Números Complexos e Equações Diferenciais

(1)

2019 1^a Edição

C ^álCulo A ^vAnçAdo : n ^úmeros C ^omplexos ^e e ^quAções d iferenCiAis

Prof^a. Jaqueline Luiza Horbach Prof. Luiz Carlos Pitzer

(2)

Elaboração:

Profa. Dra. Jaqueline Luiza Horbach Prof. Me. Luiz Carlos Pitzer

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial.

Impresso por:

H811c

Horbach, Jaqueline Luiza

Cálculo avançado: números complexos e equações diferenciais. / Jaqueline Luiza Horbach; Luiz Carlos Pitzer. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.

217 p.; il.

ISBN 978-85-515-0294-5

1. Cálculo avançado. – Brasil. 2. Números complexos. – Brasil. 3. Equações diferenciais. – Brasil. I. Pitzer, Luiz Carlos II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.

CDD 515

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A presentAção

Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Cálculo Avançado:

Números Complexos e Equações Diferenciais. Neste livro iremos estender os assuntos que você já estudou nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e Equações Diferenciais. Este campo do conhecimento tem aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento como em mecânica dos fluidos, eletrostática, entre outras. Você deve se sentir curioso e instigado a pesquisar outros materiais para relembrar e completar seu aprendizado.

Este material está dividido em três unidades, que abordam situações envolvendo funções complexas e equações diferenciais. Na primeira unidade apresentaremos os conceitos introdutórios de funções complexas, iremos relembrar a definição de um número complexo e estudar as principais funções complexas e então desenvolveremos os conceitos de limites e continuidade de funções de uma varável complexa.

Na Unidade 2 iremos continuar o estudo das funções complexas, entendendo o conceito de derivada e integral de funções complexas e com o auxílio desses conceitos definir funções analíticas, funções que possuem características e propriedades muito interessantes.

Já na sequência, Unidade 3, iremos apresentar três métodos de resolução para equações diferenciais.

Sabemos, acadêmico, que a disciplina de final de curso e você já deve saber que existem fatores importantes para o seu bom desempenho, mas sempre é bom relembrar alguns deles, como a disciplina, organização e um horário de estudos pré-definido, que são imprescindíveis para que você obtenha sucesso. Em sua caminhada acadêmica, você é quem faz a diferença.

Como todo texto matemático, por vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora, muita concentração e dedicação. Aproveitando esta motivação vamos iniciar a leitura do livro. A melhoria constante deve ser o objetivo de todo acadêmico.

Esperamos, que ao final do estudo, você consiga notar a evolução do seu entendimento matemático, e consiga aplicar os conhecimentos na sua área de atuação. Desta forma, a disciplina pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para os conhecimentos subsequentes.

Bons estudos!

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Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador.

Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE.

Bons estudos!

NOTA

UNI

Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!

(5)

(6)

(7)

UNIDADE 1 – FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS ... 1

TÓPICO 1 – NÚMEROS COMPLEXOS ... 3

1 INTRODUÇÃO ... 3

2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ... 3

3 A UNIDADE IMAGINÁRIA ... 6

4 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ... 8

5 OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA ... 9

6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ... 12

7 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS ... 15

8 OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ... 17

RESUMO DO TÓPICO 1... 24

AUTOATIVIDADE ... 26

TÓPICO 2 – FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS ... 27

2 FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS ... 27

3 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E TRIGONOMÉTRICAS ... 32

3.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL ... 33

3.2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ... 36

4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS ... 38

TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS ... 49

2 LIMITE DE FUNÇÕES COMPLEXAS ... 49

3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS ... 53

LEITURA COMPLEMENTAR ... 55

UNIDADE 2 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ... 69

TÓPICO 1 – DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPLEXAS ... 71

2 DERIVADA DE FUNÇÕES COMPLEXAS ... 71

3 EQUAÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN ... 77

4 FUNÇÕES ANALÍTICAS ... 83

s ^umário

(8)

TÓPICO 2 – INTEGRAL DE FUNÇÕES ANALÍTICAS . ...91

1 INTRODUÇÃO ...91

2 PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS NO PLANO REAL ...91

3 CURVAS NO PLANO COMPLEXO ...95

4 INTEGRAÇÃO ...103

4.1 INTEGRAL DEFINIDA ...103

4.2 INTEGRAL DE CAMINHO ...105

5 TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT ...112

RESUMO DO TÓPICO 2...114

AUTOATIVIDADE ...116

TÓPICO 3 – FUNÇÕES HARMÔNICAS ...119

2 FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY ...119

3 FUNÇÕES HARMÔNICAS ...122

LEITURA COMPLEMENTAR ...128

UNIDADE 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...139

TÓPICO 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – RESOLUÇÕES ...141

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...142

3 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...144

4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ...147

5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM ...150

TÓPICO 2 – SÉRIE DE POTÊNCIA ...155

2 SÉRIE DE POTÊNCIA ...155

3 SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN ...161

TÓPICO 3 – SÉRIE DE FOURIER...171

2 SÉRIE DE FOURIER ...171

TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE ...193

2 TRANSFORMADA DE LAPLACE ...193

LEITURA COMPLEMENTAR ...203

REFERÊNCIAS ...217

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UNIDADE 1

FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:

• definir números complexos;

• definir funções de variáveis complexas;

• relacionar números complexos com funções trigonométricas hiperbólicas;

• definir e calcular limite de funções complexas;

• verificar a continuidade de funções complexas.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você encontrará atividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – NÚMEROS COMPLEXOS

TÓPICO 2 – FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS

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TÓPICO 1

UNIDADE 1

NÚMEROS COMPLEXOS

1 INTRODUÇÃO

Neste primeiro momento queremos recordar um assunto comumente estudado no ensino médio e que será importante para o desenvolvimento dos próximos tópicos, o estudo dos números complexos. Mesmo que a existência dos números complexos já tenha sido provada a muito tempo, eles continuam sendo estranhos para nós, já que eles não têm uma relação tão óbvia com o mundo real como os números reais.

Iniciaremos nossos estudos dos números complexos falando da parte histórica do seu surgimento e daremos continuidade com o desenvolvimento algébrico e sua representação gráfica. Veremos que os números complexos surgiram de uma aplicação indireta do nosso dia a dia e iremos perceber que os números complexos têm uma relação muito íntima com o plano cartesiano.

Caro acadêmico! Vamos, então, dar início aos estudos deste material, que trará uma contribuição significativa para você, nos estudos matemáticos.

2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Algumas pessoas acreditam que o surgimento dos números complexos se deu nos estudos das equações algébricas de segundo grau. Todavia, esta afirmação, segundo historiadores, está equivocada. Quando resolvida a equação e não encontrada solução real, simplesmente admitiam que não havia solução, pois sempre buscavam uma solução possível para o problema real.

O surgimento dos números complexos está vinculado à resolução de problemas algébricos de terceiro grau. Tudo começa com um matemático italiano chamado Niccolo Fontana, que também é muito conhecido como Tartaglia.

(12)

UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

FIGURA 1 – MATEMÁTICO ITALIANO NICCOLO FONTANA

FONTE: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Niccol%C3%B2_Tartaglia.jpg>.

Acesso em: 1 out. 2018

A demonstração pode ser vista em:

<https://rrgoncalez.wordpress.com/2012/09/08/deducao-da-formula-de-tartaglia-ferro- cardano/>.

NOTA

Tartaglia desenvolveu um método que resolvia equações do 3º grau do tipo:

x³ + px + q = 0, com p e q números reais.

A fórmula pode ser observada a seguir:

2 3 2 3

3

q q p q q p

x = - + + + - - +

2 4 27 2 4 27

3

(13)

TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS

FIGURA 2 – MATEMÁTICO GIROLAMO CARDANO E SEU LIVRO “ARS MAGNA”

FONTE: <https://en.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano#/media/File:Jer%C3%B4me_Cardan.

jpg> e <https://en.wikipedia.org/wiki/Ars_Magna_(Gerolamo_Cardano)#/media/File:ArsMagna.

jpg>. Acesso em: 1 out. 2018.

O problema é que Cardano não obteve avanço nesse assunto, pois não conseguia dar significado à fórmula quando encontrava uma situação como a da equação a seguir:

x³- 15x -4 = 0.

Pois ao colocar os dados da equação na fórmula, obtinha:

3 3

x = 2+ -121 + 2 - -121.

Isso não fazia sentido, pois mesmo sabendo que 4 era solução, a fórmula se mostrava ineficiente pelas raízes quadradas negativas. Entretanto, Rafael Bombelli, que foi um discípulo de Cardano, conseguiu resolver este problema, resolvendo a equação pelo caminho inverso. Apesar do sucesso de Bombelli, o método inverso não era simples, pois contava com vários artifícios algébricos.

(14)

3 A UNIDADE IMAGINÁRIA

Cerca de 200 anos depois de Bombelli e Cardano, em 1777, o suíço Leonard Euler contribuiu com o tratamento dos números complexos, dando uma decisiva definição. Ele atribuiu a letra i para representar

-

1, que tem por consequência:

i² = - 1.

A esta representação, damos o nome de unidade imaginária.

FIGURA 3 – MATEMÁTICO LEONARDO EULER

FONTE: <https://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/euler.html>. Acesso em: 1 out. 2018.

Como consequência das demais potências da unidade imaginária, podemos perceber que estas são cíclicas. Veja alguns exemplos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

2

i i i

i i.i i i

i i i

i i i i i i i i

i i i i i

1 2 3

4 2 2

5 4

6 4 2

7 6

1 1 1

1

1 1 1 1

=

= -

= = - = -

= = - - =

= = =

= = - = -



.

. .

1 2 3

i

i i

i

i i

0 1

1

=

= -

4 5 6 7

i

i i

i

i i

1 1

=

= -

(15)

Perceba que os valores possuem um ciclo que se repete de 4 em 4. Desta forma, podemos resolver as potências da unidade imaginária com números inteiros, utilizando as propriedades de potenciação para números reais e do fato que i ²= -1 ou de que i ⁴ = 1. Vejamos um exemplo:

Exemplo: qual é o valor de i³⁵⁷.

Resolução: para resolver esse exemplo, vamos apresentar dois métodos.

Método 1: utilizando do fato que i ² = -1. Perceba que 357 pode ser escrito como:

357 = 2 . 178 + 1.

Logo i ³⁵⁷ = i ^2.178+1

= i ^2.178 .i¹

= (i²)¹⁷⁸.i

= (-1)¹⁷⁸.i

= (+1).i

= i.

Perceba que nesta ideia devemos representar a potência como sendo o produto do número dois com o seu consequente, pois, cairemos sempre em uma potência com (-1).

Método 2: utilizando do fato que i⁴ = 1. Perceba que 357 pode ser escrito como:

357 = 4 .89 + 1 Logo

i ³⁵⁷= i^4.89+1

= i ^4.89. i¹

= (i⁴)⁸⁹. i

= 1⁸⁹. i

= i.

De uma forma resumida, basta dividir a potência por 4 e utilizar o resto da divisão para expressar a potência da unidade imaginária, porém vale a observação de que podemos resolver o mesmo problema de outras formas, mas que ambas recaíram em potências com os números 1 ou -1.

Com a definição da unidade imaginária, podemos determinar agora a raiz quadrada de um número negativo, o que até então não fazia sentido. Além disso, qualquer raiz com índice par e radicando negativo possui resolução. Vejamos dois exemplos de resoluções de equações quadráticas, que até os estudos dos números reais, não havia solução.

(16)

x²+ 64 = 0.

x²=- 64.

x = ± √-64.

x = ± √64.(-1).

x = ± √64 . √-1.

x = ± 8i.

Portanto, a solução deste problema é s = {8i, - 8i}.

Exemplo: resolva a equação x²- 6x +10 = 0

Resolução: utilizando da fórmula geral para equações quadráticas, teremos:

( ) ( )

b b ac

x

a x

x x

x i

2

4 2

6 6 4 1 10 2 1

6 36 40 2

6 4

6 42 3 22 - ± -

=

- - ± - -

=

± -

=

= ± -

= ±

. . .

Portanto, a solução deste problema é s = {3 + 2i,3 - 2i}.

4 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Note que, no exemplo anterior, as raízes da equação quadrática apareceram em um formato curioso, composto de uma parte real e outra parte um número também real multiplicando a unidade imaginária. A esta forma de representar números, chamaremos de conjunto dos números complexos e denotaremos por  este conjunto.

Utilizando a letra z para representar um número complexo, denominamos de forma algébrica todo número com a seguinte característica, z = a + bi, em que a, b

∈

_ e i representa a unidade imaginária. O coeficiente a é denominado de parte real e que pode ser denotado por R e (z), enquanto e o coeficiente b é denominado de parte imaginária do número complexo e que pode ser denotado por Im(z).

Perceba que como a e b podem assumir qualquer número real, o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais:

 ⊂ .

(17)

O conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

UNI

Veja alguns exemplos na tabela a seguir, de números complexos separados pela parte real e imaginária.

TABELA 1 – EXEMPLO DE NÚMEROS COMPLEXOS COM SUA PARTE REAL E IMAGINÁRIA Número

Complexo Parte Real Parte

Imaginária

z = 2 + 3i 2 3

w = -4 -4 0

m = -5i 0 -5

FONTE: Os autores

Para números cujo valor da parte real for zero, chamaremos de imaginário puro. Para que dois números complexos sejam considerados iguais, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser iguais.

5 OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA

O procedimento para operar com os números complexos na forma algébrica é igual às operações realizadas com números reais, apenas tendo o cuidado das potências da unidade imaginária. No caso da soma (ou subtração) de z = a + bi com w = c + di, o procedimento decorre da seguinte forma:

z + w = (a+c) + (b+d) i

Assim, para realizar a soma de dois números complexos, basta juntar as partes reais e as partes imaginárias. Todas as propriedades podem ser verificadas:

a) Comutatividade z + w = w + z

(18)

b) Associatividade ( z + w) + m = z + (w + m)

c) Existência de elemento neutro z + (0 + 0i) = z

d) Existência do elemento simétrico z + (-z) = (0 + 0i) = 0

A representação -z representa o oposto do número complexo, basta invertermos os seus sinais, da parte real e da parte imaginária.

NOTA

A subtração não precisa ser definida, pois basta realizar o oposto do número complexo para torná-la uma soma. Para a multiplicação, o procedimento acontece de forma análoga ao realizado em binômios multiplicados, onde realizamos a distributividade. Sendo z = a + bi e w = c + di, a multiplicação fica, então, assim definida:

z . w = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi ² Como i² = -1, então:

z . w = (ac - bd) + (ad + bc) i.

Propriedades válidas:

a) Comutatividade

z.w = w.z b) Associatividade

(z . w) . m = z .(w. m) c) Existência de elemento neutro

z . (1 + 0i) = z

(19)

d) Existência de elemento inverso ou inverso multiplicativo

( )

z i

.

1 1 0 1

z = + =

Exemplo: Seja z = 4 - i, w = 2i e m = - 2 - 3i, determine:

a) z + w - m b) w + z . m Resolução a):

z + w - m = 4 - i + 2i - (-2 - 3i) = 4 - i + 2i + 2 + 3i

= 6 + 4i.

Resolução b):

w + z . m = 2i + (4 - i) . (-2 -3i) = 2i - 8 -12i + 2i +3i² = 2i - 8 - 12i + 2i - 3

= -11 -8i.

Para resolver divisões entre números complexos, utilizaremos de uma estratégia algébrica que possui o nome de conjugado. Seja um número complexo z = a + bi, chamaremos e representaremos o conjugado de z por

z a bi = -

.

Exemplo: seja z = 4 - 2i, w = 5i e m = -2, determine o conjugado de cada um:

Resolução:

z = 4 - 2i ⇒

z

= 4 + 2i w = 5i w = -5i m = -2 m = - 2.

⇒

É intuitivo perceber que para determinar o conjugado de um número complexo, basta trocar o sinal da parte imaginária.

Nas operações com conjugados, são válidas as seguintes propriedades:

a)

( )

ⁿ

^{( )}

ⁿ

z w z w

z z

z w z w . = .

= + = +

b)

c)

(20)

e) Se z é real, então

z z =

Como já comentado, o conjugado de um número complexo tem um papel importante para resolver divisões. O fato decorre, pois, sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, obtemos um número real:

( ) ( )

² ²

z . z = a + bi . a - bi = a + b .

Deste modo, para resolver uma divisão que apresente a parte imaginária, basta multiplicar o numerador e denominador da divisão pelo conjugado do denominador.

Exemplo: seja z = 2 - 3i e w = 1 + 2i, determine a divisão de z por w:

Resolução:

z i

w i

i i

i i i

i i

2

2 2

2 3 1 2 2 3 . 1 2

1 2 1 2

2 4 3 6 1 2 4 7

4 7 . 5 5 5

= - +

 -   - 

=   +     -   - - +

= +

= - -

Para a operação de potenciação, poderíamos aplicar na forma de multiplicações sucessivas, porém nem sempre será conveniente, logo, para estes casos não convenientes e para determinação de raízes de números complexos, veremos um método mais eficiente no decorrer deste tópico.

6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

Os números complexos possuem uma representação geométrica semelhante ao plano cartesiano. A diferença é que em vez de termos os eixos ortogonais chamados de abscissa e ordenada, teremos respectivamente, um eixo real e outro imaginário. O nome dado ao plano complexo é Plano de Argand-Gauss.

Todo número complexo na forma z = a + bi, pode se associar a um ponto no Plano de Argand-Gauss pelas coordenadas z = (a,b). A este ponto chamamos de imagem ou afixo de z.

(21)

GRÁFICO 1 – PLANO DE ARGAND-GAUSS

FONTE: Os autores

Como base na representação geométrica, surgem dois importantes conceitos, que são o módulo e o argumento do número complexo. No caso do módulo, este tem uma interpretação bem simples, compreende a distância da origem do Plano de Argand-Gauss até o afixo do número complexo. Normalmente é denotado por

z

ou pela letra grega

ρ

_(rô).

FONTE: Os autores

Para determinar o módulo, basta perceber pela ilustração anterior, que surge um triângulo retângulo. Então, basta utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar uma expressão para o módulo

a b

² ²

. ρ = + b

Re (z) z = (a, b)

a



ρ

lm(z) b

Re (z) a

z = (a, b)

lm(z)

(22)

Exemplo: determine o módulo do número complexo z = 4 - 6i.

Resolução: sendo a = 4 e b = -6

( )

a b

2 2

4 6

16 36 52 2 13 ρ = +

= + -

= +

=

Com uma definição tão elementar quanto a do módulo, o argumento compreende o arco delimitado pelo eixo real positivo ao segmento que une o afixo à origem do plano no sentido anti-horário. Denotaremos o argumento pela letra grega θ (teta).

b

θ

Re (z) z = (a, b)

Im (z)

a



ρ

FONTE: Os autores

Utilizando as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, podemos montar as seguintes expressões:

b a b

sin cos tan

a.

θ θ θ

ρ ρ

= = =

Normalmente, o argumento está representado em radiano ou em graus.

Cabe ao leitor, por assuntos já estudados, ser capaz de operar com as duas unidades angulares.

Exemplo: determine o argumento do número complexo z = - 2 + 2i.

(23)

FONTE: Os autores

Resolução: como a = - 2 e b = 2 é intuitivo perceber que a localização do afixo de z é no 2º quadrante.

θ

Re (z) -2

z = (-2, 2)

Im (z)

ρ 2

Para não precisar determinar o módulo, utilizaremos a razão trigonométrica da tangente.

b a

tan 2 1.

θ = = 2 = - -

Quais são as menores determinações de arcos, cujo valor da tangente corresponde a -1?

Ou é o arco de 135° ou 315°, porém como o afixo apresenta-se no 2º quadrante, podemos concluir que o argumento é:

3 rad

135 .

4 θ = ° = π

7 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Uma forma muito importante para representar os números complexos é a trigonométrica ou polar. Para compreendermos como esta representação está definida, recordaremos alguns pontos considerados no item estudado anteriormente:

(24)

b b

sin θ ρ .sin θ

= ρ ⇒ = a

e

a

cos θ ρ .cos . θ

= ρ ⇒ =

Trocando as duas considerações na forma algébrica, temos:

( )

z a bi

z i

z cis .cos . .sin . cos .sin

. .

ρ θ ρ θ

ρ θ θ

ρ θ

= +

=

Esta representação é o que chamamos de forma trigonométrica ou polar. Nesta representação, as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação ficam mais simples de realizar. Antes de começarmos a mostrar como realizar tais operações, vejamos um exemplo que transforma um número complexo na forma algébrica para a trigonométrica.

Exemplo: determine a forma trigonométrica do número complexo

z = - 1 i 3

^.

Resolução: para determinar a forma trigonométrica, devemos determinar o módulo e o argumento do número complexo. Como a = 1 e

b = - 3

é intuitivo perceber que a localização do afixo de z é no 4º quadrante. Então, utilizaremos a razão trigonométrica da tangente.

b a

tan 3 3.

θ = =-1 = -

Para tangente ser

- 3

no quarto quadrante, o argumento deve ser:

5 rad

300 .

3 θ = ° = π

O módulo terá valor correspondendo a:

( )

a b

2 2

1 3

1 3 2.

ρ= +

= + -

= +

=

(25)

Portanto, a representação trigonométrica será:

z i

z cis

5 5

2. cos .sin

3 3

2. 5 . 3

π π

π

 

=  + 

 

 

=  

 

Em casos em que for necessário realizar o processo contrário (trigonométrico para algébrico), basta determinar os valores de seno e cosseno e realizar a distributiva do módulo.

8 OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Para realizar as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, a forma trigonométrica mostra-se bem útil. A simplicidade se dá nas operações que devem ser feitas, transformando multiplicações em somas, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões, semelhante ao que acontece com as funções logarítmicas.

Utilizaremos, para as considerações a seguir, dois números complexos:

( )

z i

1 1 1 1

2 2 2 2

. cos .sin . cos .sin

ρ θ θ

= +

• Multiplicação:

( ) ( )

( )

z z i i

i i i

i

1 2 1 1 1 2 2 2

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

. . cos .sin . . cos .sin

. . cos .cos cos . .sin .sin .cos .sin .sin . . cos .cos sin .sin . sin .cos cos .sin

. . cos .s

ρ θ θ ρ θ θ

ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ

ρ ρ θ θ

= + +

= + + +

 

=  - + + 

=   + + in ( θ θ

1

+

2

)   .

Podemos generalizar a multiplicação para:

( ) ( )

z

₁

⋅ ⋅ ... z

n

= ρ

₁

⋅ ⋅ ... ρ n .   cos θ

₁

+ + ... θ n i + .sin θ

₁

+ + ... θ n   .

cosseno da soma de dois arcos seno da soma de dois arcos

(26)

• Divisão:

( )

( ) ( )

( )

z i

i i

i

1 1 1

1

2 2 2 2

1 1 2 2

1

2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2

2 2 2

1 2 1

1 2

. cos .sin . cos .sin

cos .sin cos .sin

. .

cos .sin cos .sin

cos .cos .cos .sin .cos .sin .sin

. cos sin

cos .cos .cos .s .

ρ θ θ

θ θ θ θ

ρ

ρ θ θ θ θ

ρ θ θ θ θ θ θ θ

ρ θ θ

θ θ θ

ρ ρ

= +

+

+ -

= + -

- -

= +

= -

( )

( ) ( )

i i

i

2 1 2 2 1 2

2 2 2

2

1 1 2 1 2

2

in . sin .cos .sin .sin

cos sin

. cos .sin .

θ θ θ θ θ

θ θ

ρ θ θ θ θ

ρ

+ -

+

 

=  - + - 

Algumas considerações importantes que podemos perceber sobre as operações na forma trigonométrica é que no caso da multiplicação de números complexos, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos e, de forma análoga, na divisão, dividir os módulos e subtrair os argumentos. Em uma visão geométrica, a multiplicação e divisão podem ser compreendidas como a rotação do número complexo que está sendo operado pelo outro e a ampliação ou a redução do seu módulo (homotetia). Veja, no exemplo a seguir, o vetor z sendo multiplicado pelo vetor w.

cosseno da diferença de dois arcos | seno da diferença de dois arcos

igual a 1

GRÁFICO 5 – REPRESENTAÇÃO DA MULTIPLICAÇÃO DE DOIS NÚMEROS COMPLEXOS

θ w

θ

Re (z) z . w

z

Im (z)

FONTE: Os autores

(27)

Perceba que z rotacionou θ (o argumento de w) e alterou o seu módulo.

DICAS

• Potenciação:

A fórmula que será apresentada é atribuída ao matemático francês Abraham de Moivre (1667-1754), chamada de 1ª Fórmula de Moivre. Utilizando recursivamente da multiplicação:

( ) ( )

z

₁

⋅ ⋅ ... z

n

= ρ

₁

⋅ ⋅ ... ρ n .   cos θ

₁

+ + ... θ n i + .sin θ

₁

+ + ... θ n   .

Caso todos os números complexos sejam os mesmos, teremos:

( ) ( )

z ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ... z ρ ... ρ .   cos θ + + ... θ + i .sin θ + + ... θ  

( ) ( )

n n

z = ρ .   cos . n θ + i .sin . n θ   .

A demonstração pode ser feita utilizando indução matemática.

• Raízes complexas

Antes de determinarmos uma fórmula para as raízes dos números complexos, vamos considerar a seguinte colocação:

“para todo

z ∈

, existe um

w ∈

^{tal que z}ⁿ^{= w com}

n∈

, n > 1”.

Sendo:

( )

z i

w r i

. cos .sin . cos .sin

ρ θ θ

α α

= +

n vezes n vezes n vezes n vezes

(28)

Perceba que zⁿ = w está implicando z= wⁿ .

NOTA

Então:

( ) ( ) ( )

. cos .sin . cos .sin .

n n

z w

n i n r i

ρ θ θ α α

=

 +  = +

 

O que implica:

2 . , 2 . .

n r r r

n k k k

n

ρ ρ

α π

θ α π θ

= ⇒ =

= + ∈ ⇒ = +

Quando atribuímos a expressão

2 .k π

, estamos considerando todos os arcos possíveis.

DICAS

Assim:

2 . 2 .

. cos .sin .

n n

k n

z w z w

k k

z r i

n n

α π α π

= ⇒ =

  +   +  

=    +   

   

 

Perceba que cada z_k proporcionará uma raiz, porém haverá apenas n raízes, como pode ser notado a seguir.

Para k = 0

0

2 .0 2 .0

. cos .sin

z

n

r i

n n

α π α π

  +   +  

=    +   

   

 

(29)

0 ⁿ

. cos .sin .

z r i

n n

α α

     

=    +   

   

 

Para k = 1

1

2 .1 2 .1

. cos .sin

2 2

. cos .sin .

n

z r i

n n

z r i

n n

α π α π

  +   +  

=    +   

   

 

  +   +  

=    +   

   

 

Repetindo o processo n vezes.

Para k = n

n n

z r i

n n

z r i

n n

2 . 2 .

. cos .sin

. cos 2 .sin 2 .

α π α π

  +   +  

=    +   

   

 

     

=   +  +  +  

   

 

Note que em k = n, o argumento é congruente ao k = 0. Portanto, de 0 até n - 1, haverá n raízes. Fica então estabelecido que para um certo

^z ⁼ ^ρ ^{. cos} ( ^θ ⁺ ⁱ ^.sin ^θ )

^,

a ⁿ

z

fica determinado por:

{ }

2 . 2 .

. cos .sin , 0,1,..., 1 .

n n

k

k k

z z i k n

n n

θ π θ π

ρ   +   +  

= =    +    ∈ -

   

 

Esta fórmula é conhecida como a 2ª Fórmula de Moivre.

Exemplo: determine a raiz quarta do número complexo:

z 16. cos i .sin .

3 3

π π

 

=  + 

 

Resolução: utilizando da 2ª Fórmula de Moivre, temos que

{ }

4 4

2 . 2 .

3 3

16. cos k .sin k , 0,1,2,3 .

z z i k

π π π π

     

+ +

     

= =    +    ∈

(30)

Para k = 0

0

2 .0 2 .0

3 3

2. cos .sin

4 4

2 cos .sin .

12 12

z i

π π π π

π π

  +   +  

     

=    +   

         

     

 

     

=    +   

   

 

Para k = 1

1

2 .1 2 .1

3 3

2. cos .sin

4 4

7 7

2 cos .sin

3 3

4 4

7 7

2 cos .sin .

12 12

z i

π π π π

π π

  +   +  

     

=    +   

         

     

 

     

     

=    +   

         

     

 

     

=    +   

   

 

Para k = 2

2

2 .2 2 .2

3 3

2. cos .sin

4 4

13 13

2 cos .sin

3 3

4 4

13 13

2 cos .sin .

12 12

z i

π π π π

π π

     

+ +

     

=    +   

         

     

 

     

     

=    +   

         

     

 

     

=    +   

   

 

(31)

Para k = 3

3

2 .3 2 .3

3 3

2. cos .sin

4 4

19 19

2 cos 3 .sin 3

4 4

19 19

2 cos .sin .

12 12

z i

π π π π

π π

  +   +  

     

=    +   

         

     

 

     

     

=    +   

         

     

 

     

=    +   

   

 

Portanto, o conjunto solução na forma trigonométrica será:

2. cos .sin ,

12 12

7 7

2. cos .sin ,

12 12

13 13

2. cos .sin ,

12 12

19 19

2. cos .sin

12 12

i i s

i i

π π

    +    

             

 

       

    +    

       

=  

     

    +    

       

 

 

    +    

     

   

 

 

(32)

Neste tópico, você estudou que:

• A unidade imaginária é definida por

i = - 1

e i² = -1.

• As potências sobre a unidade imaginária acontecem de forma cíclica, variando entre 1, i, -1 e -i.

• Os números complexos na forma algébrica possuem a seguinte característica, z

= a + bi, em que a, b ∈



e i representam a unidade imaginária. O coeficiente a é denominado de parte real e denotado por Re(z), e o coeficiente b é denominado de parte imaginária e será denotado por Im(z).

• Valem as seguintes igualdades:

i⁰ = 1 i⁴ = 1 i¹ = i i⁵ = i i² = -1 i⁶ = -1

i³ = -i i⁷ = -i

• As operações de soma, subtração, multiplicação e potenciação na forma algébrica procedem da mesma forma que a das operações entre binômios, cuidando apenas da potência da unidade imaginária.

• O Plano de Argand-Gauss é o plano em que representamos os números complexos com um eixo horizontal dos reais e vertical da parte imaginária.

• Com a representação no Plano de Argand-Gauss:

o Os afixos (pontos) representam a posição do número complexo neste espaço.

o A distância do afixo até a origem chamamos de módulo.

(

^{z ou}

^ρ )

^.

2 2

a b ρ = +

o O arco delimitado pelo eixo real positivo ao segmento que une o afixo à origem do plano no sentido anti-horário chamamos de argumento. (θ)

sin b cos a tan b

θ θ θ a

ρ ρ

= = =

RESUMO DO TÓPICO 1

(33)

• A representação trigonométrica ou polar é determinada por:

( )

. cos .sin .

z i

z cis

ρ θ θ

ρ θ

= +

=

• As operações na forma trigonométricas ficaram assim definidas:

o Multiplicação

( ) ( )

1 2

.

1

. . cos

2 1 2

.sin

1 2

.

z z = ρ ρ   θ θ + + i θ θ +  

o Divisão

( ) ( )

1 1

1 2 1 2

2 2

. cos .sin .

z i

z

ρ θ θ θ θ

ρ  

=  - + - 

o Potenciação

( ) ( )

. cos . .sin . .

n n

z = ρ   n θ + i n θ  

o Radiciação

{ }

2 . 2 .

. cos .sin , 0,1,..., 1 .

n n

n

k k

z z i k n

n n

θ π θ π

ρ   +   +  

= =    +    ∈ -

   

 

(34)

Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico. Bom estudo!

1 Determine as raízes da função f:  ^∈  definida por f (x) = x²+ 4x + 5.

2 A forma algébrica do complexo: z = 3





 



 +

6 . 7 6

cos 7

π π

sen

i é?

3 O inverso do número complexo z = 2 + i é?

4 Determine o número complexo z tal que:

z

= 3i⁹⁷+ 2i⁷⁵ + 9i¹⁸.

5 A forma trigonométrica (ou polar) do número complexo

( ) ¹ ¹ ⁱ ⁱ

²

-

+

^tem argumento (em graus e radinhos) igual a?

6 Se m(cos θ + i sen θ) = 1 + i, e 0

≤ θ ≤

₂

π

, então os valores respectivos de m e θ (em radianos) são?

7 Calcule o número complexo: i¹²⁶+ i^-126 + i³¹- i¹⁸⁰.

8 Considere, z₁ = – 3 + 3i e z₂=4 + 2i A representação polar de

z z

₁

+

₂_é?

9 A forma algébrica do complexo, z =

2 ⋅ 



 



 +

6 . 7 6

cos 7

π

i sen

π

, é?

10 Da questão 2, determine na forma trigonométrica z²⁰.

11 Determine a raiz cúbica do número complexo:

27. cos 3 .sin 3 .

4 4

z  π i π 

=  + 

 

AUTOATIVIDADE

(35)

TÓPICO 2

FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Caro acadêmico, agora que já relembramos o que são números complexos e suas principais propriedades, vamos estender nosso conhecimento apresentando algumas funções complexas. As funções que estudaremos são funções conhecidas, porém o domínio dessas funções serão os números complexos e não os números reais, como estamos acostumados. No final desse tópico iremos introduzir funções novas e que só fazem sentido no contexto dos números complexos, são as funções trigonométricas hiperbólicas. No Tópico 3 vamos trabalhar com limites e continuidades de funções complexas, por isso é importante que você entenda muito bem todas as funções trabalhadas neste tópico, elas serão a base para o estudo do Tópico 3.

2 FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS

Neste primeiro subtópico iremos abordar funções elementares mais simples, funções a que já estamos acostumados, mas agora com domínio de definição os números complexos.

Sempre que estivermos falando de funções complexas, iremos usar a seguinte notação

f:  ^→ z  f (z)

mesmo que a função tenha como imagem um número real.

Como no tópico anterior aprendemos a somar, subtrair, multiplicar e dividir números complexos, então faz sentido operarmos com os números complexos, mesmo que um deles seja variável, assim temos algumas funções preliminares, com z ∈  a variável complexa:

(36)

1) Função constante: f (z) = a, a ∈ ^. 2) Função translação: f(z) = z + a, a ∈ . 3) Função rotação: f (z) = az, a ∈ ^.

4) Função n-ésima potência: f(z) = zⁿ, n ∈  ^. 5) Função inversão:

^{f z} ( ) ⁼ ¹ _z

, com z ≠ 0.

Neste subtópico vamos estudar funções complexas que são combinações das anteriores.

Lembre-se de que quando começamos a estudar funções, primeiro aprendemos o que são funções constantes, funções afim, funções quadráticas e polinômios de grau n. Aqui nosso primeiro passo é entender o que é uma função constante no contexto dos números complexos.

Seja a₀∈, dizemos que f (z) = a₀ é uma função constante.

São exemplos de funções constantes:

a) f (z) = 2i

b) f (z) = 3 - i

Você pode observar que, independentemente do valor de z que considerarmos, o valor da função continua o mesmo.

Vamos agora definir uma função polinomial de primeiro grau, dados a₀ e a₁ números complexos, dizemos que uma função polinomial complexa é da forma

f (z) = a₁z + a₀

Um exemplo de função polinomial complexa do primeiro grau é f (z) =(2 + i)z - 7 - i .

Vamos calcular o valor numérico da função f (z) =(2 + i)z + 7 - i em alguns pontos. No ponto z = 1 + i, temos que

f (1 + i) = (2 + i)(1 + i) -7 -i

= 2 + 2i + i + i²- 7 - i

= - 5 + 2 i + i²

= - 5 + 2i - 1 = - 6 + 2i.

No ponto z = 3 - i

f (3 - i) = (2 + i)(3 - i) - 7 - i

= 6 - 2i + 3i - i²- 7 - i

= - 1 - i²

= - 1 + 1 = 0.

Como o valor numérico de f no ponto z = 3 - i é igual a zero, dizemos que z = 3 - i é raiz da função f.

(37)

TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS

Também podemos definir a parte real e parte imaginária de função complexa, da mesma maneira que de números complexos, no caso da função f(z)

= (2 + i)z - 7 - i como z = x + iy podemos reescrever f (z) = (2 + i)(x + iy) - 7 - i

= 2x + 2yi + xi + i²y - 7 - i

= (2x - y - 7) + (2y + x - 1) i.

Portanto, a parte real da função f (z) é Re f (z) = 2x - y - 7 e a parte imaginária da função f(z) é Im f (z) = 2y + x -1.

Análogo ao que foi feito para polinômios reais, considere os números complexos a₀, a₁,..., a_n definimos o polinômio f: ^ de grau n da seguinte forma f (z) = a_nzⁿ + a_n-1z^n-1+ ... + a₁z + a₀ com z ∈ , ou seja, z = x + iy e x, y ∈



^{. Os}

números complexos a₀,a₁,...,a_n são chamados de coeficientes do polinômio f.

Quando estudamos funções, queremos e precisamos operar essas funções, usando as ideias de funções reais e as propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos, podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir funções complexas.

Exemplo: considere os polinômios f (z) = z² + 3iz + 4 - 3i e g(z) = 4z³+ (4 + i) z²+ 2iz, calcule f + g, f - g e f . g.

Resolução: vamos calcular f + g

f(x) + g(x) = (z² + 3iz + 4 - 3i) + (4z³+ (4 + i) z² + 2iz)

= 4z³ + (1 + (4 + i)) z² + (3i + 2i) z + 4 -3i

= 4z³ + (5 + i)z² + 5iz + 4 -3i.

Agora, vamos calcular f - g

f(x) - g(x) = (z² + 3iz + 4 - 3i) - (4z³+ (4 + i) z² + 2iz)

= -4z³ + (1 - (4 + i)) z² + (3i - 2i) z + 4 -3i

= 4z³ + (-3 + i)z² + iz + 4 -3i.

E por último calcular f . g

f(x) . g(x) = (z² + 3iz + 4 - 3i) . (4z³+ (4 + i) z² + 2iz)

= z² . 4z³ + z².(4 + i) z²+ z².2iz + 3iz . 4z³ + 3iz . (4 + i)z² + 3iz . 2iz + 4 . 4z³ + 4 . (4 + i)z²+ 4 . 2iz - 3i . 4z³ - 3i . (4 + i)z² - 3i . 2iz

=4z⁵ + (4 + i)z⁴+ 2iz³ + 12iz⁴ + (12i - 3) z³ - 6z² +16z³ + (16 + 4i)z² + 8iz - 12iz³- (12i - 3) z² + 6z

=4z⁵ + (4 + i + 12i) z⁴ + (2i + 12i - 3 + 16 -12i)z³ + (- 6 + 16 + 4i - 12i + 3)z² + (8i + 6)z

(38)

Para calcular a divisão de polinômios complexos, vamos usar o método da chave.

Exemplo: considere os polinômios f(z) = 4z³ + (4 - 1) z² + 2iz e g(x) = z² + 2i, calcule f ÷ g.

Resolução: usando o método da chave, temos

( ) ( )

z i z iz z z

i z iz

i z + i iz i

3 2

3 3

2 2

4 4 2

4 4

4 8

4 2 8

6 2 8

+ - +

- -

- - +

- + +

Com o auxílio dos polinômios complexos definidos no subtópico anterior, podemos agora definir o que são funções racionais complexas. Dados dois polinômios complexos g(z) e h(z), uma função é racional complexa é dada por

( ) ( ) ^{g z} ( ) ^,

f z = h z

desde que h (z) ≠ 0.

Exemplo: calcule o valor numérico, quando z = 2 - i, da função racional

( ) ^{z i} ₁ ^.

f z z

= - +

Resolução: substituindo z = 2 - i na função, temos

^f ( ² ^{- =} ⁱ ) ₂ ² _{- +} ^{- -} _i ^{i i} ₁ ⁼ ^{2 2} ₃ ^- _- _i ⁱ ^.

Multiplicando no denominador e numerador pelo conjugado de 3 - i,

temos que

( 2 ) ^{2 2 3} . 6 2 6 2 8 4 4 .

3 3 9 1 10 5

i i i i i i

f i

i i

- + + + + - -

- = = = =

- + +

Outra operação que podemos fazer com funções é compor duas funções.

A mesma definição para funções reais vale para funções complexas. Dadas as funções complexas f:  ^→^{e g:}^→, definimos a composição de f com g da seguinte maneira:

f ° g (z) = f (g(z))

aqui é imprescindível que o domínio da função g seja igual à imagem de f para a definição ser verdadeira.

Números Complexos e Equações Diferenciais

C álCulo A vAnçAdo : n úmeros C omplexos e e quAções d iferenCiAis

A presentAção

s umário

UNIDADE 1

FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

TÓPICO 1