RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

(1)

Aula 10 – Parte 1

Equivalência Composta de Capitais ... 2

Progressão Geométrica . ... 18

Cálculo da razão . ... 18

Termo Geral . ... 18

Séries Uniformes ... 20

Elementos de uma série uniforme ... 21

Classificação das Séries Uniformes ... 21

Representação em Fluxo de Caixa ... 21

Valor Futuro ou Montante de uma renda certa (F) ... 21

Valor Atual ou Valor Presente de uma renda certa (A) ... 22

Rendas Certas Perpétuas ou Perpetuidades ... 25

Problemas envolvendo rendas diferidas ... 42

Empréstimos Internacionais . ... 47

Relação das questões comentadas... 56

Gabaritos . ... 65

(2)

Equivalência Composta de Capitais

Dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nessa data, valores iguais.

O problema precisa deixar claro outras duas informações: a taxa de juros e a data focal. A taxa de juros já é nossa conhecida. E o que é a data focal? É a data de referência.

Qual a necessidade de existir uma data de referência?

Não é permitido em Matemática Financeira comparar valores que estão em datas diferentes.

Temos, na equivalência composta de capitais, uma informação que nos ajudará bastante. Em juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes em determinada data focal, então eles também serão equivalentes em qualquer outra data focal. Isso não ocorre a juros simples.

Assim, para resolver os problemas de equivalência composta de capitais, podemos escolher qualquer data para ser a data focal.

Além disso, temos um fato importante: todas as questões de equivalência composta de capitais serão resolvidas utilizando o DESCONTO RACIONAL COMPOSTO. Ou seja, trabalharemos com taxa de juros compostos.

Vejamos a fórmula do montante composto:

(1 )

n

M

₌

C

_⋅

₊

i

Para facilitar o entendimento, chamaremos o montante de valor futuro e representaremos por F. O capital inicial será chamado de valor atual e será indicado por A. Assim,

(1 )

n n

F

A

i

A

i

=

⋅

+

⇔

=

+

No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar quantias no tempo.

Essa é a fórmula fundamental de equivalência de capitais:

i) Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 )n i

(3)

ii) Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1 )n i

+ .

Ou seja, para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )n i

+ . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n

i

+ .

01. (Aneel 2004 ESAF) Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago da seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ 20.000,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ 30.000,00. Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de:

a) 20.000 30.000₂₄ ₃₆ 1, 03 + 1, 03 b) 20.000 30.000₂ ₃ 1, 03 + 1, 03 c) _{1, 03}2 _×_{20.000 1, 03 30.000}₊ 3_× d) _{1, 03 20.000 1, 03 30.000}_× ₊ 2_× e) 2, 06 20.000 3, 09 30.000× + × Resolução

Temos o seguinte “desenho” do problema.

A quantia que Carlos tomou emprestada está na data 0 (presente). O valor de X reais na data 0 equivale a R$ 20.000,00 daqui a 2 anos (24 meses) mais R$ 30.000,00 daqui a 3 anos (36 meses).

(4)

Obviamente o valor de X não é igual a R$ 50.000,00 (R$ 20.000,00 + R$ 30.000,00). Isso porque não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Devemos transportar esses valores na linha do tempo. Para isso, lembre o fato de que

Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )n i + . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )₊i n_.

No nosso caso, estamos interessados em transportar valores do futuro para o presente. Para isso devemos dividir esses valores por (1 )n

i + .

Ou seja, R$ 20.000,00 daqui a dois anos valem hoje

(

)

24 24 20.000 20.000 1, 03 1 0, 03 = + .

Assim como R$ 30.000,00 daqui a três anos valem hoje

(

)

36 36 30.000 30.000 1, 03 1 0, 03 = + . Dessa forma, X 20.000 30.000₂₄ ₃₆ 1, 03 1, 03 = + . Letra A

02. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na resposta.)

a) R$ 2.122,00. b) R$ 1.922,00. c) R$ 4.041,00. d) R$ 3.962,00. e) R$ 4.880,00. Resolução

(5)

Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 3.

Para avançar um valor para o futuro multiplicamos p or

(1 )n i + . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n

i + . Dessa forma:

= 2.000 ∙ (1 + 0,02) +_{(1 + 0,02) = 4.041,58}2.000 Letra C

Observação: Como a taxa de juros é pequena, e as parcelas são bem próximas, os juros e descontos serão bem pequenos. Logo, o valor procurado será bem próximo da soma das parcelas (4.000).

Na operação de juros o número de períodos é 2. Na operação de desconto, o número de períodos é 1. Logo, os juros serão um pouquinho maior que o desconto. O valor procurado será um pouquinho maior que 4.000. Com isso, dá para marcar letra C.

03. (AFC – STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a: a) R$ 35.000,00 b) R$ 27.925,00 c) R$ 32.500,00 d) R$ 39.925,00 e) R$ 35.500,00 Resolução

(6)

Queremos calcular o valor da prestação X de modo que pagar R$ 85.000,00 hoje seja o mesmo que pagar (seja equivalente) R$ 15.000,00 hoje, mais X reais daqui a 6 meses, mais R$ 30.000,00 daqui a 12 meses, mais X reais daqui a 18 meses.

Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que

Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )n i + . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )₊i n_.

E é fato que preferimos multiplicar por (1 )₊i n _{a dividir por}_{(1 )}₊i n_{. Assim, nossa estratégia}

será transportar todos os valores para o futuro. Temos dois conjuntos de capitais:

- A proposta do comprador (as quatro parcelas).

- A proposta da imobiliária (pagar R$ 85.000,00 a vista). Utilizaremos como data focal o 18º mês.

Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 18º mês.

Para transportar R$ 85.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por 18 (1 )₊i _.

Para transportar R$ 15.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por 18 (1 )₊i _.

Para transportar X reais (6º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por 12 (1 )₊i _.

Para transportar R$ 30.000,00 (12º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por _i 6 (1 )+ .

(7)

Não precisamos transportar X reais (18º mês), pois ele já está na data focal. Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:

18 18 12 6

85.000 1, 04

_⋅

₌

15.000 1, 04

_⋅

₊

X

_⋅

1, 04

₊

30.000 1, 04

_⋅

₊

X

85.000 2, 025816 15.000 2, 025816

_⋅

₌

_⋅

₊

X

_⋅

1, 601032 30.000 1, 265319

₊

_⋅

₊

X

172.194,36 30.387, 24 1, 601032

₌

₊

_⋅

X

₊

37.959, 57

₊

X

1, 601032

_⋅

X

₊

X

₌

172.194, 36 30.387, 24 37.959, 57

₋

2, 601032

_⋅

X

₌

103.847, 55

2, 601032

X

₌

39.925, 52

X

₌

Letra D

04. (AFC – STN 2005 ESAF) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o

(8)

valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a:

a) R$ 23.455,00 b) R$ 23.250,00 c) R$ 24.580,00 d) R$ 25.455,00 e) R$ 26.580,00 Resolução

O problema se resume no seguinte:

Dar uma entrada de X reais e efetuar um pagamento de R$ 17.000,00 daqui a 8 meses é o mesmo que (é equivalente a) dar uma entrada de R$ 20.000,00 e efetuar um pagamento de R$ 20.000,00 daqui a 6 meses.

Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )₊i n_.

Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n i + . E é fato que preferimos multiplicar por (1 )n

i

+ a dividir por (1 )n i

+ . Assim, nossa estratégia será transportar todos os valores para o futuro!

Temos dois conjuntos de capitais: Utilizaremos como data focal o 8º mês.

Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 8º mês.

Para transportar R$ 20.000,00 (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por _i 8 (1 )+ .

(9)

Para transportar R$ 20.000 (6º mês) para o 8º mês devemos multiplicar por _{(1 )}₊_i 2_.

Para transportar X reais (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por _{(1 )}₊_i 8_.

Não precisamos transportar R$ 17.000,00 (8º mês), pois ele já está na data focal. Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:

8 8 2

1, 02

17.000 20.000 1, 02

20.000 1, 02

X

_⋅

₊

₌

_⋅

₊

_⋅

8 8 2

1, 02

17.000 20.000 1, 02

20.000 1, 02

X

_⋅

₊

₌

_⋅

₊

_⋅

Utilizaremos o valor dessa tabela. 8

1, 02

17.000 20.000 1,171659 20.000 1, 0404

X

_⋅

₊

₌

_⋅

₊

_⋅

8

1, 02

23.433,18 20.808 17.000

X

_⋅

₌

₊

₋

8

1, 02

27.241,18

X

_⋅

₌

8 8

27.241,18

1 27.241,18

1, 02

X

₌

_⋅

Utilizando o fato de que ( 1)

1 (1 )

n n i n i

a

i

=

¬

−

− ¬

+

8 2% 7 2% 8

1 (1 2%)

a

¬ ¬

=

−

+

(10)

8 2% 7 2% 8

1 1, 02

a

¬ ¬

=

−

8

1 7,325481 6, 471991

1, 02

=

−

Assim,

27.241,18 0,85349

X

₌

_⋅

23.250, 07

X

₌

Letra B

05. (AFRF 2001/ESAF) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês.

Há duas alternativas de pagamento:

i) Pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias (1 mês) e R$ 31.200,00 ao fim de noventa dias (3 meses).

8

1 0,85349

1, 02

=

(11)

ii) Pagamento único ao fim de sessenta dias (2 meses). Eis o desenho da questão:

(1 )₊i n_.

Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )₊i n_.

Dessa forma:

= 20.000 ∙ (1 + 0,04) + 10.000 ∙ (1 + 0,04) +_{(1 + 0,04)}31.200 = 21.632 + 10.400 + 30.000

= 62.032,00 Letra D

06. (Auditor Fiscal de Fortaleza 2003/ESAF) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 que vai vencer daqui a seis meses? a) R$ 210.000,00 b) R$ 220.000,00 c) R$ 221.000,00 d) R$ 230.000,00 e) R$ 231.000,00 Resolução

Já que a taxa fornecida é semestral, coloquemos os prazos expressos em semestres.

O primeiro capital venceu há um ano, portanto 2 semestres. O segundo capital vencerá daqui a 6 meses, portanto 1 semestre.

(12)

(1 )n i + . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )₊i n_.

Dessa forma:

= 100.000 ∙ (1 + 0,10) +_{(1 + 0,10)}110.000 = 121.000 + 100.000

= 221.000,00 Letra C

07. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na data da compra, as duas opções é

a) R$ 20.400,00 b) R$ 20.800,00 c) R$ 21.600,00 d) R$ 22.064,00 e) R$ 23.328,00 Resolução

Questão sobre equivalência de capitais.

(13)

Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )n i + . Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n

i + . E é fato que preferimos multiplicar por (1 )n

i

+ a dividir por (1 )n i

+ . Assim, nossa estratégia será transportar todos os valores para o futuro.

Temos dois conjuntos de capitais: - As duas parcelas de X reais. - O valor a vista de R$ 41.600,00 Utilizaremos como data focal o 2º ano.

Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 2º ano.

Para transportar R$ 41.600,00 (data 0) para o 2º mês devemos multiplicar por _{(1 )}₊_i 2_.

Para transportar X reais (data 1) para o 2º ano devemos multiplicar por _{(1 )}₊_i 1_.

Não precisamos transportar X reais (2º ano), pois ele já está na data focal. Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:

1 2

1, 08

41.600 1, 08

X

_⋅

₊

X

₌

_⋅

2, 08

_⋅

X

₌

48.522, 24

23.328, 00

X

₌

(14)

Letra E

08. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma rede de lojas, que atua na venda de eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma:

- R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou

- 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra.

Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que escolhem a segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente:

(Utilize se necessário: √7 = 2,646.) a) 13,5% b) 20,0% c) 21,5% d) 19,0% e) 9,5% Resolução

Eis o “desenho” da questão.

Efetuemos o transporte dos valores para a data 0. As duas formas de pagamento devem ser equivalentes nesta data.

Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )₊i n_.

1.125 = 450 +_{(1 + ) +}450 _{(1 + )}450 675 −_{(1 + ) −}450 _{(1 + ) = 0}450 Para facilitar os cálculos, adotemos que 1 + =

(15)

675 −450−450= 0 675 ∙ − 450 ∙ − 450_{= 0} 675 ∙ − 450 ∙ − 450 = 0 Simplificando os termos por 225:

3 ∙ − 2 ∙ − 2 = 0 =− ± √ − 4₂

=−(−2) ± (−2) − 4 ∙ 3 ∙ (−2)_{2 ∙ 3} = 2 ± √28₆

Observe que o enunciado sugeriu utilizar √7 = 2,646. Assim, √28 = √4 ∙ 7 = √4 ∙ √7 = 2 ∙ 2,646 = 5,292 = 2 ± 5,292₆ Como > 0, = 2 + 5,292₆ ≅ 1,215 1 + ≅ 1,215 ≅ 0,215 = 21,5% Letra C

(16)

09. (AFTE-RO 2010 FCC) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor de 1,176.

O valor de X é igual a a) R$ 17.280,00 b) R$ 15.000,00 c) R$ 14.400,00 d) R$ 13.200,00 e) R$ 12.000,00 Resolução

Desembolsando R$ 25.000,00 a um índice de lucratividade igual a 1,176, então o valor apurado no projeto (na data 0) é igual a 25.000 x 1,176 = 29.400. Adotando a data focal como a data 0, então devemos transportar os recebimentos para a data 0 e igualar a R$ 29.400,00.

Para transportar X reais (data 1) para a data 0 devemos dividir por _i 1 (1 )+ . Para transportar R$ 21.600,00 (data 2) para a data 0 devemos dividir por _i 2

(1 )+ . Temos a seguinte equação de equivalência de capitais.

1 2 21.600 29.400 (1 ) (1 ) X i + i = + +

Como a taxa de atratividade é de 20% ao ano:

2

21.600

29.400 1, 20

1, 20

X

+

=

15.000 29.400

1, 20

X

+

=

(17)

14.400 1, 20

X

=

1, 20 14.400

X

₌

_⋅

17.280, 00

X

₌

Letra A

010. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: (A) R$ 525,68. (B) R$ 545,34. (C) R$ 568,24. (D) R$ 576,19. (E) R$ 605,00. Resolução

Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o futuro devemos multiplicar o seu valor por (1 + )!.

A equação da equivalência fica:

+ ∙ (1 + ) = 1.000 ∙ (1 + ) + 1,1 ∙ = 1.000 ∙ (1 + 0,10)

2,1 ∙ = 1.210 = 576,19 Letra D

(18)

Progressão Geométrica

Fiz um resuminho sobre P.G. (que já estudamos) com o intuito de poder utilizar livremente as fórmulas nos assuntos subsequentes de Matemática Financeira.

Considere uma sequência de números reais ( , , _", … , _!).

Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real $.

O número real $ é denominado razão da progressão geométrica.

é o primeiro termo, é o segundo termo, e assim por diante. O termo _! de ordem n é chamado n-ésimo termo.

Exemplos:

Progressão Geométrica Primeiro termo ( ) Razão (%)

(3, 6, 12, 24, 48, 96, … ) 3 2 (96, 48, 24, 12, 6, 3, … ) 96 1 2 (2, 2, 2, 2, 2, … ) 2 1 (1, −2, 4, −8, 16, −32, … ) 1 −2 (5, 0, 0, 0, 0, … ) 5 0 Cálculo da razão

Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior).

Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos consecutivos.

No nosso primeiro exemplo, $ = 6 3& = 12 6& = ⋯ = 2. No nosso segundo exemplo, $ = 48 96& = 24 48& = ⋯ = 1 2& . No nosso terceiro exemplo, $ = 2 2& = 2 2& = ⋯ = 1.

No nosso quarto exemplo, $ = −2 1& = 4 −2& = ⋯ = −2.

Termo Geral

Considere a progressão geométrica ( , , _", … , _!). Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão.

(19)

Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão.

! = ∙ $!(

Em que é o primeiro termo, $ é a razão da progressão e _! é o termo de ordem n (n-ésimo termo).

Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica (3, 6, 12, 24, … )? Resolução

Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, * = 11. Utilizemos a fórmula do termo geral:

= ∙ $ ( ₌ _{∙ $} +

= 3 ∙ 2 + _{= 3.072}

Obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética.

Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3.

Resolução

Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo. Assim, a expressão do termo geral ficará:

, = +∙ $, , = 4 ∙ 3, = 2.916

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita A soma dos * termos iniciais de uma progressão geométrica é:

-! = ∙ ($ !_{− 1)}

$ − 1

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (3, 6, 12, 24, … ). Resolução

(20)

- + = ∙ ($ +_{− 1)} $ − 1 - + = 3 ∙ (2 + _{− 1)} 2 − 1 = 3 ∙ (1.024 − 1)1 = 3 ∙ 1.023 - ₊ = 3.069

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita

Se ( , , _", … , _!, … ) é uma P.G. com razão −1 < $ < 1, então: - = + + ⋯ + !+ ⋯ = 1 − $

Exemplo

Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (9, 6, 4, … ). Resolução

Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro: $ =6_{9 =}2₃

Assim,

- = 1 − $ =_{1 − 23}9 =_{1/3 = 9 ∙}9 3_{1 = 27}

Observação: Utilizaremos este conceito no estudo das Rendas Perpétuas.

Séries Uniformes

O principal objetivo da Matemática Financeira é a movimentação do dinheiro na linha do tempo. Vimos que um conjunto de diferentes capitais podem se transformar em outros conjuntos equivalentes.

Estudaremos nesta aula algumas sequências particulares de capitais. A esses casos particulares denominamos sequências ou séries uniformes. Há quem denomine também de rendas certas ou anuidades.

Em diversas situações, surge uma série de valores iguais que serão pagos ou recebidos em períodos iguais. O seguinte fluxo de caixa ilustra uma série uniforme de N pagamentos iguais a P (utilizaremos a letra P, pois na calculadora financeira HP-12C

(21)

esses pagamentos são denominados PMT - Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em inglês).

Elementos de uma série uniforme

• Intervalo de tempo de pagamento: é o intervalo de tempo entre dois pagamentos.

• Anuidade ou Renda: é o valor de cada pagamento efetuado em intervalos de tempos iguais.

Classificação das Séries Uniformes

• Rendas Temporárias: Número de pagamentos finito.

• Perpétuas: Número de pagamentos infinito.

• Antecipadas: Pagamentos efetuados no início de cada período (no ato do negócio).

• Postecipadas: Pagamentos efetuados no final de cada período (um período após a negociação do negócio).

• Imediata: Quando o primeiro pagamento é efetuado no primeiro período.

• Diferida: Quando houver carência para o pagamento da primeira anuidade.

Representação em Fluxo de Caixa

O modelo que estudaremos como padrão será o de renda temporária, imediata e postecipada.

Eis o fluxo de caixa correspondente.

Valor Futuro ou Montante de uma renda certa (F)

Para calcular o montante de uma renda certa, devemos efetuar o transporte de todas as quantias para a data n. Lembre-se que para avançar um valor para o futuro

multiplicamos por (0 + 1)2. P P P P P P P P P P P n n-1 8 7 6 5 4 3 2 1 F

(22)

Prof. Guilherme Neves _{www.pontodosconcursos.com.br}22 3 = 4 + 4 ∙ (1 + ) + 4 ∙ (1 + ) + 4 ∙ (1 + ) + ⋯ + 4 ∙ (1 + )!(

3 = 4 ∙ 51 + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )!( ₆

A expressão dentro dos colchetes é a soma de uma Progressão Geométrica tal que: O primeiro termo é igual a 1.

A razão é igual a (0 + 1)2

Devemos aplicar a fórmula da soma de uma P.G. finita. -! = ∙ ($ !_{− 1)} $ − 1 1 + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )!( ₌ 1 ∙ ((1 + )! − 1) (1 + ) − 1 1 + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )!( ₌ (1 + )!− 1 Assim, 3 = 4 ∙ 51 + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )!( ₆ 3 = 4 ∙(1 + )!− 1

O número ( 78)₈9( é denominado fator de valor futuro de séries uniformes ou fator de acumulação de capitais em uma série de pagamentos.

O número ( 78)9(

8 é representado por :!¬8 => :(*, ).

Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor futuro em rendas certas:

3 = 4 ∙(1 + )!− 1 => 3 = 4 ∙ :!¬8

Valor Atual ou Valor Presente de uma renda certa (A)

Para calcular o Valor Atual ou Presente de uma renda certa basta efetuar o transporte do

valor futuro F para a data 0. _F

(23)

Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )n i + . ? =_{(1 + )}3 _! ? = 3 ∙_{(1 + )}1 _! ? = 4 ∙(1 + )!− 1∙_{(1 + )}1 _! ? = 4 ∙(1 + )_{∙ (1 + )}!− 1_! O número ( 78)9(

( 78)9_∙8 é denominado fator de valor atual de séries uniformes ou simplesmente

fator de valor atual. O número ( 78)9(

( 78)9_∙8 é representado por !¬8 => (*, ).

Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor atual em rendas certas:

? = 4 ∙(1 + )_{∙ (1 + )}!− 1_! => ? = 4 ∙ !¬8

Estudaremos na próxima aula o Sistema de Amortização Francês que é praticamente o mesmo problema do valor atual de uma série de pagamentos. Neste assunto, nosso principal objetivo será calcular o valor de P em função de A.

? = 4 ∙ !¬8

4 = ?

!¬8

(24)

O número

@9¬A é chamado de Fator de Recuperação do Capital. Esta nomenclatura é

(25)

Rendas Certas Perpétuas ou Perpetuidades

Neste caso, o número de pagamentos P tende ao infinito.

Observe que não há sentido em falar no Valor Futuro de uma perpetuidade, visto que este valor tende ao infinito.

Para calcular o valor atual de uma perpetuidade, devemos transportar todos os valores para a data 0.

? =_{1 + +}4 _{(1 + ) +}4 _{(1 + ) +}4 _{(1 + )}4 _"+ ⋯ ? = 4 ∙ B_{1 + +}1 _{(1 + ) +}1 _{(1 + ) +}1 _{(1 + )}1 _"+ ⋯ C

A expressão dentro dos colchetes do segundo membro constitui a soma de uma progressão geométrica infinita com:

i) Primeiro termo: ₇₈ ii) Razão:

78

Vimos que se ( , , _", … , _!, … ) é uma P.G. com razão −1 < $ < 1, então: - = + + ⋯ + ! + ⋯ = 1 − $ Assim, - = _{1 + +}1 _{(1 + ) +}1 _{(1 + ) +}1 _{(1 + )}1 _"+ ⋯ - = 1 1 + 1 − 1_{1 +} = 1 1 + 1 + − 1 1 + = 1 1 + 1 + = _{1 + ∙}1 1 + =1 Temos então:

(26)

? = 4 ∙ B_{1 + +}1 _{(1 + ) +}1 _{(1 + ) +}1 _{(1 + )}1 _"+ ⋯ C ? = 4 ∙ -

? =4

011. (MDIC 2002/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês?

O objetivo desta questão é calcular a prestação de uma série uniforme de pagamentos de forma que o montante seja R$ 100.000,00.

Nesta prova, a ESAF forneceu as tabelas financeiras.

Sabemos que o montante de uma série uniforme de pagamentos é dado por: 3 = 4 ∙ :!¬8

Serão 12 prestações (* = 12) e a taxa de juros compostos é igual a 2% ao mês. 100.000 = 4 ∙ : ¬ %

4 =100.000 : ¬ %

De acordo com a tabela fornecida na prova, : _{¬ %} = 13,412090.

4 = 100.000

13,412090= 7.455,96 Letra A

012. (INSS 2002/ESAF) Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 2% ao mês, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de dez meses.

a) R$ 5.825,00 b) R$ 5.000,00 c) R$ 4.782,00

(27)

d) R$ 4.566,00 e) R$ 3.727,00 Resolução

O objetivo desta questão é calcular a prestação de uma série uniforme de pagamentos de forma que o montante seja R$ 50.000,00.

Nesta prova, a ESAF forneceu as tabelas financeiras.

Sabemos que o montante de uma série uniforme de pagamentos é dado por: 3 = 4 ∙ :_!¬8

Serão 10 prestações (* = 10) e a taxa de juros compostos é igual a 2% ao mês. 50.000 = 4 ∙ : +¬ %

4 =50.000 : +¬ %

De acordo com a tabela fornecida na prova, : _{+¬ %}= 10,949721.

4 = 50.000

10,949721≅ 4.566,00 Letra D

013. (CVM 2003/FCC) Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, durante 10 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data do último depósito, um montante igual ao gerado por uma aplicação de valor único feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao ano, durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de valor único é de

O montante ou valor futuro da série de pagamentos é dado por: 3 = 4 ∙ :!¬8

3 = 20.000 ∙ : +¬ +%

3 = 20.000 ∙ 15,9374 = 318.748,00 Observação: : _{+¬ +%} foi fornecido na prova.

(28)

Queremos determinar o capital C tal que:

D ∙ (1 + )! = 318.748

A taxa é de 25% ao ano e será aplicado durante 12 meses (1 ano). D ∙ (1 + 0,25) = 318.748

D ∙ 1,25 = 318.748 D = 254.998,00 Letra C

014. (Técnico da RF 2006/ESAF) Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros compostos de 3% ao mês.

a) R$ 500,00 b) R$ 535,00 c) R$ 542,00 d) R$ 559,00 e) R$ 588,00 Resolução

Já que as duas anuidades são equivalentes, então os valores atuais são iguais. ? = ? 4 ∙ _E¬"%= 4 ∙ _,¬"% 1.000 ∙7,019692 = 4 ∙12,561102 4 =1.000 ∙7,019692 12,561102 ≅ 558,84 Letra D

015. (DNOCS 2010/FCC) Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a

a) R$ 52.800,00 b) R$ 52.246,00 c) R$ 55.692,00 d) R$ 61.261,20

(29)

Resolução

O objetivo é calcular o valor futuro (montante) de uma série de 4 depósitos. 3 = 4 ∙ :_!¬8

3 = 12.000 ∙ :_{F¬ +%} (GHI J HK *= L * K M >K ) 3 = 12.000 ∙ 4,641 = 55.692,00

Letra C

016. (Fiscal de Rendas SP 2009/FCC) Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a

Observe que os pagamentos são efetuados no início de cada ano. Assim, devemos transportar o montante que se encontra três anos após a data do primeiro pagamento para o ano 2. Para isso, devemos dividir o valor do montante por (0 + 1)0. Devemos efetuar esse transporte porque a exigência do nosso modelo é de que o montante seja calculado na data do último pagamento.

N K=I L>J>I= * M J 2 =43.692

(30)

O montante da série de pagamentos na data 2 é R$ 39.720,00. 3 = 4 ∙ :_!¬8 39.720 = 4 ∙ :_{"¬ +%} 4 =39.720 :_{"¬ +%} = 39.720 3,31 = 12.000 Letra E

017. (Instituto de Resseguros do Brasil 2004/ESAF) Uma série de doze valores monetários relativos ao fim de cada um de doze períodos de tempo representa o fluxo de caixa esperado de uma alternativa de investimento. Considerando que o valor atual desse fluxo de caixa no início do primeiro período é de R$ 30.000,00, calcule o valor futuro desse fluxo ao fim do décimo segundo período, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao período. (Despreze os centavos)

Utilizaremos para resolver esta questão o mesmo raciocínio que foi feito na demonstração da fórmula para o valor atual em uma série uniforme de pagamentos. Foi dado o valor atual da série e para calcular o valor futuro devemos efetuar o transporte deste valor para a data do último pagamento. Lembre-se que para avançar uma quantia para o futuro devemos multiplicar seu valor por (1 + )!_.

Dessa forma:

3 = ? ∙ (1 + )

3 = 30.000 ∙ (1 + 0,10) = 94.152,00 Letra A

(31)

018. (ATE-MS 2001/ESAF) A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente durante seis meses; a quantia de R$ 2.000,00 é aplicada mensalmente durante os seis meses seguintes e, finalmente, a quantia de R$ 3.000,00 é aplicada mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo do montante das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as aplicações foram sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa de juros compostos de 4% ao mês?

a) R$ 41.040,00 b) R$ 47.304,00 c) R$ 51.291,00 d) R$ 60.000,00 e) R$ 72.000,00

Segue abaixo o fluxo de caixa que representa o enunciado.

Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses.

Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas que tratamos na exposição teórica porque os pagamentos não possuem os mesmos valores. Devemos, portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar as fórmulas de anuidades. Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.

Observe o terceiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.

(32)

Dessa forma, teremos três anuidades: i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00 3 = 4 ∙ :!¬8 3 = 1.000 ∙ : E¬F%= 1.000 ∙ 25,645413 = 25.645,41 ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00 3 = 4 ∙ :!¬8 3 = 1.000 ∙ : ¬F% = 1.000 ∙ 15,025805 = 15.025,80 iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00 3_" = 4 ∙ :_!¬8 3" = 1.000 ∙ :,¬F%= 1.000 ∙ 6,632975 = 6.632,97

Assim, o valor futuro total é dado por:

3 = 3 + 3 + 3"

3 = 25.645,41 + 15.025,80 + 6.632,97 = 47.304,18 Letra B

019. (AFRF 2002/ESAF) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de fevereiro.

(33)

b) R$ 38.449,00 c) R$ 40.000,00 d) R$ 41.132,00 e) R$ 44.074,00 Resolução

Questão idêntica em anos seguidos!

Segue abaixo o fluxo de caixa que representa o enunciado.

Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses.

Utilizaremos o mesmo raciocínio da questão anterior. Aliás, a resolução é idêntica, apenas mudando a taxa de juros.

Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.

Observe o terceiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.