Matemática I. Cálculo Diferencial em IR n

(1)

Matem´ atica I

Cap´ıtulo 5

C´ alculo Diferencial em IR n

(2)

Objectivos

Conceito de varia¸ c˜ ao segundo uma vari´ avel Calcular derivadas parciais

Calcular extremos n˜ ao condicionados de fun¸ c˜ oes

Calcular extremos condicionados de fun¸ c˜ oes

(3)

Defini¸c˜ ao e nota¸c˜ ao

Fun¸ c˜ ao real com v´ arias vari´ aveis reais f : IR ⁿ −→ IR

(x 1 , x 2 , . . . , x n ) 7−→ f (x 1 , x 2 , . . . , x n )

(4)

Exemplos

f (x ₁ , x ₂ ) = x ₁ + x ₂ g (x, y, z) = x + y ^z

p(a, b, c, d ) =

a −1 0 1

0 b −2 e ^b

ln(c ) −1 c √ d

a bc d 0

(5)

Exemplos

Exemplo: Amortiza¸ c˜ ao de um empr´ estimo

A fun¸ c˜ ao que estabelece a presta¸ c˜ ao mensal de um empr´ estimo de P euros a uma taxa de r % a ser pago em t anos ´ e:

f (P , r, t) = Pr 12

h

1 − 1 + ₁₂ ^r −12t i

(6)

Exemplos

Exemplo: Fun¸c˜ ao de Produ¸ c˜ ao de Cobb-Douglas

´ E a fun¸c˜ ao

f (x, y) = ax ^b y ^1−b , a > 0 , b ∈ ]0, 1[

onde x denota as unidades de m˜ ao-de-obra e y as unidades de capital dispon´ıveis. Se a = 50, b = 1

4 a fun¸ c˜ ao ´ e

f (x, y) = 50x

¹⁴

y

³⁴

(7)

Dom´ınio de fun¸c˜ oes

Defini¸ c˜ ao

O dom´ınio de uma fun¸ c˜ ao de v´ arias vari´ aveis ´ e o conjunto D _f = {(x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) ∈ IR ⁿ : f (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) est´ a definida} . Como nas fun¸ c˜ oes de uma vari´ avel, temos de atender aos valores das vari´ aveis independentes para os quais f n˜ ao est´ a

definida. Vejamos alguns exemplos:

(8)

Dom´ınio de fun¸c˜ oes

Calcular o dom´ınio de:

1. f (x, y ) = ln(y − (x − 1) ² )

D _f =

(x, y) ∈ IR ² : y − (x − 1) ² > 0 =

(x, y ) ∈ IR ² : y > (x − 1) ² f (1, 1) = ln(1 − (1 − 1) ² ) = 0

f (0, 0) = ln(0 − (0 − 1) ² ) n˜ ao est´ a definido pois

(1, 1) ∈ D _f e (0, 0) ∈ / D _f .

(9)

Dom´ınio de fun¸c˜ oes

Calcular o dom´ınio de:

2. g (x ₁ , x ₂ ) = 2 x ₁ ² − x ₂

D _g =

(x ₁ , x ₂ ) ∈ IR ² : x ₁ ² − x ₂ 6= 0 =

(x ₁ , x ₂ ) ∈ IR ² : x ₁ ² 6= x ₂

(10)

Dom´ınio de fun¸c˜ oes

Calcular o dom´ınio de:

3. h(u, v) = p

1 − u ² − v ²

D _h =

(u, v) ∈ IR ² : 1 − u ² − v ² ≥ 0 =

(u, v) ∈ IR ² : u ² + v ² ≤ 1

(11)

Derivadas parciais

No¸ c˜ ao intuitiva

Numa fun¸ c˜ ao f de v´ arias vari´ aveis x 1 , x 2 , . . . , x n , a no¸ c˜ ao de derivada parcial em ordem a uma das vari´ aveis x _i tem a mesma interpreta¸ c˜ ao que nas fun¸ c˜ oes de uma vari´ avel, no seguinte sentido:

a derivada de f em ordem a x _i , ∂f

∂x i

, ´ e a taxa de varia¸ c˜ ao

instantˆ anea da fun¸ c˜ ao considerando-a apenas como dependente de

x _i enquanto as restantes vari´ aveis permanecem constantes.

(12)

Derivadas parciais

Defini¸ c˜ ao

A derivada parcial de f em ordem a x _i ´ e a fun¸ c˜ ao:

∂f

∂x i

= lim

h→0

f (x ₁ , x ₂ , . . . , x _i + h, . . . , x _n ) − f (x ₁ , x ₂ , . . . , x _i , . . . , x _n )

h

(13)

Derivadas parciais

Exemplo 1:

Seja f (x , y) = x ² + y . Ent˜ ao:

∂f

∂x = ∂f

∂x (x ² + y) = ∂f

∂x (x ² ) + ∂f

∂x (y) = 2x + 0 = 2x .

(14)

Derivadas parciais

Exemplo 1:

Seja f (x , y) = x ² + y . Ent˜ ao:

∂f

∂y = ∂f

∂y (x ² + y) = ∂f

∂y (x ² ) + ∂f

∂y (y) = 0 + 1 = 1 .

Este exemplo, em conjunto com a defini¸ c˜ ao, ajuda-nos a perceber

como calcular derivadas parciais, na pr´ atica. Quando derivamos

uma fun¸ c˜ ao em ordem a uma das vari´ aveis, todas as outras tˆ em

comportamento de constantes.

(15)

C´ alculo de derivadas parciais

Exemplo: seja f (x, y, z) = ^x _y + e ^xz . Ent˜ ao:

∂f

∂x = x ⁰ .y − xy ⁰

y ² + (xz) ⁰ e ^xz = 1

y + ze ^xz .

∂f

∂y = x ⁰ .y − xy ⁰

y ² + (xz) ⁰ e ^xz = − x y ² .

∂f

∂z = x ⁰ .y − xy ⁰

y ² + (xz) ⁰ e ^xz = 0 + xe ^xz = xe ^xz .

(16)

C´ alculo de derivadas parciais

Exemplo: seja h(u, v ) = uv ² + ln(u √

v). Ent˜ ao:

∂h

∂u = v ² + (u √ v ) ⁰ u √

v = v ² +

√ v u √

v = v ² + 1 u .

∂h

∂v = 2vu + (u √ v) ⁰ u √

v = 2vu + u ₂ ^√ ¹ _v

u √

v = 2vu + 1

2v .

(17)

Gradiente

Vector Gradiente de uma fun¸c˜ ao

´ E uma matriz-coluna, em que cada entrada ´ e a derivada parcial de primeira ordem em rela¸c˜ ao a cada uma das vari´ aveis. Por exemplo:

Se f ´ e uma fun¸ c˜ ao de trˆ es vari´ aveis x, y , z, ent˜ ao o vector gradiente ´ e

∇f =







∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z







.

(18)

Matriz Hessiana

Matriz das segundas derivadas

Dada uma fun¸ c˜ ao f de v´ arias vari´ aveis, podemos calcular as segundas derivadas. Por exemplo, se f ´ e uma fun¸c˜ ao de trˆ es vari´ aveis x ₁ , x ₂ , x ₃ ent˜ ao a matriz Hessiana de f ´ e

∇ ² f =







∂

²

f

∂x

₁²

∂

²

f

∂x

1

∂x

2

∂

²

f

∂x

1

∂x

3

∂

²

f

∂x

1

∂x

2

∂

²

f

∂x

₂²

∂

²

f

∂x

2

∂x

3

∂

²

f

∂x

1

∂x

3

∂

²

f

∂x

2

∂x

3

∂

²

f

∂x

₃²







.

(19)

Exerc´ıcio - Gradiente e Matriz Hessiana

Seja f (x , y, z ) = − ¹ ₂ x ² + 4xy ² + 4zy ² − ¹ ₂ z ² . Calcule ∇f e ∇ ² f

∇f =







∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z







=







−x + 4y ² 8yx + 8yz 4y ² − z







.

(20)

Exerc´ıcio - Gradiente e Matriz Hessiana

Seja f (x , y, z ) = − ¹ ₂ x ² + 4xy ² + 4zy ² − ¹ ₂ z ² . Calcule ∇f e ∇ ² f

Matemática I. Cálculo Diferencial em IR n

Matem´ atica I

Cap´ıtulo 5

C´ alculo Diferencial em IR n

Objectivos

Conceito de varia¸ c˜ ao segundo uma vari´ avel Calcular derivadas parciais

Calcular extremos n˜ ao condicionados de fun¸ c˜ oes

Calcular extremos condicionados de fun¸ c˜ oes

Defini¸c˜ ao e nota¸c˜ ao

Fun¸ c˜ ao real com v´ arias vari´ aveis reais f : IR n −→ IR

(x 1 , x 2 , . . . , x n ) 7−→ f (x 1 , x 2 , . . . , x n )

Exemplos

Exemplos

f (x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 g (x, y, z) = x + y z

p(a, b, c, d ) =

a −1 0 1

0 b −2 e b

ln(c ) −1 c √ d

a bc d 0

Exemplos

Exemplo: Amortiza¸ c˜ ao de um empr´ estimo

A fun¸ c˜ ao que estabelece a presta¸ c˜ ao mensal de um empr´ estimo de P euros a uma taxa de r % a ser pago em t anos ´ e:

f (P , r, t) = Pr 12

h

1 − 1 + 12 r −12t i

Exemplos

Exemplo: Fun¸c˜ ao de Produ¸ c˜ ao de Cobb-Douglas

´ E a fun¸c˜ ao

f (x, y) = ax b y 1−b , a > 0 , b ∈ ]0, 1[

onde x denota as unidades de m˜ ao-de-obra e y as unidades de capital dispon´ıveis. Se a = 50, b = 1

4 a fun¸ c˜ ao ´ e

f (x, y) = 50x

y

Dom´ınio de fun¸c˜ oes

Defini¸ c˜ ao

definida. Vejamos alguns exemplos:

Dom´ınio de fun¸c˜ oes

Calcular o dom´ınio de:

1. f (x, y ) = ln(y − (x − 1) 2 )

D f =

(x, y) ∈ IR 2 : y − (x − 1) 2 > 0 =

(x, y ) ∈ IR 2 : y > (x − 1) 2 f (1, 1) = ln(1 − (1 − 1) 2 ) = 0

f (0, 0) = ln(0 − (0 − 1) 2 ) n˜ ao est´ a definido pois

(1, 1) ∈ D f e (0, 0) ∈ / D f .

Dom´ınio de fun¸c˜ oes

Calcular o dom´ınio de:

2. g (x 1 , x 2 ) = 2 x 1 2 − x 2

D g =

(x 1 , x 2 ) ∈ IR 2 : x 1 2 − x 2 6= 0 =

(x 1 , x 2 ) ∈ IR 2 : x 1 2 6= x 2

Dom´ınio de fun¸c˜ oes

Calcular o dom´ınio de:

3. h(u, v) = p

1 − u 2 − v 2

D h =

(u, v) ∈ IR 2 : 1 − u 2 − v 2 ≥ 0 =

(u, v) ∈ IR 2 : u 2 + v 2 ≤ 1

Derivadas parciais

No¸ c˜ ao intuitiva

Numa fun¸ c˜ ao f de v´ arias vari´ aveis x 1 , x 2 , . . . , x n , a no¸ c˜ ao de derivada parcial em ordem a uma das vari´ aveis x i tem a mesma interpreta¸ c˜ ao que nas fun¸ c˜ oes de uma vari´ avel, no seguinte sentido:

a derivada de f em ordem a x i , ∂f

∂x i

, ´ e a taxa de varia¸ c˜ ao

instantˆ anea da fun¸ c˜ ao considerando-a apenas como dependente de

x i enquanto as restantes vari´ aveis permanecem constantes.

Derivadas parciais

Defini¸ c˜ ao

A derivada parcial de f em ordem a x i ´ e a fun¸ c˜ ao:

∂f

∂x i

= lim

h→0

f (x 1 , x 2 , . . . , x i + h, . . . , x n ) − f (x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x n )

h

Derivadas parciais

Exemplo 1:

Seja f (x , y) = x 2 + y . Ent˜ ao:

∂f

∂x = ∂f

∂x (x 2 + y) = ∂f

Fun¸ c˜ ao real com v´ arias vari´ aveis reais f : IR ⁿ −→ IR

f (x ₁ , x ₂ ) = x ₁ + x ₂ g (x, y, z) = x + y ^z

0 b −2 e ^b

1 − 1 + ₁₂ ^r −12t i

f (x, y) = ax ^b y ^1−b , a > 0 , b ∈ ]0, 1[

1. f (x, y ) = ln(y − (x − 1) ² )

D _f =

(x, y) ∈ IR ² : y − (x − 1) ² > 0 =

(x, y ) ∈ IR ² : y > (x − 1) ² f (1, 1) = ln(1 − (1 − 1) ² ) = 0

f (0, 0) = ln(0 − (0 − 1) ² ) n˜ ao est´ a definido pois

(1, 1) ∈ D _f e (0, 0) ∈ / D _f .

2. g (x ₁ , x ₂ ) = 2 x ₁ ² − x ₂

D _g =

(x ₁ , x ₂ ) ∈ IR ² : x ₁ ² − x ₂ 6= 0 =

(x ₁ , x ₂ ) ∈ IR ² : x ₁ ² 6= x ₂

1 − u ² − v ²

D _h =

(u, v) ∈ IR ² : 1 − u ² − v ² ≥ 0 =

(u, v) ∈ IR ² : u ² + v ² ≤ 1

Numa fun¸ c˜ ao f de v´ arias vari´ aveis x 1 , x 2 , . . . , x n , a no¸ c˜ ao de derivada parcial em ordem a uma das vari´ aveis x _i tem a mesma interpreta¸ c˜ ao que nas fun¸ c˜ oes de uma vari´ avel, no seguinte sentido:

a derivada de f em ordem a x _i , ∂f

x _i enquanto as restantes vari´ aveis permanecem constantes.

A derivada parcial de f em ordem a x _i ´ e a fun¸ c˜ ao:

f (x ₁ , x ₂ , . . . , x _i + h, . . . , x _n ) − f (x ₁ , x ₂ , . . . , x _i , . . . , x _n )

Seja f (x , y) = x ² + y . Ent˜ ao:

∂x (x ² + y) = ∂f

∂x (x ² ) + ∂f

Seja f (x , y) = x ² + y . Ent˜ ao:

∂y (x ² + y) = ∂f

∂y (x ² ) + ∂f

Exemplo: seja f (x, y, z) = ^x _y + e ^xz . Ent˜ ao:

∂x = x ⁰ .y − xy ⁰

y ² + (xz) ⁰ e ^xz = 1

y + ze ^xz .

∂y = x ⁰ .y − xy ⁰

y ² + (xz) ⁰ e ^xz = − x y ² .

∂z = x ⁰ .y − xy ⁰

y ² + (xz) ⁰ e ^xz = 0 + xe ^xz = xe ^xz .

Exemplo: seja h(u, v ) = uv ² + ln(u √

∂u = v ² + (u √ v ) ⁰ u √

v = v ² +

v = v ² + 1 u .

∂v = 2vu + (u √ v) ⁰ u √

v = 2vu + u ₂ ^√ ¹ _v