TEXTO SOBRE MECÂNICA DOS FLUIDOS

TEXTO SOBRE MECÂNICA DOS FLUIDOS

Elaborado pelo Prof. José Francisco Dias da Fonseca

1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS

A mecânica do contínuo inclui o estudo de materiais sólidos e de fluidos.

Restringiremos nossa atenção à descrição de fluidos e de seus movimentos.

1.1 Conceito De Meio Contínuo

Sob o ponto de vista macroscópico, o fluído é considerado como um contínuo. Isto significa, que um elemento de volume ( V^*) “infinitesimal” de fluido contém um número imenso de átomos (moléculas, íons, etc...). Esse V^*, que denominaremos de partícula, ou ponto material do fluído, é muito pequeno quando comparado com as dimensões do fluído e suficientemente grande quando comparado com as distâncias interatômicas. Para gases e líquidos submetidos a condições normais, δV^* é da ordem de 10^-9 mm³. Por exemplo, para o ar um volume de 10^-9 mm³ nas condições normais de temperatura e pressão, contém aproximadamente 3,0 x 10⁷ moléculas de ar. Portanto, um volume desta ordem de grandeza é suficientemente pequeno para que na prática possa ser considerado como sendo uma Partícula ou Ponto Material enquanto que a quantidade de moléculas existentes neste volume é suficiente para caracterizar o fluido como um todo.

A hipótese do contínuo permite estudar as propriedades do fluido através do cálculo diferencial e/ou integral, uma vez que a continuidade é fundamental na teoria do cálculo.

Tal hipótese não é válida quando o caminho livre médio das moléculas é da mesma ordem de magnitude do menor comprimento característico do problema.

1.2 Classificação De Fluidos

Os fluidos se classificam em líquidos e gases.

1.2.1 Conceito De Líquido

Os líquidos se encontram em um estado da matéria no qual as moléculas estão relativamente livres para trocar suas posições umas com as outras, mas sob a ação de forças restritivas, chamadas de forças de coesão, as quais são responsáveis por manter o volume de um líquido relativamente fixo.

1.2.2 Conceito De Gases

Os gases se encontram em um estado da matéria no qual as forças de coesão praticamente não restringem os movimentos das moléculas. Portanto, um gás não tem forma nem volume definidos.

1.3 O Vetor Tensão

É o limite da razão entre a força F∆ , que age em uma área A∆ , e esta área (ver Fig 1.1), quando A∆ tende para zero, isto é,

A F

A ∆

= ∆

→

∆lim0

τ . (1.1)

Fig 1.1

A componente normal da força dividida pela área é a tensão normal τN, definida por

A F_N

N A

∆

=_{∆ →} ∆ lim0

τ , (1.2) e a componente tangencial da força dividida pela área é a tensão de cisalhamento τT, definida por

A F_T

T A ∆

=_{∆ →} ∆ lim0

τ . (1.3) I.4 Conceito De Fluido

Um fluido é uma substância que não resiste a uma tensão de cisalhamento sem se deformar por menor que seja esta tensão e por menor que seja o intervalo de tempo da aplicação desta tensão.

I.5 Propriedades Dos Fluidos

I.5.1 Massa Específica Ou Densidade, Peso Específico E Densidade Relativa

Com base na hipótese do contínuo, pode-se definir massa específica de um fluido (densidade) em um ponto como sendo o limite da razão entre

δ m

δ V

δ V

δ V

∆FT

∆FN

∆A

∆F

V m

V

V δ

ρ δ

δ δ → ^∗

= lim . (1.4) Uma propriedade do fluido relacionada diretamente à densidade é o peso específico

γ

ρg

γ = (1.5) onde, g é a gravidade local.

A densidade relativa S é definida como a razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica da água na temperatura na temperatura de 4°C:

água

S ₌ρρ . (1.6)

1.5.2 Compressibilidade

Os fluidos sofrem compressão quando a pressão aumenta e conseqüentemente sua massa específica aumenta. Uma quantidade que descreve a compressibilidade de um fluido é o módulo de elasticidade volumétrica (coeficiente de compressibilidade) B, definido como segue

T T T

T d

dp d

dp p

B p

ρ ρ ρ

ρ

ρ =− =

∆

= ∆

∆

− ∆

=_{∆ → ∆ →}

V V V

V ⁰

0

V lim

lim .

Isto é, o módulo de elasticidade volumétrica é definido como a razão da variação de pressão, pela variação relativa da massa específica, sua unidade de medida é a mesma da pressão.

O módulo de elasticidade para o ar é igual a Bar = 1,013x10⁵ Pa, enquanto que para a água é de Bágua = 2,1x 10⁹ Pa. De forma que B_água =21000B_ar. Como é necessáriA uma pressão muito grande para pouco alterar o valor da massa específica de um líquido, os líquidos em geral são considerados incompressíveis. Para os gases se sofrerem variações significativas de massa específica, como algo na ordem de 4%, são considerados como compressíveis. Se pequenas variações de massa específica ocorrerem, inferior a 3%, os gases podem ser considerados como incompressíveis. Este último caso acontece para velocidades do ar atmosférico inferior a 100 m/s, incluindo muitos escoamentos de ar de interesse da meteorologia e engenharia.

1.5.3 Viscosidade

Podemos conceituar a viscosidade como sendo a “aderência” interna de um fluido o que implica na condição de não-escorregamento, isto é o fluido, em escoamento, na superfície de contato com a parede de um meio material que o restringe, adquire a velocidade desta. A viscosidade é responsável pelas perdas de energia associadas ao

transporte de fluidos. É a principal responsável na geração de turbulência no escoamento de um fluido.

A viscosidade pode ser definida considerando uma situação simplificada de um fluido confinado entre duas placas paralelas bem próximas e grandes de tal forma que as perturbações nas bordas possam ser desprezadas (Fig. 1.2). A placa inferior, localizada em

=0

y , é fixa e uma força F∆ é aplicada na placa superior, localizada em y=δy, a qual exerce uma tensão de cisalhamento τ_T =∆F_x ∆A no fluido, em que A∆ é a área da placa superior. A força ∆F_x coloca a placa superior em movimento com uma velocidade constante, ou seja ^u

(

)

Fig. 1.2 Placas paralelas contendo um fluido

Os resultados experimentais mostram que a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação

(

)

T δ t

τ ∝δθ , (1.7)

onde,

y s δδ

δθ = (1.8)

e como, para pequenos deslocamentos angulares δθ, o arco subentendido por este ângulo, δs , é pequeno, podemos aproxima-lo por xδ , ou seja,

x s δ

δ ≅ . (1.9) x

y

δx δs

Placa Fixa u = 0

A F_x

T =∆ ∆

τ

∆F u=U

y δθ δ

Substituindo (1.9) na Eq. 1.8 e levando o resultado na Eq. 1.7, obtemos

t y

x t

y s

T δδδ

δ δδ

τ ∝ = . (1.10)

No limite δt→0, a Eq. 1.10 reduz-se a

dy du

T ∝

τ . (1.11)

É possível passar de uma proporcionalidade para uma igualdade multiplicando o lado direito de (1.11) por uma constante de proporcionalidade µ, ou seja,

dy du dt

d

T µ θ µ

τ = = . (1.12)

A experiência mostra que a constante de proporcionalidadeµ é uma propriedade do fluido a qual é denominada de viscosidade.

Assim, podemos definir a viscosidade como sendo a razão entre a tensão de cisalhamento (causa) e a taxa de deformação (efeito), isto é,

dudy τT

µ = .

Pela definição concluímos que a unidade de viscosidade no Sistema Internacional é

( )

Unid µ =1 ² =1 .

A equação 1.12 nos diz que a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional ao gradiente de velocidade (taxa de deformação). Os fluidos que se comportam de forma a obedecer esta equação são chamados de fluidos newtonianos. Caso contrário são ditos não- newtonianos (Fig, 1.3). Por sorte os fluidos mais comuns como o ar, a água e o óleo, são newtonianos.

Fig. 1.3

A viscosidade de um fluido depende da temperatura, µ =µ(T). Nos líquidos esta dependência é muito forte e decresce com o aumento da temperatura, pois as forças coesivas têm um papel dominante. Nos gases as tensões internas têm origem nas colisões moleculares, de forma que, com o aumento da temperatura aumenta as atividades moleculares, implicando num aumento da viscosidade.

Muitas vezes a viscosidade aparece dividida pela massa específica, por isso é conveniente definir a viscosidade cinemática como,

ρ

ν = µ (1.13)

onde as unidade ν é

(

)

1.5.4 Fluido Ideal Ou Perfeito

Um fluido é considerado ideal quando durante seu escoamento os processos de viscosidade e termocondução são desprezíveis, como por exemplo, o escoamento do ar atmosférico acima da camada limite.