OS FRACTAIS QUE NOS RODEIAM

(1)

OS FRACTAIS QUE NOS RODEIAM

Fabio Antunes Brun de Campos¹ Minéia Cappellari Fagundes²

Resumo

Este trabalho busca apresentar, mostrar aplicações e acima de tudo, fornecer subsídios para que todos possam caracterizar e identificar quatro tipos clássicos de fractais: Remoção, Ramificação, Árvore e Dürer, os quais estão à nossa volta. Para isso, realizamos pesquisa bibliográfica de forma qualitativa, onde analisamos livros, artigos e trabalhos acadêmicos para colaborar com nossa discussão. E assim, buscamos destacar a beleza, a estética dessas figuras que podem ser exploradas em diversos contextos e áreas do conhecimento. Enfatizamos ainda, a importância de professores de matemática serem capazes de reconhecer, percebe-lo ao seu redor e se possível desenvolver conceitos matemáticos com seus alunos à luz dos fractais. Pois, acreditamos que a geometria fractal pode colaborar incisiva e positivamente com o processo de ensino e aprendizado da matemática.

Palavras-chave: Fractal; Matemática; Aprendizado.

1. Introdução

A necessidade dos mesopotâmicos e dos gregos em realizar cálculos e medições de comprimentos, áreas e volumes relacionadas a agrimensura foi o principal fator que levou ao surgimento da geometria de acordo com Roque (2015). E é nesse sentido que a mesma autora aponta que a palavra geometria pode ser traduzida como “medida da terra”.

A geometria euclidiana foi utilizada por muito tempo para representar objetos matemáticos e modelar elementos à nossa volta, assim como explicar e exemplificar fenômenos da natureza. Para Rabay (2013), apesar da geometria euclidiana geralmente representar bem os objetos criados pelos homens, em muitos casos essas representações podem se tornar exaustivas ou não dar uma boa apresentação para os fenômenos ou objetos naturais.

Nesse sentido, Mandelbrot (1977) indaga sobre a forma “fria” e “seca” que frequentemente a geometria é descrita. Pois em muitos casos a geometria euclidiana não é suficiente para representar o mundo que nos rodeia.

(...) Uma razão reside na sua incapacidade de descrever a forma de uma nuvem, uma montanha, um litoral, ou uma árvore. Nuvens não são esferas.

1Unemat

2Unemat

(2)

Temática: Ensino de Matemática na Educação Básica: potencialidades das Abordagens Metodológicas Montanhas não são cones, litorais não são círculos, e a casca não é lisa, nem relâmpago viajar em linha reta. (MANDELBROT, 1977, p.1 tradução nossa)

Com o objetivo de tornar a “natureza simples” e “compreensível” foram surgindo novas teorias que tornavam as bases matemáticas sólidas e que por sua vez, descreviam e formalizavam os fenômenos. Como comenta Nunes (2006),

(...) No final do séc. XIX e início do séc. XX, alguns matemáticos como, Cantor, Koch, Sierpinski, Peano e Hilbert investigavam objectos que punham em causa algumas das bases matemáticas da época relacionadas com a análise, álgebra e geometria. Estes objectos foram considerados “casos patológicos” ou

“monstros matemáticos”. (NUNES, 2006, p.15)

A esses “monstros matemáticos” Benoit B. Mandelbrot (1924 – 2010) um matemático francês, chamou de objetos fractais desenvolvendo assim, a geometria fractal.

Como comenta Barbosa (2005), Faria(2012), Nunes (2006), Rabay (2013), Pereira (2011), entre outros.

De acordo com Rabay (2013),

A terminologia usada para referenciar a geometria fractal criada pelo seu iniciador Mandelbrot, ao publicar diversos estudos sobre o assunto em 1975, sugere o nome fractal, do adjetivo fractus do verbo frangere em latim, partir em segmentos irregulares, mas no sentido em que as partições mantém um padrão presente que representa o todo. (RABAY, 2013, p.1-2)

A geometria fractal segundo Barbosa (2005), está intimamente ligada com a ciência chamada CAOS, com a geração e reprodução de imagens, contribui com temas como; a desordem na atmosfera, oscilação do coração e cérebro, interligações microscópicas de vasos sanguíneos, ramificações alveolares, cotações de bolsa, forma das nuvens, relâmpagos, aglomerações estrelares etc.

Nesse sentido este trabalho visa por meio de pesquisa bibliográfica apresentar alguns dos tipos de fractais, a sua relação com o belo, com a elucidação que algumas dessas figuras proporcionam. Além de estimular a sua identificação, o estudo desses objetos e sua percepção no mundo que nos rodeia.

2. Características fundamentais de um Fractal

Entre os estudos referente aos fractais está sua intima relação com a Teoria do Caos que neste trabalho utilizaremos para apresentar algumas das características fundamentais presente na identificação e compreensão de um fractal.

Fey e Rosa (2012) busca explicar a Teoria do Caos com a seguinte analogia:

Imagine que, no passado, você tenha perdido o vestibular da faculdade de seus sonhos porque um prego furou o pneu de seu ônibus. Desconsolado, você

(3)

entra em outra universidade. Então, as pessoas com quem você vai conviver serão outras, seus amigos vão mudar, os amores serão diferentes seus filhos e netos podem ser outros... No final, sua vida se alterou por completo, tudo por causa de um prego no início dessa sequência de eventos. (FEY; ROSA, 2012, p. 218)

Nesse sentido, quase tudo é imprevisível, do ritmo dos batimentos cardíacos às cotações das bolsas de valores. Para Junior (1993) uma “característica dos sistemas caóticos é que qualquer mínima alteração em uma das suas condições iniciais pode provocar profundas mudanças de trajetória ou comportamento. Daí a imprevisibilidade.”

Por outro lado, Fey e Rosa (2012) aponta que recentemente pesquisas revelam algo surpreendente “que equações idênticas aparecem em fenômenos caóticos que não tem relação uns com os outros.” Isso significa que pode existir uma estranha ordem, padrão, autossimilaridade por traz de toda imprevisibilidade.

Nesse sentido Rabay (2013), Barbosa (2005) e Nunes (2006) comentam sobre o Jogo do Caos. Veja a Figura 1 e acompanhe os passos abaixo para a execução desse jogo.

1º Desenhe um triângulo indicando seus vértices como A, B e C;

2º Marque um ponto (𝑧₀) no interior ou exterior desse triangulo;

3º Com o auxílio de um dado, enumerado de 1 à 6 se escolha aleatoriamente um de seus vértices. Para isso, é necessário associar A, quando cair 1 e 2, B quando cair 3 e 4 e C quando cair 5 ou 6.

4º Se marque o ponto médio entre um ponto (iniciando-se pelo ponto 𝑧₀) e o vértice sorteado.

Figura 1: Esquema do Jogo do Caos. Fonte: NUNES (2006)

(4)

Temática: Ensino de Matemática na Educação Básica: potencialidades das Abordagens Metodológicas

A Figura 2, mostra uma situação com 5 jogada, ou 5 pontos. Porém, observe o que acontece com a marcação de mais pontos...

Figura 2: Jogo do Caos: Figuras com 100, 300 e 500 pontos. Fonte: Rabay (2013).

Perceba que com 100 pontos nesse processo imprevisível, quase não é possível identificar um padrão, porém após a sucessão de pontos conseguimos visualizar por aproximação, a “autossimilaridade” em outras palavras, as repetições de triângulos inscritos no triângulo inicial. Essa “autossimilaridade” é o que nos permite classificá-lo como um fractal.

Barbosa (2005), sugere a identificação dessas características de acordo com K. J.

Falconer (1985 e 1990) que são:

Um conjunto F é um fractal se por exemplo:

- F possui alguma forma de “autossimilaridade” ainda que aproximada ou estatística;

- A dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão topológica;

-O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou interativo. (BARBOSA, 2005, p. 19)

(5)

Assim, apresentamos a primeira característica fundamental de nos permite caracterizar um fractal. Que alguns chamam de autossimilaridade outros de auto simetria, padrão ou padrão fractal.

Além da autossimilaridade, um fractal pode ser caracterizado por sua dimensão fractal. Como destaca Oliveira (2014),

“Um objeto é dito fractal” se além da independência da escala, a dimensão Hausdorff for diferente da dimensão topológica ou dimensão do espaço em que o fractal está inserido, ou seja, diferente da dimensão de objetos Euclidianos como o ponto, a reta ou o plano, devem estar entre tais.

Tecnicamente, um fractal é um objeto que apresenta invariância na sua forma à medida em que a escala, sob a qual o mesmo é analisado, é alterada, mantendo-se a sua estrutura idêntica à original. (OLIVEIRA, 2014, p. 43)

A complexidade finita, ou recursividade é outro fator importante presente nos fractais. Ainda segundo Oliveira (2014), os “fractais podem ser obtidos geometricamente ou aleatoriamente, através de processos recursivos, os quais podem apresentar características encontradas em formas da natureza e estão presentes em vários lugares.”

Observe alguns fractais conforme a Figura 3, e perceba que estes estão por toda parte.

Figura 3: Fractais na natureza. Fonte: Rabay (2013)

Atentando-se a essas característica: de autossimilaridade, a dimensão fractal e recursividade desses objetos, vamos apresentar a seguir, quatro tipos clássicos de fractais:

o fractal do tipo Remoção, do tipo Ramificação, do tipo Árvore e do tipo Dürer.

3. Alguns tipos de Fractais e suas aplicações

Valorizando a beleza dos fractais, sua imagem intrigante ou sua característica bizarra, iniciaremos este tópico falando sobre os fractais do tipo Remoção.

Comentaremos também sobre as formas de construção dos quatro tipos de fractais

(6)

clássicos mencionados anteriormente e também buscaremos apresentar algumas de suas aplicabilidades, mostrando que essas figuras estão à nossa volta.

O triângulo de Sierpinski como já vimos no exemplo do jogo do Caos, é um dos exemplos do fractal do tipo Remoção, que pode ser construído por meio de um triângulo, que a cada nível é retirado um triângulo inscrito, gerado pelos pontos médios relativos a seus lados, como mostra a Figura 4.

Figura 4: Triângulo de Sierpinski. Fonte: Rabay (2013)

O tapete de Sierpinski é outro exemplo do fractal tipo Remoção, como mostra a Figura 5, e da mesma forma que o triângulo, retiramos um quadrado central da figura inicial e em cada iteração esse processo é repetido.

Figura 5: Tapete de Sierpinski. Fonte: Barbosa (2015)

Uma das aplicações desse tipo de fractal é atribuído a Mandelbrot, que trabalhando no Centro de Pesquisa Thomas Watson, deparou-se com problemas de ruídos nas linhas telefônicas utilizadas de redes entre os computadores. Conversando com os engenheiros, identificou que alguns ruídos não podiam ser eliminados e estes interferiam nos sinais. A aleatoriedade e a irregularidade dos ruídos afastaram os engenheiros da busca de solução (BARBOSA, 2005).

Para resolver esse problema, de acordo com Barbosa (2005), Mendelbrot utilizou um trabalho antigo de Cantor: A Poeira de Cantor. Salientamos que,

George F. L. Philipp Cantor (1845 – 1918) foi um matemático russo de origem alemã, conhecido por ter elaborado a moderna teoria dos conjuntos.

(7)

Cantor apresentou em 1883 o conjunto que pode ser considerado como uma das mais antigas construções denominadas patológicas encontradas na Matemática e que hoje leva o seu nome - conjunto de Cantor. (REZENDE;

SANTOS, 2009, p. 7)

O fractal de Cantor também é classificado como fractal do tipo Remoção, obtido por meio da remoção de suas partes. Podemos gerar esse fractal, da seguinte maneira:

considerando um segmento de reta, retiramos a sua terça parte central, repetimos o processo na segunda e em todas as etapas possíveis. Dessa forma, obtemos o fractal de Cantor, como mostra a Figura 6.

Figura 6: Fractal de Cantor. Fonte: Baptista (2013)

A primeira vista podemos ser levados a concluir que o conjunto extraído da figura 6, pode ser enumerável. Todavia, o conjunto de Cantor não é enumerável exigindo um olhar mais profundo, que já foi demostrado por vários outros matemáticos e que Barbosa (2005) apresenta de maneira instrutiva em seu livro: Descobrindo a Geometria Fractal – para a sala de aula.

Segundo Baptista (2013), muitos são os fenômenos geológicos que possuem simetria de escala, abrangem a dimensão fractal dos solos, a partir do tamanho das partículas que compõem sua estrutura, as propriedades de percolação e retenção de água, além de ser utilizado para estudar a fragmentação do solo. E complementa dizendo que,

(...) Este e outros métodos utilizam-se para estimar a dimensão fractal da massa, dos poros da superfície de solos arenosos e lodosos. A relação entre a geometria fractal, do solo e a diversidade da microflora e microfauna está presente em fenómenos como: falhas geológicas, terremotos, erupções vulcânicas e depósitos minerais e de petróleo. (BAPTISTA, 2013, p.50)

Um exemplo de fractal que possui essa peculiaridade é a curva de Koch, fractal do tipo Fronteira, que é gerada da seguinte maneira: Considerando um segmento de reta, dividindo o segmento em três partes iguais, retira-se a parte central, mas substitui-se o lugar vazio por dois segmento do mesmo tamanho. E o processo se repete continuamente,

(8)

considerando cada novo segmento formado, como um segmento inicial. Formando o fractal da Figura 7:

Figura 7: Curva de Koch. Fonte: Rabay (2013)

O cálculo realizado para dimensionar as costeiras pode ser feito pelo método de

“contagem de caixas” ou pela curva de Koch. Através da manipulação da curva de Koch apresentada na Figura 8, que mostra a auto similaridade estatística ou aproximada,

“constata-se que, empiricamente, numa determinada gama de unidades de medição, as linhas costeiras apresentam caraterísticas dos fractais”.(BAPTISTA, 2013, p.51)

Figura 8: Método de contagem de caixa par o cálculo da dimensão de linhas costeiras.

Fonte: Baptista (2013).

Existem fractais obtidos por processo iterativo de ramificações conhecidos como fractais do tipo Árvore, pois se assemelham à arvores. Para a geração da árvore Bifurcada por exemplo, consideramos um reta horizontal (que será o tronco do fractal), depois desenhamos dois segmentos formando o ângulo de bifurcação entre eles e simétrico ao segmento anterior, e repete o processo quantas vezes possível. Como ilustra Oliveira (2014) na Figura 9.

(9)

Figura 9: Fractal do tipo Árvore. Fonte: Oliveira (2014)

Podemos perceber esses tipos de fractais em vários sistemas da fisiologia animal (observe a Figura 10), em estruturas celulares entre outros diversos meios envolvendo a medicina. Segundo Baptista (2013) esses fractais podem ser observados nas “estruturas ramificadas de neurónios”, “ramificação fractal amplifica grandemente a área da superfície de um tecido quer seja para absorção (pulmão, intestino)”, na “distribuição e colheita (vasos sanguíneos, intestino)” e ainda, para processamento de informação tecidos nervosos.

Figura 10: Fractal Ramificação na Medicina. Fonte: Baptista (2013)

O quarto tipo de fractal que apresentaremos é o fractal do tipo Dürer (observe a Figura 11), que são baseados em polígonos regulares que a cada iteração é substituído por um novo polígono inserido em seu vértice, mas preservando a característica inicial.

(10)

Temática: Ensino de Matemática na Educação Básica: potencialidades das Abordagens Metodológicas Figura 11: Fractais do tipo Dürer. Fonte: Rabay (2013) e os autores.

Todos os quatros tipos de fractais podem apresentar grandes belezas, seja em sua visualização, na sua própria estética ou em sua aplicação e apresentação nos diversos espaços e áreas do conhecimento ao redor do ser humano. Lembramos que estes são apenas alguns dos fractais que nos rodeiam ficando a cargo do leitor observar seu ambiente e identificá-los e quem sabe estudá-los.

4. Considerações Finais

Este trabalho, apresentou de forma resumida quatro tipos clássicos de fractais:

Remoção, Ramificação, Árvore e do tipo Dürer. Destacamos as características que auxiliam na identificação de um fractal e buscamos expor a estética desses objetos. Pois, entendemos que essa beleza pode auxiliar na percepção de vários fractais que permeiam o contexto humano.

Acreditamos que sua beleza, que em alguns casos são bizarras ou não são elucidativas, podem suscitar importantes conceitos matemáticos à todos os níveis de ensino. Além disso, esses objetos podem ser alvo de estudos matemáticos, que por meio desses conhecimentos novas descobertas importantes para a matemática ou para a sociedade possam se emergir.

(11)

Entendemos que o estudo dos fractais está além dos conhecimentos matemáticos, envolvem outras áreas do conhecimento como as apresentadas neste trabalho tornando o processo de percepção e reconhecimento de um fractal como uma forma de aprendizado que está além de sua estrutura física.

Existem infinidades de fractais ao nosso redor, que nos impossibilitou de esgotar até mesmo a estética dessas figuras. Assim, entendemos que os fractais podem ser explorados por outros pesquisadores: em suas possibilidades de ensino nas diversas áreas do conhecimento, no estudos de suas aplicações, em discussões matemáticas sobre a geometria fractal, entre outros estudos.

Dessa forma, enfatizamos a necessidade do reconhecimento e/ou identificação de alguns fractais, pelo menos da parte de docentes da disciplina de matemática, pois compreendemos que esse assunto pode render ambientes riquíssimos de aprendizagem se bem abordados, à visão da geometria fractal.

5. Referências

BARBOSA, Iderval Alves, et al. Fluxo de Fluídos Através de Um Meio Poroso Fractal Desordenado: Análise das Tensões de Cisalhamento e Efeito de Escala na Estimativas de Forças Viscosas. Holos. ISSN: 1807-1600. 2015.

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal - para a sala de aula. 3º ed. Autêntica. Belo Horizonte, 2005.

BAPTISTA, Tiago Roberto Ferreira. Fractais – Aplicações em Engenharia. Dissertação de Mestrado. ISEP- Instituto Superior de Engenharia do Porto. Lisboa, 2013.

FARIA, Rejane Waiandt Schuwartz. Padrões Fractais: Contribuições ao Processo de Generalização de Conteúdos Matemáticos. Dissertação de Mestrado. UNESP. Rio Claro, 2012.

Fey, Franciele; Rosa, Jarbas André. Teoria do Caos: a ordem na não – linearidade.

Universo Acadêmico. FACCAT. Taquara, 2012.

JUNIOR, Thomaz Wood. Caos a Criação de Uma Nova Ciência? Revista de administração de Empresas. São Paulo, 1993.

MANDELBROT, Benoit B. The Fractal Geometry of Nature. N.Y.: Freeman, 1977.

NUNES, Raquel Sofia Rabelo. Geometria Fractal e Aplicações. Tese de Mestrado.

Faculdade de Ciência do Porto. Lisboa, 2006.

ROQUE, Tatiana. 2012.

(12)

RABAY, Yara Silva Freire. Estudo e Aplicações da Geometria Fractal. Dissertação de Mestrado. PROFMAT CCEN-UFPB. João Pessoa, 2013.

ROQUE, Tatiana. História da Matemática – Uma visão crítica, desfazendo mitos e lenda.

ZAHAR. 2015.