N´ umeros Complexos

N´ umeros Complexos

Como definir “adi¸ c˜ ao” e “multiplica¸ c˜ ao” de pares ordenados de reais?

I Para a ∈ R , escreve-se a em vez de (a, 0)

I Escreve-se i em vez de (0, 1)

Assim podemos escrever a + ib para representar (a, b)

I Define-se (a + ib) + (c + id) como (a + c) + i(b + d)

I Define-se (a + ib)(c + id ) estabelecendo que i ² = −1 e que a “multiplica¸ c˜ ao” ´ e distributiva em rela¸ c˜ ao ` a adi¸ c˜ ao, e obt´ em-se daqui a f´ ormula, que n˜ ao ´ e preciso decorar, (a + ib)(c + id ) = (ac − bd) + i(ad + bc)

Exerc´ıcio:

Duas fun¸ c˜ oes importantes definidas no conjunto dos n´ umeros complexos:

I conjuga¸ c˜ ao: a + ib = a − ib

I m´ odulo: |a + ib| = √

a ² + b ²

Exerc´ıcio:

Como (a + ib)(a + ib) = |a + ib| ² = a ² + b ² ,

para dividir n´ umeros complexos pode usar-se a propriedade (c + id ) c + id

|c + id | ² = 1, ou seja, a + ib

c + id = (a + ib) c + id

|c + id | ²

Para z = x + i y (onde x , y ∈ R ), chamam-se a x e y as partes real e

imagin´ aria de z , que se representam por Re z e Im z (ou <z e )

Exerc´ıcio:

Exerc´ıcio:

Os n´ umeros complexos podem representar-se como pontos de um plano coordenado, e consequentemente podem ser identificados pelas suas coordenadas cartesianas (a´ı escrevemos z = x + iy )

ou pelas suas coordenadas polares (a´ı escrevemos z = |z |(cos θ + i sin θ)) Para adicionar n´ umeros complexos ´ e mais f´ acil usar a

representa¸ c˜ ao cartesiana, mas para multiplicar n´ umeros complexos

´ e mais f´ acil usar a representa¸ c˜ ao polar.

A um θ tal que z = |z|(cos θ + i sin θ) chama-se um argumento de z . Para z 6= 0, chama-se argumento principal de z ao ´ unico θ ∈] − π, π]

tal que z = |z|(cos θ + i sin θ), e representa-se por vp(arg z ) ou Arg z.

Usando e ^iθ (ou cis θ) para representar cos θ + i sin θ, tem-se, para z 1 = |z 1 |e ^iθ

e z 2 = |z 2 |e ^iθ

:

z ₁ z ₂ = |z ₁ ||z ₂ |e ^i(θ

^+θ

⁾ (ou z ₁ z ₂ = |z ₁ ||z ₂ |cis (θ ₁ + θ ₂ ))

Exerc´ıcios:

Exerc´ıcios:

Exerc´ıcios:

Fun¸ c˜ oes elementares: a fun¸ c˜ ao linear f (z ) = cz + d

Para d ∈ C , a fun¸ c˜ ao definida por h(z ) = z + d representa uma translac¸c˜ ao segundo o vector −−→

OP d .

Para c ∈ C , a fun¸ c˜ ao definida por g (z ) = cz = |c|e ^iθ

z representa uma rota¸c˜ ao (em torno da origem) de ˆ angulo θ _c seguida/antecedida duma amplia¸c˜ ao (a partir da origem) por um factor |c|.

Exerc´ıcios:

Fun¸ c˜ oes elementares: a fun¸ c˜ ao exponencial (complexa) Defini¸c˜ ao: a fun¸ c˜ ao exponencial complexa, ´ e definida (para x, y ∈ R ) por

e ^x+iy = exp(x)(cos y + i sin y )

(onde exp(x) representa a exponencial real do n´ umero real x) Algumas propriedades da exponencial complexa:

1) se y = 0 tem-se (para x ∈ R ) e ^x+i0 = e ^x = exp(x) (logo e ⁰ = 1) 2) e ^iθ = cos θ + i sin θ, se θ ∈ R

3) cos θ = e ^iθ + e ^−iθ

2 , sin θ = e ^iθ − e ^−iθ

2i , se θ ∈ R 4) e ^z

^+z

= e ^z

e ^z

, e ^z

^−z

= e ^z

e ^z

5) (e ^z ) ^k = e ^kz (para k ∈ Z ) 6) |e ^z | = e ^Re(z)

7) e ^{z+2k πi} = e ^z , ou seja, a exponencial ´ e uma fun¸ c˜ ao peri´ odica de per´ıodo 2πi

8) Se w ∈ C \ {0} ent˜ ao w = e ^z para alguns z ∈ C , ou seja,

o contradom´ınio da exponencial ´ e C \ {0}

Defini¸c˜ ao: a fun¸ c˜ ao exponencial complexa, ´ e definida (para x, y ∈ R ) por e ^x+iy = exp(x)(cos y + i sin y )

(onde exp(x) representa a exponencial real do n´ umero real x)

Exerc´ıcios:

Fun¸ c˜ oes elementares: seno e co-seno complexos

Defini¸c˜ ao: as fun¸ c˜ oes seno, co-seno e tangente (complexos) s˜ ao definidas por

cos z = e ^iz + e ^−iz

2 , sin z = e ^iz − e ^−iz

2i , tan z = sin z cos z

Defini¸c˜ ao: as fun¸ c˜ oes seno hiperb´ olico, co-seno hiperb´ olico e tangente hiperb´ olica (complexos) s˜ ao definidas por

cosh z = e ^z + e ^−z

2 , sinh z = e ^z − e ^−z

2 , tanh z = sinh z cosh z

Exerc´ıcio:

Defini¸c˜ ao: as fun¸ c˜ oes seno, co-seno e tangente (complexos) s˜ ao definidas por

cos z = e ^iz + e ^−iz

2 , sin z = e ^iz − e ^−iz

2i , tan z = sin z cos z

Defini¸c˜ ao: as fun¸ c˜ oes seno hiperb´ olico, co-seno hiperb´ olico e tangente hiperb´ olica (complexos) s˜ ao definidas por

cosh z = e ^z + e ^−z

2 , sinh z = e ^z − e ^−z

2 , tanh z = sinh z cosh z

Algumas propriedades:

1) sin ² (z ) + cos ² (z ) = 1

2) cos(z ± w ) = cos(z) cos(w ) ∓ sin(z ) sin(w ) 3) sin(z ± w) = sin(z ) cos(w ) ± cos(z ) sin(w )

4) sin, cos e tan s˜ ao peri´ odicas (com per´ıodos 2π, 2π e π, resp.)

5) As fun¸ c˜ oes | sin(z )| e | cos(z )| n˜ ao s˜ ao limitadas

Defini¸c˜ ao: as fun¸ c˜ oes seno, co-seno e tangente (complexos) s˜ ao definidas por

cos z = e ^iz + e ^−iz

2 , sin z = e ^iz − e ^−iz

2i , tan z = sin z cos z

Exerc´ıcios: