cuja secção é um círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio r.

(1)

TRIGONOMETRIA

21

6.

Na circunferência trigonométrica da figura ao lado, considere o

heptá-gono regular de lado 1 tal que:

•

um dos lados do heptágono coincide com o raio da circunferência e encontra -se no semieixo positivo Ox ;

•

P é um ponto do heptágono pertencente à circunferência;

•

Q é um ponto do semieixo negativo Ox ;

•

o segmento [OQ] é um raio da circunferência;

•

a é a amplitude do ângulo cujo lado origem passa no semieixo positivo

Ox e cujo lado extremidade passa no segmento [OP] .

Qual é, aproximadamente, a área do triângulo [OPQ] ?

(A)

0,191

(B)

0,312

(C)

0,391

(D)

0,512

7.

Na circunferência trigonométrica da figura ao lado está representado o ângulo de amplitude 3p ___ _{10 , que tem por lado origem o segmento de reta} [OA] e por lado extremidade o semieixo positivo Oy .

Tal como a figura sugere:

•

[OA] é um raio da circunferência;

•

B é um ponto do semieixo positivo Ox ;

•

o ângulo OBA é reto.

Qual é o valor, arredondado às centésimas, de ‾ AB ?

(A)

0,81

(B)

0,75

(C)

0,63

(D)

0,59

8.

Na figura ao lado está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja secção é um círculo com raio R , e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio r .

Seja q å

_]

0, p __ ₂

_[

a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros).

Sabendo que r2_{= R}2 _√ _________{cos q , indique, arredondado à centésima do radiano, o} valor de q no caso em que R = √ ___2 r .

(A)

1,11

(B)

1,18

(C)

1,25

(D)

1,32

Adaptado do Exame Nacional de Matemática, 12.° ano, 2.ª fase, 2007.

Itens para resolver

PE.2011.0018.01.02

Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO DT1_PE12_020 1.a prova 13 SET 2013 α x y O P Q PE.2011.0018.01.02

Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO DT1_PE12_021 1.a prova 13 SET 2013 x y O A B 3 10 PE.2011.0018.01.02

Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO DT1_PE12_022 1.a prova 13 SET 2013 r θ R 014_024_Tema2_5P.indd 21 14/08/17 14:58

(2)

PREPARAR O EXAME NACIONAL

46

2.

Na figura ao lado encontra-se, num referencial o.n. Oxyz , a pirâmide qua-drangular reta [OPQRS] .

Sabe-se que:

•

a base é o quadrado [OPQR] de lado 2 e está contida num plano concor-rente ao plano xOy ;

•

a área total da pirâmide é igual a 24;

•

o ponto P pertence ao eixo Ox ;

•

o ponto S pertence ao plano xOz ; Admita que o ponto R tem cota igual a 1.

2.1

Determine as coordenadas do ponto S .

2.2

Mostre que as coordenadas do ponto Q são _{(2, -}√ ___ 3 , 1_{) .}

2.3

Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta SR com o plano xOy .

2.4

Mostre que y + √ ___ 3 z = 0 é uma equação do plano POR .

3.

O plano a representado parcialmente no referencial o.n. Oxyz da figura ao lado tem de equação x + z = 4 e contém o ponto A(2, 1, 2) .

3.1

Seja r a reta que passa no ponto A e é perpendicular ao plano a . Justifique que esta reta interseta o plano xOy exatamente no eixo Oy .

3.2

Considere agora o plano _{b definido pela equação 3x - 5y - 3z = 5 .} Mostre que a e b são perpendiculares.

3.3

Considere o ponto P , pertencente ao eixo Ox , e o ponto Q , pertencente ao eixo Oz , ambos do plano a . Escreva uma equação vetorial e um sistema de equações paramétricas do plano que contém os pontos A , P e Q .

4.

Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. Oxyz , o

octaedro [OPQRAB] . Sabe-se que:

•

um dos vértices do octaedro é a origem O do referencial;

•

a reta AB é paralela ao eixo Oz ;

•

o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox ;

•

o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy ;

•

a altura do octaedro é igual a 6 √ ___2 .

4.1

Mostre que a aresta do octaedro tem comprimento 6 e que as coordenadas do ponto A são (3, 3, 3 √ ___ 2 ) .

4.2

Escreva a equação geral de um plano perpendicular à reta PR e que passa no ponto de coordenadas (3, 4, 5) .

4.3

Escreva a equação geral do plano AQR .

Itens para resolver

(CONTINUAÇÃO)

PE.2013.0001.01.01 Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO

DT2_PE12_111 1.a prova 28 out 2013 O Q R S P z y x PE.2013.0001.01.01 Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO

DT2_PE12_112 1.a prova 28 out 2013 O A z y x PE.2013.0001.01.01 Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO

DT2_PE12_113 1.a prova 28 out 2013 O _Q R A P B z y x 025_047_Tema3_5P.indd 46 15/08/17 08:46

(3)

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

81

7.

O telescópio espacial Hubble é um satélite não tripulado

que transporta um grande telescópio para a luz visível e infravermelha e tem, desde 1990, uma órbita elítica em torno da Terra, tal como se representa nas duas figuras seguintes ( H representa o Hubble). Como é óbvio, os ele-mentos dessas figuras não estão na mesma escala.

T4DDT3

Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO x d H x d Periélio Afélio H Figura 2 Figura 1

Tal como se pode observar na elipse da Figura 1, estão assinalados dois pontos:

•

o afélio, que é o ponto da órbita do Hubble mais afastado do centro da Terra;

•

o periélio, que é o ponto da órbita do Hubble mais próximo do centro da Terra.

O ângulo de amplitude x radianos, assinalado nas figuras, tem o seu vértice no centro da Terra, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado extremidade passa no Hubble.

Admita que a distância d , em quilómetros, do Hubble à Terra, é dada por d(x) _{= 625 - 25 cos x , x å [0, 2p[ .}

7.1

Determine a distância do Hubble à Terra quando este se encontra no afélio.

Apresente o resultado em quilómetros, arredondado às unidades.

7.2

Num certo instante, o Hubble está na posição indicada na Figura 2.

Sabe-se que distância do Hubble à Terra nesse ponto é igual a 642 quilómetros. Determine o valor de x , em radianos, arredondado às centésimas.

8.

Uma mola está suspensa por uma extremidade, tendo na outra extremidade um corpo C. Após ter sido alon-gada na vertical, a mola inicia um movimento oscilatório no instante t = 0 .

A distância ao solo do corpo C , em metros, é dada em cada instante t , em segundos, pela expressão: D(t) = 4 + 3 cos

₍

pt + p __ ₂

₎

para t å [0, 4]

8.1

Determine a distância máxima e a distância mínima do corpo C ao solo.

8.2

Indique o valor da amplitude do movimento do corpo C.

8.3

Determine o período, a frequência e a respetiva fase deste oscilador.

8.4

Determine os instantes, em segundos, em que o corpo C está à distância de 5,5 metros do solo.

9.

Um ponto P move-se no eixo das abcissas de forma que a sua abcissa no instante t , em segundos, é dada por: x(t) = 5 cos

₍

p __ _{8 t}

₎

- 5 √___3 sen

₍

p __ _{8 t}

₎

9.1

Prove que se trata de um oscilador harmónico escrevendo x(t) na forma A cos (ωt + φ) , com A > 0, w > 0 e φ å [0, 2p[ .

9.2

Indique a amplitude, o período e a frequência do movimento, bem como o respetivo ângulo de fase.

Itens para resolver

(4)

SUCESSÕES REAIS

117

1.

Considere as sucessões (u_n) e (v_n) definidas, respetivamente, por u_n_{= 5n + 4}______ _2n

+ 1 e vn= (un) n_. Sem usar a calculadora, resolva os itens seguintes.

1.1

Prove, usando a definição, que lim u_n= 5 __ _{2 .}

1.2

Calcule lim v_n .

2.

Calcule, se existirem:

2.1

lim _3n_____________________ ₃4n3+ 6n2- 1000 + 3n2_{+ 22n + 1000}

2.2

lim 3

√

_2n__________________ 1 - 16n___________ ₄ 4 + 5n2_{+ 3}

2.3

lim 3₄__________ _nn+ 3n + 2 + 4n - 1

2.4

lim

[

5n (- 1)n+ 7 _______ _n2_{- 40}

]

2.5

lim a_n , sendo a_n= ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

(

4n - 1 ______ 6n + 3

)

n se n < 10 20 cos n _____ _n_{+ 7 - 4} se n _{≥ 10}20

2.6

lim ( √________16 n 2+ 2n - 4n)

2.7

lim u_n , sabendo que, para n ≥ 12 , un≥ n _√__ ___n

2.8

lim v_n , sabendo que, para n ≥ 5000, vn≤ √ n___ 4 - n

2.9

lim sen

2

(

pn ___ ₁₀

₎

__________ _n , usando o teorema das sucessões enquadradas.

2.10

lim n___________ 2_4n+ cos n₂ 2

+ 1 , usando o teorema das sucessões enquadradas.

2.11

lim

₍

1 _{+ 2}_____ _3n + 5

)

6n

2.12

lim

₍

1 _{+ 2n}______ _{3 n}₂ + 5

)

6n

2.13

lim

₍

4n + 5 _____ ₇ - 4n

)

n + 1

2.14

lim

₍

3 n ______ _{3 n}2₂ + 4 + 2

)

2 - n 2

2.15

lim

₍

5 n _________ _{5 n}₄_{+ 2n + 1}4 + 4

₎

4 n 4

3.

Considere a sucessão (a_n) , de termos positivos, definida por: ⎧⎪

⎨ ⎪ ⎩ a₁_{= 10} a_n_{+ 1}= √ __________4a_n- 4 , An å N

3.1

Mostre que (a_n) é monótona decrescente.

3.2

Justifique que (a_n) é convergente e calcule lim a_n .

4.

Seja R₁ um retângulo de área 1. Dividindo R₁ em quatro retângulos iguais, constrói-se o retângulo R₂ pintando

um dos quatro retângulos mais pequenos. Em cada um dos outros retângulos, procede-se analogamente para construir R₃ , e assim sucessivamente.

DT5_PE12_291 3.a prova 03 dez 2013

R1

DT5_PE12_292 3.a prova 03 dez 2013

R2

DT5_PE12_293 3.a prova 03 dez 2013

R3

DT5_PE12_294 3.a prova 03 dez 2013

R4 … Designe por (a_n) a sucessão que dá a área total da parte pintada do retângulo R_n .

4.1

Escreva a expressão geral de (a_n) .

4.2

Calcule lim a_n e interprete o resultado no contexto do problema.

Itens para resolver

Itens de construção

(5)

186

17.1

Mostre que a área do quadrilátero [ABCD] é dada, em função de q , pela função f definida por:

f(_{q) = sen}

₍

_{q + p}__ ₆

₎

Percorra sucessivamente as seguintes etapas:

•

escreva uma expressão, em função de q , para a área do triângulo [BCD] ;

•

identifique, no triângulo [ABD] , a amplitude q ;

•

escreva uma expressão, em função de q , para a área do triângulo [ABD] ;

•

mostre que f(q) é a área pedida.

17.2

Sem usar a calculadora, determine o valor de q para o qual é máxima a área do quadrilátero [ABCD] .

18.

Na figura seguinte está representada a trajetória de uma bola, depois de ter sido pontapeada por um atleta.

P S

B

x

h(x)

Seja h uma função de domínio [0, p] , definida por h(x) = 2,2 [p sen (0,5x) - x] .

Admita que h dá a altura, em metros, da bola ao solo em função da amplitude x , em radianos, do ângulo SPB ( S é o ponto de saída da bola, P é um ponto fixo do solo e B é o ponto onde se encontra a bola).

18.1

Mostre que se o ângulo SPB for reto, a altura da bola será, em metros, igual a 1,1p( √ ___2 _{- 1) .}

18.2

Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permita resolver o seguinte problema:

Quais são os valores para a amplitude, em radianos, do arco SPB , para que a altura da bola seja igual a 1 metro?

Apresente todos os elementos recolhidos da utilização da calculadora, nomeadamente o(s) gráfico(s) obtido(s). Apresente também os resultados na forma de dízima, arredondados às centésimas.

18.3

Num certo instante em que x < p __ _{2 , a bola encontra-se a uma distância do ponto}

P que é igual ao dobro da distância da projeção da bola no solo (ponto R , como

se pode ver na figura ao lado) a esse ponto P .

Qual é a altura da bola nesse instante? Apresente o resultado em metros, arre-dondado às centésimas.

18.4

Recorrendo a métodos analíticos, determine a altura máxima que a bola atinge, apresentando o resul-tado em metros, arredondado às centésimas.

Nota: nos cálculos intermédios, conserve pelo menos duas casas decimais.

18.5

Considere agora a função f de domínio ]0, p] , definida por f(x) = ____ h(x)_{x .}

Sem recorrer à calculadora, estude-a quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico.

Preparação Exames − Mat. 12ª

DT_218 — 1.ª prova 19/05/2011 RCoelho P 2d d x R B

Itens para resolver

(CONTINUAÇÃO)

(6)

148

22.

Na figura ao lado está representada parte do gráfico da função f , cujo domínio é _{R .} As retas de equações y = 2x + 4 e y = - 2x + 4 são assíntotas ao gráfico de f . Qual é o valor de lim _x_{" - ∞} f(x)____ _{x ?}

(A)

_{+ ∞}

(B)

2

(C)

_{- 2}

(D)

_{- ∞}

23.

Acerca da função h , de domínio R , sabe-se que:

•

lim

x " 0+ h(x) 0 lim _x_{" 0}- h(x) ;

•

o seu gráfico admite apenas duas assíntotas de equações x = k e y = k , sendo k um número real. Qual dos gráficos cartesianos seguintes pode representar a função h num referencial o.n. xOy ?

(A)

(B)

Dt_408 2.ª prova Preparar o Exame Mat. 12°

15/10/2011 Bruno Fragoso x y O Dt_409 2.ª prova Preparar o Exame Mat. 12°

15/10/2011 Bruno Fragoso x y O

(C)

(D)

15/10/2011 Bruno Fragoso x y O Dt_411 2.ª prova Preparar o Exame Mat. 12°

15/10/2011 Bruno Fragoso

x y

O

24.

Na figura seguinte está representada parte do gráfico da função f , de domínio _{R \ {2} .}

15/10/2011 Bruno Fragoso x y O f 2 2

Tal como a figura sugere, as retas de equações x = 2 e y = 2 são assíntotas ao gráfico de f .

24.1

Considere a sucessão (u_n) definida por u_n_{= ln n}______ _{n . Qual pode ser o valor de lim f(u}3 _n) ?

(A)

_{- ∞}

(B)

_{- 0,3}

(C)

1,6

(D)

2

24.2

Considere a sucessão (v_n) definida por v_n= - 3 · en_{· n}- 15_{. Qual é o valor de lim f(v} n) ?

(A)

- ∞

(B)

- 0,3

(C)

0

(D)

2

15/10/2011 Bruno Fragoso x y f O

Itens para resolver

(CONTINUAÇÃO)

(7)

DERIVADAS DE FUNÇÕES

199

10.

Acerca da função g , de domínio [0, π] , sabe-se que a expressão da primeira derivada, também de domínio

[0, π] , é dada por:

g’(x) = x – cos (2x)

Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes.

10.1

Calcule o valor de lim

x " 0

g

₍

x _{+ p}__ ₂

₎

_{- g}

₍

p __ ₂

₎

_______________

x .

10.2

Seja r a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 0. Sabe-se que r passa no ponto de coorde-nadas (0, 2) e num outro ponto de ordenada 6. Qual é a abcissa desse ponto?

10.3

Sabe-se que, no intervalo

_[

0, p __ ₂

_]

, o gráfico da função g’ interseta num só ponto o gráfico da função h definida por:

h(x) = 2x + 1 ______ ₂

Determine as coordenadas desse ponto.

10.4

Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de inflexão.

11.

Um projétil foi lançado verticalmente e a respetiva altura h , em metros, acima do solo é dada, em função do tempo decorrido t , em segundos, após o instante inicial t _{= 0 , por h(t) = - 4,9 t}2_{+ 44,1t + 5 .}

11.1

Determine, em km/h, a velocidade média do projétil nos dois primeiros segundos.

11.2

Determine, em km/h, a velocidade do projétil nos instantes t _{= 2 e t = 4 .}

11.3

Entre o instante inicial e o instante t = 4 , qual foi a velocidade máxima atingida pelo projétil? Qual foi a sua aceleração nesse instante?

12.

Um ponto P desloca-se, durante alguns segundos, sobre uma reta numérica cuja unidade é o centímetro. A abcissa de P (nessa reta) da respetiva posição no instante t , em segundos, é dada por:

p(t) = 4 t 3_{- 2 t}2_{+ 3t + 2}

12.1

Determine, em centímetros por segundo, a velocidade média de P :

12.1.1

nos primeiros três segundos;

12.1.2

entre os instantes t = 2 e t = 6 .

12.2

Determine, em centímetros por segundo, a velocidade de P nos instantes t _{= 1 e t = 3 .}

12.3

Determine, em centímetros por segundo ao quadrado, a aceleração média de P :

12.3.1

nos primeiros cinco segundos;

12.3.2

entre os instantes t _{= 3 e t = 10 .}

12.4

Determine, em centímetros por segundo ao quadrado, a aceleração de P no instante t = 3 .

12.5

Supondo que o ponto esteve em movimento entre os instantes t _{= 0 e t = 3 , em que instante, em} segun-dos, o ponto atingiu a velocidade mínima? Qual foi a aceleração do ponto nesse instante?

Itens para resolver

(8)

PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA

243

6.

Considere o conjunto A = {0, 1, 3, 5, 8} .

6.1

Quantos números naturais distintos, menores do que 5000, é possível escrever com os elementos de A ?

6.2

Quantos números naturais distintos, com quatro algarismos diferentes, é possível escrever com os

elementos de A ?

6.3

Admita que numa urna estão cinco cartões, indistinguíveis ao tato, cada um com um dos algarismos do conjunto A . Extraem-se, ao acaso, dois cartões da urna.

Calcule a probabilidade de os algarismos serem ambos ímpares nas duas situações seguintes: se a extra-ção for com reposiextra-ção e se a extraextra-ção for sem reposiextra-ção.

6.4

Suponha que, na urna anterior, foram acrescentados mais alguns cartões. Sabe-se que agora existem 756 maneiras de se extraírem dois quaisquer cartões diferentes, um de cada vez e sem reposição.

Quantos cartões foram acrescentados?

7.

Uma caixa tem dez bombons de café e outros de chocolate. A Isilda pretende comê-los todos, um de cada vez.

7.1

Suponha que a caixa tem 20 bombons de chocolate. Verifique que a probabilidade de a Isilda comer os dez

bombons de café consecutivamente é igual a 21! * 10! ________ _{30! .}

7.2

Suponha agora que a caixa tem n bombons de chocolate. Prove que a probabilidade de a Isilda comer os dez bombons de café consecutivamente é dada por n + 1 _______ n + 10_C

10 .

8.

Na figura seguinte está representado o prisma quadrangular regular [OPQRSTUV] .

Preparação Exames − Mat. 12ª

DT_007 — 1.ª prova 14/05/2011 RCoelho Q P T U S V R O

8.1

Considere que dispomos de cinco cores (amarelo, branco, castanho, azul e encarnado) para pintar a base superior e as quatro faces laterais desse prisma.

Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas essas faces, de modo que:

•

duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes;

•

duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor.

8.2

Escolhidos três vértices ao acaso do prisma, qual é a probabilidade de definirem um triângulo que contenha o ponto P ?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Itens para resolver

(9)

280

29.

No plano complexo da figura seguinte está representado o trapézio retângulo [OPQR] .

15/10/2011 Bruno Fragoso O P Q R Im (z) Re (z) Sabe-se que:

•

o ponto O é a origem do referencial;

•

o ponto P é a imagem geométrica do complexo z

₁_{= 3 e}i 3p___ 2 _;

•

o ponto Q é a imagem geométrica de um complexo z

₂ ;

•

o ponto R é a imagem geométrica do complexo z

₃_{= 5 .}

Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes.

29.1

Suponha que Im (z₂) _{= 4 .}

Calcule a e b de modo que a + 2bi45_{– 3b}₌_____ z2+ 2 1 _{- 2i} .

29.2

Sabendo que a área do trapézio [OPQR] é igual a 17, determine, na forma algébrica, o complexo z₂ .

29.3

Calcule, na forma trigonométrica, o número _[z₁_{+ 5 + (–1 – 3i )}2_] (3 – _√___ 3 i) .

30.

Na figura ao lado está representado, no plano complexo, uma

circunferên-cia de centro na origem. Sabe-se que:

•

o ponto A pertence a essa circunferência e é a imagem geométrica do número complexo w₁ ;

•

um argumento de w₁ é 7p ___ _{12 ;}

•

o ponto B pertence a essa circunferência e é a imagem geométrica do número complexo w₂ ;

•

α é a amplitude do ângulo POB , onde P é um ponto do semieixo negativo real.

Sem recorrer à calculadora, exceto para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva os itens seguintes.

30.1

Mostre que ___ w1

w₂ = e

i ₍a - ___ 5₁₂p ₎

e determine um valor para α de modo que ___ w1

w₂ seja um número imaginário puro.

30.2

Considere agora que:

•

o número complexo w₃= 2 – 3i123_{é tal que |w}

3| é o raio da circunferência da figura;

•

sen _{a = 1}__ _{2 e a å}

_]

0, p __ ₂

_[

;

•

w₁ e w₂ são raízes consecutivas de índice n do número complexo z . Escreva w₂ e z na forma trigonométrica.

07/07/2011 Bruno Fragoso O A B P 7 — 12 Im (z) Re (z)

Itens para resolver

(CONTINUAÇÃO)