Derivada de Funções Especiais

Derivada de

Funções Especiais

(Notas de Aula 06)

Professores: Carlos Eduardo de Oliveira

Disciplina: Cálculo I Período Letivo: 2019.1

Autarquia Ensino Superior de Garanhuns - AESGA Faculdades Integradas de Garanhuns - FACIGA

Curso de Engenharia Civil

Derivada de Funções Especiais Derivada de Funções Especiais

⇔ f ' ( x)=cos( x)

1) Derivada da Função Seno

f  x=cos x ⇔ f '  x=−sen x

2) Derivada da Função Cosseno

f ( x)=sen( x)

f ' ( x)= 1

cos²( x)

3) Derivada da Função Tangente

…

f ( x)=tan( x)= sen( x)

cos( x) ⇒

Função Secante

Derivada de Funções Especiais Derivada de Funções Especiais

… outras Funções Trigonométricas

Função Cossecante

csc( x) = 1

sen( x) sec( x) = 1

cos( x)

Função Cotangente

cot ( x) = cos( x) sen( x)

Derivada de Funções Especiais Derivada de Funções Especiais

4) Derivada das funções trigonométricas

f ( x)=csc( x) ⇒ f ' ( x)=−(csc x)⋅(cot x) f ( x)=sec( x) ⇒ f ' ( x)=( sec x)⋅(tan x)

f  x=cot  x ⇒ f '  x=−csc x²

Derivada de Funções Especiais Derivada de Funções Especiais

f ( x)=e^x

5) Derivada de Funções Exponenciais

⇒ f ' ( x)=e^x

f ( x)=a^x

⇒ f ' ( x)=a^x⋅ln(a)

∀ a∈ℝ

6) Derivada de Funções Logarítmicas

f ( x)=log_a( x)

⇒ f ' ( x)= 1

x⋅ln(a) f ( x)=ln( x)

⇒ f ' ( x)= 1 x

a

Derivada de Funções Derivada de Funções

Regra da Cadeia Regra da Cadeia

F  x= f g x

Para derivar uma função composta por outras duas funções, definida por

utilizaremos a seguinte definição:

F ' x= f '  g x ⋅ g '  x

Por exemplo:

a) F ( x)=( x²+1)³ c) F ( x)=cos(2− x²)

d) F ( x )=3 x+ sen(2 x+1) b) F ( x)=e^{x+ x3}

F ( x)=( g ( x))ⁿ

No caso de uma potência de uma função, temos:

⇒ F ' ( x)=n⋅[ g ( x)]ⁿ⁻¹⋅g ' ( x)

Mais exemplos:

a) F ( x)=√^{3x5+ x+2}

b) F ( x)=sen( x²) c) F ( x)=sen²( x)

Derivada de Funções Derivada de Funções

Regra da Cadeia Regra da Cadeia

Exercícios de Derivação Exercícios de Derivação

1) Apenas derive as seguintes funções:

f  x=x−3 senx

f  x=senx10 tan x f  x=x³ cosx

f  x=x sen x

f  x=2 cscx5 cos x

f  x=x sen xcos x

f  x=4 cos x/2

f  x=2 tan5x f  x=9 sec  ^x/3

f  x=lnx²10 f x=ln cos x

f x=^{5 ln x}

f x=x ln1e^x

Estudo depois da aula...

Estudo depois da aula...

Do livro de Cálculo, volume 01, do James Stewart (2013), é importante estudar as seções seguintes, fazendo os exercícios que seguem:

3. Regras de Derivação (p.173-187; p.196-201) 3.3. Derivadas de Funções Trigonométricas 3.4. A Regra da Cadeia

3.6. Derivadas de Funções Trigonométricas

Bom estudo!!!