Matrizes2

Álgebra Linear g e

Geometria Analítica

Mais matrizes especiais Mais matrizes especiais

Matrizes em escada Matrizes em escada

E l Exemplo: ⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − 2 4 3 2 4 2 0 0 0 4 0 1 2 3 0 0 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − − − 2 0 1 1 3 0 0 0 0 2 4 3 2 4 2 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 1 2 5 0 0 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 0 −1

E l Exemplo: ⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − 2 4 3 2 4 2 0 0 0 4 0 1 2 3 0 0 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − − − 2 0 1 1 3 0 0 0 0 2 4 3 2 4 2 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 1 2 5 0 0 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 0 −1

E l Exemplo: ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − − 2 4 3 2 4 2 0 0 0 4 0 1 2 3 0 0 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − − − 2 0 1 1 3 0 0 0 0 2 4 3 2 4 2 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 2 5 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 3 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 0 −1

Matrizes condensadas Matrizes condensadas

E l Exemplo: ⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − 0 4 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 4 0 2 0 1 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 2 1 0 0 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 0 1

Mas afinal como reconhecer se Mas afinal como reconhecer se  uma matriz está ou não em forma uma matriz está ou não em forma 

Definição: Matriz em forma de escada Definição: Matriz em forma de escada i i á f d Diz‐se que uma matriz A_m×n está em forma de  escada se para toda a linha  i = 1, … , m t acontecer:

• Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são  nulas;

• Se a linha i não é nula e a_ikik é o seu primeiro  elemento não nulo, todos os elementos  da 

coluna k abaixo de  a_ik são nulos assim como os  elementos das colunas anteriores da linha k para  baixo.

Definição: Matriz em forma de escada (usando notação matemática)

Diz‐se que uma matriz A_m×n está em forma de  escada se para toda a linha  i = 1, … , mp

acontecer:

• _{Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula;} • _{Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula;}

• Se a linha i não é nula e a_ik é o seu primeiro  elemento não nulo, então para p > i e  q ≤ k, 

a_pq = 0.

Definição: PIVOT Definição: PIVOT

Quando uma matriz está em

f d d i i

forma de escada ao primeiro elemento não nulo de cada linha elemento não nulo de cada linha chama‐se pivot.

(NUMA LINHA NULA NÃO HÁ NENHUM PIVOT) (EM CADA COLUNA HÁ NO MÁXIMO UM PIVOT)

E l t i d Exemplo matriz em escada: ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − − 2 4 3 2 4 2 0 0 0 4 0 1 2 3 0 0 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − − − 2 0 1 1 3 0 0 0 0 2 4 3 2 4 2 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 2 5 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 3 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 0 −1

E l t i d Exemplo matriz em escada: ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − − 2 4 3 2 4 2 0 0 0 4 0 1 2 3 0 0 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − − − 2 0 1 1 3 0 0 0 0 2 4 3 2 4 2 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 3 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 0 0

Algumas considerações: Algumas considerações: • _{As linhas nulas ficam sempre na parte de}  baixo da matriz baixo da matriz • Pode haver colunas nulas em qualquer  posição

• Qualquer linha tem sempre o pivot para • Qualquer linha tem sempre o pivot para 

Definição: Matriz condensada Definição: Matriz condensada

Diz‐se que uma matriz A_m×n está na 

forma condensada se é uma matriz em forma condensada se é uma matriz em  escada  e:

• Todos os pivots são iguais a 1;

• Se a_ik é o pivot da linha i todos os 

elementos da coluna k acima de a são elementos  da coluna k acima de  a_ik são  nulos.

E l d t i d d Exemplo de matriz condensada: ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − 0 4 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 4 0 2 0 1 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 0 1

E l d t i d d Exemplo de matriz condensada: ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − − 2 4 3 2 0 1 0 0 0 4 0 1 2 0 0 0 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − − 2 0 1 1 1 0 0 0 0 2 4 3 2 0 1 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 1 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 0 0

Qualquer matriz pode ser  transformada numa matriz em  d escada ou numa matriz  condensada condensada

COMO? COMO?

Operações elementares Operações elementares

sobre sobre

Tipos de Operações Elementares Tipos de Operações Elementares ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − 7 6 3 4 5 0 1 4 3 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣−9 0 6 −1 2 7 6 3 4 5

Tipos de Operações Elementares Tipos de Operações Elementares Tipo I: Trocar duas linhas L₁ L₃ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ 2 3 − 4 1 0 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡−9 0 6 −1 2 1 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣−9 0 6 −1 2 7 6 3 4 5 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 3 −4 1 0 7 6 3 4 5

Tipos de Operações Elementares Tipos de Operações Elementares Tipo II:  Multiplicar uma linha por um escalar  não nulo ⎤ ⎡ 0.5L₁ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − 7 6 3 4 5 0 1 4 3 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − 7 6 3 4 5 0 5 . 0 2 5 . 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣−9 0 6 −1 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣−9 0 6 −1 2

Tipos de Operações Elementares Tipos de Operações Elementares Tipo III:  Somar a uma linha outra multiplicada  por um escalar  p L₂ L₂‐ 0.5L₁ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ 2 3 − 4 1 0 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ 2 3 − 4 1 0 2         2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣− 9 0 6 −1 2 7 6 3 4 5 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣−9 0 6 −1 2 7 5 . 5 5 5 . 2 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 9 0 6 1 2 ⎢⎣ 9 0 6 1 2⎥⎦

Exemplos: Exemplos: ⎤ ⎡0 1 0 1 2 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 1 1 0 0 1 2 1 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 1 0 1

Exemplos: Exemplos: ⎤ ⎡0 1 0 1 2 ⎡1 0 0 1 1⎤ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 1 1 0 0 1 2 1 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 2 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 1 0 1

Exemplos: Exemplos: ⎤ ⎡0 1 0 1 2 ⎡1 0 0 1 1⎤ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 1 1 0 0 1 2 1 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 2 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 ⎦ ⎣

Exemplos: Exemplos: ⎤ ⎡1 2 3 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 3

Exemplos: Exemplos: ⎤ ⎡1 2 3 ⎡1 2 3⎤ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 3 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 3 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0

Exemplos: Exemplos: ⎤ ⎡1 2 3 ⎡1 2 3⎤ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 3 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 3 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0

A partir de uma matriz podem se A partir de uma matriz podem‐se 

obter várias matrizes em escada, obter várias matrizes em escada,  mas uma única matriz condensada

Definição: 

Característica de uma matriz

í é

A característica de uma matriz A_m×n é igual ao número de linhas não nulas igual ao número de linhas não nulas numa sua forma de escada.

(é também igual ao número de colunas que têm um pivot e é igual colunas que têm um pivot e é igual ao número de pivots)

A uma coluna onde não há um pivot chama se coluna livre

chama‐se coluna livre.

A uma coluna onde há um pivot A uma coluna onde há um pivot chama‐se coluna principal.

EXEMPLO: Determinar a característica de: ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − = 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 A ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ = 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 A

Determinar a característica de: Determinar a característica de: ⎤ ⎡1 0 −1 2 −1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − = 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 A ⎥⎦ ⎢⎣1 0 0 1 1 L₃ L₃ + (‐1) L₁

Determinar a característica de: Determinar a característica de: ⎤ ⎡1 0 −1 2 −1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − = 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 A ⎥⎦ ⎢⎣1 0 0 1 1 L₃ L₃ + (‐1) L₁ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 A

Determinar a característica de: Determinar a característica de: ⎤ ⎡1 0 −1 2 −1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − = 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 A ⎥⎦ ⎢⎣1 0 0 1 1 L₃ L₃ + (‐1) L₁ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 A

⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − = 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 A ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − = 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 A A matriz está em forma de escada. Há 3 pivots         A matriz tem característica 3.

As colunas principais são as 3 primeiras e as duas As colunas principais são as 3 primeiras e as duas  últimas são as livres;

Determinar a característica de: Determinar a característica de: ⎤ ⎡ 1 − 2 3 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − 10 11 9 3 2 5 3 2 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − − = 4 8 6 4 10 11 9 3 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 18 4 1 1 0 5 3 0 ⎥⎦ ⎢⎣−1 1 − 4 18

Determinar a característica de: Determinar a característica de: ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 − 2 3 0 ⎤ ⎡ 1 − 2 3 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ _{− −} 10 2 3 0 2 1 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − 10 11 9 3 2 5 3 2 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − − 4 4 2 0 10 2 3 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − − = 4 8 6 4 10 11 9 3 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − 18 1 1 0 0 5 3 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 18 4 1 1 0 5 3 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 −1 −1 18 ⎥⎦ ⎢⎣−1 1 − 4 18

Determinar a característica de: Determinar a característica de: ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 − 2 3 0 _{⎡1 − 2 3 0⎤} ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − − − 10 2 3 0 2 1 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − 4 1 0 0 2 1 1 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − − 4 4 2 0 10 2 3 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − − 8 2 0 0 4 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − 18 1 1 0 0 5 3 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 16 2 0 0 6 2 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 1 1 18 _{⎢⎣0 0 − 2 16⎥⎦}

Determinar a característica de: Determinar a característica de: ⎤ ⎡1 − 2 3 0 ⎡1 − 2 3 0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − 4 1 0 0 2 1 1 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − 4 1 0 0 2 1 1 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − − 8 2 0 0 4 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ 0 0 0 0 4 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 16 2 0 0 6 2 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0 8 2 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 2 16 ⎢⎣0 0 0 8⎥⎦

Determinar a característica de: Determinar a característica de: ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 − 2 3 0 _⎡1 − _{2 3 0⎤} ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ _{− −} 4 1 0 0 2 1 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − 4 1 0 0 2 1 1 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − 0 0 0 0 4 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ 8 0 0 0 4 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0 8 2 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0 0 2 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 8 ⎢⎣_{0 0 0 0}⎥⎦

Determinar a característica de: ⎤ ⎡1 − 2 3 0 ⎤ ⎡1 − 2 3 0 Determinar a característica de: ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − −1 2 1 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − −1 2 1 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − 8 0 0 0 4 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − 8 0 0 0 4 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0 0 2 0 0 0 8 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0

Determinar a característica de: ⎤ ⎡1 − 2 3 0 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡1 − 2 3 0 Determinar a característica de: ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − −1 2 1 0 0 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − − − 4 1 0 0 2 1 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ − 8 0 0 0 4 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ₋ 8 0 0 0 4 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0 0 2 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 A t i tá f d d A matriz está em forma de escada.  Há 4 pivots. p A característica da matriz é 4.