Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

(1)

ufpe – ´ area ii – c 2019 prof. fernando j. o. souza MA036 (geometria anal´ıtica 1) – 2019.1 – turma p6

3

^a

UNID. – GABARITO DA REVIS ˜ AO – PARTE 1 DE 2 - v. 1.1:

RESPOSTAS DISPON´IVEIS EM FORMATO DIGITADO

Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

_P

, y

_P

) no plano euclidiano ser´a denotado por P (x

P

, y

P

), sem sinal de igualdade. A origem ´e O (0, 0). J´a um vetor − → v no plano de coordenadas (v

x

, v

y

) com rela¸cão à base canônica ξ

₂

(uma base ortonormal positiva fixada) ser´a denotado por − → v = (v

_x

, v

_y

), evitando confus˜ao com os pontos, apesar de valer −→

OP = (x

P

, y

P

).

Quest˜ ao 1. Mudando o sistema de coordenadas por uma rota¸ c˜ ao e/ou uma transla¸ c˜ ao se for necessário, obter uma equa¸cão reduzida para a curva cô- nica dada, identificar o tipo de curva cônica, e calcular todos os valores notáveis que se aplicam à curva dada dentre os seguintes: coordenadas do centro (no sistema de coordenadas Oxy original); raio; comprimentos dos eixos maior, menor, transverso (real, focal) e conjugado (imaginário), conforme o caso; distância focal; e excentricidade.

1.a. x

²

− 3xy + 5y

²

− 4 = 0;

Resolu¸ c˜ ao de 1.a. Devido ao monômio − 3xy (um “termo cruzado”), é necessária uma rota¸cão. Na ausência de monômios lineares, não é necessária uma transla¸cão. Identificam-se os coeficientes A = 1, B = − 3 e C = 5. Para a elimina¸cão de termo cruzado, como no livro-texto [Boulos/Camargo, 3

^a

ed.], escolheremos o ˆangulo trigonom´etrico θ ∈ 0,

^π₂

∴ 2θ ∈ (0, π) ∴ sen(2θ) > 0 e, assim, podemos usar:

cot (2θ) = A − C

B (1)

No exemplo, cot (2θ) =

¹₋⁻₃⁵

=

⁴₃

. Da identidade sen

²

(2θ) = 1/ (1 + cot

²

(2θ)), segue-se que sen

²

(2θ) = 1/ (1 + (4/3)

²

) = 1/ (1 + (16/9)) =

₂₅⁹

. Mas sen(2θ) >

0 ∴ sen(2θ) = 3/5. Da´ı, temos ˜ B = 0 e o sistema de equa¸c˜oes abaixo:

( A ˜ + ˜ C = A + C = 1 + 5 = 6 ∴ 2 ˜ A = 6 − 5 = 1 ∴ A ˜ = 1/2

A ˜ − C ˜ =

_sen(2θ)^B

=

_3/5⁻³

= − 5 ∴ C ˜ = 6 − A ˜ = 11/2.

(2)

1 2 x

²₁

+ 11

2 y

₁²

− 4 = 0 ∴ x

²₁

8 + y

₁²

(8/11) = 1 ∴ x

²₁

(2 √

2)

²

+ y

₁²

2 q

2 11

²

= 1 Desta equa¸c˜ao reduzida, conclui-se que se trata de uma elipse. Seu centro

´e O = (0, 0). a = 2 √

2 e b = 2 p

2/11 ∴ c = r

8 − 8

11 = 4 p

5/11. Logo, os comprimentos dos eixos maior e menor s˜ao, respectivamente, 2a = 4 √

2 e 2b = 4 p

2/11 . A distˆancia focal ´e 2c = 8 p

5/11, e a excentricidade ´e e = c/a = p

10/11 . No sistema de coordenadas Ox

1

y

1

, os demais pontos notáveis são dados por: vértices ± 2 √

2, 0 e

0, ± 2 p 2/11

; e focos ± 4 p

5/11, 0 .

Quest˜ ao “1 e meio”. Seja o ponto P (6, − 2) no sistema de coordenadas Oxy.

Suponha-se que este sistema foi rotacionado pelo ˆangulo trigonom´etrico π/6 (radianos), resultando num sistema de coordenadas cartesianas Ox

^′

y

^′

. Cal- cular as coordenadas (x

^′

, y

^′

) do ponto P neste novo sistema.

Resolu¸ c˜ ao de “1 e meio”. Sendo x

^′

= x cos θ + y sen θ, y

^′

= − x sen θ + y cos θ, e θ = π/6, obt´em-se que x

^′

= x

√ 3 2 + y 1

2 e y

^′

= − x 1 2 + y

√ 3

2 . Sendo (x, y) = (6, − 2) para P , tem-se que (x

^′

, y

^′

) = 6 ·

√ 3

2 − 2 · 1

2 , − 6 · 1 2 − 2 ·

√ 3 2

!

= ( − 1 + 3 √

3, − 3 − √ 3).

Quest˜ ao 2. Considerem-se os novos sistemas de coordenadas a seguir:

O

^′

x

^′

y

^′

resulta da transla¸c˜ao de Oxy pelo vetor de coordenadas (3, 4) em Oxy;

O

^′′

x

^′′

y

^′′

resulta da rota¸c˜ao do novo sistema O

^′

x

^′

y

^′

pelo ˆangulo trigonom´etrico π/3 (radianos); e

O ˜ x˜ ˜ y resulta da rota¸c˜ao do sistema original Oxy pelo mesmo ˆangulo π/3.

2.a. Escrever as coordenadas (x

^′′

, y

^′′

) de um ponto qualquer como fun¸c˜oes de suas coordenadas originais (x, y);

2.b. Considere-se a transla¸c˜ao que leva o sistema de coordenadas ˜ O x ˜ y ˜ no

sistema de coordenadas O

^′′

x

^′′

y

^′′

. Seja − → u o vetor do plano que representa

aquela transla¸c˜ao. Dar as coordenadas de − → u no sistema ˜ O x˜ ˜ y.

(3)

Resolu¸ c˜ ao de 2.a. Dado um ponto S de coordenadas (x, y) no sistema Oxy, estas s˜ao tamb´em as coordenadas do vetor −→

OS em ambos os sistemas

¹

Oxy e O

^′

x

^′

y

^′

. Por sua vez, as coordenadas (x

^′

, y

^′

) de S no sistema O

^′

x

^′

y

^′

s˜ao tam- b´em as coordenadas do vetor −−→

O

^′

S em Oxy e O

^′

x

^′

y

^′

. Mas −→ OS = −−→

OO

^′

+ −−→

O

^′

S, donde (x

^′

, y

^′

) = −−→

O

^′

S = −→ OS − −−→

OO

^′

= (x, y) − (3, 4) ∴ (x

^′

, y

^′

) = (x − 3, y − 4), pois O

^′

é o resultado da transla¸cão de O, isto é, tem coordenadas (3, 4) no sistema Oxy (e, é claro, coordenadas (0, 0) no sistema O

^′

x

^′

y

^′

).

Sendo x

^′′

= x

^′

cos θ + y

^′

senθ, y

^′′

= − x

^′

senθ + y

^′

cos θ e θ = π/3, tem-se que: x

^′′

= x

^′

1 2 + y

^′

√ 3

2 e y

^′′

= − x

^′

√ 3 2 + y

^′

1 2 . Combinando-se os resultados:

x

^′′

= (x − 3) 1

2 + (y − 4)

√ 3

2 e y

^′′

= − (x − 3)

√ 3

2 + (y − 4) 1 2 ∴ x

^′′

= x

2 +

√ 3 2 y −

3 2 + 2 √

3 e y

^′′

= −

√ 3 2 x + y

2 + 3

2 √ 3 − 2

2.b. – um caminho. Dado um ponto S de coordenadas (x, y ) no sistema Oxy , suas coordenadas (˜ x, y) no sistema ˜ ˜ O x ˜ y ˜ s˜ao an´alogas a x

^′′

e y

^′′

como fun¸c˜oes de x

^′

e y

^′

:

˜ x = x

2 + y

√ 3

2 e ˜ y = − x

√ 3 2 + y

2 Agora, considerem-se as coordenadas (x

^′′

, y

^′′

) de S no sistema O

^′′

x

^′′

y

^′′

, as quais tamb´em s˜ao as coordenadas do vetor −−→

O

^′′

S em ambos os sistemas O

^′′

x

^′′

y

^′′

e ˜ O x˜ ˜ y, pois o primeiro é obtido do segundo através da transla¸cão por − → u , que

´e igual a −−→ OO ˜

^′′

. Da mesma forma, (˜ x, y) s˜ao as coordenadas do vetor ˜ −→ OS ˜ em O

^′′

x

^′′

y

^′′

e ˜ O x˜ ˜ y. Mas −→ OS ˜ = −−→ OO ˜

^′′

+ −−→

O

^′′

S e, portanto:

−

→ u = −−→ OO ˜

^′′

= −→ OS ˜ − −−→

O

^′′

S = (˜ x, y) ˜ − (x

^′′

, y

^′′

) = (˜ x − x

^′′

, y ˜ − y

^′′

),

1

Como O

^′

x

^′

y

^′

foi obtido de Oxy por uma transla¸c˜ ao, vetores tˆem as mesmas coorde-

nadas em Oxy e O

^′

x

^′

y

^′

pois, em ambos os sistemas, os deslocamentos representados por

tais coordenadas s˜ao os mesmos.

(4)

onde as coordenadas se aplicam a ambos os sistemas O

^′′

x

^′′

y

^′′

e ˜ O x˜ ˜ y. Segue-se que, em ˜ O x˜ ˜ y:

−

→ u = 3

2 + 2 √

3, 2 − 3 2

√ 3

2.b. – outro caminho. A transla¸cão no Item 2.b tem o mesmo efeito sobre o plano que a transla¸cão original. O que muda é a sua expressão com rela¸cão a sistemas de coordenadas cujas dire¸cões foram modificadas pela rota¸cão.

Como ˜ O = O e O

^′′

= O

^′

, tem-se que − → u = −−→ OO ˜

^′′

= −−→

OO

^′

e, portanto, suas coordenadas nos sistemas Oxy e O

^′

x

^′

y

^′

s˜ao (3, 4). J´a nos sistemas O

^′′

x

^′′

y

^′′

e ˜ O x˜ ˜ y, suas coordenadas mudam da mesma forma que as do ponto de coordenadas (3, 4) em Oxy mudariam segundo a rota¸cão por π/3. Podem-se, portanto, calcular as novas coordenadas de − → u utilizando-se (x, y) = (3, 4) na expressão de ˜ x e ˜ y como fun¸cões de x e y obtidas no caminho anterior:

˜ x = x 1

2 + y

√ 3

2 e ˜ y = − x

√ 3 2 + y 1

2 ∴ − → u = 3

2 + 2 √

3, 2 − 3 2

√ 3

Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxyz para o espa¸co euclidiano. Um ponto P de coordenadas (x

P

, y

P

, z

P

) ser´a denotado por P (x

P

, y

P

, z

P

). A origem ´e O (0, 0, 0). J´a um vetor − → v no espa¸co de coordenadas (v

_x

, v

_y

, v

_z

) com rela¸cão à base canônica ξ

₃

= n

b i, b j, b k o

(uma base ortonormal positiva fixada) ser´a denotado por − → v = (v

x

, v

y

, v

z

).

Quest˜ ao “3 e meio”. Seja S a superf´ıcie esf´erica de centro (0, 1, 2) e raio 6. Dar equa¸ c˜ oes gerais para os dois planos ortogonais ao vetor ~ n = (2, − 1, − 2)

E

que s˜ao tangentes a S.

Resolu¸ c˜ ao de “3 e meio”. Os planos s˜ao ortogonais a ~ n = (2, − 1, − 2)

^E

e, portanto, pertencem ao feixe de planos definido por 2x − y − 2z + d = 0

(fixado d ∈ R para cada plano). Determinem-se os valores de d para os dois

planos em quest˜ao, π

1

e π

2

. Denotem-se os pontos de tangˆencia nos dois

planos em quest˜ao, π

1

e π

2

, por P

1

e P

2

, respectivamente. Determina-se-˜ao

os respectivos valores de d.

(5)

Um caminho: Observe-se que P

1

e P

2

realizam as distˆancias entre o centro C

S

= (x

0

, y

0

, z

0

) = (0, 1, 2) da esfera e os planos π

1

e π

2

, respectivamente, Tais distâncias têm que ser iguais ao raio devido às posi¸cões relativas (planos tangentes à esfera). Denotando-se por d



o valor d de π



para  ∈ { 1, 2 } :

6 = dist (C

S

, π



) = | 2x

0

− y

0

− 2z

0

+ d



|

|| ~ n || = | 2 · 0 − 1 − 2 · 2 + d



|

|| (2, − 1, − 2)

E

|| =

= | d



− 5 |

p 2

²

+ ( − 1)

²

+ ( − 2)

²

= | d



− 5 |

√ 9 = | d



− 5 |

3 ∴ | d



− 5 | = 18 ∴ d



= 5 ± 18

∴ d



∈ { 23, − 13 } . Assim, os planos desejados admitem as equa¸c˜oes:

2x − y − 2z + 23 = 0 e 2x − y − 2z − 13 = 0.

Outro caminho: Como no caminho anterior, dist (C

S

, π



) = 6, onde  ∈ { 1, 2 } . Mas tal distância é realizada pelos pés das retas perpendiculares

àqueles planos pelo centro, ou seja, estes pés são P

1

e P

2

. Sendo π

1

e π

2

nor- mais a ~ n, segue-se que −−−→ C

S

P



´e normal a π



, ou seja, ele ´e paralelo a (m´ ultiplo de) ~ n: para algum α

_

∈ R , tem-se que −−−→ C

_S

P

_

= α

_

~ n e, da´ı (com || ~ n || acima):

6 = dist (C

S

, π



) = −−−→

C

S

P



= || α



~ n || = | α



| || ~ n || = 3 | α



| ∴ | α



| = 2 ∴ α



= ± 2. Mas P



= C

S

+ −−−→ C

S

P



= C

S

± 2 ~ n = (0, 1, 2) ± 2 (2, − 1, − 2)

E

∴ P



= (0, 1, 2) ± (4, − 2, − 4)

E

∴ P

1

= ( − 4, 3, 6) e P

2

= (4, − 1, − 2). Calculando- se − (2x − y − 2z) = − 2x + y + 2z em P



, tem-se o respectivo valor d



: d

1

= − 2( − 4) + 3 + 2 · 6 = 8 + 3 + 12 = 23, e d

2

= − 2 · 4 + ( − 1) + 2( − 2) =

− 8 − 1 − 4 = − 13, fornecendo a resposta no caminho anterior.

Quest˜ ao 4. Para cada superf´ıcie quádrica apresentada abaixo por meio de uma equa¸cão geral, obter sua equa¸cão reduzida (no sistema de coordenadas original) e identificar seu tipo, fazendo, se necessário, uma transla¸cão.

Estudar seus cortes (tra¸cos, interse¸c˜oes) pelos planos coordenados e pelos planos paralelos a estes.

4.a. 16x

²

− y

²

+ z

²

+ 16 = 0; 4.b. 3x

²

− 2z

²

+ 6x − y + 8z − 3 = 0;

4.c. x

²

− 4y

²

+ 4z

²

− 6x + 8z + 9 = 0; 4.d. 25x

²

− 25y

²

+ z

²

= 0;

4.e. x

²

− y

²

+ 4z

²

− 2x + 16z + 21 = 0.

(6)

Resolu¸ c˜ ao de 4.a. Isolando-se o termo constante, e dividindo-se por ele:

− 16x

²

+ y

²

− z

²

= 16 ∴ y

²

4

²

− x

²

− z

²

4

²

= 1 (equa¸c˜ao reduzida),

donde se reconhece que a superf´ıcie ´e um hiperbol´oide de duas folhas

²

. Deno- têmo-la por Q. Equa¸cões para as interseçcões de Q com os planos coordenados Oxy (isto é, z = 0) e Oyz (isto é, x = 0) são obtidas da equa¸cão reduzida, anulando-se a respectiva coordenada. Portanto, elas são hipérboles, sendo a primeira dada pelo sistema de equa¸cões y

²

4

²

− x

²

= 1 e z = 0, e a segunda pelo sistema y

²

4

²

− z

²

4

²

= 1 e x = 0. Já a interseçcão de Q com o plano coordenado Oxz (isto é, y = 0) satisfaz o sistema de equa¸cões − x

²

− z

²

4

²

= 1 e y = 0.

Como o termo − x

²

− z

²

4

²

n˜ao ´e positivo

³

, ele não pode assumir valor igual a 1 e, assim, a primeira equa¸cão não possui solu¸cão real (nem o sistema). Por conseguinte, a interseçcão de Q com o plano Oxz é o conjunto vazio.

Resolu¸ c˜ ao parcial de 4.b. Completando-se os quadrados:

0 = 3x

²

− 2z

²

+ 6x − y + 8z − 3 = 3(x

²

+ 2x) − y − 2(z

²

− 4) − 3 = 3(x

²

+ 2 · 1x + 1 − 1) − y − 2(z

²

− 2 · 2z + 2

²

− 2

²

) − 3 =

3(x + 1)

²

− 3 − y − 2(z − 2)

²

+ 8 − 3 = 3(x − ( − 1))

²

− (y − 2) − 2(z − 2)

²

∴ 3x

²

− y − 2z

²

= 0 (geral), isto ´e, y = 3x

²

− 2z

²

(reduzida), onde o novo sistema de coordenadas cartesianas O x y z ´e o resultado da transla¸c˜ao

⁴

do sistema original pelo vetor −→

OO = ( − 1, 2, 2). Como y aparece apenas com o termo linear, e as outras variáveis aparecem apenas com termos quadráticos cujos coeficientes têm sinais opostos, trata-se de um parabolóide hiperbólico.

2

Observe-se que os trˆes monˆ omios de grau 2 n˜ ao s˜ao nulos, e que apenas um deles tem coeficiente positivo.

3

O termo − x

²

assume valor 0 em x = 0, e ´e negativo para todos os demais valores de x.

Portanto, ele n˜ ao ´e positivo. Analogamente, − z

²

4

²

n˜ ao é positivo. A soma de dois termos que nunca assumem valor positivo também n˜ ao é positiva.

4

Logo, x = x + 1, y = y − 2 e z = z − 2.

(7)

Resolu¸ c˜ ao parcial de 4.c. A equa¸cão geral dada para a superf´ıcie não tem “termos cruzados”, de modo que apenas uma transla¸cão é necessária.

Completando-se os quadrados:

0 = x

²

− 4y

²

+ 4z

²

− 6x + 8z + 9 = x

²

− 6x

− 4y

²

+ 4 z

²

+ 2z + 9 =

= x

²

− 6x + 9

− 4y

²

+4 z

²

+ 2z + 1 − 1

= (x − 3)

²

− 4y

²

+4 (z + 1)

²

− 4 ∴

∴ (x − 3)

²

− 4y

²

+ 4 (z + 1)

²

= 4 ∴ (x − 3)

²

2

²

− y

²

1

²

+ (z + 1)

²

1

²

= 1, donde se reconhece que a superf´ıcie ´e um hiperbol´oide de uma folha

⁵

. Resolu¸ c˜ ao parcial de 4.d. A equa¸c˜ao geral dada para a superf´ıcie equivale

`a equa¸c˜ao reduzida y

²

= x

²

+ z

²

5

²

, donde se reconhece um cone (el´ıptico reto) (um cone qu´adrico). Para z = 0, tem-se o sistema de equa¸c˜oes: z = 0 e y

²

= x

²

. A segunda equa¸c˜ao equivale a y = ± x, reconhecendo-se um par de retas concorrentes (no plano z = 0).

Obs. Em contraste, para y = 1, ter-se-ia o sistema de equa¸c˜oes: y = 1 e x

²

+ z

²

5

²

= 1, reconhecendo-se uma elipse (no plano y = 1) devido `a segunda equa¸c˜ao.

Resolu¸ c˜ ao parcial de 4.e. A equa¸cão geral dada para a superf´ıcie não tem “termos cruzados”, de modo que apenas uma transla¸cão é necessária.

Completando-se os quadrados:

0 = x

²

− y

²

+ 4z

²

− 2x + 16z + 21 = x

²

− 2x

− y

²

+ 4 z

²

+ 4z

+ 21 =

= x

²

− 2x + 1 − 1

− y

²

+ 4 z

²

+ 4z + 2

²

− 2

²

+ 21 =

= (x − 1)

²

− 1 − y

²

+ 4 (z + 2)

²

− 16 + 21 = (x − 1)

²

− y

²

+ 4 (z + 2)

²

+ 4 ∴

∴ (x − 1)

²

− y

²

+ 4 (z + 2)

²

= − 4 ∴ − (x − 1)

²

2

²

+ y

²

2

²

− (z + 2)

²

1

²

= 1, isto ´e, − x

²₁

2

²

+ y

₁²

2

²

− z

₁²

1

²

= 1 no sistema de coordenadas O

₁

x

₁

y

₁

z

₁

= (O

₁

, E ), onde O

₁

= (1, 0, − 2) no sistema de coordenadas original, cuja base ortonormal é E . Reconhece-se que a superf´ıcie é um hiperbolóide de duas folhas.

5

O centro ´e o ponto (3, 0, − 1).

(8)

Quest˜ ao 5. A interseçcão (tra¸co, corte) de um elipsóide E com o plano coordenado xy é a elipse de centro na origem O, eixo maior de comprimento 20 na dire¸cão x, e eixo menor de comprimento 16 na dire¸cão y. Já a interseçcão de E com o plano coordenado yz é a elipse de centro na origem O, eixo maior de comprimento 16 na dire¸cão y, e eixo menor de comprimento 12 na dire¸cão z. Obter a equa¸cão reduzida para o elipsóide E .

Resolu¸ c˜ ao de 5. E admite equa¸c˜ao reduzida x

²

a

²

+ y

²

b

²

+ z

²

c

²

= 1, onde a, b e c são constantes positivas. Sua interseçcão com o plano coordenado xy (isto é, z = 0) é dada pelo sistema de equa¸cões x

²

a

²

+ y

²

b

²

+ z

²

c

²

= 1 e z = 0, equivalente a x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1 e z = 0. Isto descreve a elipse no plano xy descrita no enunciado, donde se reconhecem os valores a =

²⁰₂

= 10 e b =

¹⁶₂

= 8.

Analogamente, interseçcão com o plano coordenado yz (isto é, x = 0) é dada pelo sistema de equa¸cões x

²

a

²

+ y

²

b

²

+ z

²

c

²

= 1 e x = 0, equivalente a y

²

b

²

+ z

²

c

²

= 1 e x = 0. Isto descreve a elipse no plano yz descrita no enunciado, donde se reconhece o valor c =

¹²₂

= 6. Assim, E tem equa¸c˜ao reduzida dada por:

x

²

100 + y

²

64 + z

²

36 = 1

Quest˜ ao 6. Para cada superf´ıcie abaixo, descrevˆ e-la, primeiro, parame- trizada por (λ, µ) como foi estudado e, depois, por uma equa¸cão em (x, y, z) apenas (eliminando os parâmetros). A superf´ıcie é gerada pela rota¸cão, em torno do eixo coordenado:

6.a. Oy, da reta s dada pelas equa¸c˜oes planares 2x − 3y = 0 e z = 0;

6.b. Oz, da curva c dada pelo sistema de equa¸c˜oes y = 2 + sen(z) e x = 0;

6.c. Oz, da reta s dada pelas equa¸c˜oes planares 4z − 3y = 0 e x = 0;

6.d. Oy, da curva c dada pelo sistema de equa¸c˜oes z = e

^y

e x = 0.

Uma resolu¸ c˜ ao de 6.a. Dado um ponto P

S

(x, y, z) qualquer sobre a super- f´ıcie, considere-se a circunferˆencia de centro C

S

(0, y, 0) que lhe corresponde pelo processo de constru¸c˜ao da superf´ıcie. Seja P

_s

(x

₁

, y, 0) um ponto de interseçcão da circunferência com a reta s. Por defini¸cão de s, tem-se que 2x

1

− 3y = 0 ∴ x

1

=

³₂

y. O raio daquela circunferˆencia ´e igual a

−−−→

C

S

P

S

=

(9)

−−−→ C

S

P

s

. Mas:

−−−→ C

S

P

S

= || (x, y, z) − (0, y, 0) || = || (x, 0, z) || = √

x

²

+ z

²

, enquanto

−−−→

C

S

P

s

= || (x

1

, y, 0) − (0, y, 0) || = || (x

1

, 0, 0) || = | x

1

| =

³₂

y . Substituindo-se estes valores nas respectivas express˜oes do raio, tem-se a seguinte equa¸c˜ao

⁶

para a superf´ıcie:

³₂

| y | = √

x

²

+ z

²

.

Uma resolu¸ c˜ ao de 6.b. Dado um ponto P

S

(x, y, z) qualquer sobre a super- f´ıcie, considere-se a circunferˆencia de centro C

S

(0, 0, z) que lhe corresponde pelo processo de constru¸c˜ao da superf´ıcie. Seja P

_c

(0, y

₁

, z) um ponto de in- terseçcão da circunferência com a curva c. Por defini¸cão de c, tem-se que y

1

= 2 + sen(z). O raio daquela circunferˆencia ´e igual a

−−−→ C

S

P

S

=

−−−→ C

S

P

c

. Mas:

−−−→ C

S

P

S

= || (x, y, z) − (0, 0, z) || = || (x, y, 0) || = p

x

²

+ y

²

, enquanto

−−−→

C

S

P

c

= || (0, y

1

, z) − (0, 0, z) || = || (0, y

1

, 0) || = | y

1

| = 2 + sen(z), pois 2 + sen(z) ≥ 1 ≥ 0 devido à fun¸cão seno. Substituindo-se estes valores nas respectivas expressões do raio, tem-se a seguinte equa¸cão

⁷

para a superf´ıcie:

2 + sen(z) = p

x

²

+ y

²

.

Uma resolu¸ c˜ ao de 6.c. Dado um ponto P

S

(x, y, z) qualquer sobre a super- f´ıcie, considere-se a circunferˆencia de centro C

S

(0, 0, z) que lhe corresponde pelo processo de constru¸c˜ao da superf´ıcie. Seja P

s

(0, y

1

, z) um ponto de in- terseçcão da circunferência com a reta s. Por defini¸cão de s, vale 4z − 3y

1

= 0 ∴ y

1

=

⁴₃

z. O raio daquela circunferˆencia ´e igual a

−−−→

C

S

P

S

=

−−−→

C

S

P

s

. Mas: −−−→ C

_S

P

_S

= || (x, y, z) − (0, 0, z) || = || (x, y, 0) || = p

x

²

+ y

²

, enquanto

−−−→ C

S

P

s

= || (0, y

1

, z) − (0, 0, z) || = || (0, y

1

, 0) || = | y

1

| =

⁴₃

z . Substituindo- se estes valores nas respectivas express˜oes do raio, tem-se a seguinte equa¸c˜ao

⁸

para a superf´ıcie:

⁴₃

| z | = p

x

²

+ y

²

.

6

Observe-se o valor absoluto, esquecido por diversos estudantes. Uma equa¸c˜ ao alternativa é obtida a partir do quadrado do raio (equa¸c˜ ao, esta, equivalente à obtida acima porque o raio n˜ ao é negativo):

⁹₄

y

²

= x

²

+ z

²

, isto ´e, 4x

²

− 9y

²

+ 4z

²

= 0 (forma reduzida).

7

Uma equa¸c˜ ao alternativa é obtida a partir do quadrado do raio (equa¸c˜ ao, esta, equivalente à obtida acima porque o raio n˜ ao é negativo): x

²

+ y

²

= (2 + sen(z))

²

.

8

Observe-se o valor absoluto! Uma equa¸c˜ ao alternativa ´e obtida a partir do quadrado do raio (equa¸c˜ ao, esta, equivalente ` a obtida acima porque o raio n˜ ao ´e negativo):

16

9

z

²

= x

²

+ y

²

, isto ´e, 9x

²

+ 9y

²

− 16z

²

= 0.

(10)

Uma resolu¸ c˜ ao de 6.d. Dado um ponto P

R

= (x, y, z) qualquer sobre a superf´ıcie de revolu¸c˜ao obtida R, considere-se a circunferˆencia de centro C

R

= (0, y, 0) que lhe corresponde pelo processo de constru¸c˜ao da superf´ıcie.

Seja P

c

= (0, y, z

1

) um ponto de interseçcão da circunferência com a curva c.

Por defini¸c˜ao de c, tem-se que z

1

= e

^y

. O raio daquela circunferˆencia ´e igual a

−−−→

C

R

P

R

=

−−−→

C

R

P

c

. Mas:

−−−→

C

R

P

R

= || (x, y, z) − (0, y, 0) || = || (x, 0, z) || =

√ x

²

+ z

²

, enquanto −−−→ C

R

P

c

= || (0, y, z

1

) − (0, y, 0) || = || (0, 0, z

1

) || = | z

1

| =

| e

^y

| = e

^y

. Substituindo-se estes valores nas respectivas express˜oes do raio, tem-se a seguinte equa¸c˜ao

⁹

para a superf´ıcie: √

x

²

+ z

²

= e

^y

.

Quest˜ ao 7. E uma tabela mais prática de situa¸cões para quádricas que a do ´ livro-texto adotado. Ela é uma versão melhorada daquela em [Lehmann]. O exerc´ıcio pedido depende das escolhas de dados de cada estudante, servindo apenas para ajudá-lo(a) a se familiarizar com a tabela.

9

Uma equa¸c˜ ao alternativa ´e obtida a partir do quadrado do raio (equa¸c˜ ao, esta, equiva-

lente `a obtida acima porque o raio n˜ ao ´e negativo): x

²

+ z

²

= (e

^y

)

²

, isto ´e, x

²

+ z

²

= e

²^y

.