ANÁLISE DIMENSIONAL
1. Objetivos
Estudamos Transmissão de Calor com um objetivo em mente: o entendimento das características das trocas de calor entre dois ou mais corpos. Isto envolve o uso de princípios básicos, a dedução das equações fundamentais (Lei de Fourier, Equações de Conservação, etc), das condições limites (ou de contorno), etc. constituindo o chamado modelo matemático, que pode ser definido por equações algébricas, diferenciais ordinárias e parciais, e integrais. Entretanto, ainda que consigamos descrever adequadamente os fenômenos físicos que nos interessam, através de uma correta modelagem matemática, isto não se traduz automaticamente em que saibamos determinar a necessária solução, muito pelo contrário. A complexidade das situações de interesse que precisamos conhecer e a consequente complexidade dos modelos matemáticos têm impedido a obtenção das soluções de forma sistemática. Assim, a experimentação feita em laboratórios numéricos ou físicos constitui uma etapa importante no entendimento dos problemas.
A Análise Dimensional é uma ferramenta poderosa para o planejamento de experimentos, reduzindo significantemente sua complexidade e com isto, o custo da experimentação, seja ela física ou numérica, e para a apresentação de resultados experimentais, através da redução matematicamente organizada dos dados levantados. Claro, ela não é mágica e o atendimento às suas conclusões não é garantia alguma de que os resultados dos experimentos serão mais ou menos corretos e nem que a teoria que levou aos resultados é adequada.
Ainda que este tópico não esteja definido de forma explícita na ementa do Curso MEC 1340: Transmissão de Calor, já utilizamos em diversos momentos alguns parâmetros adimensionais, como por exemplo, o número de Biot, o número de Fourier e outros. Além disto, o estudo da Convecção é muito dependente destes parâmetros: trataremos do número de Nusselt, que relaciona o coeficiente de troca de calor por convecção, h, do número de Grashof (para convecção natural), do número de Reynolds (para convecção forçada) e outros. Assim, um panorama do potencial desta ferramenta é útil no nosso estudo de Transmissão de Calor. O presente estudo é dividido em duas partes: na primeira, apresentamos uma maneira de se obter os grupos adimensionais e na segunda, o que fazer com os grupos obtidos.
2. Obtenção dos Grupos Adimensionais:
Embora possamos definir uma longa lista de grupos adimensionais, o mais importante é mostrar a relevância deles no contexto de um experimento. Assim, vamos focar nossa discussão em alguns experimentos passíveis de serem feitos no laboratório (físico ou numérico), para o devido encaminhamento.
2.1 Escoamento Interno a Dutos:
pressão),
∆
P, de um escoamento de um fluido definido pela densidadeρ
e viscosidade absolutaµ
, escoando com velocidade V através do duto de diâmetro D e comprimento H. Deve ser mencionado que, embora possamos determinar analiticamente este valor (como visto no curso de Mecânica dos Fluidos), nosso objetivo aqui é o planejamento do experimento a partir da Análise Dimensional. Talvez você tenha percebido a ausência de um termo indicativo da rugosidade superficial do tubo. Esta foi deixada de lado, para simplificar nosso estudo. Isto significa na prática, que estamos lidando com tubos lisos. Entretanto, este termo será incluído no final desta apresentação para exemplificar o potencial desta ferramenta. Uma vez que tenhamos a lista de variáveis relevantes, o primeiro passo é escrever a lei de dependência:)
,
,
,
,
(
V
D
H
f
P
=
ρ
µ
∆
Antes de prosseguirmos com a Análise Dimensional, vamos avaliar o tamanho do problema. Isto é: suponhamos que o experimento vá ser conduzido sem planejamento. Nesta situação, precisaremos realizar inúmeras "corridas", montando, por exemplo, uma tabela do tipo abaixo:
P
∆
H primeira medição H1 segunda medição H2 --- ----n-ésima medição HnOu seja, vamos supor que para estudar a influência da variável independente comprimento, H, tenhamos que fazer as corridas com o mesmo fluido, com o mesmo diâmetro, mesma velocidade mas com diversos valores para o comprimento do tubo (Obs: você já imaginou a complexidade de se fazer isto no laboratório?). Para cada valor de H, teremos um valor associado da queda de pressão. Simples? Ok, então vamos supor agora que queiramos determinar a influência da velocidade, V. Fixaremos as outras variáveis independentes e faremos ensaios com diferentes valores de V, obtendo então uma nova tabela:
P
∆
V primeira medição V1 segunda medição V2 --- ----n-ésima medição Vne assim iremos fazendo sucessivamente com o diâmetro, a densidade e a viscosidade. Não é difícil imaginar que realizar estes ensaios é uma tarefa gigantesca, que irá consumir seguramente preciosos recursos.
respectivas dimensões (em termos das unidades fundamentais) ao lado de cada uma delas. Por exemplo:
[ ] [ ]
=
∆
D
L
H
L
LT
M
T
L
V
L
M
f
L
T
M
P
2ρ
3,
,
µ
,
,
Como queremos obter uma relação adimensional a partir da relação dimensional acima, precisaremos eliminar todas as dimensões existentes, no caso, M (massa), T (tempo) e L (comprimento), através de combinações entre as variáveis da lista.
O primeiro passo a ser dado é a escolha da primeira dimensão a ser eliminada.. Vamos escolher aleatoriamente (pelo menos no momento em que escrevo!) uma delas: L. Em seguida, corro a lista, olhando o lado direito e descubro que a dimensão L aparece na densidade, na velocidade, na viscosidade, no diâmetro e no comprimento do tubo. Ou seja, em todos os termos. Entretanto, se tivéssemos escolhido a massa M, só teríamos a densidade e a viscosidade. O próximo passo consiste na escolha da variável independente (isto é, da lista que aparece no termo da direita) que será a operadora. Novamente, a escolha é aleatória e no caso, trabalharemos com o diâmetro, D. Isto é, por opção nossa, eliminaremos inicialmente a dimensão L através da manipulação ordenada do diâmetro D.
Para eliminar L, devemos observar a dimensão de cada um dos termos e multiplicar, dividir, elevar ao quadrado, extrair a raiz, operar em suma, cada um dos termos da relação. Por exemplo: o termo de pressão tem a dimensão de [ M / T . L ]. Assim, se multiplicarmos o diâmetro pela queda de pressão, o resultado terá dimensão [ M / T ]. A densidade, que tinha dimensão [M / L3 ], é multiplicada por D3, resultando num termo de dimensão [M]. Finalmente, chegamos à:
[ ]
=
∆
L
L
D
H
L
L
D
D
T
M
D
T
D
V
M
D
f
T
M
D
P
.
.
3,
1
,
.
,
,
2ρ
µ
Duas observações cabem aqui. A primeira é o termo H / D que é agora um termo adimensional [1], nada mais precisando ser feito nele. Entretanto, o termo D / D é um termo que pode ser eliminado, pois a razão é igual a 1, nada contribuindo para a perda de carga. Desta forma, nesta primeira rodada, a lista de dependências fica resumida a:
[ ]
=
∆
D
H
T
M
D
T
D
V
M
D
f
T
M
D
P
.
.
3,
1
,
.
,
2ρ
µ
Novamente escolheremos uma das dimensões resultantes, que tal [ M ] agora?, e uma das variáveis que a relacionam. Que tal o produto da densidade,
ρ
, por D3? Se operarmos o termo do lado esquerdo, bastará dividi-lo pelo citado produto para eliminarmos a massa [ M ]:e por extensão, operando nos demais termos, obtemos:
=
∆
D
H
T
D
T
D
V
f
T
D
P
,
1
.
,
1
1
.
2 2ρ
2µ
ρ
Neste caso, a única dimensão que falta ser eliminada é o tempo, o que poderá ser feito pelos dois candidatos (V/D e
µ
.
D
). Para exemplificar as possibilidades, mostraremos as duas aqui.2.1.1 Eliminação de T via V/D:
Para adimensionalizarmos o termo do lado esquerdo, basta multiplicá-lo por (D / V)2, resultando em:
[ ]
2 2 2 2 2 2.
.
1
.
D
P
T
V
D
T
D
P
ρ
ρ
∆
=
∆
e portanto, a relação se reduz à:
=
∆
D
H
V
D
f
V
P
,
.
.
.
2ρ
µ
ρ
como os termos são adimensionais, poderemos alterá-los ao nosso prazer. Por exemplo: o primeiro termo do lado direito é o inverso do número de Reynolds. Por comodidade, poderemos escrever:
(
H
D
)
f
D
H
V
D
f
V
P
/
Re,
,
.
.
.
2
=
=
∆
µ
ρ
ρ
2.1.2 Eliminação de T viaµ
.
D
:Para facilitar, vamos repetir a expressão novamente:
=
∆
D
H
T
D
T
D
V
f
T
D
P
,
1
.
,
1
1
.
2 2ρ
2µ
ρ
Operando agora com o segundo termo, obteremos:
Aparentemente, são dois resultados diferentes. Entretanto, deve ser observado que o termo do lado esquerdo pode ser escrito como um produto de dois termos:
[ ]
2 2 2 2 2 2Re
.
.
.
.
.
.
D
P
D
V
D
P
D
P
ρ
µ
ρ
ρ
µ
ρ
=
∆
∆
=
∆
ou seja, um produto entre número de Reynolds e o grupo adimensional obtido no caso anterior. Assim, as duas expressões são equivalentes.
Resumindo, podemos concluir que a dependência funcional entre as variáveis de interesse:
)
,
,
,
,
(
V
D
H
f
P
=
ρ
µ
∆
neste primeiro problema é:
=
∆
D
H
f
V
P
Re,
.
2ρ
As seguintes observações podem ser feitas:• a ordem de eliminação das dimensões ou a escolha das variáveis de eliminação não é importante;
• outras expressões podem ser obtidas, mas as formas são equivalentes;
• embora o resultado acima seja válido apenas para tubos lisos, não é difícil concluir que para tubos rugosos (nos quais a rugosidade seja medida por um
ε
[ L ]), se escreve:
=
∆
D
D
H
f
V
P
ε
ρ
.
2Re,
,
• Rigorosamente falando, a cada uma das etapas de alteração dos termos e eliminação de outros, a natureza da função muda. Entretanto, as formas exatas delas não são importantes nesta análise, pois são todas desconhecidas. Esta é a razão de não termos usado diferentes símbolos para cada uma das funções;
Claro, uma vez que uma relação funcional adimensionalizada como a acima tenha sido encontrada, o experimento poderá ser conduzido. Observe que agora a natureza do fluido, o diâmetro e cada uma das outras variáveis, escritas em qualquer sistema de unidades, deixou de ser importante. O fundamental agora é o valor de cada um dos grupos adimensionais formados.
Vamos supor uma esfera de um determinado material (densidade
ρ
m) que cai, sob a ação da gravidade em um fluido de densidadeρ
f e viscosidadeµ
. Pede-se determinar a velocidade terminal da esfera. Naturalmente, este é um outro experimento "simples" que pode ser feito em um dos nossos laboratórios. Entretanto, pretendemos aplicar Análise Dimensional. Uma primeira observação deve ser feita, antes de iniciarmos os procedimentos matemáticos. Um balanço de forças nos indicará três forças presentes: a força viscosa, a força de inércia e o empuxo (devido à diferença de densidades entre esfera e fluido). Assim, poderemos listar:)
,
,
,
.
(
g
ρ D
ρ
µ
f
V
=
∆
Pois a força que poderá acelerar a queda da esfera, seu peso, é contrabalançada pelo empuxo. Em termos das unidades fundamentais, a relação se escreve:
[ ]
∆
=
LT
M
L
M
L
D
T
L
M
g
f
T
L
V
.
ρ
2 2,
,
ρ
3,
µ
A primeira eliminação será a do comprimento e será conduzida pelo diâmetro D. Apenas por comodidade. O resultado será:
[ ]
∆
=
T
M
D
M
D
T
M
D
g
f
T
D
V
.
,
.
,
.
.
1
3 2 2ρ
µ
ρ
Em seguida, iremos eliminar M, operando pelo termo
ρ
.D
3, resultando em:
∆
=
T
D
T
D
g
f
T
D
V
1
.
,
1
.
.
1
2 2ρ
µ
ρ
ρ
e finalmente, operaremos T com o último termo:
∆
=
2 3.
.
.
.
.
ν
ρ
ρ
µ
ρ
g
D
f
D
V
onde o primeiro termo é o número de Reynolds e o segundo é o número de Grashof. Assim, o experimento a ser conduzido no laboratório deverá reportar apenas:
)
(
Re
=
f
Gr
v i v b
F
F
x
F
F
Gr
≈
e portanto, a relação anterior se escreve:
=
v i v b v iF
F
x
F
F
f
F
F
Nota: escreva o número de Grashof como uma relação entre a força de empuxo, força de inércia e força viscosa, como mostrado.
2.3 Convecção Mista
Para finalizar esta fase do estudo, veremos um problema envolvendo troca de calor por convecção mista (natural e forçada). Vamos supor uma esfera quente exposta ao ar ambiente frio. Embora um ventilador esteja funcionando, empurrando fluido sobre a superfície, a diferença de temperaturas (fluido e placa) é tal que podemos esperar movimentação de fluido também devido ao empuxo. Nesta situação, nossa lista de variáveis pode ser:
(
D
V
V
c
k
)
f
h
=
,
F,
N,
µ
,
ρ
,
P,
onde VF indica a velocidade induzida pelo escoamento forçado e VN a velocidade induzida pelo empuxo. Pela definição de convecção natural, não há uma velocidade prescrita para o escoamento, sendo esta a resultante do empuxo. Assim, convem que substitutamos a velocidade VN por algo mais correto. Observando o exemplo 2 deste texto, no qual tratamos da velocidade de queda de uma esfera em um meio fluido, a lista de variáveis envolvidas se escreveu:
)
,
,
,
.
(
g
ρ D
ρ
µ
f
V
=
∆
assim, comparando as duas listas acima, poderemos concluir que é o termo
g
∆
ρ
que deve ser incluído no lugar de VN, resultando então em:(
D
V
g
c
k
)
f
h
=
,
F,
∆
ρ
,
µ
,
ρ
,
P,
Entretanto, no caso que estamos interessados, a diferença de densidades é resultante da diferença de temperaturas entre dois pontos no fluido, o que é melhor tratado através do coeficiente de expansão volumétrica:
(
D
V
g
T
c
k
)
f
h
=
,
F,
β
.
.
∆
,
µ
,
ρ
,
P,
Em termos das dimensões fundamentais, a relação acima se escreve:
[ ]
∆
=
θ
θ
ρ
µ
β
θ
.
.
,
,
,
.
,
.
.
,
,
2 3 2 3 2 3T
L
M
k
T
L
c
L
M
T
L
M
T
L
T
g
T
L
V
L
D
f
T
M
h
F PSeguindo as etapas abaixo:
• eliminação de M, operando via k (condutividade térmica); • eliminação de L, operando via D (diâmetro);
• eliminação de
θ
, operando viak
D
2.
µ
; • eliminação de T, operando via
ρ
µ
2
.D
; Obtemos:Pr)
,
(Re, Gr
f
Nu
=
Pode-se ver que esta expressão significa:
=
i v v i v b v iF
F
x
condução
entalpia
F
F
x
F
F
F
F
f
condução
convecção
,
,
Como discutido em sala, o estudo da convecção mista é complicado pela existência de dois mecanismos de movimentação, embora por vezes, um deles possa ser desprezado em função do outro. O parâmetro relevante neste estudo será uma razão entre a força de empuxo (responsável pela movimentação por convecção natural) e a força de inércia (responsável pela movimentação por convecção forçada). Assim, se escrevermos:
=
=
i b v i v i v bF
F
f
F
F
F
F
x
F
F
f
Gr
2 2 2/
Re
teremos obtido uma relação que indica adequadamente quando desprezarmos um dos termos em presença do outro. Como foi argumentado no texto, quando Gr / Re2 > 1, efeitos de empuxo não poderão ser desprezados.
2.4 Dimensões
esquecido a dimensão da velocidade. Entretanto, uma maneira simples de recuperá-la é pela equação da cinemática, que define que o espaço percorrido [L] é igual ao produto da velocidade [?] pelo tempo decorrido [T]. Daí, a dimensão da velocidade segue diretamente: V = d . t implicando em que [V] = [L / T].
Vamos supor que precisemos utilizar a condutividade térmica em um problema de Transmissão de Calor. A lei de Fourier, mostrada abaixo, é uma lei que define aquela propriedade. Neste caso, a dimensão dela poderá ser determinada através da própria lei. Veja adiante:
dx
dT
A
k
q
=
−
.
.
e portanto:[ ]
k
dx
dT
A
q
=
.
e desta forma, a dimensão de k é dada diretamente:
[ ]
=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
.
.
.
.
1
.
.
.
.
3 2 2T
L
M
L
T
L
T
ML
L
V
F
L
L
W
k
Dimensões de outras propriedades, tais como viscosidade absoluta, calor específico, etc, podem ser determinadas por este processo.
3. Planejamento de Experimentos
Uma vez que tenhamos utilizado Análise Dimensional para a obtenção de uma relação adimensional para a lista de variáveis pertinentes ao nosso experimento, o próximo passo será analisar como os resultados realizados com o modelo, no nosso laboratório, poderão ser utilizados para o dimensionamento do protótipo. Isto é, queremos determinar em quais condições poderemos transpor os resultados levantados no nosso modelo para o cálculo ou dimensionamento do protótipo. Isto envolve o conceito de similaridade.
"vida real" tivermos um cilindro de razão de aspectos (relação entre o diâmetro e a altura, por exemplo) igual a 2.5, precisaremos construir o cilindro-modelo com a mesma proporção. Ou seja, um cilindro curto não pode ser modelado como um cilindro infinito.
Vamos supor agora que estejamos trabalhando naquele experimento de perda de carga. A relação funcional que obtivemos lá foi:
=
∆
D
H
f
V
P
Re,
.
2ρ
Para garantir a similaridade dinâmica entre modelo e protótipo, precisaremos ainda que:
Re
modelo= Re
Protótipopois a razão H/D já teria sido garantida pela similaridade geométrica. Bem, a igualdade entre os números de Reynolds impõe restrições entre velocidades, diâmetros e fluidos. Ou seja, para garantirmos os investimentos feitos, precisaremos ter:
PROTÓTIPO MODELO
D
V
D
V
µ
ρ
µ
ρ
.
.
=
.
.
Assim, se trabalharmos com o mesmo fluido, para que tenhamos a similaridade dinâmica, precisaremos ter que:
MODELO PROTÓTIPO PROTÓTIPO MODELO
D
D
V
V
=
que define a velocidade do modelo em função da velocidade esperada no protótipo e a razão entre diâmetros. Nestas condições, poderemos garantir que:
PROTÖTIPO MODELO
