MOVIMENTO 3D PROPS. INERCIAIS E MOMENTO ANGULAR

MOVIMENTO 3D – PROPS. INERCIAIS E MOMENTO ANGULAR INTRODUÇÃO

ESTUDO DE CASO

Os projetistas de um submarino estão predizendo seu desempenho durante manobras de mergulho. Ao conceber a torre de

observação, eles têm que determinar sua contribuição para a quantidade de movimento angular em torno do centro de massa do submarino.

QUESTÕES → ver vídeos 3.1 e 3.2←

DADOS

No instante em que o mergulho começa, os dados são os seguintes:

 Os componentes da velocidade e da velocidade angular do submarino em relação à terra são v_xI, v_yJ, -ω_xI, ω_yJ (v_zK = ω_zK = 0);

ABORDAGEM

 Modelar a torre de observação como um prisma retangular homogêneo;

 Determinar as propriedades inerciais da torre em torno de seu centro de massa e depois transferi-las para o centro de massa do submarino;

TEORIA

Para analisar o movimento tridimensional de um objeto, há que se considerar, além da definição de momento de inércia, a definição de produto de inércia. MOMENTO DE INÉRCIA (→ reação inercial à rotação)

O momento de inércia de um elemento de massa dm em torno do eixo x é

2 2 2 2

xx x x

dI  r dm (sendo que r  y z )

Integrando em relação à massa, decorre que

2 2 2

xx x

m m

I  _ r dm  _ (y  z )dm (1a) Para as demais direções, têm-se que

PRODUTO DE INÉRCIA (→ medida de assimetria na distribuição de massa) O produto de inércia do elemento dm é definido em relação a dois planos ortogonais como o produto da massa do elemento pela distância perpendicular dos planos considerados.

Assim, o produto de inércia de um elemento em relação aos planos x-z e y-z é

xy

dI  xydm

Integrando em relação à massa, resulta que

xy

m

I _{ } xydm (2a)

Para as demais combinações de planos, têm-se

yz

m

I _{ } yzdm (2b) _xz

m

TEOREMAS DOS EIXOS PARALELOS E DOS PLANOS PARALELOS Se o centro de massa de um corpo está localizado em (x_cm, y_cm, z_cm), em relação ao sistema (xyz), as equações do teorema dos eixos paralelos são

2 2 xx x ' x ' cm cm cm I  (I )  m(y  z ) (3a) 2 2 yy y 'y' cm cm cm I  (I )  m(x  z ) (3b) 2 2 zz z 'z' cm cm cm I  (I )  m(x  y ) (3c)

permitindo relacionar (transferir!) os momentos de inércia nos sistemas (x’y’z’) e (xyz).

TEOREMAS DOS EIXOS E DOS PLANOS PARALELOS (cont.)

As equações do teorema dos planos paralelos, que permitem transferir produtos de inércia entre conjuntos de planos

ortogonais paralelos são

xy x ' y ' cm cm cm I  (I )  mx y (4a) yz y 'z' cm cm cm I  (I )  my z (4b) xz x 'z' cm cm cm I  (I )  mx z (4a)

QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR

Seja um corpo rígido em movimento geral em relação a um referencial inercial (XYZ). A origem A do referencial móvel (xyz) translada e gira com o corpo rígido, que possui uma velocidade angular ω em relação a (XYZ).

Para obter a quantidade de movimento angular do corpo em torno de A, em relação a (XYZ), considera-se, de saída, a i-ésima partícula de massa do corpo, de massa m_i. A quantidade de movimento é

Ai  i/A mi i

H ρ v

QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR (cont.) Recorda-se que a velocidade v é dada por _i

i  A   i/A

v v ω ρ

Substituindo a equação acima na equação de H _Ai e integrando ao longo da massa, obtém-se





A i/A A i/A i/A

m m dm dm    _{  }  _     H ρ v ρ ω ρ

QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR (cont.) Quando A é um ponto fixo O, em torno do qual

o corpo rígido gira, então v_A = 0. Assim, tem-se





Já se A é um ponto arbitrário no corpo, constata-se que

A  G/A m G  G

H ρ v H (7)

QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR (cont.)

Para uso prático das Eqs. (5) e (6), observa-se que elas são da forma





m

dm  _  

H ρ ω ρ

Assim, num sistema retangular auxiliar arbitrário (xyz), tem-se que













x y z x y z

m

H i  H j H k  _ xi  yj zk _     i j k  xi  yj zk _dm Expandindo os produtos cruzados, combinando termos, e fazendo uso das Eqs. (1) e (2), a quantidade de movimento angular pode ser dada por

SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO

SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – MOMENTOS DE INÉRCIA Começa-se com um diagrama,

modelando o casco do submarino como um cilindro e a torre como um prisma retangular.

Usam-se, então, as Eqs. (1) para determinar os momentos de inércia da torre em torno de seu centro de massa. Decorre, assim, que

SOL. DO ESTUDO DE CASO – MOMENTOS DE INÉRCIA (cont.)

Observa-se que m indica a massa da torre de observação, enquanto que, nesse _t caso, o elemento infinitesimal de massa dm  ( .c)dydz.

Similarmente, resulta, para os demais momentos de inércia, que









Alternativamente, essas expressões também poderiam ser encontradas

SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – PRODUTOS DE INÉRCIA

Já os produtos de inércia da torre, em relação ao centro de massa, podem ser obtidos através das Eqs. (2). Tem-se, então, que

b/2 c/2 x 'y' m b/2 c/2 I xydm a xydxdy 0    _   _{ } 

Observa-se que dm  ( .a)dxdy. Similarmente,

y ' z ' x ' z '

I  I  0

Os produtos de inércia no caso em

SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – PROPRIEDADES INERCIAIS

Usando o teorema dos eixos paralelos, expresso nas Eqs. (3), para transferir os momentos de inércia da torre de seu centro de massa para o centro de massa do submarino, resulta nas seguintes expressões:

SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – PROPS. INERCIAIS (cont.)

Já através do teorema dos planos paralelos, expresso nas Eqs. (4), pode-se transferir os produtos de inércia da

torre de seu centro de massa para o centro de massa do submarino. Isso resulta em x ' y ' t y xy I m x I   d d  0 y ' z ' t y yz I m d dz t y z I    m d d x ' z ' t z xz I m x I   d d  0

SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – QUANT. DE MOV. ANGULAR

Usam-se as Eqs. (8) para expressar, em forma escalar, a quantidade de movimento angular da torre de observação em torno de seu centro de massa, dada pela Eq. (5). Ou seja,

G  Hx  Hy  Hz

H i j k

onde

x xx x

H  I  ; H_y  I_yy ; _y H_z  I_yz . _y

A seguir, expressa-se a posição e a velocidade da torre em componentes retangulares, e calcula-se o momento da quantidade de movimento linear da torre em relação ao centro de massa do submarino. Posição e velocidade são

t  dy dz

SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – MOMENTO ANGULAR (cont.) Já o momento da quantidade de movimento linear decorre de

t t t y z z y z x y x x y m 0 d d d v d v d v v v 0       i j k ρ v i j k

Aplica-se, então, a Eq. (7) para obter a quantidade de movimento angular da torre em relação ao

centro de massa do submarino, de modo que → ver vídeos 3.1 e 3.2←

Fonte:

 eCourses Dynamics – Multimedia Engineering Dynamics, K. Grammoll,

https://ecourses.ou.edu/cgi-bin/ebook.cgi?doc=&topic=dy&chap_sec=09.0, acessado em 21/11/2016;