11 Métodos de sintonia convencionais: Métodos de Cohen-Coon e Zigler Nichols. Avaliação das performances da malha fechada usando Scilab.

(1)

190

11 Métodos de sintonia convencionais: Métodos

de Cohen-Coon e Zigler Nichols. Avaliação das

performances da malha fechada usando Scilab.

O desempenho de sistemas de controle pode ser julgado pela resposta transiente da saída a uma variação específica na entrada. A variação na entrada pode ser uma variação no setpoint ou na perturbação.

A seleção dos ajustes de controladores PID é baseada em critérios de resposta transiente.

11.1 Tipos de Entrada

O termo resposta transiente significa a resposta de um sistema de controle a qualquer tipo de entrada, mas normalmente refere-se a uma variação degrau no setpoint ou na carga. A variação degrau é usada mais por conveniência; as soluções a essa entrada são mais fáceis de se obter do que para qualquer outro tipo de perturbação. A variação degrau também é o tipo mais severo de perturbação, e a resposta ao degrau mostra o erro máximo que ocorreria para uma eventual variação na perturbação. Se vários sistemas de controle ou ajustes de controlador são comparados, o sistema com a melhor resposta à variação na carga terá a melhor resposta a flutuações randômicas dessa carga.

Quando a questão da estabilidade é analisada, não importa qual entrada é variada ou qual tipo de variação é feita, desde que o sistema seja linear. Um sistema em malha fechada instável a uma entrada, é instável a todas as entradas.

11.2 Critérios de performance para sistemas em malha

fechada

Sistemas em malha fechada devem satisfazer os seguintes critérios de performance: 1 - O sistema em malha fechada deve ser estável.

2 - Os efeitos da perturbação devem ser minimizados (rejeição à perturbação). 3 - Respostas rápidas e suaves a variações no setpoint.

4 - Sem offset.

5 - Evitar ações de controle excessivas (reduzir o desgaste na válvula de controle).

6 - O sistema de controle deve ser robusto, isto é, insensível a variações nas condições do processo e erros no modelo do processo.

(2)

191 nominais sobre os quais é baseado o projeto do processo. Idealmente o controlador deve ser robusto, isto é, operar satisfatoriamente na presença de variações nos parâmetros da planta. Em problemas típicos de controle, não é possível alcançar todas essas metas, pois elas envolvem conflitos inerentes e balanceáveis. Por exemplo, ajustes de controlador PID que minimizam os efeitos da perturbação tendem a produzir grandes overshoots para variações no

setpoint. Por outro lado, se o controlador é ajustado para dar uma resposta rápida e suave a

variações no setpoint, geralmente ele resulta em controle lento para perturbações. Assim, um balanceamento é requerido para selecionar os ajustes dos controladores de modo que sejam satisfatórios tanto para variações na carga como no setpoint.

Um segundo balanceamento é requerido entre robustez e performance. Normalmente um sistema de controle pode ser feito robusto escolhendo-se valores conservativos (por exemplo,

c

K pequeno e τ grande), mas essa escolha resulta em respostas lentas a variações na carga e I no setpoint, em outras palavras, controle de alta performance não é conseguido.

Há diversas abordagens para a especificação dos ajustes de controladores: 1 - Método da síntese direta

2 - Controle com modelo interno 3 - Relações de sintonia

4 - Técnicas de resposta frequencial

5 - Simulação em computador usando modelo 6 - Sintonização de campo após instalação

Os cinco primeiros são baseados em modelo do processo, e, portanto, podem ser usados para determinar os ajustes dos controladores antes que o sistema de controle esteja instalado. Entretanto, a sintonia de campo dos controladores após a instalação freqüentemente é requerida, pois o modelo do processo raramente é exato. Conseqüentemente, o objetivo dos cinco métodos é fornecer valores aproximados para os ajustes de controladores PID que serão usados como ponto de partida para a sintonia de campo.

11.3 RELAÇÕES DE PROJETO PARA

CONTROLADORES PID

Nesta seção consideraremos algumas relações de projeto bastante conhecidas, baseadas em algum modelo específico, principalmente o modelo de primeira ordem com tempo morto

1 s e K ) s ( G s td + τ = − (11.1) m p fG G G G = (11.2)

(3)

192

11.3.1 Cohen-Coon

Em 1953, Cohen e Coon publicaram algumas relações de projeto desenvolvidas empiricamente para se obter resposta em malha fechada com razão de declínio 1/4. O procedimento de Cohen e Coon também ficou conhecido como Método da curva de reação do processo.

Considere o sistema de controle que foi “aberto” desligando o controlador do elemento final de controle (Figura 11.1). Introduz-se um degrau de amplitude A na variável c que atua sobre o elemento final de controle. Registra-se a resposta da saída com o tempo. A curva

) t (

ym é chamada de curva de reação do processo. ) s ( G ) s ( G ) s ( G ) s ( c ) s ( y ) s ( GPRC = m = f p m (11.3)

Figura 11.1 Teste degrau para sistema de controle aberto.

(4)

193 Figura 11.2 Curva de reação do processo e sua aproximação por um sistema de primeira ordem com tempo morto.

1 s e K ) s ( c ) s ( y ) s ( G s t m PRC d + τ ≅ = − (11.4)

que contem três parâmetros: ganho estacionário K , tempo morto td e constante de tempo τ .

O ganho estacionário pode ser facilmente determinado lendo-se o valor final de y_m na Figura 11.2, isto é, ym(∞)=B. Assim A B entrada saida K = ∆ ∆ = (11.5) S B =

τ , em que S é a tangente no ponto de inflexão da resposta sigmoidal

d

t = interseção da tangente com a abcissa é tomada como o tempo morto aparente

Com base no modelo aproximado, Cohen e Coon propuseram as relações de projeto sumarizadas na Tabela 11.1.

Tabela 11.1 Relações de projeto de controladores por Cohen e Coon.

Controlador Ajustes Cohen-Coon

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194 I τ τ + τ + d d d ₉ ₂₀_t t 3 30 t PD K _c       τ + τ 6 t 4 5 t K 1 d d D τ τ + τ − d d d t 3 22 t 2 6 t PID K_c       τ + τ 4 t 3 4 t K 1 d d I τ τ + τ + d d d t 8 13 t 6 32 t D τ τ + d d₁₁ ₂_t 4 t

Esse critério de performance (razão de declínio 1/4) apresenta algumas desvantagens

1 - Respostas com razão de declínio 1/4 são consideradas muito oscilatórias pelos operadores. 2 - O critério considera apenas dois pontos da resposta em malha fechada, os dois primeiros picos.

Observação

Para processos que apresentam atraso por transporte muito pequeno (tempo morto), isto é, t d próximo de zero, a curva de reação do processo se assemelha à da resposta de um sistema de primeira ordem simples. Os ajustes de Cohen e Coon indicarão valor extremamente elevado para o ganho proporcional K . Na prática usa-se o maior valor possível para reduzir o _c offset

se um controlador proporcional for empregado. Se for usado um controlador PI, o valor do ganho será determinado pelas características da resposta desejada.

Exemplo 11.1 Ajuste de controladores feedback pelo método de Cohen

e Coon.

Processo

Dois sistemas de primeira ordem em série

(

s 1

)(

s 1

)

K ) s ( G 2 1 p p + τ + τ = (11.6)

Medidor e válvula de controle têm dinâmicas de primeira ordem

(6)

Kp = Kf =1 Km =1

5 1=

τ τ2 =10 τf =0 τm =2

A curva de reação do processo é mostrada na Figura 11.3. A figura mostra também a reta tangente no ponto de inflexão.

Figura 11.3 Curva de reação do processo.

(7)

196 Figura 11.4 Curva de reação do processo do exemplo e sua aproximação por um sistema de primeira ordem com tempo morto.

Da curva de reação do processo, pode-se determinar os seguintes valores: Inclinação no ponto de inflexão S =0,04755

Resposta final B =0,9992

Constante de tempo efetivo 21,0122 04755 , 0 9992 , 0 S B = = = τ Tempo morto td =3,5909 Ganho 0,9992 1 9992 , 0 A B K = = =

A rigor, a resposta final seria B =1, mas esse valor só será atingido quando t→∞. Com os valores acima, a função de transferência da curva de reação do processo fica

1 s 0122 , 21 e 9992 , 0 G s 5909 , 3 PRC + = − (11.10) Utilizando a Tabela 11.1, os ajustes de Cohen-Coon podem ser calculados

(8)

197 Controlador PI K_c =5,3542, τ_I =8,8234

Controlador PID K_c =8,0588, τI =8,2543, τD =1,2664

Vamos examinar agora o desempenho de cada um desses controladores. As Figuras 11.5 a 11.7 mostram as respostas a uma variação degrau unitário no setpoint usando os ajustes de

Cohen-Coon. O controlador proporcional resultou em um erro em regime permanente. O controlador proporcional integral não apresenta esse erro, mas a resposta é bastante oscilatória, e o controlador proporcional integral derivativo amenizou bem as oscilações.

Figura 11.5 Resposta em malha fechada a uma variação degrau unitário no setpoint com

(9)

198 Figura 11.6 Resposta em malha fechada a uma variação degrau unitário no setpoint com

controle PI.

(10)

199 O método da tangente utiliza apenas um ponto para estimar a constante de tempo. Uma desvantagem desse método é a dificuldade em localizar o ponto de inflexão devido a ruídos nas medidas (erros).

Sundaresan e Krishnaswamy (1977) propuseram a utilização de dois pontos da curva da resposta ao degrau correspondente a 35,3 e 85,3% do valor final da resposta e t e ₁ t são, ₂ respectivamente, os instantes em que ocorrem. O tempo morto e a constante de tempo são então calculados pelas equações

2 1 d 1,3t 0,29t t = − (11.11)

(

t2 t1

)

67 , 0 − = τ (11.12)

Esses valores de τ e t minimizam aproximadamente a diferença entre a resposta medida e o _d modelo no sentido dos mínimos quadrados.

Observação

A estimativa de K , τ e t de modelos aproximados de primeira ordem usando dados de d resposta ao degrau pode variar consideravelmente dependendo das condições de operação do processo, da amplitude do degrau e da direção da variação. Normalmente, essas diferenças podem ser atribuídas à não linearidade nos processos.

Exemplo 11.2

(11)

200 Figura 11.8 Curva de reação do processo.

O ganho é obtido por 9992 , 0 1 999 , 0 A B K = = =

Os dois pontos são obtidos diretamente da curva para os seguintes valores da saída: 353 , 0 y = ⇒ _t₁ =₁₁_,₀₃₅₃ 853 , 0 y = ⇒ t₂ =27,8853

Com as equações 11.11 e 11.12, calculamos os seguintes: 2895 , 11 = τ 2592 , 6 t_d =

Portanto, a função de transferência é dada por

(12)

201 Figura 11.9 Curva de reação do processo do exemplo e sua aproximação por um sistema de primeira ordem com tempo morto.

De posse do modelo de primeira ordem com tempo morto, podemos utilizar a Tabela 11.1 e calcular os ajustes de Cohen-Coon, os quais são:

Controlador P Kc =2,1388

Controlador PI K_c =1,7081, τI =9,8656

Controlador PID K_c =2,6571, τI =12,6819, τD =2,0676

(13)

controle P.

(14)

controle PID.

11.3.2 Regras de Ziegler-Nichols

Regras para determinação dos parâmetros do controlador PID baseadas nas características da resposta transitória de determinada planta. Foram dois os métodos publicados por Ziegler e Nichols (ZN) em 1942. Ambos os métodos foram desenvolvidos empiricamente visando à obtenção de uma de razão de declínio de 1/4.

1

o

Método - Via oscilação limite

Consiste em determinar experimentalmente o ganho último K , isto é, o valor do ganho no _u qual a malha está no limite da estabilidade (marginalmente estável) com um controlador proporcional. O controlador é operado em malha fechada com o sistema a ser controlado. Os modos integral e derivativo (se existirem) são mantidos inoperantes (τI =∞,τD =0), e o ganho proporcional é aumentado lentamente até atingir o valor em que começa a ocorrer a oscilação contínua das variáveis do sistema. Esse valor do ganho proporcional corresponde a

u

(15)

204 A maneira mais simples de introduzir um distúrbio é mover o setpoint durante um pequeno

intervalo de tempo e então voltá-lo a seu valor original. Esse procedimento equivale a introduzir uma função pulso no erro, fazer com que o sistema responda e ainda permanecer dentro de uma faixa estreita em torno do ponto de operação normal do processo.

Um tipo alternativo de distúrbio seria introduzir pequenas variações degrau no setpoint. Se

forem usadas variações degrau para induzir transientes, as sucessivas variações degrau devem alternar em torno do ponto de operação normal do processo. É importante que o distúrbio seja o menor possível, especialmente quando o ganho do controlador é aumentado, assim a válvula e demais componentes não excedem seus limites físicos.

Figura 11.13 Diagrama de blocos para a determinação experimental do ganho último.

Figura 11.14 Oscilação contínua da variável do sistema. Tabela 11.2 Ajustes Ziegler-Nichols para controladores.

Controlador K _c τ I τ D

P K_u 2  

PI K_u 2,2 P_u 1,2 

PID Ku 1,7 Pu 2 Pu 8

As relações de sintonia ZN foram desenvolvidas empiricamente para dar uma razão de decaimento 1/4. Essas relações de sintonia têm sido largamente utilizadas na indústria e servem como um caso base conveniente para comparar esquemas de controle alternativos. Para algumas malhas de controle, o grau de oscilação associado com a razão de declínio ¼ e o grande overshoot correspondente para variação no setpoint são indesejáveis. Assim, ajustes

mais conservativos são preferidos, tais como os ajustes ZN modificados.

Tabela 11.3 Ajustes Ziegler-Nichols original e modificados para controlador PID. c

(16)

205 Original (razão de declínio ¼) 0,6K_u P_u 2 P_u 8

Pequeno “overshoot” 0,33K_u Pu 2 Pu 3

Sem “overshoot” 0,2K_u P_u 2 P_u 3

2

o

Método – Via ensaio de resposta ao degrau

O segundo método para ajustar o controlador é o método da curva de reação do processo. Este método é baseado em um teste experimental aplicado com o controlador no modo manual. É introduzida uma pequena perturbação degrau na saída do controlador registrando-se a curva da variável medida versus tempo. As perturbações devem ser suficientemente pequenas para

assegurar a operação na faixa linear. A curva de saída é chamada de curva de reação do processo. Deve-se admitir que não ocorram variações de carga durante o teste. Uma curva de reação do processo típica é dada na Figura 11.15. Se a curva de reação do processo apresenta forma sigmoidal, usualmente o seguinte modelo pode fornecer um ajuste satisfatório:

Figura 11.15 Levantamento da curva de reação do processo.

1 s e K ) s ( G ) s ( G ) s ( G ) s ( c ) s ( y ts m p f m d + τ ≅ = − (11.14) Tabela 11.4 Relações de sintonia de Ziegler-Nichols (método da curva de reação do processo). Tipo de controlador K _c τI τD P       τ d t K 1 ∞ 0 PI       τ d t K 9 , 0 3,33td 0 PID       τ d t K 2 , 1 2 td 0,5td

j 3 3

)

0 u 2₊ ₊ ₊ ₋_ω ₊ _ω ₌ ω − (11.21)

A equação é satisfeita com 0 K 1 3 2 _u = + + ω − (11.22) e 0 3 3 = ω + ω − (11.23)

(

2 3

)

0 = + ω − ω (11.24) 3 ± = ω (11.25)

Substituindo na equação 11.22 tem-se 8 Ku = (11.26) 6276 , 3 2 Pu = ω π = (11.27)

(18)

207 Passo 1. τI =∞, τD =0

Passo 2. K pequeno _c

Passo 3. Aumentar K até que ocorram oscilações mantidas para pequenas variações no c

setpoint ou na carga.

A Figura 11.16 mostra alguns resultados do procedimento experimental, em que foi variado o valor do K . Note que para c Kc =8 a resposta apresenta oscilação contínua com período de oscilação de 3,60 unidades de tempo, portanto K_u =8 e Pu =3,60. O valor de K obtido u experimentalmente está de acordo com o valor obtido analiticamente.

Figura 11.16 Resultados experimentais da resposta ao impulso para valores crescentes de K . _c

Exemplo 11.4 Sintonia do controlador PID usando as regras Z-N

Para o modelo de processo

(20)

209 6999 , 0 ± = ω ∴ Pu 2 =8,9773 ω π =

Um ambiente propício para simular sistemas em malha fechada é o Xcos. Uma das principais vantagens em usar o Xcos é que os tempos mortos são facilmente manuseados sem necessidade de usar aproximações. É recomendável que o leitor tenha algum conhecimento sobre este software que acompanha o Scilab. Kwong (2011) mostra aplicações de Xcos em

controle de processos. O modelo em Xcos para simular o sistema de controle é pelo diagrama de blocos da Figura 11.17. Os parâmetros dos blocos Função de Transferência, Tempo Morto e do Controlador PID são mostrados na Figura 11.8. Para obter o ganho limite do controlador proporcional, podemos mudar o valor de K do bloco PID e simular a resposta em malha c fechada até que a saída oscile de forma sustentada como mostra a Figura 11.19. O valor de

c

K corresponde então ao ganho-limite K . u

Figura 11.17 Modelo em Xcos para simular o sistema de controle.

(21)

210 (b)

(c)

Figura 11.18 Parâmetros dos blocos do modelo em Xcos. (a) Bloco Função de Transferência; (b) bloco Tempo Morto; (c) bloco PID.

Figura 11.19 Resposta da planta no ensaio de oscilação limite. Assim, os valores experimentais são

95 , 0 K_u = 12 Pu =

e estão de acordo com o valores obtidos analiticamente. Assim, os ajustes do controlador PID pelo método de Ziegler e Nichols via oscilação limite são

73 , 4 Kc = 8 , 5 I = τ 45 , 1 D = τ

Exemplo 11.6

Considere o sistema representado pela Figura 11.20.

Figura 11.20 Diagrama de blocos.

(24)

213 ∞

=

τI , τD =0

A função de transferência global fica

(

)(

)

c c sp ss 1 s 5 K K ) s ( y ) s ( y + + + = (11.52)

A equação característica do sistema em malha fechada é 0 K s 5 s 6 s3 2 _c = + + + (11.53)

O arranjo de Routh para essa equação é

c c c 0 1 2 3 K6 K 30 K 6 5 1 s s s s − Se 30 K_c = ⇒ oscilações mantidas ∴ Ku =30

Para achar a freqüência de oscilação mantida, substituímos s= jω na equação característica 0 30 ) j ( 5 ) j ( 6 ) j ( _ω 3₊ _ω 2 ₊ _ω ₊ ₌ _(11.54)

(

5

)

j

(

5

)

0 6 ₋_ω2 ₊ _ω ₋_ω2 ₌ _(11.55)

que é satisfeita com 5 2 = ω ou ω= 5 Portanto, 81 , 2 5 2 2 P_u = π = ω π =

(25)

214

Exemplo 11.7 Um resultado inesperado

Para o sistema de controle mostrado na Figura 11.21, determine os ajustes do controle PI usando o método Z-N e o método C-C usando a curva de reação do processo.

Figura 11.21 Diagrama de blocos. A resposta ao degrau unitário é dada por

t 2 3 _t _t ₁ _e 2 1 t 6 1 1 ) t ( y _ −      + + + − = (11.56)

Para achar a reta tangente no ponto de inflexão, derivamos duas vezes y(t) com relação a t .

t 3_e t 6 1 ) t ( y_ɺ ₌ − _(11.57)

(

2 3

)

t ₃_t _t e 6 1 ) t ( y_ɺ = − − ɺ _(11.58)

A localização do ponto de inflexão da resposta ao degrau y(t) pode ser obtida igualando a segunda derivada a zero.

(

2 3

)

t ₃_t _t e 6 1 0= − − _(11.59)

Resolvendo para t encontramos t = , e a tangente neste ponto é 3

224 , 0 e 3 6 1 ) 3 ( y_ɺ ₌ 3 −3 ₌ _(11.60) Assim 224 , 0 S =

(26)

215 224 , 0 S t 3 0 353 , 0 d = = − − ∴ t_d =1,42 46 , 4 224 , 0 1 S B = = = τ

A Figura 11.22 mostra a curva de reação do processo juntamente com a resposta aproximada por um sistema de primeira ordem com tempo morto.

Figura 11.22 Curva de reação do processo do exemplo e sua aproximação por um sistema de primeira ordem com tempo morto.

Utilizando a Tabela 11.1 obtém-se os seguintes parâmetros do controlador PI: 91 , 2 K_c = 86 , 2 I = τ Um resultado inesperado

(27)

216 Figura 11.23 Resposta ao degrau no setpoint pelo método de Cohen-Coon baseado na linha tangente no ponto de inflexão.

Para nossa surpresa, o sistema é instável. Examinemos agora a estabilidade desse sistema de controle com os ajustes determinados pelas relações de Cohen-Coon.

(

s 1

)

0 1 s 1 1 K 1 ₄ I c = +       τ + + (11.61)

(

K

)

s K 0 s 4 s 6 s 4 s 2 _I _c _I _c I 3 I 4 I 5 I + τ + τ + τ + τ + τ + = τ (11.62) 0 91 , 2 s 18 , 11 s 44 , 11 s 16 , 17 s 44 , 11 s 86 , 2 5 4 3 2 = + + + + + (11.63) 91 , 2 0 07353 , 3 91 , 2 07592 , 3 0 4551 , 10 3 , 14 91 , 2 44 , 11 44 , 11 1826 , 11 16 , 17 86 , 2 −

(28)

217 Vejamos agora o uso do método de Sundaresan e Krishnaswamy. Os instantes t e 1 t podem 2 ser determinados pelas equações

1 t 1 2 1 3 1 1 t t 1 e 2 1 t 6 1 1 353 , 0 ) t ( y _ −      + + + − = = (11.64) 2 t 2 2 2 3 2 2 ₂t t 1 e 1 t 6 1 1 853 , 0 ) t ( y _ −      + + + − = = (11.65)

cujas soluções são dadas por t₁=3,0010 e t2 =6,0477. Assim, 1475 , 2 t 29 , 0 t 3 , 1 td = 1− 2 = (11.66)

(

t t

)

2,0412 67 , 0 ₂− ₁ = = τ (11.67) e o modelo aproximado é 1 s 0412 , 2 e ) s ( G 1475 , 2 + = − (11.68)

A Figura 11.24 compara a curva obtida pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy com a curva de reação do processo.

(29)

218 Utilizando as relações de Cohen-Coon (Tabela 11.1) obtêm-se os seguintes parâmetros do controlador PI: 9389 , 0 Kc = 3702 , 2 I = τ

Note que o valor de K agora é bem menor do que o valor anterior, o que leva à expectativa _c de que a resposta será estável. Usando esses valores de K e c τ , a resposta ao degrau no I

setpoint mostrada na Figura 11.25 foi obtida.

Figura 11.25 Resposta ao degrau no setpoint pelo método de Cohen-Coon usando modelo identificado pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy.

Um método mais sofisticado é a dos parâmetros do modelo via mínimos quadrados, onde uma rotina de otimização numérica selecionará a melhor combinação dos parâmetros de modo que minimize o erro do ajuste. O erro do ajuste é definido pelo escalar

(

)

2 i modelo exp y y J=

∑

− _{i =}₁_,₂_,₃_,… (11.69)

O Scilab contém algumas funções que podem ser utilizadas para resolver problemas de otimização. Uma delas é a função fminsearch, que calcula o mínimo irrestrito de uma função pelo algoritmo de Nelder e Mead. A forma mais simples de usar é:

(30)

219 onde

costf nome da função que contém a função objetivo x0 vetor com os chutes iniciais

Programa

//Curva de reação do processo ajustada por um sistema de primeira ordem //com tempo morto

//

clear clc

clearglobal

function f=fopdt(x)

//Calcula a soma dos quadrados dos erros

global t taup=x(1) td=x(2) for i=1:length(t) yplant(i)=1-(1/6*t(i)^3+1/2*t(i)^2+t(i)+1)*exp(-t(i)) if t(i)<=td ymodel(i)=0 else

ymodel(i)=1-exp(-(t(i)-td)/taup)

end end e=yplant'-ymodel' f=e*e' //escalar J endfunction global t t=0:0.1:20; //Estimativa inicial taup=1; td=1;

//Minimiza a soma dos quadrados dos erros

x0(1)=taup; x0(2)=td; x=fminsearch(fopdt,x0'); taup=x(1) td=x(2) for i=1:length(t) yplant(i)=1-(1/6*t(i)^3+1/2*t(i)^2+t(i)+1)*exp(-t(i)); if t(i)<=td ymodel(i)=0; else

ymodel(i)=1-exp(-(t(i)-td)/taup); end

end

//Plota as curvas da resposta real e a resposta aproximada scf(1)

clf

plot(t,yplant,'k-',t,ymodel,'k:')

xlabel('t')

(31)

220

legend(['Planta','Modelo'],4)

//Ganho do processo de primeira ordem aproximado

Kp=ymodel($);

//Imprime os parâmetros do modelo FOPDT

disp('Parâmetros do modelo FOPDT')

printf('\n')

printf('Kp = %f\n',Kp)

printf('taup = %f\n',taup)

printf('td = %f\n',td)

Aplicando a identificação mínimos quadrados, foram produzidos os resultados mostrados na janela de comandos do Scilab.

Parâmetros do modelo FOPDT Kp = 0.999589

taup = 2.328674 td = 1.841427

Assim, o modelo identificado é dado por

1 s 3287 , 2 e 9996 , 0 ) s ( G s 8414 , 1 p + = − (11.70)

(32)

221 Figura 11.26 Curva de reação do processo do exemplo e sua aproximação por um sistema de primeira ordem com tempo morto obtida por mínimos quadrados.

Utilizando as relações de Cohen-Coon (Tabela 11.1), obtêm-se os seguintes parâmetros do controlador PI: 2220 , 1 K_c = 4022 , 2 I = τ

Usando esses valores de K e c τ , foi obtida a resposta ao degrau unitário no setpoint I mostrada na Figura 11.27.

Figura 11.27 Resposta ao degrau no setpoint pelo método de Cohen-Coon usando modelo baseado no ajuste por mínimos quadrados.

Exercícios

Exercícios resolvidos

11.1 Em uma malha de controle temos os seguintes elementos:

(33)

222 1 s 2 2 ) s ( G_v + = 1 s 1 ) s ( Gm + =

e pretendemos usar um controlador PI. Daí, pede-se:

a) Usar o Scilab para obter a resposta ao degrau unitário da malha aberta sem o controlador. b) Usar o método da curva de reação para obter o modelo aproximado da forma

1 s e K ) s ( G ) s ( G ) s ( G p s t p m v p d + τ = −

c) Sintonizar o controlador usando os métodos de Cohen-Coon e Ziegler-Nichols.

d) Comparar as respostas da malha fechada com os dois controladores considerando um degrau no setpoint.

e) Comparar as respostas para uma variação no distúrbio, considerando que

1 s 10 2 ) s ( G_d + = Solução

Como o processo contém tempo morto, vamos usar o Xcos para gerar a curva de reação do processo.

(34)

223 Figura 11.28 Curva de reação do processo.

(35)

224 0 , 10 K_p = 50 , 29 p = τ 34 , 8 td =

Usando a Tabela 11.1, podemos obter os ajustes de Cohen-Coon:

326 , 0 12 t 10 9 t K 1 K d d c =      τ + τ = 6 , 17 t 20 9 t 3 30 t d d d I = τ + τ + = τ

Usando a Tabela 11.4, podemos obter os ajustes de Ziegler-Nichols:

317 , 0 t K 9 , 0 K d c =      τ = 9 , 27 t 33 , 3 _d I = = τ d)

(36)

225 Figura 11.31 Resposta ao degrau no setpoint pelo método de Cohen-Coon baseado na linha tangente no ponto de inflexão.

(37)

226 e)

(38)

227 Figura 11.34 Resposta ao distúrbio degrau pelo método de Ziegler-Nichols baseado na linha tangente no ponto de inflexão.

Exercícios propostos

11.2 Na malha do exercício anterior, usar o método de Sundaresan e Krishnaswamy para obter o modelo aproximado do item b). Resintonizar os controladores do item c) e comparar as respostas da malha fechada com as respostas do exercício anterior.

11.3 Na malha de controle do Exercício 11.1, usar o método da oscilação permanente de Ziegler-Nichols para sintonizar um controlador PI e outro PID. Comparar as respostas da malha com os dois controladores.

11.4 Para o sistema do Exercício 11.1, usar o modelo aproximado para sintonizar os controladores PI e PID pelo método da oscilação permanente. Comparar as respostas da malha fechada.

11.5 Pretende-se controlar um processo com resposta inversa representado por

(

)

(

10s 1

)(

2s 1

)

s 1 2 ) s ( Gp + + − =

com um controlador PI, que é o mais comum para esse tipo de processo. Admitindo que 1 ) s ( G ) s (

(39)

228 a) Método de Ziegler-Nichols da oscilação permanente.

b) Método da curva de reação.

Comparar as respostas dos dois controladores.

11.6 O controlador PID interativo tem os modos integral e derivativo em série, ou seja:

(

)(

)

s 1 s 1 s K ) s ( G I D I c c τ + τ + τ =

ao contrário do PID convencional que tem os modos integral e derivativo em paralelo, ou seja:       τ + τ + = s s 1 1 K ) s ( G _D I c c

(40)

229

12 Método de sintonia baseado em otimização

com Scilab. Comparação com métodos

convencionais.

12.1 Relações de projeto baseadas em critério de erro

integral

As relações de projeto baseadas em critério de erro integral utilizam índices de performance que consideram a resposta toda da malha fechada (t = até atingir o estado estacionário). 0 Um índice de performance é um número que indica a qualidade da performance do sistema. O princípio é selecionar um determinado índice de desempenho, obtendo-se assim uma única solução de projeto correspondente. Vários índices de performance têm sido propostos na literatura. Três índices populares são

Integral do valor absoluto do erro (IAE)

dt ) t ( IAE 0

∫

∞ε = (12.1)

onde o sinal erro ε(t) é a diferença entre o setpoint e a medida.

) t ( y ) t ( y ) t ( = _sp − ε (12.2)

A integração é de 0 a ∞ porque o término da resposta não pode ser fixado de antemão.

Uma interpretação gráfica do índice de performance IAE é mostrada nas Figuras 12.1 e 12. 2. A área hachurada é o valor do IAE.

(41)

230 Figura 12.2 Integral do erro absoluto (variação na perturbação).

Integral do erro ao quadrado (ISE)

dt ) t ( ISE 0 2

∫

∞ ε = (12.3) A integral de 2(t)

ε de 0 a ∞ é a área total abaixo da curva ε2(t). Uma característica deste índice de performance é que ele dá peso maior para erros grandes e peso menor para erros pequenos.

Integral do erro absoluto ponderado pelo tempo (ITAE)

dt ) t ( t ITAE 0

∫

∞ ε = (12.4)

Este critério tem como característica que, na resposta ao degrau unitário do sistema, um erro inicial grande é ponderado com peso menor, e erros que ocorrem mais tarde na resposta transitória são bastante penalizados.

Em todos os critérios de performance definidos acima, o limite superior ∞ pode ser substituído por T , que é escolhido grande o suficiente para que ε(t) seja desprezível para

T t > .

Note, que a menos que 0 ) t ( lim t→∞ε = (12.5)

os índices de performance tendem a infinito. Se lim (t)

t→∞ε não tende a zero, podemos definir ) t ( y ) ( y ) t ( = ∞ − ε (12.6)

(42)

231 Considere o sistema da Figura 12.3.

Figura 12.3 Diagrama de blocos. As funções de transferência dadas por

1 s 20 ) s ( Gp + = (12.7) 1 s 1 ) s ( Gd + = (12.8)       τ + = s 1 1 K ) s ( G I c c (12.9) 1 ) s ( G ) s ( Gm = f = (12.10)

Em malha fechada temos

(43)

232 ) s ( d 1 s K 20 1 1 s K 20 s K 20 ) s ( y 1 s K 20 1 1 s K 20 1 s ) s ( y c I 2 c I c I sp c I 2 c I I +       + τ + τ τ + +       + τ + τ + τ = (12.12) ou

(

)

_d₍_s₎ 1 s 2 s s K 20 ) s ( y 1 s 2 s 1 s ) s ( y ₂ ₂I c sp 2 2 I + ζτ + τ τ + + ζτ + τ + τ = (12.13) em que c I K 20 τ = τ (12.14)

(

c

)

c I ₁ ₂₀_K K 20 2 1 + τ = ζ (12.15)

Para selecionar os melhores valores de Kc e τI, podemos usar ISE, IAE ou ITAE como critério de performance. Além disso, podemos escolher se a variação é na perturbação ou no

setpoint. Finalmente, mesmo que tenhamos escolhido variação no setpoint, precisamos decidir

que tipo de variação iremos considerar (isto é, degrau, senoidal, impulso). Vamos usar ISE e variação degrau unitário no setpoint. Assim,

s 1 1 s 2 s 1 s ) s ( y ₂ ₂ I + ζτ + τ + τ = (12.16) (se ζ<1)                 ζ ζ − + τ ζ − −       τ ζ − τ τ ζ − + = − τ ζ − 2 1 2 2 I 2 t ₁ tan t 1 sen t 1 sen 1 e 1 ) t ( y (12.17)

resolve-se o seguinte problema de otimização:

[

y y(t)

]

dt ISE Minimizar 2 0 sp ,

∫

∞ ζ τ − = (12.18)

As condições de otimalidade são

0 ISE ISE = ∂ζ ∂ = ∂τ ∂ _(12.19) que resulta em *

(44)

233 Analogamente, podemos usar ITAE e variação degrau unitário no setpoint.

dt ) t ( y y t ITAE Minimizar 0 sp ,

∫

∞ ζ τ − = (12.20)

As condições de otimalidade são

0 ITAE ITAE = ∂ζ ∂ = ∂τ ∂ (12.21) que resulta em *

τ e ζ ótimos e, consequentemente, * τ e I K ótimos. c Considerando agora variação degrau unitário na perturbação:

(

)

s 1 1 s 2 s s K 20 ) s ( y ₂ ₂I c + ζτ + τ τ = (12.22) (se ζ<1)

(

)

      τ ζ − ζ − τ τ = τ ζ − _t 1 sen 1 e K 20 ) t ( y 2 2 t c I _(12.23)

Têm sido desenvolvidas relações de projeto para controladores PID que minimizam esses critérios de erro integral para modelos de processos simples e um tipo particular de variação na perturbação ou no setpoint. O critério ISE tende a penalizar mais os erros maiores do que os critérios IAE ou ITAE. Em geral, ITAE é o preferido dentre os critérios de erro integral, desde que resulte em ajustes mais conservativos para os controladores.

A Tabela 12.1 apresenta algumas relações de projeto que minimizam o índice de performance ITAE. Essas relações foram obtidas usando modelo de primeira ordem com tempo morto e controlador PID. Note que os ajustes ótimos do controlador são diferentes dependendo se a resposta ao degrau é para variação na perturbação ou no setpoint. Para variação na perturbação, as funções de transferência da perturbação e do processo são assumidas idênticas, isto é, G =d Gp.

1 s 2 e 10 ) s ( G s + = − (12.24)

Suponha que a escolha do índice seja o ITAE, então consultando a Tabela 12.1 com perturbação como tipo de entrada e PI como o tipo de controlador; a relação de projeto para o modo proporcional é B d c t A KK       τ = ⇒ 1,69 2 1 859 , 0 K 10 977 , 0 c  =      = − (12.25) portanto, 169 , 0 69 , 1 10 1 K_c  =      = (12.26)

e a relação de projeto para o modo integral é B d I t A       τ = τ τ _⇒ ₁_,₀₈ 2 1 674 , 0 2 0,680 I =       = τ − (12.27) portanto, 85 , 1 08 , 1 2 I = = τ (12.28)

Caso a escolha do índice seja o IAE, a tabela a ser consultada seria a Tabela 12.2. E no caso da escolha do índice ISE, seria a Tabela 12.3.

O resultado final está sumarizado no quadro a seguir.

c K τ _I ISE 0,245 2,44 IAE 0,195 2,02 ITAE 0,169 1,85

Exemplo 12.3

(47)

236 1 s 7 e 4 ) s ( G s 5 , 3 + = − (12.29)

calcule os ajustes do controlador PI e PID baseados nas relações de projeto ITAE para variações na perturbação e no setpoint.

Da Tabela 12.1 e para o controlador PI, temos: Variação na perturbação

O ganho é calculado por

69 , 1 7 5 , 3 859 , 0 KK 977 , 0 c  =      = − (12.30) 423 , 0 4 69 , 1 K_c = = (12.31)

O tempo integral é calculado por

08 , 1 7 5 , 3 674 , 0 680 , 0 I =       = τ τ − _(12.32) 48 , 6 08 , 1 7 I = = τ (12.33) Variação no setpoint 106 , 1 7 5 , 3 586 , 0 KK 916 , 0 c  =      = − (12.34) 276 , 0 4 106 , 1 K_c = = (12.35)

9475 , 0 7 5 , 3 165 , 0 03 , 1 I =       − = τ τ _(12.36) 39 , 7 9475 , 0 7 I = = τ (12.37)

(48)

237 O ganho é calculado por

616 , 2 7 5 , 3 357 , 1 KK 947 , 0 c  =      = − (12.38) 654 , 0 4 616 , 2 Kc = = (12.39)

404 , 1 7 5 , 3 842 , 0 738 , 0 I =       = τ τ − (12.40) 98 , 4 404 , 1 7 I = = τ (12.41)

O tempo derivativo é calculado por

1912 , 0 7 5 , 3 381 , 0 995 , 0 D _ ₌      = τ τ (12.42) 34 , 1 ) 7 ( 1912 , 0 D = = τ (12.43) Variação no setpoint O ganho é calculado por

739 , 1 7 5 , 3 965 , 0 KK 855 , 0 c  =      = − (12.44) 435 , 0 4 739 , 1 K_c = = (12.45)

7228 , 0 7 5 , 3 1465 , 0 796 , 0 I =       − = τ τ (12.46) 69 , 9 7228 , 0 7 I = = τ (12.47)

O tempo derivativo é calculado por

(49)

238 13 , 1 ) 7 ( 1618 , 0 D = = τ (12.49)

Exemplo 12.4

Para o sistema de controle da Figura 12.4, compare as respostas ao degrau unitário na perturbação e no setpoint quando o controlador PI é sintonizado para IAE distúrbio e IAE

setpoint.

Figura 12.4 Sistema de controle. A função de transferência do processo:

(

10s 1

)(

5s 1

)

2 ) s ( G + + = (12.50)

pode ser aproximada por:

1 s 2 , 11 e 2 ) s ( G~ s 3 . 4 + ≅ − (12.51)

(50)

239 Figura 12.5 Resposta do processo ao degrau e sua aproximação por um sistema de primeira ordem com tempo morto.

c

K τ _I

Cohen Coon 1,2107 8,0148

IAE distúrbio 1,2644 9,3622

IAE setpoint 0,8642 12,5001

(51)

(52)

241 Figura 12.7 Comparação das respostas de controladores PI com ajustes IAE e Cohen Coon. Das Figuras 12.6 e 12.7 podemos observar que o projeto de controladores IAE para variações na perturbação resulta overshoots maiores para variações no setpoint, enquanto que o projeto para variações no setpoint produz respostas mais lentas a distúrbios na perturbação.

Exemplo 12.5

Para o mesmo sistema de controle do Exemplo 12.4, compare as respostas ao degrau unitário na perturbação com o controlador PI sintonizado para os critérios ITAE, IAE e ISE mínimos para variações na perturbação.

Figura 12.8 Comparação das respostas de controladores PI com ajustes ITAE, IAE e ISE. Nessa comparação, podemos verificar que o controlador ISE forneceu erros relativamente menores do que os outros dois controladores, uma vez que o ISE pondera mais os erros grandes e pondera menos os erros menores.

Exemplo 12.6

(53)

242 O controlador é o PI. Assim, K e c τ serão determinados por um procedimento de I minimização do índice dt ) t ( IAE 0

∫

∞ε =

que corresponde à função objetivo do problema de otimização. Os dois parâmetros correspondem às variáveis de otimização. Para tanto, podemos usar a função fminsearch que calcula o mínimo irrestrito de uma função.

Programa

//Ajuste de controlador minimizando IAE distúrbio // clear clearglobal clc clf function I₌_IAE₍x₎ global Gp Gd Gf Gm ysp t s Kc=x₍₁₎ tauI=x₍₂₎

if Kc>=0 & tauI>=0 then Gc=Kc*(1+1/(tauI*s))

Gload=Gd/(1+Gp*Gf*Gc*Gm)

raizes=roots(denom(Gload))

for i=1:length(raizes)

if real(raizes(i))>0 then

I₌_1e20 else sl=syslin('c',Gload) y=csim('step',t,sl) e=abs(ysp-y) I₌_sum₍_e₎ end end else I₌_1e20 end endfunction global Gp Gd Gf Gm ysp t s s=poly(0,'s'); //ou s=%s; //Processo

Gm=1 //função de transferência do medidor

Gf=1 //função de transferência do elemento final de controle

Gp=1/(s+1)^4 //função de transferência do processo

Gd=Gp //função de transferência do processo Gd

tf=50 step=0.01 t=0:step:tf

ysp=zeros(1,length(t)) //setpoint

x0=[0.9367;3.4779] //estimativa inicial de Kc e de tauI

(54)

243 //Simulação da malha com a sintonia encontrada

Kc=x(1) tauI=x(2) Gc=Kc*(1+1/(tauI*s)) Gload=Gd/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) sl=syslin('c',Gload) y=csim('step',t,sl)

disp('Sintonia IAE distúrbio encontrada pela otimização da planta')

printf('Kc = %f\n',Kc)

printf('tauI = %f\n',tauI)

plot(t,ysp,t,y)

xlabel('t')

ylabel('y')

Resultados

Aplicando a função fminsearch, foram produzidos os resultados mostrados na janela de comandos do Scilab. A Figura 12.9 mostra a resposta transiente em malha fechada a uma variação degrau unitário na perturbação com a sintonia obtida via minimização do índice IAE.

Sintonia IAE distúrbio encontrada pela otimização da planta Kc = 1.656804

tauI = 4.160361

(55)

244 Usando esse procedimento, foram obtidos os ajustes do controlador PI utilizando os outros dois índices, ISE e ITAE. O quadro a seguir mostra os resultados.

c K τ I IAE distúrbio 1,6568 4,1604 ISE distúrbio 2,4494 5,5058 ITAE distúrbio 1,1741 3,2809 IAE setpoint 1,0229 3,5295 ISE setpoint a 1,6381 5,3884 ITAE setpoint 0,7036 2,7019

A aproximação deste processo por um modelo FOPDT pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy foi obtida no Capítulo 11 e reproduzida aqui por comodidade.

1 s 0412 , 2 e ) s ( G 1475 , 2 + = −

De acordo com este modelo, as sintonias IAE, ISE e ITAE são

c K τ I IAE distúrbio 0,9367 3,4779 ISE distúrbio 1,2440 4,3047 ITAE distúrbio 0,8181 3,1331 IAE setpoint 0,7261 2,9998 ITAE setpoint 0,5598 2,3830

(56)

245 Figura 12.10 Comparação de controladores PI com ajustes IAE distúrbio da Tabela 12.2 e IAE mínimo.

Exercícios

Exercícios resolvidos

12.1 Em uma malha de controle onde:

(

)

4 s p 1 s e 1 ) s ( G + = − 1 ) s ( Gv = 1 ) s ( G_m =

(

)

4 d 1 s 1 ) s ( G + =

(57)

246 a) Sintonizar o controlador para: 1) otimizar o ISE para um degrau no setpoint; 2) otimizar o ISE para um degrau no distúrbio.

b) Repetir o item anterior usando na otimização o IAE. Programa

//Sintonia do PI por otimização

//Índice ISE ou IAE para variação no setpoint ou no distúrbio //

clear clc

function J=IE(x)

global Ap Bp Cp Dp Ad Bd Cd Dd yp_ yd_ dt Nsim td ysp disturbance Kc=x(1)

tauI=x(2)

[nrp,ncp]=size(Ap)

[nrd,ncd]=size(Ad)

//Closed loop response

t=0 xp=zeros(nrp,1) xd=zeros(nrd,1) em1=0 em2=0 u=0 J=0 for k=1:Nsim

e=ysp-(yp_($)+yd_($))

t=t+dt u=u+Kc*(e-em1)+Kc/tauI*e*dt d=disturbance em2=em1 em1=e xp=xp+(Ap*xp+Bp*u)*dt xd=xd+(Ad*xd+Bd*d)*dt yp_=[Cp*xp yp_(1:$-1)] yd_=[Cd*xd yd_(1:$-1)] y(k)=yp_($)+yd_($) //J=J+abs(e)*dt //<--IAE J=J+e^2*dt //<--ISE end endfunction

global Ap Bp Cp Dp Ad Bd Cd Dd yp_ yd_ dt Nsim td ysp disturbance s=%s

Gp=1/(s+1)^4 //<--função de transferência Gp(s) sem tempo morto

tdp=1 //<--tempo morto slp=tf2ss(Gp) Ap=slp(2) Bp=slp(3) Cp=slp(4) Dp=slp(5)

Gd=1/(s+1)^4 //<--função de transferência Gd(s) sem tempo morto

tdd=1 //<--tempo morto

sld=tf2ss(Gd)

Ad=sld(2)

(58)

247 Cd=sld(4) Dd=sld(5) t0=0 tf=100 dt=0.1

yp_=zeros(1,round(tdp/dt))

yd_=zeros(1,round(tdd/dt))

Nsim=round(tf/dt)

ysp=1 //<--setpoint

disturbance=0 //<--disturbance //PID initial parameters

Kc=0.9367 tauI=3.4779 x0=[Kc;tauI]

opt=optimset("TolX",

1e-4,"MaxFunEvals",10000*length(x0),"MaxIter",1000*length(x0)) [x,J]=fminsearch(IE,x0,opt)

Kc=x(1)

tauI=x(2)

disp('Parâmetros ótimos')

printf('Kc = %f\n',Kc)

printf('tauI = %f\n',tauI)

printf('\nJ = %f\n',J) [nrp,ncp]=size(Ap) [nrd,ncd]=size(Ad)

//Simulating the closed loop with optimum tuning

t=0

xp=zeros(nrp,1)

xd=zeros(nrd,1)

yp_=zeros(1,round(tdp/dt))

yd_=zeros(1,round(tdd/dt))

em1=0 em2=0 u=0

for k=1:Nsim

e=ysp-(yp_($)+yd_($))

t=t+dt u=u+Kc*(e-em1)+Kc/tauI*e*dt d=disturbance em2=em1 em1=e xp=xp+(Ap*xp+Bp*u)*dt xd=xd+(Ad*xd+Bd*d)*dt yp_=[Cp*xp yp_(1:$-1)] yd_=[Cd*xd yd_(1:$-1)] y(k)=yp_($)+yd_($) end

//Ploting the results

t=0:dt:tf scf(1)

clf

plot(t,ysp*ones(length(t),1),'b:',t,[0;y],'b-')

xlabel('t')

ylabel('y')

legend(['ysp';'y'])

(59)

//<--248 Solução a) Otimização do ISE Mudança do setpoint. Parâmetros ótimos Kc = 0.954627 tauI = 4.664133 J = 3.844742

Figura 12.11 Resposta ao degrau unitário no setpoint. Distúrbio degrau unitário.

Parâmetros ótimos Kc = 1.210769

(60)

249 Figura 12.12 Resposta ao distúrbio degrau unitário.

(61)

250 Figura 12.13 Resposta ao degrau unitário no setpoint.

Distúrbio degrau unitário.

Parâmetros ótimos Kc = 0.817241

(62)

251 Figura 12.14 Resposta ao distúrbio degrau unitário.

Exercícios propostos

12.2 Considere o sistema do Exercício 11.5. Obtenha a sintonia do controlador PI otimizando o índice ISE para variações no setpoint. Compare a sintonia com a sintonia que foi obtida pelo método da oscilação permanente no Exercício 11.5.

12.3 Considere a malha de controle estudada no Exercício 8.4:

Considere também que

(63)

252 (a) determinar os parâmetros desse controlador que minimizem o ISE para uma variação em degrau em dII.

(b) repita o item anterior para variação em degrau em dI.

(c) compare as respostas da malha com as duas sintonia para variações em d1 e d2.

(64)

253

13 Malhas complexas: Malhas em cascata.

Controle antecipatório. Compensação de tempo

morto. Sintonia de malhas complexas.

Até agora, apresentamos e estudamos diversas ferramentas para a síntese e a análise de sistemas de controle por realimentação. Existem situações onde a ação de controle por realimentação não é suficiente para produzir a resposta desejada de um dado processo. Introduziremos neste capítulo várias estruturas de controle avançado que podem ser usadas, tais como controle em cascata, controle antecipatório, controle com compensação de tempo morto etc, que visam melhorar o comportamento da malha de controle do processo em relação ao que pode ser conseguido com o controle convencional PID.

13.1 Controle em cascata

Pelo que vimos até agora, é claro que manipulando apenas uma entrada, conseguimos controlar apenas uma saída. Entretanto, em alguns sistemas temos mais de uma saída medida que podem ser usadas no controle da saída principal.

Uma desvantagem do controle feedback convencional é que ações corretivas para perturbações não se iniciam até que a variável controlada se desvie do seu setpoint e gere um erro na variável controlada. Uma maneira alternativa que melhora a resposta dinâmica a variações na perturbação é usar uma medida secundária e um controlador feedback secundário para o controle da variável secundária. A medida secundária deve ser tal que reconheça os efeitos do distúrbio mais rapidamente do que a variável controlada principal, embora a perturbação não seja necessariamente medida. Essa maneira de usar múltiplas malhas

feedback é chamada de controle em cascata.

Para mostrar a configuração do controle em cascata, vamos considerar um sistema consistindo de duas partes, como mostra a Figura 13.1: processo I e processo II. O processo I (primário) tem a saída y como a variável que queremos controlar. O processo II (secundário) tem uma I saída y que não temos interesse em controlar, mas que afeta a saída que queremos controlar, II e deve ser, se possível, a principal perturbação para a variável controlada principal. Podemos observar que a perturbação d afeta a saída _I y de forma mais rápida do que a perturbação I

II

(65)

254 Figura 13.1 Processo em malha aberta.

O controle feedback convencional para esse sistema é mostrado na Figura 13.2. Nessa configuração, o controlador atua tanto para variações na perturbação d quanto na _I perturbação d , só que compensa com maior eficiência as variações em _II d , por razões I colocadas anteriormente.

Figura 13.2 Controle feedback convencional.

(66)

255 Figura 13.3. Controle em cascata.

A Figura 13.3 mostra claramente o principal benefício com o controle em cascata, em que perturbações vindas da malha secundária são corrigidas pelo controlador secundário antes que elas afetem o valor da saída controlada primária. Esse importante benefício levou ao uso extensivo do controle em cascata nos processos químicos.

O diagrama de blocos com as respectivas funções de transferência da estrutura de controle em cascata da Figura 13.3 é mostrado na Figura 13.4.

Figura 13.4 Diagrama de blocos.

Desse diagrama de blocos, as seguintes relações podem ser desenvolvidas:

II mII pII cII spII mII pII cII pII cII II I d G G G 1 1 y G G G 1 G G y u + + + = = (13.1) II loadII spII spII II I y G y G d u = = + (13.2) e I mI pI spII cI II mI pI spII cI pI loadII spI mI pI spII cI pI spII cI I d G G G G 1 1 d G G G G 1 G G y G G G G 1 G G G y + + + + + = (13.3)

A sintonia dos dois controladores de um sistema de controle em cascata é feita em duas etapas:

(67)

256 Segunda etapa. Conhecidos os ajustes da malha secundária, escolhemos os ajustes para o controlador primário G . Normalmente, o controlador primário é um PI ou PID. cI

Exemplo 13.1

Considere um processo com as seguintes funções de transferência:

(

0,5s 1

)(

s 1

)

1 ) s ( G_p_,_I + + = (13.4) e 1 s 1 , 0 1 ) s ( G_p_,_II + = (13.5)

O processo secundário é mais rápido que o primário, como pode ser visto pelas respectivas constantes de tempo. Vamos comparar o desempenho entre a malha de controle feedback simples e a malha de controle em cascata para esse processo

Controle feedback PI. Fazendo a aproximação do processo G_pI(s)G_pII(s) por um modelo FOPDT pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy, obtemos:

1 s 1223 , 1 e ) s ( G s 5278 , 0 + = − (13.6)

Os ajustes do controlador PI pelo método ZN via ensaio de resposta ao degrau são: 9138

, 1

Kc = e τI =1,7576. Vamos simular a um distúrbio degrau unitário em d . II Programa //Controle feedback clear clc clearglobal s=%s //Processo I

GpI=1/[(0.5*s+1)*(s+1)] //função de transferência

GdI=1

//Processo II

GpII=1/(0.1*s+1) //função de transferência

GdII=1

//Medidor

Gm=1

//Controlador PI ZN

(68)

257

tauI=1.7576

Gc=Kc*(1+1/(tauI*s))

//Simulação da malha de controle

t=0:0.01:20

//Variação degrau unitário na perturbação dII

yspI=zeros(1,length(t)) //setpoint //Sistema linear

sl=syslin('c',GpI/(1+Gc*GpII*GpI*Gm)); //definição do sistema linear

y=csim('step',t,sl) //Plota gráficos scf(1) clf plot(t,yspI,t,y) xlabel('t') ylabel('y')

legend(['Setpoint','y'])

A Figura 13.5 mostra a resposta da malha de controle feedback ao distúrbio degrau unitário em d . _II

Figura 13.5 Resposta ao degrau unitário em d da malha de controle feedback. _II

(69)

258 os valores de K e _c_,_I τ . Os ajustes usados na simulação do controlador PI da malha primária _I_,_I são K_c_,_I =12 e τ_I_,_I =1, e do ganho do controlador da malha secundária é K_c_,_II =24.

Programa //Controle em cascata clear clc clearglobal s=%s //Malha primária

GpI=1/[(0.5*s+1)*(s+1)] //função de transferência

GdI=1 GmI=1 KcI=12 tauII=1

GcI=KcI*[1+1/(tauII*s)]

//Malha secundária

GpII=1/(0.1*s+1) //função de transferência

GdII=1 GmII=1 KcII=24 GcII=KcII

GspII=GcII*GpII/(1+GcII*GpII*GmII)

GloadII=1/(1+GcII*GpII*GmII)

//Simulação da malha de controle em casacata fechada

t=0:0.01:10

//Variação degrau unitário na perturbação dII

yspI=zeros(1,length(t)) //setpoint //Sistema linear

sl=syslin('c',GloadII*GpI/(1+GcI*GspII*GpI*GmI)); //definição do sistema linear y=csim('step',t,sl) //Plota gráficos scf(1) clf plot(t,yspI,t,y) xlabel('t') ylabel('y')

legend(['Setpoint','y'])

(70)

259 Figura 13.6 Resposta ao degrau unitário em d da malha de controle em cascata. II

A comparação entre as duas respostas da saída a uma variação degrau unitário no distúrbio II

d mostra um desempenho melhor para o sistema de controle em cascata, em que os desvios são bem menores. Pela Figura 13.6, podemos ver que a saída do sistema de controle em cascata praticamente não foi afetada (apenas cerca de 1,2% do caso sem cascata), ou seja, o distúrbio não causou nenhum efeito significativo na variável controlada.

Exemplo 13.2

(71)

260 Figura 13.7 Controle feedback do reator.

1 s 50 e 19 , 0 ) s ( T ) s ( c ) s ( G s 20 1 2 A I , p + − = = − (13.7) 1 s 20 e 57 , 0 ) s ( F ) s ( T ) s ( G s 8 h 1 II , p + = = − (13.8) e 1 s 20 e ) s ( P ) s ( T ) s ( G s 8 h 1 II , d + = = − (13.9)

O processo secundário é mais rápido que o primário, como podemos ver pelas respectivas constantes de tempo e atrasos por transporte. Vamos comparar o desempenho da malha de controle feedback com o desempenho da malha de controle em cascata para esse processo Controle feedback PI. Para obter os ajustes do controlador PI, vamos, primeiramente, levantar a curva de reação do processo cA2(s) Fh(s)=GpI(s)GpII(s) aplicando uma perturbação degrau unitário na variável manipulada F_h (u_II) e registrando-se a curva da variável medida c (_A₂ y ) versus tempo (Figura 13.8). _I

(72)

261 1 s 2935 , 52 e 1075 , 0 ) s ( G s 8892 , 46 + − = − (13.10)

Portanto, os ajustes do controlador PI pelo método CC são: K_c =−10,1112 e τI =56,9116. A simulação da malha de controle a um distúrbio degrau unitário em P (_h d ) pode ser feita _II usando o modelo em Xcos da Figura 13.9. A resposta de c a essa perturbação é mostrada na _A Figura 13.10. O desvio máximo é de 0,1954.

(73)

262 Figura 13.10 Resposta do controle feedback da planta.

Controle em cascata. Vamos usar controle PI na malha secundária e também controle PI na malha primária. Os ajustes do controlador secundário G podem ser calculados diretamente cII da função de transferência do processo II, que já se encontra na forma FOPDT. Os ajustes do controlador PI pelo método CC são: K_c_,_II =4,0936 e τI,II =14,6824.

Uma vez sintonizada a malha secundária, vamos ajustar o controlador G . Para tanto, cI fechamos a malha secundária. Com a malha primária aberta, damos uma variação degrau unitário em yspII e registramos y . Esse procedimento gera a curva de reação do processo I mostrado na Figura 13.11 e o modelo FOPDT dado pela equação 13.11.

1 s 5465 , 49 e 1892 , 0 ) s ( G s 2622 , 26 + − = − (13.11)

Com esse modelo, podemos então calcular os ajustes do controlador PI e encontrar os seguintes valores: K_c_,_I =−9,4136 e τI,I =42,3256.

(74)

263 Figura 13.12 Modelo em Xcos para simular o sistema de controle em cascata.

Figura 13.13 Resposta do controle em cascata da planta.

A comparação entre as duas respostas da saída a uma variação degrau unitário no distúrbio P _h mostra um desempenho melhor para o sistema de controle em cascata, em que os desvios são bem menores. Pela Figura 13.13, podemos ver que o distúrbio não causou um efeito significativo na variável controlada. O desvio máximo é de 0,0365, bem menor comparado a 0,1954 do controle feedback.

(75)

264 CSTR mostrado na Figura 13.14. A reação é exotérmica e o calor gerado é removido pelo fluido de refrigeração, que circula na camisa do reator. O objetivo de controle é manter a temperatura do reator, T , constante no valor desejado. Possíveis perturbações no reator incluem a temperatura da alimentação T e a temperatura do fluido refrigerante i T . A única c variável manipulada é a vazão do fluido refrigerante F . _c

Figura 13.14 Reator CSTR.

O modelo do reator é formado pelas equações:

F F dt dV i− = (13.12) V c e k Fc c F dt ) V c ( d A RT E 0 A Ai i A ₌ ₋ ₋ − _(13.13) Q V c e k H FT C T F C dt ) TV ( d C ERT _A 0 r p i i p p =ρ −ρ −∆ − ρ − (13.14)

Vamos considerar que não há acúmulo na camisa, então o modelo da camisa é formado pelas equações: Q T F C T F C 0=ρ_c _pc _c _ci −ρ_c _pc _c _c + (13.15)

(

) (

)

      − + − = 2 T T T T UA Q ci c _(13.16)

O coeficiente global de troca térmica é relacionado com a vazão do fluido de refrigeração por: b

c aF

UA = (13.17)