4-3 Distribuição de probabilidade binomial

(1)

Slide 1

Unidade 4

Distribuições de probabilidade

4-1 Visão Geral

4-2 Variáveis Aleatórias

4-3 Distribuição de probabilidade binomial

4-4 Média, Variância, e Desvio Padrão de uma Distribuição Binomial 4-5 A Distribuição de Poisson

Secões 4-1 e 4-2

Visão Geral e Variáveis Aleatórias

Construção de distribuições de probabilidade pela combinação dos métodos de estatística descritiva (Unidade 2) com os de

probabilidade (Unidade 3)

Distribuções descrevem o que irá provavelmente acontecer ao invés

do que realmente aconteceu.

(2)

Slide 2

Combinando Métodos Descritivos e Probabilidades

Comparação de freqüências relativas de resultados de

experimentos com freqüências esperadas para o experimento

número de cardumes em seis zonas estuarinas

“experimento”

Unid2

Unid3

Unid4 coleta de

amostras – obter

gráficos e estatísticas

encontrar a probabilidade para cada resultado

criar o modelo teórico que descreve como se espera que o experimento vai se comportar – obter os

parâmetros

(3)

Slide 3

Definições

Uma variável aleatória (tipicamente representada por X) assume um único valor para cada resultado de um procedimento. O valor é determinado ao acaso.

Uma distribuição de probabilidade é um gráfico, uma tabela, ou uma fórmula que dá a probabilidade de ocorrência de cada valor da variável

aleatória. Nº Fêmeas (X) P(X)

0 0.000

1 0.001

2 0.006

3 0.022

4 0.061

5 0.122

6 0.183

7 0.209

8 0.183

9 0.122

10 0.061

11 0.022

12 0.006

13 0.001

14 0.000

Nº Fêmeas em 14 nascimentos

Probabilidade

x n

x p

x p n x x n

X

P ⋅ ⋅ − ⁻

= −

= ( )

)!

(

! ) !

( 1

P(X=x) = 1 0 ≤ ≤ ≤ ≤ P(X=x) ≤ ≤ ≤ ≤ 1

Σ

(4)

Slide 4

Média, Variância e Desvio Padrão de uma Distribuição de Probabilidade

µ = ΣΣΣΣ [x • P(x)] Média e Esperança σσ

σσ² = ΣΣΣΣ [(x – µ)² • P(x)] Variância

Desvio Padrão

σ

2

σ =

Identificando Valores Incomuns – Regra Básica

Máximo Valor Comum = µ + 2σ Mínimo Valor Comum = µ – 2σ

Identificando Valores Incomuns - Probabilidades

Regra do Evento Raro - Se sob uma dada suposição (ex: machos e fêmeas são

igualmente prováveis), a probabilidade de um evento observado é extremamente pequena, a conclusão é que a suposição é provavelmente incorreta.

Incomum e alto: ^x sucessos entre n tentativas é incomum e alto se P(x ou mais) é muito pequeno (tal como 0,05 ou menos).

Incomum e baixo: ^x sucessos entre n tentativas é incomum e baixo se P(x ou menos) é muito pequeno (tal como 0,05 ou menos).

(5)

Slide 5

Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um procedimento que atende aos seguintes requerimentos:

1. O procedimento tem um número fixo de tentativas.

2. As tentativas devem ser independentes. (o resultado de uma tentativa não afeta as probabilidades das outras tentativas)

3. Cada tentativa deve ter o resultado classificado em uma de duas categorias.

4. As probabilidades devem permanecer constantes para cada tentativa.

Secões 4-3

Distribuição de Probabilidade Binomial

Notação

S e F (sucessos e fracassos) denotam duas possíveis categorias de resultados;

p e q são as probabilidades de ocorrência de S e F, respectivamente P(S) = p (p = probabilidade de sucesso)

P(F) = 1 – p = q (q = probabilidade de fracasso)

n denota o número de tentativas.

x denota o número de sucessos em n tentativas

(6)

Slide 6

P(x) denota a probabilidade de se obter exatamente x sucessos em n tentativas

1: Usando a solução para a distribuição binomial

Encontrando as probabilidades

x n

x p

x p n x x n

X

P ⋅ ⋅ − ⁻

= −

= ( )

)!

(

! ) !

( 1

Tabela A-1

Probabilidades para n = 4 e p = 0,2

3: Usando recursos tecnológicos

(ex: funções em computadores e calculadoras)

2: Usando uma tabela com essas probabilidades já

calculadas (

ex: Tab. A-1 – apêndice A do livro texto

)

(7)

Slide 7

Média

µ = ΣΣΣΣ[x • P(x)] = n • p

Variância σ σ σ σ

² = ΣΣΣΣ

[(x –

µ)²

•

P(x)] = n • p • q

Desv.Padrão

Secões 4-4

Média, Desvio Padrão e Variância da Distribuição Binomial

σ σ

σ σ = = = = σ σ σ σ

²

= = = =

n • p • q

n = 14 p = 0.5 q = 0.5

Exemplo

Encontre a média, o desvio padrão do número de fêmeas esperadas em 14 nascimentos no seguinte cenário:

µ = (14)(0,5) = 7 fêmeas σ

σ σ

σ = (14)(0,5)(0,5) = 1,9 fêmeas (arredondado)

Treze ou mais fêmeas poderiam ser facilmente ser encontradas em 14 nascimentos?

000854 0

5 0 1 5 13 0

14 13

13 14 , ¹³ ( , )¹⁴ ¹³ , )!

(

! ) !

( ⋅ ⋅ − =

= −

= ⁻

X P

0000610 0

5 0 1 5 14 0

14 14

14 14 , ¹⁴ ( , )¹⁴ ¹⁴ , )!

(

! ) !

( ⋅ ⋅ − =

= −

= ⁻

X P

000916 0

14 13

13 ) ( ) ( ) ,

( X ≥ = P X = + P X = =

P

(8)

Slide 8

É uma distribuição de probabilidade discreta que pode ser ser usada para

calcular a ocorrência de um evento em algum intervalo específico (ex:tempo, distância, área, distância, volume, etc..). A variável x é o número de

ocorrência de eventos neste interevalo.

Secões 4-3

Distribuição de Probabilidade de Poisson

Requerimentos

As ocorrências devem ser aleatórias.

As ocorrências devem ser independentes.

As ocorrências devem ser uniformemente distribuídas sobre o intervalo que está sendo usado

O desvio padrão é σ σ σ σ = µ

.

) !

( x

x e X

P

x µ

µ ⋅

⁻

=

A média é µ

(9)

Slide 9

Diferenças entre as Distribuições de Poisson e Binomial

A distribuição binomial é afetada pelo tamanho n e a probabilidade p, enquanto que a distribuição de Poisson é afetada somente pela média µ.

Na binomial os valores possíveis para a variável aleatória x são 0, 1, . . . n, mas na Poisson x pode ser qualquer valor maior ou igual a zero (0, 1, . . . )

Exemplo

Assentamento de sementes de Mexilhão Sob a hipótese de que em um determinado costão rochoso haja o assentamento de em média 1

semente por m², calcule a probabilidade de que seja amostrada aleatória uma parcela de 1 m² com 7 sementes assentadas.

0000730 7 0

7 1

1 7

! , )

( ⋅ =

=

e −

X P