TRIGONOMETRIA - I
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1
1. TRIGONOMETRIA
1.1] Determine as operações com arcos:
1.1.1] 22°34’45’’ + 23°55’45’’ = 1.1.2] 35°46’07’’+56°55’’ = 1.1.3] 47’48’’ + 12°34’56’’ = 1.1.4] 78°45’58’’ : 3 = 1.1.5] 34°68’35’’ : 2 = 1.1.6] 24°35’ x 2 + 45°47’36’’ = 1.1.7] (34°47’55’’ + 45°54’23’’) : 2 = 1.1.8] (45°36’56’’ - 12°46’55’’) x 3 =
1.1.9] Um jato decola segundo um ângulo de 60 graus em relação ao solo. Determine qual será a sua altura após percorrer 3000 metros na direção da decolagem. Dados: Cos 60° = 0,5; Sen 60° = 0,8; Tg 60° = 1,6
1.1.10]Já no clima da Copa do Mundo um turista decidiu avaliar a altura da Torre mais famosa da França utilizando o comprimento da sombra no solo. (Dados: Comprimento da sombra = 50 metros; ângulo de elevação do sol = 60°). Determine a altura avaliada. Utilize os dados da questão acima.
2
1.1.11]Determine a altura do prédio, pelo procedimento ilustrado abaixo. A uma certa distância do prédio toma-se o ângulo de 30°
Caminhando 50 metros na direção do prédio a partir da posição inicial , toma-se o ângulo de 60°.
Dados: Sen 60° = 0,8; Sen 30° = 0,5; Cos 60° = 0,5; Cos 30° = 0,8
β θ
1.1.12]Dado o triângulo retângulo abaixo assinale a proposição verdadeira. θ M K W β (a) Sen θ = M/K (b) Cos β = K/M (c) M = W. Sen β (d) Tg β = W/K (e) W = M. Tg θ 1.1.13] θ = 30° e M = 100, determine W, K, e β. θ M K W β
Dados: Sen 60° = 0,8; Sen 30° = 0,5; Cos 60° = 0,5; Cos 30° = 0,8 1.1.14]Um prédio projeta uma sombra de 15 metros, fazendo um ângulo
de 45° com a horizontal. Determine a altura do prédio.
1.1.15]Um prédio de altura igual a 10 metros projeta uma sombra que faz 30 graus com a horizontal. Determine a que distância a extremidade da sombra dista da base do prédio.
3
1.2] Funções Trigonométricas:
Relação fundamental da trigonometria cos2x + sen2x = 1
Muito se tem dito a respeito desta relação fundamental, pois as funções seno e cosseno são as funções primitivas e todas as demais decorrem de seu prévio conhecimento.
Tenho visto estudantes de nível secundário gastar caneta para determinar o seno ou o cosseno através do cálculo elaborado usando a relação fundamental. É lógico que, após a árdua tarefa, o valor do seno ou do cosseno aparece. Porém através de um raciocínio rápido podemos estabecer esses valores sem recorrer à relação fundamental.
Se o ângulo pertence ao primeiro quadrante (seno positivo e cosseno positivo) e o seu seno vale 1/2, podemos dizer que o cosseno é positivo e é uma fração de denominador 2 e
numerador igual a raiz quadrada da diferença entre os quadrados dos números da fração do seno.
Assim o cosseno será igual a
2 - 1
2
2 2=
3
2
Determine os valores de seno, cosseno, tangente, secante, cossecante, cotangente, conforme o caso.
1.2.1] sen x = - 3 2 , onde π π ≤ ≤x 3 2 1.2.2] cos x = - 3 2 , onde π π ≤ ≤x 3 2 1.2.3] sen x = - 2 2 , onde π π ≤ ≤x 3 2 1.2.4] sen x = 1, onde 2 π ≤ ≤π x 1.2.5] cos x = 3 2 , onde 3 2 2 π ≤ ≤ π x 1.2.6] cos x = - 5 2 , onde π π ≤ ≤x 3 2 1.2.7] sen x = - 3 2 , onde 3 2 2 π ≤ ≤ π x
4
1.2.8] sen x = - a, onde π≤ ≤x 3π 2 1.2.9] cos x = 5 3 , onde 3 2 2 π ≤ ≤ π x 1.2.10] cos x = - a, onde π≤ ≤x 3π 2 1.2.11] cos x = -2, onde 2 1 π ≤ ≤π x 1.2.12]sen x =
5
, onde
2
3
π
π
≤ ≤
x
1.2.13]cos x =
-7
, onde
2
6
π
≤ ≤
x
π
1.2.14]cos x =
3
, onde
2
5
3
2
π
≤ ≤
x
π
1.2.15]cos x =
-4
, onde
2
7
π
≤ ≤
x
π
1.2.16]cos x =
3
, onde
2 2
0
2
≤ ≤
x
π
1.2.17]sec x = -
8
3
, onde
2
π
≤ ≤
x
π
1.2.18]sec x =
2
, onde
2
3
3
2
π
≤ ≤
x
π
1.2.19]cossec x = - 5, onde
2
3
2
π
≤ ≤
x
π
1.2.20]tgx.cossecx = - 2, onde
2
3
2
π
≤ ≤
x
π
1.2.21]Encontre todas as soluções do sistema:
sen( ) sen( ) x y x y + = − = ≤ ≤ ≤ ≤ 0 0 tal que 0 x π e 0 y π
1.2.22]Demonstre Cos (2θ) = 2.Cos2θ - 1 (Uerj/96)
5
1.2.23]Calcule seno, cosseno e tangente do arco de medida igual a 1920°.
1.2.24]Resolva a equação cos 3x = 1 2 1.2.25]Resolva a equação tg x tgx2 + =0 1.2.26]Resolva a equação senx= 3.cosx 1.2.27]Resolva a equação senx+cosx= ± 2
1.2.28]Resolva a equação cos2x+sen2x=0, no intervalo 0 x 2≤ ≤ π
1.2.29]Calcule tg (x) 4.sen2x + 2.cos2x = 3
1.2.30]Se tg x m m ( ) = − 2 1 2 , determine sen (x) 1.2.31]Se x= π 2, então o valor de
sen( ) .cot cos( ) .cossec( ) sec( ) x g x x tg x x x + − + 2 2 2 2 4 , é igual a: Fórmulas de trabalho
6
Sen2 a + Cos2a = 1 (Relação fundamental da Trigonometria) Cos (a + b) = Sen a . Sen b - Cos a . Cos b
Cos (a - b) = Sen a . Sen b + Cos a . Cos b Sen (a + b) = Sen a . Cos b + Sen b . Cos a Sen (a - b) = Sen a . Cos b - Sen b . Cos a
tg a b( + )= tg a + tg b
1 - tg a . tg b tg a b( − )= tg a - tg b
1 + tg a . tg b
Sen 2a = 2. sen a . cos a Cos 2a = 1 - 2 . Sen2a Sen a 2 - Cos a = ± 1 2 Cos a 2 + Cos a = ± 1 2
7
Tg a 2 - Cos a - Cos a = ± 1 18
1.2.32]Determine Sen 2a, Cos a = - 4
5 ∴ (π/2<a< π)
1.2.33]Determine Cos 3a, Sen a = - 3
5 ∴ (0 < a < π/2)
1.2.34]Determine Tg 5a, Cos a = 4
5∴a ∈ I Quadrante.
1.2.35]Determine o valor de Sen =
12
π
1.2.36]Determine o valor de Cos x + 5
4 π , Sen x = -1 2
1.2.37]Determine o valor de Sec x + 5
4
π
, Sen x = - 23
1.2.38]Determine o valor de Cotg x -
4 π , Sen x = -1 2 1.2.39]Determine o valor de Tg x - 4 π , Sec x = - 2
1.2.40]Determine o valor de Cotg x +
4 3π , Cossec = - 2 33
1.2.41]Determine o valor de Cossec x + 7
6 π , Cos x = -1 2
1.2.42]Determine o valor de Cotg x + 5
4 Sen x - 5 4 π π ⋅ , ∴ Sen x = 3 2
1.2.43]Determine o valor do produto: Cos x . Tg x . Sec x . Cotg x = 1.2.44]Simplifique a expressão: y= cossec a - sen a
cotg a . sec a 1.2.45]Simplifique a expressão: y = 1 - sen2
cos x x
9
1.2.46]Simplifique a expressão: y= cos2x - 1
cotg x
1.2.47]Simplifique a expressão: y=(sec2 - 1). cotg xx 1.2.48]Simplifique a expressão: y=1 + tg2x
sec x
1.2.49]Simplifique a expressão: y= sen a + cos a sec a + cossec a 1.2.50]Simplifique a expressão: y x = − sen x - 2 sen3x 2 cos3 cos x 1.2.51]Simplifique a expressão: y= sen x + tg x
cos x + 1
1.3] Adição e subtração de arcos:
COS (A+B) = COS A . COS B - SEN A . SEN B COS (B-A) = COS B . COS A + SEN B . SEN A SEN (A+B) = SEN A . COS B + SEN B . COS A SEN (B-A) = SEN B. COS A - SEN A. COS B COS (2A) = COS2A – SEN2A
SEN (2A) = 2.SEN(A). COS(A)
1.3.1] Determine Cos 75° 1.3.2] Determine Sen 105° 1.3.3] Determine Cos 15° 1.3.4] Determine o Sen (3A)
1.4] Adição e subtração de arcos na função tangente:
Utilizando o conceito de tangente podemos estabelecer a Adição e a Subtração de Arcos na função Tangente
1.4.1] Determine a expressão para Tg (a+b): 1.4.2] Determine a expressão para Tg (a-b): 1.4.3] Determine Tg 75°
1.4.4] Determine Tg 105° 1.4.5] Determine Tg 345° 1.4.6] Determine Tg 255°
10
1.4.7] Qual a forma mais simples da expressão:
sen( ). cos cos( ). sen π π π π + − + − = x x x x 2 5 2
1.4.8] Simplifique a expressão: y = sen (135° + x) + sen (135° - x) 1.4.9] Desenvolva a fórmula do cosseno do arco metade: cos a
2
1.4.10]Desenvolva a fórmula do seno do arco metade: sen a 2
1.5] Divisão de arcos:
Utilizando o conceito de duplicação de arcos podemos estabelecer novas fórmulas para arcos divididos.
1.5.1] Determine a fórmula para cos a 2 1.5.2] Determine a fórmula para sen a 2 1.5.3] Determine a fórmula para tg a
2
1.5.4] Determine o valor do cosseno de 22°30’ 1.5.5] Determine sen 22°30’:
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