CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO
VINÍCIUS ANTÔNIO MESSIAS MARTINS
FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL APLICADA À GERAÇÃO E PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM UM RESERVATÓRIO
Niterói, RJ 2016
VINÍCIUS ANTÔNIO MESSIAS MARTINS
FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL APLICADA À GERAÇÃO E PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM UM RESERVATÓRIO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia de Petróleo da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do grau de Bacharel em Engenharia de Petróleo.
Orientador:
Prof. Roger Matsumoto Moreira, Ph.D.
Niterói, RJ 2016
VINÍCIUS ANTÔNIO MESSIAS MARTINS
FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL APLICADA À GERAÇÃO E PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM UM RESERVATÓRIO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Engenharia de Petróleo da Escola de Engenharia da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Bacharel em Engenharia de Petróleo
Aprovado em 07 de Julho de 2016.
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________________ Prof. Roger Matsumoto Moreira, Ph.D. - UFF
Orientador
__________________________________________________ Prof. Fernando Cunha Peixoto, D.Sc. - UFF
__________________________________________________ Eng. Raphael David Bacchi - ESSS
NITERÓI, RJ 2016
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeço aos meus pais, Rosângela e Gaspar, que são dois gigantes que sempre estiveram ao meu lado, que sempre me deram o apoio e carinho para que a caminhada fosse possível. Agradeço também à minha filha Alice, que é a luz da minha vida e me dá forças para seguir em frente; aos meus padrinhos, Roberto, Sônia e Rosália, que sempre me deram o amor da forma mais leve e bonita possível; a todo o restante da minha família por serem parte essencial da minha existência. Um abraço carinhoso aos meus amigos tanto de faculdade como os que fiz por toda a minha vida. Um agradecimento enorme à todos os professores que fizeram parte da minha formação, em especial ao meu orientador Roger, por toda a ajuda, pela oportunidade e pela confiança dada à mim.
"I learned that courage was not the absence of fear, but the triumph over it. I felt fear myself more times than I can remember, but I hid it behind a mask of boldness. The brave man is not he who does not feel afraid, but he who conquers that fear."
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo modelar numericamente a geração e propagação de ondas em contêineres parcialmente cheios de fluidos. As equações da continuidade e de Navier-Stokes são resolvidas via método dos volumes finitos com um modelo homogêneo multifásico para geometrias 2D e 3D. A ideia central do projeto envolve a análise da interação de ondas não-lineares de diferentes fluidos newtonianos com as paredes de um tanque. Tal projeto poderia ser considerado como uma representação simplificada das ondas geradas e propagadas em um reservatório de uma plataforma de petróleo, por exemplo. Neste caso, parâmetros como pressão, fração de volumes, perda de carga, esforços nos equipamentos e estruturas, e propriedades dos fluidos, podem ser analisados. Essa simulação é comparada e validada com experimentos de artigos publicados. Uma boa concordância é encontrada entre os resultados numéricos e experimentais. Dependendo do fluido empregado, diferentes picos de pressão são encontrados nas paredes do reservatório.
Palavras-chave: sloshing, interação fluido-estrutura, fluidodinâmica computacional,
ABSTRACT
This work aims to model numerically the generation and propagation of free surface waves in walled containers partially filled with different fluids. Therefore, continuity and Navier-Stokes equations are solved via a finite volume method with a homogeneous multiphase condition for 2D and 3D geometries. The central idea of the present work involves the analysis of the interaction of nonlinear waves of different Newtonian fluids with the walls of a tank. Such a design could be considered a simplified representation of the waves generated in a reservoir of an oilrig, for example. In this case, parameters such as pressure, volume fraction, pressure drop, stresses in equipment and structures, and fluid properties can be studied. This simulation is compared and validated with results of published articles. A good agreement is found when comparing the numerical results with experiments. Depending on the fluid used, different pressure peaks at the walls of the reservoir are found.
Keywords: sloshing, fluid-structure interaction, computational fluid dynamics, finite
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Movimentos translacionais de uma estrutura flutuante. ... 17
Figura 2 - Movimentos rotacionais de uma estrutura flutuante. ... 17
Figura 3 – Deslocamento horizontal do sinal tipo “H”. ... 18
Figura 4 – Deslocamentos do sinal tipo “V”. ... 19
Figura 5 - As ciências envolvidas em CFD ... 22
Figura 6 - Tensão de cisalhamento em uma artéria do corpo humano. ... 23
Figura 7 - Projeto de um trocador casco-tubo. ... 24
Figura 8 – Interpolação temporal pelos diferentes metodos. ... 29
Figura 9 - Fluxo laminar e fluxo turbulento. ... 31
Figura 10 - Funcionamento dos programas de CFD. ... 35
Figura 11 - Método de refino do grid. ... 39
Figura 12 - Erros de discretização e Erros de arredondamento. ... 41
Figura 13 – Malha computacional do arquivo semente. ... 43
Figura 14 – Geometria gerada para a simulação em 3D... 45
Figura 15 – Comparação das simulações de 2D e 3D com o experimento real. ... 47
Figura 16 – Fenômeno ocorrido durante o run-up. ... 49
Figura 17 – Gráfico da pressão vs. tempo para o experimento H10. ... 50
Figura 18 – Gráfico de pressões para os diferentes fluidos. ... 52
Figura 19 – Comparação das ondas geradas pelos fluidos. ... 53
Figura 20 – Movimentos acendente e decendente de ondas tipo table-top. ... 55
Figura 21 – Ondas geradas durante o experimento V21. ... 56
Figura 22 – Malhas dos tipos 1 e 2. ... 58
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Características dos sinais gerados. ... 19
Tabela 2 - Modificações a serem feitas na equação da continuidade. ... 28
Tabela 3 - Propriedades dos fluidos utilizadas no experimento H10 ... 44
Tabela 4 – Comparação das propriedades dos novos fluidos. ... 51
LISTA DE ABREVIAÇÕES
CFD Fluidodinâmica Computacional ENE Equações de Navier-Stokes SST Shear Stress Transport PDE Equação Diferencial Parcial TDMA Algoritmo da Matriz Tri-Diagonal MGS Método de Gauss-Seidel
MCN Método de Crank-Nicolson GCI Índice de Convergência do Grid
LISTA DE SIMBOLOS
Φ Termo de transporte
u Velocidade na direção do eixo x v Velocidade na direção do eixo y w Velocidade na direção do eixo z Г Coeficiente de difusão
S Termo fonte
t Tempo
µt Viscosidade de turbulência
K Energia cinética turbulenta ε Taxa de dissipação de turbulência k-ε Modelo Kappa-Epsilon
k-ω Modelo Kappa-Ômega
SUMÁRIO
1 Introdução ... 15
2 Fluidodinâmica Computacional ... 21
2.1 Introdução ao CFD ... 21
2.2 Aplicações Práticas da Técnica CFD ... 22
2.2.1 Utilização nas Diversas Industrias ... 22
2.2.2 Utilização na Industria do Petróleo ... 23
2.3 Equações de Conservação ... 24
2.3.2 Equações da Conservação de Momentum ... 25
2.3.3 Equação da Continuidade ... 26
3.3.4 Equação da Energia ... 27
2.3.5 Equações de Turbulência ... 27
2.4 Métodos Numéricos ... 29
2.4.1 Métodos Implícito, Semi-Implícito E Explicito ... 29
2.4.1.1 Método de Adams-Bashford (Explicito) ... 29
2.4.1.2 Método de Crank-Nicolson (Semi-Implícito): ... 30
2.5 Tipos de Escoamentos ... 30
2.5.1 Fluxos Laminares e Turbulentos ... 31
2.5.2 Modelos de Turbulência em CFD ... 32
2.6 O Programa ANSYS CFX ... 34
2.6.1 Estrutura do Programa ... 34
2.7 Geração da Malha Computacional ... 35
2.7.1 Malhas Estruturadas ... 36
2.7.2 Malhas não Estruturadas ... 36
2.8 Condições de Contorno ... 36
2.10 Validação e Verificação de Resultados... 37
2.10.1 Estudo da Convergência do Grid ... 38
2.10.2 Comparação da Simulação com Dados Experimentais ... 40
2.11 Principais Fontes de Erros em CFD ... 40
3 Modelagem Numérica ... 42
3.2.1 Simulações do Experimento H10 ... 42
3.2.1.1 Análise do Fenômeno Ocorrido Durante o Run-Up ... 48
3.2.1.2 Gráficos de Pressão da Parede Lateral do Tanque ... 50
3.2.1.3 Comparação Temporal das Ondas dos Diferentes Líquidos ... 52
3.2.2 Simulações do Experimento V21 ... 54
4. Conclusão ... 61
1 Introdução
A fluidodinâmica computacional ou Computational Fluid Dynamics (CFD) é um braço da mecânica dos fluidos e da transferência de calor, que estuda os fluxos de fluidos usando análise numérica e sofisticados algoritmos. Desenvolvida inicialmente nas áreas de alta tecnologia como aeronáutica e astronáutica, atualmente vem sendo utilizada largamente em outros campos da engenharia. A simulação e otimização de peças, equipamentos e estruturas complexas resulta no aumento da eficiência dos projetos modernos e redução de custos. A técnica de CFD ainda tem sido subutilizada em aplicações na área de petróleo. As possibilidades de aplicações na área aparentam ser vastas, podendo partir da otimização do design de brocas de perfuração, passando pelo dimensionamento de chokes, até o projeto de trocadores de calor. Essa técnica de computação também se faz importante na medida que em sua aplicação em várias industrias, proporciona uma boa estimativa dos fenômenos físicos através da simulação numérica, evitando o gasto desnecessário de tempo e recursos financeiros.
Quando um reservatório parcialmente cheio quando submetido à forças externas, o fenômeno conhecido como sloshing de onda pode ocorrer, causando grandes impactos de onda nas paredes deste recipiente. As cargas produzidas pelo movimento das ondas tem o potencial para causar danos estruturais, ou ainda afetar a estabilidade de vasos. Ondas do tipo sloshing estão associadas à uma grande variedade de problemas de engenharia, incluindo o movimento do combustível líquido, em aeronaves, o transporte de fluidos em contêineres e a circulação de óleo no interior dos tanques de carga de uma FPSO.
Neste trabalho um referencial Euleriano é empregado para estudar o movimento das ondas dentro de um reservatório parcialmente preenchido que oscila em um movimento instável. O código de CFD comercial ANSYS-CFX é usado para simular os experimentos H10 e V21 propostos por Bredmose et al. (2003), e estabelecer um comparação entre as ondas de superfície livre geradas e o perfil do pico de pressões ocorrido nas paredes do reservatório, e ainda checar a formação de ondas do tipo table-top. Para o experimento H10, ou seja, o décimo experimento com o sinal do tipo “H”, a coluna de líquido tinha uma altura de 155 mm em ralação ao fundo do reservatório. A relativa pequena coluna de fluido foi crucial para que
os resultados obtidos pelas câmeras fossem de alta visibilidade e que não houvesse transbordamento de líquido, nem de geração gotas ou sprays, que poderiam provocar uma perturbação na superfície livre do líquido. No experimento V21, a coluna de fluido foi de 302 mm.
O sloshing de onda é um problema clássico de fluxo com superfície livre. No passado, cientistas como Poisson, Rayleigh e Kirchhoff investigaram este tipo de fenômeno. Mais recentemente, diversos livros sobre este assunto foram publicados (Faltinsen e Timokha 2009, Ibrahim 2005). Referências recentes incluem Jiang et al. (2014), que analisou experimentalmente a hidrodinâmica e as características estruturais dos chamados sloshing violentos em tanques elásticos; Moreira et al. (2012) e Chen et al. (2008), que avaliaram numericamente a influência da frequência, nível de enchimento, o deslocamento e excitação do recipiente sobre a dinâmica da onda; Godderidge et al. (2009), que estudou fluxos com sloshing ressonantes em um tanque retangular utilizando um código comercial de Fluidodinâmica Computacional (CFD); Nicolato e Moreira (2009), implementaram geometrias de reservatórios otimizadas para reduzir o impacto desse tipo de onda; Bredmose et al. (2003), que analisa experimentalmente e numericamente a geração de ondas não lineares em um reservatório retangular. Bredmose et al. (2003) realizaram vários experimentos considerando movimentos verticais e horizontais de um reservatório contendo diferentes níveis de preenchimento de água. Neste estudo soluções numéricas obtidas através das equações de Boussinesq foram comparadas com os resultados experimentais, mostrando em geral uma boa concordância entre eles.
O reservatório empregado no presente trabalho possui a mesma forma do equipamento utilizado por Bredmose et al. (2003). Este tanque tem a forma de um prisma com dimensões 1480 x 400 x 750 mm3 (comprimento x profundidade x altura). No experimento esse tanque foi colocado sobre um equipamento capaz de gerar movimentos com seis graus de liberdade, porém somente movimentos translacionais na vertical e horizontal foram realizados.
Uma das finalidades do presente estudo é fazer uma investigação das pressões e esforços gerados dentro do tanque de estocagem de uma plataforma de petróleo, por exemplo. Estruturas como essas são expostas a movimentos de translação - avanço (surge), deriva (sway) e afundamento (heave) - exemplificados na figura 1; e de rotação - jogo (roll), guinada (yaw) e arfagem (pitch) - ilustrados na figura 2.
Figura 1 - Movimentos translacionais de uma estrutura flutuante. Fonte: Costa, 2011.
Figura 2 - Movimentos rotacionais de uma estrutura flutuante. Fonte: Costa, 2011. No experimento realizado por Bredmose et al. (2003) somente os movimentos de avanço e afundamento foram estudados. Para análise dos experimentos, foram utilizadas duas câmeras, uma normal e outra de alta velocidade, que foram capazes de capturar as ondas
dentro do contêiner em vários instantes distintos. Sensores de pressão também foram instalados ao longo das paredes do tanque com a finalidade de mensurar o impacto dos sloshings e a interação das mesmas com as paredes da estrutura. Dentre os transmissores de pressão instalados somente um transmissor, instalado no canto inferior esquerdo do reservatório, foi capaz de gerar resultados confiáveis. Além destes equipamentos, um computador foi utilizado para programar os sinais reproduzidos na mesa móvel.
Neste experimento quatro tipos diferentes de sinais foram gerados, produzindo diferentes formatos e padrões de ondas. Dentre estes, um sinal foi chamado de sinal tipo “H”, o qual gerava somente movimentos horizontais (figura 3); os outros três sinais gerados foram variações do tipo “V”, o qual apresenta um movimento horizontal seguido por um movimento vertical (figura 4). No presente trabalho, no entanto, somente dois tipos de sinal foram reproduzidos no programa ANSYS-CFX, o sinal dos experimentos H10 e V21.
Figura 4 – Deslocamentos do sinal tipo “V”. Fonte: Bredmose et al., 2003.
O sinal do tipo “H” é um movimento horizontal na direção do eixo x, do tipo senoidal. Do instante inicial até t1, a amplitude da onda senoidal sai de zero até atingir seu valor máximo. Do instante t1 até o instante t2 a oscilação segue o comportamento de uma senoide comum. De t2 em diante, o tanque é movido através de um decaimento exponencial com escala de tempo Δt para a posição Rfact, onde permanece em repouso até o final do experimento. Esse tipo de movimento tem por finalidade gerar um impacto violento nas paredes laterais do tanque, choque esse que é provocado principalmente pelo movimento que ocorre a partir de t2. Os valores das variáveis citadas acima podem ser encontrados na tabela 1.
Já o sinal do tipo “V” apresenta uma combinação de deslocamento horizontal seguido por um deslocamento vertical. Do instante inicial até t1, ocorre apenas o deslocamento horizontal no tanque; de t1 em diante não existe mais deslocamento nesta direção. Posteriormente a agitação vertical é iniciada indo de t2 até t3, onde ocorre um sinal também senoidal, com frequência duas vezes superior à frequência do sinal horizontal. De t3 até tend, a amplitude do sinal é reduzida linearmente até zero, e depois disso o tanque é mantido estacionário até o final do experimento. A tabela 1 apresenta os valores de parâmetros empregados nesses sinais.O movimento horizontal tem por finalidade gerar uma perturbação inicial na superfície plana do líquido, servindo como uma semente a ser amplificada pelo movimento vertical. Este tipo de oscilação é capaz de gerar ondas do tipo Faraday. Foram
estudadas no experimento as ondas do tipo table-top, ou seja, ondas que se quebram em formato de “mesa” em sua parte superior. Este comportamento de onda era esperado para os experimentos do tipo “V”.
Tabela 1 – Características dos sinais gerados. Fonte: Bredmose et al., 2003.
De acordo com Rajchenbach e Clamond (2015) as ondas de Faraday são uma tentativa de descrição de fenômenos que ocorrem na superfície livre de um fluido dentro de um recipiente que é submetido a oscilações verticais periódicas. O que chama a tenção nesta configuração, é que ela dá origem à formação de diversos padrões de onda. De acordo com a amplitude, frequência e viscosidade do fluido, a superfície livre pode exibir ondas solitárias estagnadas ou padrões de simetria diferentes, tais como listras, quadrados, hexágonos, ondas em forma de estrela, entre outros. A quebra de simetria resulta dos acoplamentos não lineares entre ondas de superfície. Assim, o estudo de ondas de Faraday constitui uma maneira vantajosa para explorar fenômenos não lineares complexos por meio de dispositivos experimentais relativamente simples.
2 Fluidodinâmica Computacional
2.1 Introdução ao CFD
A fluidodinâmica computacional é uma ferramenta utilizada por cientistas, profissionais da área e engenheiros na predição e simulação de fluxos de fluidos, transferência de calor e massa, reações químicas e fenômenos correlatos. Esses problemas governados por equações matemáticas são resolvidos por meio de métodos numéricos, geralmente utilizando-se computadores (Tian 2015, p. 5). Como é exemplificado pela figura 5, a fluidodinâmica computacional é formada pela junção de três disciplinas da ciência, a física (dinâmica dos fluidos, transferência de calor, reações químicas, etc.), a matemática (resolução das equações de governo e métodos numéricos) e a ciência da computação (programas e os códigos de CFD). O método analítico é geralmente considerado a parte teórica, enquanto os termos numéricos e computacionais são quase sinônimos. Em CFD, resolve-se numericamente as equações, geralmente parciais diferenciais, que governam os fenômenos e processos (Tu, Yeoh e Liu 2012, p. 2). A ideia do uso desse tipo de equações é bem antigo, data do início do século passado, no entanto, só ouve uma revolução nessa área a partir da explosão computacional dos anos 60 (Tannehill, Anderson e Pletcher 1997, pp. 3 e 4). O termo CFD foi alcunhado no início dos anos 70. Uma das primeiras aplicações da CFD foi na simulação aerodinâmica nas condições próximas à velocidade do som. No começo da década de 1980, deu-se início ao emprego da técnica em problemas de duas e três dimensões. Nessa mesma época, técnicas como multigrid abriram o leque de possibilidades de aplicação da técnica. Já no final dos anos 1980, avanços como o esquema implícito, tornaram possíveis a resolução de problemas de gases reais, por exemplo. Depois disso, o foco se voltou para melhora e sofisticação da geração de grid, tendo como destaque o surgimento dos primeiros grids não estruturados (Blazek 2001, p. 1 e 2). O objetivo final da fluidodinâmica computacional é o entendimento dos eventos físicos do fluxo de fluidos internos ou externos à objetos, equipamentos ou corpos. Esses eventos incluem fenômenos como dissipação, ondas de choque, superfícies de deslizamento, difusão convecção, e turbulência (David W. Zingg 1999, p. 1). Atualmente, devido a sua versatilidade e baixo custo, a técnica de CFD vem sendo utilizada nas mais variadas disciplinas da engenharia, como será abordado na seção 2.2. De
acordo com Cebeci et al. (2005), apesar do grande desenvolvimento em CFD nos últimos anos, a técnica ainda possui algumas imperfeições em função de ser um campo ainda muito novo.
Figura 5 - As ciências envolvidas em CFD. Fonte: Tu, Yeoh e Liu, 2012, p. 2.
2.2 Aplicações Práticas da Técnica CFD
2.2.1 Utilização nas Diversas Industrias
A CFD pode ser empregada para o melhor entendimento processos e eventos físicos dentro e fora de corpos. Estes fenômenos compreendem turbulência, difusão, convecção, dissipação, camadas de contorno, fluxos incompressíveis e compressíveis, entre outros. As aplicações dessa técnica vão da engenharia biomédica, metalurgia, automobilística, aeroespacial, esportes, geração de energia, engenharia civil e ambiental até processos químicos e minerais (Maliska 1995, p.8). A figura 6 é uma ilustração de uma aplicação bem
recente e promissora da CFD, que é na área de engenharia biomédica. Nesse caso, dentre os benefícios da técnica estão a diminuição dos riscos em procedimentos cirúrgicos com o desenvolvimento de equipamentos mais precisos e a melhora no design de equipamentos artificiais que poderiam substituir órgãos em mal funcionamento. Na imagem 2 pode-se notar que a região mais fechada da veia apresentaria as maiores tensões de cisalhamento, o que demandaria maior atenção e cuidados dos especialistas médicos.
Figura 6 - Tensão de cisalhamento em uma artéria do corpo humano. Fonte: Tu, Yeoh e Liu, 2012, p. 12.
2.2.2 Utilização na Industria do Petróleo
Aparentemente o potencial da técnica CFD ainda é pouco explorada na área de óleo e gás. No entanto, já existem muitas pesquisas em áreas como fluxo multifásicos em reservatórios e dutos, fluxo através de bombas, modelagem de trocadores de calor do tipo casco tubo, design de aquecedor por combustão, estudo da coalescência de gotículas de água,
entre outros. A figura 7 demonstra um caso especifico do uso de CFD na modelagem de permutadores de calor da indústria do petróleo. O princípio deste equipamento é bem simples, um fluido passa pelos tubos e o outro pelo os cascos que os envolvem, e assim, devido à diferença de temperatura entre eles, os fluidos trocam calor. A aplicação desta técnica pode levar ao entendimento de parâmetros sofisticados, como corrosão, estresse térmico e vibrações (comsol.com/conjugate-heat-transfer).
Figura 7 - Projeto de um trocador casco-tubo. Fonte: comsol.com/conjugate-heat-transfer.
2.3 Equações de Conservação
As equações de governo representam a face matemática da mecânica dos fluidos, sob a qual as leis da física podem ser aplicadas. Parte significante do comportamento de fluidos compressíveis e incompressíveis podem ser descritos por essas equações de conservação, conhecidas como equações de Navier-Stokes. As equações de Navier-Stokes são baseadas na conservação de massa, momentum e energia. Dependendo das condições de fluxo, se faz necessária a simplificação dessas equações, o que não reduz a precisão dos resultados e diminui o gasto computacional (Cebeci et al. al 2005, p. 41-42). Essas equações são
classificadas matematicamente como equações diferencias parciais, e na maioria dos casos os coeficientes são constantes tanto no espaço como no tempo (David W Zingg 1999, p. 7). As equações de Navier-Stokes podem ser aplicadas aos mais variados casos, tais como fluxo permanente e transiente, compressível ou incompressível, laminar ou turbulento. Estas equações também se aplicam às mais variadas condições de contorno, que podem ser do tipo parede solida, periódicas, simétricas, abertas ou fechadas, por exemplo. A equação 1 é a representação cartesiana generalista das equações de governo, da qual se pode obter as equações de momentum, massa e energia, apenas fazendo-se os ajustes necessários. Na forma diferencial temos:
(1)
Nessa equação, o termo de transporte Φ pode ser utilizado para o cálculo da velocidade em x, y ou z, temperatura, concentração, etc., ρ indica a densidade, Г é o coeficiente de difusão, S é o termo fonte e t é o tempo. Na forma vetorial temos:
(2)
A equação 2 é a representação da equação da conservação na forma vetorial, onde, da esquerda para direita, temos o termo da aceleração local ou transiente, o termo convectivo, termo difusivo e por último o termo fonte.
2.3.2 Equações da Conservação de Momentum
As equações de momentum, que são derivadas da segunda lei de Newton do movimento, também são conhecidas como equações de Navier-Stokes. Segundo essa lei, a soma das forças atuantes sobre uma partícula de fluido é igual ao produto da massa e da
aceleração desta partícula. Dentre as forças de corpo que podem alterar o momentum de um fluido pode-se citar as forças gravitacionais, centrifugas, Coloris, e eletromagnéticas. Existem também as chamada forças de superfície, que deformam o elemento de fluido. Estas forças são causadas pelas tensões normais e tangenciais agindo na superfície do elemento de fluido. As três equações gerais na forma cartesiana, para um fluido compressível em relação aos eixos x, y e z, são representadas a seguir. A equação do momentum em relação ao eixo x é:
(3)
A formula geral do momentum em relação ao eixo y é:
(4) Já a equação para o momentum em relação ao eixo z, pode ser representada da seguinte forma:
(5)
2.3.3 Equação da Continuidade
A equação da conservação de massa estabelece que a variação temporal da massa por unidade de volume, dentro do volume de controle infinitesimal, é igual a variação espacial do fluxo de massa, por unidade de tempo, que cruza a superfície de controle. Se o fluxo for instável, a taxa de aumento de massa dentro do elemento de fluido é igual à taxa liquida a qual a massa entra no volume de controle, ou seja, entrada menos saída. A equação 6 representa a forma diferencial parcial da equação da continuidade.
(6)
3.3.4 Equação da Energia
A equação para conservação de energia é derivada primeira lei da termodinâmica, onde a taxa de variação energia é igual à soma da taxa liquida de calor adicionada ao sistema mais taxa liquida de trabalho realizado pelo sistema dentro de um volume de controle. O trabalho realizado no volume de controle é considerado como sendo o produto das forças de superfície pelo componente de velocidade. Os fluxos de energia podem ser formulados aplicando-se a lei de Fourier da condução de calor, que relaciona o fluxo de colar com o gradiente de temperatura local. Os efeitos das tensões viscosas na equação da energia são representados pela função dissipação (ψ), que representa uma fonte de energia causada pelo trabalho de deformação no fluido. A energia de um fluido pode ser definida como a soma das energias interna, cinética e potencial gravitacional. Seguindo a conservação de energia, obtemos a equação 7 a partir da equação de Navier-Stokes.
(7)
2.3.5 Equações de Turbulência
Aqui temos representadas as equações do modelo de turbulência Kappa-Epsilon (k-ε), a ser abordado em maiores detalhes na seção 2.5.2.
(8)
(10)
(11)
Em resumo, a tabela 2 apresenta todas as modificações e simplificações a serem feitas na equação genérica das equações de governo afim de se obter as equações de momentum, massa, energia e turbulência.
Tabela 2 - Modificações a serem feitas na equação da continuidade. Fonte: Tu, Yeoh e Liu, 2012, p. 107. ϕ Гϕ Sϕ Equação 1 0 0 Massa u Momentum v w h Energia k Turbulência
2.4 Métodos Numéricos
Nos problemas de engenharia, as equações apresentadas anteriormente são muito difíceis de serem resolvidas analiticamente. Por tanto se faz necessário o uso de métodos numéricos, que é linguagem utilizada nos computadores (Cebeci et al. al 2005, p. 43).
2.4.1 Métodos Implícito, Semi-Implícito E Explicito
Os modelos implícitos e explícitos são de primeira ordem em relação ao tempo. Com o objetivo de reduzir os erros causados por problemas de segunda ordem, os esquemas de Adams-Bashford (explicito) e Crank-Nicolson (semi-implícito), foram propostos. No método explicito, apenas as variáveis já conhecidas são utilizadas para calcular as incógnitas do próximo passo de tempo. Nos métodos implícito e semi-implícito variáveis desconhecidas também são envolvidas neste cálculo, fazendo necessário o uso de um sistema de equações a ser resolvido com a utilização de métodos numéricos. A figura 8 é uma representação das variáveis envolvidas no cálculo de cada método.
Figura 8 – Interpolação temporal pelos diferentes metodos. Fonte: Nicolato, 2009.
2.4.1.1 Método de Adams-Bashford (Explicito)
Esse método é um mecanismo direto de resolução das equações, onde a variável dependente (n+1) está sujeita aos valores já conhecidos previamente. Neste caso, cada equação possui uma única incógnita, por isso pode ser resolvida de maneira simples, com um sistema de equações.
(12)
2.4.1.2 Método de Crank-Nicolson (Semi-Implícito):
Diferentemente do que acontece no modelo explicito, as variáveis não podem ser obtidas diretamente, por tanto deve haver um sistema de equações aplicado em todos os nós do sistema para certo tempo. Dessa maneira, o método produz grandes sistemas de equações algébricas a serem manipulados e resolvidas. Para a resolução destes problemas existem alguns métodos iterativos clássicos que serão apresentados na seção 2.9.
(13)
2.5 Tipos de Escoamentos
Na mecânica dos fluidos existem basicamente dois tipos de escoamento, o laminar e o turbulento. Existe também a transição entre os dois tipos de fluxo que é fonte de altas imprecisões e erros, devido à falta de uma descrição precisa do fenômeno físico. A solução das equações de Navier-Stokes geralmente não apresentam dificuldades fundamentais no caso dos fluxos laminares. Contudo, a simulação de fluxos turbulentos apresenta diversos problemas que precisam ser resolvidos através de equação mais sofisticadas como as equações do tipo Reynolds-averaged Navier-Stokes, ou RANS (Blazek 2001), por exemplo.
2.5.1 Fluxos Laminares e Turbulentos
O fluxo laminar é caracterizado por ocorrer em camadas ou laminas, onde o fluido se move de maneira ordenada, numa mesma direção e com velocidade constante. Nesse modelo as partículas se movem de maneira suave, sem grande mistura de partículas dentro do fluido. O fluxo laminar pode ser completamente descrito utilizando as equações da continuidade e momentum. Em alguns casos mais simples os fluxos laminares podem até ser resolvidos numericamente; em casos mais complexos os métodos numéricos se fazem necessários. A figura 9 é uma representação dos dois tipos de fluido ao passar por uma asa. Antes do obstáculo as linhas de fluxo estão alinhadas e ordenadas. Já na região influenciada pelo objeto ocorre a formação de uma região caótica e turbulenta. O tipo de regime apresentado por um fluido está intimamente liga à razão entre forças inerciais e viscosas, que são expressadas pelo número de Reynolds. Em baixos números de Reynolds, as forças viscosas são proeminentes sobre as forças inercias, ocorrendo então o fluxo laminar. Para números de Reynolds suficientemente altos, as forças inercias ampliam as perturbação no fluido, provocando um fluxo turbulento. Nestas condições o movimento se torna intrinsicamente instável mesmo considerando-se condições de contorno constantes.
Em grande parte dos problemas relacionados à engenharia existe a predominância do fluxo turbulento. No fluxo turbulento, as partículas de fluido seguem padrões desorganizados e desordenados, onde as propriedades mudam constantemente ao longo do tempo. Em casos como estes, uma perfeita descrição do fluxo requereria um tempo e custo computacional quase proibitivos. Estes fluidos são causados por um complexa interação entre viscosidade e inércia. Como a maioria dos fluxos em engenharia são turbulentos, com grandes variações de temperatura, pressão e velocidades, a resolução direta das equações de Navier-Stokes se torna muito complexa. Nesses casos, uma seria de modificações devem ser feitas, onde correlações são adotadas e suposições são feitas.
2.5.2 Modelos de Turbulência em CFD
Como a complexidade dos fluxos com turbulência é muito alta, o uso de formulações simples é quase sempre inviável. O modelo mais amplamente utilizado na indústria é o Kappa-Epsilon (K- ε), que é baseado na aproximação de Boussinesq. Nessa teoria assume-se que em fluxos isotérmicos e incompressíveis a turbulência diminui a não ser que exista um cisalhamento. Além disso, viu-se que a taxa média de deformação segue o comportamento das tensões turbulentas. Apesar de ser um método mais sofisticado e robusto, ele também é mais custoso computacionalmente. Duas equações diferenciais parciais devem ser resolvidas, uma para abranger a quantidade de energia cinética turbulenta “K”, e outras quantidades tais como a taxa de dissipação de energia cinética turbulenta “ε” (Versteeg e Malalasekera 1995, p. 64). A partir dessa premissa foram então desenvolvidos uma serie de modelos de turbulência (Date 2005, p. 89). Na equação 14, temos a introdução do conceito de viscosidade eddy ou viscosidade de turbulência (µt), dado por Boussinesq. Apesar de ser simples e eficiente, o modelo apresenta alguns pontos fracos em situações com alta curvatura, jatos assimétricos, fortes turbilhões e fluxos parcialmente laminares.
Onde, a viscosidade de turbulência é: (15)
A energia cinética turbulenta é: (16)
A taxa de dissipação de turbulência é: (17)
Modelo RNG K- ε
É um método similar ao modelo padrão porém com algumas modificações para incluir a interação entre a dissipação turbulenta e a força cisalhante e os efeitos dos redemoinhos, podendo prever com mais precisão fluidos de transição, altas curvaturas e transporte de massa e calor nas paredes. No entanto o modelo ainda não consegue prever o comportamento de jatos.
Modelo k-ω
Este modelo é aplicado em situações de altos valores do número de Reynolds, onde o K- ε não responde bem. Este modelo é aplicado na subcamada da camada limite, e assim garantir mais estabilidade em fluxos mais turbulentos. O k-ω também se mostra superior sob condições adversas de pressão e fluxos compressíveis.
Modelo SST
O modelo conhecido como Shear Stess Transport é a combinação dos modelos K- ε e k-ω, com a intenção de extrair o melhor dos dois mundos. Este modelo de capaz de simular situações com fortes gradientes de pressão, pois inclui os efeitos de transporte na formulação (Blazek 2001, p. 245).
Modelo SSG
O modelo SSG / LRR-ω é derivado da abordagem de Menter combinando a equação “ε” na borda externa da camada limite com a equação “ω” de Wilcox nas proximidades da parede, misturando os coeficientes. A assim chamada equação BSL-ω
tem sido muito bem sucedida em conjunto com o modelo SST de Menter (Cécora et al. 2012). Este modelo de turbulência foi o único capas de gerar resultados satisfatórios para um dos experimentos reproduzidos neste trabalho.
2.6 O Programa ANSYS CFX
O ANSYS CFX é um software de alta performance em CFD, que produz resultados precisos e confiáveis para uma ampla gama de aplicações de dinâmica do fluidos. Existem vários outros pacotes comerciais, tais como COMSOL, PHOENICS, FLUENT, FLOW3D, entre outros. A escolha do programa ANSYS-CFX se deu em função deste ser um dos melhores softwares de CFD, e por ter sido o software que tive a oportunidade de apender durante o meu intercâmbio.
2.6.1 Estrutura do Programa
Em termos gerais, o programa tenta resolver as equações diferenciais parciais (EDP) por discretização, tendo como ponto de partida as condições de contorno. De onde se chegará a um sistema de equações algébricas que poderão ser resolvidas por métodos numéricos. Os métodos utilizados para resolução dessas equações são os de diferença finita e volume finitos. Depois disso o computador será capaz de entregar resultados como velocidade, pressão, temperatura, entre outros. A figura 10 apresenta um panorama geral do que acontece no processo computacional de simulação em CFD.
Figura 10 - Funcionamento dos programas de CFD. Fonte: Tu, Yeoh e Liu, 2012.
2.7 Geração da Malha Computacional
A malha computacional ou mesh, representa a subdivisão do domínio computacional em várias células de tamanho reduzido que são lidas pelo programa como pequenos volumes de controle nos quais os problemas físicos podem ser resolvidos individualmente. O processo de geração da malha é tão importante que muitas vezes acaba consumindo a maior parte do tempo e esforços aplicados em simulações. Os meshs podem ser estruturadas e não estruturadas, hexagonal, tetraédrica, e malha hibrida. A geração da malha é um processo bem versátil que pode ser ajustado dependendo da demanda. Em áreas de turbulência, uma malha mais refinada pode ser aplicada, enquanto em áreas de escoamentos menos severos, o mesh pode ser mais grosseira, reduzindo o custo computacional.
2.7.1 Malhas Estruturadas
O mesh estruturado tem as vantagens de ser a mais simples e fácil de programar. Este foi o primeiro sistema desenvolvido e é usualmente aplicado aos casos mais simples e básicos. No entanto o método não trabalha bem com estruturas irregulares, pois provoca um aumentando nas assimetrias. Para o caso do presente estudo, o uso do mesh estruturado foi suficiente para atender a demanda dos problemas em questão. Como pode ser observado na figura 13 da seção 3.2.1, a malha aqui utilizada é composta somente por elementos hexaédricos.
2.7.2 Malhas não Estruturadas
O mesh não estruturado foi desenvolvida para sempre preencher volumes arbitrários. A geração deste tipo de malha é bem direta e menos complicada. Pode ser combinada com outras técnicas para refinamento nas proximidades de paredes ou zonas mais sensíveis. Este é o método mais utilizado e está presente em todos os pacotes comerciais do mercado. Nessa técnica, o número de elementos aumenta consideravelmente, em relação ao método convencional. Além disso, as células dificilmente se alinharam ao fluxo, pois a estruturação é não isotrópica.
2.8 Condições de Contorno
As condições de contorno adequadas são elementos primordiais na resolução das equações de Navier-Stokes e da continuidade. Essas condições é que vão delimitar e determinar o sentido do fluxo. As condições de contorno incluem também a determinação de uma parede sólida ou elástica, se entrada ou sai de fluidos, a velocidade do fluido no contato com a parede, se a parede é lisa ou áspera, se existem fronteiras livres, a pressão na entrada e saída, as velocidades nesses pontos, o fluxo mássico, as densidades, as temperaturas e
pressões iniciais, se existe transferência de calor, entre outros. Também é preciso determinar se o fluxo ocorre entre paredes, se é aberto e se existe simetria (Date 2005, p. 73). O usuário deve incluir as condições o mais próximas possível do problema real, para que os resultados sejam consistentes.
2.9 Procedimentos para Soluções Computacionais
Existem vários métodos utilizados por programadores na geração de códigos que resolvam os problemas de CFD. Aqui citarei alguns, que são os mais básicos e podem ser calculados analiticamente para casos simples. No entanto, para problemas multidimensionais estes métodos podem gerar problemas ao serem resolvidos por métodos iterativos, já que o número de iterações é muito alto, demorando para que se atinja uma convergência.
Entre os métodos mais simples utilizados existe o método de Jacobi que é um algoritmo que pode ser usado para se chegar a uma solução por meio de tentativas e iterações. O modelo para de realizar iterações assim que o critério de convergência é atingido.
Uma outra possibilidade é o método de Gauss-Siedel que segue o mesmo princípio do de Jacobi com a diferença que o valor encontrado em um iteração é substituído imediatamente na próxima. Sendo assim, esse método atinge a convergência mais rapidamente.
Além destes também pode-se citar o método Algoritmo da Matriz Tri-Diagonal (TDMA) que é um método direto para resolução de problemas de uma dimensão que pode ser aplicado iterativamente, linha por linha, para resolver problemas multidimensionais. Foi criado por Thomas em 1949 e tem sido largamente utilizado em CFD. Para casos de uma dimensão o método é bem similar à eliminação gaussiana.
2.10 Validação e Verificação de Resultados
A fase de validação e verificação representa uma das mais importantes etapas do processo de modelagem numérica, já que é nessa etapa que se pode determinar se a simulação
feita tem qualidade ou não. Como os dados são obtidos por meio de simulação, os mesmos devem ser comparados com dados reais para mensurar o quão fiel à realidade é o resultado. Muitas vezes, especialmente nas primeiras simulações com malhas mais grosseira, os resultados não reproduzem fielmente a realidade. A verificação é o processo que determina se o modelo projetado é conceitualmente condizente com a teoria, fornecendo evidencias da consistência da solução. Já a validação procura comparar e analisar os resultados obtidos em simulação com dados reais ou modelos padrões. A seguir temos alguns exemplos de métodos utilizados em validação e verificação.
2.10.1 Estudo da Convergência do Grid
Esse estudo se baseia no princípio de que a solução da discretização tende à solução exata com a diminuição do espaço do grid, ou seja, o erro por aproximação é reduzido com a redução dos elementos da malha computacional. Para este fim, o teste de independência do grid poderá ser aplicado. Neste teste, o grid é refinado até que a solução para certo parâmetro pare de variar significativamente. Para isso, pelo menos três resoluções do grid devem ser utilizadas. Se as três soluções convergirem, o método de Richardson é utilizado para encontrar o valor ideal da variável (com espaço do grid tendendo a zero ou o número de elementos tendendo ao infinito). Essa extrapolação também fornece um estimativa do erro de discretização. O método possibilita a análise do quanto a malha gerada é adequada ao problema em questão. A figura 11 é um exemplo da aplicação de refinamento de mesh para a obtenção da pressão ideal. Com a utilização da técnica de extrapolação de Richardson, fica evidente que a partir de certo nível de refinamento a redução do tamanho dos blocos não influencia tanto na qualidade dos resultados obtidos. Pode-se notar na figura 11 que o resultado para o malha gerada grosseiramente fica bem distante do que é fornecido pela extrapolação; com a posterior melhora e refino do mesh os valores obtidos por simulação se aproximam do valores ideais calculados.
Figura 11 - Método de refino do grid. Fonte: Tian, 2015, p. 250.
Com os três resultados obtidos e sabendo a taxa de refino do grid, podemos calcular a ordem de convergência do problema. Sabendo-se os resultados, o fator de segurança e o fator de refinamento, o índice de convergência do grid, que é a medida em porcentagem da distância entre o valor obtido em simulação e o valor assintótico, pode ser obtido a partir da equação 18.
(18)
(19)
Geralmente existe um fator de segurança (Fs) que segue a norma de 1,25 para três ou
mais grids e 3 para dois grids. Para dos valores GCI, devemos utilizar a equação 20. Se o valor obtido for próximo de significa que as soluções estão dentro da variação assintótica.
(20)
Onde a ordem de convergência é: (21)
2.10.2 Comparação da Simulação com Dados Experimentais
Essa é uma etapa muito importante do processo que se realizada com sucesso pode pesar muito na qualidade da simulação, determinando sua consistência ou inconsistência. Uma simulação que conta com os dados reais de um equipamento ou peça, por exemplo, pode ser facilmente verificada. Essa comparação também pode ser feita com modelos já bem estabelecidos ou trabalhos feitos por especialistas da área. Se os resultados de simulação forem próximos o suficiente dos valores reais, a simulação em questão tem grandes chances de ter uma alta qualidade. No presente estudo, a comparação com dados experimentais foi o principal método de validação de resultados, pois as modelagens aqui presentes foram baseadas nos experimentos realizados por Bredmose et al. (2003) em seu artigo.
2.11 Principais Fontes de Erros em CFD
As fontes de erros em CFD são variadas, sendo principalmente causadas por limitações computacionais e falha humana. Estes erros incluem erros por discretização, simplificações, falhas na modelagem, erros de convergência e falta de habilidade no manuseio do programa. O erro de discretização ocorre na solução da equação parcial diferencial, onde um problema continuo é substituído por um discreto. Este erro é a diferença entre as soluções analíticas e numéricas. Na solução numérica ocorrem simplificações em equações que a distanciam os valores obtidos da solução real. O erro de discretização depende principalmente do tamanho, densidade e qualidade do grid. Além deste existe também o erro em função da capacidade do computador que não é capaz de considerar todos os dígitos dos números, e acaba arredondando parte deles. Como se pode perceber na figura 12, existe um trade-off
entre esses dois erros, onde o erro de discretização é proporcional ao tamanho da mesh, enquanto o erro por arredondamento é inversamente proporcional. Isso ocorre porque com o refino da malha, o número de elementos aumenta e o número de equações a serem realizadas pelo computador também aumenta.
Figura 12 - Erros de discretização e Erros de arredondamento. Fonte: Tian, 2015, p. 265. Além dos mencionados anteriormente, existem os erros provocados por falhas no modelo físico. Em muitos casos, os modelos matemáticos não conseguem retratar perfeitamente a realidade o que acaba por afastar os resultados computacionais dos reais. Esses erros acontecem principalmente em modelagens complexas como em problemas envolvendo turbulência, combustão e escoamentos multifásicos. A explicação para o alto nível de incerteza em simulações envolvendo estes tipos de fenômenos se encontra na própria falta de conhecimento do fenômeno, na deficiência de uma descrição precisa e consistente, incertezas nos parâmetros a serem considerados, simplificações nos modelos e dificuldades de confirmação experimental. Os erros causados por modelagem física não satisfatória são considerados as maiores fontes de erro em CFD.
3 Modelagem Numérica
Como descrito no primeiro capítulo, este trabalho de conclusão apresenta os resultados das simulações dos experimentos H10 e V21 desenvolvidos por Bredmose et al. (2003). Estes experimentos tinham como principais objetivos o estudos dos fenômenos de sloshing e a formação de table-tops em contêineres parcialmente cheios com água.
3.2.1 Simulações do Experimento H10
Tomando como base os trabalhos anteriores realizados no laboratório de fluido dinâmica computacional, novas simulações do experimento H10 foram realizadas, cada uma contendo pequenas alterações em relação ao original. Para este caso, um arquivo contendo todas as configurações necessárias para a simulação deste experimento já estava pronto; este arquivo semente já continha malha computacional, as definições necessárias e as condições de contorno já estabelecidas este caso. A figura 13 mostra a malha contida no arquivo semente. Esse mesh foi gerado de modo que as regiões críticas tiveram um refino maior, ou seja, apresentaram um maior número elementos de modo a evitar instabilidade na solução numérica. As regiões críticas foram determinadas com base dos dados experimentais obtidos por Bredmose et al. (2003). Estas regiões são localizadas no entorno dos locais de formação das cristas e vales das ondas e também nas paredes do reservatório (locais que sofrem os fortes impactos dos sloshings). Para esse experimento, as paredes são particularmente importantes pois nelas ocorrem os chamados run-ups da massa de água quando as ondas se chocam violentamente com estas barreiras. O run-up é caracterizado pela subida do fluido pela parede do reservatório formando uma camada cada vez mais fina a medida que a massa de fluido se eleva. Este movimento é a principal fonte de analises do experimento H10. Fora das regiões críticas, ou seja aquelas em que o movimento de fluidos é reduzido, a malha pode ser mais grosseira, salvando processamento e tempo computacional. Outra característica importante dessa simulação é que a esta é uma representação bidimensional do reservatório como um todo, na maioria dos casos um simulação 3D não é
necessária. Como o reservatório apresenta um comportamento simétrico, simulações bidimensionais podem ser feitas sem que ocorra perda de qualidade nos resultados, gerando ainda uma redução de tempo de processamento, o que torna o modelo mais simples de ser executado. Nessa simulação 2D o comprimento e a altura originais do contêiner foram mantidos, e a profundidade do mesmo foi reduzida de 400 mm para 8 mm, tornando-se um problema bidimensional.
Figura 13 – Malha computacional do arquivo semente.
As equações que descrevem o movimento de fluidos contidos em contêineres fechados podem ser simplificadas a partir da consideração de impermeabilidade e rigidez das paredes. Para a dedução da condição de contorno para a superfície livre, o fluido é assumido como incompressível e, a princípio, sem apresentar rotação. Os efeitos de capilaridade foram desprezados para esta aplicação. Foram realizadas simulações considerando e desconsiderando a tensão superficial; nestes casos os resultados foram praticamente idênticos, sendo que com inclusão da tensão superficial os run-ups nas paredes laterais foram um pouco maiores. A oscilação de superfícies livres pode ser produzida a partir de impulsos iniciais, ou de um distúrbio da condição de repouso desta superfície. Para este tipo de simulação é conveniente referenciar o movimento do fluido a um sistema de coordenadas que se desloca juntamente com o recipiente que nele está contido. O movimento deste recipiente foi descrito para o eixo horizontal a partir da função deslocamento da figura 3 do capítulo 1. Esta função foi inserida no programa ANSYS-CFX por meio de uma interpolação de pontos.
A malha gerada no arquivo semente (figura 13) possui 40 172 nós e 19 800 elementos hexaédricos, com um volume total de 0,00888 m3. Como esse modelo é uma representação do reservatório como um todo, as duas paredes laterais e o fundo foram mantidas como rígidas, a parte superior foi mantida como superfície aberta, enquanto as paredes frontal e traseira foram substituídas por simetrias. Na simetria, presume-se que em ambos os lados das fronteiras, existem mesmos processos físicos. As variáveis têm o mesmo valor e gradientes à mesma distância a partir do limite. Essa condição atua como um espelho que reflete toda a distribuição do fluxo para o outro lado. No caso do experimento H10 simulações em 3D e 2D foram criadas, rodadas e comparadas. O reservatório em questão foi preenchido por água até certo nível e o restante do tanque é preenchido por ar atmosférico. As propriedades físico-químicas dos fluidos (sob temperatura de 25 °C e pressão de 1 atm) podem ser vistos na tabela 3.
Tabela 3 - Propriedades dos fluidos utilizadas no experimento H10.
Fluido Densidade (kg/m3) Massa molar (kg/kmol) Viscosidade dinâmica (kg/ms) Coeficiente de absorção (m-1) Água 997,0 18,02 8,899E-4 1 Ar 1,185 28,96 1,831E-05 0,01
Ambas substâncias foram consideradas puras, o ar como um gás seco e a água um líquido puro. A temperatura nas simulações são mantidas constantes, desprezando-se as trocas térmicas e as características relacionadas à transferência de calor; dentre essas características podem ser citadas as constantes de condutividade e expansividade térmicas e a capacidade calorifica dos fluidos, todas eles foram desconsideradas na modelagem. Além das configurações explicadas anteriormente, o modelo Kappa-Epsilon foi selecionado para como o modelo de turbulência a ser utilizado. Tal modelo foi selecionado em função de sua versatilidade e por ser um modelo amplamente utilizado nestes tipos de problemas.
Seguindo os mesmos princípios do arquivo semente, fui capaz de criar meus próprios modelos e realizar simulações com cenários distintos entre si. Como o arquivo semente não
pode ser alterado, modelo em três dimensões teve que ser criado desde a geração da geometria do tanque. Neste caso apenas metade do tanque teve que ser simulada, pois a outra metade pode ser considerada uma simetria do que ocorre na primeira. A figura 14 demonstra o modelo em três dimensões que contém uma parede lateral esquerda (sentido negativo do eixo x), uma parede frontal (sentido positivo do eixo z), a parede lateral direita (sentido positivo do eixo x), e a simetria que divide o tranque ao meio (sentido negativo do eixo z), o fundo rígido do tanque (sentido negativo do eixo y) e ainda o topo do reservatório que é aberto ao fluxo de fluidos (sentido positivo do eixo y). As paredes perpendiculares ao eixo z não sofrem impacto das ondas pois são paralelas ao movimento de fluidos dentro do reservatório. Por outro lado, as paredes perpendiculares ao eixo x (paredes laterais), são as paredes que recebem os fortes impactos produzidos pelos sloshings.
Figura 14 – Geometria gerada para a simulação em 3D.
Para a simulação em três dimensões foi criada uma geometria com dimensões 1480 x 200 x 750 mm3, com três regiões distintas que receberam refinamentos de mesh distintos,
como observado na figura 14. Após essa etapa, a malha pôde ser gerada e então refinada, de maneira que esta fique o mais próximo possível do mesh presente no arquivo semente (figura 13). Na geração do mesh foram utilizados os métodos de sweep e edge sizing combinado com bias fator. Essa nova malha em 3D possui 195 321 nós e 182 000 elementos hexaédricos, representando aumentos de 386,2% no número de nós e 809% no número de elementos. Com esse aumento considerável no número de nós e elementos, tempo e gasto computacionais também aumentaram consideravelmente. O tempo total de simulação saltou de 2 horas e 1 minuto no modelo 2D, para 12 horas e 15 minutos no modelo 3D.
Após a criação da geometria e da malha, foi necessário a introdução das condições de contorno, definição do passo de tempo, seleção do melhor modelo de turbulência, introdução do sinal que produzirá o movimento do tanque, seleção das propriedades físicas do líquido e do ar, entre outros. Nesta etapa o regime foi estabelecido como transiente, já que as propriedades dos fluidos no tanque variam de acordo com o tempo. O tempo inicial e final foram determinados como 0 e 12 segundos, respectivamente, seguindo o que havia sido estabelecido por Bredmose et al. (2003). Além disso, foi estipulado o tamanho do passo de tempo como 0.01 segundos, tendo como base o número de Courant.
O número de Courant ou número de Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) é, em muitos casos, uma condição necessária para a convergência de problemas envolvendo a resolução de alguns tipos de equações diferencias parciais. Esse fator depende, da velocidade do fluxo, do tamanho das células e passo de tempo, e normalmente é calculado para cada situação de acordo com a equação 22. A explicação física do número de Courant pode ser vista como uma representação da maneira na qual o fluido se move através dos elementos computacionais. Se o número de Courant for menor que 1, significa que as partículas de um fluido passam de uma célula para outra dentro de, no máximo, um intervalo de tempo. Se esse valor for superior a 1, significa que as partículas de fluido movem-se através de duas ou mais células a cada passo de tempo e isto pode afetar negativamente a convergência do problema. Alguns sistemas mais robustos podem lidar com altos valores dessa variável, mas em caso de divergência, este é um bom ponto de partida para solucionar falhas e problemas relacionados à convergência que podem afetar a precisão de uma simulação transiente. Problemas que apresentam a difusão como característica dominante, geralmente devem ser executados com baixos valores para o número de Courant.
(22)
Onde n é o número de dimensões do problema, xi é a magnitude da velocidade na dimensão n,
Δt é o passo de tempo e Δxi é o intervalo de comprimento desta dimensão.
A figura 15 é um comparativo dos resultados obtidos experimentalmente e numericamente por Bredmose et al. (2003), e os resultados das simulações em duas e três dimensões. Nestas imagens aparecem fotos tiradas dos experimento nos instantes 7.44, 7.52, 7.64, 7.80 e 8.04 segundos, começando de cima para baixo.
Figura 15 – Comparação das simulações de 2D e 3D com o experimento real.
De maneira geral, as formas e feições das ondas apresentadas na sequência de imagens da figura 15 se assemelham bastante, tanto entre as simulações em 2D (coluna da esquerda) e
3D (coluna da direita), quanto entre as simulações e os resultados adquiridos experimentalmente (ao centro) e por meio das Equações de Boussinesq (linha tracejada da coluna central). Uma diferença marcante entre as simulações ocorre no segundo 7.52, no qual a onda da simulação 3D aparenta estar um pouco atrasada em relação à simulação 2D e ao próprio experimento. Tal ocorrido talvez seja parcialmente explicado pelo fato de o refinamento da malha 3D ter sido inferior ao apresentado pela malha 2D. Outra diferença ocorre no segundo 8.04, onde ocorre a descida da onda de água após o impacto na parede; neste caso o vale formado pela descida da massa de água no modelo 2D é mais evidente tanto se comparado à simulação 3D, quanto a imagem registrada pela câmera durante o experimento real.
Os tempos escolhidos na figura 15 não foram escolhos ao acaso, eles demonstram o período crítico do experimento, onde as pressões exercidas pela onda sobre a parede lateral atingem seus valores máximos, o que será demonstrado nos gráficos de pressão da seção 3.2.1.2.
3.2.1.1 Análise do Fenômeno Ocorrido Durante o Run-Up
Na simulação em três dimensões foi possível observar um fenômeno peculiar ocorrido durante a subida da onda de água pela parede lateral do tanque, fenômeno este que não pode ser observado na simulação em 2D. A figura 16 mostra uma ampliação da vista frontal da parede lateral; região sobre a qual esse fenômeno pode ser observado a partir da análise dos resultados da simulação em 3D.
Figura 16 – Fenômeno ocorrido durante o run-up.
A figura 16 é uma imagem instantânea do run-up ocorrido na parede lateral do tanque no instante 7.76s, o qual a lâmina de água atinge sua maior elevação. Observando-se a ampliação desse ponto crítico, pode-se notar que neste ponto ocorre a formação de uma superfície curva nas proximidades da junção entre as paredes lateral e frontal do tanque. Infelizmente esse fenômeno não foi retratado no artigo de Bredmose et al. (2003), impossibilitando uma validação do resultados. No entanto, existem possíveis explicações para tal ocorrido. Como uma das condições de contorno do problema foi a de não deslizamento no contato fluido-parede, possivelmente na junção das paredes o fluido sofre mais resistência ao seu movimento ascendente, quando comparado ao restante da parede lateral, o que geraria essa forma curva observada na figura 16. Esse mesmo fenômeno não ocorre na parte esquerda desta figura, pois ali existe uma simetria, e não uma junção de paredes. Este é um caso que pode ser objeto de futuros estudos para que se possa confirmar ou não a existência deste tipo de fenômeno.
3.2.1.2 Gráficos de Pressão da Parede Lateral do Tanque
Como dito previamente no capítulo 1, no experimento realizado por Bredmose et al. (2003), foram instalados transmissores de pressão ao longo do contêiner, mas somente um deles gerou resultados satisfatórios e confiáveis. A figura 17 apresenta os dados de pressão obtidos por este transmissor que foi instalado na posição central da parede lateral, a 26 mm do chão do tanque.
Figura 17 – Gráfico da pressão versus tempo para o experimento H10. Fonte: Bredmose et al., 2003.
Os tempos da imagens mostradas na figura 16 foram escolhidos com base neste gráfico, que mostra que os momentos críticos ocorreram entre 7 e 8 segundos. É durante este intervalo de tempo que a pressão sobre a parede atinge os seus valores mais elevados. De acordo com Bredmose et al. (2003), o duplo pico é causado pela pressão gerada durante a ascensão da massa de água sobre a parede lateral do recipiente e o subsequente movimento de descida dessa mesmo massa de água.
Foi introduzido pelo presente trabalho uma análise dos os esforços que fluidos com diferentes viscosidades e densidades produziriam na parede lateral do reservatório. Várias simulações foram feitas com óleo de milho e também com glicerol. Estes dois fluidos são bem
mais viscosos que a água, e tem densidade inferior, no caso do óleo de milho, e superior no caso do glicerol. As propriedades dos dois novos fluidos estudados podem ser vistas na tabela 4.
Tabela 4 – Comparação das propriedades dos novos fluidos.
Substância Densidade (kg/m3) Massa Molar
(kg/kmol)
Viscosidade Dinâmica (Kg/ms)
Água 997 18.02 8.90E-04
Óleo de milho 918.8 873.4 7.20E-02
Glicerol 1262 92.09 1.50
A tabela 4 demonstra que a viscosidade dinâmica do óleo de milho é cerca de 80 vezes superior a viscosidade da água, que por sua vez é 1680 vezes inferior à densidade da glicerina, tomando-se como referencial a temperatura de 25 °C. Comparando estes três materiais será possível determinar o impacto da viscosidade nas pressões e esforços exercidos pelos fluidos sobre a parede lateral do contêiner.
Diferentemente do que ocorre no experimento de Bredmose et al. (2003), o gráfico da pressão gerado no programa ANSYS, para os diferentes fluidos, pôde ser plotado do instante inicial até o final. A figura 18 foi gerada a partir dos valores de pressão fornecidos pelo programa, que foram divididos pelas pressões hidrostáticas dos respectivos fluidos; desta maneira uma comparação entre os diferentes fluidos pode ser feita. Nesta figura, nota-se diferenças marcantes entre os gráficos de pressões para estes diferentes fluidos. Como esperado, o gráfico de simulação para a água gerou resultados praticamente idênticos aos obtidos por Bredmose et al. (2003). A diferença de altura entre as curvas da figura 18 se justifica pela diferenças de densidade entre eles. Com relação ao formato das curvas, pode-se notar o efeito marcante da viscosidade. Entre os segundos 7 e 8, e posteriormente entre os segundos 9 e 10, tanto a água (assim como o ocorrido no experimento de Bredmose et al. (2003) quanto o óleo de milho apresentaram seus duplos picos de pressão.
Figura 18 – Gráfico de pressões para os diferentes fluidos.
Em função dos efeitos da viscosidade, o efeito de duplo pico no óleo de milho (curva em amarelo) foi consideravelmente inferior ao demonstrado pela água (curva em azul). Este fato provavelmente demonstra que esses tipos de esforços gerados em um contêiner seriam maior intensidade para fluidos de menor viscosidade, pois estes apresentam uma maior mobilidade. Já em relação ao glicerol, os duplos picos sequer aparecem. Além disso, o gráfico de pressões do glicerol tem uma aparência muito mais suave se comparado aos outros dois casos. Para este fluido os picos secundários, tais como o ocorrido por volta do décimo primeiro segundo para a água e o óleo, sequer ocorrem.
3.2.1.3 Comparação Temporal das Ondas dos Diferentes Líquidos
Os mesmos resultados obtidos para água vistos na figura 16 (seção 3.2.1), também foram obtidos para o óleo de milho e o glicerol. Tendo como base os mesmo tempos da figura 16 (7.44, 7.52, 7.64, 7.8 e 8.04 segundos), pode-se fazer um comparação entre os resultados
de simulação dos três fluidos em questão. Diferentemente do que ocorre com a água, as ondas geradas no óleo de milho e com o glicerol apresentam amplitudes e run-ups bem menos expressivos.
Figura 19 – Comparação das ondas geradas pelos fluidos.
No instante 7.44s, a onda do óleo de milho é bem reduzida se comparada à onda da água, já a crista da onda de glicerol é praticamente imperceptível. No instante 7.64s a subida de fluido pela parede lateral é máxima, no entanto ela é bem inferior no caso do óleo de milho, e ainda menos aparente no caso do glicerol, o que evidencia a grande diferença de viscosidades ente os casos. No instante final mostrado pela figura 19, diferentemente da água, o óleo de milho e o glicerol apresentam uma descida de fluido bem mais suave e prolongada.
