Organização do ensino de matemática na perspectiva do desenvolvimento do pensamento teórico

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SANDRA CRESTANI

ORGANIZAÇÃO DO ENSINO DE MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DO DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO TEÓRICO: UMA REFLEXÃO A

PARTIR DO CONCEITO DE DIVISÃO

Tubarão 2016

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Crestani, Sandra, 1976-

C94 Organização do ensino de matemática na perspectiva do desenvolvimento do pensamento teórico : uma reflexão a partir do conceito de divisão / Sandra Crestani ; -- 2016.

126 f. il. color. ; 30 cm

Orientadora : Josélia Euzébio da Rosa.

Dissertação (mestrado)–Universidade do Sul de Santa Catarina, Tubarão, 2016.

Inclui bibliografias.

1. Ensino. 2.Matemática – Estudo e ensino. 3. Matemática - Problemas, exercícios, etc. 4. Educação – teoria. I. Rosa, Josélia Euzébio da. II.Universidade do Sul de Santa Catarina –

Mestrado em Educação. III. Título.

CDD (21. ed.) 371.102 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

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Aos professores comprometidos com a formação omnilateral humana, em especial, minha orientadora Josélia.

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A Deus, primeiramente, pela dádiva da vida, pela oportunidade bendita de estar neste mundo, superando a cada dia minhas limitações. E por ter colocado no meu caminho pessoas tão especiais, que muito contribuíram para a realização deste trabalho.

A meus pais, Otávio (em memória) e Valdeci, pelo amor, zelo e educação, mesmo diante das dificuldades.

À minha orientadora Profa. Dra. Josélia Euzébio da Rosa, pela paciência, carinho e confiança tão necessários em minha caminhada; pelas suas valiosas correções e contribuições e por seu exemplo de ser humano e profissional. Sou grata por todo o aprendizado que me proporcionou, sobretudo, por me mostrar a importância de nos constituirmos como grupo, de me ensinar a compartilhar coletivamente os estudos realizados, as dúvidas, os anseios, mostrando-me que, assim, podemos ir mais longe.

Ao meu marido, Airto e meus filhos Ramiro e Artur, pelo apoio, amor e compreensão.

Ao meu irmão e amigo Alexandre, pelo incentivo, apoio e amizade incondicional. Aos professores participantes da banca de qualificação e defesa Prof. Dr. Ademir Damazio, Prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura, Profa. Dra. Letícia Carneiro Aguiar e Prof. Dr. Gilvan Luiz Machado Costa, pela paciência, compreensão e, principalmente, por compartilharem seus conhecimentos, contribuindo para o aperfeiçoamento deste trabalho.

Aos professores e funcionários da Unisul, por contribuírem, de uma forma ou de outra, com minha formação, em especial às professoras doutoras: Graça, Leonete, Fátima, Tânia e a secretária do PPGE, Daniela, que, no exercício de sua função, destacou-se pela atenção, presteza e competência no trato com todos.

Aos colegas da unidade de relacionamento catarinense do GEPAPe (GPEMAHC/TEDMAT), pelas contribuições e discussões teóricas realizadas durante todo o percurso investigativo, em especial à minha querida amiga Daiane.

Aos amigos, companheiros do curso, Gi, Ana, Cris, Bia, Mariana e Cléber, pela amizade e parceria tão importantes na caminhada acadêmica. Obrigada pelas discussões e reflexões realizadas durante o curso, e que muito contribuíram na produção desse trabalho.

A Gi, Ediséia, Cris e Ana, pela leitura atenta e pelas valiosas contribuições. Cris, obrigada pela companhia tão importante nas viagens a Tubarão. Foi nessas idas e vindas que nasceu em nós uma linda amizade!

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momento em que mais precisei.

Às alunas do curso de Pedagogia da Unisul, pelo aprendizado obtido durante o período de estágio docente. Foi muito bom tê-las conhecido e convivido com vocês durante todo o segundo semestre de 2015!

À Fundação de Amparo à Pesquisa e Inovação do Estado de Santa Catarina (FAPESC), pela bolsa concedida para a realização desta pesquisa.

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“Temos de assegurar as duas pontas da corrente: revolucionar o ensino, o que implica em revolução social e dar nossa aula amanhã cedo” (George Snyders).

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O foco da pesquisa inside no modo de organização de ensino do conceito de divisão proposto por Davýdov. O pressuposto é que a obra davydoviana pode contribuir para repensarmos a Educação Matemática brasileira, com a finalidade de promover o desenvolvimento do pensamento teórico por meio da apropriação dos conceitos científicos. Davýdov propõe, a partir dos fundamentos da Teoria do Ensino Desenvolvimental, que o ensino dos conceitos matemáticos seja organizado por meio de tarefas de estudos, constituídas de seis ações, cujo desenvolvimento ocorre durante a resolução de um sistema de tarefas particulares. A hipótese é que as ações de estudo, referentes ao conceito de divisão, são interconectadas pela sua relação geneticamente inicial, universal. Nesse sentido, investigamos as manifestações da relação universal do conceito de divisão, nas tarefas particulares e sua conexão com as seis ações de estudo. A fonte de dados da pesquisa, de caráter bibliográfico, foi a obra de Davýdov. Durante o procedimento de análise fundamentou-se na Teoria Histórico-Cultural, mais especificamente nos Fundamentos Matemáticos, Lógicos, Psicológicos, Didáticos e Filosóficos. Os procedimentos para a efetivação da pesquisa foram: estudo das seis ações davydovianas e dos Fundamentos Matemáticos do conceito de divisão; análise das tarefas davydovianas para identificação dos elementos que compõem a relação genética do referido conceito e revelação de sua conexão interna; seleção das tarefas que compõem o sistema correspondente às seis ações de estudo; discussão teórica com base nos fundamentos da Teoria do Ensino Desenvolvimental. Constatou-se que, na proposição davydoviana, a conexão interna do conceito de divisão é revelada no movimento de modelação que segue do plano objetal ao gráfico e literal. Os elementos que compõem tal conexão são: as unidades básica e intermediária, bem como o total de ambas. A gênese do conceito, na interconexão desses elementos, desencadeia um movimento conceitual orientado do geral para o particular e singular por meio da interconexão das significações algébricas, geométricas e aritméticas. Após a resolução da problemática de pesquisa, com base na revelação da relação universal do conceito de divisão e de sua manifestação nas tarefas particulares correspondentes às seis ações de estudo, finalizamos a dissertação com uma reflexão sobre as possibilidades de objetivação do pressuposto inicial, a partir do seguinte questionamento: como a obra davydoviana pode contribuir para as reflexões sobre a Educação Matemática brasileira, com a finalidade de promover o desenvolvimento do pensamento teórico, por meio da apropriação científica dos conceitos? Para tanto, estabelecemos um diálogo com os pressupostos teóricos da Atividade Orientadora de Ensino (AOE), desenvolvida pelo professor Manoel Oriosvaldo de Moura e seus seguidores, no contexto do Grupo de Estudos e Pesquisa sobre a Atividade Pedagógica, tendo como referência os mesmos fundamentos teóricos da proposição davydoviana. Dentre os recursos propostos pela AOE elaboramos e desenvolvemos matematicamente uma história virtual. O conceito norteador é o de divisão, inter-relacionado com outros conceitos matemáticos, principalmente, o de multiplicação, uma vez que ambos conformam um sistema conceitual cuja relação interna, de origem, é a mesma. Além disso, refletimos sobre alguns elementos teóricos que fundamentam o movimento conceitual, tais como a relação entre o abstrato e o concreto e o movimento entre geral, particular e singular. Trata-se, portanto, da objetivação do movimento conceitual proposto nas tarefas davydovianas no desenvolvimento de uma história virtual.

Palavras-chave: Modo de organização do ensino. Conceito de divisão. Pensamento teórico. Ensino desenvolvimental. Davýdov.

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RESUMEN

El foco de la investigación es sobre la manera de organización de la enseñanza del concepto de división propuesto por Davýdov. El presupuesto es que la obra de Davýdov puede contribuir para repensar la Educación Matemática brasileña con el objetivo de promover el desarrollo del pensamiento teórico por medio de la apropiación científica de los conceptos. Desde los fundamentos de la Teoría de la Enseñanza y del Desarrollo, Davýdov propone que la enseñanza de los conceptos de Matemático sea organizada por medio de tareas de estudio, constituidas por seis acciones cuyo desarrollo ocurre durante la resolución de un sistema de tareas particulares. La hipótesis es que las acciones de estudio referentes al concepto de división son interconectadas por su relación genéticamente inicial y universal. En ese sentido son investigadas, en ese trabajo, las manifestaciones de la relación del concepto de división en las tareas particulares, y en conexión con las seis acciones de estudio. La fuente de datos de la investigación bibliográfica fue la obra de Davýdov. Durante el procedimiento de análisis la fundamentación fue la Teoría Histórico-Cultural, específicamente en los Fundamentos Matemáticos, Lógicos, Psicológicos, Didácticos y Filosóficos. Los procedimientos para realizar la investigación fueron: estudio de las seis acciones de Davýdov y de los Fundamentos Matemáticos del concepto de división; análisis de las tareas de Davýdov para identificación de los elementos que componen la relación genética del referido concepto y revelación de su conexión interna; selección de las tareas que componen el sistema correspondiente a las seis acciones de estudio; e discusión teórica basada en los fundamentos de la Teoría de la Enseñanza e del Desarrollo. Fue constatado que en la proposición de Davýdov, la conexión interna del concepto de división es revelada en el movimiento de modelación que sigue del plan de lo objeto para el grafico y literal. Los elementos que componen esa conexión son su unidad básica, intermediaria, y su total. La génesis del concepto, en la interconexión de eses elementos, desencadena un movimiento conceptual cuya orientación es del general para el particular o singular, por medio de la interconexión de las significaciones algébricas, geométricas o aritméticas. Después de la resolución del problema de la investigación y por medio de la relación universal del concepto de división y de su manifestación en las tareas particulares correspondientes a las seis tareas de estudio, la disertación es finalizada con una reflexión sobre las posibilidades de objetivación del presupuesto inicial por medio del siguiente cuestionamiento: ¿cómo la obra de Davýdov puede contribuir para las reflexiones sobre la Educación Matemática brasileña con el objetivo de impulsar el desarrollo del pensamiento teórico por medio de la apropiación científica de los conceptos? Para ello, establecemos un diálogo con la Actividad Orientadora de Enseñanza (AOE), desarrollada por el profesor Manoel Oriosvaldo de Moura y sus seguidores en el contexto del Grupo de Estudios E investigación sobre la Actividad Pedagógica, desde los mismos fundamentos teóricos de la proposición de Davýdov. Entre los recursos propuestos por la AOE, nosotros elaboramos y desarrollamos matemáticamente una historia virtual. El concepto conductor es la división, interrelación con otros conceptos matemáticos, principalmente el de la multiplicación, una vez que ambos forman un sistema conceptual cuya relación interna, de origen, es la misma. Además, reflexionamos sobre algunos elementos teóricos que fundamentan el movimiento conceptual, cómo la relación entre el abstracto y el concreto, y el movimiento entre general, particular y singular. Por lo tanto, es la objetivación del movimiento conceptual propuesto en las tareas de Davýdov en el desarrollo de una historia virtual.

Palabras-clave: Educación Matemática. Modo de organización de la enseñanza. Concepto de división. Desarrollo del pensamiento teórico.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Ilustração 1 - Esquema síntese da pesquisa ... 32

Ilustração 2 - Elementos que compõem a relação essencial do conceito de divisão ... 41

Ilustração 3 - 1ª tarefa, transferência de líquidos... 43

Ilustração 4 - 1ª tarefa, unidade de medida básica e unidade de medida intermediária (volumes A e C) ... 43

Ilustração 5 - 1ª tarefa: relação quantitativa entre unidade de medida básica e intermediária . 44 Ilustração 6 - Modelo objetal, gráfico e literal ... 46

Ilustração 7 - 2ª tarefa: figura parcialmente oculta e esquema de setas ... 48

Ilustração 8 - 2ª tarefa: figura parcialmente oculta e dados no esquema de setas ... 48

Ilustração 9 - 2ª tarefa: figura parcialmente oculta e esquema correspondente para M = 21 ... 49

Ilustração 10 - 2ª tarefa: resolução de 21 ÷ 3 =___ na reta numérica... 49

Ilustração 11 - 2ª tarefa: representação gráfica (esquema) ... 54

Ilustração 12 - 2ª tarefa: representação gráfica (reta numérica) ... 55

Ilustração 13 - 2ª tarefa: representação gráfica (esquema) ... 55

Ilustração 14 - 2ª tarefa: representação gráfica (esquema e reta) ... 56

Ilustração 15 - 3ª tarefa: esquema abstrato ... 58

Ilustração 16 - 4ª tarefa: representação gráfica ... 59

Ilustração 17 - 4ª tarefa: representação da multiplicação no esquema ... 60

Ilustração 18 - 4ª tarefa: resultado da operação de multiplicação no esquema ... 60

Ilustração 19 - 4ª tarefa: representação da operação de divisão ... 60

Ilustração 20 - 4ª tarefa: representação da divisão no esquema ... 61

Ilustração 21 - 4ª tarefa: modelo gráfico e literal ... 61

Ilustração 22 - Transformação do modelo ... 63

Ilustração 23 - 5ª tarefa: representação dos dados no esquema de setas ... 64

Ilustração 24 - 5ª tarefa: representação da operação de multiplicação 8 x 6 no esquema ... 64

Ilustração 25 - 5ª tarefa: representação no esquema setas dos dados contidos na reta ... 64

Ilustração 26 - 5ª tarefa: representação gráfica da operação de divisão ... 65

Ilustração 28 - 5ª tarefa: representação dos dados no esquema ... 65

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Ilustração 34 - 6ª tarefa: representação no esquema da divisão da soma pelo número ... 68

Ilustração 35 - 6ª tarefa: representação da transformação do modelo gráfico ... 68

Ilustração 36 - Quarta ação de estudo ... 69

Ilustração 37 - 7ª tarefa: representação gráfica da conversão de medidas... 71

Ilustração 39 - 7ª tarefa: quadro da correlação entre unidades de comprimento ... 72

Ilustração 40 - 8ª tarefa: operação da divisão pelo método da decomposição numérica ... 73

Ilustração 41 - 8ª tarefa: explicitação dos elementos da relação universal no algoritmo da divisão ... 74

Ilustração 42 - 4ª tarefa: modelo literal no algoritmo ... 74

Ilustração 43 - 9ª tarefa: operação da divisão no algoritmo ... 74

Ilustração 44 - 9ª tarefa: operação da divisão no algoritmo ... 75

Ilustração 45 - 9ª tarefa: operação de divisão no algoritmo ... 75

Ilustração 46 - 10ª tarefa: esquema e figura quadriculada ... 77

Ilustração 49 - 11ª tarefa: verificação do resto da operação de divisão ... 78

Ilustração 50 - 11ª tarefa: divisão na régua... 79

Ilustração 54 - Ação de controle e avaliação ... 82

Quadro 1 - Síntese das seis ações de estudo ... 83

Ilustração 55 - História Virtual: “A produção de laços de Dona Baratinha” ... 88

Ilustração 56 - Relação entre a grandeza comprimento ... 91

Ilustração 57 - Relação entre a grandeza comprimento ... 92

Ilustração 58 - Quantidade de palmos ... 93

Ilustração 59 - Relação entre A, B e C ... 94

Ilustração 60 - Introdução da primeira seta no esquema ... 94

Ilustração 61 - Introdução da segunda seta no esquema ... 95

Ilustração 62 - Introdução da terceira seta no esquema ... 95

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Ilustração 66 - Esquema parcial, representativo da unidade de medida intermediária... 99

Ilustração 67 - Esquema de setas representativo da operação de divisão n ÷ 4 = _____ ... 99

Ilustração 68 - Modelo representativo da operação de divisão ... 100

Ilustração 69 - 1ª tarefa: esquema de setas representativo da operação de divisão ... 101

Ilustração 70 - 1ª tarefa: operação de divisão na reta numérica ... 101

Ilustração 71 - 1ª tarefa: esquema de setas da operação 16 ÷ 4 = 4... 101

Ilustração 72 - 2ª tarefa: esquema de setas representativo da operação 23 ÷ 4 = _____ ... 102

Ilustração 73 - 2ª tarefa: operação de divisão com resto, na reta numérica ... 102

Ilustração 74 - 2ª tarefa: esquema representativo da operação 23 ÷ 4 = 5 (resto 3) ... 103

Ilustração 75 - 3ª tarefa: decomposição do dividendo ... 103

Ilustração 76 - 3ª tarefa: representação do algoritmo: 4 centenas ÷ 4 = 1 centena ... 104

Ilustração 77 - 3ª tarefa: representação do algoritmo: 8 dezenas ÷ 4 = 2 dezenas ... 104

Ilustração 78 - 3ª tarefa: representação do algoritmo: 4 unidades ÷ 4 = 1 unidade ... 104

Ilustração 79 - 4ª tarefa: representação do algoritmo: 132 ÷ 4 =___ ... 105

Ilustração 80 - 4ª tarefa: representação do algoritmo: 1 centena ÷ 4 = ____ centena ... 105

Ilustração 81 - 4ª tarefa: representação do algoritmo: 1 centena ÷ 4 = 0 centena ... 105

Ilustração 82 - 4ª tarefa: representação do algoritmo: 13 dezenas ÷ 4 = ____ dezenas ... 106

Ilustração 83 - 4ª tarefa: representação do algoritmo: 13 dezenas ÷ 4 = 3 dezenas (resto 1 dezena) ... 106

Ilustração 84 - 4ª tarefa: representação do algoritmo de 12 unidades ÷ 4 = 3 unidades ... 106

Ilustração 85 - 5ª tarefa: representação na reta numérica 4 x 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 ↔ 4 x 5 = 20 ... 107

Ilustração 86 - Comprimentos de palmos diferentes ... 107

Ilustração 87 - Carta para Dona Baratinha ... 108

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AOE - Atividade Orientadora de Ensino

GEPAPe - Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Atividade Pedagógica

GPEMAHC - Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma abordagem Histórico-Cultural

SAEB - Sistema de Avaliação da Educação Básica

TEDMAT - Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática UNESC - Universidade do Extremo Sul Catarinense

UNISUL - Universidade do Sul de Santa Catarina USP - Universidade de São Paulo

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APRESENTAÇÃO ... 14 1 INTRODUÇÃO ... 16 2 PROPOSIÇÃO DAVYDOVIANA PARA O CONCEITO DE DIVISÃO NO CONTEXTO DAS SEIS AÇÕES DE ESTUDO ... 33 3 POSSIBILIDADES DE OBJETIVAÇÃO DO PRESSUPOSTO E FINALIDADE DA PESQUISA ... 84 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 115 REFERÊNCIAS ... 119

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APRESENTAÇÃO

Diante do contexto atual da educação em nosso país, das reformas e tentativas de superação, almejamos, com a presente pesquisa, contribuir para as reflexões sobre o modo de organização de ensino concernente à indissociabilidade entre conteúdo e método, no contexto da atividade de estudo, com base na obra de Davýdov. O pressuposto é de que a proposição davydoviana possa contribuir para repensarmos a Educação Matemática brasileira e o modo de organização de ensino.

De acordo com Davídov (1988, p. 27, tradução nossa), a totalidade da “atividade espiritual das pessoas está determinada pela prática social [...]”. No contexto histórico e social, a atividade essencial do homem consiste no trabalho, que assegura as transformações humanas e sociais. Na concepção davydoviana, a atividade profissional é precedida pela atividade de estudo, responsável por desenvolver as premissas necessárias para a realização da atividade de trabalho e, principalmente, o desenvolvimento das capacidades mentais dos estudantes. Estes, quando em atividade de estudo, reproduzem os conhecimentos elaborados historicamente pela humanidade. A atividade de estudo consiste em “um dos tipos de atividade reprodutiva das crianças [...]” (DAVÍDOV, 1988, p. 159, tradução nossa). Decorre, pois, da necessidade de investigações que apontem possibilidades de desenvolvimento da atividade de estudo em suas máximas possibilidades.

A educação escolar, de acordo com Davídov (1987, p. 147, tradução nossa), “pode e deve mudar o tipo geral e os ritmos gerais de desenvolvimento psíquico das crianças, nos diferentes níveis de ensino”. Para tanto, faz-se necessário repensar tanto o conteúdo quanto os métodos de ensino adotados (DAVÝDOV, 1982). É nessa direção que transitamos na investigação que gerou a presente dissertação. Davýdov, organizou o ensino dos conceitos matemáticos, com base em seis ações de estudo, que se tornaram referência para o aprofundamento teórico, no contexto da atividade de estudo, voltada para o ensino do conceito de divisão. Para tanto, elegemos os princípios da Teoria Histórico-Cultural para a sustentação da análise empreendida.

A opção por essa proposição, denominada de Ensino Desenvolvimental, decorre da possibilidade anunciada por seus autores em desenvolver o pensamento dos estudantes no plano teórico, por meio da apropriação dos conhecimentos científicos. A fim de refletirmos sobre tal proposição, no contexto da organização do ensino brasileiro, estabelecemos um diálogo com a Atividade Orientadora de Ensino (AOE) (MOURA et al., 2010a, 2010b) articulada com a base teórica de Davýdov. Para tanto, desenvolvemos um problema

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desencadeador, para o ensino do conceito de divisão, que contemple o pressuposto teórico da AOE e da Teoria do Ensino Desenvolvimental. Tal possibilidade ocorre por entendermos que o problema desencadeador de aprendizagem, peculiar à AOE, tem aproximações com as tarefas de estudo propostas pela Teoria do Ensino Desenvolvimental (MORAES, 2008). Ambas contemplam as condições necessárias para o estudante alcançar o objetivo da atividade de ensino: o desenvolvimento do pensamento teórico.

Nesse sentido, adotamos como princípio a inter-relação entre o desenvolvimento do pensamento dos estudantes e o processo de ensino e aprendizagem. O ensino não só resulta em desenvolvimento, como também depende dele para continuar seu curso progressivamente (DAVÍDOV, 1988). Sendo assim, admitimos que as proposições, davydoviana e gepapeana, contribuem para repensarmos a Educação Matemática escolar brasileira nessa direção.

Para atingir os propósitos estabelecidos, organizamos a dissertação em três capítulos. No primeiro capítulo, a Introdução, apresentamos o processo de constituição do objeto de estudo, bem como a caminhada acadêmica e profissional que propiciou a delimitação do objeto e problema da pesquisa. Nele, realizamos uma reflexão sobre o contexto pedagógico brasileiro, o modo de organização do ensino e algumas considerações acerca da finalidade a que se propõe a educação escolar, em nosso país.

No segundo capítulo, Proposição davydoviana para o conceito de divisão no

contexto das seis ações de estudo, revelamos a relação universal do conceito de divisão, no

contexto das seis ações de estudo davydovianas, por meio de tarefas particulares extraídas dos livros didáticos e livros de orientação ao professor, organizados por Davýdov e colaboradores, na Rússia.

No terceiro capítulo, intitulado Possibilidades de objetivação do pressuposto e

finalidade da pesquisa, refletimos sobre as relações entre a AOE e o modo de organização

davydoviano com base em um problema desencadeador. Trata-se da explicitação de uma possibilidade de objetivação do movimento conceitual matemático proposto por Davýdov, na resolução de um problema desencadeador, tendo como referência uma história virtual que traz em seu teor de significação, o conceito de divisão.

As sínteses foram apresentadas no docorrer de todo o texto. Para finalizar, tecemos algumas considerações.

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1 INTRODUÇÃO

O conteúdo e os métodos de ensino primário, vigentes, se orientam predominantemente à formação, nos estudantes dos primeiros anos, das bases da consciência e do pensamento empíricos, caminho importante, mas não o mais efetivo na atualidade, para o desenvolvimento psíquico das crianças (DAVÍDOV, 1988, p. 99, tradução nossa).

Iniciei1_{a atividade docente logo após a conclusão da Licenciatura em Matemática.}

Em sala de aula, os problemas decorrentes das dificuldades de aprendizagem dos conceitos matemáticos básicos eram notórios. Tais dificuldades incidiam, inclusive, em relação às operações fundamentais2, como multiplicação e divisão. Isso obstaculizava o desenrolar do processo de ensino e aprendizagem, visto que a apropriação de conceitos básicos e a atividade de estudo estavam comprometidas. Ao conversar com outros professores constatei que tal condição era generalizada. Com o passar dos anos, a partir de novas experiências, pude verificar que essa precariedade se caracterizava como algo fossilizado no contexto escolar. E tais situações vivenciadas eram reveladoras da ausência de ações efetivas, voltadas para a organização do ensino e do tipo de conhecimento ensinado, que objetivassem o desenvolvimento integral dos estudantes.

Ainda nesse período, em conversa com professores, alguns defendiam a necessidade de uma reforma educacional. Contudo, não concordava com essa compreensão, visto que reformas pressupunham a existência de algo pronto, que requeria apenas alguns ajustes, algumas mudanças que considero insuficientes. A educação atual carece de muito mais que isso, uma vez que, conforme assegura Mészáros (2008, p. 25, grifos do autor):

As mudanças sob tais limitações apriorísticas e prejulgadas, são admissíveis apenas com o único e legítimo objetivo de corrigir algum detalhe defeituoso da ordem estabelecida, de forma que sejam mantidas intactas as determinações estruturais fundamentais da sociedade como um todo, em conformidade com as exigências inalteráveis da lógica global de um determinado sistema de reprodução.

1_{Quando a referência for a minha vida pessoal, adotarei a primeira pessoa do singular. Porém, ao se tratar da} pesquisa, escreveremos na primeira pessoa do plural, dado o caráter coletivo do contexto ao qual se insere a presente investigação.

2_{Considero como operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação e} logaritmação (CARAÇA, 2002, p. 16). No momento, refiro-me apenas às quatro primeiras.

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A política neoliberal, que se instalou nas sociedades e se sustenta nas relações de poder, reflete-se na escola. Esta apresenta princípios mantenedores e um caráter adaptativo aos jovens em relação às condições sociais vigentes, próprias da sociedade capitalista. E não será por meio de reformas educacionais que tal situação poderá ser transformada. Desde a fase inicial do capitalismo, até os dias atuais, a “natureza da educação [...] está vinculada ao destino do trabalho” (MÉSZÁROS, 2008, p. 15).

O trabalho, nas palavras de Konder (2008, p. 29), é a “atividade pela qual o homem domina as forças naturais [...]” e “humaniza a natureza”. Na fase inicial desse processo, houve uma profunda transformação, em especial com sua divisão social. Segundo o referido autor, alguns homens apresentavam maiores condições materiais do que outros, que permitia àqueles a exploração pelo trabalho destes. Com isso, a capacidade de pensar e agir se limitava aos interesses dominantes, que apresentavam certo poder sobre a classe trabalhadora. Konder (2008, p. 30, grifo do autor) assegura que:

As condições criadas pela divisão do trabalho e pela propriedade privada introduziram um ‘estranhamento’ entre o trabalhador e o trabalho, uma vez que o produto do trabalho, antes mesmo de o trabalho se realizar, pertence a outra pessoa que não o trabalhador. Por isso, em lugar de realizar-se no seu trabalho, o ser humano se aliena nele; em lugar de reconhecer-se em suas próprias criações, o ser humano se sente ameaçado por elas; em lugar de libertar-se, acaba enrolado em novas opressões.

Tal mecanismo gerador da alienação, elemento mantenedor do sistema capitalista, permanece inalterado até os dias atuais. Facci (2004) afirma que, com o advento da globalização e o avanço tecnológico ocorrido na última década, as relações do homem com o trabalho sofreram novas transformações. Com a substituição humana por máquinas, grande parte da classe trabalhadora passou a conviver com índices alarmantes de desemprego, desvalorização e o “agravamento da exploração do trabalho” (KONDER, 2008, p. 33). Atualmente, a ordem capitalista segue um roteiro em que a produtividade e a lucratividade são palavras de ordem.

Equivocadamente, a sociedade atual propaga o progresso, o avanço do conhecimento, da inovação, com base no desenvolvimento científico e tecnológico, sem intentar ao fato de que tal desenvolvimento não tem contribuído para a formação omnilateral do ser humano. Ao contrário, tem ampliado a exclusão, da grande massa da população, do acesso aos bens socialmente produzidos pela humanidade. Engels, em um artigo publicado ainda no século XIX, em uma revista parisiense, explica que a escravidão humana ocorrida no sistema feudal foi apenas substituída pela escravidão das coisas no sistema capitalista

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(SUCHODOLSKI, 1976). Enquanto no sistema feudal a dominação era do homem sobre o próprio homem, no sistema capitalista a dominação do homem se dá pela formação ideológica. Estas conduzem à aceitação do capitalismo, por meio do estímulo ao consumo, à busca pela competência para o mercado de trabalho e à concorrência, em detrimento dos valores humanos e o direito ao acesso ao conhecimento, à liberdade de pensar e de ser homem integral na sociedade.

Diante disso, Suchodolski (1976) assevera que a visão a ser incorporada é a negação da totalidade, da universalidade e a ênfase na individualização do conhecimento, cujo esforço objetiva sanar as necessidades particulares de cada um. O autor acrescenta que é dada ênfase à concorrência e à busca desenfreada pela competência e eficiência, o que justifica alguns sobressaírem-se mais que outros, pois “[...] a concorrência que se agrava constantemente como consequência necessária da propriedade privada deve conduzir a contradições cada vez mais profundas, à opressão e exploração cada vez maiores” (SUCHODOLSKI, 1976, p. 37).

Essa competitividade gera a transferência de responsabilidades, em que o sujeito assume o encargo por seu sucesso ou fracasso profissional (FACCI, 2004). E o pior, “serve para eximir o governo e a sociedade de responsabilidade diante da ausência de projetos coletivos que visem a possibilitar condições de emprego e de renda ao cidadão” (MORETTI; MOURA, 2010, p. 352). Essa concepção de mundo repercute na educação que tende a orientar “mudanças que conduzem a uma crescente desqualificação da escola pública [...]” (FACCI, 2004, p. 9).

A escola tornou-se local de apropriação de conhecimentos prático-utilitários, com vistas à preparação dos estudantes para o mercado de trabalho. Todavia, vale dizer que:

O acesso ao conhecimento matemático sistematizado tem sido imprescindível para a própria transformação da vida cotidiana. Alijar os indivíduos desse acesso é alijá-los das condições básicas para o usufruto dos avanços tecnológicos que modificam a própria estrutura da vida dessas pessoas e que permitem o acesso aos demais produtos das objetivações humanas. Em outras palavras, o próprio conhecimento que cada indivíduo elabora para sua vida cotidiana não dá conta de responder às necessidades de sua própria vida cotidiana. Esse indivíduo precisa constantemente estar reelaborando esse conhecimento porque as exigências são cada vez mais colocadas. Portanto, a própria vida cotidiana necessita de interferências do não-cotidiano (GIARDINETTO, 1999, p. 7).

Além disso, o desenvolvimento de conteúdos prático-utilitários, dirigidos para o mercado de trabalho, impossibilita a “apropriação de um conhecimento num plano mais elevado, mais elaborado do que aquele no cotidiano” (GIARDINETTO, 1999, p. 67), pois não

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contempla o caráter universal, teórico, que potencializa a aplicação dos conceitos em qualquer situação particular (ROSA, 2012). Deste modo, o acesso ao conhecimento sistematizado, historicamente produzido, torna-se um direito negado aos estudantes.

Giardinetto (1999) ressalta que a maioria das concepções que se formou a partir do século XX, tem como pressuposto que o homem deve se adaptar ao sistema capitalista vigente. Ou seja, no que diz respeito ao processo pedagógico, a proposta é desenvolver nos estudantes conhecimentos de cunho utilitarista. Em outras palavras, “o indivíduo é obrigado a adquirir um conhecimento que é restrito às respostas necessárias para a superação de suas necessidades [...]” imediatas, em um determinado contexto social (GIARDINETTO, 1999, p. 11, grifo do autor).

Os conhecimentos científicos, universais, são substituídos por aqueles singulares, empíricos, considerados úteis para o desenvolvimento de atividades laborais, com ênfase nos saberes cotidianos. “Trata-se de um conhecimento essencialmente prático-utilitário, pois nasce da necessidade da resposta imediata de superação dos problemas próprios da vida cotidiana” (GIARDINETTO, 1999, p. 4). Isso fortalece o sistema capitalista e sedimenta entre os estudantes a conivência com o discurso neoliberal (FACCI, 2004).

Deste modo, tais conhecimentos se afastam do objetivo que deveria ser fundamental na escolarização, o desenvolvimento integral do ser humano. Sendo assim, a escola não considera os estudantes como sujeitos pertencentes a “um determinado contexto social, pois é por meio dela que esse indivíduo tem a possibilidade de se apropriar de um conhecimento que não lhe é possível apropriar ao plano da vida cotidiana” (GIARDINETTO, 1999, p. 8).

Essas reflexões sobre as relações entre o sistema de produção e a educação levaram-me a constatar que a superação de tais problemas consiste em um desafio muito complexo, que ultrapassa os muros escolares. Entendi que a desordem vigente na escola, na verdade, contribui para manter a “ordem” social. Nesse sentido, as reformas não são suficientes para transformar significativamente a realidade - não basta reformar, é necessário transformar. Diante disso, surgem os seguintes questionamentos: Como participar efetivamente dessa transformação? Por onde começar? Qual o real papel do professor nesse processo? É possível contribuir para superar a crise educacional instaurada, no sentido da transformação em detrimento das reformas? Como proceder?

O que pretendemos é uma educação de novo tipo, comprometida com a formação integral do ser humano, que desenvolva suas funções superiores, que lhe permita pensar e realizar análises de seu papel humano, político e social. Almejamos uma educação formadora

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do homem, em vez de uma educação de cunho utilitarista, considerada como valor de troca. Não queremos dizer, com isso, que o conhecimento não deva capacitar também para o desempenho de atividade profissional. A escola deve capacitar para o trabalho no sentido de ocupar-se em desenvolver o ser humano completo, voltar-se para o desenvolvimento da própria humanização do homem (MORETTI; MOURA, 2010). E isso somente será possível por meio do conhecimento científico, teórico.

Nesse sentido, a finalidade a que nos propomos, na presente investigação, consiste na possibilidade de desenvolvimento do pensamento teórico, por meio da apropriação dos conceitos científicos. No entanto isso não é garantia de transformação social, mas é condição sine qua non, uma vez que procura explicar não somente a aparência superficial das coisas, mas sua essência, por meio do caráter universal dos conceitos.

Foi, portanto, na necessidade de contemplar o caráter universal dos conceitos científicos, na educação escolar, que identifiquei a relevância de pesquisas voltadas para o desenvolvimento de conceitos matemáticos em seu teor teórico. Isso porque encontramos amparo em Davýdov, Rosa (2012), Hobold (2014) e Silveira (2015) ao afirmarem que a condição atual da educação escolar brasileira, cujo objetivo consiste na manutenção do sistema capitalista e no desenvolvimento de conhecimentos empíricos, não condiz com o estágio atual de desenvolvimento da sociedade. Por prevalecer os conhecimentos prático-utilitários, substima-se que tal conhecimento não contemple a formação integral humana, o desenvolvimento do sujeito como ser social, pois utiliza unicamente as possibilidades já formadas e presentes na criança (DAVÍDOV, 1988).3 De outro modo, faz-se necessária a formação de uma sociedade de novo tipo, que oportunize o acesso ao conhecimento teórico, sistematizado, para todos os sujeitos (DAVÝDOV, 1982), capaz de desenvolver as capacidades cognitivas mais elevadas atingidas pelo ser humano.

É nesse contexto que a investigação se insere: como uma possibilidade de contribuir para o desenvolvimento de conceitos científicos, particularmente, o conceito de divisão. Essas reflexões surgiram durante as aulas na Pós-graduação (Lato Sensu) e se consolidaram durante o Mestrado. Desde a Especialização, o objeto de investigação consistiu no modo davydoviano de organização de ensino. No entanto, como professora de Matemática, presenciava continuamente os obstáculos teóricos dos estudantes em relação ao conceito de divisão. Cientes da vasta gama de conceitos matemáticos e da necessidade de delimitação do tema de pesquisa, elegemos como objeto de estudo a relação universal do conceito de divisão

3 _{No decorrer do texto será utilizada a grafia Davýdov. Porém, ao se tratar de referência, será mantida a escrita} conforme apresentada na obra, quais sejam: Davídov, Davýdov, Davidov e Давыдов.

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objetivada nas tarefas particulares, no contexto das seis ações de estudo, que caracterizam a proposta de Davýdov para o ensino de Matemática.

Davýdov (1930-1998), estudioso da psicologia pedagógica soviética, pertenceu à terceira geração de pesquisadores da escola de Vigotski. Comungava da concepção psicológica vigotskiana, cuja fundamentação é o Materialismo Histórico e Dialético. Mesmo vivendo em épocas distintas, ambos trouxeram contribuições para pensarmos o processo de aprendizagem e desenvolvimento. Por conseguinte, estabeleceram os princípios norteadores para a construção de uma nova concepção de ensino e aprendizagem. Para Vigotski (2000) a aprendizagem gera o desenvolvimento. E Davýdov (1982) complementa: a aprendizagem de conceitos empíricos promove o desenvolvimento do pensamento empírico, enquanto os científicos resultam no correspondente pensamento teórico. Segundo Davídov4 (1988, p. 59, tradução nossa), “[...] o desenvolvimento espontâneo das crianças se opõe ao papel determinante da educação e do desenvolvimento”, no que se refere ao pensamento teórico.

Portanto, este autor considera fundamental a busca pela apropriação5_{, por parte}

dos estudantes, dos conhecimentos científicos produzidos pela humanidade, para o desenvolvimento do pensamento teórico (DAVÝDOV, 1982). Ao considerar tal pressuposto, Davýdov defende um ensino que leve os estudantes a pensarem dialeticamente (LIBÂNEO; FREITAS, 2013).

Com base na relação entre aprendizagem e desenvolvimento, almejamos a possibilidade, do presente estudo, contribuir para a reflexão sobre a organização do ensino nessa perspectiva. Pretendemos, pois, analisar a proposição de ensino que tem como princípio basilar a apropriação do conhecimento científico para a formação do ser humano em sua plenitude. A proposição davydoviana

[...] foca a relação entre o modo pelo qual o professor organiza o ensino e o desenvolvimento das funções mentais dos estudantes. Um de seus pressupostos básicos é que o ensino é forma privilegiada para promoção do desenvolvimento do pensamento e da personalidade dos estudantes, por meio de mudanças qualitativas em sua atividade mental, em sua forma de pensamento (PERES; FREITAS, 2014, p. 12).

Davýdov (ДАВЫДОВ) e colaboradores, tais como Gorbov (ГОРБОВ), Mikulina (МИКУЛИНА) e Savieliev (САВЕЛЬЕВА), desenvolveram, ao longo de vinte e cinco anos,

4 _{Para garantir as ideias davydovianas, optamos, em grande parte desse trabalho, pela apresentação de citações} diretas de suas obras originalmente escritas em espanhol. As traduções foram realizadas por nós.

5 _{“O processo de apropriação leva o indivíduo à reprodução, em sua própria atividade, das capacidades humanas} formadas historicamente” (DAVÍDOV, 1988, p. 56).

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uma proposta de educação, no contexto do Ensino Desenvolvimental, segundo os princípios elaborados por Vigotski e Leontiev. A terminologia Ensino Desenvolvimental advém da relação entre aprendizagem e desenvolvimento, e atribui ao ensino, como seu papel principal. Tal desenvolvimento no estudante se dá por meio da atividade de estudo, que possibilita a formação da capacidade de pensar dos estudantes.

O professor, em sua atividade de ensino, proporciona o início do desenvolvimento da atividade de estudo dos estudantes, por meio de um processo de reflexão. Ele os orientam, considerando-os sujeitos e objetos “de sua própria transformação” (AQUINO, 2015, p. 5). Para tanto, as tarefas de estudo focam um problema de forma a centralizar vários aspectos das contradições, que são discutidas coletivamente (DAVYDOV; SLOBODCHIKOV; TSUKERMAN, 2014). Nesse processo, os estudantes expõem e defendem suas opiniões até que, obtenham outro significado para o objeto em análise. Desse modo, de acordo com os autores em referência, a atividade assegura o desenvolvimento da reflexão, da iniciativa, da cooperação, da formação de opiniões e, fundamentalmente, do desenvolvimento cognitivo do estudante, como base necessária para a formação da capacidade de aprender.

Para esse processo, Davýdov propõe que a organização do ensino ocorra por meio de seis ações de estudo, de modo que o caráter universal dos conceitos seja contemplado em todas elas, quais sejam:

1. Transformação dos dados da tarefa de estudo com a finalidade de revelar a relação universal do objeto estudado;

2. Modelação da relação universal na forma objetal, gráfica e literal;

3. Transformação do modelo da relação universal para o estudo de suas propriedades em ‘forma pura’;

4. Resolução de um sistema de tarefas particulares que podem ser resolvidas por um procedimento geral;

5. Controle da realização das ações anteriores;

6. Avaliação da apropriação do procedimento universal como resultado da solução da tarefa de estudo dada (DAVÍDOV, 1988, p. 181, tradução nossa, grifo do autor).

Cada ação de estudo é desenvolvida por um sistema de tarefas particulares, que requerem operações para a sua execução. O objetivo proposto pela atividade de estudo, no Ensino Desenvolvimental, é atingir a apropriação do conhecimento científico mais elaborado, com vistas ao desenvolvimento do pensamento teórico. A atividade de estudo não é, portanto, “uma finalidade em si mesma; é apenas uma condição necessária para alcançar o desenvolvimento mental e cognitivo-afetivo dos alunos” (AQUINO, 2015, p. 4). O que almejamos com isso é possibilitar o rompimento com os mecanismos que limitam o ser humano para a aquisição apenas de conhecimento útil ao mercado de trabalho, aquele que

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contribui para reforçar a estrutura da sociedade capitalista, mas garantir a apropriação de conhecimento elaborado e sistematizado como possibilidade para a transformação humana (GIARDINETTO, 1999). “Nessa perspectiva, a atividade humana é tomada como unidade básica para a compreensão dos processos de desenvolvimento humano presentes na educação escolar [...]” (MOURA et al., 2010b, p. 9).

Aspiramos, pois, o direito à educação e ao conhecimento científico socialmente produzido pela humanidade, porque não é produto de um só homem ou de um determinado grupo. É, fundamentalmente, “patrimônio de todos, o que justifica a sua inserção no currículo de todas as instituições escolares” (MOURA; SFORNI; ARAÚJO, 2011, p. 42). Outra justificativa para tal necessidade é que sua apropriação se constitui em uma possibilidade do ser humano superar a ideologia política, econômica e social vigente. Quando o homem se apropria das relações reais, autênticas, desenvolve-se integral e humanamente, transpondo as relações aparentes, fenomênicas da sociedade (MOURA et al., 2010a).

O desenvolvimento do homem se dá em um processo lento, cujos resultados não ocorrem de forma imediata, pois, como diz Vigotski (2000), os fenômenos sociais, assim como o pensamento humano, se constituem ao longo da história e atinjem níveis diferentes de desenvolvimento e de complexidade. Esse aprimoramento atingirá seu ápice por meio da formação do pensamento em nível teórico.

Contudo, o que mais tem preocupado é a necessidade de enfrentamento de um dos desafios da educação, quiçá o maior deles: o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes pela via da apropriação dos conceitos científicos. Vale ressaltar que não nos referimos a qualquer conhecimento, mas àquele “que consideramos serem as possibilidades mais humanizadoras que existem no interior das contraditórias forças que têm atuado sobre a realidade escolar” (DUARTE, 2001, p. 4). Refere-se, pois, ao saber sistematizado, científico, isto é, o que de mais desenvolvido produziu a humanidade. Todavia, o direito a esse saber tem se limitado a poucos.

Gentili (2009, p. 1.070-1.071) assevera que:

Todos têm o mesmo direito à educação, mas nem todos exercem da mesma forma seu direito à escola, motivo pelo qual os resultados do processo de escolarização são tão desiguais como são desiguais as condições de vida de grupos, classes, estratos ou castas que compõem a sociedade ou, em termos mais precisos, o mercado.

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Esse direito deve contemplar todos os seres humanos, indistintamente. No entanto, as condições hoje oferecidas aos estudantes, principalmente, das escolas públicas, não possibilitam o exercício da democracia e tampouco o acesso ao conhecimento científico.

A ciência de tal concepção, por parte de professores e estudantes, é de suma importância para a compreensão de que “o conteúdo tem uma história ligada ao desenvolvimento social [...] (MOURA, 2001, p. 149)” e possibilita, segundo o autor (2001, p. 149), “outra dimensão para a didática do professor”. Portanto, faz-se necessário pensá-la para que, na qualidade de educadores, nos posicionemos e reflitamos sobre qual o nosso papel na sociedade. Além disso, empreendermos as lutas no sentido de transpor as políticas neoliberais que primam por posicionamentos humanos espontaneístas e competitivos.

Consideramos, pois, relevante refletir sobre as considerações trazidas por Souza (2008, p. 11), ao afirmar que “a questão de saber por que a escola ensina o que ensina é fundamental para o entendimento da finalidade cultural das instituições educativas e do tipo de homens e mulheres que uma dada sociedade em determinado tempo deseja formar”. Ou seja, a educação e o ensino atual estão orientados para formar nas crianças determinado tipo de atividade e sua correspondente capacidade (DAVÍDOV, 1988).

Se o papel da escola é de socializar saberes elaborados, cumpre nos questionar sobre qual conhecimento está sendo desenvolvido e, por que este tipo e não outro.

[...] a questão sobre as potencialidades de desenvolvimento de um ou outro sistema de educação e ensino se pode analisar do seguinte modo: o sistema historicamente formado e já estabelecido garante a apropriação, pelas crianças, de determinado conjunto de capacidades, que correspondem às exigências da sociedade. Os meios e procedimentos de organização da atividade reprodutiva se tornam tradicionais e cotidianos. O papel desenvolvimental deste sistema torna-se oculto. Mas, se a sociedade dada deve formar nas crianças um novo conjunto de capacidades, torna-se indispensável criar um sistema de educação e ensino que organize o funcionamento eficaz de novos tipos de atividade reprodutiva (DAVÍDOV, 1988, p. 59, tradução nossa).

É importante ponderar que “nem toda educação, nem toda escola, nem toda prática pedagógica está, necessariamente, a serviço da reprodução do sistema capitalista” (SILVA, 2012, p. 202), mas principalmente aquelas que se limitam ao desenvolvimento do pensamento empírico. Mas, com base na perspectiva dialética-materialista, a realidade não é eterna, ao contrário, ela está em constante movimento de transformação e, portanto, é provisória (LONGAREZI; FRANCO, 2013a). Assim, consideramos que há, ainda, outras possibilidades que envolvem sujeitos comprometidos com a educação, pois “nenhum educador é neutro em relação à prática social do educando” (DUARTE, 2001, p. 57). Isso

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ocorre mesmo quando reina o empirismo que, nos dias atuais, ainda “é ressaltado na área da matemática nos primeiros anos da escolarização básica” (CATANANTE; ARAUJO, 2014, p. 46). As autoras em referência conclamam para a necessidade de se consolidar “uma proposta de educação Matemática fundamentada na perspectiva Histórico-Cultural” (2014, p. 46). Essa perspectiva teórica fundamenta os estudos e investigações dos grupos de pesquisa aos quais integro: Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma abordagem Histórico-Cultural (GPEMAHC)6 e Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática (TEDMAT).7

Esses dois grupos constituem a unidade de relacionamento catarinense do Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Atividade Pedagógica (GEPAPe)8, promovem estudos e debates teóricos com vistas à compreensão do complexo sistema educacional, que se encontra intrinsecamente ligado às esferas econômicas, políticas e sociais. Os encontros são comuns e ocorrem quinzenalmente. Os integrantes da unidade vêm desenvolvendo estudos sobre a organização do ensino, com base na Teoria Histórico-Cultural, de conceitos matemáticos como: número (ROSA, 2012), adição e subtração (ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013), multiplicação (MADEIRA, 2012; HOBOLD, 2014), divisão (CRESTANI, 2013), equação (DORIGON, 2013), resolução de problemas (MATOS, 2013), sistema de numeração (SILVEIRA, 2012, 2015), números inteiros (BÚRIGO, 2015) dentre outros. Tais conceitos constituem de extrema relevância para o ensino brasileiro, pois entendemos que a transformação educacional que desejamos somente será possível por meio da apropriação teórica dos conceitos.

Essa constatação decorreu das reflexões realizadas no grupo

(GPEMAHC/TEDMAT) e também na atividade docente. Dentre elas, em uma escola da rede

pública do Estado de Santa Catarina, onde lecionei em classe do 7º, 8º e 9º anos. Na ocasião, persistiam as fragilidades decorrentes “da complexidade da realidade social que envolve a educação e a trama de desafios da sala de aula” (MORAES, 2009, p. 325). A indiferença e falta de atenção nas aulas, por parte dos estudantes, eram constantes. De minha parte, não entendia se era a falta de atenção que provocava a não aprendizagem ou esta era consequência de tal desatenção.

Eidt, Tuleski e Franco (2014) dizem que a formação da atenção nos estudantes percorre um longo caminho até tornar-se efetivamente atenção voluntária. Em todas as etapas, a formação da atenção na criança é totalmente dependente do modo que “o meio social

6_{Líder: Prof. Dr. Ademir Damazio (UNESC).}

7_{Líder: Profa. Dra. Josélia Euzébio da Rosa (UNISUL).}

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disponibiliza os instrumentos e signos, estabelecendo com ela relações que produzam saltos qualitativos em seu desenvolvimento psíquico” (EIDT; TULESKI; FRANCO, 2014, p. 83). As autoras advertem que a não aprendizagem decorrente da falta de atenção precisa ser compreendida como

um fenômeno produzido, antes de tudo, pelo estágio atual da sociedade capitalista. Na contramão da exclusão, significa possibilitar a criação de formas educativas que desenvolvam as funções superiores, ou mesmo, avaliar os métodos educativos que estão sendo empregados, os quais têm posto à margem um grande contingente de estudantes, que ficam impedidos de apropriar-se do que há de mais elevado em termos de conhecimento desenvolvido pelo gênero humano (EIDT; TULESKI; FRANCO, 2014, p. 94).

A falta de atenção é um dos obstáculos a ser superado, por meio do desenvolvimento do conhecimento científico, que deve iniciar desde os primeiros anos do Ensino Fundamental. Uma condição para tal, segundo Davídov (1988), é envolver os estudantes em atividade de estudo. Daí a urgência em repensarmos o modo de organização de ensino. Isso porque os resultados obtidos tanto na minha prática docente quanto de colegas do grupo, no que se refere à Matemática, corroboram com a constatação de Longarezi e Puentes (2013, p. 10) em relação à educação brasileira atual: “Aprende-se pouco, aprende-se mal, aquilo que se aprende é esquecido com facilidade e tudo isso interfere minimamente no desenvolvimento integral da personalidade dos estudantes”.

Os questionamentos que nos acompanhavam eram: Como ensinar conceitos matemáticos mais elaborados se os fundamentais não tinham sido apropriados pelos estudantes? Ou ainda, como ensinar conceitos teóricos se as poucas apropriações dos estudantes tinham características empíricas? Sobre isso, Giardinetto (1999, p. 50) alerta que “o indivíduo, ao não ultrapassar os raciocínios mais imediatos, não só não aprende o processo de pensamento mais complexo, implícito na atividade escolar, como não se apropria do conteúdo que daí advém”. Enquanto o desenvolvimento do conhecimento não ultrapassar o nível empírico, imediato, não será possível a apropriação dos conceitos desde os básicos até os mais complexos, com teor teórico (DAVÍDOV, 1988).

Embora as dificuldades conceituais sejam recorrentes no processo de ensino e aprendizagem do conceito de divisão, poucas são as pesquisas sobre essa temática. Soares (2007), que pesquisou o ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos com foco na divisão de números naturais, afirma que, devido às dificuldades na compreensão dos conceitos matemáticos, os estudantes memorizam “e vão acumulando dúvidas e dificuldades ao longo de sua vida escolar” (SOARES, 2007, p. 13). A autora apresenta indicativos, a partir

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dos dados do Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB) de 2003, de que os conceitos aprendidos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, dentre eles o de divisão, são considerados insuficientes para a continuidade do processo de aprendizagem da Matemática. Segundo a autora, sobre a divisão, os estudantes consideram-na como um conceito difícil de ser aprendido. Entre as operações aritméticas fundamentais, a ênfase no processo de ensino e aprendizagem recai na realização do algoritmo em detrimento de seu significado, fator que impede a apropriação conceitual (SOARES, 2007).

Além disso, a disciplina de Matemática tem sido reverenciada pelo aspecto prático-utilitário “[...] que enfatiza a operação, como se esta área do conhecimento fosse um produto pronto e acabado [...]” (CATANANTE; ARAUJO, 2014, p. 40), dissociada do movimento conceitual teórico. Tal episódio é decorrente, em partes, pela insuficiente formação dos professores com sérias consequências que refletem diretamente no processo de ensino e aprendizagem.

Lemos (2014, p. 117) analisou a atuação de alguns professores que ensinam Matemática. Constatou que “[...] há, por decorrência das condições de formação do professor e de um reincidente despreparo para lidar com as situações do contexto escolar, uma ‘tendência’ para a valorização da ‘prática’ em detrimento da ‘teoria’” (LEMOS, 2014, p. 117, grifos do autor). Nesse contexto de dicotomização entre teoria e prática, com evidência para a “prática”, enfatizam-se os conceitos empíricos. Existe uma convicção entre alguns professores, pesquisados por Lemos (2014), de que o desenvolvimento do ensino de modo espontâneo, com foco nas situações do cotidiano, contribui no processo de aprendizagem dos conceitos matemáticos. Dentre os professores entrevistados por Lemos (2014, p. 121), há, também, aqueles que “são favoráveis à memorização, com o objetivo de facilitar a aprendizagem dos cálculos”. No tocante ao ensino da tabuada, por exemplo, utiliza-se o recurso da memorização pela falta de um método de ensino que centre no desenvolvimento do pensamento conceitual (LEMOS, 2014).

Em relação à tabuada e seu conceito base, a multiplicação, duas investigações apresentam contribuições relevantes para a superação do empirismo no ensino. Madeira (2012) e Hobold (2014) abordam a multiplicação e a tabuada, respectivamente, com base na proposição davydoviana. Essas duas pesquisas integram um projeto mais amplo, desenvolvido na unidade gepapeana catarinense. É nesse contexto profícuo de reflexões que se insere a nossa pesquisa de Especialização (CRESTANI, 2013) e a presente dissertação.

O ingresso no curso de Mestrado ocorreu, portanto, pela necessidade de aprofundamento teórico. Na Especialização, investigamos a introdução do conceito de

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divisão, na proposição davydoviana. No entanto, faltava investigar a sistematização desse conceito. Fez-se necessária a continuidade do movimento que se iniciou com a introdução do conceito de divisão, realizado naquele curso, até culminar com sua sistematização e operacionalização, no Mestrado.

Davýdov e colaboradores realizaram uma longa investigação teórica e prática com professores e alunos (LIBÂNEO; FREITAS, 2013). Davýdov coordenou a parte relacionada à Matemática. Seu grupo publicou os resultados em livros didáticos e de orientações ao professor, artigos, capítulos de livros e livros.

O material didático 9 constitui a fonte de dados da presente pesquisa, em especial o livro didático de Matemática, desenvolvido por Davýdov e colaboradores, para o 2º, 3º e o 4º ano do Ensino Fundamental10 (ДАВЫДОВ, et al., 2012; ДАВЫДОВ, et al., 2009; ДАВЫДОВ, et al., 2011), e o livro de orientação ao professor para utilização dos referidos livros didáticos (ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2003; ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2004; ГОРБОВ; МИКУЛИНА; САВЕЛЬЕВА, 2009), todos publicados originalmente, em língua russa. Este material, elaborado por Davýdov e colaboradores, foi utilizado em experimentos com estudantes, por mais de vinte e cinco anos, na Rússia. A finalidade era de desenvolver conceitos matemáticos em nível teórico, num período em que, na educação russa predominava um tipo de conhecimento, ao qual Davýdov denominou de tradicional e insuficiente para a época (DAVÝDOV, 1982).

A análise desse material deu origem ao segundo capítulo da presente dissertação. Vale lembrar que o objeto de estudo não consiste nas tarefas davydovianas em si, mas na relação universal do conceito de divisão objetivada nas tarefas particulares, propostas por Davýdov para o ensino de Matemática, no contexto das seis ações de estudo. Partimos da hipótese de que as ações de estudo, referentes ao conceito de divisão, são interconectadas pela relação geneticamente inicial, universal do conceito. Pois, de acordo com Libâneo e Freitas (2013, p. 332-333),

O objetivo primordial do ensino-aprendizagem, na concepção de Davydov, é a formação do pensamento teórico-científico do aluno. Para cumpri-lo, ao tomar um determinado objeto de conhecimento como conteúdo do ensino/aprendizagem, o professor deve investigar seu aspecto ou relação nuclear, na qual aparecem as relações fundamentais de sua gênese e transformação histórica, expressando seu princípio geral. A partir desse princípio geral, o professor estrutura e organiza a atividade de estudo do aluno, de modo que ele realize abstrações e generalizações

9 _{O material encontra-se disponível no Laboratório de Estudo em Educação Matemática Professor Dr. Ademir} Damazio da UNESC e na Biblioteca Professor Eurico Back, da mesma instituição.

10 _{O segundo, terceiro e quarto anos do Ensino Fundamental russo correspondem ao mesmo dos anos do Ensino} Fundamental brasileiro.

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conceituais, sendo capaz de utilizá-las na análise e solução de problemas específicos da realidade envolvendo o objeto.

A relação nuclear, mencionada na citação anterior, consiste na relação universal que caracteriza o conceito. “Nos conhecimentos teóricos se fixa o elo da relação universal, realmente existente, do sistema integral com suas diferentes manifestações, o elo do universal com o singular” (DAVÍDOV, 1988, p. 154, tradução nossa).

O sistema integral, na presente investigação, consiste nas seis ações de estudo para o ensino do conceito de divisão. As diferentes manifestações da relação universal ocorrem nas tarefas particulares. Porém, o problema que se apresentou foi: Qual é a relação universal do conceito de divisão e sua manifestação nas tarefas particulares correspondentes às seis ações de estudo? Para responder a essa questão, nosso objetivo foi: investigar as manifestações da relação universal do conceito de divisão nas tarefas particulares no âmbito das seis ações de estudo.

Trata-se de uma pesquisa bibliográfica, com respaldo nos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, mais voltada aos Fundamentos: Matemáticos (CARAÇA, 2002; COSTA, 1866); Lógicos, Psicológicos e Didáticos (VIGOTSKI, 2000; DAVÝDOV, 1982; DAVÍDOV; SLOBÓDCHIKOV, 1991; DAVÍDOV, 1987; DAVÍDOV, 1988; LEONTIEV, 1959; DAVYDOV; SLOBODCHIKOV; TSUKERMAN, 2014; MOURA, 1992, 2001; MOURA et al., 2010b; REPKIN, 2014); e Filosóficos (KOPNIN, 1960; STERNIN, 1960).

No desenvolvimento da pesquisa, adotamos os seguintes procedimentos de investigação: estudo das seis ações davydovianas e dos Fundamentos Matemáticos do conceito de divisão; análise das tarefas davydovianas para identificação dos elementos que compõem a relação genética do referido conceito e revelação de sua conexão interna; seleção das tarefas que compõem o sistema correspondente às seis ações de estudo; discussão teórica com base nos fundamentos da Teoria do Ensino Desenvolvimental. E, por fim, realizamos uma reflexão sobre as possibilidades de objetivação do pressuposto e da finalidade da pesquisa.

Particularmente, no presente estudo, compete-nos revelar a relação universal, que não está dada explicitamente em cada tarefa, isto é, não se apresenta aparentemente na realidade imediata. Para a concretização desse intento, adotamos como unidades de análise os pares: geral-particular, universal-singular. O geral consiste na interconexão das grandezas de mesma natureza, a qual possibilita atingir a representação geral do objeto, ou seja, seu modelo algébrico. A partir dessa revelação, de caráter geral, o particular se configura como o elemento mediador do processo. No conceito de divisão, o particular se expressa na medida

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intermediária, válida para a multiplicação e divisão (multiplicando e divisor, respectivamente). Em continuidade, num processo de idas e vindas, permeado por abstrações, o universal se revela. Este se constitui das muitas representações da relação essencial do conceito (objetal, gráfica e literal), que culminará com sua aplicação nas diferentes singularidades.

O empenho foi no sentido de atingir a totalidade do sistema integral, expresso nas tarefas particulares, referentes às seis ações de estudo para o ensino do conceito de divisão. Porém, não como uma soma de tarefas particulares isoladas, mas como um todo articulado e relacionado dialeticamente entre si. Só assim, foi possível chegarmos à essência do objeto, na relação universal.

Na execução desses procedimentos, não perdemos de vista o pressuposto de que todos os conceitos se inserem em um sistema conceitual mais amplo, pois cada conceito em particular “pressupõe a existência de um determinado sistema de conceitos, fora do qual ele não pode existir” (VIGOTSKI, 2000, p. 359). Ou seja, estão inter-relacionados como uma rede conceitual, na qual todos são relevantes. No entanto, em virtude da delimitação da pesquisa, o foco incide para o conceito de divisão. Porém vale dizer que, somente o ensino desse conceito, nessa perspectiva, não proporciona o desenvolvimento do pensamento teórico matemático. Faz-se necessário repensar o sistema educacional como um todo, desde a educação infantil.

Na unidade de relacionamento catarinense, estamos realizando apenas estudos referentes a uma disciplina, a Matemática (ROSA, 2012; MADEIRA, 2012; ALVES, 2013; CRESTANI, 2013; DORIGON, 2013; MATOS, 2013; SILVEIRA, 2012; SOUZA, 2012; ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013; ROSA; DAMAZIO; CRESTANI, 2014; ROSA; DAMAZIO; SILVEIRA, 2014; HOBOLD, 2014; SOUSA, 2014; SILVEIRA, 2015; BÚRIGO, 2015). Os pressupostos da Teoria Histórico-Cultural orientam as pesquisas e o método de análise é o Materialismo Histórico e Dialético.

Partindo do “reconhecimento do homem como sujeito histórico determinado e ao mesmo tempo determinante das condições que o circunscrevem” (SILVA, 2012, p. 187), temos que, pela tomada de consciência e a capacidade de pensar obtidas pela apropriação do conhecimento, o sujeito, gradual e paulatinamente, tornar-se-á capaz de determinar suas próprias condições de existência. Tais possibilidades se concretizam por meio de “um processo dialético de superação por incorporação” (DUARTE, 2001, p. 60).

Nesse processo de superação por incorporação questionamo-nos: Como, então, ensinar os conceitos matemáticos de modo a desenvolver nos estudantes brasileiros a