Versão preliminar 10 de setembro de 2002

09. SISTEMA DE PARTÍCULAS ... 2

O CENTRO DE MASSA... 2

Sistema de partículas - Uma dimensão ... 2

Sistema de partículas - Duas dimensões... 3

Sistema de partículas - Três dimensões ... 3

Corpos rígidos... 4

MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA... 5

MOMENTO LINEAR DE UMA PARTÍCULA... 6

MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS... 6

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR... 7

SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS... 8

2 ... 8

3 ... 8

3A... 9

4 ... 10

7 ... 10

8 ... 12

15 ... 13

17 ... 13

18 ... 15

21 ... 15

22 ... 17

30 ... 18

34 ... 19

37 ... 20

09. Sistema de partículas

O centro de massa

Mesmo quando um corpo gira ou vibra, existe um ponto nesse corpo, chamado centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única partí- cula, com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de forças que ele.

Ainda que o sistema não seja um corpo rígido mas um conjunto de partículas, pode ser definido para ele um centro de massa, como veremos adiante.

Sistema de partículas - Uma dimensão

Vamos definir inicialmente a posição xCM do centro de massa para um sistema composto de duas partículas de massas m1 e m2 e que ocupam as posições x1 e x2 .

2 1

2 2 1 1

m m

x m x x_CM m

+

= + ou

2 2 1

2 1

2 1

1 x

m m x m m m x_CM m



 + +





= +

m1 m2

x1

x2

Podemos olhar a última equação como uma média ponderada da posição de cada partícula de massa mi onde o "peso" de cada termo é a fração da massa total contida na posição xi .

Para um sistema de N corpos dispostos ao longo de uma linha reta, podemos fa- zer uma extensão da definição anterior:

∑

∑

=

= =

+ + +

+ +

= + _N

i i N i

i

N N N CM

m x m m

m m

x m x

m x x m

1 1

1

2 1

2 2 1 1

!

!

Iremos definir a massa total do sistema como M , onde:

∑

= ^N

i

mi

M

1

e desse modo teremos:

∑

= ^N

i i

CM m

Mx

1

Sistema de partículas - Duas dimensões

Para a definição do centro de massa de um sistema de N partículas distribuídas em um plano podemos, por analogia com as definições anteriores, considerar que:

∑ ∑

∑

=

=

= =

+ = + +

+ +

= + ^N

i i N i

i i N i

i

N N N

CM m x

m M x m m

m m

x m x

m x x m

1 1

1 1

2 1

2 2 1

1 1

!

!

∑ ∑

∑

=

=

= =

+ = + +

+ +

= + ^N

i i i

N

i i

N

i i

N N N

CM m y

m M y m m

m m

y m y

m y y m

1 1

1 1

2 1

2 2 1

1 1

!

!

Sistema de partículas - Três dimensões

Para um sistema de N partículas distribuídas em três dimensões temos as se- guintes definições:

∑

= ^N

i i i

CM m x

x M

1

1

∑

= ^N

i i i

CM m y

y M

1

1

∑

= ^N

i i i

CM mz

z M

1

1

Se considerarmos que:







+ +

=

+ +

=

CM CM

CM CM

i i i i

z k y j x i r

e

z k y j x i r

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

"

"

teremos:

∑

= ^N

i i i

CM mr

r M

1

1 "

"

Corpos rígidos

Podemos imaginar um corpo rígido como sendo subdividido em pequenos ele- mentos de volume ∆Vi de massa ∆mi respectivamente, que estão localizados em pon- tos definidos por coordenadas ( xi , yi , zi ) . Neste cenário, teremos as seguintes equa- ções:

∑

∑

=

=

∆

= _N ∆

i i

N i

i i CM

m m x x

1 1

∑

∑

=

=

∆

= _N ∆

i i

N

i i i

CM

m m y y

1 1

∑

∑

=

=

∆

= _N ∆

i i N i

i i CM

m m z z

1 1

Se os elementos de volume ∆Vi → 0 , as massas contidas nesses elementos de volume também de serão reduzidas, ao ponto de ∆mi → 0 . Quando isso acontece, aquelas somas se transformam em integrais:

∫ ∫

∫

∑

∑

∆

= ∆

=

=

→

∆ xdm

M dm

dm x m

m x Lim

x _N

i i N i

i i CM m

i

1

1 1 0

∫ ∫

∫

∑

∑

∆

= ∆

=

=

→

∆ ydm

M dm

dm y m

m y Lim

y _N

i i N i

i i CM m

i

1

1 1 0

∫ ∫

∫

∑

∑

∆

= ∆

=

=

→

∆ zdm

M dm

dm z m

m z Lim

z _N

i i

N

i i i

CM m

i

1

1 1 0

e concluindo:

=

∫

"

" 1

Movimento do centro de massa

A partir da definição de centro de massa temos a seguinte equação:

N N

CM m r m r m r

r

M "

" !

"

" = 1 1 + 2 2 + +

A variação dessas posições com o tempo é calculada como:

dt r m d dt

r m d dt

r m d dt r

Md ^CM _N ^N

"

!

"

"

"

+ + +

= 2 ²

1 1

de modo que a velocidade do centro de massa tem a forma:

∑

= +

+ +

= ^N

i i i N

N

CM mv m v m v mv

v M

1 2

2 1 1

"

"

" !

"

"

A variação dessas velocidades com o tempo é calculada como:

dt v m d dt

v m d dt

v m d dt v

Md ^CM _N ^N

"

!

"

"

"

+ + +

= 2 ²

1 1

de modo que a aceleração do centro de massa tem a forma:

∑

= +

+ +

= ^N

i i i N

N

CM ma m a m a ma

a M

1 2

2 1 1

"

"

" !

"

"

Cada termo da equação anterior refere-se a uma partícula específica, e é igual à força resultante que atua nessa partícula.

∑

= + + +

= ^N

i i N

CM F F F F

a M

1 2

1

"

"

" !

"

"

Mas a força resultante que atua em uma partícula que faz parte desse sistema é composta de duas partes: as forças externas a esse sistema que atuam em cada partícula e as forças internas de interação mútua entre as partículas.

( ) ( ) ( ) (

)

i

iINT iEXT NINT

NEXT INT

EXT INT

EXT

CM F F F F F F F F F F

a

M " " " " " "

" !

"

"

"

" = + + + + + =

∑

2 =1 2

1 1

Mas quando considerarmos a soma das forças internas estaremos incluindo pares de forças que se anulam, segundo a Terceira Lei de Newton por serem ação e reação.

Por exemplo: iremos incluir as forças que a partícula 2 exerce na partícula 3 como tam- bém as forças que a partícula 3 exerce na partícula 2 . E essas forças de interação se anulam. Isso acontece com todos os pares de partículas que considerarmos. Assim a soma total das forças internas que atuam em um sistema de partículas é nula, e desse modo:

EXT

CM F

a

M" = "

Essa equação diz que o centro de massa de um sistema de partículas se move como se toda a massa M desse sistema estivesse concentrada nesse ponto e essa massa estivesse sob a ação da força externa resultante.

Momento linear de uma partícula

Define-se o momentum (ou momento) linear de uma partícula como sendo o pro- duto de sua massa por sua velocidade:

v m

p" = "

Conta-se que Newton na realidade formulou a sua Segunda Lei em termos do mo- mento, da seguinte maneira:

A taxa de variação do momento de uma partícula é proporcional à resultante das forças que agem sobre essa partícula, e tem a mesma direção e o mesmo sentido que essa for- ça.

( )

dt d dt

p FR d

"

"

"

=

=

Para os sistemas de massa constante:

a dt m

v md dt

p FR d

"

"

"

"

=

=

=

Momento linear de um sistema de partículas

Para um sistema composto de N partículas, definimos o momento total como:

∑

= + + +

= ^N

i i

N p

p p

p P

1 2

1

"

"

" !

"

"

ou ainda:

CM N

i i i N

Nv mv Mv

m v

m v m

P " " "

" !

" + + + = =

=

∑

=1 2

2 1 1

Já foi mostrado que:

EXT CM

CM F

dt v M d a

M " "

" = =

e quando M = constante , temos

( )

dt P v d

dt M

FEXT d CM

"

"

"

=

=

Conservação do momento linear

Quando estivermos considerando um sistema isolado, onde a resultante das forças externas for nula, teremos:

te cons p

p p dt P

P

FEXT =0 ⇒ d =0 ⇒ = 1 + 2 + + "N = tan

" !

"

"

"

"

indicando que o momento total do sistema é uma constante. Por exemplo, numa colisão entre duas bolas de bilhar, o momento total desse sistema isolado se conserva: o mo- mento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão.

Solução de alguns problemas

Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

2 A distância entre os centros dos átomos de carbono C e oxigênio O em uma molé- cula de monóxido de carbono CO é de 1,131x10^-10m . Determine a posição do cen- tro de massa da molécula de CO em relação ao átomo de carbono. Use as massas dos átomos de C e O .

Por definição temos que:

C O

C C O O

CM M M

d M d x M

+

= +

onde dO = d - dC

d

MO MC

x

Vamos escolher a origem do eixo x como passando pelo átomo de oxigênio. Com essa escolha teremos d0 = 0 e dC = d = 1,131x10^-10m , e portanto:

M d M d M

M M

d x M

C O

C C

C O

C

CM 



= + + ∴

= considerando que:

MO = 15,994g/mol MC = 12,011g/mol

dCM = 0,571 d = 0,645x10^-10m

Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

3 Quais são as coordenadas do centro de massa das três partículas que aparecem no desenho a seguir? O que acontece com o centro de massa quando a massa da partí- cula de cima aumenta gradualmente? As unidade das distâncias é o metro.

a)

3 2 1

3 3 2 2 1 1

m m m

x m x m x xCM m

+ +

+

= +

x m x

x_CM x 1,07

15 16 4

8 3

2 4 1 8 0

3 = =

+ +

+

= +

3 2 1

3 3 2 2 1 1

m m m

y m y m y y_CM m

+ +

+

= +

x m x

y_CM x 1,34

15 20 4

8 3

1 4 2 8 0

3 = =

+ +

+

= +

8,0kg

4,0kg

3,0kg

b) O que acontece com o centro de massa quando a massa da partícula de cima aumenta gradualmente?

Usando as definições das coordenadas do centro de massa, podemos dizer que:

3 2 1

3 3 2 2 1 1

m m m

r m r m r r_CM m

+ +

+

= " + " "

"

Se a massa da partícula 2 aumenta gradualmente, passando do valor m2 para o valor m2 + ∆m2 , a equação acima tomará a forma:

( )

2 3 2 1

2 3

2 1

3 3 2 2 2

1

1 r

m m m r m m

m m

r m r m m

r

R"_CM m " " " "_CM "

+ + + ∆ + =

+

+

∆ +

= + ou seja:

2 3 2 1

2 r

m m m r m R

r"_CM "_CM "_CM "

+ +

= ∆

−

=

∆

Conclusão: Se uma das partículas aumentar gradualmente a sua massa, o centro de massa gradualmente se moverá de acordo com a equação anterior para ∆r"_CM

Capítulo 9 - Halliday e Resnick - Edição antiga

3A Calcule o centro de massa de uma haste com uma distribuição uniforme de massa, de comprimento L e massa M .

Vamos considerar um elemento de massa dm de largura dx localizado na posição x . Como a distribuição de massa é uni- forme, podemos dizer que:

L dx dm M

L M

dx dm



 



=

 ⇒





→

→

dm

x x

L

L L L

CM CM

x dx L L x L dx

x M x M

dm M x

x

0 2

0

0 2

1 1

1

1

∫

∫

∫

=

2 x_CM = L

Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

4 Três barras finas de comprimento L são dispostas em forma de U invertido confor- me a figura a seguir. As duas barras laterais têm massa M e a barra central massa 3M. Qual a localização do centro de massa do conjunto?

L 3M

L M M L

y

m2

m1 m3

x

Para o cálculo do centro de massa desse conjunto as barras se comportam como se as suas massas estivessem concentradas em seus respectivos centros de massa.

Escolhendo um sistema de coordenadas, as massas estão nas posições:

( )

( )

( )









+ = +

+

= +

+ = +

+

= +

 ⇒





=

=

=

5 4 3

2 / 3

2 /

2 3

2 / 3 0

2 /

;

; 2 / 3

2 /

; 0

3 2

1

L M

M M

MxL MxL

y MxL

L M

M M

MxL MxL

x Mx

L L e M m

L L e M m

L e

M m

CM CM

Capítulo 9 - Halliday, Resnick - Edição antiga

7 Calcule o centro de massa de um fio em forma de arco de raio R , ângulo θ0 e mas- sa M .

Como definido anteriormente, temos:

=

∫

1

=

∫

Considerando que a distribuição de mas- sa no fio é uniforme, podemos encontrar uma relação entre a quantidade infinite- simal de massa dm e o ângulo dθ que delimita essa massa, usando a proporção a seguir:

y

R

θ0 dθ y θ

x x

dm → dθ M

A posição ( x , y ) de um elemento de massa genérico dm é pode ser expressa como:

x = R cosθ y = R senθ Desse modo termos:

( )

0 0 0 0

0 0 0

sen sen

cos 1 cos

1 ^{0 0 0} θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ ^{θ θ}

θ R R

R d M d

M R dm M x

x_CM = = =





=

=

∫ ∫ ∫

e de modo equivalente:

( ) (

)

0 0 0 0

0 0 0

cos 1 cos

sen 1 sen

1 ^{0 0 0}

θ θ θ θ

θ θ θ

θ θ

θ ^{θ θ}

θ = =− = −





=

= _M

∫

∫

∫

y_CM

A partir desses resultados podemos o centro de massa de outras figuras se- melhantes:

i. Um quarto de círculo θ0 = π/2 .

( )

( )

( )











=

−

=

=

=

π π π

π π π

R y R

R x R

CM CM

2 2 / cos 2 1

/

2 2 / 2sen /

ii. Um semicírculo θ0 = π.

( ) ( )

( )











=

−

=

=

=

π π π

π π

R y R

x R

CM CM

cos 2 1

0 sen

iii. Um círculo θ0 = 2π.

( ) ( )

( )











=

−

=

=

=

0 2

cos 2 1

0 2 2 sen π π

π π y R

x R

CM CM

Capítulo 9 - Halliday, Resnick - Edição antiga

8 Calcule o centro de massa de um quarto de disco de raio R e massa M . O centro de massa é definido como:

=

∫

=

∫

1

y R

y dθ θ

x x

onde o elemento genérico de massa dm está contido em um elemento de área dA no interior do disco e essas grandezas estão relacionadas:

dA AdA

dm M M

A

dm dA

σ

 =





=

∴

→

→

onde σ é a densidade superficial de massa do disco. Temos ainda que:

( )( )











=

=

=

θ θ

π

d dr r dr d r dA

A R 4

2





=

=

θ θ sen cos r y

r x

Temos então que:

( )( ) _{∫ ∫}

∫ ∫

∫ ∫

∫

= ^/2

0 0

2 2

/

0

cos 1 cos

1 ^{π π}

θ σ θ

θ σ θ

σ r dr d

d M dr r M r

dA M x

dm M x

x

R R

o CM

{

}

3

2 3 3

2 / 0 0

3 R

M M R R

M r

x M

R CM

σ π

σ θ ^π = =











= 

π 3 x_CM = 4R De maneira equivalente

( )( )

2

1 /

1 σ ^Rπ σ ^{R π}

{

}

3

2 3 3

2 / 0 0

3 R

M M R R

M r

y M

R CM

σ π

σ − θ ^π = =











= 

π 3 y_CM = 4R

Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

15 Um homem de massa MH está pendurado em uma escada de corda presa a um balão de massa MB , conforme a figura a seguir. O balão está parado em relação ao solo.

a) Se o homem começar a subir a escada com velocidade v (em relação a esca- da), em que direção e com que velocidade (em relação à Terra) o balão vai se mover?





+

=

= v v v

v j v

B H

"

"

"

" ˆ

onde VH é a velocidade do homem em relação ao solo e VB é a velocidade do balão em relação ao solo.

Como o conjunto homem + balão esta- va inicialmente em repouso, e a resul- tante das forças externas é nula, temos

que:

(

)

y

MB v"_B

MH v"_H

ou seja:

( )

M M j M M v

M v M

v v M v M

B H

H B

H H B

B H B

B 



− +

 =

 



− +

=

⇒

= +

+ " " 0 " " ˆ

"

b) Qual será o movimento depois que o homem parar de subir?

O balão novamente ficará novamente estacionário pois se vCM = 0 e vH = 0 te- remos que vB = 0 .

Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

17 Um canhão e um suprimento de balas de canhão se encontram no interior de um va- gão fechado de comprimento L , como na figura a seguir. O canhão dispara para a direita; o recuo faz o vagão se mover para a esquerda. As balas disparadas continu- am no vagão depois de se chocarem com a parede oposta.

a) Qual a maior distância que o vagão pode ter percorrido depois que todas as ba- las forem disparadas?

Vamos considerar que existem N ba- las de canhão de massa m cada, e que são disparadas para a direita com velocidade vB .

O vagão e o canhão têm conjuntamente uma massa MT .

Após o disparo de uma bala para a di- reita o conjunto vagão + canhão + ( N - 1 ) balas se deslocam para a esquerda com velocidade vT .

Inicialmente todo esse aparato estava em repouso, logo a velocidade do cen- tro de massa será nula:

x L - x

[ ] [ ( ) ] _{( )}

T T

B T

T CM

T v

m N M v m

v m v m N M v

Nm

M " " " " "



 





−

− +

=

⇒

= +

− +

=

+ 1 0 1

Pelo desenho podemos notar que após o tiro a bala se deslocou uma distância L - x e como conseqüência do recuo o vagão se deslocou uma distância x . Ou seja:

B T

B T

B T

x v L v x

v x L v t x t

v x L

t v x



 





= −

− ∴

=

=

 ⇒





=

−

=

Usando as duas últimas equações encontramos o valor de x , o deslocamento do vagão para um único tiro de canhão:

Nm L M

x m

T 



= +

Depois de N disparos, o vagão terá se deslocado uma distância d = N x : Nm L

M d Nm

T 



= +

O maior deslocamento possível acontecerá quando a massa total da balas N m for muito maior do que a massa do vagão. Nessa situação teremos que:

se N m >> MT ⇒ d = L

b) Qual a velocidade do vagão depois que todas as balas forem disparadas?

O conjunto vagão + canhão + balas voltará ao repouso pois inicialmente esse sistema tinha o centro de massa com velocidade nula.

Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

18 Deixa-se cair uma pedra em t = 0 . Uma segunda pedra com massa duas vezes maior que a da primeira, é largada do mesmo ponto em t = 100ms .

a) Onde estará o centro de massa das duas pedras em t = 300ms ? Suponha que nenhuma das pedras chegou ao chão.

m1 = m m2 = 2m

∆t = 100ms = 0,1s T = 300ms = 0,3s As equações de movimento das partículas são:

( )











−

=

−

=

∆

− +

=

−

=

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 1 1

t g t

y g

t t g t

y g

y

t1 t2

O centro de massa desse sistema terá a forma:

( )

( )

6 6

2 2 2 ) 2

(

2 2 2 2

gt t

t g m

m

t m g t

t m g t

yCM =− +∆ −

+



 

−

+



 



− +∆

= Para t = 0,3s

yCM ( 0,3s) = - 0, 40 m

b) Qual a velocidade do centro de massa desse sistema nesse momento?

(

)

t g d

y t d

v_CM = ^CM =− 2 +∆

3 ) 1

(

vCM ( 0,3s ) = - 2,28m/s Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

21 Dois sacos de açúcar idênticos são ligados por uma corda de massa desprezível, que passa por uma roldana sem atrito, de massa desprezível, com 50mm de diâmetro.

Os dois sacos estão no mesmo nível e cada um possui originalmente uma massa de 500g .

a) Determine a posição horizontal do centro de massa do sistema.

Inicialmente os dois sacos estão no mesmo nível, logo

2 0

2 1

1 + =

= M y M y y

d = 50mm = 0,05m M1 = M2 = 500g = 0,5kg

e

M d M

M M

M

d M M

M M

x M x

xCM M 



= + +

= + +

= +

2 1

2 2

1 2 1

2 1

2 2 1

1 .0

xCM = 0,025m = 25mm

b) Suponha que 20g de açúcar são transferidos de um saco para outro, mas os sacos são mantidos nas posições originais. Determine a nova posição horizontal do centro de massa.

m1 = 0,48kg m2 = 0,52kg

m d m

m m

m

x m x x_CM m





= + +

= +

2 1

2 2

1

2 2 1

1 = 0,026m

M1 M2

x d

y

c) Os dois sacos são liberados. Em que direção se move o centro de massa?

Já foi mostrado anteriormente que os sacos têm, em módulo, a mesma acelera- ção:

m g m

m a m



 +

= −

1 2

1 2

e elas têm sentido contrários:





 +

=

−

= a j a

a j a

ˆ ˆ

2 1

"

"

Como:

2 1

2 2 1 1

m m

a m a a_CM m

+

= " + "

"

encontramos que:

m g m

m j m

a_CM

2

1 2

1

ˆ 2



 +

= −

"

Como a aceleração é constante, a velocidade do centro de massa tem a forma:

t a t a v

v"_CM = "0_CM + "_CM = "_CM

pois a velocidade inicial é nula. Desse modo teremos que:

t m g m

m j m

v_CM

2

1 2

1

ˆ 2



 +

= −

"

d) Qual a sua aceleração?

Já foi mostrado que

m g m

m j m

a_CM

2

1 2

1

ˆ 2



 +

= −

"

e) Como varia a posição do centro de massa à medida que os sacos se movimen- tam?

2 ˆ

2 2

2 2

1 2

1 2 1

2 1 1 2

1 01 01 1

gt m m

m j m

t r r a t

t a v r

r 

 +

− −

=

∴

=

⇒ +

+

= " "

"

"

"

"

"

2 ˆ

ˆ 2

ˆ 2

2 2

1 2

1 2 2

2 2 2

2 2 02 02 2

gt m m

m j m

d i t r

d a i t r

t a v r

r 

 + + −

=

∴ +

=

⇒ +

+

= " "

"

"

"

"

"

Relembrando que:

2 1

2 2 1 1

m m

r m r rCM m

+

= " + "

"

encontramos

2 ˆ

ˆ

2 2

1 2

1 2 1

2

2 gt

m m

m j m

m d m i m rCM



 + + −





= +

"

Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

22 Um cachorro de 5kg está em um bote de 20kg que se encontra a 6m da margem.

Ele anda 2,4m no barco em direção à margem, e depois pára. O atrito entre o bote e a água é desprezível. A que distância da margem está o cachorro depois da cami- nhada? Sugestão: O cachorro se move para a esquerda; o bote se desloca para a direita; e o centro de massa do sistema cachorro + bote ? Será que ele se move?

MC = 5kg MB = 20kg

d = 6m s = 2,4m

Antes de começar a resolução vamos fazer algumas suposições:

i. O cachorro está na extremidade do bote mais afastada da margem ii. O bote tem forma simétrica, tal que

o centro de massa está localizado no seu centro geométrico.

D

x0 L-s s

L d

x

(

)

(

)

Como o conjunto cachorro + bote estava inicialmente em repouso, a velocidade do centro de massa era nula e irá permanecer com esse valor pois a resultante das for- ças externas é zero.

(

)

Antes do cachorro se mover a posição do centro de massa tem a seguinte forma:

( )

B C

B C

CM M M

M L d x dM

+

−

= + /2

Depois que ele se moveu, a posição de centro de massa, tem a seguinte forma:

( ) ( )

[ ] [ ( ) ]

B C

B C

CM M M

M L x L d M s L x L x d

+

+ +

− +

− + +

= − /2

´ ^{0 0}

Como a velocidade do centro de massa é nula, ele não se moveu e portanto as duas equações anteriores são iguais. Fazendo essa igualdade encontramos que:

( ) ( )

M M x M sM

M M x M

x M s x

B C

C C

B C B

C 



= +

∴

= +

⇒

= +

− 0 0 0

0 0 = 0,48m

(

)

(

)

D = − + 0 + − = + 0 − =4,08m Capítulo 9 - Halliday e Resnick - Edição antiga

30 Um sapo de massa m está parado na extremidade de uma tábua de massa M e comprimento L . A tábua flutua em repouso sobre a superfície de um lago. O sapo pula em direção à outra extremidade da tábua com uma velocidade v que forma um ângulo θ com a horizontal. Determine o módulo da velocidade inicial do sapo para que ele atinja a outra extremidade da tábua.

Vamos supor que quando o sapo pula, a parte da tábua onde ele estava afunda um pouco, mas volta a boiar, de modo que quando ele tocar na outra extremidade, a tábua já estará na posição horizontal.

Como o conjunto estava em repou- so, a velocidade do centro de mas- sa é nula.

v"

θ

L

x

O sapo salta para direita e a tábua se move para esquerda com velocidade V .

( )

M V mv

MV mv

v M

m CM

θ cosθ

cos

0= − ⇒ =

= +

g t v

g t v

v_M θ 2 senθ

sen 2 ⇒ =



 



− 

=

Desse modo, o deslocamento horizontal x do sapo, será:

x = ( v cosθ ) t e o deslocamento horizontal da tábua L - x , será:

M t Vt mv

x

L 



 



=

=

− cosθ

ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )

g v v

M t m

M v t m

M v t m v

L θ θ θ θ 2 senθ

cos 1

cos 1

cos

cos 



 

 +

 =



 

 +

= +

=

θ 2 sen 1

2



 

 +

= M

m g

L v ou seja:

θ 2 sen

1 



 

 +

=

M m v gL

Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

34 Dois blocos de massas 1kg e 3kg respectivamente, ligados por uma mola, estão em repouso em uma superfície sem atrito. Em um certo instante são projetados um na direção do outro de tal forma que o bloco de 1kg viaja inicialmente com uma velocidade de 1,7m/s em direção ao centro de massa, que permanece em repouso.

Qual a velocidade inicial do outro bloco?

M1 = 1kg M2 = 3kg v1 = 1,7m/s

De maneira geral temos que:

M1 M2

x

EXT

CM F

a

M" = "

A partir da equação anterior temos que quando a resultante das forças externas for nula a velocidade do centro de massa será constante. Mas como os blocos estavam inicialmente em repouso, a velocidade do centro de massa será nula:

2 0

2 1

1 + =

=Mv M v v

M"_CM " "

ou seja:

1v

v" =−M "

Mas v iˆ1,7m/s

1 =

"

, logo

s m i v i

v 1,7 ˆ5,1 /

1 ˆ3

2

2 =− ∴ " = −

"

Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4^a. edição

37 Uma vagão plataforma de peso P pode rolar sem atrito em um trecho reto e plano da linha férrea. Inicialmente, um homem de peso p está de pé no carro, que se move para a esquerda com velocidade v0 . Qual a variação da velocidade do vagão quando o homem corre para a esquerda com uma velocidade vREL em relação ao vagão?

M = P/g m = p/g

O momento inicial do conjunto é:

(

)

PI

"

"

+

=

x

Vamos considerar o homem passe a ter uma velocidade iˆ e que o vagão passe av ter uma velocidade iˆ . O momento final do sistema será:V

v m V M

P"_F " "

+

=

Mas a velocidade do homem em relação ao vagão, ou seja a velocidade relativa é definida de tal modo que:

vREL

V

v" = " + "

ou seja:

(

)

F MV m V v

P" " " "

+ +

=

Considerando que quando a resultante das forças externas for nula o momento total deste sistema se conserva, temos que:

(

)

(

)

(

)

vREL

M m V m

v# " "

+ +

0 =

REL

REL v

P p v p

M m v m

V

V" " " " "

− + + =

−

=

−

=

∆ 0