RenatoBezerraSilvestre Algunsresultadosdateoriadeoperadoresmultilinearesabsolutamentesomantes UniversidadeFederaldaPara´ıba

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Alguns resultados da teoria de operadores multilineares

absolutamente somantes

Renato Bezerra Silvestre

Jo˜ ao Pessoa – PB

Abril de 2016

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Alguns resultados da teoria de operadores multilineares

absolutamente somantes

por

Renato Bezerra Silvestre

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino

Jo˜ ao Pessoa – PB

Abril de 2016

S587a Silvestre, Renato Bezerra.

Alguns resultados da teoria de operadores multilineares absolutamente somantes / Renato Bezerra Silvestre. - João Pessoa, 2019.

78 f. : il.

Orientação: Daniel Marinho Pellegrino.

Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1. Operadores multilineares absolutamente somantes. 2.

desigualdades. 3. operadores quase somantes. 4. espaços com tipo 2. I. Pellegrino, Daniel Marinho. II. Título.

UFPB/BC

Aos meus familiares.

A minha m˜ae Maria Aparecida da Silva Bezerra, aos meus irm˜aos Maria Aparecida da Silva Silvestre, Maria Jos´e Bezerra Silvestre, Jo˜ao Bezerra da Silva, Rosˆangela Bezerra Silvestre, Simone Bezerra Silvestre, Elizˆangela Bezerra Silvestre, e aos demais familiares, por estarem ao meu lado incondicionalmente.

Aos Professores Ronaldo Freire de Lima, Odirlei Silva Jesus, Flank David Morais Bezerra, Uberlandio Batista Severo, Roberto Callejas Bedregal, Pedro Antonio G´omes Venegas, Aur´elio Menegon Neto e Everaldo Souto de Medeiros, por todo o incentivo e apoio intelectual antes e durante essa caminhada.

Ao professor Daniel Marinho Pellegrino, pela excelente orienta¸c˜ao. Agrade¸co tamb´em ao mesmo por ter acreditado em mim e por todo o incentivo a pesquisa, que contribuiu de forma significativa para este momento.

Agrade¸co aos meus amigos da gradua¸c˜ao, em especial a Jacileide Adelino da Silva, J´essica Patr´ıcia Garcia de Ara´ujo, Francisco Guedes de Moura, Jos´e Adilson F´elix de Freitas, Ronaldo C´esar Duarte, Geilson Ferreira Germano, Ruan Barbosa Fernandes e Antˆonio Djackson Alves da Silva, pelo apoio nos momentos bons e complicados.

A todos os amigos da P´os-gradua¸c˜ao, em especial a Isabelly Camila Diniz de Oli- veira, Sally Andria Vieira da Silva, Jonathas Phillipe de Jesus Almeida, Camila Sibelle Marques da Silva, Lisiane Rezende dos Santos, Ageu Barbosa Freire, Clemerson Oli- veira da Silva Menezes e Djair Paulino dos Santos, pelos intensos momentos de estudos, conquistas, trabalhos em equipe durante o curso e pelo apoio em momentos dif´ıceis.

Agrade¸co a CAPES, pelo apoio financeiro.

O objetivo do presente trabalho ´e apresentar alguns resultados relacionados a teoria multilinear de operadores absolutamente somantes. Mais precisamente, estudamos generaliza¸c˜oes das desigualdades de Khinchin e Kahane e uma caracteriza¸c˜ao de espa¸cos de Banach com tipo 2, devida a D. Popa, por interm´edio de operadores multilineares absolutamente e quase somantes.

Palavras-chave: Operadores multilineares absolutamente somantes, desigualdades, operadores quase somantes, espa¸cos com tipo 2.

The purpose of the present work is to present some results related to multilinear theory of absolutely summing operators. More precisely, we study generalizations of inequalities of Khinchin and Kahane and a characterization of Banach spaces of type 2, due to D. Popa, through absolutely and almost summing multilinear operators.

Keywords: Absolutely summing multilinear operators, inequalities, almost summing operators, Banach spaces of type 2.

Introdu¸c˜ao 1 1 Operadores lineares absolutamente somantes: resultados b´asicos 3 1.1 Sequˆencias absolutamente e fracamente som´aveis . . . 3 1.2 Algumas desigualdades cl´assicas . . . 8 1.3 Operadores lineares absolutamente somantes . . . 12 2 Operadores multilineares absolutamente somantes 22 2.1 Defini¸c˜oes b´asicas . . . 22 2.2 Aplica¸c˜oes absolutamente somantes . . . 23 2.3 Estimativas para operadores multilineares com dom´ınio sobre `_p . . . . 32 3 Generaliza¸c˜oes das desigualdades de Khinchin e Kahane 38 3.1 A desigualdade generalizada de Khinchin . . . 41 3.2 A desigualdade generalizada de Kahane . . . 45 4 Uma caracteriza¸c˜ao para espa¸cos de tipo 2 51 4.1 Operadores quase somantes . . . 52 4.2 Caracteriza¸c˜ao de espa¸cos com tipo 2 . . . 54

Apˆendice 65

A Teoria dos Espa¸cos de Banach vem crescendo consideravelmente desde as pri- meiras d´ecadas do s´eculo XX, per´ıodo no qual a An´alise Funcional estava come¸cando a ser desenvolvida. Estes avan¸cos compreendem desde uma melhor compreens˜ao da estrutura de tais espa¸cos, at´e poss´ıveis interliga¸c˜oes com outras ´areas.

Uma das ´areas estudadas na Teoria dos Espa¸cos de Banach s˜ao os Operadores Absolutamente Somantes, que pode ser encontrada no livro cl´assico de J. Diestel, H.

Jarchow e A. Tonge [9]. Os operadores absolutamente somantes foram apresentados, em essˆencia, pela primeira vez em um trabalho de Alexander Grothendieck, publicado em 1953, que tinha como t´ıtulo R´esum´e de la th´eorie m´etrique des produits tensoriels topologiques. Em seguida, na d´ecada de 60, estes operadores foram redescobertos e estudados em trabalhos dos matem´aticos A. Pietsch [17], J. Lindenstrauss [13] e A.

Pelczy´nski [14], dando uma roupagem mais compreens´ıvel ao tema. Entretanto, foi apenas nos anos 80 que Pietsch sugeriu em seu artigo [18] a generaliza¸c˜ao dessa teoria para o ambiente multilinear. Posteriormente, no ano de 1989, a partir de um trabalho de R. Alencar e M. Matos [3], v´arios autores mostraram-se interessados no tema, dando continuidade ao projeto iniciado por Pietsch.

Neste trabalho apresentaremos como preliminares v´arios conceitos da teoria linear dos operadores absolutamente somantes e alguns resultados cl´assicos dentre o quais est˜ao os teoremas de Grothendieck, da domina¸c˜ao de Pietsch e as desigualdades de Khinchin e Kahane. Posteriormente, estudaremos a extens˜ao de alguns resultados da teoria linear para o ambiente multilinear e exibiremos um breve estudo de operadores quase somantes para, em seguida, estudarmos um resultado de D. Popa que caracte- riza espa¸cos de tipo 2 por interm´edio de operadores multilineares quase somantes e absolutamente 2-somantes.

O presente trabalho ser´a dividido em cinco cap´ıtulos, os quais ser˜ao organizados da seguinte forma:

O Cap´ıtulo 1 ser´a dedicado a uma apresenta¸c˜ao dos primeiros conceitos e proprieda- des dos operadores lineares absolutamente somantes. Demonstraremos neste cap´ıtulo a Desigualdade de Grothendieck e o Teorema de Grothendieck, que afirma que todo operador linear cont´ınuo de `<sub>1</sub> em `₂ ´e absolutamente somante.

No Cap´ıtulo 2 apresentaremos os primeiros conceitos, no contexto multilinear, dos operadores absolutamente somantes. Al´em disso, veremos dois resultados ´uteis, que s˜ao os teoremas de Defant-Voigt e da Inclus˜ao. Tamb´em mostraremos uma aplica¸c˜ao desses teoremas para transforma¸c˜oesn-lineares sobre espa¸cos `_p.

O Cap´ıtulo 3 apresenta, de forma generalizada, as desigualdades de Khinchin e Kahane. Al´em disso, neste cap´ıtulo apresentamos o conceito de cotipo.

No Cap´ıtulo 4 mostraremos o resultado principal desse trabalho, que ´e um teorema devido a D. Popa [19]. Durante este cap´ıtulo, ser˜ao acrescentados o conceito de tipo e de operadores quase somantes.

O ultimo cap´ıtulo ´e um apˆendice destinado a apresenta¸c˜oes e demonstra¸c˜oes de alguns resultados que foram utilizados no desenvolvimento deste trabalho.

Operadores lineares absolutamente somantes: resultados b´ asicos

Neste cap´ıtulo apresentamos resultados relacionados a teoria de operadores absolu- tamente somantes; alguns destes resultados ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos posteriores.

1.1 Sequˆ encias absolutamente e fracamente som´ aveis

Defini¸c˜ao 1.1.1. Sejam E um espa¸co de Banach e 1 ≤ p ≤ ∞. U ma sequˆencia (xn)^∞_n=1em E ´e dita absolutamente p-som´avel se a sequˆencia de escalares correspondente (kx_nk)^∞_n=1 estiver em `_p.

Denotaremos por `_p(E) o espa¸co vetorial de todas as sequˆencias absolutamente p-som´aveis em E, isto ´e,

`p(E) :=

(xi)^∞_i=1 ∈E^N: (xi)^∞_i=1 ´e absolutamente p-som´avel . Em`_p(E) definimos as normas para 1≤p <∞ e p=∞, respectivamente, por

k(x_i)^∞_i=1k_p :=

∞

X

i=1

kx_ik^p_E

!¹_p

e k(x_i)^∞_i=1k_∞:= sup

i∈N

kx_ik.

Defini¸c˜ao 1.1.2. Sejam E um espa¸co de Banach e 1 ≤ p ≤ ∞. U ma sequˆencia (x_n)^∞_n=1 em E e dita f racamente p-som´´ avel se a sequˆencia de escalares (ϕ(x_n))^∞_n=1 estiver em `_p,qualquer que seja ϕ∈E⁰.

Denotaremos o espa¸co das sequˆencias fracamente p-som´aveis por `^ω_p (E), isto ´e,

`^ω_p (E) :=

(x_i)^∞_i=1 ∈E^N: (x_i)^∞_i=1´e fracamente p-som´avel .

As fun¸c˜oes

k(x_i)^∞_i=1k_ω,p := sup

ϕ∈B_E0

∞

X

i=1

|ϕ(x_i)|^p

!_p¹

e k(x_i)^∞_i=1k_ω,∞:= sup

ϕ∈B_E0

k(ϕ(x_i))^∞_i=1k_∞

definem nomas em`<sup>ω</sup><sub>p</sub> (E) e `^ω_∞(E) respectivamente.

Proposi¸c˜ao 1.1. Sejam E um espa¸co de Banache 1 ≤p≤ ∞. Ent˜ao(`<sub>p</sub>(E) ;k · k<sub>p</sub>) e `^ω_p (E) ;k · k_ω,p

s˜ao espa¸cos de Banach.

Demonstra¸c˜ao. Mostraremos inicialmente que (`<sub>p</sub>(E) ;k · k<sub>p</sub>) ´e um espa¸co de Banach para 1≤p < ∞. O casop= ∞´e semelhante. Seja (x<sub>k</sub>)<sup>∞</sup><sub>k=1</sub> uma sequˆencia de cauchy formada por elementos de`_p(E), ondex_k= (xⁿ_k)^∞_n=1 ∈`_p(E). Sendo assim, dado >0 existeN₀ ∈N tal que

k, k⁰ ≥N₀ =⇒ kx_k−x_k⁰k_p < . Da´ı, para cadan ∈N, temos

k, k⁰ ≥N₀ =⇒ kxⁿ_k −xⁿ_k0k<

e portanto, (xⁿ_k)^∞_k=1 s˜ao sequˆencias de Cauchy em E, e consequentemente convergentes.

Assumindo que (xⁿ_k)^∞_k=1 converge para xⁿ e fazendo x = (xⁿ)^∞_n=1, vamos mostrar que x∈`_p(E). De fato, para cada m∈N, temos

k, k⁰ ≥N₀ =⇒

m

X

n=1

kxⁿ_k−xⁿ_k0k^p

!¹_p

< .

Fazendok⁰ −→ ∞, obtemos

k ≥N₀ =⇒

m

X

n=1

kxⁿ_k −xⁿk^p

!¹_p

< .

Agora, fazendo m−→ ∞, temos

∞

X

n=1

kxⁿ_k−xⁿk^p

!_p¹

=kx_k−xk_p < , para todok ≥N₀. Assim, conclu´ımos que lim

k→∞x_k=x. Al´em disso, xN0 −x= xⁿ_N0 −xⁿ∞

n=1 ∈`p(E) .

Comox_N0 ∈`<sub>p</sub>(E), segue, do fato de`_p(E) ser um espa¸co vetorial, que x=x_N0 −(x_N0 −x)∈`_p(E) .

Portanto, `_p(E) ´e um espa¸co de Banach.

Agora, resta provar que o espa¸co `^ω_p (E) ;k · k_ω,p

´

e Banach. Primeiro mostraremos que a normak · k_ω,p est´a bem definida. Para esta tarefa usaremos o teorema do gr´afico fechado.

Seja x = (x_n)^∞_n=1 ∈ `<sup>ω</sup><sub>p</sub> (E) e considere a aplica¸c˜ao u<sub>x</sub> : E<sup>0</sup> → `_p definida por ux(ϕ) = (ϕ(xn))^∞_n=1. ´E claro que ux est´a bem definida e ´e linear. Suponha que a sequˆencia (ϕ_k)^∞_k=1 em E⁰ ´e tal que

ϕk →ϕ∈E⁰ u_x(ϕ_k)→z₀ ∈`_p.

Vamos provar que z₀ =u_x(ϕ). De fato, sendo u_x(ϕ_k)→z₀, temos

k→∞lim u_x(ϕ_k) = lim

k→∞(ϕ_k(x_n))^∞_n=1 =z₀ = (z_j)^∞_j=1 e, portanto,

k→∞lim ϕk(xn) = zn, para todon natural. Como ϕ_k →ϕ, temos

k→∞lim ϕ_k(x_n) =ϕ(x_n)

e, consequentemente z_n = ϕ(x_n), para todo n natural. Logo, z₀ = u_x(ϕ) e, pelo teorema do gr´afico fechado, u_x ´e cont´ınua. A limita¸c˜ao de u_x nos garante que

sup

ϕ∈B_E0

∞

X

n=1

|ϕ(x_n)|^p

!¹_p

<∞

e, portanto, a normak·k_ω,pest´a bem definida. As propriedades de norma s˜ao claramente satisfeitas.

Finalmente, provaremos a completude do espa¸co`<sup>ω</sup><sub>p</sub> (E). Seja (x<sub>k</sub>)<sup>∞</sup><sub>k=1</sub> uma sequˆencia de Cauchy em `^ω_p (E), onde x_k = (xⁿ_k)^∞_n=1 ∈ `^ω_p (E). Como (x_k)^∞_k=1 ´e de Cauchy, dado >0, existe N₀ ∈N tal que

k, k⁰ ≥N₀ =⇒ kx_k−x_k⁰k_ω,p < .

Sendo assim, dadoϕ∈B_E⁰, temos k, k⁰ ≥N₀ =⇒

∞

X

n=1

|ϕ(xⁿ_k −xⁿ_k0)|^p < ^p =⇒ |ϕ(xⁿ_k−xⁿ_k0)|^p < ^p, para cadan ≥1.

Logo

k, k⁰ ≥N₀ =⇒ kxⁿ_k −xⁿ_k0k= sup

ϕ∈B_E0

|ϕ(xⁿ_k−xⁿ_k0)| ≤, para todo n natural.

Portanto, para cada n, a sequˆencia (xⁿ_k)^∞_k=1 ´e de Cauchy em E, e consequentemente convergente. Denotando por xⁿ o limite de (xⁿ_k)^∞_k=1 e fazendo x = (xⁿ)^∞_n=1, vamos mostrar que x∈`^ω_p (E). De fato, usando o mesmo procedimento da primeira parte da nossa demonstra¸c˜ao e fazendo k⁰ −→ ∞, obtemos

k ≥N₀ =⇒

∞

X

n=1

|ϕ(xⁿ_k−xⁿ)|^p ≤^p, para todo ϕ∈B_E⁰_.

Isto nos diz que x−x_N0 ∈`^ω_p (E). Logo

x= (x−x_N0) +x_N0 ∈`^ω_p (E) . Al´em disso,

k ≥N₀ =⇒ kx_k−xk_ω,p ≤, isto ´e, lim

k→∞x_k=x. Portanto, `^ω_p (E) ´e um espa¸co de Banach.

Proposi¸c˜ao 1.2. Se E e um espa¸co de Banach´ e 1≤p < ∞,ent˜ao `<sub>p</sub>(E)⊂`^ω_p(E).

Demonstra¸c˜ao. Se (x_j)^∞_j=1 ∈`_p(E) e ϕ∈E⁰, ent˜ao

∞

X

j=1

|ϕ(x_j)|^p ≤

∞

X

j=1

kϕk^p· kx_jk^p =kϕk^p·

∞

X

j=1

kx_jk^p.

Como

∞

P

j=1

kx_jk^p <∞, segue que

∞

P

j=1

|ϕ(x_j)|^p <∞ e, portanto, (x_j)^∞_j=1 ∈`^ω_p (E).

Proposi¸c˜ao 1.3. Seja u:E →F uma aplica¸c˜ao linear e cont´ınua. Ent˜ao:

i) Se(x_j)^∞_j=1 ∈`<sup>ω</sup><sub>p</sub> (E),ent˜ao (u(x<sub>j</sub>))<sup>∞</sup><sub>j=1</sub> ∈`^ω_p (F);

ii) Se(x_j)^∞_j=1 ∈`<sub>p</sub>(E),ent˜ao (u(x<sub>j</sub>))<sup>∞</sup><sub>j=1</sub> ∈`_p(F).

Demonstra¸c˜ao. (i) Seja (x_j)^∞_j=1 ∈`^ω_p (E). Dado ϕ∈F⁰, temos

∞

X

j=1

|ϕ(u(x_j))|^p =

∞

X

j=1

|(ϕ◦u) (x_j)|^p.

Comoϕ◦u∈E⁰, segue que

∞

P

j=1

|ϕ(u(x_j))|^p <∞ e portanto, (u(x_j))^∞_j=1 ∈`^ω_p (F).

Agora, provemos (ii). Dado (x_j)^∞_j=1∈`_p(E), temos

∞

X

j=1

ku(x_j)k^p ≤

∞

X

j=1

kuk^p· kx_jk^p =kuk^p ·

∞

X

j=1

kx_jk^p.

Como

∞

P

j=1

kxjk^p <∞, segue que (u(xj))^∞_j=1∈`p(F).

Em alguns resultados deste trabalho ser´a necess´ario trabalharmos com o espa¸co

`^u_p(E) :=

(x_j)^∞_j=1 ∈`^ω_p (E) : lim

n→∞

(x_j)^∞_j=n

ω,p = 0

,

com 1≤p <∞. A pr´oxima proposi¸c˜ao garante que `^u_p(E) ´e um espa¸co de Banach se 1≤p < ∞.

Proposi¸c˜ao 1.4. `<sup>u</sup><sub>p</sub>(E) ´e um subespa¸co f echado do espa¸co `^ω_p (E).

Demonstra¸c˜ao. Sejam (x_j)^∞_j=1, (y_j)^∞_j=1 ∈`^u_p (E) e λ∈R. Ent˜ao

n→∞lim

(x_j)^∞_j=n+λ(y_j)^∞_j=n ω,p

= 0. (1.1)

De fato, sabendo que 0≤

(x_j)^∞_j=n+λ(y_j)^∞_j=n

_ω,p ≤

(x_j)^∞_j=n

_ω,p+|λ|

(y_j)^∞_{j=n ω,p}

e fazendo n −→ ∞, obtemos (1.1). Logo, (x_j)^∞_j=1 +λ(y_j)^∞_j=1 ∈ `^u_p(E) e, portanto,

`<sup>u</sup><sub>p</sub>(E) ´e um subespa¸co de `^ω_p (E).

Agora, seja (x_k)^∞_k=1 uma sequˆencia formada por elementos de `^u_p(E), onde cada x_k= x^j_k^∞

j=1 ∈`^u_p(E). Ent˜ao, para cadak, temos lim

n→∞

x^j_k^∞

j=n

ω,p = 0, ou seja, dado >0, existe n_0,k ∈N tal que

n≥n0,k =⇒ x^j_k^∞

j=n

ω,p <

2 (1.2)

Suponhamos que x_k converge para x = (x^j)^∞_j=1 ∈ `^ω_p (E), isto ´e, existe k₀ ∈ N tal que

k≥k0 =⇒ sup

ϕ∈B_E0

∞

X

j=1

ϕ x^j_k−x^j

p

!¹_p

= x^j_k^∞

j=1− x^j∞ j=1

ω,p <

2.

Al´em disso, para cada n∈N, temos

k ≥k₀ =⇒ sup

ϕ∈B_E0

∞

X

j=n

ϕ x^j_k−x^j

p

!¹_p

= x^j_k^∞

j=n− x^j∞

j=n

ω,p

<

2. (1.3) Sabendo que

x^j∞

j=n

ω,p

= x^j∞

j=n− x^j_k

0

^∞

j=n+ x^j_k

0

^∞

j=n

ω,p

≤ x^j∞

j=n− x^j_k

0

^∞

j=n

ω,p

+ x^j_k

0

^∞

j=n

ω,p

e usando (1.2) e (1.3), temos

n≥n_0,k0 =⇒ x^j∞

j=n

ω,p <

2 + 2 =, ou seja, x∈`<sup>u</sup><sub>p</sub>(E) . Portanto,`^u_p(E) ´e fechado.

1.2 Algumas desigualdades cl´ assicas

Os resultados desta se¸c˜ao ser˜ao independentes das anteriores. Um deles ser´a muito importante para a demonstra¸c˜ao do teorema de Grothendieck, que veremos em outro momento, e os outros ser˜ao retomados em cap´ıtulos posteriores de forma mais geral.

Para uma boa compreens˜ao da parte principal, apresentaremos inicialmente algumas defini¸c˜oes e resultados auxiliares. Um desses conceitos ´e o de fun¸c˜oes de Rademacher, que ser´a apresentado a seguir.

Chamamos de fun¸c˜oes de Rademacher as aplica¸c˜oesr_n : [0,1]−→Rdefinidas por r_n(t) = sgn sin 2ⁿ⁻¹πt

, n∈N et ∈[0,1].

Para fins posteriores, apresentaremos uma propriedade de ortogonalidade que estas aplica¸c˜oes possuem, que ´e a seguinte: Se 0 < n1 < · · · < nk e p1, . . . , pk ≥ 0 s˜ao inteiros, ent˜ao

Z 1 0

r_n^p1₁(t)·. . .·r_n^pk

k(t)dt=

( 1, se cadap_j ´e par 0, caso contr´ario .

Como consequˆencia imediata, as r_n formam uma sequˆencia ortonormal em L₂[0,1], e assim

Z 1 0

∞

X

n=1

a_nr_n(t)

2

dt =

∞

X

n=1

|a_n|² (1.4)

para todoa= (a_n)^∞_n=1 ∈`₂.

O pr´oximo resultado ser´a uma ferramenta fundamental para a demonstra¸c˜ao de uma das desigualdades dessa se¸c˜ao, que ´e conhecida como Desiguldade de Grothendieck.

Lema 1.5. Dada uma f un¸c˜ao f : [0,1]−→R,def ina f⁰ : [0,1]−→R por

f⁰(t) =

( min{f(t),1}, se f(t)≥0 max{f(t),−1}, se f(t)<0.

Ent˜ao |f⁰(t)| ≤1 e |f(t)−f⁰(t)| ≤ ^f(t)₄²,para todo t∈[0,1].

Demonstra¸c˜ao. Sejat∈[0,1]. ´E claro que|f(t)| ≤1. Sef(t) = f⁰(t), ent˜ao a segunda desigualdade ´e imediata. Suponhamos que f(t)6=f⁰(t). Afirmamos que

|f(t)−f⁰(t)|=|f(t)| −1.

De fato, se f(t)≥0, ent˜ao 1 =f⁰(t)< f(t). Logo,

|f(t)−f⁰(t)|=|f(t)−1|=|f(t)| −1.

Por outro lado, se f(t)<0, ent˜ao −1 =f⁰(t)> f(t). Da´ı temos

|f(t)−f⁰(t)|=|f(t) + 1|=−f(t)−1 = |f(t)| −1.

Agora, sabendo que ^a₂ −12

≥0 se, e somente se,a−1≤ ^a₄², tomandoa =|f(t)|, temos

|f(t)−f⁰(t)|=|f(t)| −1≤ |f(t)|² 4 , para todot∈[0,1], donde segue o resultado.

Teorema 1.6 (Desigualdade de Grothendieck). Existe uma constante positiva KG

tal que, para todo espa¸co de Hilbert H, todo natural m∈N, toda matriz quadrada de escalares (a_ij)_mxm e quaisquer vetores x₁, . . . , x_m, y₁, . . . y_m ∈B_H, ´e verdade que

m

X

i,j=1

a_ijhx_i, y_ji

≤K_G·sup (

m

X

i,j=1

a_ijs_it_j

;|s_i| ≤1,|t_j| ≤1 )

Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao ser´a feita para o caso real. Para cada m fixado, o conjunto de vetoresx₁, . . . , x_m, y₁, . . . , y_m est´a contido em um subespa¸co de dimens˜ao 2m de H. Como todos os espa¸cos de Hilbert de mesma dimens˜ao finita s˜ao isomorfos isometricamente por meio de isomorfismos que preservam produto interno, temos a

liberdade de trabalhar com um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao finita espec´ıfico, a saber, um espa¸co de dimens˜aon = 2m. Seja H_n := [r₁, . . . , r_n] e sejam

α= sup (

m

X

i,j=1

aijsitj

:|si| ≤1,|tj| ≤1 )

e

α⁰ = sup (

m

X

i,j=1

a_ijhz_i, w_ji

:z_i, w_j ∈B_Hn )

.

Sejamx₁, . . . , x_m, y₁, . . . , y_m ∈B_Hn. Pelo Lema 1.5 temos|x⁰_i(t)| ≤1, y_j⁰ (t)

≤1, para todosi, j = 1,2, . . . , m et ∈[0,1]. Logo

m

X

i,j=1

a_ijhx⁰_i, y⁰_ji

=

m

X

i,j=1

a_ij Z 1

0

x⁰_i(t)y_j⁰ (t)dt

≤ Z 1

0

m

X

i,j=1

a_ijx⁰_i(t)y⁰_j(t)

dt ≤α

e, portanto,

m

X

i,j=1

a_ijhx⁰_i, y_j⁰i

≤α (1.5)

Por simplicidade, denotaremos a norma deH_npork · k. Seja agorax=

n

P

j=1

b_jr_j ∈H_n ⊆ L₂[0,1], com kxk ≤1. Ent˜ao,

kx−x⁰k² = Z 1

0

|x(t)−x⁰(t)|²dt≤ Z 1

0

x(t)² 4

!2

dt

= 1 16

Z 1 0

m

X

i=1

b_ir_i(t)

! _m X

j=1

b_jr_j(t)

! _m X

k=1

b_kr_k(t)

! _m X

l=1

b_lr_l(t)

! dt

= 1 16

Z 1 0

m

X

i=1 m

X

j=1 m

X

k=1 m

X

l=1

b_ib_jb_kb_lr_i(t)r_j(t)r_k(t)r_l(t)dt

= 1 16

n

X

i,j,k,l=1

b_ib_jb_kb_l Z 1

0

r_i(t)r_j(t)r_k(t)r_l(t)dt

= 1 16

n

X

i=j=1 n

X

k=l=1

b²_ib²_k+

n

X

i=l=1 n

X

k=j=1

b²_ib²_k+

n

X

i=k=1 n

X

j=l=1

b²_ib²_j −2

n

X

i=j=k=l=1

b²_i

!

= 1 16 3

n

X

i=j=1 n

X

k=l=1

b²_ib²_k

!

−2

n

X

i=j=k=l=1

b²_i

!

≤ 3 16

n

X

i=j=1 n

X

k=l=1

b²_ib²_k

!

= 3 16

n

X

i=1

b²_i

!2

= 3

16kxk⁴ ≤ 3 16,

e, consequentemente, kx−x⁰k ≤

√ 3

4 . Assim, temos

xi−x⁰_i

√3/4

≤1 e

yi−y_i⁰

√3/4

≤1. Deste resultado, de (1.5) e dekx⁰_ik ≤1,

y_j⁰

≤1, conclu´ımos que

m

X

i,j=1

aijhxi, yji

=

m

X

i,j=1

aijh(xi−x⁰_i) +x⁰_i, yj −y_j⁰ +y_j⁰i

=

m

X

i,j=1

a_ij hx⁰_i, y⁰_ji+hx_i−x⁰_i, y_j⁰i+hx_i, y_j −y_j⁰i

≤

m

X

i,j=1

a_ijhx⁰_i, y_j⁰i

+

m

X

i,j=1

a_ijhx_i−x⁰_i, y_j⁰i

+

m

X

i,j=1

a_ijhx_i, y_j −y_j⁰i

≤α+

√3 4

m

X

i,j=1

a_ijhx_i−x⁰_i

√3/4 , y⁰_ji

+

√3 4

m

X

i,j=1

a_ijhx_i,yj −y_j⁰

√3/4 i

≤α+

√3 4 α⁰+

√3

4 α⁰ =α+

√3 2 α⁰.

Tomando o supremo sobre x₁, . . . , x_m, y₁, . . . , y_m ∈ B_Hn, obtemos α⁰ ≤ α+

√ 3

2 α⁰, isto

´e,α⁰ ≤

2 2−√

3

α. Tomando K_G = ₂₋^2√

3 obtemos a desigualdade desejada.

Uma maneira relativamente simples de obter o caso complexo usando o caso real ´e fazer a decomposi¸c˜ao dos elementos das matrizes em parte real e parte imagin´aria. Em seguida, basta aplicar o caso real para as matrizes reais resultantes. Partindo desta ideia a constante obtida para o caso complexo ser´a maior do que a constante obtida no caso real, mas curiosamente a constante ´otima do caso complexo e menor que a constante ´otima do caso real, embora tais constantes n˜ao sejam conhecidas (veja, por exemplo, [5, p´agina 336]).

A menor das constantes K_G que satisfazem a desigualdade de Grothendieck ´e cha- mada de constante de Grothendieck. Este ´e um exemplo de uma constante que cha- mamos de ´otima.

A seguir destacamos duas desigualdades que desempenham um papel central na Te- oria dos Espa¸cos de Banach, que ser˜ao estudadas em formatos mais gerais no Cap´ıtulo 3.

Teorema 1.7 (Desigualdade de Kahane). Seja E um espa¸co de Banach qualquer, (x_j)ⁿ_j=1 uma sequˆencia f inita em E e 0 < p, q < ∞. Ent˜ao, existe uma constante K_p,q >0, tal que

Z 1 0

n

X

k=1

r_k(t)x_k

q

dt

!¹_q

≤K_p,q Z 1

0

n

X

k=1

r_k(t)x_k

p

dt

!¹_p .

Teorema 1.8(Desigualdade de Khinchin). P ara todo0< p < ∞, existem constantes positivas A_p e B_p tais que

Ap N

X

n=1

|a_n|²

!¹₂

≤ Z 1

0

N

X

n=1

anrn(t)

p

dt

!¹p

≤Bp N

X

n=1

|a_n|²

!¹₂

(1.6)

para qualquer inteiro positivo N e quaisquer escalares a₁, . . . , a_n.

As constantes ´otimas da desigualdade de Khinchin s˜ao as mesmas tanto para o caso real quanto para o caso complexo (devidas a [12]) e s˜ao dadas por

A_p =















2^12−1p, sep∈(0, p0] 2¹²

Γ(_√^p+12 )

π

¹_p

, se p∈(p₀,2)

1, sep∈[2,∞)

e

B_p =







1, se p∈(0,2]

2¹²

Γ(^p+1₂ )

√π

_p¹

, se p∈[2,∞)

para p ≤ p₀ ≈ 1.85, onde Γ representa a fun¸c˜ao gama. Em termos mais precisos, p₀ ∈(1,2) ´e a solu¸c˜ao da igualdade

Γ

p₀+ 1 2

=

√π

2 .

1.3 Operadores lineares absolutamente somantes

Nas se¸c˜oes anteriores, estudamos alguns resultados sobre os espa¸cos`<sub>p</sub>(E) e`^ω_p (E) ; por exemplo, vimos que toda aplica¸c˜ao u ∈ L(E;F) transforma elementos de `<sup>ω</sup><sub>p</sub> (E) em elementos de `^ω_p (F), e tamb´em, transforma elementos de `_p(E) em elementos de

`<sub>p</sub>(F). Um questionamento natural e interessante, ´e se todo operador linear cont´ınuo transforma elementos de `^ω_p (E) em elementos de `_p(F). Em geral, isto n˜ao acontece.

Exemplo 1.1. Considere o operador identidade I<sub>`2</sub> :`₂ →`<sub>2</sub>. A sequˆencia de vetores canˆonicos (ej)<sup>∞</sup><sub>j=1</sub> ∈`^ω₂(`2) mas (I`2(ej))^∞_j=1 ∈/ `2(`2).

Quando u transforma elementos de `<sup>ω</sup><sub>p</sub> (E) em elementos de `_p(F), dizemos que u melhora a convergˆencia de s´eries. A ocorrˆencia deste fato ser´a essencial para os pr´oximos resultados.

Defini¸c˜ao 1.3.1. Seja p ≥ 1. U m operador linear e cont´ınuo u : E → F ´e dito absolutamente p-somante se

(x_j)^∞_j=1 ∈`<sup>ω</sup><sub>p</sub> (E) =⇒(u(x<sub>j</sub>))<sup>∞</sup><sub>j=1</sub> ∈`_p(F) .

M ais geralmente, se 1 ≤ q ≤ p < ∞, u ∈ L(E;F) ´e absolutamente (p;q)-somante, ou simplesmente (p;q)-somante, se

(xj)^∞_j=1 ∈`<sup>ω</sup><sub>q</sub> (E) =⇒(u(xj))<sup>∞</sup><sub>j=1</sub> ∈`p(F) .

Denotaremos por Π_p,q(E;F) o espa¸co vetorial formado por todos os operadores (p;q)-somantes de E em F. No caso p=q, representaremos por Π_p(E;F) em vez de Π_p,q(E;F).

Observa¸c˜ao 1.1. Em geral pede-se que 1 ≤ q ≤ p <∞, pois no caso p < q o ´unico operador absolutamente (p;q)-somante ´e o operador nulo. De fato, se p < q, tome (λ_j)^∞_j=1 ∈`<sub>q</sub>r`_p. Para cada j, sejax_j =λ_jx, com x6= 0 e x∈E. Ent˜ao,

∞

X

j=1

|ϕ(x_j)|^q =

∞

X

j=1

|ϕ(λ_jx)|^q =

∞

X

j=1

|ϕ(x)|^q· |λ_j|^q

=|ϕ(x)|^q·

∞

X

j=1

|λ_j|^q <∞, para qualquer ϕ∈E⁰.

Logo (x_j)^∞_j=1 ∈`^ω_q (E). Por outro lado, para cada n ∈Ne sendo u∈ L(E;F) temos

n

X

j=1

|u(x_j)|^p =

n

X

j=1

|u(λ_jx)|^p ≤ |u(x)|^p·

n

X

j=1

|λ_j|^p.

Como (λj)^∞_j=1 ∈/`p, conclu´ımos que a sequˆencia

|u(x)|^p·

n

X

j=1

|λ_j|^p

!

n∈N

converge se, e somente se, u(x) = 0. Sendo x arbitr´ario, segue queu≡0.

Do conceito de operadores (p;q)-somantes, podemos definir a aplica¸c˜ao ˆu:`^ω_q (E)→

`_p(F) por

ˆ u

(x_j)^∞_j=1

= (u(x_j))^∞_j=1.

O resultado a seguir fornece caracteriza¸c˜oes para operadores absolutamente (p;q)- somantes por meio de desigualdades.

Proposi¸c˜ao 1.9. Seja u∈ L(E;F). Ent˜ao, as seguintes af irma¸c˜oes s˜ao equivalentes: (i)u e´(p;q)-somante;

(ii)Existe C >0 tal que,

n

X

k=1

ku(x_k)k^p

!¹_p

≤C· sup

ϕ∈B_E0

n

X

k=1

|ϕ(x_k)|^q

!¹_q

, (1.7)

para quaisquer x₁, . . . , x_n em E e n∈N; (iii)Existe C >0 tal que,

∞

X

k=1

ku(xk)k^p

!¹_p

≤C· sup

ϕ∈B_E0

∞

X

k=1

|ϕ(xk)|^q

!¹_q

, (1.8)

sempre que(x_k)^∞_k=1 ∈`^ω_q (E) ; (iv) Existe C >0tal que,

∞

X

k=1

ku(x_k)k^p

!¹_p

≤C· sup

ϕ∈B_E0

∞

X

k=1

|ϕ(x_k)|^q

!¹_q

, (1.9)

sempre que(xk)^∞_k=1 ∈`^u_q (E) ;

(v) (u(x_k))^∞_k=1 ∈`<sub>p</sub>(F) sempre que (x<sub>k</sub>)<sup>∞</sup><sub>k=1</sub> ∈`^u_q(E).

Demonstra¸c˜ao. (i) ⇒ (ii). Suponha que u seja absolutamente (p;q)-somante. Ent˜ao existe um operador induzido ˆu:`<sup>ω</sup><sub>q</sub> (E)→`_p(F) definido por ˆu((x_k)^∞_k=1) = (u(x_k))^∞_k=1. Note que ˆu ´e claramente linear. Afirmamos que o gr´afico de ˆu ´e fechado. De fato, suponha que (x_k)^∞_k=1 converge parax= (xⁿ)^∞_n=1 em `<sup>ω</sup><sub>q</sub> (E) e (ˆu(x<sub>k</sub>))<sup>∞</sup><sub>k=1</sub> converge para y = (y<sup>n</sup>)<sup>∞</sup><sub>n=1</sub> em `p(F). Como (xk)^∞_k=1 converge para x = (xⁿ)^∞_n=1, para todo > 0, existeN₀ ∈N tal que

k ≥N₀ =⇒ sup

ϕ∈B_E0

∞

X

n=1

|ϕ(xⁿ_k −xⁿ)|^q

!¹_q

=kx_k−xk_ω,q < . Consequentemente,

∞

X

n=1

|ϕ(xⁿ_k−xⁿ)|^q < ^q, para todo ϕ∈B_E⁰. (1.10)

Como cada termo da s´erie (1.10) ´e dominado por ^q, segue que k ≥N0 =⇒ kxⁿ_k−xⁿk= sup

ϕ∈B_E0

|ϕ(xⁿ_k−xⁿ)|< , para todo n∈N.

Logo, para cadan, a sequˆencia (xⁿ_k)^∞_k=1 converge para xⁿ em E. Pela continuidade de u, temos

k→∞lim uxⁿ_k =uxⁿ , para todo n∈N. (1.11) Por outro lado, como (ˆu(x_k))^∞_k=1 converge para y = (yⁿ)^∞_n=1 em `_p(F), existe N₁ ∈ N tal que

k≥N₁ =⇒ kˆux_k−yk_p < , e, portanto,

k≥N₁ =⇒ k(uxⁿ_k)^∞_n=1−(yⁿ)^∞_n=1k_p < , ou seja,

k ≥N₁ =⇒

∞

X

n=1

kuxⁿ_k−yⁿk^p

!¹_p

< .

Com isso, obtemos

k ≥N₁ =⇒ kuxⁿ_k −yⁿk< , para todo n∈N e, portanto,

k→∞lim uxⁿ_k =yⁿ, para todo n∈N. (1.12) Logo, de (1.11) e (1.12) temos uxⁿ = yⁿ para todo n natural. Como consequˆencia, temos

ˆ

ux= (uxⁿ)^∞_n=1 = (yⁿ)^∞_n=1 =y.

Sendo ˆulinear, pelo TGF, segue que ˆu´e cont´ınuo. Logo, para toda sequˆencia finita (xk)ⁿ_k=1 em E, temos

n

X

k=1

ku(x_k)k^p

!_p¹

=k(u(x_k))ⁿ_k=1k_p =kˆu((x_k)ⁿ_k=1)k_p

≤ kˆuk k(x_k)ⁿ_k=1k_ω,q=kˆuk sup

ϕ∈B_E0

n

X

k=1

|ϕ(x_k)|^q

!¹_q , e, portanto,

n

X

k=1

ku(x_k)k^p

!¹_p

≤ kˆuk sup

ϕ∈B_E0

n

X

k=1

|ϕ(x_k)|^q

!¹_q

. (1.13)

(ii)⇒(iii). Suponha que, para quaisquer x₁, . . . , x_n em E en natural, temos

n

X

k=1

ku(x_k)k^p

!¹_p

≤C· sup

ϕ∈B_E0

n

X

k=1

kϕ(x_k)k^q

!¹_q .

Se (x_n)^∞_n=1 ∈`^ω_q (E), ent˜ao

∞

X

k=1

ku(x_k)k^p

!¹_p

= sup

n n

X

k=1

ku(x_k)k^p

!¹_p

≤sup

n



C· sup

ϕ∈B_E0

n

X

k=1

kϕ(x_k)k^q

!¹_q



=C· sup

ϕ∈B_E0



sup

n n

X

k=1

kϕ(x_k)k^q

!¹_q



=C· sup

ϕ∈B_E0

∞

X

k=1

kϕ(x_k)k^q

!¹_q , e, portanto,

∞

X

k=1

ku(x_k)k^p

!¹_p

≤C· sup

ϕ∈B_E0

∞

X

k=1

kϕ(x_k)k^q

!¹_q

. (1.14)

(iii)⇒(i). Segue claramente de (iii).

(iii)⇒(iv). Sabendo, pela proposi¸c˜ao 1.4, que `<sup>u</sup><sub>q</sub>(E)⊂`^ω_q (E), segue o resultado.

(iv)⇒(v). ´Obvio

(v) ⇒ (ii). Suponha que (v) ´e verdade. Ent˜ao, o operador u : `<sup>u</sup><sub>q</sub> (E) −→ `_p(F) dado por

u((xk)^∞_k=1) = (u(xk))^∞_k=1

est´a bem definido. Usando a mesma ideia da demonstra¸c˜ao de (i)⇒ (ii) conclu´ımos queu ´e cont´ınuo.

Agora, se (x_k)ⁿ_k=1 ´e uma sequˆencia finita em E, ent˜ao (x₁, . . . , x_n,0,0,0, . . .)∈`^u_q(E) . Portanto,

n

X

k=1

ku(x_k)k^p

!_p¹

=k(u(x_k))ⁿ_k=1k_p =ku((x_k)ⁿ_k=1)k_p

≤ kuk k(x_k)ⁿ_k=1k_ω,q=kuk sup

ϕ∈B_E0

n

X

k=1

|ϕ(x_k)|^q

!¹_q ,

que ´e o resultado esperado.

Denotaremos por π_p,q(u) o ´ınfimo dos C tais que a desigualdade (1.7) continua sendo v´alida. No caso em que p = q denotaremos simplesmente por π_p(u). Pela

desigualdade (1.13), temosπ_p,q(u)≤ kˆuk. Al´em disso, temos

kˆuk= sup k^(xk)^∞_k=1k_ω,q^≤1

kˆu((x_k)^∞_k=1)k_l

p

= sup

k^(xk)^∞_k=1k_ω,q^≤1

k(u(x_k))^∞_k=1k_l

p

= sup

k^(xk)^∞_k=1k_ω,q^≤1

∞

X

k=1

ku(x_k)k^p

!¹_p

≤ sup

k^(xk)^∞_k=1k_ω,q^≤1

Ck(x_k)^∞_k=1k_ω,q=C,

e da´ı,kˆuk ≤π_p,q(u). Portanto, conclu´ımos que π_p,q(u) =kˆuk.

Da igualdadeπ_p,q(u) =kˆukconclu´ımos queπ_p,q(u) define uma norma para o espa¸co Π_p,q(E;F).

Exemplo 1.2. Sejap≥1. Todo operador linear cont´ınuo u:E →K´e absolutamente p-somante e

π_p(u) = kuk.

Com efeito, basta mostrarmos que `<sup>ω</sup><sub>p</sub> (K) = `_p(K). A inclus˜ao `<sub>p</sub>(K) ⊂ `^ω_p (K) ´e claramente verdadeira. Resta mostrar que `<sup>ω</sup><sub>p</sub> (K) ⊂ `_p(K). De fato, seja (x_j)^∞_j=1 ∈

`^ω_p (K). Ent˜ao,

(x_j)^∞_j=1 ω,p

= sup

ϕ∈B_K

∞

X

j=1

|ϕ(x_j)|^p

!¹_p

=

∞

X

j=1

|x_j|^p

!¹_p

=

(xj)^∞_j=1

p (1.15)

e da´ı, (x_j)^∞_j=1 ∈`<sub>p</sub>(K). Portanto,`^ω_p (K) =`_p(K).

Agora, pela defini¸c˜ao da norma em operadores absolutamente somantes, temos kuk ≤πp(u) .

Sendo assim, resta mostrar que π_p(u) ≤ kuk. Com efeito, dado u 6= 0 e usando a