Universidade Federal do Rio de Janeiro - IM/DCC & NCE

Antonio G. Thomé thome@nce.ufrj.br

Sala – AEP/1033

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Universidade Federal do Rio de Janeiro

-IM/DCC & NCE

IM/DCC & NCE

Processamento de Imagens

Processamento de Imagens

Tratamento da Imagem

2

z Conceito de Filtragem z Filtros Digitais

z Domínio da Filtragem

9 Filtragem no Domínio da Freqüência 9 Filtragem no Domínio Espacial

z Tipos de Filtros

9 Filtros Lineares

ƒ Filtros Passa-baixas ƒ Filtros Passa-altas ƒ Filtros Passa-banda

9 Filtros Não Lineares

ƒ No domínio da freqüência – Filtragem Homomórfica ƒ No domínio do espaço – Filtro de Mediana – Filtro de Ordem – Filtro de Moda

– Filtros Detectores de Borda

z Conceito de Filtragem z Filtros Digitais

z Domínio da Filtragem

9 Filtragem no Domínio da Freqüência 9 Filtragem no Domínio Espacial

z Tipos de Filtros

9 Filtros Lineares

ƒ Filtros Passa-baixas ƒ Filtros Passa-altas ƒ Filtros Passa-banda

9 Filtros Não Lineares

ƒ No domínio da freqüência – Filtragem Homomórfica ƒ No domínio do espaço – Filtro de Mediana – Filtro de Ordem – Filtro de Moda

3

Filtragem Digital

z Consiste na aplicação de técnicas de transformação

(operadores – máscaras) com o objetivo de corrigir, suavizar ou realçar determinadas características de uma imagem

dentro de uma aplicação específica.

9 correção - é a remoção de características indesejáveis, e 9 melhoria/realce - é a acentuação de características.

z A filtragem é realizada pixel a pixel, onde o novo nível de

cinza de um ponto P qualquer depende do seu nível de cinza original e do de outros pontos considerados como vizinhança

de P.

9 Em geral, os pontos mais próximos de P contribuem mais para o novo valor do nível de cinza do que os pontos mais afastados

4

Domínio da Filtragem

• Domínio Espacial

São procedimentos que operam diretamente sobre os pixels da imagem na sua forma original.

• Domínio da Freqüência

São procedimentos que operam sobre a Transformada de Fourier da imagem original.

5

Tipos de Filtros

z Filtros lineares

ƒ Suavizam, realçam detalhes da imagem e minimizam efeitos de ruído, sem alterar o nível médio de cinza da imagem.

• Filtros não-lineares

ƒ Aplicam transformações sem o compromisso de manterem o nível médio de cinza da imagem original.

6

Filtros Lineares

• no domínio do espaço: convolução g(x,y) f(x,y) h(x,y)

g(x,y)= h(x,y) * f(x,y)

• no domínio da freqüência:

produto

G(u,v)

H(u,v)

F(u,v)

G(u,v)= H(u,v) . F(u,v)

7

Filtros Lineares no Domínio da Freqüência

a) Filtro Passa-baixas – Filtro Ideal

Deixa passar apenas as componentes de mais baixa freqüência (atenuam o contraste).

v u H(u,v) H(u,v) D(u,v) D₀    > ≤ = 0 0 ) , ( 0 ) , ( 1 ) , ( D v u D se D v u D se v u H ) ( ) , (_{u v u}2 _v2 D = + freqüência de corte

8

Filtros Lineares no Domínio da Freqüência

b) Filtro Passa-baixas – Filtro de Butterworth

n D v u D v u H 2 0] / ) , ( [ 1 1 ) , ( + = u v H(u,v)

Filtro de Butterworth para n=1

As componentes de freqüência são quase exponencialmente reduzidas a

medida que a distância D(u,v) fica maior que a freqüência de corte.

9

Filtros Lineares no Domínio da Freqüência

c) Filtro Passa-Altas – Filtro Ideal

1 D₀ D(u,v) H(u,v) H(u,v) u v    > ≤ = 0 0 ) , ( 1 ) , ( 0 ) , ( D v u D se D v u D se v u H

10

Filtros Lineares no Domínio da Freqüência

d) Filtro Passa-Altas – Filtro de Butterworth

n v u D D v u H 2 0 / ( , )] [ 1 1 ) , ( + = u v H(u,v)

As componentes de freqüência são quase exponencialmente reduzidas a

medida que a distância D(u,v) fica menor que a freqüência de corte.

11

Filtros Lineares no Domínio da Freqüência

Exemplo: Filtro Passa-Altas

12

Filtros Lineares no Domínio da Freqüência

Exemplo: Filtro Passa-Baixas

Espectro de Fourier

Imagem de 512x512 pixels _{Raios iguais a 8, 18, 43, 78 e 152} -90, 93, 95, 99 e 99,5% da potência

13

Passa-baixas – D₀ = 8 Passa-baixas – D₀ = 152

Passa-baixas – D₀ = 18 _{Passa-baixas – D}

0 = 78

14

Filtragem Não Linear no Domínio da Freqüência

Filtragem Homomórfica

Trata-se de uma abordagem que busca operar sobre as componentes de iluminação e reflectância separadamente.

)

,

(

).

,

(

)

,

(

x

y

i

x

y

r

x

y

f

=

)}

,

(

{

)}

,

(

{

)}

,

(

{

f

x

y

≠

ℑ

i

x

y

ℑ

r

x

y

ℑ

)) , ( ln( )) , ( ln( )) , ( ln( ) , ( y x r y x i y x f y x z + = =

))}

,

(

{ln(

))}

,

(

{ln(

)}

,

(

{

z

x

y

=

ℑ

i

x

y

+

ℑ

r

x

y

ℑ

15

Filtragem Não Linear no Domínio da Freqüência

Filtragem Homomórfica ...

)

,

(

)

,

(

)

,

(

u

v

I

u

v

R

u

v

Z

=

+

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( v u R v u H v u I v u H v u Z v u H v u S + = = )} , ( ) , ( { )} , ( ) , ( { )} , ( { ) , ( 1 1 1 v u T v u H v u I v u H v u S y x s − − − ℑ + ℑ = ℑ = ) , ( ) , ( )] , ( ' exp[ )]. , ( ' exp[ )] , ( exp[ ) , ( 0 0 x y r x y i y x r y x i y x s y x g = = =

16

Filtragem Não Linear no Domínio da Freqüência

Filtragem Homomórfica ...

f(x,y) _{ln() FFT H(u,v) (FFT)}-1 _exp()

g(x,y)

• A componente de iluminação de uma imagem é geralmente caracterizada por

variações espaciais lentas;

• A reflectância tende a variar abruptamente, particularmente na junção de

objetos diferentes.

O filtro homomórfico oferece uma forma de operar sobre esses componentes separadamente. Assim, os efeitos da iluminação ficam associados às baixas

freqüências e os da reflectância às altas freqüências

O filtro homomórfico oferece uma forma de operar sobre esses componentes separadamente. Assim, os efeitos da iluminação ficam associados às baixas

17

Filtragem Homomórfica

Exemplo:

18

19

Filtragem Linear no Domínio do Espaço

z Os métodos de filtragem espacial operam diretamente sobre a matriz de pixels (imagem digitalizada);

z normalmente utilizam operações de convolução entre a imagem original e uma máscara especialmente construída; z As máscaras são chamadas de filtros espaciais.

Como no domínio da freqüência as máscaras podem implementar filtros: • Passa-Baixas – para suavizar a imagem;

• Passa-Altas – para realçar bordas;

20

Filtragem Linear no Domínio do Espaço

Filtros no Domínio da Freqüência

1 1 1

Passa-Altas _Passa-Banda Passa-Baixas

0

21

O Processo de Filtragem Espacial

¾ Consiste na aplicação sucessiva de máscara que desliza sobre toda a

imagem original;

¾ Ao ser aplicada com centro numa posição (i,j), sendo i o número de uma

dada linha e j o número de uma dada coluna da imagem, consiste na substituição do valor do pixel na posição (i,j) por um novo valor o qual depende dos valores dos pixels vizinhos e dos pesos da máscara.

¾ À cada posição da máscara está associado um valor numérico, chamado

de peso ou coeficiente.

¾ Em cada posição (i,j), os pesos do filtro são multiplicados pelos NCs dos

pixels correspondentes e somados, resultando em um novo valor de NC, que substitui o antigo NC do pixel central.

22

O Processo de Filtragem Espacial

w₂₅ w₂₄ w₂₃ w₂₂ w₂₁ w₂₀ w₁₉ w₁₈ w₁₇ w₁₆ w₁₅ w₁₄ w₁₃ w₁₂ w₁₁ w₁₀ w₉ w₈ w₇ w₆ w₅ w₄ w₃ w₂ w₁ Máscara 5x5 R

∑

= − +

=

n i i n i

w

z

R

1 1

23

O Processo de Filtragem Espacial

¾ Na operação de filtragem deve-se calcular os pontos pertencentes à borda da imagem de modo diferente dos demais, já que estes não dispõem de todos os vizinhos.

¾ Por questões de simetria usam-se, na definição das máscaras dos filtros, janelas N x N, onde N é um número ímpar.

¾ Por questões de eficiência computacional, preferem-se valores pequenos para N (no máximo 7).

24

O Processo de Filtragem Espacial

R

∑

= − +

=

n i i n i

w

z

R

1 1 w₂₅ w₂₄ w₂₃ w₂₂ w₂₁ w₂₀ w₁₉ w₁₈ w₁₇ w₁₆ w₁₅ w₁₄ w₁₃ w₁₂ w₁₁ w₁₀ w₉ w₈ w₇ w₆ w₅ w₄ w₃ w₂ w₁ Máscara 5x5

25

Filtro Passa-baixas

z Atenua (ou elimina) as altas freqüências que estão relacionadas com a informação de detalhes da imagem. z O efeito visual de um filtro passa-baixas é o de suavização

(smoothing) da imagem uma vez que as altas freqüências, que correspondem às transições abruptas, são atenuadas. z A suavização tende também, pelas mesmas razões, a

minimizar o efeito do ruído em imagens.

z A filtragem passa-baixas tem, por outro lado, o efeito indesejado de diminuir a resolução da imagem, provocando

assim, um leve borramento. Ou seja, diminui a nitidez e a definição da imagem.

26

Exemplo Filtro Passa-baixa – Filtro de Média

z Filtros de média 3x3, 5x5 e 7x7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1/9 * _{1/25 * 1/49 *}

z Substitui o valor do pixel original pela média aritmética do pixel dos seus

vizinhos;

z Quanto maior a máscara, maior o efeito de borramento. z Pesos positivos

27

Resultado da Aplicação do Filtro de Média

3x3

z Os ruídos foram reduzidos, porém a imagem filtrada apresenta-se

28

Exemplo Filtro Passa-baixas –

Filtro de Média Ponderada

z São usados quando os pesos são definidos em função de sua distância do peso central.

z Filtros de Média Ponderada de dimensão 3x3 são:

1/16 * 1 2 1 2 4 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1/10 *

29

Resultado da Aplicação do Filtro de Média Ponderada 3x3

1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 4 2 1 2 1 Original

30

Filtro Passa-altas

z Atenuam ou eliminam as baixas freqüências, realçando as altas freqüências e são normalmente usados para realçar os

detalhes na imagem (agudização – sharpening).

z Para filtros passa-altas, o efeito obtido é, em geral, o de tornar mais nítidas as transições entre regiões diferentes,

conhecidas como bordas, realçando o contraste.

z O efeito indesejado destes filtros é o de enfatizar o ruído presente na imagem.

31

Filtro Passa-altas Básico

z O formato da resposta de um filtro passa-altas deve ser tal que a máscara correspondente apresente coeficientes

positivos nas proximidades de seu centro e negativos longe deles.

9 Exemplo - máscara 5x5, reforça o contraste que porventura exista

entre os pixels centrais e os da periferia.

-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 8 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

∑

= − +

=

n i i n i

w

z

R

1 1

32

Exemplos de Filtros Passa-altas

0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0 -1 -1 -1 -1 8 -1 -1 -1 -1 1 -2 1 -2 4 -2 1 -2 1

z Pesos positivos, negativos e nulos

z Observe que a soma algébrica da máscara é zero, o que

significa que quando aplicada a regiões homogêneas de uma imagem, o resultado será zero ou um valor muito baixo.

33

Resultado da Aplicação do Filtro Passa-altas 3x3

-1 -1 -1

-1 8 -1

-1 -1 -1

z A máscara foi aplicada a imagem

original (esquerda) resultando a imagem da direita

34

Filtros Passa-altas Direcionais

¾ Os filtros passa-alta direcionais (realce de bordas) realçam a cena, segundo direções preferenciais de interesse, definidas pelas máscaras.

¾ A seguir estão algumas máscaras utilizadas para realçar bordas em vários sentidos.

¾ O nome dado às máscaras indica a direção ortogonal

preferencial em que será realçado o limite de borda. Assim, a máscara norte realça limites horizontais

35

Exemplos de Filtros Passa-altas Direcionais

1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1

Norte Leste Sul Oeste

1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1

36

Exemplos de Filtros Passa-altas

z Linhas, em imagens, podem ser detectadas através das máscaras: -0.5 1 -0.5 -0.5 1 -0.5 -0.5 1 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 1 1 1 -0.5 -0.5 -0.5 Horizontais _Verticais -1 -1 2 -1 2 -1 2 -1 -1 2 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 2 +45o Diagonal -45o

37

Filtro Passa-banda (ou Passa-faixa)

z Seleciona um intervalo de freqüências do sinal (banda de freqüência) para ser realçado, removendo, ou atenuando componentes fora da faixa selecionada

z São de pouca utilidade prática, a menos de algumas tarefas específicas em restauração de imagens

1

f

Resposta em

freqüência Filtro correspondente _{no domínio espacial}

38

Filtragem Não-Linear no Domínio Espacial

z Um exemplo típico de filtro passa-baixas não-linear é o filtro da

mediana, que suaviza a imagem sem contudo diminuir sua resolução.

z No filtro da mediana, os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma

janela na imagem, são ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano desta ordenação.

z É possível, também, em vez de tomar a mediana da vizinhança, escolher

o valor máximo ou o valor de ordem qualquer.

z Esta categoria de filtros é conhecida por filtros de ordem.

z Uma alternativa que produz resultados interessantes é tomar o valor mais

freqüente de uma vizinhança - a "moda", que elimina ruídos pontuais sem alterar muito as informações da imagem.

39

Exemplos de Filtro Não-Linear (Passa-baixas)

z Filtro de Mediana

9 Suaviza a imagem sem diminuir sua resolução (borrar);

9 Os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela da imagem, são

ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano desta ordenação.

z Filtro de Ordem

9 Os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela da imagem, são

ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor máximo ou o valor de uma ordem qualquer desta ordenação.

z Filtro de Moda

9 Os pontos da vizinhança de (x,y), dentro de uma janela da imagem, são

ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mais freqüente da vizinhança

40

Exemplos de Filtros Não-Lineares • Imagem original • Imagem com ruído aditivo

41

Filtros Não Lineares – Detectores de Bordas

z Detecção de Bordas

9 Detectam características como bordas, linhas, curvas e manchas 9 O problema da detecção de bordas é indicar uma mudança súbita do

nível de cinza entre duas regiões relativamente homogêneas

9 A maioria dos operadores de detecção de bordas baseia-se numa

filtragem passa-altas seguida de um processo de limiarização:

ƒ Se a saída do filtro ultrapassar o limiar, uma borda local é

detectada, caso contrário a borda não é detectada

9 Para se obter uma detecção de bordas independente da direção,

pode-se efetuar uma filtragem espacial em duas direções ortogonais, vertical (y) e horizontal (x). Estes dois resultados constituirão as componentes de um vetor gradiente:

9 Operadores mais comuns: ƒ Roberts ƒ Sobel       ∇ ∇ = ∇ y x

42

Operador Roberts

z É o mais antigo e mais simples algoritmo de detecção de bordas.

z Roberts introduziu a seguinte operação cruzada (módulo do gradiente):

z Que deve ser comparado a um limiar.

z Devido ao custo computacional, as operações de elevar ao quadrado e raiz quadrada são, muitas vezes substituídas pelo valor absoluto das diferenças cruzadas

) 1 , ( ) , 1 ( ) 1 , 1 ( ) , ( ) , (x y = f x y − f x+ y+ + f x+ y − f x y+ g

[

] [

₂

]

₂ 1/2 ) 1 , ( ) , 1 ( ) 1 , 1 ( ) , ( ) , (     _{− + + + + − +} = f x y f x y f x y f x y y x g

43

Operador Roberts

z Este operador pode ser representado por duas componentes

z Como resultado de sua aplicação, obtém-se uma imagem com altos valores de nível de cinza, em regiões de contrastes bem

definidos e valores baixos em regiões de pouco contraste, sendo 0 para regiões de nível de cinza constante.

z Uma desvantagem deste operador é a sua assimetria

9 Dependendo da direção, certas bordas são mais realçadas que outras,

mesmo tendo magnitude igual. 0 -1 1 0 -1 0 0 1

44

45

Operador Sobel

z Mais sofisticado que o operador Roberts. z É dado pela seguinte expressão:

9 Onde X e Y são as saídas dos filtros dados pelas seguintes máscaras

9 A máscara X detecta as variações no sentido horizontal e a máscara

Y, no sentido vertical.

z O operador gradiente de Sobel tem a propriedade de realçar linhas verticais e horizontais mais escuras que o fundo, sem realçar pontos isolados

2 2

)

,

(

x

y

X

Y

g

=

+

-1 -2 -1 0 0 0 1 2 1 1 0 -1 2 0 -2 1 0 -1 Y X

46

Operador Sobel (continuação)

z A detecção de bordas é obtida pela limiarização da magnitude do gradiente

9 Diferentes valores de limiar resultam em diferentes mapas de bordas. 9 Se o limiar é muito baixo, muitos pontos são marcados como pontos

de borda, resultando em bordas grossas ou muitos pontos de bordas isolados

9 Se o limiar é alto, os segmentos aparecerão finos e quebrados (sem

47

48

Operador Prewitt

z Semelhante ao operador Sobel

z Encontra as bordas utilizando uma aproximação da derivada. z Retorna as bordas onde o gradiente da imagem é máximo. z É dado pela seguinte expressão:

9 Onde X e Y são as saídas dos filtros dados pelas seguintes máscaras

1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 2 2

)

,

(

x

y

X

Y

g

=

+

X Y

49

50

Prewitt x Sobel

• Imagem Original • Sobel

51

Filtro Laplaciano

É um operador escalar baseado na derivada de 2a _ordem.

) , ( ) , ( ) , ( ₂ 2 2 2 2 _{f x y} y y x f x y x f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ Laplaciano Contraste na borda Gradiente

) ( 2 2 x f x ∂ ∂ ) ( x f x ∂ ∂ ) ( x f

52

Operador Laplaciano

z O Laplaciano de uma função bidimensional f(x,y) é uam derivada de segunda ordem definida por

z A implementação desta equação na forma digital para o caso de uma região 3x3 pode ser:

z A exigência para a definição do laplaciano digital é que o coeficiente associado com o pixel central seja positivo e que os pixels externos sejam negativos

z Como o laplaciano é uma derivada, a soma dos coeficientes tem que ser nula (toda a vez que o ponto em questão e seus vizinhos tiverem o mesmo valor, a resposta será nula)

2 2 2 2 2 y f x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇

)

(

4

_{5 2 4 6 8} 2

_f

₌

_z

₋

_z

₊

_z

₊

_z

₊

_z

∇

53

Máscara Espacial do Operador Laplaciano

z A máscara espacial que pode ser usada na implementação da equação seria: 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0

O Laplaciano é um operador linear, invariante à

translação e sua função de transferência é zero na origem do espaço de freqüência.

54

Efeito da Aplicação do

55

Operador Canny

z Encontra as bordas procurando por um máximo local do gradiente da imagem

z O gradiente é calculado a partir da derivada de um filtro gaussiano

z O método usa dois limiares para detectar bordas fortes e

fracas e inclui as bordas fracas na saída somente quando elas estiverem conectadas a bordas fortes

z Este método é menos sensível a ruídos dos que os demais e mais provável de detectar bordas fracas

56

57 Sobel Canny Original Roberts Prewitt Laplaciano