segundo, qual seja: sacrificamos aordena¸c˜aoe, por conta disto, ganhamos um n´umero com uma propriedade n˜ao partilhada por nenhum n´umero do “velho conjunto”: i2=
−1. De posse desta nova propriedade somos capazes de resolver toda uma nova classe de problemas insol´uveis em R. De fato, esta nova propriedade (da unidade imagin´aria) j´a nos patenteia o tipo destes problemas a que estamos nos referindo, assim:
Propriedade Problema
C: i2=−1 x2+ 1 = 0
De igual modo, ao passarmos de R para H (hipercomplexos) trocamosduas
propriedades do primeiro conjunto em favor de duasdo segundo, quais sejam: sacrificamos a ordena¸c˜ao e a associatividade; por conta disto, ganhamos as duas novas propriedades mencionadas anteriormente; propriedades estas (em conjunto), n˜ao partilhadas por nenhum n´umero real ou mesmo complexo. De posse desta nova propriedade ´e de se esperar que sejamos capazes de resolver toda uma nova classe de problemas insol´uveis nos antigos conjuntos. De fato, esta nova propriedade (da unidade hiperimagin´aria) j´a nos patenteia o tipo destes problemas a que estamos nos referindo, veja:
Propriedade Problema H: ( j2= −1, −1 · j = j ( x2+ 1 = 0, −1 · x − x = 0
Ou seja, n˜ao existe nenhum n´umero complexo x satisfzendo, simultˆaneamente, as duas condi¸c˜oes `a direita.
Acontece que, como diz o velho ad´agio popular, “onde passa um boi, passa uma boiada” , quero dizer: se ahiperpropriedadenos faculta um problema insol´uvel em C ent˜ao pode nos facultar umainfinidadedeles. Vejamos mais um exemplo, o sistema a seguir:
x + y = 0 (−1 · x − y) · y = 2 n˜ao tem solu¸c˜ao no corpo complexo C, em H sim.
´
E bem verdade que este ´e um problema artificial, no sentido de n˜ao ter se originado de quest˜oes pr´aticas; no entanto, como ´e imposs´ıvel provar-se que
toda uma classede problemas† ´e (ou vir´a a ser) destitu´ıda de interˆesse, nossos
argumentos− em defesa de H − continuam de p´e.
(05.12.2008) Adendo: Das duas equa¸c˜oes abaixo: x2 + 1 = 0 (−1 · x + x) · x + 1 = 0
Com o n´umero i resolvemos apenas a primeira, ao passo que, com o n´umero j resolvemos as duas, estaremos provando isto oportunamente (prop. 6, p´ag. 26). Ali`as − como nos referimos − hiperestranha propriedade me faz lem-brar as hiperestranhas part´ıculas subatˆomicas: temos fortes raz˜oes para crer que os n´umeros hipercomplexos venham a ter utilidade no estranho mundo das part´ıculas subatˆomicas (f´ısicas nuclear e quˆantica).
A bem da verdade, em nosso sistema sacrificamos mais uma propriedade iner-ente aos corpos: adistributividade. Mas nem por isto estes sistemas alg´ebricos (n˜ao distributivos) deixam de ter interˆesse para a ciˆencia, vejamos a seguinte cita¸c˜ao ( [4], p´ag. 167 ):
“No tocante aos sistemas quˆanticos, tudo muda de figura. . . Procedendo-se analogamente ao caso cl´assico, o reticulado a que se chega, conforme Birkhoff e Von Neuman, n˜ao ´e a ´algebra de Boole, por´em um reticuladon˜ao distributivo;”
Mais `a frente (p´ag. 169):
“Ele observa, seguindo a trilha de Birkhoff e Von Neuman, que o reticulado das proposi¸c˜oes da mecˆanica quˆantican˜ao ´e distributivo. Mas, em vez de con-siderar as opera¸c˜oes definidas entre as proposi¸c˜oes do reticulado como novas opera¸c˜oes que se superporiam aos conectivos cl´assicos, trata de mostrar que a posi¸c˜ao mais sensata ´e a de se aceitar tais opera¸c˜oes como as opera¸c˜oes de uma nova l´ogica proposicional,n˜ao distributiva, a qual, ao ser aplicada a proposi¸c˜oes relativas a fenˆomenos macrosc´opicos, recai na l´ogica cl´assica.”
A interpreta¸c˜ao geom´etrica do produto complexo, como se sabe, ´e a de uma rota¸c˜ao; a do produto hipercomplexo, como veremos, combina as trans-forma¸c˜oes: rota¸c˜ao, reflex˜aoeoscila¸c˜ao. O nosso sistema possuidivis˜ao.
Uma outra particularidade dos n´umeros hipercomplexos ( H ) ´e que podem ser generalizados para o R3 ver ( [8]).
− Minha gratid˜ao maior ao bom Deus, por ter me concedido gestar e dar `
a luz este trabalho. Isto ´e, assentar este tijolinho em sua magnˆanima obra. Gentil Lopes da Silva. Boa Vista-RR, 03 de junho de 2009.
Cap´ıtulo 1
Os N´
umeros
H
ipercomplexos
−2D
“Deus criou os inteiros e todo o resto ´e obra do homem.” (Leopold Kronecker)
1.1
Considera¸c˜
oes de ordem geral
A ingenuidade expressa na frase em ep´ıgrafe s´o ´e perdo´avel em fun¸c˜ao de que para Kronecker (1823− 91) o conceito de n´umero ainda n˜ao havia sido devidamente compreendido. Por oportuno, em [6], lemos:
A ambivalˆencia dos matem´aticos do s´eculo XVIII em rela¸c˜ao aos n´umeros complexos pode mais uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma
“Como todos os n´umeros conceb´ıveis s˜ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica ent˜ao claro que as ra´ızes quadradas de n´umeros negativos n˜ao podem ser inclu´ıdas entre os n´umeros poss´ıveis [n´umeros reais]. E esta circunstˆancia nos conduz ao conceito de tais n´umeros, os quais, por sua pr´opria natureza, s˜ao imposs´ıveis, e que s˜ao geralmente chamados de n´umeros imagin´arios, pois existem somente na imagina¸c˜ao.”
Observe que, na mente de Euler, “todos os n´umeros conceb´ıveis s˜ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que, tamb´em Euler, n˜ao havia atinado ainda com uma compreens˜ao necess´aria do conceito de n´umero†.
A bem da verdade, o conceito de n´umero− assim como o de fun¸c˜ao − veio evoluindo ao longo dos s´eculos. Enquanto o conceito de fun¸c˜ao hoje encontra-se “fechado”, digo, bem definido, o mesmo j´a n˜ao acontece com o de n´umero, assim creio.
Agora aqui vai um parecer particular meu: o leitor estaria equivocado se acreditasse que os matem´aticos de hoje est˜ao mais `a vontade com o conceito de n´umero; isto mesmo, acredito que os matem´aticos, ainda hoje, n˜ao tˆem uma no¸c˜ao exata do que seja um n´umero. Com efeito, uma das raz˜oes que me fazem acreditar nisto ´e que, por exemplo, n˜ao sabem interpretar o significado da igualdade 0, 999 . . . = 1. Em fun¸c˜ao desta igualdade muitos crˆeem que 0, 999 . . . seja umn´umero. Acreditamos que est˜ao equivocados, por conta de que em [5] provamos que 0, 999 . . . = 0. E agora? Dentro do contexto em quest˜ao leia tamb´em nosso artigo [7].
†Evidentemente que isto em nada diminui os m´eritos destes grandes matem´aticos, o que
n˜ao nos impede, todavia, de pˆor em evidˆencia esta curiosa particularidade.
1.1.1
Como se Cria um Conjunto
O matem´atico William Rowan Hamilton (1805-1865) ([3]) ao perceber que os n´umeros complexos poderiam ser representados por pontos no plano, isto ´e, por pares ordenados (x, y) de n´umeros reais, teve a id´eia de generaliz´a-los para pontos no espa¸co a trˆes dimens˜oes. Isto ´e, para ternos ordenados (x, y, z). Por nada menos que dez anos Hamilton procurou pelos n´umeros na terceira dimens˜ao sem lograr sucesso.
O que significa procurar por estes n´umeros? eles, por acaso, estariam perdi-dos em algum canto da natureza?
Certamente que n˜ao. Como j´a dissemos o homem, `a semelhan¸ca de Deus, tamb´em tem o poder de criar, e foi isto o que Hamilton intentou.
E como se cria um conjunto num´erico?
Respondemos: Definindo uma soma e uma multiplica¸c˜ao∗. Por exemplo:
N´umeros Complexos: ((a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
(a, b)· (c, d) = (ac − bd, ad + bc) (1.1) pronto! est˜ao criados os n´umeros complexos. Portanto, o que Hamilton procurou foi definir uma soma e uma multiplica¸c˜ao de ternos ordenados.
A soma nunca apresentou problemas, ´e f´acil, veja
N´umeros 3−D : ((a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f ) (a, b, c)· (d, e, f) = ( ?, ?, ?)
O que Hamilton intentou, sem lograr sucesso, foi preencher as trˆes interroga¸c˜oes acima.
O leitor poderia perguntar: porque Hamilton n˜ao tomou, por exemplo N´umeros 3−D : ((a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f )
(a, b, c)· (d, e, f) = ( ad, be, cf) (1.2)
ou uma outra defini¸c˜ao, dentre as in´umeras que s˜ao poss´ıveis? E, de igual modo, porque n˜ao se define a multiplica¸c˜ao complexa como (a, b)· (c, d) = (ac, bd) ? Esta n˜ao facilitaria bem mais nossa vida que a outra multiplica¸c˜ao, sem d´uvida, mais complicada?
Respondemos por uma analogia: Podemos inventar um jogo com regras ar-bitr´arias. Se este jogo resultar interessante n˜ao s´o ter´a suasobrevivˆencia garan-tida como conquistar´a muitos adeptos; caso contr´ario estar´a fadado ao esqueci-mento.
Ultimamente est´a na moda a inven¸c˜ao de esportes. Por exemplo, outro dia vi na T.V., que algu´em criara o “surf na montanha”, logo ap´os a reportagem vaticinei a morte do esporte (sem nenhuma gra¸ca).
Pois bem, o produto dado em (1.2) resulta desinteressante e por isto n˜ao conquistou adeptos. Por outro lado, o produto definido em (1.1) resultou assaz interessante e, por conta disto, conquistou muitos adeptos.
∗Existem condi¸c˜oes adicionais sobre estas opera¸c˜oes. Condi¸c˜oes “intr´ınsecas” e
“extr´ınsecas” , diriamos. A mais importante, dentre estas ´ultimas, − assim cremos − ´e que resultem deutilidadenas ciˆencias.
“Conjuntos” num´ericos n˜ao s˜ao conjuntos
“No in´ıcio era o caos . . . e Deus disse: ‘Que exista a luz!’ E a luz come¸cou a existir.” (Gn 2: 3)
Acreditamos ser de algum proveito ao leitor tecermos alguns coment´arios sobre a diferen¸ca entreconjuntoeestrutura.
Em matem´atica s˜ao freq¨uentes conjuntos munidos de uma ou mais opera¸c˜oes, que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais opera¸c˜oes e respec-tivas propriedades constituem aquilo que denominamosestruturas alg´ebricas.
Primeiramente observamos que quando nos referimos− na maioria das vezes − aos “conjuntos num´ericos” Z, R, C, por exemplo; estamos nos referindo, a estes conjuntos com suas respectivas opera¸c˜oes, isto ´e, `as estruturas (Z, +,·), (R, +,·), etc.
Para que o leitor perceba que n˜ao ´e sem importˆancia essa distin¸c˜ao, fa¸camos uma analogia: Suponhamos que os elementos do nosso conjunto M sejam alguns materiais de constru¸c˜ao, assim: M ={tijolo, cimento, telha, pedra, areia, . . .}. “Sobre” este conjunto podemos construir diversas estruturas, por exemplo:
M
- Edif´ıcio - Casa - Ponte
H´a tanta imprecis˜ao em considerar um “conjunto” num´erico como um con-junto, quanto confundir o edif´ıcio com o conjunto M .
Um outro s´ımile: Com um jogo de xadrez tamb´em podemos jogar damas. Em outras palavras, com o conjunto das pe¸cas de um xadrez podemos construir duas estruturas: dama e xadrez.
Com as cartas de um baralho (conjunto das cartas) podemos ter diversos jogos (estruturas).
Vejamos um exemplo retirado da matem´atica. Considere o conjunto de pon-tos R2= (a, b): a, b ∈ R cuja vers˜ao geom´etrica ´e vista a seguir:
R2
0
sobre este conjunto podemos construir, por exemplo, trˆes estruturas, assim: R2 0 s(x, y) − Espa¸co vetorial − N´umeros complexos − Anel Ou ainda, R2
- Espa¸co vetorial : ( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) λ(a, b) = (λa, λb)
- N´umeros C : ( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)· (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
- ANEL : ( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)· (c, d) = (ab, cd)
Assim o n´umero de estruturas que podemos construir sobre um mesmo con-junto estar´a limitado apenas por nossa criatividade.
O objetivo do presente trabalho consiste, precisamente, em estudarmos mais uma estrutura construida sobre R2: Os n´umeros hipercomplexos(ver p´ag. 15).
Em matem´atica ´e extremamente importante a distin¸c˜ao entreconjuntoe es-trutura. Em alguns livros ao inv´es de conjunto dos n´umeros reais diz-sesistema dos n´umeros reais, designa¸c˜ao esta mais apropriada, uma vez que nos permite uma distin¸c˜ao entre conjunto e estrutura.
Em fun¸c˜ao do exposto sugerimos a seguinte nota¸c˜ao:
R =conjunto dos n´umeros reais; R=sistema dos n´umeros reais C =conjunto dos n´umeros complexos; C=sistema dos n´umeros complexos
Observe que, de acordo com nossa conven¸c˜ao, C = R2 e C = R2, +,· )
A Identidade de um Elemento
Uma outra distin¸c˜ao que se faz necess´aria ´e quanto anatureza(identidade) de um elemento.
Perguntamos: afinal de contas o par ordenado (3, 2) ´e um vetor ou um n´umero complexo?
Respondemos: o par ordenado (3, 2), por si s´o, n˜ao ´e nem uma coisa nem outra, ´e apenas um elemento do conjunto R2. Agora dependendo do contexto
em que nos situamos, este elemento pode ser um vetor ou um n´umero com-plexo.
Se, por exemplo, o par ordenado (3, 2) estiver inserido no contexto de espa¸co vetorial ele ser´a um vetor, se estiver inserido no contexto de n´umeros complexos ele ser´a um n´umero complexo.
Uma analogia: ´E como se fose um mesmo ator desempenhando v´arios pap´eis. Mais uma analogia: Nada nos impede de jogarmos dama com as mesmas pe¸cas do jogo de xadrez. A pe¸ca “bispo”, por exemplo, perderia esta designa¸c˜ao (perderia sua identidade) no jogo de dama.
Observe ainda que as trˆes estruturas apresentadas anteriormente n˜ao diferem naadi¸c˜ao, mas namultiplica¸c˜ao. Ent˜ao o que vai conferir a identidade de um elemento ´e a regra de multiplica¸c˜ao. Estabelecemos agora algumas defini¸c˜oes: Defini¸c˜ao 1 (Opera¸c˜ao). Sendo E um conjunto n˜ao vazio, toda aplica¸c˜ao
f : E× E → E recebe o nome de opera¸c˜ao sobre E.
Para construirmos um sistema num´erico sobre um dado conjunto basta definirmos duas opera¸c˜oes sobre este conjunto, uma das quais ser´a chamada deadi¸c˜aoe a outra demultiplica¸c˜ao, simbolizadas por + e ·, respectivamente. Mais formalmente,
Defini¸c˜ao 2 (Sistema num´erico). Dado um conjunto E n˜ao vazio e duas opera¸c˜oes sobre E,
+ : E× E → E
(x, y) 7→x+y
· : E × E → E
(x, y) 7→x·y
A terna (E, +, ·) ´e o que entendemos por um sistema num´erico (ou estrutura
num´erica). Usaremos da seguinte nota¸c˜ao (E, +,·) = E.
Defini¸c˜ao 3 (N´umero). Um “elemento” de um conjunto continuar´a a ser chamado de elemento; agora, ao construirmos uma estrutura alg´ebrica sobre este conjunto, este elemento ter´a adquirido o status de n´umero. Por exemplo,
1 ´e um elementodo conjunto dos naturais N ={1, 2, 3, . . .} enquanto que 1 ´e
um n´umero da estrutura N = N, +,·.
Continuaremos a usar o s´ımbolo de pertinˆencia (∈) tanto de elemento para conjunto quanto de n´umero para estrutura. Por exemplo,
1∈ N, 1 ∈ N
No primeiro caso 1 ´e umreleselementodo conjunto dos naturais; enquanto no segundo caso, 1 ter´a adquirido o status de n´umero do sistema num´erico dos naturais.
Ap´os a defini¸c˜ao de n´umero queremos colocar em relevo (fazer uma cr´ıtica) a uma cita¸c˜ao do l´ogico e filos´ofo Bertrand Russel, ei-la:
Um dos erros que retardaram a descoberta de defini¸c˜oes corretas nessa regi˜ao ´e a id´eia comum de que cada extens˜ao de n´umero inclui os gˆeneros anteriores como casos especiais.
Pensou-se, ao se tratar de n´umeros positivos e negativos, que os inteiros positivos podiam ser identificados com os inteiros originais sem sinal. Pensou-se tamb´em que uma fra¸c˜ao cujo denominador ´e 1 pudesse ser identificada com o n´umero natural que ´e o seu numerador. E pensou-se que os n´umeros irracionais, tais como a raiz quadrada de 2, tivessem lugar entre as fra¸c˜oes racionais, como maiores do que algumas delas e menores do que outras, de modo que os n´umeros racionais e os irracionais pudessem ser tomados juntos como uma classe, chamada “n´umeros reais”. E quando a id´eia de n´umero foi mais estendida de forma a incluir os n´umeros “complexos”, isto ´e, n´umeros envolvendo a raiz quadrada de −1, pensou-se que os n´umeros reais pudessem ser considerados como aqueles entre os n´umeros complexos nos quais a parte imagin´aria (isto ´e, a parte que era um m´ultiplo da raiz quadrada de −1) fosse zero. Todas essas suposi¸c˜oes eram errˆoneas, devendo ser rejeitadas, como veremos, para que possam ser dadas defini¸c˜oes corretas.
Do livro: “Introdu¸c˜ao `a filosofia matem´atica” de Bertrand Russell/ZAHAR EDITORES/Rio de Janeiro.
Seremos for¸cados a discordar do eminente fil´osofo. Sen˜ao, vejamos:
“Um dos erros que retardaram a descoberta de defini¸c˜oes corretas nessa regi˜ao ´e a id´eia comum de que cada extens˜ao de n´umero inclui os gˆeneros anteriores como casos especiais.”
“Pensou-se, ao se tratar de n´umeros positivos e negativos, que os inteiros positivos podiam ser identificados com os inteiros originais sem sinal.”
O erro de Russel est´a, precisamente, em confundir conjunto com estrutura, ou ainda: elemento com n´umero. De fato, na constru¸c˜ao dos inteiros a partir dos naturais, temos (por exemplo),
1∈ N
1′= (1, 0) = (1, 0); (2, 1); (3, 2); (4, 3); . . . ∈ Z
De fato, n˜ao temos N⊂ Z, porquanto 1 ∈ N e 1 6∈ Z. Entretanto, temos 1∈ N e 1′∈ Z+
⇒ 1 = 1′
Em fun¸c˜ao da existˆencia do isomorfismo (entre estruturas):
a∈ N φ (a, 0) ∈ Z+
onde, Z+ = { (a, 0): a ∈ N }, +, · ). Ou seja, a existˆencia de uma imers˜ao
entre estruturas num´ericas, nos permite sim identificar n´umeros.
“Pensou-se tamb´em que uma fra¸c˜ao cujo denominador ´e 1 pudesse ser identificada com o n´umero natural que ´e o seu numerador.” Isto tamb´em ´e verdade.
1.2
Defini¸c˜
ao: N´
umeros Hipercomplexos
Seja R o conjunto dos n´umeros reais. Consideremos o produto cartesiano R× R = R2:
R2= (x, y): x, y ∈ R
Vamos tomar dois elementos neste conjunto, (a, b) e (c, d) para dar trˆes importantes defini¸c˜oes:
( i ) Igualdade: dois pares ordenados s˜ao iguais se, e somente se, ocorre o seguinte:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d.
( ii )Adi¸c˜ao: chama-se adi¸c˜ao de dois pares ordenados a um novo par ordenado, obtido da seguinte forma:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
( iii )Multiplica¸c˜ao: chama-se multiplica¸c˜ao de dois pares ordenados a um novo par ordenado, obtido da seguinte forma:
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ),
onde, na abscissa do produto, tomamos− se a c ≥ 0, tomamos + caso contr´ario. Defini¸c˜ao 4 (N´umeros hipercomplexos). Chama-sesistemadosn´umeros
hiper-complexos, e representamos por H, ao sistema de pares ordenados de n´umeros
reais para os quais est˜ao definidas a igualdade, a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao con-forme o ´ıtem acima.
(11.12.2008) Adendo: Poderia-se perguntar: Quais as propriedades que uma estrutura† deveria satisfazer para ser considerada uma estrutura num´erica; isto
´e, para que tenhamos creado alguma esp´ecie de n´umeros?
A este respeito, os matem´aticos − n˜ao raro − s˜ao guiados por motiva¸c˜oes “est´eticas” (no que n˜ao est˜ao errados) e por “dogmas”, isto ´e pr´e-conceitos (no que est˜ao errados). A bem da verdade, no que diz respeito `as crea¸c˜oes matem´aticas, as aplica¸c˜oes pr´aticas sempre dir˜ao a ´ultima palavra; de outro modo: autilidadede uma teoria sempre ter´a ascendˆencia sobre as preferˆencias ou motiva¸c˜oes dos matem´aticos.
Digo, se algo deu provas cabal de sua utilidade, n˜ao ser˜ao os matem´aticos que, por algum ou outro capricho, o colocar˜ao no´ındex. Veja-se por exemplo, o caso da fun¸c~ao delta( δ ) de Dirac, na F´sica.
Defini¸c˜ao 5 (N´umeros hipercomplexos). Chama-sesistemadosn´umeros
hiper-complexos, e representamos por H, ao sistema de pares ordenados de n´umeros
reais para os quais est˜ao definidas a igualdade, a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao con-forme o ´ıtem acima.
Representaremos cada elemento gen´erico (x, y)∈ H com o s´ımbolo w, por-tanto:
w∈ H ⇔ w = (x, y) ∈ ( R2, +,
·)
Nota: Na p´ag. 65 mostramos um programa para multiplicar dois hipercom-plexos.
Exemplos:
1o) Calcule a soma e o produto dos pares dados a seguir:
( i ) w1 = (0, 1), w2 = (0,−1) ( ii ) w1 = (−1, 0), w2 = (0, 1) ( iii ) w1 = (1,−1), w2 = (0, 1) ( iv ) w1 = (0, 1), w2 = (1, 1) ( v ) w1 = (−1, 1), w2 = (1, 1) Solu¸c˜ao: ( i ) Temos, w1+ w2 = (0, 1) + (0,−1) = 0 + 0, 1 + (−1) = (0, 0)
O produto ´e calculado assim:
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(0, 1)· (0, −1) = 0 · 0 − 1 · (−1), |0| · (−1) + 1 · |0| = (1, 0) ( ii ) Temos,
w1+ w2= (−1, 0) + (0, 1) = − 1 + 0, 0 + 1 = (−1, 1)
O produto ´e calculado assim:
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(−1, 0) · (0, 1) = − 1 · 0 − 0 · 1, | − 1| · 1 + 0 · |0| = (0, 1) ( iii ) Temos,
w1+ w2= (1,−1) + (0, 1) = 1 + 0, −1 + 1 = (1, 0)
O produto ´e calculado assim:
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(1, −1) · (0, 1) = 1 · 0 − (−1) · 1, |1| · 1 + (−1) · |0| = (1, 1) ( iv ) Temos,
w1+ w2 = (0, 1) + (1, 1) = 0 + 1, 1 + 1 = (1, 2)
O produto ´e calculado assim:
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(0, 1)· (1, 1) = 0 · 1 − 1 · 1, |0| · 1 + 1 · |1| = (−1, 1) ( v ) Temos,
O produto ´e calculado assim:
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(−1, 1) · (1, 1) = − 1 · 1 + 1 · 1, | − 1| · 1 + 1 · |1| = (0, 2) 2o) Dados w
1 = (−1, 1) e w2= (1, 2), calcule w de modo que w1· w = w2.
Solu¸c˜ao: Tomemos w = (x, y), ent˜ao,
w1· w = w2 ⇒ (−1, 1) · (x, y) = (1, 2),
Temos,
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(−1, 1) · (x, y) = − 1 · x ∓ 1 · y, | − 1| · y + 1 · |x| = (1, 2)
− Inicialmente vamos pesquisar a solu¸c˜ao de nossa equa¸c˜ao no semi-plano x > 0; sendo assim, temos:
− x + y, y + x = (1, 2) Sendo assim, resulta:
(−x + y = 1 x + y = 2 ⇒ (x, y) = 1 2, 3 2
− Agora vamos pesquisar uma (poss´ıvel) solu¸c˜ao para a nossa equa¸c˜ao no semi-plano x≤ 0; sendo assim, temos:
− x − y, y − x = (1, 2) Sendo assim, resulta:
( −x − y = 1 −x + y = 2 ⇒ (x, y) = −32, 1 2
Observe que, em H, uma equa¸c˜ao do 1ograu pode ter mais que uma solu¸c˜ao.
Evidentemente isto acontece por que H n˜ao ´e um corpo.
1.3
Propriedades das opera¸c˜
oes
Proposi¸c˜ao 1. A opera¸c˜ao de adi¸c˜ao define em H umaestruturadegrupo
co-mutativo, isto ´e, verifica as seguintes propriedades:
A1) Propriedade associativa; A2) propriedade comutativa; A3) existˆencia do elemento neutro;
A4) existˆencia do elemento sim´etrico (ou oposto).
Prova: Deixamos como exerc´ıcio.
Apenas observamos que, 0 = (0, 0) ´e o elemento neutro para a adi¸c˜ao. Dado w = (x, y) temos que−w = (−x, −y) ´e o seu oposto aditivo, isto ´e,
Subtra¸c˜ao
Decorre da proposi¸c˜ao anterior que, dados os hipercomplexos w1 = (a, b) e
w2 = (c, d) existe um ´unico w ∈ H tal que w1 + w = w2. Esse n´umero w ´e
chamadodiferen¸caentre w2 e w1 e indicado por w2− w1.
Proposi¸c˜ao 2. A opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao em H verifica as seguintes pro-priedades:
M1) Propriedade comutativa; M2) n˜ao associativa;
M3) existˆencia do elemento neutro; M4) existˆencia do elemento inverso; M5) n˜ao distributiva em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao.
M1) Propriedade comutativa.
Dados w1 = (a, b) e w2 = (c, d) temos:
w1· w2 = (a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
w2· w1 = (c, d)· (a, b) = ( c a ∓ d b, |c| b + d |a| ),
comparando estas equa¸c˜oes concluimos pela comutatividade do produto. M2) N˜ao associativa. Tomando, por exemplo,
w1 = (0, 1), w2 = (−1, 0), w3 = (1,−1).
Resulta (confira),
(w1· w2)· w3 = (1, 1)
w1· (w2· w3) = (−1, 1)
M3) Existˆencia do elemento neutro. Existe 1 = (1, 0) ∈ H com a seguinte propriedade: w· 1 = w, ∀ w ∈ H. De fato, considerando w = (a, b) temos,
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(a, b)· (1, 0) = (a · 1 ∓ b · 0, |a| · 0 + b · |1| ) = (a, b)
Nota: Da comutatividade da multiplica¸c˜ao decorre aunicidadedo elemento neutro.
Com efeito, assim: sejam u e ˜u dois elementos neutros para a multiplica¸c˜ao. Sendo assim, ter-se-`a, por um lado, w· u = w, para todo w ∈ H; em particular ˜
u· u = ˜u (∗). Por outro lado tamb´em temos w · ˜u = w, para todo w ∈ H; em particular u· ˜u = u. Esta ´ultima igualdade pode ser reescrita como ˜u · u = u. Daqui e de (∗) concluimos que u = ˜u.
M4) Existˆencia do elemento inverso. Desejamos mostrar que, ∀ w ∈ H∗, ∃ w−1 ∈ H / w · w−1 = 1.
De fato, tomando w = (a, b)6= (0, 0), procuramos w′ = (x, y) satisfazendo
w· w′= (1, 0); ent˜ao:
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(a, b)· (x, y) = (a · x ∓ b · y, |a| y + b |x| ) = (1, 0) Daqui montamos o seguinte sistema,
a x ∓ b y = 1 |a| y + b |x| = 0
Para resolver este sistema temos quatro possibilidades quanto aos sinais de a e x, de acordo com a tabela a seguir:
a x + + + − − + − − ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) Ent˜ao,
( i ) Neste caso, o sistema reduz-se a:
a x− b y = 1 a y + b x = 0 Este sistema, na forma matricial fica,
a −b b a ! · xy ! = 1 0 !
Cuja solu¸c˜ao ´e,
x = a
a2+b2, y = a2−b+b2
( ii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:
a x + b y = 1 a y− b x = 0 Este sistema, na forma matricial fica,
a b −b a ! · x y ! = 1 0 !
Cuja solu¸c˜ao ´e,
x = a2+ba 2, y = a2+bb 2
Esta solu¸c˜ao, n´os descartamos, pois contradiz a hip´otese de que a e x tˆem sinais contr´arios.
( iii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:
a x + b y = 1 −a y + b x = 0 Este sistema, na forma matricial fica,
a b b −a ! · xy ! = 1 0 !
Cuja solu¸c˜ao ´e,
x = a2+ba 2, y = a2+bb 2
Esta solu¸c˜ao, n´os descartamos, pois contradiz a hip´otese de que a e x tˆem sinais contr´arios.
( iv ) Neste caso, o sistema reduz-se a:
a x− b y = 1 −a y − b x = 0 Este sistema, na forma matricial fica,
a −b −b −a ! · xy ! = 1 0 !
Cuja solu¸c˜ao ´e,
x = a2+ba 2, y = a2−b+b2
Esta solu¸c˜ao, coincide com a primeira. Portanto existe,
w′ = a
a2+b2, a2−b+b2
(e ´e ´unico, pelo que vimos), chamado inversoou inverso multiplicativo de w, que multiplicado por w = (a, b) d´a como resultado 1 = (1, 0).
Divis˜ao
Devido a existˆencia doinverso multiplicativo, podemos definir em H a opera¸c˜ao de divis˜ao, simbolizada por w1
w2
, estabelecendo que w1
w2
= w1 · w2′ = w1· w−12 ,
onde mudamos de nota¸c˜ao: w′ 2= w
−1 2 .
M5) A multiplica¸c˜ao ´e n˜ao distributiva em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao.
Tomando, por exemplo, a = (1, 1), b = (−1, −1) e c = (0, −1), obtemos a· (b + c) = (−3, −1)
1.4
Imers˜
ao de R em H
Consideremos agora asubestruturaR˜ de H na qual ˜R ´e formado pelos pares ordenados cujo segundo termo ´e nulo:
˜
R = (a, b) ∈ R2: b = 0
Consideremos agora a aplica¸c˜ao f , de R em ˜R, que leva cada x ∈ R ao par (x, 0)∈ ˜R, tipo assim: R R˜ H f a (a, 0) b (b, 0) a + b (a + b, 0) a· b (a· b, 0) f : R R˜ x (x, 0)
Primeiramente notemos que f ´ebijetora, porquanto:
( i ) todo par (x, 0) ∈ ˜R ´e o correspondente, segundo f , de x ∈ R (isto quer dizer que f ´e sobrejetora);
( ii ) Dados x ∈ R e x′ ∈ R, com x 6= x′ os seus correspondentes (x, 0) ∈ ˜R e (x′, 0) ∈ ˜R s˜ao distintos, de acordo com a defini¸c˜ao de igualdade de pares ordenados (isto quer dizer que f ´e injetora).
Em segundo lugar, notemos que f preserva as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multi-plica¸c˜ao pois,
f (a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f (a) + f (b)
No que concerne `a multiplica¸c˜ao, temos: f (a b) = (a b, 0). Desejamos mostrar que
f (a b) = f (a)· f(b) Isto ´e, que
f (a)· f(b) = (a, 0) · (b, 0) = (a b, 0) ?
Ent˜ao,
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
Devido ao fato de existir uma aplica¸c˜ao f : R→ ˜Rque preserva as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, dizemos que R e ˜Rs˜aoisomorfos.
Devido ao isomorfismo, operar com (x, 0) leva a resultados an´alogos aos obti-dos operando com x; em raz˜ao disto, de agora em diante, faremos aidentifica¸c˜ao
que se segue:
x = (x, 0), ∀ x ∈ R Aceita esta conven¸c˜ao, em particular resulta:
0 = (0, 0), 1 = (1, 0), −1 = (−1, 0), a = (a, 0)
Assim o corpo R dos n´umeros reais passa a ser considerado umasubestrutura
dosistemaHdos n´umeros hipercomplexos: R ⊢ H.
Demonstraremos agora algumas proposi¸c˜oes elementares, em H: Proposi¸c˜ao 3. Para todo w = (a, b)∈ H, vale:
0· w = 0 Prova: Temos:
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(0, 0)· (a, b) = 0 · a ∓ 0 · b, |0| · b + 0 · |a| = (0, 0)
Proposi¸c˜ao 4. Sejam, w = (a, b), w′ = (c, d)∈ H, temos:
w· w′ = 0 ⇒ w = 0 ou w′ = 0. Prova: Temos: (a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (a, b)· (c, d) = a · c ∓ b · d, |a| · d + b · |c| = (0, 0) Ent˜ao, ( ac ∓ bd = 0 |a|d + b|c| = 0
Devemos considerar quatro possibilidades de acordo com os sinais de a e c:
a c + + + − − + − − ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) Ent˜ao,
( i ) Neste caso, o sistema reduz-se a: a c− b d = 0 a d + b c = 0
Suponhamos que w = (a, b)6= 0 e vamos determinar w′ = (c, d). Neste caso o
sistema toma a forma,
a −b b a ! · c d ! = 0 0 !
Cuja solu¸c˜ao ´e,
c = a2+b0 2, d = 0 a2+b2
Portanto, w′= 0.
( ii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:
a c + b d = 0 a d− b c = 0
Suponhamos que w = (a, b)6= 0 e vamos determinar w′ = (c, d). Neste caso o
sistema toma a forma
a b −b a ! · cd ! = 0 0 !
Cuja solu¸c˜ao ´e,
c = a2+b0 2, d = 0 a2+b2
Portanto, w′= 0. E assim prova-se os outros dois casos restantes. Provaremos agora umaimportantepropriedade do sistema H:
Proposi¸c˜ao 5. Para todo k ∈ R, e para todo w = (a, b) em H, a seguinte
identidade k· (a, b) = ( k a, |k| b ) =((k a, k b), se k≥ 0; (k a,−k b), se k < 0. se verifica. Prova: De fato, (a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (k, 0)· (a, b) = k · a ∓ 0 · b, |k| · b + 0 · |a| = ( k a, |k| b ) Esta proposi¸c˜ao nos proporciona umfenˆomenoque n˜ao ocorre em R ou em C.
Corol´ario 1. Em H a seguinte identidade −1 · x = −x
´e falsa.
Prova: De fato, tomando x = (0, 1), resulta, −x = −(0, 1) = (0, −1)
−1 · x = (−1 · 0, | − 1| · 1) = (0, 1)
Sendo assim ´e importante estaratento para o fato de que, ao contr´ario do que ocorre em R, ou em C, em H ´e necess´ario distinguir entre−x e −1 · x.
Observe que, enquanto no primeiro caso temos o oposto aditivo de x, no se-gundo caso temos o produto de dois hipercomplexos: −1 = (−1, 0) e x = (a, b).
Podemos visualizar isto graficamente, assim:
C: −x = −1 · x x −x H: −x 6= −1 · x x −x −1 · x
Observe, outrossim, que em H n˜ao vale a propriedade de cancelamento para a multiplica¸c˜ao; para se convencer disto considere a seguinte igualdade,
1· (0, 1) = −1 · (0, 1) Isto se deve ao fato da multiplica¸c˜ao n˜ao ser associativa.
Defini¸c˜ao 6 (Oposto multiplicativo). Dado w∈ H definiremos como seuoposto
multiplicativo o n´umero −1 · w.
1.5
Unidade hiperimagin´
aria
Chamamos unidade hiperimagin´ariae indicamos por j o n´umero hipercom-plexo (0, 1). Este n´umero possui duas propriedades que, em conjunto, n˜ao s˜ao partilhadas por nenhum n´umero complexo, quais sejam:
j2= (0, 1)
· (0, 1) = (−1 · 1, 0) = −1, por outro lado, como vimos antes,−1 · j = j. Em resumo:
(
j2=
−1
−1 · j = j (1.3)
Problemas insol´uveis em C, mas com solu¸c˜ao em H ´
E de se esperar que, de posse desta propriedadeunica´ de j, consigamos resolver toda uma classe de novos problemas que n˜ao tˆem solu¸c˜ao no sistema C.
E de fato isto acontece. Com efeito, estas propriedades j´a nos d˜ao uma indica¸c˜ao do tipo destes problemas, observe:
Propriedade Problema H: ( j2=−1, −1 · j = j ( x2+ 1 = 0, −1 · x − x = 0
Ou seja, n˜ao existe nenhum n´umero complexo x satisfazendo, simultˆaneamente, as duas condi¸c˜oes `a direita.
Acontece que, como diz o velho ad´agio popular, “onde passa um boi, passa uma boiada” , quero dizer: se ahiperpropriedadenos faculta resolver um prob-lema insol´uvel em C ent˜ao pode nos facultar uma infinidade deles. Vejamos mais um exemplo, o seguinte sistema:
( x + y = 0
(−1 · x − y) · y = 2
n˜ao possui solu¸c˜ao nos complexos, apenas nos hipercomplexos.
1.5.1
Forma alg´
ebrica
Dado um n´umero hipercomplexo qualquer w = (x, y), temos: w = (x, y) = (x, 0) + (0, y)
Temos,
( i ) (x, 0) = x.
( ii ) Se y≥ 0, ent˜ao (0, y) = y (0, 1) = y j. Se y≤ 0 ( |y| = −y ), ent˜ao
−j y = y · (−j) = y · ( 0, −1 ) = ( y · 0, |y| · (−1) ) = ( 0, (−y) · (−1) ) = (0, y) Tendo em conta estes resultados podemos escrever,
w = (x, y) =(x + j y, se y≥ 0;
x− j y, se y≤ 0. (1.4)
Assim, todo n´umero hipercomplexo w = (x, y) pode ser escrito sob a forma acima, chamadaforma alg´ebrica. O n´umero real x ´e chamadoparte realde w, o n´umero real y ´e chamadoparte hiperimagin´ariade w.
Neste momento precisamos fazer um esclarecimento assaz importante: A estas alturas o leitor j´a percebeu que a ´algebra hipercomplexa ´e “ligeiramente” distinta da ´algebra real ou complexa. Isto nos obriga a estar (bastante) atentos
quanto `as nota¸c˜oes. Por exemplo, consideremos as quatro formas seguintes x− j y
x− y j x + j(−y) x + y(−j)
Vejamos o significado da segunda parcela em cada uma delas: −jy, significa: o opostode j que multiplica y −yj, significa: o opostode y que multiplica j j(−y), significa: o opostode y que multiplica j y(−j), significa: o opostode j que multiplica y O leitor pode mostrar, a partir da proposi¸c˜ao 5, que
−jy 6= −yj = j(−y)
Um milagre aos olhos dos habitantes Complexos
Se, algum dia, um matem´atico do Universo complexo se defrontar com a seguinte equa¸c˜ao elementar: (−1 · x + x) · x = −1, ˆele teria duas sa´ıdas: aban-donar o “jogo”, ou consultar um matem´atico do “universo Hipercomplexo”∗.
De fato, esta ´e uma equa¸c˜ao imposs´ıvel de se resolver dentro dos universos num´ericos conhecidos dos matem´aticos (hodiernos), em raz˜ao de que vale:
(−1 · x + x) · x = −1 ⇐⇒ 0 · x = −1 Pois bem, vamos assumir o desafio.
Proposi¸c˜ao 6 (Gentil/04.12.2008). A seguinte equa¸c˜ao,
(−1 · x + x) · x = −1 (1.5)
possui solu¸c˜ao em H.
Prova: Tomando x = (c, d ), temos −1 · x = −1 · (c, d ) = (−c, d ), pela prop. 5, p´ag. 23. Portanto,
−1 · x + x = (−c, d ) + (c, d ) = (0, 2d ) Substituindo este resultado em (1.5), obtemos
(0, 2d )· (c, d ) = −1 O produto acima fica,
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (0, 2d)· (c, d) = 0 · c ∓ 2d · d, |0| · d + 2d · |c|
= (−2d2, 2
|c|d ) = (−1, 0)
´
E f´acil ver que para c6= 0 o problema n˜ao tem solu¸c˜ao. Para c = 0 concluimos que d =±√2/2. Portanto, x =0,± √ 2 2 ⇒ x =√2/2 j ou x =− √2/2 j.
Observe que o n´umero j foi o respons´avel por este milagre!
A t´ıtulo de curiosidade, observe que, das duas equa¸c˜oes abaixo: x2 + 1 = 0
(−1 · x + x) · x + 1 = 0
Com o n´umero i resolvemos apenas a primeira, ao passo que, com o n´umero j resolvemos as duas.
− Considerando a equa¸c˜ao,
0· x = b, b 6= 0 (1.6)
nos reais, ou complexos; como, nestes universos, vale 0 =−1 · x + x 0 =−1 · (−x) + (−x) Segue-se que, 0· x = b ⇐⇒ (−1 · x + x) · x = b (−1 · (−x) + (−x)) · x = b (1.7)
Em H, embora n˜ao possamos resolver diretamente a equa¸c˜ao (1.6), podemos resolver suas equivalentes, dadas acima.
Se b > 0, resolvemos a segunda das equa¸c˜oes em (1.7), caso contr´ario re-solvemos a primeira. Por exemplo, seja a equa¸c˜ao 0· x = 1, ent˜ao,
0· x = 1 ⇐⇒ (−1 · (−x) + (−x)) · x = 1 Tomando x = (c, d), temos,−x = (−c, −d), logo,
−1 · (−x) + (−x) = −1 · (−c, −d) + (−c, −d) = (c, −d) + (−c, −d) = (0, −2d) Ent˜ao,
(−1 · (−x) + (−x)) · x = 1 ⇒ (0, −2d) · (c, d) = 1 O produto acima fica,
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(0, (−2d)) · (c, d) = 0 · c ∓ (−2d) · d, |0| · d + (−2d) · |c| = (2d2,−2|c|d ) = (1, 0)
´
E f´acil ver que para c6= 0 o problema n˜ao tem solu¸c˜ao. Para c = 0 concluimos que d =±√2/2. Portanto, x =0,± √ 2 2 ⇒ x =√2/2 j ou x =− √2/2 j.
1.5.2
Exegese da unidade hiperimagin´
aria
Sabemos que, dado um n´umero complexo z, a interpreta¸c˜ao geom´etrica do produto i z ´e a de uma rota¸c˜ao de 90o − no sentido positivo, isto ´e anti-hor´ario
− do complexo z. Pretendemos saber o que acontece, geometricamente, quando multiplicamos um hipercomplexo w pela unidade hiperimagin´aria j.
Inicialmente recordamos a f´ormula para rota¸c˜ao− de um ˆangulo θ − de um ponto (x, y) no plano:
(x′, y′) = (x cos θ− y sen θ, x sen θ + y cos θ) (1.8) Desta f´ormula obtemos,
R( 90o) = (x cos 90o− y sen 90o, x sen 90o+ y cos 90o) = (
−y, x) (1.9)
R(−90o) = (x cos 90o+ y sen 90o,
−x sen 90o+ y cos 90o) = (y,
−x) (1.10) Seja w = (x, y)∈ H, ent˜ao (a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (0, 1)· (x, y) = 0 · x ∓ 1 · y, |0| · y + 1 · |x| Ent˜ao, j w = (−y, |x| ) Ent˜ao, Se x≥ 0 ⇒ j w = (−y, x ) Se x≤ 0 ⇒ j w = (−y, −x ) = −1 · (y, −x )
Comparando estes resultados com as equa¸c˜oes (1.9) e (1.10), concluimos que pontos do lado direito do eixo y s˜ao rotacionados de 90ono sentido anti-hor´ario,
assim: 0 x y w jw q q q
e que pontos do lado esquerdo do eixo y sofrem uma rota¸c˜ao de 90o no sentido
hor´ario seguida de umareflex˜aoem torno do eixo y, assim:
0 x y w jw q q q q 0 x y w jw q q q q q q
“Interse¸c˜ao” entre H e C
Agora vamos confrontar a multiplica¸c˜ao (a, b)· (c, d) nos sistemas H e C para efeito de compara¸c˜ao, assim:
(a, b)· (c, d) = (ac − bd, ad + bc) (a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
Comparando as duas regras concluimos que estas multiplica¸c˜oes coincidem no semi-plano x≥ 0.
0 x
y H=C
A “igualdade” H = C na figura acima, significa t˜ao somente isto: Ao tomarmos dois pontos nesta regi˜ao sua soma e multiplica¸c˜ao fornecem o mesmo resultado nestes dois sistemas.
Observe que j encontra-se nesta regi˜ao, o que significa que (no semi-plano x ≥ 0) ele tem as mesmas propriedades operat´orias que i, enquanto que no semi-plano x < 0 verifica-se,
j = (0, 1)6= (0, 1) = i Aqui n˜ao valeo axioma:
“Duas quantidades iguais a uma terceira, s˜ao iguais entre si.”
De um modo mais esot´erico: i e j habitam um mesmo corpo, todavia, s˜ao esp´ıritos distintos. S˜ao como gˆemeos.
Transforma¸c˜
oes geom´
etricas
No universo Complexo, o significado geom´etrico da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao ´e uma
transla¸c˜ao, assim:
(x, y) + (a, b) = (x + a, y + b)
O significado geom´etrico da opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao ´e uma rota¸c˜ao, assim:
(x, y)· (cos θ, sen θ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)
Atrav´es da multiplica¸c˜ao vejamos como implementar uma outra transforma¸c˜ao geom´etrica, a reflex˜ao em torno do eixo y, por exemplo. De outro modo: dado o
ponto de coordenadas (x, y) como, atrav´es da multiplica¸c˜ao, obter uma reflex˜ao deste ponto em torno do eixo y? Geometricamente:
0 x y (x, y) (−x, y) ? q q q 0 x y (x, y) (−x, y) q q q θ
A figura da direita nos sugere que devemos rotacionar o ponto (x, y) de um certo ˆangulo θ de tal modo que o produto venha a coincidir com a reflex˜ao desejada.
Para encontrar o “ˆangulo de reflex˜ao” devemos resolver a equa¸c˜ao, (x cos θ− y sen θ, x sen θ + y cos θ) = (−x, y)
Ou ainda:
(x cos θ − y sen θ = −x x sen θ + y cos θ = y
Multiplicando a primeira equa¸c˜ao por x, a segunda por y e somando as duas obtemos cos θ. Multiplicando a primeira equa¸c˜ao por y, a segunda por −x e somando as duas obtemos sen θ, assim:
cos θ = −x
2+ y2
x2+ y2 , sen θ =
2xy x2+ y2
Observe que para obtermos o mesmo resultado nos Hipercomplexos, basta multiplicar por−1, assim:
−1 · (x, y) = (−x, y)
1.6
Forma trigonom´
etrica
Defini¸c˜ao 7 (Conjugado). Chama-se conjugado do hipercomplexo w = (a, b) ao hipercomplexo w = (a,−b), isto ´e:
w = (a, b) ⇔ w = (a, −b)
Defini¸c˜ao 8 (Norma). Chama-senormado hipercomplexo w = (a, b) ao n´umero real
N (w) = a2+ b2
Defini¸c˜ao 9 (M´odulo). Chama-sem´odulo(ouvalor absoluto) do hipercomplexo w = (a, b) ao n´umero real
|w| =pN(w) =p
a2+ b2
Nota: Alternativamente podemos usar a nota¸c˜ao: ρ, para o m´odulo. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor, mostrar que w· w = |w|2.
Observe que o inverso de w = (a, b) pode ser escrito como,
w−1= a a2+ b2, −b a2+ b2 ⇔ w−1= a |w|2, −b |w|2 Ou ainda, w−1 = 1 |w|2 ( a,−b ).
Defini¸c˜ao 10 (Argumento). Chama-se argumento de um hipercomplexo w =
(x, y), n˜ao nulo, ao ˆangulo θ tal que
cos θ =x
ρ, sen θ = y ρ
Observe que existe ao menos um ˆangulo θ satisfazendo a defini¸c˜ao, pois cos2θ + sen2θ = x ρ 2 + y ρ 2 =x 2+ y2 ρ2 = 1.
Fixado o hipercomplexo w 6= 0, est˜ao fixados cos θ e sen θ, mas o ˆangulo θ pode assumir infinitos valores, congruentes dois a dois. Assim o hipercomplexo w6= 0 tem argumento,
θ = θ0+ 2 k π; k ∈ Z
onde θ0 ´e chamadoargumento principalde w, ´e tal que
cos θ0 = x ρ, sen θ0= y ρ. e 0≤ θ0 < 2π. (1.11)
Por vezes trabalharemos com θ0 chamando-o simplesmente argumento de w.
Exemplos:
1o) Para w =√3 + i, temos ρ =q(√3)2+ 12+ 02= 2, ent˜ao
cos θ0 = x ρ = √ 3 2 sen θ0 = y ρ = 1 2 Tendo em conta (1.11), resulta
θ0 =
π
6 ⇒ θ =
π 6 + 2kπ
2o) Para w = (0, 1), temos ρ =√02+ 12= 1, ent˜ao
cos θ0 = x ρ = 0 1 = 0 sen θ0 = y ρ = 1 1 Sendo assim, temos
cos θ0 = 0 ⇒ θ0 = π 2 sen θ0 = 1 Temos θ = π 2 + 2kπ
Plano de Argand-Gauss
Podemos representar gr´aficamente um hipercomplexo w = (x, y), no assim chamado plano de Argand-Gauss, do seguinte modo:
O X Y x y ρ P θ0
Note que a distˆancia entre w = (x, y) e O = (0, 0) ´e o m´odulo de w: |w| =px2+ y2= ρ
Nomenclatura:
XOY = plano de Argand-Gauss; OX = eixo real;
OY = eixo hiperimagin´ario; P = afixo de w.
A seguinte inequa¸c˜ao:
| − 1 · x + x| > 1
n˜ao possui solu¸c˜ao no campo complexo. No hipercomplexo sim. Com efeito, tomemos x = (a, b), ent˜ao:
−1 · x + x = −1 · (a, b) + (a, b) = (−a, b) + (a, b) = (0, 2b) Portanto, | − 1 · x + x| = |(0, 2b)| =p02 + (2b)2=|2b| > 1, ent˜ao, 2|b| > 1 ⇔ |b| > 1 2 ⇔ b > 1 2 ou b <− 1 2 Podemos visualizar o conjunto solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao proposta, assim:
x y
0 1/2
−1/2
Forma trigonom´etrica
Podemos escrever um hipercomplexo w da seguinte forma, w = ρ (cos θ, sen θ)
chamadaforma trigonom´etricade w. Na forma alg´ebrica temos, w =(ρ (cos θ + j sen θ), se sen θ ≥ 0;
ρ (cos θ− j sen θ), se sen θ ≤ 0. (1.12)
Ver equa¸c˜ao (1.4), p´ag. 25. De outro modo:
w =(ρ (cos θ + j sen θ), se 0 ≤ θ ≤ π;
Multiplica¸c˜ao na forma trigonom´etrica
Sejam w1 = ρ1(cos θ1, sen θ1) e w2 = ρ2(cos θ2, sen θ2). Temos,
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) w1· w2 = ρ1ρ2(cos θ1, sen θ1)· (cos θ2, sen θ2)
= ρ1ρ2(cos θ1· cos θ2 ∓ sen θ1· sen θ2,| cos θ1| · sen θ2+ sen θ1· | cos θ2|)
Podemos abrir esta equa¸c˜ao em quatro, de acordo com a tabela a seguir: cos θ1 cos θ2 + + + − − + − − ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) Ent˜ao,
( i ) Neste caso temos,
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1+ θ2), sen (θ1+ θ2) ) (1.14)
( ii ) Neste caso temos,
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1− θ2),− sen (θ1− θ2) )
( iii ) Neste caso temos,
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1− θ2), sen (θ1− θ2) )
( iv ) Neste caso temos,
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1+ θ2),− sen (θ1+ θ2) ) (1.15) Nota: Os casos ( ii ) e ( iii ) reduzem-se a um ´unico ao permutarmos: w1 ↔ w2.
Corol´ario 2. Sejam w1 e w2 hipercomplexos, ent˜ao: |w1· w2| = |w1| · |w2|.
Nota: Esta dedu¸c˜ao n˜ao inclui o caso em que cos θ1 = 0 ou cos θ2 = 0 (isto
´e, n˜ao vale para pontos no eixo y, como j, por exemplo). Interpreta¸c˜ao geom´etrica
Sabemos que a interpreta¸c˜ao geom´etrica do produto complexo ´e umarota¸c˜ao
(positiva, isto ´e, anti-hor´aria). Vejamos uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para o produto hipercomplexo. Este produto depende da posi¸c˜ao relativa dos pontos envolvidos. Ent˜ao,
( i ) Se ambos os pontos situam-se do lado direito do eixo y ent˜ao o produto hipercomplexo coincide com o produto complexo, portanto ´e uma rota¸c˜ao pos-itiva.
hipercomplexo coincide com o produto complexo, a menos de umareflex˜ao. Em outras palavras: ´e uma rota¸c˜ao seguida de umareflex˜aoem torno do eixo x. ( ii ) Neste caso, para interpretar o produto w1· w2, convencionaremos chamar
o fator `a direita (isto ´e, w2) deindutore o fator `a esquerda deinduzido. Sendo
assim interpretamos o produto,
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1− θ2),− sen (θ1− θ2) )
dizendo que w2 induzuma rota¸c˜ao (negativa, isto ´e, hor´aria) de um ˆangulo θ2
em w1 (induzido) seguida de umareflex˜aoem torno do eixo x.
Em resumo: no produto acima, w1 sofre uma rota¸c˜ao (hor´aria) seguida de
uma reflex˜ao∗.
Este mesmo produto comporta uma nova interpreta¸c˜ao se trocarmos os pap´eis de indutor e induzido, assim
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1− θ2),− sen (θ1− θ2) )
= ρ2ρ1(cos(θ2− θ1), sen (θ2− θ1) ) = w2· w1
Neste caso dizemos que w1 (indutor) induz uma rota¸c˜ao (hor´aria) de θ1 em w2
(induzido).
( iii ) Este caso ´e tratado de modo an´alogo ao anterior.
Vejamos geometricamente um exemplo de cada um dos produtos acima: ( i ) Sejam w1= (1, 1) e w2 = 2,− 2√3 3 . Temos, w1 = √ 2 (cos 45o, sen 45o) w2 = 4 √ 3 3 (cos 330 o, sen 330o)
Vamos multiplicar estes n´umeros de duas formas: • Forma trigonom´etrica; w1· w2 = √ 2· 4 √ 3 3 cos(45 o+ 330o), sen (45o+ 330o) = 4 √ 6 3 ( cos 375 o, sen 375o) • Forma cartesiana; (a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (1, 1)·2,−2 √ 3 3 =1· 2 − 1 · −2 √ 3 3 , |1| · − 2√3 3 + 1 · |2| = 2 3(3 + √ 3, 3−√3) Graficamente, temos
∗Estamos, de prop´osito − para simplificar nossa an´alise −, ignorando o produto dos
0 x y q q q q q w1 w2 1 2 1 2 −1 0 x y q q q q q w1 w2 1 2 1 2 −1 w1·w2
Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos: 1o) w
2 ´e oindutore w1 ´e oinduzido:
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1+ θ2), sen (θ1+ θ2) ) =√2· 4 √ 3 3 cos(45 o+ 330o), sen (45o+ 330o)
Neste caso o indutor induz uma rota¸c˜ao de 330ono sentido positivo, assim:
x y q q q q q w1 w2 1 2 1 2 −1 w1·w2 2o) Invertendo os pap´eis: w
1 ´e o indutore w2 ´e oinduzido.
w2· w1 = ρ2ρ1(cos(θ2+ θ1), sen (θ2+ θ1) ) = 4 √ 3 3 · √ 2 cos(330o+ 45o), sen (330o+ 45o) Neste caso o indutor induz uma rota¸c˜ao de 45o no sentido positivo, assim:
x y q q q q q w1 w2 1 2 1 2 −1 w1·w2
Observe que hipercomplexos positivos se comportam, para a multiplica¸c˜ao, como se fossem n´umeros complexos.
( ii ), ( iii ) Sejam w1 = (1, 1) e w2= − 2√3 3 , 2. Temos, w1 = √ 2 (cos 45o, sen 45o) w2 = 4 √ 3 3 (cos 120 o, sen 120o)
Vamos multiplicar estes n´umeros de duas formas: • Forma trigonom´etrica; w1· w2 = √ 2· 4 √ 3 3 cos(45 o − 120o),− sen (45o− 120o) = 4 √ 6 3 ( cos 75 o, sen 75o) • Forma cartesiana; (a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (1, 1)· −2 √ 3 3 , 2 =1· −2 √ 3 3 + 1 · 2, |1| · 2 + 1 · − 2√3 3 =2 3(3− √ 3, 3 +√3 ) Graficamente, temos 0 x y q q q q w1 w2 1 2 1 0 x y q q q q w1 w2 1 2 1 w1·w2
Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos: 1o) w
2 ´e oindutore w1 ´e oinduzido:
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1− θ2),− sen (θ1− θ2) ) =√2· 4 √ 3 3 cos(45 o − 120o),− sen (45o− 120o)
Neste caso o indutor induz uma rota¸c˜ao de 120o (no sentido negativo, isto ´e,
0 x y q q q q w1 w2 1 2 1 0 x y q q q q w1 w2 1 1 2 w1·w2 2o) Invertendo os pap´eis: w
1 ´e o indutore w2 ´e oinduzido.
w2· w1 = ρ2ρ1(cos(θ2− θ1),− sen (θ2− θ1) ) = ρ2ρ1(cos(θ1− θ2), sen (θ1− θ2) ) = 4 √ 3 3 · √ 2 cos(120o − 45o), sen (120o − 45o)
O indutor induz uma uma rota¸c˜ao de 45o no sentido negativo, assim:
0 x y q q q q w1 w2 1 2 1 w1·w2
Multiplica¸c˜
ao por
−1
Sejam w1 = (1, 1) e w2 = (−1, 0). Temos, w1 = √ 2 (cos 45o, sen 45o) w2 = 1 (cos 180 o, sen 180o)Vamos multiplicar estes n´umeros de duas formas: • Forma trigonom´etrica;
w1· w2 = √ 2· 1 cos(45o − 180o), − sen (45o − 180o) =√2 ( cos−135o,− sen − 135o) • Forma cartesiana; (a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (1, 1)· (−1, 0) = 1 · −1 ∓ 1 · 0, |1| · 0 + 1 · | − 1| = (−1, 1) Graficamente, temos 0 x y q q q q w1 w2 1 2 1 0 x y q q q q w1 w2 w1·w2 1 2 1
Vejamos uma poss´ıvel interpreta¸c˜ao para o produto acima: • w2 como indutore w1 comoinduzido:
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1− θ2),− sen (θ1− θ2) )
=√2· 1 cos(45o− 180o),− sen (45o− 180o)
Neste caso o indutor induz uma rota¸c˜ao de 180o (no sentido negativo, isto ´e,
hor´ario), seguida de uma reflex˜ao em torno do eixo x, assim:
x y q q q q w1 1 2 1 x y q q q q w1 w1·w2 1 2 1
Observe a diferen¸ca entre os produtos−1 · (1, 1) = (−1, −1), nos Complexos, e −1 · (1, 1) = (−1, 1), nos hipercomplexos. No primeiro caso temos uma rota¸c˜ao de 180o; no segundo caso temos uma rota¸c˜ao de 180o seguida de uma reflex˜ao
( iv ) Sejam w1= (−1, 1) e w2 = − 2√3 3 ,−2. Temos, w1 = √ 2 (cos 135o, sen 135o) w2 = 4 √ 3 3 (cos 240 o, sen 240o)
Vamos multiplicar estes n´umeros de duas formas: • Forma trigonom´etrica; w1· w2 = √ 2· 4 √ 3 3 cos(135 o+ 240o), − sen (135o+ 240o) = 4 √ 6 3 ( cos 375 o, − sen 375o) • Forma cartesiana; (a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (−1, 1) · −2 √ 3 3 ,−2 =(−1) · −2 √ 3 3 − 1 · (−2), | − 1| · (−2) + 1 · − 2√3 3 = 2 3(3 + √ 3,−3 +√3 ) Graficamente, temos x y q q q q q w1 w2 1 2 1 −1 −2 x y q q q q q q q w1 w2 2 3 1 −1 −2 w1·w2
Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos: 1o) w
2 ´e oindutore w1 ´e oinduzido:
w1· w2 = ρ1ρ2(cos(θ1+ θ2),− sen (θ1+ θ2) ) =√2· 4 √ 3 3 cos(135 o+ 240o), − sen (135o+ 240o)
Neste caso o indutor induz uma rota¸c˜ao de 240ono sentido positivo, seguida de
x y q q q q q q q w1 w2 1 2 3 1 −1 −2 x y q q q q q q q w1 w2 2 3 1 −1 −2 w1·w2 2o) Invertendo os pap´eis: w
1 ´e oindutor e w2 ´e o induzido.
w2· w1= ρ2ρ1(cos(θ2+ θ1),− sen (θ2+ θ1) ) = 4 √ 3 3 · √ 2 cos(240o+ 135o), − sen (240o+ 135o)
Neste caso o indutor induz uma rota¸c˜ao de 135ono sentido positivo, seguida de
uma reflex˜ao em torno do eixo x, assim:
x y q q q q q q q w1 w2 1 2 3 1 −1 −2 x y q q q q q q q w1 w2 2 3 1 −1 −2 w1·w2
Nota: Pudemos observar que um hipercomplexo w > 0 comporta-se como um n´umero complexo; isto ´e, comoindutor, produz apenas uma rota¸c˜ao. Com uma ressalva: se oinduzidofor um n´umero negativo, a rota¸c˜ao se d´a no sentido negativo (hor´ario).
J´a um hipercomplexo w < 0 comporta-se como um autˆentico hipercomplexo; isto ´e, comoindutor, produz uma rota¸c˜ao seguida de uma reflex˜ao.
1.6.1
Rota¸c˜
ao & Oscila¸c˜
ao
Vamos tomar w1 = ρ(cos θ, sen θ) um parˆametro indutor e w2 = (x, y) um
induzido arbitr´ario. Para o c´alculo do produto w1· w2, temos:
(a, b)· (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
Vamos considerar cos θ > 0, sendo assim temos:
w1· w2 =
(ρ(x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ), se x≥ 0;
ρ(x cos θ + y sen θ,−x sen θ + y cos θ), se x < 0. (1.16)
Conven¸c˜
ao
: Vamos adotar a seguinte nota¸c˜ao: w( n )1 ·w2, significa multiplicar
w2, sucessivamente, por w1 n vezes, ou seja:
w( 2 ) 1 · w2 = w1· (w1· w2) w( 3 ) 1 · w2 = w1· w1· (w1· w2) · · · ·
Para realizar uma simula¸c˜ao, vamos tomar w1 com ρ = 1 e θ = 20 o e
w2= (2, 0). Na figura a seguir temos o esbo¸co da multiplica¸c˜ao w ( n ) 1 · w2. 0 x y q q q q w2 w1 1 2 1 2 • w(n) 1 · w2 (n = 1, 2, 3, . . .) 0 x y q q q q w2 1 2
Vejamos como interpretar, matem´aticamente, o gr´afico acima; para isto reproduzimos a equa¸c˜ao (1.8) (p´ag. 28) aqui:
R(θ) = (x cos θ− y sen θ, x sen θ + y cos θ) (1.17) Desta equa¸c˜ao, obtemos:
R(−θ) = x cos(−θ) − y sen (−θ), x sen (−θ) + y cos(−θ)
= (x cos θ + y sen θ,−x sen θ + y cos θ ) (1.18)
Comparando estas equa¸c˜oes com as equa¸c˜oes (1.16) concluimos que um ponto∗,
ao ser multiplicado sucessivamente por um parˆametro indutor†, sofre rota¸c˜oes
positivas enquanto “sua” abscissa for positiva (isto ´e, enquanto permanece do lado direito do eixo y); quando este ponto atravessa a “faixa” x = 0 o sentido de sua rota¸c˜ao ´e invertido; isto ´e, passa a ser hor´aria.
Aplicando esta an´alise ao nosso caso particular concluimos que o ponto (in-duzido) permanecer´a oscilandoindefinidamente.
Na figura seguinte temos a mesma simula¸c˜ao anterior com o acr´escimo de uma “atenua¸c˜ao” com ρ = 0, 9.
∗Do lado direito do eixo y. †Com cos θ > 0.
0 x y q q q q w2 1 2
Na figura da direita temos uma plotagem com mais pontos e sem os eixos coordenados.
Observe que a seq¨uˆencia w(n)
1 · w2 converge para a origem (em azul).
− Na figura a seguir, ainda com θ = 20o e ρ = 1, 1, tomamos o induzido
como w2 = (−1, −1). x y q q q q q q w2 w1 1 2 1 2 −1 x y q q q q q q w2 1 2 2 −1
Divis˜ao na forma trigonom´etrica
Sejam w1 = ρ1(cos θ1, sen θ1) e w2 = ρ2(cos θ2, sen θ2). Sendo,
w−12 = 1 ρ2
(cos θ2,− sen θ2)
Vamos calcular o produto, w1· w2−1= ρ1
1 ρ2
(cos θ1cos θ2∓ sen θ1(− sen θ2),| cos θ1|(− sen θ2) + sen θ1| cos θ2| )
= ρ1
ρ2
(cos(θ1∓ θ2),−| cos θ1| sen θ2+ sen θ1| cos θ2| )
Nesta ´ultima equa¸c˜ao tome − se cos θ1cos θ2 > 0, tome + caso contr´ario.
