Determinante de Matrizes n × n

(1)

Matrizes de Determinantes

´

Algebra Linear BC1425

UFABC

Julho/2016

´

Algebra Linear BC1425 (UFABC) Matrizes de Determinantes Julho/2016 1 / 26

Transposi¸c˜ao de Matrizes

Atranspostada matriz A, denotada porAt _ou_AT_{, ´e a matriz obtida}

escrevendo-se as linhas deA, em ordem, como colunas:

   

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n

· · · · am1 am2 · · · amn

    t

=

    

a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2

..

. ... ... ... a1n a2n · · · amn

    

Ou seja, seA= (aij)∈Mm×_n(R) ent˜ao At = (a_ji)∈M_n×_m(R).

Observa¸c˜ao: A transposta de uma matriz linha ´e uma matriz coluna e vice-versa.

´

Exemplo

Seja

A=

 

1 2

2 1 3 −1

 

3×2

Ent˜ao

At =

1 2 3

2 1 −1

2×3

´

Propriedades da transposta de uma matriz

1 (A+B)t=At+Bt

2 (_α·_A)t=_α·_At, _α escalar

3 (At)t=A

4 Se _A_m_×_n(_R) e _B ∈_M_n_×_p(_R) ⇒ (_A·_B)t=_Bt·_At

5 Seja Auma matriz quadrada. Ent˜ao

A´e sim´etrica ⇔ At =A.

(2)

Determinantes

O determinantede uma matriz quadrada A= (aij) de ordem n´e o n´umero

denotado por

det(A) ou |A|

ou ainda

a11 a12 · · ·a1j · · ·a1n

a21 a22 · · ·a2j · · ·a2n

..

. ... ...

ai1 ai2 · · ·aii · · ·ain

..

. ... ...

an1 an2 · · ·anj · · ·ann ´

Casos particulares

Determinante de matrizes 1×1

Se A= (a11) ent˜ao det(A) =a11

Determinante de matrizes 2×2

Seja A=

a11 a12

a21 a22

. Odeterminante deA´e

det(A) =

a11 a12

a21 a22

=a11a22−a12a21

´

Determinante de matrizes 3

×

3

Seja A=

 

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 

. Odeterminante deA´e

det(A) =a11

a22 a23

a32 a33

−a12

a21 a23

a31 a33

+a13

a21 a22

a31 a32 . Podemos escrever

det(A) =a11det(A11)−a12det(A12) +a13det(A13)

onde,

A11=

a22 a23

a32 a33

, A12=

a21 a23

a31 a33

, A13

a21 a22

a31 a32

s˜ao chamadas submatrizesde ordem 2 da matriz A.

Exemplos

1 Calcule o determinante de A=

 

5 −3 2

1 0 2

2 −1 3

 

Solu¸c˜ao

det(A) = 5

0 2

−1 3

−(−3)

1 2 2 3 + 2 1 0

2 −1

= (5(0−(−2)) + 3(3−4) + 2(−1−0)

= 5(2) + 3(−1) + 2(−1) = 5.

 

2 1 1

0 5 −2

1 −3 4

 

 

1 2 3

4 −2 3

0 5 −1

(3)

Determinante de Matrizes

_n

×

_n

Defini¸c˜ao

Seja A= (aij) uma matriz de ordemn, comn≥2. Odeterminante deA´e

definido por

det(A) =a11det(A11)−a12det(A12) +· · ·+ (−1)1+na1ndet(A1n)

´

Cofator

Seja Auma matriz quadrada de ordemn:

Ocofator do elementoaij da matriz A´e definido por

∆ij = (−1)i+jdet(Aij),

ondeAij ´e a submatriz quadrada de ordem (n−1) de Aobtida por

elimina¸cão da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

´

Teorema (Expans˜ao de Laplace)

O determinante de uma matriz quadrada A= (aij) de ordem n, com

n ≥2, pode ser calculada por

det(A) =ai1∆i1+ai2∆i2+· · ·+ain∆in

chamado de expans˜ao de cofatores pela a i -´esima linha, ou por

det(A) =a1j∆1j +a2j∆2j +· · ·+anj∆nj

chamado de expans˜ao de cofatores pela a j -´esima coluna.

´

Exemplos

1 Calcule o determinante de _A=

 

5 −3 2

1 0 2

2 −1 3



usando

◮ expans˜ao de cofatores pela terceira linha

◮ expans˜ao de cofatores pela segunda coluna.

Solu¸c˜ao

◮ det(A) =a31∆31+a32∆32+a33∆33 ◮ det(A) =a12∆12+a22∆22+a32∆32

   

2 −3 0 1

5 4 2 0

1 −1 0 3

−2 1 0 0

   

(4)

Teorema

Seja A= (aij) uma matriz triangular de ordemn, ent˜ao

det(A) =a11a22· · ·ann.

´

Algumas propriedades dos determinantes

As seguintes propriedades reduzir˜ao o esfor¸co computacional:

P1 Se Atem uma linha (ou coluna) nula ⇒det(A) = 0

P2 det(A) =det(At₎

Se A=

 

3 2 8

−2 5 0

1 −1 0



 ent˜ao At =  

3 −2 1

2 5 −1

8 0 0

 

P3 A(Li →αLi)B ⇒ det(B) =αdet(A)

A=

 

2 3 −4

0 −4 2

1 −1 5

 ∼

 

2 3 −4

0 −2 1

1 −1 5

 =B

usando (L2 → 1₂L2). Ent˜aodet(B) = 1₂det(A).

´

...continua¸c˜ao

P4 A(Li ↔Lj)B ⇒ det(B) =−det(A)

A=

 

2 1 1

0 5 −2

1 −3 4

 ∼

 

0 5 −2

2 1 1

1 −3 4

 =B

usando (L1↔L2). Ent˜aodet(B) =−det(A).

P5 SeA tem duas linhas (ou colunas) iguais ⇒ det(A) = 0

A=

 

2 1 3

1 −3 4

 ∼

 

2 1 3

1 −3 4

 =A

usando (L1↔L2). Ent˜aodet(A) =−det(A). Logo

2det(A) = 0 ou seja det(A) = 0.

...continua¸c˜ao

P6 A(Lj →Lj +αLi)B ⇒ det(B) =det(A)

A=

 

1 4 1

0 1 2

−2 −3 1

 ∼

 

1 4 1 0 1 2 0 5 3

 =B

(5)

Observa¸c˜ao:

O determinante da soma N˜AO ´e a soma dos determinantes. De fato, sejam

A=

1 0 0 1

e B=

−1 0

0 −1

ent˜ao

A+B=

0 0 0 0

Observemos que:

2 =det(A) +det(B)6=det(A+B) = 0.

Em geral

det(A+B)6=detA+detB

´

Exemplo 1

Seja A=

   

0 2 −4 5

3 0 −3 6

2 4 5 7

5 −1 −3 1

   

. Calcule det(A).

Usando as opera¸c˜oes

1 _L₁ ↔_L₂

2 _L₁ → 1

3L1

3 L₃ →L₃+ (−2)L₁ e L₄→L₄+ (−5)L₁ 4 L₂ ↔L₄

5 _L₃ →_L₃+ 4_L₂ e _L₄→_L₄+ 2_L₂ temos que det    

0 2 −4 5

3 0 −3 6

2 4 5 7

5 −1 −3 1

   

= 3det

   

1 0 −1 2

0 −1 2 −9

0 0 15 −33

0 0 0 −13

    = 585 ´

Exemplo 2

Seja A=

   

−1 2 3 −4

4 2 0 0

−1 2 −3 0

2 5 3 1

   

. Calcule det(A).

Usando o desenvolvimento de Laplace pela segunda linha:

det(A) = a21∆21+a22∆22

= 4(−1)2+1_det₍_A

21) + 2(−1)2+2det(A22)

Observe que

At =

   

−1 4 −1 2

2 2 2 5

3 0 −3 3

−4 0 0 1

    ∼    

−5 0 −5 −8

2 2 2 5

3 0 −3 3

−4 0 0 1

   

=B

usandoL1 →L1+ (−2)L2

´

P2 e P6implicam que det(A) =det(At_{) =}_det₍_B₎

Usando o desenvolvimento de Laplace pela segunda coluna temos

det(B) =a22∆22= 2det(A22)

onde

B22=  

−5 −5 −8

3 −3 3

−4 0 1

 ∼

 

−10 0 −13

3 −3 3

−4 0 1

 =C

usando (L1 →L1+ (−5₃L2)). Ent˜ao

det(B22) =det(C) = 186

Logo det(A) = 2(186) = 372

(6)

Determinante de ordem 3

Considere um produto de 3 elementos da matriz Atais que um e somente

um elemento provenha de cada linha e um e somente um elemento provenha de cada coluna. Esse produto pode ser escrito como

a1j1a2j2a3j3.

Observemos que:

1 os fatores s˜ao obtidos de linhas sucessivas e, assim, os primeiros

´ındices est˜ao na ordem natural: 1,2,3.

2 como os fatores s˜ao obtidos de colunas diferentes, a sequˆencia dos

segundos ´ındices forma umapermuta¸c˜ao

j1j2j3

Assim, a matriz Acont´em 3! = 6 desses produtos.

´

Uma permuta¸c˜aoj1j2j3 tem uma invers˜ao se um inteiro maiorjr precede

um inteiro menor

J=J(j1j2j3) = número de inversões da permuta¸cãoj1j2j3

´

permuta¸c˜ao no _{de invers˜}_oes

1 2 3 J(123) = 0

1 3 2 J(132) = 1 pois 3>2 2 1 3 J(213) = 1 pois 2>1 2 3 1 J(231) = 2 pois 3>1 e 2>1 3 1 2 J(312) = 2 pois 3>1 e 3>2 3 2 1 J(321) = 3 pois 3>1, 3>2 e 2>1

Definimos o determinante de Apor

det(A) = (−1)0_a

11a22a33+ (−1)1a11a23a32+ (−1)1a12a21a33

+(−1)2_a

12a23a31+ (−1)2a13a21a32+ (−1)3a13a22a31

ou seja

a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31

Em geral, o determinante da matriz A= (aij) de ordem n, ´e

det(A) =X

ρ

(−1)Ja1j1a2j2· · ·anjn

ondeρ indica que a soma ´e considerada sobre todas as permuta¸c˜oes de n

(7)

Exerc´ıcios

(1) Mostre que det

   

5 4 2 1

2 3 1 −2

−5 −7 −3 9

1 −2 −1 4

   

= 38

(2) Encontre todos os valores deλ para os quais odet(A) = 0

(a) A=

λ−2 1

−5 λ+ 4

e A=

λ−1 0

0 λ+ 4

(b) A= 



λ−4 0 0

0 λ 2

0 3 λ−1



 e A= 



λ−4 4 0

−1 λ 0

0 0 λ−5





(3) Sem calcular diretamente o determinante, explique por quex = 0 e

x = 2 satisfazem a equa¸c˜ao:

det

 

x2 _x ₂

2 1 1

0 0 −5

 = 0

´

(4) Mostre que det(A) = 0 sem calcular o determinante diretamente:

(a) A=

   

−2 8 1 4

3 2 5 1

1 10 6 5

4 −6 4 −3

   

(b) A=

     

−4 1 1 1 1

1 −4 1 1 1

1 1 −4 1 1

1 1 1 −4 1

1 1 1 1 −4

     

(5) Se A´e uma matriz de ordem 4, tal quedet(A) =−2. Determine: (i) det(−A) (ii) det(A3) (iii) det(At_).

(6) Indique se a afirma¸c˜ao dada ´e verdadeira ou falsa. Justifique. (i) det(I +A) = 1 +det(A) (ii)det(A4_{) = [}_det₍_A_)]4

(iii) det(3A) = 3det(A).

´