Monodromia de curvas algébricas planas

(1)

Monodromia de curvas alg´ebricas planas

(2)

SERVIÇ O DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: 12/07/2007

Assinatura:

Monodromia de curvas alg´ebricas planas

Silas Fantin

Orientador: Prof. Dr. Abramo Hefez Co-orientador: Prof. Dr. Daniel Levcovitz

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computa¸cão - ICMC-USP, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Ciências - Área: Matemática.

(3)

Agradecimentos

A Deus, por estar sempre presente em minha vida.

Ao professor Abramo Hefez, por ter me aceito como seu aluno de doutorado, e pela sugest˜ao do tema da tese, permitindo-me trabalhar com liberdade e tranqui-lidade.

A Andrea Gomes Guimar˜aes, pela sua ajuda e pelo seu entusiasmo no decorrer do doutorado, e ao Billy ( Carlos ) pela amizade, e pelos diagramas feitos na tese.

A Ana Paula e Laura, na secretaria de pós-gradua¸cão do ICMC-USP, e a Ma-riana e Léa, na secretaria da pós-gradua¸cão da UFF, pela ajuda prestada no de-correr deste per´ıodo.

Aos meus pais e irmãos, pelo apoio e incentivo constantes. A minha mãe, que mais desejava ver este trabalho concluido, presto minha homenagem póstuma.

A minha esposa Regina Freitas, pela paciˆencia, apoio, est´ımulo e compreens˜ao neste per´ıodo de doutorado.

Ao departamento de estruturas matem´aticas da UERJ, e a CAPES, pelo su-porte financeiro, que permitiu a realiza¸c˜ao deste trabalho.

Aos professores que aceitaram participar da banca examinadora.

(4)

Resumo

(5)

Abstract

(6)

´Indice

Introdu¸c˜ao 1

Cap´ıtulo 1: Preliminares

1.1 A monodromia local ... 3

1.2 Polinˆomios de Alexander e finitude da monodromia ... 5

1.3 Apresenta¸c˜ao do grupo de um link alg´ebrico ... 8

Cap´ıtulo 2: Ramos de gˆenero 1

2.1 Ramos com pares de Puiseux distintos ... 11

2.2 Ramos com pares de Puiseux iguais ... 31

Cap´ıtulo 3: Ramos de gˆenero 2

3.1 Ramos com pares de Puiseux distintos ... 44

3.2 Ramos com pares de Puiseux iguais ... 85

3.3 Ep´ılogo ... 99

Apˆendice

A C´alculos para ramos de gˆenero 1 ... 100

B C´alculos para ramos de gˆenero 2 ... 110

(7)

Introdu¸c˜

ao

Sejaf : ( ICn+1,0 )→( IC,0 ) um germe de fun¸c˜ao anal´ıtica comf(0) = 0 tal que

C=f−1_{(0) tem uma singularidade isolada em 0. A geometria local de}_C _pr´oximo

de 0 ´e completamente descrita pelolink alg´ebrico L:=C∩Sǫ2n+1da singularidade,

onde S2n+1

ǫ ´e a esfera de raioǫ em IR2(n+1) (≃ ICn+1).

Estamos interessados no seguinte problema: Dado o germe f, como descrito

acima, determinar se a sua monodromia algébrica é de ordem finita ou infinita. O problema torna-se mais fácil quando n = 1, uma vez que, nesta situa¸cão, a geometria foi completamente descrita nos trabalhos de Brauner [Bra], Kähler [Ka] e Reeve [Re] no in´ıcio do Século 20. Neste caso, chamamos C de curva plana e o link algébrico L tem r componentes, correspondendo aos ramos de C na ori-gem. Cada componente deLé um nó tórico iterado, e tanto as itera¸cões em cada componente do link, quanto os entrela¸camentos entre as várias componentes, são completamente especificados pelo desenvolvimento de Puiseux de cada ramo.

No caso em que n = 1 e o germef é analiticamente irredut´ıvel, ou seja,r = 1, a sua monodromia é sempre finita ( cf. [Lê1], [A’c1] ou [SW1] ). Ser= 2, existem exemplos nos quais a monodromia é finita ou infinita (cf. [A’c1] e [Wo] ). Este trabalho se propõe de estudar, para n = 1 e r = 2, em várias situa¸cões, o proble-ma da finitude da monodromia, com enfoque no cálculo do segundo polinômio de

Alexander associado ao link alg´ebrico da singularidade.

Apresentamos a seguir uma descri¸c˜ao sucinta dos cap´ıtulos que comp˜oem este trabalho.

No primeiro cap´ıtulo, encontram-se as ferramentas gerais para o desenvolvi-mento do trabalho. Fazemos tamb´em um apanhado de alguns resultados que se encontram na literatura, para contextualizar o nosso problema.

(8)

(9)

Cap´ıtulo 1 - Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo é introduzir as nota¸cões, as defini¸cões, e os fatos básicos que serão utilizados nos cap´ıtulos seguintes.

1.1 A monodromia local

Seja f : (IC2,0) → (IC,0) um germe de fun¸c˜ao anal´ıtica com um ponto cr´ıtico isolado na origem. Denotaremos porBǫ a bola fechada de IC2 centrada na origem

e de raio ǫ > 0. Consideremos Sǫ = ∂Bǫ, Cǫ = Bǫ ∩f−1(0) e Lǫ = Cǫ ∩Sǫ.

Se ǫ ´e suficientemente pequeno, sabe-se que Lǫ ´e uma subvariedade C∞ de Sǫ e

que o conhecimento da topologia do par (Sǫ, Lǫ) ´e equivalente ao conhecimento da

topologia do par (Bǫ, Cǫ) (cf. [Mi]). Portanto, para compreender a topologia do

par (Bǫ, Cǫ), bastar´a compreender a topologia deLǫ e de Sǫ\Lǫ. A este prop´osito

tem-se o seguinte resultado:

Teorema da Fibra¸cão de Milnor Seja f : ( IC2,0) → ( IC,0) um germe de fun¸cão anal´ıtica na origem de IC2 com ponto cr´ıtico isolado. Então existe ǫ0 > 0

tal que, para todo 0< ǫ≤ǫ0, a aplica¸c˜ao

ϕǫ : Sǫ\Lǫ −→ S1

z 7−→ f(z) |f(z)|

é a proje¸cão de uma fibra¸cão C∞ _{localmente trivial, com fibra} _F

θ = ϕ−ǫ1(e2πiθ)

uma variedade de dimens˜ao real 2 do tipo de homotopia de um bouquet de µ

c´ırculos colados em um ponto, onde µ ´e a codimens˜ao sobre IC do ideal jacobiano

J(f) =< _∂z∂f

1,

∂f

∂z2 >no anel das s´eries de potˆencias convergentes IC{z1, z2}, sendo

chamado de n´umero de Milnor de f.

(10)

H1(Fθ) ∼= ZZµ. Como para ǫ suficientemente pequeno, nem o mergulho de Lǫ em

Sǫ, nem a fibra¸c˜ao ϕǫ dependem deǫ, denotaremos Sǫ porS, Lǫ por Leϕǫ por ϕ,

quando este for o caso.

Como ϕ : S \L → S1 _{´e uma fibra¸c˜ao, podemos levantar o arco} _e2πit _para

0 ≤ t ≤ s ≤ 1 e construir assim uma fam´ılia cont´ınua de homeomorfismos hs :

Fθ →Fθ+2πstal que h0 =IdFθ. O homeomorfismoh=h1 :Fθ →Fθ´e chamado de

monodromia geom´etrica deC na origem. A monodromia geom´etrica h induz no grupo de homologia da fibra Fθ, com coeficiente num grupo G (no nosso caso

ZZ ou IC), o automorfismo

T = (h)∗ :H1 (Fθ, G) −→ H1 (Fθ, G),

chamado de operador de monodromia alg´ebrica local, ou de operador de

mo-nodromia de Picard-Lefschetz.

A investiga¸c˜ao do operador de monodromia alg´ebrica local, quandoG= IC, teve in´ıcio com a prova por E. Brieskorn em [Br] do famoso Teorema de Monodromia para hipersuperf´ıcies com singularidades isoladas, que enunciaremos a seguir no caso de curvas.

Teorema de Monodromia Todos os autovalores de T são ra´ızes da unidade, os blocos de Jordan da forma canônica de T têm no máximo ordem 2, e os blocos de Jordan com autovalor 1 têm ordem 1.

No mesmo trabalho, Brieskorn fez a seguinte pergunta: A monodromia alg´ebrica local T, para uma hipersuperficie com singularidade isolada, tem sempre ordem finita?

A pergunta de Brieskorn equivale a saber se existe um n´umero natural d tal

que Td ₌ _Id_{. Portanto, em vista do Teorema de Monodromia, a finitude da}

monodromia algébrica local é equivalente ao fato do operadorT ser diagonalizável, ou ainda, equivalente ao fato do polinômio m´ınimo deT não ter ra´ızes múltiplas. Logo, uma maneira de decidir tal questão, é determinar o polinômio m´ınimo deT. Lê D˜ung Tráng em [Lê1], deu uma resposta afirmativa à questão no caso de curvas planas analiticamente irredut´ıveis, calculando o polinômio m´ınimo deT, e mostrando que todas as suas ra´ızes são simples.

(11)

Esta é a questão à qual é dedicado o presente trabalho. Mais precisamente, de-terminaremos em algumas situa¸cões, o polinômio m´ınimo da monodromia para germes de curvas anal´ıticas planas com dois ramos. É poss´ıvel tratar, com essas mesmas técnicas, o caso de curvas com um número maior de ramos. Mas não o faremos, dado a complexidade dos cálculos envolvidos.

1.2 Polinˆomios de Alexander e finitude da monodromia.

Sabe-se que, no caso de uma curva plana C, o polinômio caracter´ıstico da monodromia é o primeiro polinômio de Alexander ∆1(t) de C, e que o polinômio

m´ınimoλ(t), ´e o quociente do primeiro polinˆomio de Alexander ∆1(t) pelo segundo

polinˆomio de Alexander ∆2(t) de C. (cf. [SW2], p´agina 129).

O primeiro polinômio de Alexander de uma curva é calculado na literatura, de vários modos (cf. [Bu2], [FC], [SW2], [CDG1]), inclusive para um número arbitrário de ramos. Entretanto, não há registro do cálculo do polinômio ∆2(t)

para curvas redut´ıveis (no caso irredut´ıvel, Lˆe D˜ung Tr´ang mostra que ∆2(t) = 1).

O nosso trabalho ´e centrado no c´alculo de ∆2(t) quando C tem dois ramos,

com o objetivo de encontrar o polinômio minimal da monodromia e conseq¨ uen-temente decidir sobre a sua finitude. Os resultados conhecidos mais abrangentes nesta dire¸cão, se encontram nos artigos [SW2] e [Wo] que exploram apenas proprie-dades de ∆1(t), não sendo por isso completos, mas fornecendo algumas condi¸cões

necessárias e outras suficientes, para a finitude da monodromia. O resultado mais significativo dos trabalhos acima citados, é baseado na seguinte observa¸cão:

Observa¸c˜ao Se T tem ordem finita e δ ´e uma raiz pm_-´_{esima da unidade para}

algum primo p e algum inteiro positivo m, então a multiplicidade de δ como raiz de ∆1(t)é no máximo r−1, onde r é o número de ramos da curva.

A estratégia que adotaremos neste trabalho é semelhante àquela utilizada no ar-tigo [Lê1]. O cálculo do polinômio de Alexander ∆2(t) será feito aqui pelo método

desenvolvido por R. Fox em [F2] e [F5], por meio de uma matriz cujas entradas s˜ao polinˆomios em ZZ [t], chamada de matriz de Alexander, e que descreveremos a seguir.

Seja π1(X) = {x1, . . . , xn; r1, . . . , rm} uma apresenta¸c˜ao com n geradores e

m rela¸c˜oes com n > m, do grupo fundamental de X = S \L. Seja Fn o grupo

(12)

deriva¸c˜ao no anel de grupo ZZ [Fn], possuindo as seguintes propriedades:

Seξ1, ξ2 ∈ ZZ [Fn] eg, g1, . . . , gk ∈Fn, ent˜ao

(1) Dj(ξ1+ξ2) = Dj(ξ1) + Dj(ξ2).

(2) Dj(g1. . . gk) = Djg1 + g1Djg2 + g1g2Djg3 + · · · + g1 . . . gk−1D gk.

(3) Djg−1 = −g−1Djg,

(4) Djgn = g

n₋₁

g −1 Djg,

(5) Djg−n = −g−n g

n₋₁

g −1Djg.

A matriz de Alexanderde π1(X) ´e a matriz Φ

∂ri

∂xj

, onde a aplica¸c˜ao

Φ : ZZ [π1(X) ] −→ ZZ [π1(S1) ] ≃ ZZ [t, t−1]

´e induzida pela fibra¸c˜ao ϕ de Milnor.

O primeiro polinˆomio de Alexander ∆1(t) de π1(X) ´e definido como sendo o

máximo divisor comum dos determinantes das submatrizes de ordemm da matriz de Alexander, enquanto que o segundo polinômio de Alexander ∆2(t) é o máximo

divisor comum dos determinantes das submatrizes de ordem (m−1).

Sendo a classe de conjuga¸cão da monodromia de C um invariante topológico (cf. [Mi]), e sendo os pares de Puiseux de cada ramo deC, juntamente com o con-tato entre os seus respectivos desenvolvimentos de Puiseux, invariantes topológicos completos deC, o nosso problema consistirá em determinar a matriz de Alexander de um link algébrico de dois ramos, dadas as expansões em séries de Puiseux. Com isso, poderemos responder se o operador de monodromia associada a este link, tem ordem finita ou infinita.

A medida que o número de pares de Puiseux associados aos ramos aumenta, a quantidade de menores envolvidos nos cálculos aumenta, tornando mais dif´ıcil descrever explicitamente o polinômio m´ınimo da monodromia.

O polinˆomio ∆1(t) para um link alg´ebrico com duas componentes (ou mais), foi

calculado por Burau na década de 30 em [Bu2] usando outras técnicas de topologia algébrica. A seguir, damos explicitamente a expressão de ∆1(t) como se encontra

em [SW2]. Seja C uma curva com dois ramos de equa¸c˜ao f =f1f2 e considere o desenvolvimento de Puiseux de cada ramo, que podemos supor finitos:

(⋆) y1 =

s1

X

i=1

a1εi x

εi _e _y2 ₌

s2

X

j=1

a2δj x

(13)

onde para i = 1, . . . , s1 e j = 1, . . . , s2, temos que

εi =

m1i

n11. . . n1i

e δj =

m2j

n21. . . n2j

As informa¸cões topológicas deC podem ser extra´ıdas das representa¸cões para-métricas acima. A determina¸cão dos pares de Puiseux de cada ramo é padrão, e o seu número é chamado de gênero do ramo. O contato entre os dois ramos se mede pelo graui de coincidência dos dois desenvolvimentos:

i = max {j; a1,εk = a2,δk e

m1,k

n1,k

= m2,k

n2,k

para todo k ≤j }.

Sem perda de generalidade, assumiremos que m1,i+1

n1,i+1 ≥

m2,i+1

n2,i+1.

Polinômio Caracter´ıstico da Monodromia ([SW2], Th. 7.6)O polinômio ca-racter´ıstico da monodromia para um link algébrico com dois ramos é

∆1(t) = (t−1)

i

Y

j=1

tw1,j.e0,j −1

tw1,j.e0,j+1 −1

te0,j+1₋₁

te0,j −1

(

tw2,i+1.e0,i+1 −1

te0,i+1 −1

2

Y

k= 1

sk

Y

j=i+k

tnk,j.ek,j −1

tek,j −1

)

onde wi ´e definido recursivamente para cada 1≤j ≤sk como segue

wk1 = mk1

wkj = mkj−mk,j−1 nkj + wk,j−1 nk,j−1 nkj, 2≤ j ≤sk

onde

eq,j =







b1,j,s1 +b2,j,s2 q = 0

w2,i+1. b2,i+2,s2. b1,i+1,j−1+w1,j. b1,j+1,s1 q = 1

w2,i+1. b1,i+1,s1. b2,i+2,j−1+w2,j. b2,j+1,s2 q = 2

com

bk,l,m = m

Y

j=l

nk,j e bk,l,m = 1 se l > m.

Para calcular o polinômio minimal λ(t) da monodromia, só nos resta calcular ∆2(t), o que faremos usando a matriz de Alexander, para cuja determina¸cão se

(14)

1.3 Apresenta¸c˜ao do grupo de um link alg´ebrico

A apresenta¸cão que descreveremos abaixo é devida a O. Neto e P. C. Silva em [NS]. SejaC como na se¸cão anterior com parametriza¸cões de seus ramos dadas por (⋆). Seja S = {(1,0),(d, ε);d ∈ {1,2} e a1,ε 6= 0 ou a2,ε 6= 0} ∪ {(d′, ε); d, d′ ∈

{1,2} d′ ₆₌ _d _e _a1

,γ = a2,γ para 0 ≤ γ < ε}. Associamos a C uma ´arvore Ξ,

cujos vértices são classes de equivalência [d, ε] em S, segundo a seguinte rela¸cão de equivalência:

(1, ε)∼(2, ε) ⇔ a1,γ = a2,γ para 0≤γ ≤ε

A classe φ = [1,0] ´e chamada de raiz de Ξ. Diremos que w = [d, δ] ´e um filho

de z = [d, ε], escrevendo w > z, se δ > ε e é minimal com esta propriedade. Diremos que [d, ε] é uma haste se ad,ε = 0. Chamaremos de terminais os vértices

que não possuem filhos. A árvore é formada ligando cada vértice aos seus filhos. Seja z = [d, η] um vértice não terminal de Ξ, onde η = mdk

nd1...ndk. Ao v´ertice z

s˜ao associados dois n´umeros inteiros positivosνz eµz definidos como segue:

Como z não é terminal, existe um filho w′ _{= [}_d′_{, ρ}_{] de} _z _{que não é haste.}

Logo, ρ = md′k+1

nd′1...nd′k+1. Pomos νz = nd

′_k₊₁ e µ_z = l_d′_k₊₁ onde l_d′₁ = m_d′₁ e

ld′_j = m_d′_j −m_d′_j₋1n_d′_j +m_d′_j₋1n_d′_j₋1n_d′_j para j ≥ 2. Os inteiros ν_z e µ_z sendo

coprimos, existem inteiros rz esz tais que rz µz = sz νz + 1.

Grupo do Link: ([NS], Th. 1.2) O grupo fundamental π1(X), ´e apresentado

pelos geradores αz, βz com z percorrendo os vértices da árvore Ξ e pelas rela¸cões

βφ= 1, [αz, βz] = 1 para todoz, al´em das rela¸c˜oes abaixo, separadas em 4 tipos:

(R1) ανzµz

w βw = αµzz βzνz se w > z e w n˜ao ´e uma haste

(R2) αµz

w βwνz = αzµz βzνz se w > z e w´e uma haste

(R3) (γz αszz βzrz)νz = (αµzz βzνz)rz se z ´e n˜ao terminal sem filho haste

(R4) γz αszz βzrz = αzsz0 β

rz

z0 sez ´e n˜ao terminal com filho haste z0

(15)

Exemplo 1: Seja f uma curva plana com dois ramos cujos desenvolvimentos de Puiseux, s˜ao respectivamentes:

y1 = x3/2₊_x7/4 y2 = x3/2₊_x5/2

Representaremos os v´ertices de Ξ que correspondem `as hastes pelos c´ırculos brancos e os restantes pelos c´ırculos negros, conforme a Figura 1.

Figura 1:

Temos que {φ,1,10} são os vértices não terminais da árvore, onde:



    

    

εφ = 0, ε0 =ε1 = 3/2, ε11 =ε10= 7/4, ε101 = 5/2,

(µφ, νφ) = (3,2), (µ1, ν1) = (13,2), (µ1,0, ν1,0) = (8,1)

(rφ, sφ) = (1,1), (r1, s1) = (1,6), (r10, s10) = (1,7)

Logo, o grupo do linkπ1(X) ´e apresentado porαz, βz comzpercorrendo o conjunto

V ={φ,1,11,10,101}, verificando as seguintes rela¸c˜oes βφ= 1 e [αz, βz] = 1 para

todoz e as rela¸cões associadas a cada vértice não terminal da árvore Ξ acima







φ: α3

φβφ2 =α16 β1 (α1 αφ βφ)2 = (αφ3 βφ2)1

1 : α13

1 β12 =α2611β11 =α1310β102 α11 α61 β1 =α610 β10

10 : α8

(16)

Cap´ıtulo 2 - Ramos de gˆ

enero 1

Nos próximos dois cap´ıtulos, descreveremos explicitamente a matriz de Alexan-der em fun¸cão dos desenvolvimentos de séries de Puiseux dos dois ramos da curva

C, para com ela calcular efetivamente o segundo polinˆomio de Alexander, e com isto, encontrar o polinˆomio m´ınimo da monodromia.

Convém ressaltar, que o método desenvolvido pelo R. Fox, para o cálculo dos polinômios de Alexander, conforme descrito na Se¸cão 1.2, necessita de uma apre-senta¸cão do grupo do link com mais geradores do que rela¸cões. Como utilizamos neste trabalho a apresenta¸cão do grupo do link dada por O. Neto e P. C. Silva, e em tal apresenta¸cão nem sempre temos mais geradores do que rela¸cões, seremos conduzidos a impor condi¸cões sobre os pares de Puiseux dados, para estarmos na situa¸cão desejada.

Além disso, a apresenta¸cão do grupo do link de O. Neto e P. C. Silva é descrita por árvores cujos tipos variam dentro de um conjunto finito de possibilidades que dependem dos dados topológicos da curva. Isso naturalmente nos conduz ao des-dobramento da análise em vários casos, correspondendo aos tipos de árvores que ocorrem.

Neste cap´ıtulo, estudaremos especificamente a monodromia de um germe de curva plana com dois ramos, ambos de gˆenero 1.

O caso de dois ramos se diferencia do caso irredut´ıvel pela variedade de árvores que se apresentam. No caso irredut´ıvel, qualquer que seja o gênero da curva, há apenas um tipo de árvore, o que facilita o processo indutivo do cálculo da matriz de Alexander, como realizado em [Lê1].

Figura 2: ´Arvore no caso irredut´ıvel de gˆenero 3

(17)

processo indutivo mais complexo. Na situa¸c˜ao em foco, temos os seguintes tipos de ´arvores:

Figura 3: ´Arvores para ramos de gˆenero 1 com pares de Puiseux distintos

Figura 4: ´Arvores para ramos de gˆenero 1 com pares de Puiseux iguais

2.1 Ramos com pares de Puiseux distintos

Caso 1: Nessa situa¸c˜ao, os ramos da nossa curva, podem ser representados pelas seguintes expans˜oes de Puiseux:

(

y1 =xmn₁₁11

y2 =x

m₂₁ n₂₁

onde (mi1, ni1) ´e o ´unico par de Puiseux do ramo fi para i = 1,2. Isto conduz

(18)

Figura 5:

Com as nota¸c˜oes da Se¸c˜ao 1.3,

µφ=m21, νφ=n21 e m21rφ=n21sφ+ 1

µ0 =m11, ν0 =n11 e m11r0 =n11s0+ 1

Portanto, o grupo do link π1(X) ´e gerado por αz, βz com z percorrendo o

conjunto dos vértices V = {φ,0,01,1} da árvore Ξ, satisfazendo às rela¸cões que exibiremos a seguir1_.

Rela¸c˜oes de (φ):

(R1) 1> φ e 1 n˜ao ´e haste ⇒ ανφµφ

1 β1 =α

µφ

φ β νφ

φ

⇒ β1 = α−m21n21

1 αmφ21

(R2) 0> φ e 0 ´e uma haste ⇒ αµφ

0 β

νφ

0 =α

µφ

φ β νφ

φ

⇒ αm21

0 β0n21 = αmφ21

(R4) φ ´e n˜ao terminal com haste 0 ⇒ α1 αsφ

φ β rφ

φ = α sφ

0 β

rφ

0

⇒ α1 = αsφ

0 β

rφ

0 α

−sφ

φ

Rela¸c˜oes de (0):

(R1) 01>0 e 01 n˜ao ´e haste ⇒ αν0µ0

01 β01 =αµ00 β0ν0 ⇒ β01 = α−m11n11

01 αm011 β0n11

1_{Os desenvolvimentos algébricos omitidos encontram-se no apêndice A, segundo as referências}

(19)

(R3) 0 ´e n˜ao terminal sem haste ⇒ (α01 α0s0 β0r0)ν0 = (α

µ0

0 β0ν0)r0 ⇒ (α01αs0

0 β0r0)n11 = (α0m11 β0n11)r0

Rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao:

[αφ, βφ] = 1 ⇔ αφβφ = βφαφ ⇔ αφ = αφ

[α0, β0] = 1 ⇒ [α1, β1] = 1 veja (A.1)

[α1, β1] = 1

[α01, β01] = 1 ⇔ [αm11

0 β0n11, α01 ] = 1 veja (A.2)

Portanto, π1(X) pode ser apresentado com geradores α0, β0, αφ, α01, sujeitos `as

rela¸c˜oes:

(1) [α0, β0] = 1

(2) αm21

0 β

n21

0 = α

m21

φ

(3) (α01αs0

0 β

r0

0 )n11 = (α

m11

0 β

n11

0 )r0

(4) [αm11

0 β

n11

0 , α01] = 1

Como temos interesse em grupos π1(X) que têm uma apresenta¸cão na qual existem mais geradores do que rela¸cões (veja Se¸cão 1.2), fazemos a hipótese restri-tivam11 = λ n11+ 1, para algum λ∈ZZ, o que implica que r0 = 1. Adotaremos como novos geradores:

x1 = α0, x2 = β0,

x3 = α01 αs00 β0r0, x4 = αφ.

Observe que a rela¸cão (4) é equivalente à rela¸cão [αm11

0 β0n11, x3] = 1, e que

esta é trivializada devido à rela¸cão (3). Isto conduz à nova apresenta¸cão:

π1(X) = {x1, x2, x3, x4; r1, r2, r3 }, onde

r1 = x1 x2 x−₁1 x−₂1 r2 = xm111 xn211 x−3n11 r3 = xm21

1 xn221 x−4m21

(20)

pela fibra¸c˜ao de Milnor. Como ainda n˜ao sabemos a priori os valores de Φ (xi),

temporariamente escrevemos:

Φ : ZZ [π1(X) ] −→ ZZ [t, t−1]



  

  

x1 7→ ta

x2 7→ tb

x3 7→ tc

x4 7→ td

Note que as rela¸c˜oes ri, parai= 2,3, fornecem rela¸c˜oes entre a, b, c, d, a saber:

(∗)

n11 c = m11 a + n11b m21d = m21a + n21 b

Para determinar a matriz de Alexander, faremos o seguinte c´alculo de Φ

∂ri

∂xj

.

Comor1 =x1 x2 x−₁1x−₂1, temos que

∂r1

∂x1 = 1−x1x2x

−1

1 ⇒ Φ

∂r1 ∂x1

= 1−Φ (x2) = 1−tb.

∂r1

∂x2 =x1−x1.x2x

−1

1 x−21 ⇒ Φ

∂r1 ∂x2

= Φ (x1)−1 =ta−1

∂r1

∂x3 = 0 ⇒ Φ

∂r1 ∂x3

= 0

∂r1

∂x4 = 0 ⇒ Φ

∂r1 ∂x4

= 0

Comor2 =xm11

1 xn211 x−3n11, temos que ∂r2

∂x1 = xm11

1 −1

x1 −1 ⇒ Φ

∂r2 ∂x1

= t

m11a₋₁

ta ₋₁.

∂r2 ∂x2 = x

m11

1

xn11

2 −1

x2 −1 ⇒ Φ

∂r2 ∂x2

= tm11a t

n11b₋₁

tb ₋₁

∂r2

∂x3 = − xn11

3 −1

x3 −1 ⇒ Φ

∂r2 ∂x3

= − t

n11c ₋₁

tc ₋₁

∂r2

∂x4 = 0 ⇒ Φ

∂r2 ∂x4

= 0

Comor3 =xm21

1 xn221 x−4m21, temos que ∂r3

∂x1

= x

m21

1 −1 x1 −1

⇒ Φ

∂r3 ∂x1

= t

m21a₋₁

(21)

∂r3 ∂x2 = x

m21

1

xn21

2 −1

x2 −1 ⇒ Φ

∂r3 ∂x2

=tm21a t

n21b₋₁

tb ₋₁

∂r3

∂x3 = 0 ⇒ Φ

∂r3 ∂x3

= 0

∂r3

∂x4 = − xm21

4 −1

x4 −1 ⇒ Φ

∂r3 ∂x4

= − t

m21d₋₁

td ₋₁

Portanto, a matriz de Alexander ´e dada por

Φ

∂r ∂x

=





−(tb₋₁₎ ₍_ta₋₁₎ ₀ ₀ tm₁₁a₋₁

ta ₋₁ tm11a t n₁₁b₋₁

tb ₋₁ −t n₁₁c₋₁

tc ₋₁ 0

tm₂₁a₋₁

ta ₋₁ tm21a t n₂₁b₋₁

tb ₋₁ 0 −t m₂₁d₋₁

td ₋₁



.

Por defini¸cão, o primeiro polinômio de Alexander é dado por

∆1(t) := mdc {det (A1), det (A2), det (A3), det (A4)},

onde Ai ´e a matriz Φ

∂r ∂x

na qual foi retirada a i-´esima coluna. Desse modo,

det (A1) = t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ (t a₋₁₎

det (A2) = − t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ (t b₋₁₎

det (A3) =

tn11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ (t

c₋₁₎ _{veja (A.3)}

det (A4) = −

tn11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ (t

d₋₁₎ _{veja (A.4)}

Logo,

∆1(t) = mdc{(ta−1),(tb−1), (tc−1), (td−1)}

tn11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁.

Por outro lado, da Se¸c˜ao 1.2, sabemos que:

∆1(t) =

tm21(n11+n21)₋₁

t(n11+n21) −1

tn11(m11+m21)₋₁

t(m11+m21) −1 (t−1).

Igualando entre si essas duas express˜oes de ∆1(t), e colocando

(tr₋_{1) = mdc} _{_(ta ₋₁₎_,_(tb₋₁₎_,_(tc₋₁₎_,_(td₋₁₎_},

segue que

(tr−1) t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ = (t−1)

tn11(m11+m21)₋₁

t(m11+m21) −1

tm21(n11+n21)₋₁

(22)

Portanto,

(tr−1) (tn11c₋_{1) (}_tm21d₋_{1) (}_t(m11+m21)₋_{1) (}_t(n11+n21)₋₁₎

= (t−1) (tn11(m11+m21)₋_{1) (}_tm21(n11+n21)₋_{1) (}_tc ₋_{1) (}_td₋₁₎_. ₍_∗∗₎

Identificando os termos de menor grau em t, na igualdade acima, vemos quer = 1. Simplificando (t −1) e notando que a possibilidade d ≥ c gera um absurdo em vista de (∗∗) e (∗), segue que d < c. Analisando os termos de menor grau em t na igualdade resultante, temos que

d=n11+n21.

Em virtude das rela¸c˜oes (∗), concluimos que

c=m11+m21, a=n11 e b =m21.

Por defini¸cão, o segundo polinômio de Alexander é dado por

∆2(t) = mdc







det (A12), det (A13), det (A14), det (A23), det (A24), det (A34),

det (B12), det (B13), det (B14), det (B23), det (B24), det (B34),

det (C12), det (C13), det (C14), det (C23), det (C24), det (C34) 





,

ondeA, B, C s˜ao obtidas de Φ

∂r ∂x

retirando-se a terceira, segunda ou primeira

linhas respectivamente, eAij, Bij eCij denotam as matrizes formadas pelas colunas

ie j de A, B, eC respectivamente. Temos que

A=

−(tb₋₁₎ ₍_ta₋₁₎ ₀ ₀ tm₁₁a₋₁

tb ₋₁ −

tn₁₁c₋₁

tc ₋₁ 0

.

det (A12) = −(tn11c₋₁₎ _{veja (A.3)}

det (A13) =

tn11c ₋₁

tc ₋₁ (t b₋₁₎

det (A14) = 0

det (A23) = −

tn11c ₋₁

tc ₋₁ (t a₋₁₎

det (A24) = 0

det (A34) = 0

Por outro lado,

B =

−(tb₋₁₎ ₍_ta₋₁₎ ₀ ₀ tm₂₁a₋₁

tb ₋₁ 0 −t m₂₁d₋₁

td ₋₁

(23)

det (B12) = −(tm21d−1) veja (A.4)

det (B13) = 0

det (B14) = t

m21d₋₁

td ₋₁ (t b₋₁₎

det (B23) = 0

det (B24) = − t

m21d₋₁

td ₋₁ (t a₋₁₎

det (B34) = 0

Finalmente, temos que

C = "

tm₁₁a₋₁

tb ₋₁ −t n₁₁c₋₁

tc ₋₁ 0

tm₂₁a₋₁

tb ₋₁ 0 −t m₂₁d₋₁

td ₋₁

#

.

det (C12) = t

m21d₋₁

tb ₋₁

tm11a₋₁

ta ₋₁ −

tn11c₋₁

tb ₋₁

tm21a₋₁

ta ₋₁ veja (A.5)

det (C13) = t

m21a₋₁

ta ₋₁

tn11c₋₁

tc ₋₁

det (C14) = − t

m11a₋₁

ta ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

det (C23) = t

n21b₋₁

tb ₋₁

tn11c₋₁

tc ₋₁ t m21a

det (C24) = − t

n11a₋₁

tb ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ (t

m11a₋₁₎

det (C34) = t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

Concluimos ent˜ao que, neste caso,

∆2(t) = mdc{ t

n₁₁c₋₁

tc ₋₁ , t m₂₁d₋₁

td ₋₁ , t m₂₁d₋₁

tb ₋₁ t m₁₁a₋₁

ta ₋₁ − t n₁₁c₋₁

tb ₋₁ t m₂₁a₋₁

ta ₋₁ },

onde a = n11, b = m21, c = m11+m21 e d = n11+n21

(24)

Para a curvaf, temos que

(

y1 = x254 =x

m₁₁ n₁₁

y2 = x45 =x

m₂₁ n₂₁

Denotando por φi o i-ésimo polinômio ciclotômico, temos que

∆1(t) =

tm21(n11+n21)₋₁

t(n11+n21) −1

tn11(m11+m21)₋₁

t(m11+m21) −1 (t−1)

= t

4(4+5)₋₁ t(4+5) ₋₁

t4(25+4)₋₁

t(25+4) ₋₁ (t−1)

= t

36₋₁ t9 ₋₁

t116₋₁

t29 ₋₁ (t−1)

= φ36φ18 φ12 φ6 φ116φ58φ29φ2₄ φ2₂ φ1.

Logo, a monodromia de f é infinita devido à observa¸cão feita na Se¸cão 1.2. Isto também pode ser verificado com o cálculo do polinômio minimal da monodromia que faremos a seguir. Como neste caso,a= 4, b= 4, c= 29, d= 9, temos que

∆2(t) = mdc

tn11c ₋₁

tc ₋₁ ,

tm21d₋₁

td ₋₁ ,

tm21d₋₁

tb ₋₁

tm11a₋₁

ta ₋₁ −

tn11c ₋₁

tb ₋₁

tm21a₋₁

ta ₋₁

= mdc

t116₋₁ t29 ₋₁ ,

t36₋₁ t9 ₋₁ ,

t36₋₁ t4 ₋₁

t100₋₁ t4 ₋₁ −

t116₋₁ t4 ₋₁

t16₋₁ t4 ₋₁

= mdc

φ116 φ58 φ4 φ2, φ36φ18φ12 φ6 φ4 φ2, t 36₋₁ t4 ₋₁

t100₋₁ t4 ₋₁ −

t116₋₁ t4 ₋₁

t16₋₁ t4 ₋₁

= mdc

φ4 φ2,t 36₋₁ t4 ₋₁

t100₋₁ t4 ₋₁ −

t116₋₁ t4 ₋₁

t16₋₁ t4 ₋₁

= 1

Conseq¨uentemente,

λ(t) = ∆1(t) ∆2(t)

= φ116 φ58 φ36φ29φ18φ12 φ6 φ

2 4 φ22 φ1

1

o que nos permite concluir que a monodromia ´e infinita nesta situa¸c˜ao.

Para a curvag, temos que

(

y1 = x254 =x

m₁₁ n₁₁

y2 = x54 =x

(25)

e portanto,

∆1(t) =

tm21(n11+n21)₋₁

t(n11+n21) −1

tn11(m11+m21)₋₁

t(m11+m21) −1 (t−1)

= t

5(4+4)₋₁ t(4+4) ₋₁

t4(25+5)₋₁

t(25+5) ₋₁ (t−1)

= t

40₋₁ t8 ₋₁

t120₋₁

t30 ₋₁ (t−1)

= φ2₄₀φ2₂₀ φ10 φ5 φ120φ60φ12φ8 φ4 φ1.

Como, neste caso,a= 4, b= 5, c= 30, e d = 8, temos que

∆2(t) = mdc

tn11c ₋₁

tc ₋₁ ,

tm21d₋₁

td ₋₁ ,

tm21d₋₁

tb ₋₁

tm11a₋₁

ta ₋₁ −

tn11c ₋₁

tb ₋₁

tm21a₋₁

ta ₋₁

= mdc

t120₋₁ t30 ₋₁ ,

t40₋₁ t8 ₋₁ ,

t40₋₁ t5 ₋₁

t100₋₁ t4 ₋₁ −

t120₋₁ t5 ₋₁

t20₋₁ t4 ₋₁

= mdc

φ40φ20, t 40₋₁ t5 ₋₁

t100₋₁ t4 ₋₁ −

t120₋₁ t5 ₋₁

t20₋₁ t4 ₋₁

=φ40 φ20

Conseq¨uentemente,

λ(t) = ∆1(t) ∆2(t)

= φ

2

40φ220 φ10 φ5 φ120 φ60φ12 φ8 φ4 φ1

φ40φ20 ,

o que nos permite concluir, nesta situa¸c˜ao, que a monodromia ´e finita.

Caso 2: Neste caso, podemos escolher f = f1f2 onde temos as seguinte

repre-senta¸c˜oes por s´eries de Puiseux:

(

y1 = x

m₁₁ n₁₁

y2 = x

m₂₁ n₂₁ ₊_x

m₂₂ n₂₂

(26)

Figura 6:

Com as nota¸c˜oes da Se¸c˜ao 1.3:







µφ=m21, νφ=n21 = 1 e m21rφ=n21sφ+ 1

µ0 =m11, ν0 =n11, e m11r0 =n11s0+ 1

µ1 =m22, ν1 =n22 e m22r1 =n22 s1+ 1

Portanto, o grupo do link π1(X), ´e gerado por αz, βz com z percorrendo o

conjunto dos vérticesV ={φ,0,01,1,11}da árvore Ξ, satisfazendo às rela¸cões que exibiremos a seguir.

Rela¸c˜oes de (φ):

(R1) 1> φ e 1 n˜ao ´e haste ⇒ ανφµφ

1 β1 = α

µφ

φ β νφ

φ

⇒ β1 = α−m21n21

1 α

m21

φ

(R2) 0> φ e 0 ´e uma haste ⇒ αµφ

0 β

νφ

0 = α

µφ

φ β νφ

φ

⇒ β₀1 = α−m21

0 α

m21

φ

(R4) φ ´e n˜ao terminal com haste 0 ⇒ α1 αsφ

φ β rφ

φ = α sφ

0 β

rφ

0

⇒ α1 = αsφ

0 β

rφ

0 α

−sφ

φ

(R1) 01>0 e 01 n˜ao ´e haste ⇒ αν0µ0

01 β01 = α

µ0

0 β0ν0 ⇒ β01 = α−m11n11

01 α

m11

0 β

n11

0

(R3) 0 ´e n˜ao terminal sem haste ⇒ (α01 αs0

0 β0r0)ν0 = (α

µ0

0 β0ν0)r0 ⇒ (α01 αs0

0 β

r0

0 )n11 = (α

m11

0 β

n11

(27)

(R1) 11>1 e 1 n˜ao ´e haste ⇒ αν1µ1

11 β11 = α

µ1

1 β1ν1 ⇒ β11 = α−m22n22

11 αm1 22 β1n22

(R3) 1 ´e n˜ao terminal sem haste ⇒ (α11 αs1

1 β1r1)ν1 = (α

µ1

1 β1ν1)r1 ⇒ (α11 αs1

1 β

r1

1 )n22 = (α

m22

1 β

n22

1 )r1

Rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao:

[αφ, βφ] = 1 ⇔ αφβφ = βφαφ ⇔ αφ = αφ

[α0, β0] = 1 ⇒ [α1, β1] = 1 veja (A.6)

[α1, β1] = 1

[α01, β01] = 1 ⇔ [αm11

0 β0n11, α01 ] = 1 veja (A.7)

[α11, β11] = 1 ⇔ [αm22

1 β

n22

1 , α11 ] = 1 veja (A.8)

Portanto, π1(X) pode ser apresentado com geradores αφ, α0, β0, α1, β1, α01, α11,

sujeitos `as rela¸c˜oes:

(1) β1 = α−m21n21

1 αmφ21

(2) α1 = αsφ

0 β

rφ

0 α

−sφ

φ

(3) [α0, β0] = 1

(4) αm21

0 β0n21 = αmφ21

(5) (α01αs00 β0r0)n11 = (αm0 11 β0n11)r0

(6) [αm11

0 β0n11, α01 ] = 1

(7) (α11αs1

1 β0r1)n22 = (α1m22 β1n22)r1

(8) [αm22

(28)

Para podermos ter mais geradores do que rela¸c˜oes na apresenta¸c˜ao de π1(X),

somos conduzidos a fazer as seguintes restri¸c˜oes sobre os pares de Puiseux dos dois

ramos:

m11 = λ1 n11 + 1 para algum λ1 ∈ZZ

m22 = λ2 n22 + 1 para algum λ2 ∈ZZ

o que implica quer0 =r1 = 1. Adotaremos como novos geradores



  

  

x1 = α0, x2 = β0,

x3 = α01αs00 β0r0, x4 = αφ,







x5 = α1, x6 = β1, x7 = α11αs1

1 β1r1.

Observe que a rela¸cão (6) é equivalente à rela¸cão [αm11

0 β0n11, x3] = 1 e que

esta é trivializada devido a (5). Observe também que a rela¸cão (8) é equivalente à rela¸cão [αm22

1 β1n22, x7] = 1, e que esta ´e trivializada devido a (7). Ficamos assim

com as seguintes rela¸c˜oes:

(1) x6 = x−m21n21

5 xm4 21

(2) x5 = xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4

(3) [x1, x2] = 1

(4) xm21

1 xn221 = xm421

(5) xn11

3 = xm1 11 xn211

(6) xn22

7 = xm5 22 xn622

Podemos eliminar os geradores x5 ex6 e as rela¸cões (1) e (2), adaptando conveni-entemente a rela¸cão (6). Ficamos assim com os 5 geradores{x1, x2, x3, x4, x7}e as 4 rela¸cões a seguir:

(1) [x1, x2] = 1

(2) xm21

1 xn221 = xm421

(3) xn11

3 = xm1 11 xn211

(4) xn22

7 = (x

sφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22 [ (x

sφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

(29)

Logo, renomeandox7 por x5, podemos escrever:

π1(X) = {x1, x2, x3, x4, x5; r1, r2, r3, r4 }, onde

r1 = x1 x2 x−₁1 x−₂1 r2 = xm11

1 xn211 x−3n11 r3 = xm21

1 xn221 x−4m21 r4 = (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22[ (x

sφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21x4m21 ]n22 x−5n22

Para determinar a matriz de Alexander associada a esta apresenta¸c˜ao, devemos determinar Φ (xi) ∈ ZZ [t, t−1] para i = 1,2,3,4,5. Como ainda n˜ao sabemos a

priori os valores de Φ (xi), temporariamente escrevemos

Φ : ZZ [π1(X) ] −→ ZZ [t, t−1] 

    

    

x1 7−→ ta

x2 7−→ tb

x3 7−→ tc

x4 7−→ td

x5 7−→ te

Note que a rela¸c˜oes ri, para i= 2,3,4, fornecem rela¸c˜oes entre a,b,c,d,e; a saber,

(∗) 





n11 c = m11a + n11b m21d = m21 a + n21 b

n22 e = (sφa+rφb−sφd)m22+ [(sφa+rφb−sφd)(−m21n21) +m21d]n22

Faremos a seguir o c´alculo de Φ

∂ri

∂xj

.

Comor1 =x1 x2 x−₁1x−₂1, temos que

∂r1

∂x1 = 1−x1x2x

−1

1 ⇒ Φ

∂r1 ∂x1

= 1−Φ (x2) = 1−tb.

∂r1

∂x2 =x1−x1x2x

−1

1 x−21 ⇒ Φ

∂r1 ∂x2

= Φ (x1)−1 =ta−1

∂r1

∂x3 = 0 ⇒ Φ

∂r1 ∂x3

= 0

∂r1

∂x4 = 0 ⇒ Φ

∂r1 ∂x4

= 0

Comor2 =xm11

1 xn211 x−3n11, temos que ∂r2

∂x1 = xm11

1 −1

x1 −1 ⇒ Φ

∂r2 ∂x1

= t

m11a₋₁

(30)

∂r2 ∂x2 = x

m11

1

xn11

2 −1

x2 −1 ⇒ Φ

∂r2 ∂x2

= tm11a t

n11b₋₁

tb ₋₁

∂r2

∂x3 = − xn11

3 −1

x3 −1 ⇒ Φ

∂r2 ∂x3

= − t

n11c ₋₁

tc ₋₁

∂r2 ∂x4

= 0 ⇒ Φ

∂r2 ∂x4

= 0

Comor3 =xm121 x2n21 x−4m21, temos que ∂r3

∂x1 = xm21

1 −1

x1 −1 ⇒ Φ

∂r3 ∂x1

= t

m21a₋₁

ta ₋₁

∂r3 ∂x2

= xm21

1

xn21

2 −1 x2 −1

⇒ Φ

∂r3 ∂x2

=tm21a t

n21b₋₁

tb ₋₁

∂r3

∂x3 = 0 ⇒ Φ

∂r3 ∂x3 = 0 ∂r3

∂x4 = − xm21

4 −1

x4 −1 ⇒ Φ

∂r3 ∂x4

= − t

m21d₋₁

td ₋₁

Comor4 = (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22 [ (x

sφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21 x4m21 ]n22 x−5n22, temos que ∂r4

∂x1

= x

sφ

1 −1 x1 −1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22 −1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 ) −1

veja (A.9)

− (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22

[ (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21 xm421 ]n22−1

[ (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21 x

m21

4 ] −1 xsφ

1 −1 x1 −1 (x

sφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m21n21−1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 ) −1

⇒ Φ ∂r4 ∂x1 = t

sφa−1

ta ₋₁

t(sφa+rφb−sφd)m22₋₁

t(sφa+rφb−sφd) −1

− t(sφa+rφb−sφd)m22 t

[(sφa+rφb−sφd)(−m21n21)+m21d]n22₋₁

t[(sφa+rφb−sφd)(−m21n21)+m21d] −1

tsφa−1

ta ₋₁ t

(sφa+rφb−sφd)(−m21n21) t

(sφa+rφb−sφd)(m21n21)₋₁

∂r4 ∂x2

= xsφ

1 xrφ

2 −1 x2 −1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22 −1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 ) −1

veja (A.10)

− (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22

[ (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21xm421 ]n22−1

[ (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21xm4 21 ] −1 xsφ

1 xrφ

2 −1 x2 −1 (x

sφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m21n21−1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

(31)

⇒ Φ

∂r4 ∂x2

= tsφa t

rφb−1

tb ₋₁

t(sφa+rφb−sφd)m22 ₋₁

− t(sφa+rφb−sφd)m22 t

t[(sφa+rφb−sφd)(−m21n21)+m21d] ₋₁

tsφa t

rφb−1

tb ₋₁ t

∂r4

∂x3 = 0 ⇒ Φ

∂r4 ∂x3 = 0 ∂r4

∂x4 = − (x

sφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 ) xsφ

4 −1 x4 −1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22−1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 ) −1

veja (A.11)

+ (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22

[(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21xm421 ]n22 −1

[ (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21x

m21

4 ] −1 xsφ

4 −1 x4 −1 (x

sφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−(m21n21−1)

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m21n21−1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 ) −1

+ (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )m22

[(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21xm421 ]n22 −1

[ (xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21x

m21

4 ] −1

(xsφ

1 x

rφ

2 x

−sφ

4 )−m21n21 xm21

4 −1 x4 −1

⇒ Φ

∂r4 ∂x4

= − t(sφa+rφb−sφd) t

sφd−1

td ₋₁

t(sφa+rφb−sφd)m22 ₋₁

+ t(sφa+rφb−sφd)m22 t

[(sφa+rφb−sφd)(−m21n21)+m21d]n22 ₋₁

t[(sφa+rφb−sφd)(−m21n21)+m21d] −1

tsφd−1

td ₋₁ t

(sφa+rφb−sφd)(−(m21n21−1)) t

+ t(sφa+rφb−sφd)m22 t

t[(sφa+rφb−sφd)(−m21n21)+m21d] −1 t

m21d₋₁

td ₋₁

∂r4

∂x5 = − xn22

5 −1

x5 −1 veja (A.12)

⇒ Φ

∂r4 ∂x5

= − t

n22e₋₁

te ₋₁

Portanto, a matriz de Alexander ´e dada por

Φ ∂r ∂x =     

−(tb₋₁₎ ₍_ta₋₁₎ ₀ ₀ ₀ tm₁₁a₋₁

tb ₋₁ −t n₁₁c₋₁

tc ₋₁ 0 0

tm₂₁a₋₁

tb ₋₁ 0 −

tm₂₁d₋₁

td ₋₁ 0

Φ(∂r4

∂x1) Φ(

∂r4

∂x2) 0 Φ(

∂r4

∂x4) −

tn₂₂e₋₁

te ₋₁

     .

Por defini¸cão, o primeiro polinômio de Alexander é dado por

(32)

onde Ai ´e a matriz Φ

∂r ∂x

na qual foi retirada a i-´esima coluna. Deste modo,

det (A1) = − t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ (t a₋₁₎

det (A2) = t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ (t b₋₁₎

det (A3) = − t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ (t

c₋₁₎ _{veja (A.3)}

det (A4) = t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ (t

d₋₁₎ _{veja (A.4)}

det (A5) = − t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ (t

e₋₁₎ _{veja (A.13)}

Logo,

∆1(t) =

tn11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ mdc{(t

a₋₁₎_,₍_tb₋₁₎_,₍_tc₋₁₎_,₍_td₋₁₎_,₍_te₋₁₎_}.

Por outro lado, como a curva ´e dada por

(

y1 = x

m₁₁ n₁₁

y2 = xm121 +x

m₂₂ n₂₂_,

segue da Se¸c˜ao 1.2, comi= 0, s1 = 1, s2 = 2 e n21= 1, que

∆1(t) = (t−1)

tw21e01 ₋₁

te01 −1

tn11e11₋₁

te11 −1

tn22e22₋₁

te22 −1.

onde



    

    

w21 = m21

w22 = m22−m21n22+m21n21n22 = m22

e01 = b1,1,1+b2,1,2 = (Qj1=1n1,j) + (Q2j=1n2,j) = n11 + n21n22

e11 = w2,1.b2,2,2.b1,1,0+w1,1.b1,2,1 =m21.n22.1 +m11.1 = m11 + m21n22 e22 = w2,1.b1,1,1.b2,2,1+w22.b2,3,2 =m21.n11.1 +w22.1 = m22 + m21 n11

Igualando entre si essas duas express˜oes de ∆1(t), e colocando

(tr−1) = mdc{(ta−1),(tb−1), tc−1),(td−1),(te−1)},

temos que

(tr−1) t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ = (t−1)

tn11.e11 ₋₁

te11 −1

tm21e01₋₁

te01 −1

tn22.e22₋₁

(33)

Portanto,

(tr₋_{1) (}_tn11c₋_{1) (}_tm21d₋_{1) (}_tn22e₋_{1) (}_te11 ₋_{1) (}_te01 ₋_{1) (}_te22 ₋₁₎

= (t−1) (tn11e11₋_{1) (}_tm21e01₋_{1) (}_tn22e22₋_{1) (}_tc₋_{1) (}_td₋_{1) (}_te₋₁₎_. ₍_∗∗₎

Identificando os termos de menor grau em t na igualdade acima, vemos que

r= 1. Simplificando (t−1) e notando que a possibilidade d≥c e d > e gera um absurdo, em vista de (∗∗) e (∗), temos que d < c e d < e. Analisando os termos de menor grau em t, na igualdade resultante, temos que,







d = e01 = n11 + n21 n22 c = e11 = m11 + m21 n22 e = e22 = m22 + m21n11

Em vista das rela¸c˜oes (∗), concluimos que:

a = n11 e b = m21n22

Por defini¸cão, o segundo polinômio de Alexander é dado por

∆2(t) = mdc



          

          

det (A123), det (A124), det (A125), det (A134), det (A135),

det (A145), det (A234), det (A235), det (A245), det (A345),

det (B123), det (B124), det(B125), det (B134), det (B135),

det (B145), det (B234), det(B235), det (B245), det (B345),

det (C123), det (C124), det (C125), det (C134), det (C135),

det (C145), det (C234), det (C235), det (C245), det (C345),

det (D123), det (D124), det (D125), det (D134), det (D135),

det (D145), det (D234), det (D235), det (D245), det (D345) 

          

          

ondeA, B, C, D s˜ao obtidas de Φ

∂r ∂x

retirando-se a quarta, segunda, terceira

e primeira linhas respectivamente, e Aijk, Bijk, Cijk e Dijk denotam as matrizes

formadas pelas colunasi, j, k deA, B, C e D respectivamente. Temos que

A= 

  

−(tb ₋₁₎ ₍_ta₋₁₎ ₀ ₀ ₀ tm₁₁a₋₁

tb ₋₁ −t n₁₁c₋₁

tc ₋₁ 0 0

tm₂₁a₋₁

tb ₋₁ 0 −t m₂₁d₋₁

td ₋₁ 0



  

.

det (A123) = − t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ (t

d₋₁₎ _{veja (A.4)}

det (A124) = t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ (t

(34)

det (A125) = 0

det (A134) = − t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ (t b₋₁₎

det (A135) = 0

det (A145) = 0

det (A234) = − t

n11c₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁ (t a₋₁₎

det (A235) = 0

det (A245) = 0

det (A345) = 0

Por outro lado, temos que,

B = 

 

−(tb₋₁₎ ₍_ta₋₁₎ ₀ ₀ ₀

(tm₂₁a₋₁₎

(ta ₋₁₎ tm21a

(tn₂₁b₋₁₎

(tb ₋₁₎ 0 −

(tm₂₁d₋₁₎

(td ₋₁₎ 0

Φ (∂r4

∂x1) Φ (

∂r4

∂x2) 0 Φ (

∂r4

∂x4) −

tn₂₂e₋₁

te ₋₁



 .

det (B123) = 0

det (B124) = − t

m21d₋₁

td ₋₁ (t

n22e₋₁₎ _{veja (A.4)}

det (B125) = t

n22e₋₁

te ₋₁ (t

m21d₋₁₎ _{veja (A.4)}

det (B134) = 0

det (B135) = 0

det (B145) = −

tm21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ (t b₋₁₎

det (B234) = 0

det (B235) = 0

det (B245) = t

m21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ (t a₋₁₎

det (B345) = 0

Tamb´em, temos que,

C = 



−(tb₋₁₎ ₍_ta₋₁₎ ₀ ₀ ₀ tm₁₁a₋₁

tb ₋₁ −t n₁₁c₋₁

tc ₋₁ 0 0

Φ (∂r4

∂x1) Φ (

∂r4

∂x2) 0 Φ (

∂r4

∂x4) −

tn₂₂e₋₁

te ₋₁



(35)

det (C123) = − t

n11c ₋₁

tc ₋₁

(ta−1) Φ

∂r4 ∂x2

+ (tb−1) Φ

∂r4 ∂x1

det (C124) = − Φ

∂r4 ∂x1

(tn11c₋₁₎ _{veja (A.3)}

det (C125) = t

n22e₋₁

te ₋₁ (t

n11c₋₁₎ _{veja (A.3)}

det (C134) = t

n11c ₋₁

tc ₋₁ Φ

∂r4 ∂x4

(tb−1)

det (C135) = − t

n11c ₋₁

tc ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ (t b₋₁₎

det (C145) = 0

det (C234) = − t

n11c ₋₁

tc ₋₁ Φ

∂r4 ∂x4

(ta−1)

det (C235) = t

n11c ₋₁

tc ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁ (t a₋₁₎

det (C245) = 0

det (C345) = 0

Finalmente, temos que,

D = 

 

tm₁₁a₋₁

tb ₋₁ −t n₁₁c₋₁

tc ₋₁ 0 0

tm₂₁a₋₁

tb ₋₁ 0 −t m₂₁d₋₁

td ₋₁ 0

Φ (∂r4

∂x1) Φ (

∂r4

∂x2) 0 Φ (

∂r4

∂x4) −

tn₂₂e₋₁

te ₋₁



 .

det (D123) = − t

n11c ₋₁

tc ₋₁

tm21a₋₁

ta ₋₁ Φ

∂r4 ∂x2

+ tm21a t

n21b₋₁

tb ₋₁ Φ

∂r4 ∂x1

det (D124) = t

m21d₋₁

ta ₋₁

tm11a₋₁

ta ₋₁ Φ

∂r4 ∂x2

− tm11a t

n11b₋₁

tb ₋₁ Φ

∂r4 ∂x2 + Φ ∂r4 ∂x4

tm11a₋₁

ta ₋₁ t m21a t

n21b₋₁

tb ₋₁ −

tm21a₋₁

ta ₋₁ t m11a t

n11b₋₁

tb ₋₁

det (D125) = − t

n22e₋₁

te ₋₁

tm11a₋₁

ta ₋₁ t m21a t

n21b₋₁

tb ₋₁ −

tm21a₋₁

ta ₋₁ t m11a t

n11b₋₁

tb ₋₁

det (D134) = − t

n11c ₋₁

tc ₋₁

tm21a₋₁

ta ₋₁ Φ

∂r4 ∂x4

+ t

m21d₋₁

td ₋₁ Φ

∂r4 ∂x1

det (D135) = − t

n11c ₋₁

tc ₋₁

tm21a₋₁

ta ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁

det (D145) = t

m21d₋₁

td ₋₁

tm11a₋₁

ta ₋₁

tn22e₋₁

(36)

det (D234) = −

tn11c ₋₁

tc ₋₁

tm21a t

n21b₋₁

tb ₋₁ Φ

∂r4 ∂x4

+ t

m21d₋₁

td ₋₁ Φ

∂r4 ∂x2

det (D235) = − t

n11c ₋₁

tc ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁

tn21b₋₁

tb ₋₁ t m21a

det (D245) = t

n11c ₋₁

tc ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁

tn21b₋₁

tb ₋₁ t m21a

det (D345) = − t

n11c ₋₁

tc ₋₁

tm21d₋₁

td ₋₁

tn22e₋₁

te ₋₁

Concluimos ent˜ao que,

∆2(t) = mdc{25 determinantes n˜ao nulos acima }

Exemplo 2 Seja f =f1f2 na qual

(

y1 = x163 =x

m₁₁ n₁₁

y2 = x21 +x 16

5 =x

m₂₁ n₂₁ ₊_x

m₂₂ n₂₁n₂₂

segue da Se¸c˜ao 1.2, com i= 0, s1 = 1, s2 = 2 e n21= 1 que



    

    

w21 = m21 = 2

w22 = m22 = 16

e01 = n11 + n21 n22 = 3 + 5 = 8

e11 = m11 + m21 n22 = 16 + 10 = 26

e22 = m22 + m21 n11 = 16 + 6 = 22

Temos que

∆1(t) =

tw21e01 ₋₁

te01 −1

tn11e11₋₁

te11 −1

tn22e22₋₁

te22 −1 (t−1)

= t

16₋₁ t8 ₋₁

t78₋₁ t26₋₁

t110₋₁

t22₋₁ (t−1)

= φ16φ78φ39φ6 φ3 φ110 φ55φ10 φ5 φ1.

(37)

2.2 Ramos com pares de Puiseux iguais

Caso 1: Neste caso, podemos escolher f = f1 f2 = (xm ₋_yn_{) (}_xn ₋_ym_{), com}

as seguintes representa¸c˜oes por s´eries de Puiseux

(

y1 = x

m₁₁ n₁₁ =xm_n

y2 = x

m₂₁ n₂₁ ₌_x_mn

onde (mi1, ni1) ´e o par de Puiseux do ramofi parai= 1,2. Vemos que este caso, ´e

um caso particular, da apresenta¸c˜ao que fizemos para ramos com pares de Puiseux distintos. Neste caso,

∆1(t) =

tm21(n11+n21)₋₁

t(n11+n21) −1

tn11(m11+m21)₋₁

t(m11+m21) −1 (t−1)

= t

n(n+m)₋₁ t(n+m) ₋₁

tn(m+n)₋₁

t(m+n) ₋₁ (t−1)

=

tn(n+m)₋₁ t(n+m) ₋₁

2

(t−1)

Por outro lado,

∆2(t) = mdc

tn11c₋₁

tc ₋₁ ,

tm21d₋₁

td ₋₁ ,

tm21d₋₁

tb ₋₁

tm11a₋₁

ta ₋₁ −

tn11c₋₁

tb ₋₁

tm21a₋₁

ta ₋₁

onde

a = n11 = n c = m11 + m21 = n + m

b = m21 = n d = n11 + n21 = n + m

Substituindo os valores acima na express˜ao de ∆2(t), obtemos

∆2(t) = mdc

tn(n+m)₋₁ t(n+m) ₋₁ ,

tn(n+m)₋₁ tn ₋₁

tmn₋₁

tn ₋₁ −

tnn₋₁

tn ₋₁

Observe que:

tn(n+m)₋₁

t(n+m) ₋₁ =

tn(n+m)₋₁ t(n+m) ₋₁

t −1

tn₋₁

t −1

tn(n+m)₋₁ t(n+m) ₋₁

tmn₋₁

tn ₋₁ =

tn(n+m)₋₁ t(n+m) ₋₁

t −1

tn₋₁

tmn₋₁

tn ₋₁ (t

m+n₋₁₎

tnn₋₁

tn ₋₁ =

tn(n+m)₋₁ t(n+m) ₋₁

t −1

tn₋₁

tnn₋₁

tn ₋₁ (t

m+n₋₁₎