Simulação e implementação experimental de um controlador preditivo generalizado para um robô orthoglide baseado na modelagem dinâmica

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

COMISS ˜

AO DE P ´

OS-GRADUA ¸

C ˜

AO EM ENGENHARIA

MEC ˆ

ANICA

Fabian Andres Lara Molina

Simula¸

c˜

ao e Implementa¸

c˜

ao

Experimental de um Controlador

Preditivo Generalizado para um Robˆ

o

Orthoglide baseado na Modelagem

Dinˆ

amica

Campinas, 2012.

(2)

Fabian Andres Lara Molina

Simula¸

c˜

ao e Implementa¸

c˜

ao

Experimental de um Controlador

Preditivo Generalizado para um Robˆ

o

Orthoglide baseado na Modelagem

Dinˆ

amica

Tese apresentada ao Curso de Doutorado da

Faculdade de Engenharia Mecˆanica da

Univer-sidade Estadual de Campinas, como requisito

para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em

Enge-nharia Mecˆanica.

´

Area de Concentra¸cão: Mecânica dos Sólidos

e Projeto Mecˆanico

Orientador: Jo˜ao Maur´ıcio Ros´ario

Co-orientador: Didier Dumur

Campinas 2012

(3)

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP

L32s

Lara Molina, Fabian Andres

Simulação e implementação experimental de um controlador preditivo generalizado para um robô orthoglide baseado na modelagem dinâmica / Fabian Andres Lara Molina. --Campinas, SP: [s.n.], 2012. Orientadores: João Maurício Rosário, Didier Dumur. Tese de Doutorado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica. 1. Robótica. 2. Robôs - Sistemas de controle. 3. Controle preditivo. 4. Simulação e modelagem. 5. Dinâmica das máquinas. I. Rosário, João Maurício . II. Dumur, Didier. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. IV. Título.

Título em Inglês: Simulation and experimental implementation of a generalized predictive control for an orthoglide robot based on the dynamic modeling

Palavras-chave em Inglês: Robotics, Robots - Control systems, Predictive control, Simulation and modeling, Dynamic machine

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Doutor em Engenharia Mecânica

Banca examinadora: Edson Roberto De Pieri, Antônio Batocchio, Tarcisio Antonio Hess Coelho, Marconi Kolm Madrid

Data da defesa: 23-02-2012

Programa de Pós Graduação: Engenharia Mecânica

(4)

(5)

`

(6)

Agradecimentos

• Ao meu orientador, Prof. João Maur´ıcio Rosário, pela amizade, conselhos e a orienta¸cão

que foi fundamental na elabora¸c˜ao do trabalho de pesquisa.

• Ao meu co-orientador, Prof. Didier Dumur pela oportuna orienta¸c˜ao, ajuda e dedica¸c˜ao

no desenvolvimento deste trabalho de doutorado.

• Ao Prof. Philippe Wenger e a equipe de rob´otica do IRCCyN pelo suporte e coopera¸c˜ao

durante a elabora¸cão dos experimentos no laboratório de robótica.

• Ao departamento de Projeto Mecânico e ao Laboratório de Automa¸cão Integrada e

Rob´otica pelo apoio na elabora¸c˜ao desta tese de doutorado.

• Pelo apoio recebido da minha fam´ılia: meu pai, minha m˜ae, Andr´ea, Felipe e minha

av´o.

• Agrade¸co a meus amigos Tiago Campos Pereira, Warody Lombardi e Ga¨el Ecorchard

pela amizade e aten¸c˜ao recebidas durante o per´ıodo que passei em Campinas, na

Sup´elec-Gif sur Yvette e em Nantes.

• Agrade¸co à Funda¸cão de Amparo à Pesquisa do Estado de São de Paulo pelo apoio

(7)

“The greatest challenge to any thinker is stating the problem in a way that will allow a solution” Bertrand Russell

(8)

Resumo

Este trabalho visa o desenvolvimento, s´ıntese e aplica¸c˜ao de um controlador baseado

em controle preditivo generalizado para rastreamento de trajet´orias de robˆos paralelos. A

finalidade é melhorar o desempenho dinâmico do robô paralelo através do desenvolvimento de

controladores avan¸cados que considerem caracter´ısticas do robˆo tais como n˜ao-linearidades

da dinâmica, incertezas paramétricas e distúrbios externos.

Inicialmente é revisada a formula¸cão do modelo dinâmico do robô paralelo que envolve:

modelo geométrico, cinemático e dinâmico. À continua¸cão é realizado o projeto dos

controla-dores de posi¸c˜ao no espa¸co das juntas: controladores de torque computado com PID na forma

RST, controlador preditivo generalizado e robustifica¸c˜ao com os parˆametros de Youla. A

se-guir, a dinâmica do robô paralelo e os controladores desenvolvidos são simulados no ambiente

MATLAB/Simulink. Finalmente, é realizada a implementa¸cão experimental e valida¸cão dos

controladores no robô Orthoglide no laboratório de robótica do IRCCyN, École Centrale de

Nantes.

O controlador preditivo generalizado robustificado melhora a resposta dinˆamica em

re-la¸c˜ao ao controlador de torque computado que tem sido amplamente utilizado nesta classe

de robôs. Os resultados obtidos através da implementa¸cão experimental da lei de controle

preditiva robustificada no robˆo Orthoglide e testes experimentais indicam que o desempenho

dinâmico do robô é melhorado em termos das seguintes carater´ısticas: precisão no

rastre-amento de trajetórias t´ıpicas para usinagem no espa¸co de trabalho, estas trajetórias são

executadas com diferentes acelera¸cões máximas; robustez à varia¸cão dos parâmetros do robô

tais como mudan¸ca da carga na plataforma m´ovel, obtendo desta forma uma melhor

regula-¸cão; e finalmente, atenua¸cão do efeito do ru´ıdo de medi¸cão nos sensores no sinal de controle

dos atuadores durante a execu¸c˜ao de um movimento. Os resultados experimentais mostraram

que o controlador preditivo generalizado robustificado aplicado no robˆo Orthoglide ´e eficiente

frente às incertezas paramétricas e restri¸cões no dom´ınio do tempo, melhorando assim o

de-sempenho dinˆamico do robˆo com um custo computacional equivalente ao controle de torque

computado.

Palavras Chave: Controle rob´otico, robˆo paralelo, controle preditivo generalizado,

(9)

Abstract

This thesis addresses the development and application of a controller based on generali-zed predictive control to track a desired trajectory using parallel robots. The main purpose of this thesis is to improve the dynamical behavior with an advanced controller which consi-ders the proper characteristics of the parallel robot such as no linear dynamics, parameters uncertainties and external disturbances.

This work is divided into four parts. A first part formulates the complete dynamical model of the parallel robot, considering the geometrical, kinematic and dynamic modelling. Then, the joint space control is performed for the parallel robot using the computed tor-que controller in the RST form and the robustified generalized predictive control via Youla parameterization. A third part shows the simulation of the dynamic of the robot with the controllers in MATLAB/Simulink to establish a comparison between controllers. Finally, the controllers are implemented in the prototype and some experiments are performed on the Orthoglide robot at the laboratory of robotics, IRCCyN, Ecole Centrale de Nantes to assess the dynamic performance of the controllers.

The experimental results show that the robustification of the generalized predictive con-trol against parametric uncertainties including time domain constraints improves the dyna-mical behavior of the parallel robots. The experimental results shows that the the robustified generalized predictive control enhances the dynamic performance of is in terms of: tracking accuracy of trajectories used in milling process; robustness to parameters variation such as payload changing (on the end effector), therefore, a better regulation is obtained; and finally, attenuation of noise due to sensor measurement in control. Additionally, the robustification of the generalized predictive control applied on the Orthoglide robot improves the dynamical behavior compared to controllers widely used in parallel robots such as computed torque control with and equivalent computational cost.

Keywords: robotic control, generalized predictive control, simulation and dynamic mo-deling.

(10)

Lista de Ilustra¸

c˜

oes

1.1 Robˆo Orthoglide. . . p. 4

2.1 Mecanismo de um robˆo paralelo . . . p. 7

2.2 Causas de perda de precis˜ao segundo Pritschow (2002) . . . p. 12

3.1 Estrutura de controle de um sistema rob´otico . . . p. 15

3.2 Descri¸c˜ao do Orthoglide e sua Cadeia Cinem´atica. . . p. 17

3.3 Sistema de referˆencia da base R0 e da plataforma m´ovel RP. . . p. 17

3.4 Descri¸cão geométrica da cadeia cinemática i. . . p. 19

3.5 Modelo Geom´etrico Direto do robˆo. . . p. 25

3.6 For¸cas de rea¸c˜ao na cadeia cinem´atica. . . p. 31

3.7 For¸cas de rea¸c˜ao das cadeias cinem´aticas na origem da plataforma. . . p. 33

3.8 Diagrama de Blocos associado ao Modelo Dinˆamico Inverso. . . p. 36

3.9 Diagrama de Blocos referente à integra¸cão da equa¸cão dinâmica do Modelo

Dinˆamico Direto. . . p. 38

4.1 Estrutura global de controle nas juntas do robˆo paralelo em estudo. . . p. 42

4.2 Controle num´erico da junta rob´otica. . . p. 42

4.3 Diagrama de blocos correspondente a Lineariza¸c˜ao por realimenta¸c˜ao. . . . p. 43

4.4 C´alculo de qai, ˙qai e ¨qai. . . p. 44

4.5 Diagrama de blocos de um controlador torque computado PID. . . p. 45

4.6 Controlador de torque computado PID na forma RST. . . p. 46

4.7 Controlador preditivo baseado no modelo. . . p. 47

(11)

4.9 Controlador GPC na forma RST. . . p. 49

4.10 Estrutura RST robustificada. . . p. 51

4.11 Sistema conectado a uma incerteza. . . p. 51

4.12 Caracter´ısticas frequenciais do sistema corrigido. . . p. 55

4.13 Restri¸c˜oes no dom´ınio do tempo Φenv1(Q1) e Φenv2(Q1). . . p. 56

4.14 Simula¸cão dinâmica do modelo completo de um robô Orthoglide. . . p. 57

4.15 Trajet´orias no espa¸co de trabalho. . . p. 58

4.16 Rastreamento das trajet´orias no espa¸co de trabalho. . . p. 59

4.17 RMSE e m´axima acelera¸c˜ao. . . p. 60

4.18 RMSE, Máxima acelera¸cão e varia¸cão dos parâmetros k. . . p. 61

4.19 RMSE e varia¸c˜ao de parˆametros. . . p. 62

4.20 Sinal de controle nos atuadores. . . p. 63

4.21 Atenua¸c˜ao de perturba¸c˜oes nos atuadores. . . p. 64

5.1 Sistema rob´otico Orthoglide. . . p. 68

5.2 Robô Orthoglide, laboratório de robótica do IRCCyN. . . p. 69

5.3 Arquitetura de controle do robˆo Orthoglide. . . p. 70

5.4 Fluxograma do programa implementado na placa DSPACE 1103. . . p. 71

5.5 Modifica¸c˜oes no programa da placa DSPACE 1103. . . p. 72

5.6 Gabaritos das restri¸c˜oes no dom´ınio do tempo. . . p. 74

5.7 Carater´ısticas frequenciais do sistema corrigido robustificado. . . p. 75

5.8 Trajet´oria de referˆencia, no eixo 1: qd, ˙qd, ¨qd. . . p. 77

5.9 Erro nos atuadores e Γ, no eixo 1. . . p. 77

5.10 Trajet´oria de referˆencia, no eixo 3: qd, ˙qd, ¨qd. . . p. 78

(12)

5.12 Trajet´oria de referˆencia, nos eixos 1 e 3: qd, ˙qd, ¨qd. . . p. 79

5.13 Erro nos atuadores e Γ, nos eixos 1 e 3. . . p. 79

5.14 Trajet´oria triangular com controladores CTC com PID e RGPC e ¨q_max=14 m/s2. p. 80

5.15 Trajetória circular na máxima acelera¸cão ˙vP=14 m/s2. . . p. 82

5.16 Erro nos atuadores com controlador CTC com PID na trajet´oria triangular. p. 83

5.17 Erro nos atuadores utilizando o controlador RGPC com trajet´oria triangular. p. 84

5.18 Erro nos atuadores com CTC com PID na trajet´oria circular. . . p. 85

5.19 Erro nos atuadores utilizando o controlador RGPC com trajet´oria circular. p. 86

5.20 RMSE para trajet´orias triangular e circular. . . p. 87

5.21 Controle, for¸ca Γ nos atuadores. . . p. 88

5.22 Erro de posi¸cão dos atuadores lineares q, com varia¸cão paramétrica. . . p. 89

5.23 Controle nos atuadores Γ, com varia¸c˜ao param´etrica. . . p. 89

5.24 For¸ca dos atuadores Γ para o teste de rejei¸c˜ao a perturba¸c˜oes. . . p. 90

5.25 Tempo de c´alculo da lei de controle na trajet´oria triangular v_max=14 m/s2. p. 91

5.26 Tempo de c´alculo de lei de controle para vmax=14 m/s2. . . p. 91

B.1 Estrutura de controle RST incremental . . . p. 109

B.2 Controlador PID . . . p. 110

B.3 Controlador na estrutura RST . . . p. 110

B.4 Simula¸c˜ao do controle CTC na forma RST. . . p. 112

C.1 Controlador GPC. . . p. 121

E.1 Trajet´oria circular no espa¸co Cartesiano. . . p. 129

E.2 Trajet´oria circular no espa¸co cartesiano: pP, vP e ˙vP. . . p. 130

E.3 Trajet´oria circular no espa¸co das juntas: q, ˙q, ¨q. . . p. 131

(13)

E.5 Trajet´oria triangular no espa¸co cartesiano: pP, vP e ˙vP. . . p. 132

E.6 Trajet´oria triangular no espa¸co das juntas: q, ˙q, ¨q. . . p. 133

E.7 Diagrama para a simula¸c˜ao do modelo dinˆamico inverso em Simulink. . . . p. 135

E.8 Diagrama para a simula¸c˜ao do modelo dinˆamico direto em Simulink. . . p. 135

E.9 Metodologia, Diagrama de Blocos. . . p. 136

E.10 For¸cas nos atuadores Γ para a trajet´oria circular. . . p. 137

E.11 Trajet´orias de sa´ıda no espa¸co cartesiano para trajet´oria circular. . . p. 138

E.12 Erros de Posi¸c˜ao εP, velocidade εV e acelera¸c˜ao ε_V˙ . . . p. 139

E.13 For¸cas Γ para a trajet´oria triangular . . . p. 140

E.14 Trajet´oria de sa´ıda no espa¸co cartesiano para trajet´oria triangular. . . p. 141

(14)

Lista de Tabelas

3.1 Parâmetros geométricos dos sistemas de referência A1, A2, e A3. . . p. 18

3.2 Parâmetros cinemáticos da cadeia cinemática i. . . p. 18

4.1 Parâmetros dinâmicos essenciais do robô Orthoglide. . . p. 44

4.2 Quadro comparativo dos controladores CTC PID, CPC e RGPC . . . p. 65

5.1 Quadro para avaliar os controladores CTC com PID e RGPC. . . p. 92

E.1 Parˆametros do solver de Simulink. . . p. 134

(15)

Lista de Abreviaturas e Siglas

Abrevia¸c˜oes

diag(.) Matriz diagonal (3x3), contem os termos entre parˆentesis na diagonal, veja

equa-¸c˜ao (3.64)

sign(.) Fun¸c˜ao sinal, veja equa¸c˜ao (3.64)

Letras Gregas

∆u(t + j − 1) Seqüência ótima dos incrementos do controle, veja equa¸cão (4.7)

∆u Bloco de incerteza, veja equa¸c˜ao (4.10)

λ Pondera¸c˜ao de controle, veja equa¸c˜ao (4.7)

Φenv1(Q1) Gabarito para limitar resposta temporal de u(t), veja equa¸c˜ao (4.11)

Φenv1(Q2) Gabarito para limitar resposta temporal de y(t), veja equa¸c˜ao (4.11)

ξ(t) Perturba¸c˜oes do modelo CARIMA, veja equa¸c˜ao (4.6)

Γai Vetor (3x1) for¸ca/torque nas articula¸c˜oes independentes qai, veja equa¸c˜ao (3.47)

Γ Vetor (3x1) for¸ca nos atuadores, veja equa¸c˜ao (3.45) [N]

Γari Vetor (6x1) for¸ca/toques nas articula¸c˜oes da estrutura arborescente equivalente, veja

equa¸c˜ao (3.46)

Letras Latinas

¨q Vetor (3x1) acelera¸cão linear nos atuadores do robô, veja equa¸cão (3.44) [m/s2]

˙q Vetor (3x1) velocidade linear nos atuadores do robˆo, veja equa¸c˜ao (3.42) [m/s]

˙qd Vetor (3x1), velocidade desejada no espa´ao das juntas, veja equa¸c˜ao (4.3) [m/s]

ˆ

(16)

Aai Matriz (3x3), tensor de inércia da cadeia cinemática, veja equa¸cão (3.69)

Aaxi Matriz (3x3), tensor de in´ercia da cadeia cinem´atica no espa¸co Cartesiano, veja

equa-¸c˜ao (3.70)

Aj Matriz (3x3) que define a orienta¸c˜ao do sistema, veja equa¸c˜ao (3.1)

Arobot Matriz (3x3), matriz inércia total do robô, veja equa¸cão (3.72)

fi Vetor (3x1) for¸ca no ponto final da cadeia cinem´atica i, veja equa¸c˜ao (3.49) [N]

fs Vetor (3x1), atrito seco nos atuadores, veja equa¸c˜ao (3.64) [N]

f_v Vetor (3x1), atrito viscoso nos atuadores, veja equa¸c˜ao (3.64) [N]

Hai Vetor (3x1) do modelo dinâmico da cadeia cinemática, veja equa¸cão (3.48)

hai Vetor (3x1), termos correspondentes a acelera¸c˜ao de Coriolis, centr´ıpetas e

gravitaci-onais, veja equa¸c˜ao (3.69)

Haxi Vetor (3x1) do modelo dinˆamico da cadeia cinem´atica no espa¸co cartesiano, veja

equa-¸c˜ao (3.53)

haxi Vetor (3x1), termos da acelera¸c˜ao de Coriolis, centr´ıpetas e gravitacionais no espa¸co

Cartesiano, veja equa¸c˜ao (3.70)

Hrobot Vetor (3x1), termos totais da acelera¸c˜ao de Coriolis, centr´ıpetas e gravitacionais do

robˆo, veja equa¸c˜ao (3.72)

I3 Matriz (3x3), matriz idˆentica, veja equa¸c˜ao (3.72)

KD Matriz diagonal (3x3), ganhos derivativos, veja equa¸c˜ao (4.3)

KI Matriz diagonal (3x3), ganhos integrais, veja equa¸c˜ao (4.3)

KP Matriz diagonal (3x3), ganhos proporcionais, veja equa¸c˜ao (4.3)

ma Vetor (3x1), In´ercia dos atuadores, veja equa¸c˜ao (3.64) [Kg]

q Vetor (3x1) deslocamentos lineares nos atuadores do robˆo, veja equa¸c˜ao (3.15) [m]

(17)

qai Vetor (3x1) articula¸cões ativas da cadeia cinemática i, veja equa¸cão (3.27)

qpi Vetor (3x1) articula¸cões passivas da cadeia cinemática i, veja equa¸cão (3.28)

w Vetor (3x1), Vetor de controle , veja equa¸c˜ao (4.2)

ωr Freqüência natural do robô, veja equa¸cão (4.4) [rad/s]

0_˙v

P Vetor (3x1), acelera¸c˜ao no ponto P, veja equa¸c˜ao (3.44) [m/s2]

0_f

P Vetor (3x1) da for¸ca total exterior no ponto P, veja equa¸c˜ao (3.56) [N]

0_J

i Matriz (3x3), matriz Jacobiana da cadeia cinem´atica i, veja equa¸c˜ao (3.31)

0_J

P Matriz (3x3), matriz Jacobiana do robˆo, veja equa¸c˜ao (3.42)

0_p

P Vetor de posi¸c˜ao (3x1), coordenadas do ponto P, veja equa¸c˜ao (3.25) [m]

0_v

P Vetor (3x1), velocidade no ponto P, veja equa¸c˜ao (3.42) [m/s]

i_p

j Vetor de posi¸cão (3x1) que define a localiza¸cão do sistema, veja equa¸cão (3.1)

A(z−1) Polinômio do denominador da fun¸cão de transferência y(t)/u(t), veja equa¸cão (4.6)

B(z−1_{) Polinômio do numerador da fun¸cão de transferência y(t)/u(t), veja equa¸cão (4.6)}

C(z−1) Polinômio que modela perturba¸cões no modelo CARIMA, veja equa¸cão (4.6)

g(t) Fun¸cão de interpola¸cão de grau 5, veja equa¸cão (A.4)

J Fun¸cão de custo quadrática, veja equa¸cão (4.7)

k Ganho proporcional, veja equa¸c˜ao (B.2)

m_a massa dos atuadores, veja equa¸c˜ao (3.64) [Kg]

mP massa da plataforma m´ovel, veja equa¸c˜ao (3.56) [Kg]

N₁ Limite inferior do horizonte de predi¸c˜ao da sa´ıda predita, veja equa¸c˜ao (4.7)

N2 Limite superior do horizonte de predi¸c˜ao da sa´ıda predita, veja equa¸c˜ao (4.7)

(18)

P(z−1) Fun¸cão de transferência vista por ∆_u, veja equa¸cão (4.10)

Q₁(z−1) Parˆametro de Youla, veja equa¸c˜ao (4.9)

R0(z−1) Polinˆomio R resultante do projeto do GPC, veja equa¸c˜ao (4.8)

r(t + j) Referˆencia, veja equa¸c˜ao (4.7)

R(z−1) Polinˆomio R robustificado, veja equa¸c˜ao (4.9)

s Operador de Laplace, veja equa¸c˜ao (4.4)

S0(z−1) Polinˆomio S resultante do projeto do GPC, veja equa¸c˜ao (4.8)

S(z−1) Polinˆomio S robustificado, veja equa¸c˜ao (4.9)

T0(z−1) Polinˆomio T resultante do projeto do GPC, veja equa¸c˜ao (4.8)

T(z−1) Polinˆomio T robustificado, veja equa¸c˜ao (4.9)

T_Dd Constante de tempo derivativa discreta, veja equa¸c˜ao (B.6) [s]

T_D Constante de tempo derivativa, veja equa¸c˜ao (B.2) [s]

Te Per´ıodo de amostragem, veja equa¸c˜ao (B.4) [s]

T_Id Constante de tempo integral discreta, veja equa¸c˜ao (B.6) [s]

TI Constante de tempo integral, veja equa¸c˜ao (B.2) [s]

u(t) Entrada do modelo CARIMA, veja equa¸c˜ao (4.6)

W(z−1) Fun¸cão de transferência de pondera¸cão de faixas de freqüência, veja equa¸cão (4.11)

y(t) Sa´ıda do modelo CARIMA, veja equa¸c˜ao (4.6)

z−1 Operador de atraso unit´ario, veja equa¸c˜ao (4.5)

Siglas

CTC Controlador de Torque Computado GPC Controle Preditivo Generalizado

(19)

MCI Modelo Cinem´atico Inverso

MCI2 Modelo Cinem´atico Inverso de Segunda Ordem

MGD Modelo Geom´etrico Direto

MGI Modelo Geom´etrico Inverso

RGPC Controle Preditivo Generalizado Robustificado

RMSE Erro Quadr´atico M´edio

(20)

Sum´

ario

Lista de Ilustra¸c˜oes p. xii

Lista de Tabelas p. xiii

Lista de Abreviaturas e Siglas p. xviii

1 Introdu¸c˜ao p. 1

1.1 Motiva¸c˜ao para o desenvolvimento da tese . . . p. 1

1.2 Apresenta¸c˜ao do problema . . . p. 2

1.3 Objetivos . . . p. 4

1.4 Organiza¸c˜ao da tese . . . p. 5

2 Revis˜ao Bibliogr´afica p. 6

2.1 Introdu¸c˜ao . . . p. 6

2.2 Robˆos Paralelos, Conceitos B´asicos . . . p. 6

2.3 Principais ´Areas de Pesquisa de Robˆos paralelos . . . p. 8

2.3.1 Arquitetura Mecˆanica . . . p. 8

2.3.2 Cinem´atica . . . p. 8

2.3.3 S´ıntese do mecanismo paralelo . . . p. 9

2.3.4 Dinˆamica . . . p. 10

2.4 Controle de Robˆos Paralelos . . . p. 11

(21)

2.6 Conclus˜oes . . . p. 14

3 Modelagem de um Robˆo Paralelo do tipo Orthoglide p. 15

3.1 Introdu¸c˜ao . . . p. 15

3.2 Descri¸c˜ao de um robˆo Orthoglide . . . p. 16

3.3 Modelo geom´etrico . . . p. 21

3.3.1 Modelo geom´etrico direto da cadeia i . . . p. 21

3.3.2 Modelo geom´etrico inverso da cadeia cinem´atica i . . . p. 23

3.3.3 Modelo geom´etrico inverso do Robˆo - MGI . . . p. 24

3.3.4 Modelo geom´etrico direto do robˆo - MGD . . . p. 24

3.4 Modelo cinem´atico . . . p. 26

3.4.1 Modelo cinem´atico da cadeia i . . . p. 26

3.4.2 Modelo cinem´atico de segunda ordem da cadeia cinem´atica i . . . . p. 28

3.4.3 Modelo cinem´atico inverso do robˆo (MCI) . . . p. 29

3.4.4 Modelo cinem´atico inverso de segunda ordem do robˆo (MCI2) . . . p. 29

3.5 Modelo Dinˆamico Inverso (MDI) . . . p. 30

3.5.1 Modelo dinˆamico inverso da cadeia cinem´atica i . . . p. 30

3.5.2 Cálculo da for¸ca fi usando o modelo dinâmico da cadeia cinemática i p. 32

3.5.3 Dinˆamica da plataforma m´ovel . . . p. 33

3.5.4 Coment´arios importantes . . . p. 35

3.6 Modelo dinˆamico direto (MDD) . . . p. 36

3.6.1 Coment´arios . . . p. 38

4 Controle Preditivo Generalizado do Robˆo Paralelo p. 40

(22)

4.2 Arquitetura de controle do robˆo paralelo . . . p. 41

4.3 Lineariza¸c˜ao por compensa¸c˜ao . . . p. 42

4.3.1 Estima¸c˜ao de sinais . . . p. 44

4.3.2 Identifica¸cão de parâmetros dinâmicos . . . p. 44

4.4 Controle de torque computado PID . . . p. 45

4.4.1 Controle de torque computado PID na forma RST . . . p. 45

4.5 Controle preditivo generalizado . . . p. 46

4.6 Robustifica¸c˜ao do GPC utilizando parametriza¸c˜ao de Youla . . . p. 49

4.6.1 Parametriza¸c˜ao de Youla . . . p. 50

4.6.2 Restri¸cões no dom´ınio da freqüência . . . p. 51

4.6.3 Restri¸c˜oes no dom´ınio do tempo . . . p. 52

4.6.4 Resolu¸cão através de programa¸cão linear . . . p. 53

4.7 Sintoniza¸c˜ao dos controladores . . . p. 53

4.7.1 Controlador CTC . . . p. 53

4.7.2 Controlador GPC . . . p. 54

4.7.3 Controlador GPC robustificado . . . p. 56

4.8 Simula¸c˜ao computacional . . . p. 56

4.8.1 Rastreamento de trajet´orias . . . p. 57

4.8.2 Varia¸c˜ao param´etrica . . . p. 60

4.8.3 Atenua¸c˜ao de ru´ıdo no controle . . . p. 62

4.8.4 Rejei¸c˜ao de perturba¸c˜oes . . . p. 63

5 Implementa¸c˜ao dos Controladores no Robˆo Paralelo Orthoglide p. 66

(23)

5.2 Plataforma experimental e procedimentos utilizados . . . p. 67

5.2.1 Plataforma experimental: sistema rob´otico Orthoglide . . . p. 67

5.2.2 Procedimentos utilizados . . . p. 70

5.3 Sintoniza¸c˜ao e custo computacional dos controladores . . . p. 73

5.3.1 Sintoniza¸c˜ao dos Controladores . . . p. 73

5.3.2 Complexidade computacional . . . p. 74

5.4 Resultados experimentais . . . p. 76

5.4.1 Movimentos no espa¸co articular . . . p. 76

5.4.2 Erro no rastreamento de trajet´orias . . . p. 76

5.4.3 Atenua¸c˜ao de ru´ıdo no controle . . . p. 88

5.4.4 Robustez a incertezas param´etricas . . . p. 88

5.4.5 Rejei¸c˜ao a perturba¸c˜oes . . . p. 90

5.4.6 Custo computacional . . . p. 90

6 Conclus˜oes e Perspectivas Futuras p. 93

6.2 Perspectivas futuras . . . p. 95

Referˆencias Bibliogr´aficas p. 97

Anexo A -- Gera¸c˜ao de Movimentos: Interpola¸c˜ao Polinomial de Grau

Cinco p. 104

A.1 Gera¸c˜ao de movimentos entre 2 pontos no espa¸co das juntas . . . p. 104

A.2 Interpola¸c˜ao polinomial de grau cinco . . . p. 105

(24)

B.1 Estrutura RST . . . p. 108

B.1.1 Obten¸c˜ao da estrutura RST a partir da estrutura PID . . . p. 109

B.1.2 Resultados e simula¸c˜ao . . . p. 110

Anexo C -- Controle Preditivo Generalizado p. 113

C.1 Modelo de predi¸c˜ao . . . p. 113

C.2 Preditor ´otimo . . . p. 114

C.2.1 Previsão através da equa¸cão diofantina . . . p. 114

C.2.2 Previs˜ao pelo c´alculo iterativo do modelo . . . p. 116

C.3 A fun¸c˜ao de custo . . . p. 116

C.4 Lei de controle . . . p. 117

C.4.1 Minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de custo . . . p. 120

C.4.2 Controlador GPC na forma RST . . . p. 121

Anexo D -- Procedimentos para c´alculo da robustifica¸c˜ao do controle

pre-ditivo generalizado p. 123

D.0.3 Rejei¸c˜ao da perturba¸c˜ao . . . p. 125

Anexo E -- Implementa¸cão da Simula¸cão Dinâmica do Robô em

Ma-tlab/Simulink p. 128

E.1 Gera¸cão de Trajetórias para a simula¸cão . . . p. 128

E.1.1 Trajet´oria circular . . . p. 128

E.1.2 Trajet´oria triangular . . . p. 129

E.2 Implementa¸cão da Simula¸cão Dinâmica do Robô . . . p. 134

E.2.1 Metodologia para a simula¸c˜ao do modelo dinˆamico direto . . . p. 136

(25)

(26)

1 Introdu¸

c˜

ao

Esta tese de doutorado realizou-se dentro do projeto de coopera¸c˜ao entre o Laborat´orio

de Automa¸cão Integrada e Robótica (LAIR)1, Departamento de Automa¸cão da Supélec2 e a

equipe de rob´otica do IRCCyN 3, inserida no projeto de pesquisa: “Orthoglide: Um prot´otipo

de máquina-ferramenta paralela com 3 eixos isótropos”4, através de uma bolsa de doutorado

financiada pela Funda¸cão de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - FAPESP.

1.1 Motiva¸

c˜

ao para o desenvolvimento da tese

Esta tese de doutorado ´e orientada aos robˆos paralelos, ou seja que possuem mecanismos

paralelos ou cadeias cinemáticas fechadas. Em fun¸cão das carater´ısticas mecânicas, podem-se

destacar as seguintes vantagens ao comparar os robˆos paralelos com os robˆos seriais:

i Rigidez e rela¸c˜ao – carga/peso maiores.

ii Erros de posicionamento menores devido a que os erros nos atuadores n˜ao s˜ao

cumula-tivos no mecanismo.

iii Melhor desempenho dinâmico devido às baixas inércias nos atuadores o que permite

que possam operar em altas velocidades.

Como principal desvantagem dos robˆos paralelos, o volume de trabalho ´e menor.

Adicional-mente, a complexidade cinemática e o modelo dinâmico é maior do que nos robôs seriais.

1_{Departamento de Projeto Mecanico, Faculdade de Engenharia Mecanica, Universidade Estadual de}

Cam-pinas

2_{Supélec - L’Ecole Supérieure d’Électricité, Departamento de Automa¸cão e Controle, Gif sur Yvette,}

Fran¸ca

3_{IRCCyN – Institut de Recherche en Communications et en Cybern´etique de Nantes - Ecole Central de}

Nantes, Fran¸ca

(27)

Entretanto devido `as vantagens e aos requerimentos de usinagem para pe¸cas na ind´ustria

aeronáutica e automotiva, a utiliza¸cão dos robôs paralelos vem crescendo nos últimos anos.

Os robôs paralelos são utilizados principalmente em opera¸cões que requerem alta velocidade e

precisão no posicionamento. Principalmente, os robôs paralelos são utilizados em aplica¸cões

relacionadas `a m´aquinas-ferramentas e deslocamento de pe¸cas a alta velocidade “pick and

place”.

No entanto, os robˆos paralelos ainda exigem melhorias no projeto, modelagem e controle

para atingir o desempenho te´orico e assim aproveitar as vantagens conceituais dessa classe

de robˆos (MERLET, 2002). Nesse sentido, diversos trabalhos tˆem sido desenvolvidos na

otimiza¸c˜ao do projeto e da modelagem, existindo uma quantidade relativamente grande de

trabalhos relacionados à cinemática e dinâmica dos robôs paralelos, porém poucos trabalhos

relacionados ao seu controle tˆem sido desenvolvidos.

1.2 Apresenta¸

c˜

ao do problema

Visando o desenvolvimento de novas leis de controle para rastreamento de trajet´orias de

robôs paralelos, duas carater´ısticas próprias dos robôs paralelos devem ser consideradas: suas

estruturas mecânicas e as respectivas condi¸cões de opera¸cão. A estrutura mecânica de um

robô está relacionada à complexidade dos seus mecanismos: cadeias cinemáticas fechadas e

articula¸cões passivas sem observa¸cão. As condi¸cões de opera¸cão fazem referência às altas

acelera¸c˜oes de opera¸c˜ao que geram grandes torques e for¸cas a serem compensados. Portanto,

a dinâmica dos robôs paralelos não pode ser desprezada na s´ıntese de leis para seu controle.

Por esta raz˜ao se faz indispens´avel a s´ıntese de controladores avan¸cados que permitam

considerar o comportamento dinâmico do robô para melhorar o desempenho dinâmico que

consiste em aumentar a velocidade de resposta e diminuir erros de posi¸c˜ao no rastreamento

de trajet´orias desejadas.

Fundamentalmente, se as intera¸cões dinâmicas do robô paralelo são conhecidas através de

modelo dinâmico completo para realiza¸cão de uma trajetória predefinida, consequentemente

utilizando uma t´ecnica de controle preditivo pode-se compensar antecipadamente os efeitos

dinâmicos visando melhorar o desempenho dinâmico total na execu¸cão de uma tarefa. Para

solucionar o problema apresentado, os temas abordados na área de robótica e controle serão:

(28)

e finalmente, uma aplica¸c˜ao experimental de um controlador preditivo generalizado para um

robˆo tipo Orthoglide.

Modelagem e simula¸cão de robôs paralelos: O modelo dinâmico do robô Orthoglide foi

desenvolvido previamente utilizando a formula¸c˜ao de Newton-Euler por Guegan (2002).

A formula¸cão do modelo dinâmico completo do robô paralelo é necessária no

desenvol-vimento das novas leis de controle e na simula¸cão dinâmica antes da implementa¸cão

experimental no robˆo (ZLAJPAH, 2008).

Controle robótico e técnicas de Controle Preditivo Generalizado: existem inúmeros

trabalhos relacionados ao controle de posi¸c˜ao nas juntas dos manipuladores rob´oticos

(KHALIL; DOMBRE, 1999), (LEWIS; DAWSON; ABDALLAH, 2003), (SICILIANO et

al., 2009), e algumas aplica¸c˜oes com controle preditivo tˆem sido desenvolvidas para

me-lhorar o desempenho de máquinas com estrutura cinemática serial: em juntas robóticas

(PIMENTA, 2003) e (CASSEMIRO, 2006) e m´aquinas de controle num´erico

compu-tadorizado (SUSANU, 2005). Outros trabalhos desenvolveram aplica¸c˜oes de controle

avan¸cado de posi¸c˜ao para melhorar o desempenho das m´aquinas paralelas no

segui-mento de trajet´orias: controle robusto (YEN, 2008), controle adaptativo (PIETSCH et

al., 2005) e controle dinˆamico ou controle de torque computado (WANG et al., 2009).

Vivas e Poignet (2005) projetaram um controlador preditivo funcional baseado no

mo-delo interno do robˆo paralelo (VIVAS; POIGNET, 2005).

Este trabalho visa integrar a dinˆamica do robˆo ao controlador preditivo e assim

anteci-par a regula¸cão num horizonte de predi¸cão futuro, com este propósito um controlador

preditivo generalizado robustificado ´e utilizado para garantir robustez a perturba¸c˜oes

externas e incertezas param´etricas no desempenho do robˆo paralelo.

Aplica¸c˜ao experimental do controle preditivo generalizado no robˆo Orthoglide: O

robˆo Orthoglide (na figura 1.2) foi desenvolvido e constru´ıdo pela equipe de rob´otica do

IRCCyN (WENGER; CHABLAT; MAJOU, 2002), sendo o mesmo dedicado `a

usina-gem em alta velocidade devido a que sua arquitetura se aproxima `as m´aquinas seriais

com três articula¸cões prismáticas, mas com as propriedades estruturais de uma máquina

de estrutura paralela (in´ercias menores e melhor desempenho dinˆamico).

Dando continuidade ao trabalho relacionado `a modelagem dinˆamica (GUEGAN et al.,

(29)

LE-Figura 1.1: Robˆo Orthoglide.

MOINE, 2003) é necessária a s´ıntese de técnicas de controle avan¸cadas para aproveitar

as vantagens inerentes aos robˆos paralelos e especificamente do robˆo Orthoglide. A

aplica¸cão de técnicas de controle preditivas, considerando a dinâmica do sistema, visa

compensar antecipadamente as intera¸cões dinâmicas do robô utilizando o modelo

in-verso.

1.3 Objetivos

O principal objetivo deste tese de doutorado ´e desenvolver e aplicar um Controlador

Preditivo Generalizado (GPC) para rastreamento de trajet´orias e no espa¸co das juntas,

ba-seado na modelagem e simula¸cão de um robô paralelo. Consequentemente, são formulados

os seguintes objetivos espec´ıficos:

• Simula¸c˜ao computacional do robˆo paralelo Orthoglide baseada na modelagem a dinˆ

a-mica completa.

• Desenvolver o controlador preditivo para o robˆo paralelo Orthoglide.

• Aplicar as leis de controle preditivas mediante simula¸c˜ao no robˆo paralelo Orthoglide.

• Aplicar experimentalmente o controle preditivo generalizado no robˆo paralelo

(30)

• Avaliar a resposta dinˆamica do robˆo com o controle preditivo generalizado e o principal

controlador usando na literatura nos robˆos paralelos.

1.4 Organiza¸

c˜

ao da tese

Com a finalidade de alcan¸car os objetivos enunciados, o presente trabalho est´a organizado

da seguinte forma:

No cap´ıtulo 1 é apresentada uma revisão bibliográfica relacionada aos robôs paralelos

para mostrar uma perspectiva geral dos temas relacionados a esta ´area. Esta revis˜ao aborda

os conceitos básicos, aplica¸cões e os principais tópicos de pesquisa na atualidade, mostrando

assim a maneira como estão sendo desenvolvidas as solu¸cões. Entre os tópicos de pesquisas do

estudo de robôs paralelos estão: a arquitetura mecânica, cinemática, s´ınteses de mecanismos e

dinâmica. Finalmente esta revisão aprofunda detalhadamente no controle de robôs paralelos.

O cap´ıtulo 2 descreve o modelo dinˆamico do robˆo Orthoglide que abrange o modelo

geométrico, cinemático e dinâmico (GUEGAN et al., 2007). Especificamente, o modelo

dinâmico completo do robô Orthoglide é apresentado utilizando a formula¸cão Newton-Euler

desenvolvida previamente em (GUEGAN, 2003).

No cap´ıtulo 3 é descrita a formula¸cão dos controladores utilizados no robô paralelo para

o seguimento de trajet´orias. Os controladores descritos s˜ao: Controle de Torque Computado,

Controle Preditivo Generalizado, e a robustifica¸c˜ao do controle preditivo mediante a

para-metriza¸c˜ao de Youla. O desempenho e principais carater´ısticas conceituais dos controladores

a serem aplicados no robô são avaliados mediante simula¸cão computacional.

No cap´ıtulo 4 s˜ao apresentados os resultados experimentais obtidos a partir da

imple-menta¸c˜ao do controle preditivo generalizado num robˆo Orthoglide. Todos os experimentos

concernentes a este cap´ıtulo foram executados no Laborat´orio de Rob´otica do Institut de

Recherche en Communications et Cybern´etique de Nantes - IRCCyN.

Finalmente, no último cap´ıtulo são apresentadas as conclusões obtidas e as perspectivas

futuras de este trabalho de pesquisa.

Adicionalmente, cinco anexos apresentam procedimentos relacionados `a gera¸c˜ao de

tra-jetórias, discretiza¸cão de controladores, formula¸cão do controle preditivo generalizado e

(31)

2 Revis˜

ao Bibliogr´

afica

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Nos últimos anos o estudo de robôs paralelos tem despertado a aten¸cão dos

pesquisado-res em fun¸cão da necessidade de solu¸cões robustas para os problemas espec´ıficos e próprios

para este tipo de robˆos. Adicionalmente, h´a um grande interesse em desenvolver estrat´

e-gias de controle para melhorar o desempenho dos robˆos paralelos (PACCOT; ANDREFF;

MARTINET, 2009).

No presente cap´ıtulo é apresentada uma revisão bibliográfica relacionada aos robôs

pa-ralelos com a finalidade de apresentar uma perspectiva geral dos temas relacionados a esta ´

area de pesquisa. Esta revisão aborda conceitos básicos, aplica¸cões e os principais tópicos

nesta ´area mostrando como est˜ao sendo solucionados os problemas de pesquisa. Entre os t´

o-picos de pesquisas relacionados ao estudo dos robôs paralelos são apresentados nesta revisão:

arquitetura mecânica, modelagem cinemática, a s´ıntese de mecanismo, modelagem dinâmica

e controle. Finalmente, neste trabalho de revis˜ao abordamos detalhadamente a s´ıntese de

controladores para aplica¸c˜ao nos robˆos paralelos.

2.2 Robˆ

os Paralelos, Conceitos B´

asicos

Um robˆo paralelo (na figura 2.1) ´e constitu´ıdo por um efetuador final com n graus de

liberdade, e por uma base fixa, ligadas entre si pelo menos por duas cadeias cinem´aticas

independentes. A atua¸cão do mecanismo é feita através de n atuadores simples. As cadeias

cinemáticas são estruturas compostas de articula¸cões passivas e “links”. Os atuadores que

proporcionam potência mecânica são geralmente montados na base fixa ou, estão unidos

(32)

de cadeias cinemáticas é estritamente igual ao número de graus de liberdade do efetuador final (MERLET, 2006).

Cadeias Cinem´aticas

..._... ..._... ..._... ..._... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . _... ..._... ..._... ..._... ..._... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... Links Base Fixa

Atuadores

... ... ... Efetuador final Articula¸c˜ao passiva ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . f f f f v v

Figura 2.1: Mecanismo de um robˆo paralelo

Devido à estrutura mecânica, os robôs paralelos apresentam algumas vantagens

consoli-dadas em rela¸c˜ao aos robˆos seriais. Assim, podemos destacar as seguintes vantagens:

i Maior rigidez e rela¸c˜ao carga / peso.

ii Maior exatidão considerando que o erro nos atuadores não é acumulativo no mecanismo.

iii Melhor desempenho dinâmico devido às baixas inércias nos atuadores, implica assim

em maiores velocidades e acelera¸c˜oes de opera¸c˜ao.

Contudo, o volume de trabalho ´e menor e a complexidade do mecanismo ´e maior.

Devido às suas caracter´ısticas, os robôs paralelos têm sido amplamente utilizados em

diferentes aplica¸c˜oes; dentre as quais podemos destacar:

• Dispositivos rob´oticos de manufatura e sistemas de m´aquinas ferramentas (WECK;

STAIMER, 2002).

• Sistemas de posicionamento de alto desempenho tais como micro-posicionamento (LI;

XU, 2010) e sistemas de locomo¸c˜ao (PARK; RYU, 2010), (SUGAHARA et al., 2007).

• Sistemas ultra r´apidos de “pick and place” (BRIOT; BONEV, 2010) e (HUANG; LI;

(33)

• Aplica¸cões médicas, sendo utilizado em cirurgias que requerem grande exatidão de posicionamento (ZOPPIA et al., 2010) e (WAPLER et al., 2003)

• Dispositivos H´apticos (CHEUNG; HUNG, 2009), (YOU et al., 2008), (PIERROT et

al., 2008) e (CHABLAT; WENGER, 2006).

2.3 Principais ´

Areas de Pesquisa de Robˆ

os paralelos

O escopo desta revisão é apresentar uma visão aprofundada dos diferentes problemas

que atualmente atraem o interesse dos pesquisadores nesta ´area. O objetivo desta revis˜ao

bibliográfica é evidenciar a atualidade e diversifica¸cão dos trabalhos de pesquisa relacionados

`

a vasta literatura sobre robˆos paralelos para assim posicionar nosso trabalho no contexto

global. Assim ser˜ao apresentadas as principais ´areas de pesquisa, nas quais ainda existem

problemas abertos que est˜ao sendo abordados atualmente.

2.3.1 Arquitetura Mecˆ

anica

As pesquisas referentes `a estrutura mecˆanica podem ser divididas da seguinte maneira:

Rigidez: determinar como os movimentos parasitas (folgas, flexibilidade dos bra¸cos)

in-fluenciam o desempenho dos mecanismos do robˆo paralelo. Os trabalhos apresentados

nesta ´area analisam a rigidez dos mecanismos (PASHKEVICH; CHABLAT; WENGER,

2009), (MAJOU et al., 2007) e (LI et al., 2010).

Redundância de cadeias cinemáticas: estudar como a redundância nas cadeias cinem´

a-ticas otimiza o desempenho cinem´atico na execu¸c˜ao de uma tarefa. Desta maneira a

rigidez e o volume de trabalho do mecanismo paralelo se incrementam (MOHAMED;

GOSSELIN, 2005), (GALLARDO-ALVARADO; ALICI; P´EREZ-GONZ ´ALEZ, 2010),

(ECORCHARDA; NEUGEBAUERB; MAURINEC, 2010) e (ZHU; DOU, 2009).

2.3.2 Cinem´

atica

Cinemática direta: o modelo cinemático inverso é obtido a partir de uma formula¸cão

(34)

formula¸c˜ao. Para solucionar este problema diversas abordagens tˆem sido consideradas

solu¸c˜oes: num´ericas (DONG; ZHANG, 2001) e anal´ıticas (DASGUPTA;

MRUTHYUN-JAYA, 2000). Devido à diversidade de topologias dos mecanismos paralelos é necessário

desenvolver a formula¸c˜ao da cinem´atica direta para cada caso em particular.

Análise de singularidades: as singularidades estão relacionadas às configura¸cões cinem´

a-ticas nas quais o mecanismo paralelo perde um ou mais graus de liberdade e n˜ao ´e

capaz de se movimentar em alguma dire¸c˜ao no espa¸co de trabalho, isto deixar´a

tran-sitoriamente o efetuador final fora de controle. Este fenˆomeno tem atra´ıdo a aten¸c˜ao

de diversos pesquisadores, cujos trabalhos desenvolvidos visam à representa¸cão gráfica

das singularidades no espa¸co de trabalho (ST-ONGE; GOSSELIN, 2000), (KANAANA; WENGERA; CHABLAT, 2009) e identificar as singularidades (HUANG; CAO, 2005) entre outros.

Planejamento de trajet´orias: atrav´es do desenvolvimento de algoritmos para o

planeja-mento das trajet´orias dos mecanismos paralelos evitando configura¸c˜oes singulares no

interior do volume de trabalho (DASGUPTA; MRUTHYUNJAYA, 1998). Diversos

tra-balhos est˜ao sendo desenvolvidos para determinar trajet´orias livres de singularidades

cinem´aticas (JIANGA; GOSSELIN, 2009) e (TREVISANI, 2010).

2.3.3 S´ıntese do mecanismo paralelo

An´alise de desempenho: este problema consiste em propor ´ındices para medir o

desem-penho dos manipuladores paralelos para diferentes objetivos. Dentre os principais

ob-jetivos podemos destacar a compara¸c˜ao do desempenho dinˆamico (CHOI; KONNO;

UCHIYAMA, 2010) e ´ındices para otimiza¸c˜ao cinem´atica (MILLER, 2004) e (KIM;

RYU, 2003).

S´ıntese da topologia: este problema consiste em encontrar a disposi¸c˜ao geral das

articula-¸c˜oes, links que descrevam a estrutura cinem´atica do mecanismo. Embora na literatura

sejam encontradas diversas configura¸c˜oes geom´etricas de mecanismos paralelos, ainda

n˜ao se esgotaram todas as suas possibilidades (MERLET, 2002). Os trabalhos

desen-volvidos nesta ´area visam desenvolver metodologias para apresentar sistematicamente

(35)

(SI-MONI; CARBONI; MARTINS, 2009), (PUCHETA; CARDONA, 2007) e (MOTEVAL-LIA; ZOHOORB; SOHRABPOURB, 2010).

S´ıntese dimensional: j´a que o desempenho dos manipuladores paralelos depende dos parˆ

a-metros geométricos correspondentes às dimensões estruturais do mecanismo, este

pro-blema consiste em determinar as dimens˜oes adequadas para otimizar o desempenho

cinemático. Recentemente vários trabalhos têm sido desenvolvido visando à otimiza¸cão

multi-objetivo de várias propriedades cinemáticas como rigidez, destreza cinemática e

volume de trabalho (HAO; MERLET, 2005) e (CECCARELLI; LANNI, 2004). Outros

trabalhos tˆem sido dirigidos a otimizar o volume de trabalho (BAI, 2010), destreza

cinem´atica e volume de trabalho (LOU; LIU; LI, 2008) e rigidez (GAO; ZHANG; GE,

2010).

2.3.4 Dinˆ

amica

Modelagem dinâmica: as intera¸cões dinâmicas nos mecanismos paralelos não podem ser

desprezadas porque os mecanismos alcan¸cam altas velocidades e acelera¸c˜oes de

opera-¸c˜ao que geram for¸cas e torques no mecanismo. O modelo dinˆamico dos manipuladores

paralelos tem sido desenvolvido visando diminuir o custo computacional e facilitar a

implementa¸cão dos algoritmos de controle. O propósito da modelagem dinâmica dos

manipuladores paralelos é contribuir para a identifica¸cão dos parâmetros e s´ıntese das

leis de controle. Diversas formula¸c˜oes tˆem sido abordadas para elaborar o modelo dinˆ

a-mico. Dentre as diferentes formula¸c˜oes utilizadas encontra-se a fomula¸c˜ao de Newton

- Euler (KHALIL; GUEGAN, 2004), Equa¸c˜ao de Euler - Lagrange (GUO; LI, 2006),

princ´ıpio do trabalho virtual (CHABLAT; WENGER; STAICU, 2009).

Identifica¸cão de parâmetros dinâmicos: desenvolvimento de metodologias para a

iden-tifica¸cão dos parâmetros correspondentes às massas, inércias e atritos secos e viscosos,

sendo desenvolvidos diversos trabalhos nesta ´area (GUEGAN; KHALIL; LEMOINE,

2003), (GROTJAHN; HEIMANN; ABDELLATIF, 2004) e (VIVAS et al., 2003).

Os robˆos paralelos ainda requerem melhorias em seu projeto, modelagem e controle para

atingir o desempenho te´orico e assim aproveitar as vantagens conceituais referentes a estes

tipos de robˆos (MERLET, 2002). Neste sentido, diversos trabalhos tˆem sido desenvolvidos

(36)

quantidade relativamente grande de trabalhos relacionados à dinâmica e cinemática dos robôs

paralelos, porém há poucos trabalhos relacionados à área de controle.

2.4 Controle de Robˆ

os Paralelos

De uma perspectiva teórica, os robôs paralelos oferecem vantagens conceituais em rela¸cão

aos robôs seriais. Especificamente, para aplica¸cões de produ¸cão industrial os robôs paralelos

apresentam muitas vantagens sobre os robˆos seriais se o potencial dinˆamico destes for

aprovei-tado completamente. No entanto, existem limita¸c˜oes na pr´atica para explorar as vantagens

teóricas de este tipo de robôs (ABDELLATIF; HEIMANN, 2010). Estas limita¸cões estão

relacionadas à problemática apresentada na se¸cão anterior.

Portanto, para melhorar a produtividade e qualidade nas aplica¸c˜oes de manipula¸c˜ao e

processos de produ¸cão, é essencial reduzir o tempo de execu¸cão dos ciclos na execu¸cão de

tarefas e aumentar a sua exatid˜ao no rastreamento de trajet´orias (PIETSCH et al., 2005).

Pritschow (2002) apresenta uma lista de causas que afetam a exatid˜ao dos robˆos paralelos

na figura 2.2. Dentre as principais causas que s˜ao objeto de estudo de diversos trabalhos,

destacam-se duas quest˜oes:

a) Devido aos erros cinem´aticos no modelo, por causa das folgas e efeitos na montagem do

elevado n´umero de articula¸c˜oes passivas (WANG; MASORY, 1993). Adicionalmente,

a complexidade cinemática freqüentemente é simplificada nos modelos diminuindo sua

exatid˜ao (BARON; ANGELES, 2008).

b) Os atuadores do robˆo paralelo n˜ao proporcionam o torque ou for¸ca no mesmo sentido do

movimento dos eixos do efetuador final, diferente das m´aquinas seriais (DASGUPTA;

MRUTHYUNJAYA, 2000). Isto provoca uma perda de rigidez no mecanismo em

confi-gura¸c˜oes especificas, isto produz um incremento dos erros de rastreamento de trajet´orias

(DASGUPTA; MRUTHYUNJAYA, 1998). Neste sentido, e como j´a foi apresentado, a

análise cinemática e o estudo da arquitetura geométrica dos robôs paralelos é necessária

para evitar mecanismos que apresentem configura¸c˜oes singulares para um determinado

espa¸co de trabalho (MERLET, 1997), (GOSSELIN, 1992).

(37)

Figura 2.2: Causas de perda de precis˜ao segundo Pritschow (2002)

utilizando as t´ecnicas convencionais utilizadas em manipuladores rob´oticos industriais

de-vido às grandes intera¸cões dinâmicas do mecanismo paralelo quando submetidos às grandes

acelera¸c˜oes (ABDELLATIF; HEIMANN, 2010).

As principais metodologias de controle de robˆos paralelos s˜ao:

• O Controladores baseados no modelo utilizam o modelo dinˆamico inverso integrado na

lei de controle, e assim compensam a influência dos efeitos dinâmicos no robô. Esta

me-todologia de controle demanda grandes recursos computacionais, ainda assim fornece

uma boa precisão de rastreamento de trajetórias devido à considera¸cão das

intera-¸c˜oes dinˆamicas do mecanismo na lei de controle. Contudo, os controladores baseados

no modelo não têm um bom comportamento frente a dinâmicas não modeladas e

in-certezas param´etricas (DOMBRE; KHALIL, 2010). Consequentemente, as incertezas

paramétricas têm um alto impacto em grandes velocidades e acelera¸cões

(ABDELLA-TIF; HEIMANN, 2010). Os trabalhos que seguem esta metodologia s˜ao (WANG et al.,

2009), (WU et al., 2009).

• Controladores dinˆamicos no espa¸co Cartesiano que aproveitam a simplicidade da

for-mula¸cão do modelo cinemático inverso dos robôs paralelos (PACCOT; ANDREFF;

(38)

posi¸c˜ao diretamente no efetuador final ou na ferramenta. A sua principal vantagem ´e

que a lei de controle ´e formulada no espa¸co Cartesiano, e desta maneira evita-se

utili-zar o modelo cinemático direto do robô que introduz erros numéricos e complica¸cões na

implementa¸cão do controlador. A principal desvantagem é a restri¸cão tecnológica na

aplica¸cão de sensores de posi¸cão cartesianos: os sistemas de visão apresentam algumas

limita¸c˜oes dinˆamicas e os sistemas laser apresentam um alto custo. Os controladores

cartesianos tˆem sido aplicados nos robˆos paralelos: Isoglide-4 T3R1(PACCOT;

AN-DREFF; MARTINET, 2009) e Orthoglide (PACCOT et al., 2008).

• Finalmente, outros controladores aplicados aos robˆos paralelos com bons resultados

em termos de precis˜ao experimentais est˜ao nos trabalhos: “Iterative Learning Control”

(ABDELLATIF; HEIMANN, 2010), controle robusto (YEN, 2008), controladores n˜ao

lineares (SHANG; CONG, 2009) e controladores adaptativos (PIETSCH et al., 2005).

2.5 Controle Preditivo Aplicado em Robˆ

os Paralelos

Diversos trabalhos que consideram as n˜ao linearidades foram desenvolvidos para robˆos

seriais utilizando controladores preditivos (BERLIN; FRANK, 1991) e (COMPAS et al.,

1994); esta mesma metodologia foi aplicada a um robˆo serial de dois graus de liberdade

(ZHANG; WANG; SIDDIQUI, 2005), (LYDOIRE; POIGNET, 2005). Hedjar et al. (2005)

apresentam uma aproxima¸c˜ao de um controlador preditivo n˜ao linear para rastreamento de

trajet´orias para um robˆo serial.

Os trabalhos apresentados a seguir aplicam controle preditivo em robˆos paralelos:

• Belda et al. (2003) utilizam Controle Preditivo Generalizado (GPC) num robˆo

para-lelo com cadeias cinem´aticas redundantes. Os resultados experimentais mostram uma

execu¸cão de trajetórias sem descontinuidades ajustando os parâmetros do controlador

preditivo, ou seja, em fun¸cão da sintonia dos parâmetros do controlador o robô consegue

executar trajet´orias cont´ınuas no atuadores.

• Vivas e Poignet (2005) desenvolveram uma aplica¸c˜ao eficiente baseada em controle

pre-ditivo funcional para controlar o robˆo paralelo H4 com quatro graus de liberdade. Os

(39)

de trajet´orias e dist´urbios externos comparados com os controladores amplamente

uti-lizados como: PID e Controle de Torque Computado - CTC. Em compensa¸c˜ao, as

acelera¸cões de opera¸cão dos resultados experimentais são baixas, o que supõe um baixo

desempenho nas acelera¸c˜oes t´ıpicas de opera¸c˜ao das MCP.

• Duchaine et al. (2007) apresentam uma aproxima¸c˜ao simplificada de uma lei de

con-trole preditivo computada “online” e aplicada a manipuladores rob´oticos em geral que

inclui diretamente o modelo dinˆamico na fun¸c˜ao de custo. Os resultados

experimen-tais apresentam um desempenho superior desta lei de controle em rela¸c˜ao ao PID num

mecanismo paralelo de 6 graus de liberdade acionado atrav´es de cabos.

2.6 Conclus˜

oes

Neste cap´ıtulo foram apresentados trabalhos em diferentes ´areas que visam a otimizar

o desempenho global dos robˆos paralelos. Dentre as principais diretrizes de pesquisa est˜ao

as relacionadas à otimiza¸cão dos mecanismo, estudos das carater´ısticas cinemáticas,

aprimo-ramento dos modelos, identifica¸c˜ao dinˆamica e controle. O escopo principal de todos estes

estudos ´e otimizar os componentes dos robˆos paralelos para que estas possam apresentar na

pr´atica o maior potencial das suas vantagens te´oricas.

A aplica¸c˜ao de controle preditivo aos robˆos paralelos tem demonstrado vantagens em

rela¸cão às técnicas de controle apresentadas anteriormente em termos de precisão em

ras-treamento de trajet´orias e velocidade de resposta. Entretanto, aspectos fundamentais no

desempenho dinâmico dos robôs tais como robustez a incertezas paramétricas e distúrbios

externos não têm sido abordados utilizando técnicas de controle preditivo. Ao contrário de

outras ´areas de pesquisa, existem poucos trabalhos em controle de robˆos paralelos que

apre-sentam resultados experimentais, na maioria dos casos s˜ao apresentadas apenas resultados

baseados em simula¸c˜oes.

O próximo cap´ıtulo apresenta o modelo dinâmico completo do robô paralelo abordando

(40)

3 Modelagem de um Robˆ

o Paralelo do tipo

Orthoglide

3.1 Introdu¸

c˜

ao

O modelo dinâmico dos robôs paralelos busca estabelecer a formula¸cão matemática para

descrever o movimento considerando os efeitos cinem´aticos e cin´eticos envolvidos no

movi-mento do mecanismo. Dentre os efeitos cinem´aticos temos a arquitetura do mecanismo

para-lelo composta de juntas passivas, ativas e cadeias cinem´aticas fechadas. Os efeitos cin´eticos

estão associados principalmente às inércias, atritos e parâmetros dinâmicos dos atuadores.

Com a formula¸cão do modelo dinâmico os torques nos atuadores são descritos em fun¸cão da

posi¸cão, velocidade e acelera¸cão para uma trajetória imposta a ser seguida pelo robô (ver

figura 3.1).

Neste trabalho, o modelo dinâmico é utilizado para a simula¸cão do robô paralelo visando

os controladores preditivos a serem implementados.

K(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..._... .... - - -6 m MDD Controle Lei de Trajetorias Gera¸c˜ao de Te T_e − L_q(k) e(k) Ld_q(k) Ld_q(t) Lq(t) Robo Γ(t) Hold Γ(k)

Figura 3.1: Estrutura de controle de um sistema rob´otico

A formula¸cão do modelo dinâmico completo do robô paralelo é necessária para os seguintes

prop´ositos:

(41)

ii Simula¸cão dinâmica do robô e das leis de controle antes de serem implementadas

expe-rimentalmente no robˆo (ZLAJPAH, 2008),(LEWIS; DAWSON; ABDALLAH, 2003).

O modelo dinâmico do robô Orthoglide foi desenvolvido utilizando a formula¸cão de

Newton-Euler (GUEGAN et al., 2007) e o princ´ıpio de trabalho virtual (CHABLAT; WEN-GER; STAICU, 2009). Especificamente, neste cap´ıtulo apresentam-se os principais elementos

correspondentes ao modelo dinˆamico completo utilizando a formula¸c˜ao Newton-Euler para o

robˆo Orthoglide desenvolvido em (GUEGAN, 2003).

A formula¸cão do modelo dinâmico completo do robô paralelo abrange os modelos

ge-ométrico, cinemático, e o dinâmico direto e inverso. A abordagem do modelo é realizada

considerando cada cadeia cinem´atica separadamente para assim serem inseridas no modelo

total do robô. A forma final da equa¸cão dinâmica é apresentada na forma fechada para um

robˆo orthoglide.

Este cap´ıtulo est´a organizado da seguinte maneira: inicialmente ´e apresentado o modelo

geométrico, a seguir o seu modelo cinemático; e finalmente, o seu modelo dinâmico.

3.2 Descri¸

c˜

ao de um robˆ

o Orthoglide

O Orthoglide é um robô paralelo com três graus de liberdade translacionais no espa¸co

cartesiano x − y − z, com orienta¸cão fixa (figura 3.2(a)). Este robô é composto de uma

plata-forma móvel e três cadeias cinemáticas idênticas. Cada cadeia cinemática possui um atuador

prismático (P) que une a base fixa à cadeia cinemática (no ponto Ai para i= 1,2,3); uma

ar-ticula¸cão de revolu¸cão (R); uma articula¸cão de tipo paralelogramo (Pa); e uma articula¸cão de

revolu¸cão (R) que liga a cadeia cinemática à plataforma móvel como mostra a figura 3.2(b).

Os trˆes eixos dos atuadores lineares est˜ao posicionados ortogonalmente e se interceptam

no ponto K (ver figura 3.3). O sistema de referˆencia fixo RK est´a no ponto K, e os eixos fixos

x_k, y_k, z_k est˜ao definidos sobre os eixos fixos dos trˆes atuadores q_1i, respetivamente q₁₁, q₁₂,

q₁₃. Da mesma maneira são definidos outros dois sistemas de referência: R0 fixo com rela¸cão

`

a base, e RP fixo `a plataforma m´ovel que coincidem com os pontos A1 e P, respectivamente.

Os eixos (x0, y0, z0) e (xP, yP, zP) s˜ao paralelos aos eixos (xK, yK, zK). Finalmente, outros trˆes

sistemas de referência são introduzidos R_Ai nos pontos A_i. A figura 3.3 mostra a localiza¸cão

(42)

(a) Estrutura do robˆo Orthoglide (b) Cadeia Cinem´atica

Figura 3.2: Descri¸c˜ao do Orthoglide e sua Cadeia Cinem´atica.

(43)

A estrutura arborescente de cada cadeia cinemática do robô é composta de um la¸co

planar de tipo paralelogramo. O modelo da estrutura arborescente equivalente ´e obtido

cortando as articula¸cões passivas q8ido paralelogramo em fun¸cão das simetrias da articula¸cão

paralelogramo apresentadas na equa¸c˜ao 3.3.

Os parâmetros geométricos necessários para referenciar o primeiro corpo de cada cadeia

R_1i no sistema de referˆencia R₀ (figura 3.4) s˜ao listados na tabela 3.1.

Tabela 3.1: Parâmetros geométricos dos sistemas de referência A1, A2, e A3.

j_i a_ji µji σji γji bji αji dji θji rji

i₁ 0 1 1 0 0 0 0 0 q₁₁

i₂ 0 1 1 π/2 a π/2 0 0 −a+ q12

i3 0 1 1 0 a −π/2 0 −π/2 −a+ q13

A descri¸cão da estrutura da cadeia cinemática da figura 3.4 é obtida isolando-se a

plata-forma e desacoplando-se as 3 articula¸c˜oes passivas q8i para i= 1,2,3. A nota¸c˜ao de Khalil e

Etienne (1999) ´e utilizada para descrever a geometria da estrutura arborescente da cadeia

cinemática da figura 3.4. A localiza¸cão das referencias de uma cadeia cinemática está

indi-cada na figura 3.2(b). As referencias R_8i e R_9i s˜ao utilizadas na articula¸c˜ao desacoplada q_8i.

Os parâmetros geométricos da cadeia cinemática i da figura 3.4 estão listados na tabela 3.2.

Tabela 3.2: Parâmetros cinemáticos da cadeia cinemática i.

j_i a_ji µji σji γji bji αji dji θji rji 2i 1i 0 0 0 0 −π/2 0 q2i r2i 3i 2i 0 0 0 0 −π/2 0 q3i 0 4i 3i 0 0 0 0 0 D4i q4i 0 5i 4i 0 0 0 0 π/2 0 q5i r5i 6i 5i 0 0 0 0 0 D6i 0 0 7i 2i 0 0 0 b7i −π/2 0 q7i 0 8i 7i 0 0 0 0 0 D8i q8i 0 9i 4i 0 0 π/2 0 0 D9i 0 0

Os parˆametros das tabelas 3.2 e 3.1 fazem referˆencia a:

(44)

Figura 3.4: Descri¸cão geométrica da cadeia cinemática i. • µ( j) e σ( j) definem o tipo de articula¸cão:

µ( j) = 1 se a articula¸cão tem um atuador e µ( j) = 0 se a articula¸cão é passiva,

σ( j) = 1 se a articula¸cão é prismática e σ( j) = 0 se a articula¸cão é revolu¸cão.

Os parâmetros (γj, bj, αj, dj, θj, rj) são utilizados para definir os sistemas de referência Rj

em rela¸cão à referência anterior Ri. A matriz de transforma¸cão é composta dos seguintes

parˆametros: i_T j= " _i Aj ipj 0_(1×3) 1 # (3.1) onde: i_A

j é a matriz (3x3) que define a orienta¸cão do sistema de referência Rj em rela¸cão a Ri.

i_p

j Vetor de posi¸cão (3x1) que define a localiza¸cão do sistema de referência Rj em rela¸cão

a Ri.

(45)

cinemática i, estas rela¸cões ajudam a simplificar o modelo geométrico, assim:

1. Parˆametros geom´etricos:

b_7i= −2r_2i (3.2) D9i= 2r2i r_5i= −r_2i D_8i= D_9i 2. Articula¸c˜oes: q7i= q3i q_8i= q_4i= −q_3i q_4i= −q_7i q_5i= −q_2i−−π 2 (3.3) 3. For¸ca gravitacional. g= h 0 g 0 iT

Os valores dos parametros geometricos de cada cadeia cinem´atica s˜ao (i= 1,2,3):

D_4i=0.31 m

D_6i=0.03 m

r_2i=0.04 m

b=0.1 m

Os parâmetros geométricos são reagrupados no parâmetro ai que representa a distancia

entre as referências R0i da cadeia cinemática i e o centro da plataforma RP, quando o robô

está na posi¸cão isotrópica.

(46)

3.3 Modelo geom´

etrico

Os aspectos relacionados à cinemática do Orthoglide, tais como: modelo geométrico,

modelo cinemático, volume de trabalho, e análise de singularidades são apresentados por

Pashkevich (2006) e Pashkevich (2005) .

O modelo geom´etrico descreve o movimento das cadeias cinem´aticas e da plataforma m´

o-vel do robô. O modelo geométrico é apresentado separadamente nas duas se¸cões apresentadas

a seguir: Modelo Geométrico Direto da Cadeia i e Modelo Geométrico Inverso do Robô. A

nota¸c˜ao utilizada ´e: • 0_p P= h XP YP ZP iT

, posi¸cão da plataforma móvel, no ponto P em fun¸cão do sistema

de referˆencia R0. • 0_v P= h ˙ X_P Y˙_P Z˙_P iT

, velocidade linear da plataforma m´ovel, no ponto P em fun¸c˜ao do

sistema de referˆencia R0.

• 0_˙v P= h ¨ XP Y¨P Z¨P iT

, acelera¸cão linear na plataforma móvel, no ponto P em fun¸cão do

sistema de referˆencia R0.

• q=hq₁₁ q₁₂ q₁₃

iT

vetor dos deslocamentos lineares nos atuadores do robˆo.

• ˙q=hq˙₁₁ q˙₁₂ q˙₁₃

iT

vetor dos velocidades lineares nos atuadores do robˆo.

• ¨q=hq¨11 q¨12 q¨13

iT

vetor dos acelera¸c˜oes lineares nos atuadores do robˆo.

• qai=

h ˙

q1i q˙2i q˙3i

iT

vetor das posi¸c˜oes nas articula¸c˜oes independentes da cadeia

cine-m´atica i.

• q_pi=hq˙_4i q˙_5i q˙_7i

iT

vetor das posi¸cões nas articula¸cões passivas da cadeia cinemática

i.

3.3.1 Modelo geom´

etrico direto da cadeia i

Este modelo estabelece as coordenadas do ponto P, no sistema R₀, em fun¸c˜ao das

(47)

(no extremo da cadeia i, ponto P), é calculada na referência R0. Assim, a ramifica¸cão do

paralelogramo da cadeia cinem´atica da figura 3.4 ´e percorrida da seguinte maneira:

0_T

6i= 0T1i1iT2i2iT3i3iT4i4iT5i5iT6i (3.4)

Utilizando a defini¸cão da matriz de transforma¸cão na equa¸cão (3.1) e aplicando a

nota-¸c˜ao j´a utilizada para as matrizes iAj e ipj, pode-se determinar o modelo direto da cadeia

cinem´atica substituindo os valores das tabelas 3.2 e 3.1. Assim,

0_A 61=     0 1 0 0 0 1 1 0 0     e 0p61=     D₄₁C₂₁C₃₁ −D41S31 q11− D41S21C31+ D61     (3.5) 0_A 62=     1 0 0 0 1 0 0 0 1     e 0p62=     −a2+ q12− D42S22C32 D42C22C32 a− D42S32     (3.6) 0_A 63=     0 0 1 1 0 0 0 1 0     e 0p₆₃=     −D43C33 −a+ q13− D43S23C33 a+ D₄₃C₂₃C₃₃     (3.7)

Sendo C2i, S2i, C3i e S3i a abrevia¸c˜ao de cos(q2i), sin(q2i), cos(q3i) e sin(q3i)

0_p 61= 0p62= 0p63= h X_P Y_P Z_P iT (3.8)

A rela¸c˜ao (3.4), 0T1i pode ser decomposta em duas matrizes para as cadeias 2 e 3:

0_T

1i = 0T0i0iT1i (3.9)

(48)

0_T 02= "₀ A₀₂ 0p₀₂ 0_(1×3) 1 # =        0 0 1 −a2 1 0 0 0 0 1 0 a₁ 0 0 0 1        (3.10) 0_T 03= " 0_A 03 0p03 0_(1×3) 1 # =        0 1 0 0 0 0 1 −a3 1 0 0 a1 0 0 0 1        (3.11)

3.3.2 Modelo geom´

etrico inverso da cadeia cinem´

atica i

Este modelo fornece as vari´aveis articulares independentes qai em fun¸c˜ao das coordenadas

cartesianas no ponto P no sistema de referˆencia R0.

Estas rela¸cões são encontradas facilmente a partir das expressões de 0p_6i (para i= 1,2,3)

nas equa¸cões (3.5), (3.6), e (3.7). Assim, as variáveis articulares para as três cadeias cinem´

a-ticas:

q_3i= sin−1(−∆3i

D4i

) fisicamente poss´ıvel em: −π

2 < q3i< π

2 (3.12)

q_2i= cos−1( −∆2i

c(q_3i)D_4i) fisicamente poss´ıvel em: 0 < q2i< π (3.13)

q_1i= ∆_1i+ sin(q_2i)cos(q_3i)D_4i− D_6i (3.14) onde,          ∆11 =0ZP ∆21=0XP ∆31=0YP          ∆12=0XP+ a2 ∆22=0YP ∆32=0ZP− a1          ∆13=0YP+ a3 ∆23=0ZP− a1 ∆33=0XP