Mecânica dos Fluidos
Relações diferenciais para uma Partícula de Fluido
Karl Peter Burr
1
Introdução
Na análise do movimento dos fluidos podemos seguir um de dois caminhos:
1. Procurar uma estimativa dos efeitos globais sobre uma região finita (volume de con-trole), ou
2. procurar os detalhes de um escoamento ponto a ponto, analisando uma região in-finitesimal do escoamento.
O primeiro ponto de vista foi abordado na aula 5. Nessa aula, vamos utilizar o segundo ponto de vista para a análise de um escoamento de um fluido, que consiste na análise diferencial de um escoamento. Isto é:
• aplicamos nossas quatro leis básicas de conservação a um volume de controle infini-tamente pequeno ou, alternativamente, a um sistema infinitesimal de fluido.
• Os resultados fornecem as equações diferenciais do movimento do fluido.
2
Equação diferencial de Conservação de Massa
Todas as equações básicas podem ser deduzidas, considerando-se tanto um volume de con-trole elementar como um sistema elementar. Vamos aqui considerar um volume de concon-trole infinitesimal fixo (dx, dy, dz)como ilustrado na figura abaixo.
O escoamento através de cada lado do elemento é aproximadamente unidimensional, e portanto podemos escrever:
Z
V C
∂ρ ∂tdV +
X
(ρiAiVi)sai−
X
(ρiAiVi)ent = 0 (1)
O elemento é tão pequeno, que a integral de volume se reduz simplesmente a um termo diferencial:
Z
V C
∂ρ ∂tdV ≈
∂ρ
∂tdxdydz
Os termos de fluxo de massa ocorrem em todas as seis faces, três entradas e três saidas. Fazemos uso do nosso conceito de campo ou de meio contínuo, onde as propriedades do fluido são consideradas funções variáveis do tempo e da posição, tais como ρ=ρ(x, y, z, t)
e
~
• Faces ortogonais ao eixo x.
– Fluxo de massa na entrada:
ρudydz
– Fluxo de massa na saida:
ρu+ ∂
∂x(ρu)dx
dydz
• Faces ortogonais ao eixo y.
– Fluxo de massa na entrada:
ρvdxdz
– Fluxo de massa na saida:
ρv+ ∂
∂y(ρv)dy
dxdz
• Faces ortogonais ao eixo z.
– Fluxo de massa na entrada:
ρwdxdy
– Fluxo de massa na saida:
ρw+ ∂
∂z(ρw)dz
dxdy
Substituindo a avaliação dos integrais de fluxos e do integral sobre o volume de controle na equação (1) obtemos:
∂ρ
∂tdxdydz+ ∂
∂x(ρu)dxdydz+ ∂
∂y(ρv)dxdydz+ ∂
∂z(ρw)dxdydz = 0
Simplificando a equação acima chegamos a uma equação diferencial parcial que envolve derivadas da massa específica e da velocidade
∂ρ ∂t +
∂
∂x(ρu) + ∂
∂y(ρv) + ∂
∂z(ρw) = 0, (2)
• massa específica e a velocidade sejam funções continuas,
• escoamento pode ser permanente ou não, viscoso ou sem atrito, compressível ou incompressível.
• não leva em conta nenhuma fonte ou sumidouro dentro do elemento.
Utilizando o operador nabla
~
∇= ∂ ∂x~i+
∂ ∂y~j+
∂ ∂z~k
podemos reescrever a equação da continuidade de forma mais compacta.
∂ρ
∂t +∇ ·~ (ρ~V) = 0 (3)
Nessa forma vetorial, a equação é ainda mais geral, podendo ser convertida diretamente para outros sistema de coordenadas, além do cartesiano.
Coordenadas Cilíndricas:
Transformação de coordenadas do sistema cartesiano (x, y, z) para o sistema de coor-denadas cilindricas (r, θ, z):
r=px2 +y2 θ= tan−1 y
x z =z
e o operador nabla aplicado a um campo de vetores A~ escrito em termos dos versores
(νr, νθ, νz) da base associada ao sistema de coordenadas cilindricas assume a forma:
∇ ·A~ = 1 r
∂
∂r(rAr) + 1 r
∂
∂θ(Aθ) + ∂ ∂z(Az)
A equação da continuidade geral, dada por (3), em coordenadas cilindricas assume a forma:
∂ρ ∂t +
1 r
∂
∂r(rρVr) + 1 r
∂
∂θ(ρVθ) + ∂
2.1
Escoamento em regime Permanente
Se o escoamento é permanente, ∂ρ/∂t = 0, e todas as propriedades do escoamento são função apenas da posição. A equação (3) se reduz a:
• coordenadas cartesianas.
∂
∂x(ρu) + ∂
∂y(ρv) + ∂
∂z(ρw) = 0, (5)
• coordenadas cilindricas.
1 r
∂
∂r(rρVr) + 1 r
∂
∂θ(ρVθ) + ∂
∂z(ρVz) = 0 (6)
2.2
Escoamento Incompressível
Um caso especial que propicia uma grande simplificação é o de escoamento incompressível, no qual as variações de massa específica são desprezíveis. Nesse caso,
• ∂ρ/∂t≈0, independentemente de o escoamento ser permanente ou não,
• e a massa específica pode ser retirada da operação do divergente na equação (3) e cancelada.
O resultado é:
~
∇ ·V~ = 0 (7)
As formas nos dois sistemas de coordenadas são:
• Cartesianas:
∂u ∂x +
∂v ∂y +
∂w
∂z = 0, (8)
• Cilindricas:
1 r
∂
∂r(rVr) + 1 r
∂
∂θ(Vθ) + ∂
3
Equação Diferencial para a Quantidade de Movimento
Linear
Utilizaremos o mesmo volume de controle elementar ilustrado acima, para o qual a relação adequada de quantidade de movimento linear é:
X
~ F = ∂
∂t
Z
V C
~ V ρdV
+X( ˙miV~i)sai−
X
( ˙miV~i)ent (10)
Como o elemento é tão pequeno, o integral de volume se reduz simplesmente a taxa de variação do integrando no tempo vezes o volume do elemento, ou seja:
∂ ∂t
Z
V C
~ V ρdV
≈ ∂
∂t(ρ~V)dxdydz
Os fluxos de quantidade de movimento ocorrem em todas as seis faces, três entradas e três saidas do volume de controle elementar ilustrado acima.
• Faces ortogonais ao eixo x.
– Fluxo de massa na entrada:
ρρu~V dydz
– Fluxo de massa na saida:
ρu~V + ∂
∂x(ρu~V)dx
dydz
• Faces ortogonais ao eixo y.
– Fluxo de massa na entrada:
ρv ~V dxdz
– Fluxo de massa na saida:
ρv ~V + ∂
∂y(ρv ~V)dy
dxdz
– Fluxo de massa na entrada:
ρw~V dxdy
– Fluxo de massa na saida:
ρw~V + ∂
∂z(ρw~V)dz
dxdy
Introduzindo os termos de fluxo e o termo do integral sobre o volume de controle na equação (10), obtemos o resultado
X
~
F =dxdydz
∂
∂t(ρ~V) + ∂
∂x(ρu~V) + ∂
∂y(ρv ~V) + ∂
∂z(ρw~V)
(11)
Essa é uma relação vetorial. Desenvolvendo os termos entre colchetes e rrescrevendo da maneira abaixo:
∂
∂t(ρ~V)+ ∂
∂x(ρu~V) + ∂
∂y(ρv ~V) + ∂
∂z(ρw~V)
=V~
∂ρ
∂t +∇ ·~ (ρ~V)
+ρ ∂ ~V ∂t +u
∂ ~V ∂x +v
∂ ~V ∂y +w
∂ ~V ∂z
!
A promeira expressão (entre colchetes) no lado direito da igualdade acima deve se anular, em razão da equação da continuidade, equação (3). A última expressão do lado direito da equação acima é a aceleração da partícula que no instante ocupa o volume de controle, que é dada pela derivada material do campo de velocidade na posição do volume de controle:
∂ ~V ∂t +u
∂ ~V ∂x +v
∂ ~V ∂y +w
∂ ~V ∂z =
d~V dt
Logo, a equação (11) se reduz a:
X
~
F =ρd~V
dt dxdydz (12)
Necessitamos agora avaliar a força resultante sobre o volume de controle. Essa força deve ser de tamanha diferencial e proporcional ao volume do elemento de controle. As forças podem ser de dois tipos:
• Forças de superfície.
Forças de Campo.
• As forças de campo devem-se a campos externos (gravidade, magnetismo, potencial elétrico) que atuam sobre toda a massa dentro do elemento.
• A única força de campo que vamos considerar nesse curso é a da gravidade.
• A força da gravidade sobre a massa diferencialρdxdydzdentro do volume de controle é:
d ~Fgrav =ρ~gdxdydz (13)
onde~g pode ter, em geral, uma orientação arbitrária em relação ao sistema de coor-denadas.
Forças de Superfície.
• As forças de superfície devem-se as tensões sobre os lados da superfície de controle.
• Essas tensões são dadas pela soma das pressões hidrostáticas e das tensões viscosas
τij que surgem do movimento com gradientes de velocidades.
σij =
−p+τxx τyx τzx
τxy −p+τyy τzy
τxz τyz −p+τzz
(14)
• Não são essas tensões, mas os seus gradientes, ou diferenças, que causam uma força
A figura acima mostra as tensões na direção x. Por exemplo:
– a força para a esquerdaσxxdydz, sobre a face à esquerda,
– é contrabalançada pela força a direita σxxdydz, sobre a face à direita,
– ficando apenas a força líquida para a direita (∂σxx/∂x)dxdydz.
O mesmo acontece nas outras quarto faces, de modo que a força líquida na direção x
é dada por:
dFx,sup =
∂
∂x(σxx) + ∂
∂y(σyx) + ∂ ∂z(σzx)
dxdydz
• Essa força é proporcional ao volume do elemento.
• Observe que os termos de tensão são tirados da primeira linha da matriz da equação (14).
dFx
dV =− ∂p ∂x +
∂
∂x(τxx) + ∂
∂y(τyx) + ∂ ∂z(τzx)
• De maneira análoga, podemos deduzir as forças na direção dos eixosyez, por unidade de volume, sobre a superfície de controle:
dFy
dV =− ∂p ∂y +
∂
∂x(τxy) + ∂
∂y(τyy) + ∂ ∂z(τzy)
dFz
dV =− ∂p ∂z +
∂
∂x(τxz) + ∂
∂y(τyz) + ∂ ∂z(τzz)
• As tres equações logo acima são as componentes da força superficial, por unidade de volume, respectivamente na direção dos eixosx,yez. A força superficial por unidade de volume na fome vetorial pode ser escrita como:
d ~F dV
!
sup
=−∇~p+ d ~F dV
!
viscosas
(15)
onde a força viscosa é decomposta em nove termos
d ~F dV ! viscosas = ∂
∂x(τxx) + ∂
∂y(τyx) + ∂ ∂z(τzx)
~i
+
∂
∂x(τxy) + ∂
∂y(τyy) + ∂ ∂z(τzy)
~j
+
∂
∂x(τxz) + ∂
∂y(τyz) + ∂ ∂z(τzz)
~k
• Uma vez que cada expressão entre parentesis na equação acima representa o diver-gente do respectivo vetor componente de tensão atuando sobre as faces ortononais aos eixosx,yez. A equação acima pode ser escrita na forma mais compacta utilizando-se notação tensorial:
d ~F dV
!
viscosas
= ∂τij ∂xi
(16)
τij =
τxx τyx τzx
τxy τyy τzy
τxz τyz τzz
é o tensor das tensões viscosas atuando sobre o elemento.
• Portanto, a força de superfície é a soma do vetor gradiente de pressãoe do divergente
do tensor das tensões viscosas.
• substituindo na equação (12) as equações (13), (15) e (16), obtemos a equação difer-encial básica da quantidade de movimento linear no tempo para um elemento in-finitesimal
ρ~g−∇~p+∂τij ∂xi
=ρd~V
dt (17)
• Podemos exprimir a equação (17) em palavras:
Força de gravidade por unidade de volume
+força de pressão por unidade de volume
+força viscosa por unidade de volume
=massa específica×aceleração
• A equação da quantidade de movimento linear na forma vetorial é breve e compacta, de modo que sua complexidade não é aparente. Vamos escreve-la em termos de suas componentes em relação a um sistema de cartesiano:
ρgx−
∂p ∂x + ∂τxx ∂x + ∂τyx ∂y + ∂τzx
∂z =ρ
∂u ∂t +u
∂u ∂x +v
∂u ∂y +w
∂u ∂z
ρgy −
∂p ∂y + ∂τyx ∂x + ∂τyy ∂y + ∂τzy
∂z =ρ
∂v ∂t +u
∂v ∂x +v
∂v ∂y +w
∂v ∂z
(18)
ρgz−
∂p ∂z + ∂τxz ∂x + ∂τyz ∂y + ∂τzz
∂z =ρ
∂w ∂t +u
∂w ∂x +v
∂w ∂y +w
∂w ∂z
3.1
Escoamento não-viscoso: Equação de Euler
A equação (18) não estará pronta para ser aplicada enquanto não relacionarmos as tensões viscosas aos componentes de velocidade. A hipótese mais simples é a de escoamento sem atrito, τij = 0, com a qual a equação (17) se reduz a:
ρ~g−∇~p=ρd~V
dt (19)
Essa é a equação de Euler.
3.2
Fluido Newtoniano: Equações de Navier-Stokes
Para um fluido Newtoniano, as tensões viscosas são proporcionais às taxas de deformação e ao coeficiente de viscosidade. Para escoamento incompressível e viscoso tridimensional temos que:
τxx =2µ
∂u ∂x
τyy =2µ
∂v ∂y
τzz =2µ
∂w ∂z
τxy =τyx =µ
∂u ∂y + ∂v ∂x (20)
τxz =τzx=µ
∂w ∂x + ∂u ∂z
τyz =τzy =µ
∂w ∂y + ∂v ∂z
onde µ é o coeficiente de viscosidade. Substituindo as equações (20) nas equações (18), obtemos a equação diferencial da quantidade de movimento linear para um fluido Newto-niano com massa específica e viscosidade constantes
ρgx−
∂p ∂x +µ
∂2 u ∂x2 +
∂2 u ∂y2 +
∂2 u ∂z2
=ρdu dt
ρgy−
∂p ∂y +µ
∂2 v ∂x2 +
∂2 v ∂y2 +
∂2 v ∂z2
=ρdv
dt (21)
ρgz−
∂p ∂z +µ
∂2 w ∂x2 +
∂2 w ∂y2 +
∂2 w ∂z2
Essas são as equações de Navier-Stokes, assim chamadas em homenagem a C. L. M. H. Navier (1785-1836) e Sir George G. Stokes (1819-1903), a quem se atribui o crédito por tê-las deduzido. Trata-se de equações diferenciais parciais não-lineares de segunda ordem, bastante complicadas.
O conjunto de equações (21) tem quatro incógnitas: p, u, v ew. elas devem ser combi-nadas com a equação de continuidade incompressível (7) para formar um sistema de quatro equações nessas quatro incógnitas.
Exemplo 1:
Considere o campo de velocidades abaixo:
u=a(x2−y2) v =−2axy W =0
e determine em quais condições ele é uma solução das equações de Navier-Stokes. Supondo que essas condições sejam satisfeitas, determine a distribuição de pressões resultantes quando gx = 0, gy = 0 e gz =−g.
Solução:
Faça uma substituição das equações acima nas equações de Navier-Stokes (equações (21):
ρ(0)− ∂p
∂x +µ(2a−2a) = 2a 2
ρ(x3 +xy2
)
ρ(0)− ∂p
∂y +µ(0) = 2a 2
ρ(x2 y+y3
)
ρ(−g)− ∂p
∂z +µ(0) = 0
A terceira equação acima pode ser integrada por partes, obtendo-se:
p=−ρgz+f1(x, y)
isto é, a pressão é hidrostática na direção de z. A questão agora é mostrar que o campo de velocidades é solução das equações de N-S. Um modo de responder é efetuar as derivadas mistas ∂2
p/(∂x∂y)nas duas primeiras equações acima e em seguida compara-las:
• Da primeira equação:
∂2 p
∂x∂y =−4a 2
ρxy
• Da segunda equação:
∂2 p ∂x∂y =−
∂ ∂x
2a2 ρ(x2
y+y3 )
Como os resultados são identidcos, o campo de velocidade dado é uma solução exata das equações de N-S.
Para encontrar a distribuição de pressão, vamos substituir a pressão de pressão obtida acima nas duas primeiras equações.
• Da primeira equação:
∂f1
∂x =−2a 2
ρ(x3 +xy2
)
• Da segunda equação:
∂f1
∂y =−2a 2
ρ(x2 y+y3
)
Integrando a primeira dessas equações em relação a x, obtemos:
f1(x, y) =− 1 2a
2 ρ(x4
+ 2x2 y2
) +f2(y)
Comparando essa equação com a equação acima que envolve ∂f1/∂y, vemos que são
equivalentes se:
f′
2(y) =−2a2 ρy3
ou
f2(y) =− 1 2a
2 ρy4
+C
onde C é uma constante. Para a distribuição completa de pressão basta substituir a ex-pressão para f2(y) na expressão para f1(x, y) e esta na primeira equação para a pressão.
Assim obtemos:
p(x, y, z) =−ρgz− 1
2a 2
ρ(x4 + 2x2
y2 +y4
) +C
4
A Equação Diferencial da Quantidade de Movimento
angular
Vamos utilizar a mesma abordagem que a utilizada para a consevação de massa e quantidade de movimento linear para obter a relação diferencial da quantidade de movimento angular. A forma apropriada para a equação integral da quantidade de movimento angular para um volume de controle fixo é:
X
~ MO =
d dt
Z
V C
(~r∧V~)ρdV
+
Z
SC
(~r∧V~)ρ(V~ ·~ndA (22)
• Vamos nos concentrar no eixo que passa porO, que é paralelo ao eixo z (componente da equação vetorial acima na direção do eixo z) e passa no centroide do volume de controle elementar, como ilustrado na figura abaixo.
• Seja θ o ângulo de rotação em torno do eixo que passa por O do fluido dentro do volume de controle.
Podemos avaliar os momentos em torno do eixo que passa por O e os termos de quan-tidade de movimento angular em torno do eixo que passa por O. É preciso muita álgebra e damos aqui apenas o resultado:
τxy −τyx+
1 2
∂
∂x(τxy)dx− 1 2
∂
∂x(τyx)dy
dxdydz
= 1
12ρ(dxdydz)(dx 2
+dy2 )d
2 θ dt2
• Admitindo que a aceleração angular d2 θ/dt2
seja finita, podemos desprezar todos os termos diferenciais de ordem mais alta, o que conduz a um resultado finito e interessante:
τxy ≈τyx
• Se houvessemos realizado o mesmo estudo para eixos passando por O, e paralelos aos eixos x ey, obteriamos resultados análogos ao obtido acima:
τyz ≈τzy
τxz ≈τzx
Conclusão: Não há equação diferencial da quantidade de movimento angular. A
5
A Equação Diferencial da Energia
A relação integral adequada para o volume de controle fixo infinitesimal é:
˙
Q−W˙e−W˙ν =
d dt
Z
V C
eρdV
+
Z
SC
e+ p ρ
ρ(V~ ·~ndA (23)
onde W˙e = 0, pois não pode haver um eixo infinitesimal prolongando-se para dentro do
volume de controle.
• Por analogia à análise de volume de controle para a quantidade de movimento linear, o lado direito da equação (23) torna-se:
˙
Q−W˙ν =
∂
∂t(ρe) + ∂
∂x(ρuζ) + ∂
∂y(ρvζ) + ∂
∂z(ρwζ)
dxdydz (24)
onde ζ =e+p/ρ.
• Se utilizarmos a equação da continuidade (3), a equação acima torna-se:
˙
Q−W˙ν =
ρde
dt +V~ ·∇~p
dxdydz (25)
• Para avaliar Q˙, desprezamos a radiação e consideramos apenas o calor trocado via condução através dos lados do elemento. O fluxo de calor por condução segue a lei de Fourier:
~q=−k ~∇T
• Podemos listar os seis termos de fluxo de calor:
– Fluxo de calor de entrada na face ortogonal ao eixox:
qxdydz
– Fluxo de calor de saida na face ortogonal ao eixox:
qx+
∂
∂x(qx)dx
dydz
– Fluxo de calor de entrada na face ortogonal ao eixoy:
qydxdz
– Fluxo de calor de saida na face ortogonal ao eixoy:
qy+
∂
∂y(qy)dy
– Fluxo de calor de entrada na face ortogonal ao eixoz:
qzdxdy
– Fluxo de calor de saida na face ortogonal ao eixoz:
qz+
∂
∂z(qz)dz
dxdy
• Adicionando os termos de entrada e subtraindo os termos de saída, obtemos o calor líquido adicionado ao elemento:
˙ Q=−
∂
∂x(qx) + ∂
∂y(qy) + ∂ ∂z(qz)
dxdydz =−∇ ·~ ~qdxdydz
• Introduzindo a lei de Fourier na equação acima, temos:
˙
Q=∇ ·~ (k ~∇T)dxdydz (26)
• A taxa de trabalho realizado pelas tensões viscosas é igual ao produto do
com-ponente de tensão pelo seu correspondente comcom-ponente de velocidade e pela área da face do elemento. A figura acima mostra a taxa de trabalho sobre a face ortogonal ao eixo x à esquerda é:
˙
Wν,F E =−(uτxx+vτxy+wτxz)dydz
e na face ortogonal ao eixo x a direita:
˙
Wν,F D =
−(uτxx+vτxy+wτxz)−
∂
∂x(uτxx+vτxy +wτxz)dx
dydz.
Então o fluxo líquido de trabalho na direção do eixo x é:
˙
Wν,F D−W˙ν,F E =−
∂
• Procedento de maneira análoga para as faces ortogonais aos eixosy ez, e adicinando os resultados, a taxa líquida de trabalho viscoso fica:
˙ Wν =−
∂
∂x(uτxx+vτxy +wτxz) + ∂
∂y(uτyx+vτyy+wτyz)
+ ∂
∂z(uτzx+vτzy+wτzz)
dxdydz
=−∇ ·~ ([τ]{V})dxdydz
(27)
onde [τ]é o tensor das tensões viscosas em notação matricial e {V} é o vetor veloci-dade em notação matricial.
• Substituindo as equações (26) e (27) na equação (25), obtemos uma forma diferencial da equação da energia
ρde
dt +V~ ·∇~p=∇ ·~ (k ~∇T) +∇ ·~ ([τ]{V}) (28)
onde e= ˆu+V2
5.1
Função de Dissipação Viscosa e Equação da Energia para
flu-ido Newtoniano.
Uma forma mais útil é obtida se desenvolvermos o termo de trabalho viscoso
~
∇ ·([τ]{V}) = V~ · ∂τij
∂xj
+ Φ (29)
onde Φrepresenta afunção de dissipação viscosa. Para um fluido incompressível Newtoni-ano, essa função tem a forma:
Φ =µ " 2 ∂u ∂x 2 + 2 ∂v ∂y 2 + 2 ∂w ∂z 2 + ∂v ∂x + ∂u ∂y 2 + ∂w ∂y + ∂v ∂z 2 + ∂u ∂z + ∂w ∂x 2# (30)
• Como todos os termos são quadráticos, a dissipação viscosa é sempre positiva, de modo que um escoamento viscoso sempre tende a perder energia devido a dissipação.
• Utilizando a equação do momento linear, podemos eliminar o termo ∂τij/∂xj. Isso fará energias cinética e potencial serem canceladas, resultando em uma forma mais costumeira de equação diferencial geral da energia:
ρdˆu
dt +p(∇ ·~ V~) = ∇ ·~ (k ~∇T) + Φ (31)
Essa equação é válida para um fluido Newtoniano em condições bastante gerais:
– escoamento permanente ou não,
– compressível ou não, – viscoso,
– e com condução de calor.
• É costume fazer as seguintes aproximações:
dˆu≈cvdT
cv, µ, k, ρ≈constante
ρcv
dT
dt =k∇ 2
T + Φ (32)
envolvendo a temperatura T como única variável primária mais a velocidade como uma variável secundária.
• Se o fluido estiver em repouso ou tem velocidade desprezível, a função dissipação
viscosa e os termos convectivos que aparecem na derivada total da temperatura na equação (32) podem ser desprezados, de forma a obter:
ρcv
∂T
∂t =k∇ 2
T (33)
5.2
Condições de Contorno para as Equações Básicas
Existem três equações diferenciais básicas da mecânica dos fluidos. Vamos resumi-las:
• continuidade (conservação de massa):
∂ρ
∂t +∇ ·~ (ρ~V) = 0 (34)
• Quantidade de movimento:
ρ~g−∇~p+ ∂ ∂xj
µ
∂Vj
∂xi
+ ∂Vi ∂xj
=ρd~V
dt (35)
• Energia:
ρdˆu
dt +p(∇ ·~ V~) = ∇ ·~ (k ~∇T) + Φ (36)
onde Φ é dado pela equação (30).
• Em geral a massa específica é variável.
• De modo que essas cinco equações contem sete incognitas, ρ,V~, p, uˆ eT.
• Logo precisamos de duas relações adicionais para completer o sistema de equações, que são fornecidas de dados ou expressões algébricas para as relações de estado das propriedades termodinâmicas
ρ=ρ(p, T) ˆ
u=ˆu(p, T)
• É possível mostrar que o sistema de equações acima é bem-posto e pode ser resolvido analiticamente ou numericamente, submetido a condições de contorno apropriadas.
• Quais são as condições de contorno apropriadas?
• Se o escoamento é não permanente, necessitamos de uma condição inicial conhecida
para cada variável. Então em t= 0:
ρ=f1(x, y, z) ~
V =f2(x, y, z)~ p=f3(x, y, z) ˆ
• Depois disso, para todos os instantes t a serem analisados, devemos conhecer algo sobre as variáveis em cada fronteira que delimita o escoamento.
• A figura abaixo ilustra os três tipos mais comuns de fronteiras encontradas em análise de escoamento de fluidos:
– uma parede sólida, – uma entrada ou saida,
– uma interface entre líquido e gás.
~
Vf luido =V~parede
Tf luido =Tparede
• Entrada ou saída: V , p~ e T conhecidas.
• Interface entre líquido e gás, ou superfície livre. Denotamos a interface por:
z =η(x, y, t)
Deve haver igualdade da velocidade vertical através da interface:
wliq =wgas =
dη dt =
∂η ∂t +u
∂η ∂x +v
∂η ∂y
que é chamada de condição de contorno cinemática.
Deve haver equilíbrio mecânico através da interface. As tensões de cisalhamento em cada face devem se equilibrar:
(τzy)liq =(τzy)gas
(τzx)liq =(τzx)gas
Desprezando as tensões viscosas normais, as pressões tambem devem se equilibrar na interface, exceto pelos efeitos de tensão superfícal
pliq =pgas−σ(R
−1
x +R
−1
y )
Finalmente, a transferencia de calor deve ser a mesma em ambos os lados da interface:
5.2.1 Escoamento Incompressível com Propriedades Constantes
Escoamentos com ρ, µ e k constantes representam uma simplificação básica. As equações básicas do movimento reduzem-se a:
• continuidade (conservação de massa):
~
∇ ·V~ = 0
• Quantidade de movimento:
ρ~g−∇~p+µ∇2~
V =ρd~V dt
• Energia:
ρcv
dT
dt =k∇ 2
T + Φ
Sendoρconstante, haverá apenas três incognitas: p,V~ eT. O sistema é fechado (número
de incognitas é igual ao número de equações). Além disso, o sistema fica desacoplado em duas partes: a continuidade e a quantidade de movimento ficam independentes da energia. Podemos resolver as duas primeiras equações acima para determinar a pressão e a velocidade, usando condições de contorno do tipo:
• Superfície sólida:
~
V =V~parede
• Entrada ou saída:
~
V , p conhecidas
• Superfície livre:
p≈pa
w≈ ∂η
∂t
5.2.2 Aproximação de Escoamento Não-viscoso
Vamos admitir a hipótese de que a viscosidade é nula, µ= 0.
• A equação da quantidade de movimento linear se reduz a:
ρd~V
dt =ρ~g−∇~p
que é a equação de Euler.
• A única condição de contorno que deve sair é a condição de não-escorregamento na parede. Deixamos o escoamento deslizar sobre a parede, mas não permitimos que ele penetre na parede.
• A condição de contorno não viscosa adequada é que a velocidade normal a parede deve ser igual a da parede:
(V~ ·~n)f luido = (V~ ·~n)parede
No caso de a parede ser fixa, a condição de contorno adequada é:
~
6
A Função Corrente
.
• Quando a temperatura é desacoplada do nosso sistema de equações (34)-(36) do movimento, devemos:
• resolver simultaneamente as equações de continuidade e quantidade de movimento simultaneamente para a pressão e velocidade.
• Afunção corrente ψ permite eliminar a equação da continuidade e resolver a equação da quantidade de movimento linear diretamente para a única variável ψ,
• em escoamentos onde a equação da continuidade se reduz a dois termos (por exemplo, bidimensionais ou axi-simétricos).
• Vamos considerar escoamento permanente, incompressível e bidimensional em coor-denadas cartesianas. A equação da continuidade assume a forma:
∂u ∂x +
∂v ∂y = 0
• Essa equação é satisfeita identicamente se uma função ψ(x, y) for definida tal que a equação acima se torne:
∂ ∂x
∂ψ ∂y
+ ∂ ∂y
−∂ψ
∂x
= 0
• Comparando as duas equações acima, vemos que essa nova função ψdeve ser definida tal que:
u=∂ψ ∂y
v =−∂ψ
∂x
ou
~
V = ∂ψ ∂y~i−
∂ψ
• Se tomarmos o rotacional da equação de quantidade de movimento linear:
~
∇ ∧nρ(V~ ·∇~)V~ −ρ~g+∇~p−µ∇2~ Vo= 0
e substituirmos a equação (37) obtemos uma única equação para ψ, dada por
∂ψ ∂y
∂ ∂x(∇
2
ψ)−∂ψ
∂x ∂ ∂y(∇
2
ψ) = ν∇2 (∇2
ψ)
onde ν=µ/ρ é a viscosidade cinemática. A equação acima é uma equação de quarta ordem. Serão necessárias quatro condições de contorno sobre ψ.
• Por exemplo, para escoamento de uma corrente uniforme na direçãoxsobre um corpo sólido, as quatro condições de contorno seriam:
– No infinito:
∂ψ ∂y =U∞
∂ψ ∂x = 0
– Sobre o corpo:
∂ψ ∂y =
∂ψ ∂x = 0
• Escoamento irrotacional no planoxy de fluido não viscoso. Nesse caso a componente da vorticidade ωz = 0, o que implica que:
∇2 ψ = ∂
2 ψ ∂x2 +
∂2 ψ ∂y2 = 0
que é conhecida como equação de Laplace. Para o caso de uma corrente uniforme na
direção de x sobre um corpo sólido, a equação de contorno é:
– No infinito:
ψ =U∞y+constante
– Na superfície do corpo:
• Interpretação Geométrica de ψ. Linhas com ψ constante são linhas de corrente
do escoamento. Pela definição de uma linha de corrente em um escoamento bidimen-sional, temos que:
dx u =
dy v
ou
udy−vdx = 0
sobre uma linha de corrente. A partir da equação (37), temos que:
∂ψ ∂xdx+
∂ψ
∂ydy= 0 =dψ
Logo, a variação de ψ é nula ao longo de uma linha de corrente, ou seja:
ψ = constante ao longo da linha de corrente (38)
Encontrada uma certa solução ψ(x, y), podemos plotar linhas com ψ constante para obter as linhas de corrente do escoamento.
• Existe outra interpretação física que relaciona ψ à vazão volumétrica. De acordo com a figura abaixo, podemos calcular a vazão volumétricadQatravés de um elemento ds
dQ= (V~ ·~n)dA
=
∂ψ ∂y~i−
∂ψ ∂x~j
·
dy ds~i−
dx ds~j
ds
= ∂ψ ∂xdx+
∂ψ
∂ydy =dψ
Logo, a variação deψao longo do elemento é numericamente igual à vazão volumétrica através do elemento. A vazão volumétrica entre dois pontos quaisquer do campo de escoamento é igual à variação da função corrente entre tais pontos:
Q1→2 =
Z 2
1
(V~ ·~n)dA=
Z 2
1
7
Escoamento Irrotacional sem Atrito
Quando o escoamento é tanto sem atrito como irrotacional, temos que:
• A equação da quantidade de movimento se reduz a equação de Euler:
ρd~V
dt =ρg−∇~p
• Uma grande simplificação ocorre no termo de aceleração. A aceleração tem dois termos
d~V dt =
∂ ~V
∂t + (V~ ·∇~)V~
e fazendo uso da identidade
(V~ ·∇~)V~ =∇~(1
2V~ ·V~) +ζ~∧V~
onde ~ζ =∇ ∧~ V~ é a vorticidade do escoamento.
• Podemos reescrever a equação de Euler utilizando a identidade acima e explicitando a derivada material. Obtemos:
∂ ~V ∂t +∇~(
1
2V~ ·V~) +~ζ∧V~ + 1
ρ∇~p−g = 0
• Em seguida vamos multiplicar escalarmente essa equação por um vetor deslocamento
d~r arbitrário:
"
∂ ~V ∂t +∇~(
1
2V~ ·V~) +~ζ∧V~ + 1
ρ∇~p−~g
#
·d~r = 0 (39)
• Vamos eliminar o termo (ζ~∧V~)·d~r. Isso será possível em diversas condições:
1. V~ é zero; trivial, sem escoamento (hidrostática).
2. ~ζ é zero; escoamento irrotacional.
• A condição 4 é a hipótese usual. Se integrarmos ao longo de uma linha de corrente do escoamento compressível, sem atrito, e tomamos por conveniencia ~g = −g~k, a equação acima se reduz a:
∂ ~V
∂t ·d~r+d
1 2V~ ·V~
+d∇~p
ρ +gdz = 0
• Excetuando-se o primeiro termo, os demais são diferenciais exatos. Integre entre dois pontos 1 e 2 da linha de corrente
Z 2
1 ∂ ~V
∂tds+ 1 2 V
2 2 −V
2 1
+
Z 2
1 dp
ρ +g(z2−z1) = 0
onde ds é o comprimento elementar de arco ao longo da linha de corrente. Essa equação é a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, não-permanente, ao longo de uma linha de corrente.
• Para escoamento permanente incompressível, ela se reduz a:
p ρ +
1 2V
2
+gz = constante ao longo da linha de corrente
A constante pode variar de linha de corrente para linha de corrente, a menos que o escoamento seja tambem irrotacional.
• Para escoamento irrotacional, ~ζ = 0, e não há a necessidade de que a integração seja ao longo de uma linha de corrente para eliminarmos o termo (~ζ ∧ V~)·d~r. Desse modo desaparece a dependencia em relação a direção de d~r, e portanto a equação de Bernoulli acima irá valer em todo o escoamento com o mesmo valor constante.
7.1
Potencial de Velocidades
A irrotacionalidade do escoamento permite que o vetor velocidade seja dado como o gradi-ente de uma função escalar φ(t, x, y, z). Ou seja:
~
∇ ∧V~ = 0 ⇒V~ =∇~φ (40)
onde φ(t, x, y, z)é chamada de função potencial de velocidades.
• O conhecimento de φ fornece imediatamente os componentes de velocidade:
u= ∂φ ∂x
v = ∂φ ∂y
• Linhas de φ constante são chamadas de linhasequipotenciais do escoamento.
• Observe que, diferentemente da função corrente, φ é uma função inteiramente tridi-mensional, não se limitando a duas coordenadas. Ela reduz um problema de veloci-dade com três incognitas u, v e w a uma única incognita potencial φ.
• O potencial de velocidades tambem simplifica a equação de Bernoulli não-permanente, por que se φ existe, então:
∂ ~V
∂t ·d~r = ∂
∂t(∇~φ)·d~r =d
∂φ ∂t
(41)
de modo que a equação de Bernoulli para escoamento compressível, irrotacional e não-permanente torna-se uma relação entre φ e p:
∂φ ∂t +
Z
dp ρ +
1 2|∇φ|
2
+gz = constante
7.1.1 Ortogonalidade das Linha de Corrente e das Linhas Equipotenciais
Se um escoamento é irrotacional e também é descrito por apenas duas coordenadas, ambas funções deψeφexistem, e as linhas de corrente e equipotenciais são mutuamente ortogonais em todos os locais, exceto em um ponto de estagnação (velocidade nula nesse ponto).
• Por exemplo, para escoamento incompressível no plano xy, teriamos:
u= ∂ψ ∂y =
∂φ ∂x
v =−∂ψ
∂x = ∂φ ∂y
• Para uma linha de φ constante:
dφ= ∂φ ∂xdx+
∂φ
∂ydy = 0 =udx+vdy
que implica que
dy dx
φ=const =−u
• Para linha de ψ constante:
dψ= ∂ψ ∂xdx+
∂ψ
∂ydy = 0 =vdx−udy
que implica que
dy dx
ψ=const = v
u
• Comparando as relações acima chegamos a:
dy dx
φ=const
=− dy 1
dx
ψ=const
que implica que as linhas deψ eφ constantes sejam mutuamente ortogonais. Ela não pode ser verdadeira em um ponto de estagnação, onde u ev são ambas nulas.
7.1.2 Escoamento com Função Potencial de Velocidades
• Equações de Governo:
– conservação de massa:
~
∇ ·V~ = 0⇒ ∇2 φ= 0
– Quantidade de movimento linear. Pode ser integrada, dando lugar a equação de
Bernoulli:
∂φ ∂t +
Z
dp ρ +
1 2|∇φ|
2
+gz = constante
• Condições de contorno:
– Parede sólida:
(V~ ·~n)f luido= (V~ ·~n)parede
– Entrada ou saída:
~
– Interface entre líquido e gás, ou superfície livre. Denotamos a interface por:
z =η(x, y, t)
Deve haver igualdade da velocidade vertical através da interface:
wliq =wgas=
dη dt =
∂η ∂t +u
∂η ∂x +v
∂η ∂y
que é chamada de condição de contorno cinemática.
Deve haver equilíbrio mecânico através da interface. As pressões tambem devem se equilibrar na interface, exceto pelos efeitos de tensão superfícal
pliq =pgas−σ(R
−1
x +R
−1
y )
7.1.3 Alguns Potenciais Planos
• Corrente uniforme na direção x. O vetor velocidades é V~ = U~i. Então a função
potencial e de corrente podem ser obtidas através das equações:
u=U =∂φ ∂x =
∂ψ ∂y
v = 0 =∂φ ∂y =−
∂ψ ∂x
Integrando essas equações, obtemos:
ψ =U y φ=U x
• Fonte ou sorvedouro. Suponha que fluido seja emitido no planoxya partir da origem com vazão total Q. Em termos de coordenadas polares, o campo de velocidades é dado por:
Vr=
Q 2πr =
m r =
1 r
∂ψ ∂θ =
∂φ ∂r
Vθ =0 =−
∂ψ ∂r =
1 r
∂φ ∂θ
ψ =mθ φ=mlnr
• Vórtice. É um escoamento permanente puramente circulatório, Vr = 0 e Vθ = f(r), que satisfaz a equação da continuidade e tambem é irrotacional. Campo de veloci-dades:
Vr=0 =
1 r
∂ψ ∂θ =
∂φ ∂r
Vθ =
K r =−
∂ψ ∂r =
1 r
∂φ ∂θ
Integrando, obtemos:
ψ =Klnr φ=Kθ
onde K é uma constante chamada de intensidade do vórtice.
8
Alguns Escoamentos Incompresíveis Viscosos
Ilustra-tivos
Os escoamentos aqui satisfazem a condição de não escorregamento, e devemos utilizar a equação de Navier-Stokes para determinar o campo de velocidades.
8.1
Escoamento de Couette entre Placa Fixa e Outra Móvel
• considere escoamento bidimensional no plano xy.
• Placas separedas por distancia 2h.
• Escoamento essencialmente axial, u6= 0, mas v =w= 0.
• Placa superior de move a velocidade V.
• Desprezar efeitos da gravidade.
• Equação da continuidade:
~
∇ ·V~ = 0 → ∂u
∂x = 0
ou u=u(y) somente.
• Assumir escoamento totalmente desenvolvido.
• Componente horizontal da equação de Navier-Stokes:
ρ
u∂u ∂x +v
∂u ∂y
=−∂p
∂x +ρgx+µ
∂2 u ∂x2 +
∂2 u ∂y2
e levando-se em conta as hipôtese acima e o resultado obtido via equação da con-tinuidade, concluimos que:
d2 u dy2 = 0
ou
• Para determinar as duas constantes, aplica-se a condição de não-escorregamento nas placas superior e inferior:
u=V em y= +h →V =hC2+C1 u= 0 em y=−h →0 = (−h)C2+C1
que implica que:
C1 = V 2h
C2 = V 2
• Logo, a solução para esse caso é:
u(y) = V 2hy+
V
2 para −h≤y ≤h
8.2
Escoamento entre duas Placas Fixas Devido a um Gradiente
de Pressão
• Ambas as placas estão fixas (V = 0), mas a pressão varia na direção de x.
• Se v = w = 0, a equação da continuidade leva à mesma conclusão que no caso anterior, ou seja, u=u(y)apenas.
• A componente da equação de Navier-Stokes na direçãoxdifere apenas do caso anterior por que a pressão é variável:
µd 2
u dy2 =
∂p ∂x
• Além disso, como v = w = 0 e a gravidade é desprezada, as equações de N-S nas direções y e z conduzem a:
∂p ∂y =0 ∂p ∂z =0
• Integrando a equação de N-S na direção do eixo x, concluimos que:
u= 1 µ
dp dx
y2
2 +C1y+C2
• As constantes são determinadas a partir da condição de não escorregamento em cada parede:
u= 0 em y=±h,→C1 = 0 e C2 =− dp dx
h2 2µ
• Logo a solução é dada por:
u=−dp
dx h2 2µ
1− y
2 h2
