UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA DEPARTAMENTO DE FÍSICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

DEPARTAMENTO

DE

FÍSICA

Desenvolvimento de um Algoritmo Numérico

na Técnica do Operador Diferencial:

Aplicações em Modelos de Spins

por

Márcio Andrei Sousa Amazonas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Desenvolvimento de um Algoritmo Numérico na Técnica do Operador Diferencial:

Aplicações em Modelos de Spins

por

Márcio Andrei Sousa Amazonas

Tese apresentada ao Departamento de Física da Universidade Federal de São Carlos, como parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de Doutor em Física.

Orientador:

Prof. Dr. José Ricardo de Sousa

Coorientador:

Prof. Dr. José Roberto Viana Azevedo

Apoio financeiro: FAPEAM-AM-Brasil

AGRADECIMENTOS

A Deus, pelo merecimento de viver.

A meus pais, pela educação exemplar e dedicação.

A minha esposa e filhos, Cláudia, Luana e Geovane pelo amor, carinho e apoio nos momentos difíceis.

A José Ricardo de Sousa, pela orientação recebida e importantes sugestões em todas os momentos deste trabalho.

A José Roberto Viana, pelo trabalho de coorientação de importância fundamental para a conclusão desta tese.

A Denilson Borges pelo importante trabalho de estruturação do laboratório de Física Computacional.

Ao grupo de amigos: João Neto, Rita de Cássia e Elie Badr que de alguma forma contribuíram neste trabalho.

Em memória ao Professor Abraham Moysés Cohen pelo pioneirismo em implantar o PPGF na UFAM.

À Coordenação do PPGF-UFSCar pelo convênio de longa data UFAM-UFSCar.

RESUMO

Apresentamos nesta tese os resultados obtidos para os modelos de Ising e Heisenberg de spin 1/2, nos casos bi e tridimensional, com desordem ou frustração. Aplicamos a teoria de campo efetivo associada à Técnica do Operador Diferencial - TOD. Uma nova formulação desta técnica permitiu o desenvolvimento de um algoritmo onde os coeficientes são agora construídos de forma totalmente automática. Isso possibilitou crescermos o número N de spins do

aglomerado e assim observar o comportamento do sistema quando tende para o caso real (N→∞), tendo como limite o tempo computacional necessário para efetivar todas as operações.

Aplicamos esta metodologia no estudo do modelo de Ising com campo aleatório - RFIM,

onde utilizamos três distribuições de probabilidade para o campo: bimodal, gaussiana e gaussiana duplo-pico. Os diagramas de fase no plano t - h foram obtidos para os casos

Ferromagnético-F e Antiferromagnético-AF com auxílio do procedimento da construção de Maxwell (igualdade das energias livres na linha de transição de fase), identificando o ponto tricrítico - PTC em cada caso. Apresentamos duas propostas para obtenção da energia livre, sendo que em uma delas foi possível o estudo do comportamento das propriedades termodinâmicas nas regiões de 1ª e 2ª ordem.

Para uma segunda aplicação dessa implementação numérica, utilizamos o modelo de Heisenberg quântico de spin 1/2 anisotrópico (com parâmetro de anisotropia Δ), que recai nos casos particulares importantes que são: Ising unidimensional (Δ=1) e Heisenberg isotrópico (Δ=0), sendo aplicado no estudo de filmes finos magnéticos formados por monocamadas onde a presença de superfícies livres altera consideravelmente o comportamento do sistema. Simulamos nesse caso, a frustração dos spins considerando interações entre primeiros (J₁) e

segundos (J₂) vizinhos com interações F e AF respectivamente, estando relacionados através do

parâmetro α=J₁/J₂. Estudamos a influência do aumento da dimensionalidade do sistema, feito

através do acréscimo no número de camadas (L) do filme, no comportamento do diagrama de

fases t - α.

ABSTRACT

In this work, we present the results obtained for Ising models and Heisenberg spin 1/2, where two and three-dimensional, with disorder or frustration. We apply effective field theory associated with the Operator Differential Technique - TOD. A new formulation of this technique has enabled the development of a numerical implementation where the coefficients are now constructed fully automatically. This allowed growing up the number N of spins of the

cluster and thus observe the behavior of the system when it tends to the real case (N→∞), which is bounded by the computational time needed to carry out all operations.

We apply this methodology to study the Ising model with random field - RFIM, where we use

three probability distributions for the field: bimodal, gaussian and gaussian double-peaked. The phase-diagrams were obtained in t - h plane for the cases Ferromagnetic-F and

Antiferromagnetic-AF with the aid of Maxwell's construction procedure (equality of the free energies at line phase transition) identifying the tricritical point - PTC in each case. We present two proposals for obtaining the free energy, and in one of them it was possible to study the behavior of the thermodynamic properties in the regions of 1st _{and 2}nd _order.

For a second application of numerical implementation, we use the quantum model of anisotropic Heisenberg spin (1/2) (with anisotropy parameter Δ), which lies in the particular cases that are important: one-dimensional Ising (Δ=1) and isotropic Heisenberg (Δ=0), being applied in the study of magnetic thin films formed by monolayers where the presence of free surfaces substantially alters the system behavior. We simulate this case, the spin frustration of considering interactions between the first (J₁₎ and second (J₂₎ interactions with neighboring F

and AF respectively, being related by the parameter α=J₁/J₂. We studied the influence of

increasing the dimensionality of the system, made by increasing the number of layers (L) of the

film, the behavior of the phase diagram α - t.

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INÍCIO

Construção do coeficientec(p,q,i).

Definição da Função Geradora

F(x₁,x₂)para a magnetização e G(x₁,x₂) para Energia Livre.

Construção dos coeficientesAi.

Equação de Estado e Energia Livre. Entrada do valor do número

total de coordenaçãon.

Entrada do valor do número de coordenaçãonipara cada sítio

do aglomerado.

Variando o índicepide cada somatório. Se pi <= ni

faça:

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c

N

(a)

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 3,95

3,96 3,97 3,98 3,99 4,00 4,01 4,02 4,03

(b)

t

c (Ν → ∞)= 4.027

t

c

N-2

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