Prova do Processo Seletivo do PPGEM - 08 de dezembro de Código do candidato. Instruções

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Prova do Processo Seletivo do PPGEM - 08 de dezembro de 2017

Código do candidato 

Instruções

1. É permitido o uso de calculadoras simples, não programáveis.

2. O tempo máximo da prova é de 4 horas.

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Cursos: Agronomia, Ciências Biológicas, Eng. Civil, Eng. Elétrica, Eng. Mecânica, Física, Matemática e Zootecnia.

Avenida Brasil Centro, 56 CEP 15385-000 Ilha Solteira São Paulo Brasil

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Questão 1) Considere o sistema linear: y dt dx  ; dt x dy __

Mostre que a função H

 

x,y x2  y2é constante para todo tempo t, t0_.

Resolução: dt dy y H dt dx x H dt dH       0 ) ( 2 2 2 2       xx yy xy y x dt dH _ _ Portanto:

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Código do candidato 

Questão 2) Dada a equação Ax



x com

2 0 0 0 1 1 0 1 1 A           

e equação característica dada pelo determinante

2 0 0 0 1 1 0 0 1 1       

Demonstre que o resultado do determinante é





2 2 0

 

  

e determine os possíveis valores de λ. Resposta:



 



2







₂



2 0 0 0 1 1 2 1 1 2 2 0 1 1               _   _    

























2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0                         

Os possíveis valores de λ são

0



 e





2 2 1 2 2 2 2 0 4 4 4 4 2 2 4 4 0 4 4 4 4 2 2         _ _{ }      _{   }       

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Questão 3) Um ventilador deve ser selecionado para ventilar um banheiro cujas dimensões 2m x 3m x 3m. A velocidade do ar não deve exceder 8 m/s para minimizar o ruído e a vibração. A eficiência do ventilador é 50%. Se o ventilador deve substituir todo o volume de ar em 10 minutos, determine a) a potência do motor de acionamento do ventilador; b) o diâmetro do gabinete do ventilador e c) a diferença de pressão através do ventilador. Considere a massa específica do ar igual a 1,25kg/m3_.

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Código do candidato 

Questão 4) Vapor entra em uma turbina com pressão de 30 bares, a temperatura de 400°C e velocidade de 160m/s. Vapor saturado a 100°C sai da turbina com velocidade de 100m/s. Em regime permanente, a turbina desenvolve trabalho de 540kJ por kg de vapor escoando através da turbina. Transferência de calor entre a turbina e seus arredores ocorre a uma temperatura média da superfície de 500K. Mostre um esboço do processo no diagrama T-s. Determine a taxa em que entropia é produzida dentro da turbina por kg de vapor escoando, em kJ/kg.K. Despreze variação de energia potencial entre a entrada e saída.

vc e s dm m m dt   _; 2 2 2 2 vc e s e e e s s s vc vc dE V V m h gZ m h gZ Q W dt      _   _ _   _      vc vc e e s s ger b dS Q m s m s S dt    T  T[°C] P[bar] estado hl[kJ/kg] hv[kJ/kg] sl[kJ/kg.K] sv[kJ/kg.K] 100 419,04 2676,1 1,3069 7,3549 233,9 30 1008,4 2804,2 2,6457 6,1819 P=30 bares T[°C] h[kJ/kg] s[kJ/kg.K] 3230,9 6,9212 Te400C pe30bar he 3230.9kJ kg  se 6.912 kJ kg K  Tb500K wvc 540kJ kg  Ts100C xs1 hs 2676.1kJ kg  ss 7.3549 kJ kg K  Vs 100m s  Ve 160m s  qvc w vc hs he Vs 2 Ve2  2   qvc 2.26x104kJ kg sger qvc Tb  ss se  sger 488.1 kJ kgK

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Questão 5) Para um oscilador harmônico unidimensional de massa m e frequência





m _,

mostre a equação do movimento do sistema, através de Euler Lagrange.

Resposta: V T L  ; (1) Onde: 2 2 q m T   ; 2 2q k V 

Método de Euler Lagrange:

0             q L q L dt d  (2) Substituindo (1) em (2), temos: 0   kq q m 

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Código do candidato 

Questão 6) Dado o sistema da figura, determinar, em relação à coordenada generalizada x(t) sua frequência natural.

Resposta: 0 M 



Imx r.2 k._mr 0 mr x2r 2 m x   2 x r   .2 . 0 2 2 x x I mx r k r r    . 2 0 2 2 I k x m r x r r  _  _ _     4 2 2 / 2 2, 09 10 10, 488 / 1,5 2 4 4 10 2 0,1 n kr k rd s I I m r m r r           Outra forma: 2 2 1 1 2 2 Ec mx  I 1 2 2 m Ep k 2 x r   2 2 1 2 4 I Ec m x r    _  _   2 1 2 4 x Ep k d Ec Ep 0 dt x x    _{ } _  _  _   2 4 Ec I m x x r  _ _       4 Ep kx x    2 4 d Ec I m x dt x r    _ _   _        2 0 4 4 I kx m x r  _  _ _     2 2 / 4 20900 / 4 110 10, 488 / 1,5 10 4 4 0,1 n k rd s I m r        

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Questão 7) Os átomos podem apresentar ordem tanto em pequenas quanto em grandes distâncias interatômicas. Na temperatura ambiente o ferro apresenta um arranjo cristalino cúbico de corpo centrado (CCC). Sabendo-se que o ferro possui raio atômico de 0,124 nanometros e massa atômica 56,0 gramas por mol, determine:

(i) o número de átomos de ferro dentro da célula unitária CCC; (ii) o fator de empacotamento atômico da célula unitária CCC;

(iii) o parâmetro de rede (aresta) da estrutura cúbica de corpo centrado do ferro, em nanometros;

(iv) a densidade teórica do ferro CCC, em gramas por centímetro cúbico.

Resposta:

(i) em cada vértice do cubo existe 1/8 átomo. Como há 8 vértices no cubo, temos um átomo

ocupando estas posições. Também há um átomo no interior da célula unitária, totalizando 2 átomos por célula unitária CCC.

(ii) o fator de empacotamento atômico independe do raio atômico e para as estruturas CCC corresponde a 0,68. O cálculo segue abaixo:

(diagonal do cubo)2_{= (aresta do cubo)}2_{+ (diagonal da face do cubo)}2

16R2_{= a}2_{+ 2a}2 _16R2_{= 3a}2 R a 3 3 4 

O volume V do cubo será

3 3 3 3168 , 12 3 3 4 R V R V a V _          

O volume de átomos v dentro da célula unitária cúbica será 3 3 3775 , 8 3 4 2 R v R v    

O fator de empacotamento atômico é a razão entre v e V:

68 , 0 3168 , 12 3775 , 8 3 3   R R V v

(iii) do item anterior foi determinado que

nm a a R a 0,124 0,2864 3 3 4 3 3 4 _ _ _ _ _ 

(iv) densidade é definida como a razão entre a massa e o volume ocupado pelos átomos na célula CCC. Assim sendo torna-se necessário determinar a massa de 2 átomos de ferro que estão dentro da estrutura CCC.

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Código do candidato 

g m m ₂₃ 1,86 10 22 10 02 , 6 56 2 _ _ _    

O volume V ocupado pelos 2 átomos no cubo CCC foi determinado no item anterior

3 2 3 3 3 3 ₁₂_,₃₁₆₈ ₁₂_,₃₁₆₈_.(₀_,₁₂₄₎ ₂_,₃₅ ₁₀ 3 3 4 nm V V R V R V a V _                

Sabendo que 1nm3_{equivale a 10}-7_cm3_temos,

3 21 2 22 / 9 , 7 10 10 35 , 2 10 86 , 1 cm g d d       _  _

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Questão 8) Um entalhe, decorrente de um furo ou canto vivo, produz uma grande alteração no comportamento de peças e componentes mecânicos. Sendo assim, responda:

a) Quais são os efeitos que um entalhe produz na distribuição de tensões de um componente mecânico?

b) Por que razão um componente com um entalhe tem sua resistência mecânica e tenacidade reduzidas?

c) Por que os materiais apresentam diferentes sensibilidades a um entalhe?

Resposta:

a) Um entalhe afeta significativamente a distribuição de tensões por causa de dois efeitos nas imediações do entalhe: a concentração de tensões e a introdução de um estado triaxial de tensões.

b) A concentração de tensões ocasiona a redução de resistência mecânica e o estado triaxial reduz as componentes de cisalhamento o que reduz a ductilidade local e, consequentemente, acarreta numa redução da tenacidade.

c) Matérias dúcteis são menos sensíveis ao entalhe por que se deformam plasticamente e com isso possibilitam redistribuir e controlar melhor os picos de tensão.