Ergodicidade e homeomorfismos anulares do toro

(1)

Ergodicidade e homeomorfismos

anulares do toro

Renato Belinelo Bortolatto

Tese apresentada

ao

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

da

Universidade de S˜

ao Paulo

para

obtenc

¸˜

ao do t´ıtulo

de

Doutor em Ciˆ

encias

Programa: Matem´atica Aplicada

Orientador: Prof. Dr. F´abio Armando Tal

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro do CNPq

(2)

Ergodicidade e homeomorfismos

anulares do toro

Esta versão definitiva da tese contém as corre¸cões e altera¸cões sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa realizada por Renato Belinelo Bortolatto em 22/06/2012.

Comiss˜ao Julgadora:

• Prof. Dr. F´abio Armando Tal (orientador) - IME-USP • Prof. Dr. Salvador Addas Zanata - IME-USP

• Prof. Dr. Alejandro Kocsard - UFF • Prof. Dr. Andr´es Koropecki - UFF

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Agradecimentos

Quando eu conheci o Fábio ele já havia sido indicado como meu orienta-dor e desde esse dia ele não foi nada menos do que generoso comigo. Ele provavelmente não faz idéia de quanto eu aprendi com ele, não apenas em matemática. Foi um privilégio e um prazer ter trabalhado ao lado dele esses anos. Obrigado por tudo, Fábio.

Quero também agradecer em poucas linhas o muito que as professoras Zara, Helena e Luc´ılia acreditaram e investiram em mim durante minha gradu¸cão. Espero deixar vocês orgulhosas não só com o t´ıtulo, mas com tudo que o futuro trará.

Sendo aluno deste instituto por tanto tempo não posso deixar de ser grato pelos muitos amigos que conheci e que me fizeram sentir menos sozinho e mais feliz. Sou especialmente grato aqueles que foram meus professores e me ensinaram, inspiraram e ajudaram, cada um a sua maneira. Esses são muitos, mas em especial gostaria de agradecer a Mané, Salvador, Rosa, Gladys e Sérgio Oliva.

Por fim, agrade¸co minha fam´ılia: Aline pela companhia e pela bagun¸ca que fez no meu mundo ordenado e chato e meu pai por sempre ter feito por mim mais do que eu pedi. Mesmo sem dizer, espero que vocˆes todos saibam de minha gratid˜ao em todos os dias que restam em nossas vidas.

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(5)

Resumo

Sejaf :T2 _→_T2 _{um homeomorfismo homot´}_{opico a identidade e} _F _:_R2 _→

R2 _{um levantamento de} _f _{tal que seu conjunto de rota¸c˜}_ao _ρ₍_F_{) ´e um}

seg-mento vertical n˜ao degenerado contido em{0} ×R.

Provamos que sef é ergódico com respeito a medida de Lebesgue no toro e se o vetor de rota¸cão médio (com respeito a mesma medida) é da forma (0, α) para α∈R\Q então existeM >0 tal que|(Fn₍_x₎₋_x₎

1| ≤M para

todo x∈R2 _e _n_∈_Z_{(onde (}_.₎

1 :R2→R´e definida por (x, y)1 =x).

Palavras chave: Homeomorfismos do toro, conjuntos de rota¸c˜ao, ergodici-dade, pontos peri´odicos.

(6)

(7)

Abstract

Let f : T2 _→ _T2 _{be a homeomorphism homotopic to the identity and} _F _:

R2 _→ _R2 _{a lift of} _f _{such that the rotation set} _ρ₍_F_{) is a non-degenerated}

vertical line segment contained in{0} ×R.

We prove that if f is ergodic with respect to the Lebesgue measure on the torus and the average rotation vector (with respect to same measure) is of the form (0, α) for α ∈ R\ Q then there exists M > 0 such that |(Fn₍_x₎₋_x₎

1| ≤M for allx∈R2 andn∈Z(where (.)1 :R2 →Ris defined

by (x, y)1=x).

Key-words: Torus homeomorphisms, rotation sets, ergodicity, periodic points.

(8)

(9)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1 2 Aplica¸c˜oes do c´ırculo 3

2.1 N´umero de rota¸c˜ao . . . 3

2.2 Intervalo de rota¸c˜ao . . . 6

3 O conjunto de rota¸c˜ao 9 3.1 Defini¸c˜oes . . . 9

3.2 Propriedades gerais dos conjuntos de rota¸c˜ao . . . 11

3.3 A geometria de um conjunto de rota¸c˜ao . . . 13

3.4 Conjuntos de rota¸c˜ao e continuidade . . . 15

3.5 Conjuntos de rota¸c˜ao com interior . . . 16

3.6 Conjuntos de rota¸c˜ao sem interior . . . 17

4 A conjectura do deslocamento uniforme 21 4.1 Nota¸c˜ao . . . 21

4.2 Motiva¸c˜ao da conjectura . . . 21

4.3 Nosso resultado . . . 23

4.4 O papel da ergodicidade . . . 24

5 Os conjuntos B0, Bπ e ω(B0), ω(Bπ) 27 5.1 Defini¸c˜oes; B0, Bπ 6=∅ . . . 27

5.2 ω(B0), ω(Bπ)6=∅ . . . 32

5.3 Estrat´egia da prova . . . 33

6 Prova do teorema 37 6.1 Consequˆencias da nega¸c˜ao do teorema . . . 37

6.2 O caso π(ω(B0))∩π(ω(Bπ))6=∅ n˜ao pode ocorrer . . . 38

6.3 A distˆancia entreπ(ω(B0)) e π(ω(Bπ)) . . . 40

6.4 O caso π(ω(B0))∩π(ω(Bπ)) =∅ n˜ao pode ocorrer . . . 42

7 Coment´arios finais 47

(10)

(11)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

O n´umero de rota¸c˜aoρ(f)∈Rpara homeomorfismos do c´ırculoT1 _que

pre-servam a orienta¸cão é um invariante topológico bem conhecido cuja desco-berta pode ser atribuida a Poincaré. Sabemos, por exemplo, que seρ(f)∈/ Q

então existe uma semi-conjuga¸cão entre f e a rota¸cão de ângulo ρ(f). O exemplo de Denjoy, por sua vez, mostra que em geral não é poss´ıvel obter uma conjuga¸cão. No cap´ıtulo seguinte voltaremos a este assunto fazendo um breve resumo desta teoria.

Algumas vezes, no entanto, é preciso considerar não homeomorfismos, mas endomorfismos do c´ırculo (isto é, aplica¸cões cont´ınuas deT1_{de grau 1).}

Ainda no segundo cap´ıtulo apresentamos uma generaliza¸cão adequada para o número de rota¸cão devida a Newhouse, Palis e Takens [NPT83]. Vê-se facilmente que essa defini¸cão depende de cada ponto de T1_{, ao contr´}_{ario do}

número de rota¸cão de Poincaré. Olhando então para o fecho da união dos números de rota¸cão pontuais obtemos um conjunto que mostra-se ser um intervalo fechado da reta, eventualmente degenerado. Chamamos assim este conjunto de intervalo de rota¸cão de um endomorfismo do c´ırculo.

Desejamos estudar aplica¸c˜oes cont´ınuas do toro m-dimensional

Tm _∼₌_Rm_/Zm

nele mesmo (diremos simplesmente automorfismos do toro, quando a di-mensão for fixada). Iremos pedir que essas aplica¸cões sejam homotópicas a identidade pois queremos utilizar como ferramenta uma generaliza¸cão apro-priada do número de rota¸cão para homeomorfismos do c´ırculo. Veremos rapidamente que tal generaliza¸cão será especialmente útil ao estudarmos as aplica¸cões do toro 2-dimensional.

No terceiro cap´ıtulo definiremos então o conjunto de rota¸cão para estes homeomorfismos e falaremos sobre suas propriedades e resultados pertinen-tes. Os resultados são usados para motivar a conjectura do deslocamento uniforme, que é explicada no quarto cap´ıtulo.

No quinto cap´ıtulo apresentamos as ferramentas que ser˜ao usadas na

(12)

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO

prova de um caso particular da conjectura do deslocamento uniforme no sexto cap´ıtulo.

(13)

Cap´ıtulo 2

Aplica¸

c˜

oes do c´ırculo

2.1 N´

umero de rota¸

c˜

ao

Seja f um homeomorfismo do c´ırculo T1 _∼₌_R/Z _{que preserva a orienta¸c˜ao}

(com isso queremos dizer que consideramos uma ordem ≤ na reta e a des-cemos para no c´ırculo: “f preserva a orienta¸c˜ao”se x y implica que

f(x)f(y)). NaturalmenteT1_{´e uma variedade, de forma que inicialmente}

pensamos em “descer”f para R. Contudo do ponto de vista da dinâmica será útil “levantar”f para seu recobrimento universal como indica o dia-grama abaixo

R −F→ R

↓π ↓π T1 ₋_→f _T1

ondeπ :R→ T1 _{´e definida por}_π₍_x_{) =}_x₍_mod_{1). Como} _π _n˜_{ao ´e invert´ıvel}

o diagrama acima define apenas uma semi-conjuga¸cão entre f e seu levan-tamento F. O levantamento não é único e por isso sempre precisaremos escolher um. Apesar disso vê-se facilmente no diagrama acima que se F1 e

F2 s˜ao dois levantamentos de f ent˜aoF1−F2 ∈Z.

Também é fácil ver que F(x+i) = F(x) +i para todo i ∈ Z e neste caso dizemos queF é uma aplica¸cão de grau 1. Observe que apesar de f e

F serem semi-conjugados essas aplica¸cões não possuem, em geral, a mesma dinâmica: basta considerar emT1_≃_R/Z_{a aplica¸cão}

r1

4(θ) =θ+

1 4

(para o qual todos os pontos s˜ao peri´odicos) e seu levantamento

R1

4(x) =x+

1 4 que n˜ao tem pontos peri´odicos.

(14)

4 CAPÍTULO 2. APLICAÇ ÕES DO CÍRCULO

´

E interessante notar que se f inverte a orienta¸c˜ao (i.e., se x y ent˜ao

f(x) f(y)) pode-se provar que f tem exatamente 2 pontos fixos. Desta forma o caso mais interessante do ponto de vista dinâmico é dos homeomor-fismos que preservam orienta¸cão: esssa hipótese será usada fortemente no restante dessa se¸cão.

Defini¸c˜ao 1. Denotaremos porh+(T1) o conjunto dos homeomorfismos de

T1 _{que preservam a orienta¸c˜ao.}

Defini¸c˜ao 2. Seja f ∈ h+(T1) e F um levantamento. Quando existir o

limite

τ(F, x) := lim n→∞

Fn₍_x₎

n

diremos queτ(F, x) é o número de transla¸cão dex∈Rcom respeito a F.

Proposi¸c˜ao 1. Seja f ∈h+(T1) e F um levantamento. Ent˜ao

1. Existe limn→∞ F

n₍_x₎

n para todo x∈R.

2. τ(F, x) =τ(F), isto é, τ(F, x) independe de x∈R. 3. Se f tem um ponto periódico então τ(F)∈Q.

Note que seF1, F2 s˜ao dois levantamentos def ent˜aoτ(F1)−τ(F2)∈Z.

Isso permite definir o número de rota¸cão diretamente para um homeomor-fismo do c´ırculo que preserva orienta¸cão.

Defini¸cão 3. Se f ∈h+(T1) definimos o número de rota¸cão de f como

ρ(f) =π(τ(F))

Quando n˜ao houver confus˜ao indentificamos ρ(f) ∈ T1 _{com a parte n˜}

ao-inteira deτ(F). Observe ent˜ao que ρ(f)∈[0,1[.

O n´umero de rota¸c˜ao possui duas propriedades interessantes que descre-vemos nos dois enunciados seguintes.

Proposi¸c˜ao 2. Sef, g∈h+(T1)s˜ao topologicamente conjugadas (emh+(T1))

ent˜aoρ(f) =ρ(g).

Proposi¸cão 3. Seja f ∈ h+(T1). Então ρ(f) ∈/ Q se e somente se f não

tem pontos peri´odicos.

Uma pergunta natural nesse ponto é quando um homeomorfismo do c´ırculo que preserva a orienta¸cão é conjugado a uma rota¸cão. No caso de uma rota¸cão por ângulo racional (que claramente possui número de rota¸cão racional) todas as órbitas são periódicas e de mesmo per´ıodo; por outro lado sef ∈h+(T1) eρ(f)∈Qa proposi¸cão anterior garante apenas a existência

(15)

2.1. N ÚMERO DE ROTAÇ ÃO 5

possuem o mesmo per´ıodo e estão ordenadas como a rota¸cão de ânguloρ(f). Não é dif´ıcil construir (come¸cando com alguns pontos periódicos e fazendo as outras órbitas serem heterocl´ınicas a estes pontos periódicos) uma infini-dade de aplica¸cões emh+(T1) que possuem número de rota¸cão racional mas

n˜ao podem ser conjugadas a uma rota¸c˜ao.

Neste sentido, o caso de uma rota¸cão por ângulo irracional é mais inte-ressante. Temos, por exemplo, o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 4. Seja f ∈ h+(T1) e suponha que ρ(f) ∈/ Q. Ent˜ao existe

h:T1_→_T1 _{cont´ınua, sobrejetora, que preserva ordem e tal que}

h◦f =Rρ(f)◦h

isto é, f é semi-conjugada a uma rota¸cão de ângulo irracional.

Pode-se provar ainda que sefé topologicamente transitiva então a semi-conjuga¸cão no teorema acima é uma conjuga¸cão. Note porém que existe uma aplica¸cão do c´ırculo que possui número de rota¸cão irracional mas que não é conjugada a uma rota¸cão irracional.

Exemplo(Denjoy). Come¸ce com uma rota¸cão irracional e tome uma órbita. Mostra-se que trocando os pontos dessa órbita por intervalos In

suficiente-mente pequenos (que n˜ao cobrem T1_{) obtem-se uma aplica¸c˜}_ao _g _∈ _C1₍_T1₎

que satisfaz g(In) =In+1 e g|(∪n∈_ZIn) ´e semi-conjugada a uma rota¸c˜ao irra-cional.

Observe então que para uma aplica¸cãof do c´ırculo ser conjugada a uma rota¸cão irracional é preciso quef tenha todas as órbitas densas emT1_{. Isso}

mostra que g n˜ao pode ser conjugada a uma rota¸c˜ao irracional. ´

E poss´ıvel construir esse exemplo de forma que g∈ C1+ε para 0 ≤ε <

1 e de forma que a medida de Lebesgue de ∪n∈ZIn seja qualquer n´umero

estritamente positivo menor que 1.

O teorema de Denjoy diz que se uma aplica¸cão do c´ırculo que preserva orienta¸cão, possui número de rota¸cão irracional, éC1 e sua derivada tem va-ria¸cão limitada então ela é transitiva (e portanto conjugada a uma rota¸cão). Em particular, toda aplica¸cãoC2 que preserva orienta¸cão possui número de rota¸cão irracional é conjugada a uma rota¸cão por ângulo irracional.

Para finalizar essa se¸cão citamos dois resultados que terão paralelos no próximo cap´ıtulo.

Proposi¸cão 5 ([KH96], Theorem 11.2.9). Se f é um homeomorfismo que preserva orienta¸cão do c´ırculo comρ(f)∈/Qentãof é unicamente ergódico. Visto como uma transforma¸cão que preserva medida,f é métricamente iso-morfa a uma rota¸cão irracional.

(16)

6 CAPÍTULO 2. APLICAÇ ÕES DO CÍRCULO

Voltamos a notar que nessa se¸cão a propriedade de preserva¸cão da ori-enta¸cão foi decisiva. Entretanto veremos a seguir que podemos, de certa forma, abrir mão desta hipótese e ainda obter resultados interessantes. Isso indica a possibilidade de que uma versão adequada do número de rota¸cão dos homeomorfismo do c´ırculo que preservam a orienta¸cão seja útil no estudo da dinâmica em variedades de dimensão maior do que um.

2.2 Intervalo de rota¸

c˜

ao

O conceito de intervalo de rota¸cão para endomorfismos do c´ırculo aparece em [NPT83] motivado por um problema em teoria das bifurca¸cões. As pro-posi¸cões e provas abaixo são da mesma fonte.

Denote por End(T1_{) o conjunto das aplica¸c˜oes cont´ınuas} _φ _: _T1 _→ _T1

de grau 1. Para φ ∈ End(T1_{), um levantamento Φ e um ponto} _x _∈ _T1

definimos o n´umero de rota¸c˜ao puntual

ρ(Φ, x) := lim sup n→∞

Φn₍_x₎₋_x

n

Definimos o conjunto de rota¸c˜ao por

ρ(Φ) := [ x∈T1

ρ(Φ, x)

Tanto o número de rota¸cão puntual como o conjunto de rota¸cão são invarian-tes topológicos. Note que, para um homeomorfismo do c´ırculo que preserva a orienta¸cão, o conjunto de rota¸cão coincide com o número de rota¸cão.

O conjunto de rota¸cão é fechado por defini¸cão. Queremos mostrar que ele é um ponto ou um intervalo da reta. Temos o seguinte lema:

Lema 1 ([NPT83], Lemma (3.1)). Suponha que φ∈End(T1₎ _{e seja} _Φ_um

levantamento. Se φ não tem um ponto periódico com número de rota¸cão puntual p_q com p∈Z eq ∈N entãoρ(Φ)está contido em

x∈R|x < p q

ou

x∈R|x > p q

Demonstra¸cão. Observe que, para todox∈R, temos Φq₍_x₎₋_x₆₌_p_pois, caso contrário, π(x) seria um ponto periódico deφ com número de rota¸cão puntual p_q. Note que

Φq(x+ 1)−(x+ 1) = Φq(x)−x

isto é, Φq(x)−xé uma fun¸cão periódica (emx) de per´ıodo 1. Assim, sendo cont´ınua e podendo ser entendida com dom´ınio [0,1], existe um ε > 0 tal que

(17)

2.2. INTERVALO DE ROTAC¸ ˜AO 7

para todox∈R, ou seja,

ρ(Φ)⊆

x∈R|x < p q

ou ρ(Φ)⊆

x∈R|x > p q

Corol´ario ([NPT83], Corollary (3.2)). Seja φ∈End(T1₎ _e_Φ _um

levanta-mento. Suponha queα, β ∈ρ(Φ)e que existe p_q ∈Qsatisfazendoα≤ p_q ≤β. Entãoφ tem um ponto periódico com número de rota¸cão puntual p_q.

Demonstra¸cão. Se φnão tem um ponto periódico com número de rota¸cão puntual p_q então pelo lema anterior que

ρ(Φ)⊆

x∈R|x < p q

ou ρ(Φ)⊆

x∈R|x > p q

Mas isso n˜ao pode acontecer poisα, β ∈ρ(Φ) e α≤ p_q ≤β.

(18)

(19)

Cap´ıtulo 3

O conjunto de rota¸

c˜

ao

3.1 Defini¸

c˜

oes

Sejaf :Tm_→_Tm _e _F _:_Rm _→_Rm _{um levantamento fixado. Seja}_π _:_R2_→

T2 _{a proje¸c˜ao natural. Uma forma natural de definir o vetor de rota¸c˜ao}

parap∈Tm_{seria tomar}_x_∈_π−1₍_p_{) e considerar}_ρ₍_{F, x}_{) = limn} →∞ F

n₍_x₎₋_x

n . Definimos ent˜ao o conjunto de rota¸c˜ao baseado empontos como

ρp(F) =∪x∈Rmρ(F, x)

Em tempo, é necessário nos perguntarmos se ρp(F) está bem definido. Para isso usamos o seguinte resultado.

Lema 2. Um homeomorfismo F do Rm _{´e um levantamento de um}

homeo-morfismo de Tm _homot´_{opico a identidade se, e s´}_{o se,}_F₍_x₊_v_{) =}_F₍_x_{) +}_v

para todo x∈Rm _e_v_∈_Zm_.

A demonstra¸cão desse lema não é dif´ıcil, mas necessita de um resul-tado de topologia algébrica que nos desviaria de nosso caminho (uma prova pode ser encontrada em [BLR07]). Ao assumirmos esse resultado é ime-diato que, se f é homotópica a identidade, ρp(F) está bem definido e

ρp(F) =∪x∈[0,1]mρ(F, x).

Evidentemente, quando m = 1 e f preserva orienta¸cão, ρp(F) coincide com o número de rota¸cão. Contudo, para m ≥ 2, ρ(F, x) pode depen-der de x e de forma a não possuir em geral boas propriedades topológicas. De fato, mesmo quando F é levantamento de um automorfismo do toro 2-dimensional, homotópico à identidade, o conjunto ρp(F) não precisa ser convexo, nem mesmo conexo.

Exemplo. Considere um fluxo do tipo Reeb emR2_{. Esse fluxo ´e mais}

facil-mente explicado por um desenho (veja abaixo). Podemos construir um exem-plo em alguns passos, come¸cando definindo sobre as retas ]− ∞,+∞[×{0},

(20)

10 CAPÍTULO 3. O CONJUNTO DE ROTAÇ ÃO

✛ ✲ ✛

③ ③

③ ③ ③ ③

Figura 3.1: Fluxo de Reeb representado na faixa ]− ∞,+∞[×[0,1].

]− ∞,+∞[×{1₂} e ]− ∞,+∞[×{1} um campo v que vale (−1,0), (1,0) e

(−1,0), respectivamente.

Estendemos ent˜ao o campo em ]− ∞,+∞[×[0,1] de forma que as cur-vas integrais restantes sejam assint´oticas as retas dadas anteriormente e satisfa¸cam v(x+ 1, y) =v(x, y) e v(x, y+1₂) = −v(x, y). Estendemos esse campo para todo plano de forma natural e consideramos o homeomorfismo dado pelo fluxo no tempo1.

Pelo lema 2 esse homeomorfismo é um levantamento de um homeo-morfismo do toro homotópico a identidade. Além disso, como a órbita de qualquer ponto tende a uma das retas R× 1

2Z, pode-se ver que ρp(F) =

{(1,0)} ∪ {(−1,0)}.

Note que no exemplo acima tomar o fecho topológico de ρp(F) (como foi feito para o intervalo de rota¸cão) nada modifica. Podemos, é claro, considerar o fecho convexo de ρp(F), que denotaremos Conv(ρp(F)). O conjunto Conv(ρp(F)) é um bom candidato para conjunto de rota¸cão (ao menos coincide com um intervalo nesse exemplo), mas não é, a priori, nossa ´

unica op¸c˜ao.

Outra possibilidade ´e definir como conjunto de rota¸c˜ao

ρ(F) = \ n≥1

[

k≥n

Fk₍_x₎₋_x

k : x∈I

m

ondeIm:= [0,1]m (vide o lema anterior). Esta defini¸c˜ao lembra a no¸c˜ao de

ω-limite e portanto é também natural por tentar capturar o comportamento assintótico das órbitas de forma semelhante ao número de rota¸cão de Poin-caré. Notamos queρ(F) é igual ao conjunto dos pontos de acumula¸cão das sequências

ρk(F, xnk) :=

Fk₍_x

nk)−xnk

k

(21)

3.2. PROPRIEDADES GERAIS DOS CONJUNTOS DE ROTAC¸ ˜AO 11

que ρ(F) é fechado por defini¸cão. Pode-se ver que ele é conexo e que, se

m= 2, tamb´em ´e convexo [MZ89].

Podemos ainda apontar mais uma poss´ıvel defini¸cão de conjunto de rota¸cão emTm_{. Considere}_M(_f_{) o espa¸co de todas as medidas de} probabi-lidade, f-invariantes em Tm _e _ME(_f_{) o subsespa¸co das medidas ergódicas} de M(f). O conjunto M(f) é compacto se considerado com a topologia ∗-fraca (mediante a identifica¸cão das medidas com funcionais lineares em

C).

Sejaµ∈ ME(f). Pelo teorema de Birkhoff temos paraµ-qtpx∈X que

1

n

n−1

X

i=0

φ◦fk n−−−→→∞ Z

φdµ

para toda aplica¸cão cont´ınua φ : Tm _→ _Rm_{. Considere em particular a} aplica¸cão φ(x) =F(y)−y, onde y∈π−1(x) (que está bem definida poisF

comuta com as transla¸c˜oes por vetores deZ2_{). Temos ent˜ao que}

1

n

n−1

X

i=0

φ◦fk(x) = 1

n

n−1

X

i=0

(Fk+1(y)−Fk(y)) = F

n₍_y₎₋_y

n

Conclu´ımos que paraµ-qtpx∈Tm _{e todo} _y_∈_π−1₍_x₎

Fn₍_y₎₋_y

n

n→∞

−−−→ Z

φdµ

ou seja, Rφdµ ∈ρp(F) para todoµ∈ ME(f). Definimos

ρerg(F) = Z

φdµ : µ∈ ME(f)

Como os pontos extremais (no sentido da análise convexa) de M(f) são justamente as medidas emME(f), temos que o fecho convexo deρerg(F) é

Conv(ρerg(F)) = Z

φdµ : µ∈ M(f)

Definimosρmes(F) :=Conv(ρerg(F)).

3.2 Propriedades gerais dos conjuntos de rota¸

c˜

ao

Como as três defini¸cões da se¸cão anterior tem boas razões de ser, uma boa estratégia é estudarmos de que forma elas estão relacionadas.

Proposi¸c˜ao 6 ([MZ89], Corollary 2.4). Seja F um levantamento de um homeomorfismo f de T2 _ent˜_ao

(22)

Em contraste, temos, para T3 _{um exemplo em [LM91] que mostra que}

Conv(ρp(F))6=ρ(F). Esse ´e um dos motivos porque iremos estudar apenas o casom= 2. No entanto,

ρmes(F) =Conv(ρ(F))

para qualquerF que seja levantamento de uma aplica¸c˜ao cont´ınuaf do toro

m-dimensional, homotópica à identidade ([MZ89], Theorem 2.4). Assim, nas mesmas hipóteses, temos paraTm _que

Conv(ρp(F)) =Conv(ρ(F))

e que

Conv(ρ(F)) =Conv(∪x∈π−1

(Ω(f))ρ(F, x))

onde Ω(f) é o conjunto dos pontos não-errantes def(o que é consequência de que, com respeito a uma medida µ, quase todo ponto é não-errante). Essa ´

ultima igualdade é útil para determinar o conjunto de rota¸cão de alguns exemplos expl´ıcitos.

Os conjuntos de rota¸c˜ao em Tm _{possuem algumas propriedades que s˜ao} ´

uteis para descrever o conjunto de rota¸c˜ao de seus diferentes levantamentos e o conjunto de rota¸c˜ao das iteradas def.

Proposi¸c˜ao 7([MZ89]). SejaF um levantamento de uma aplica¸c˜ao cont´ınua

f do torom-dimensional, homotópica à identidade. Então para todop∈Zm

en∈Ntemos que

• ρ(Fq₋_p_{) =}_qρ₍_F₎₋_p

• ρ(Fq₋_{p, x}_{) =}_qρ₍_{F, x}₎₋_p_{, para todo} _x_∈_Rm • ρp(Fq₋_p_{) =}_qρ_p(_F₎₋_p

• ρmes(Fq₋_p_{) =}_qρ_mes(_F₎₋_p

Além disso, sef é um homeomorfismo então

• ρ(F−1_{) =}₋_ρ₍_F₎

• ρmes(F−1) =−ρmes(F)

Apesar de simples, essas propriedades podem ser bastante ´uteis e ser˜ao de fato usadas no restante da tese. Vejamos um importante exemplo de seu uso a seguir. Assumiremos o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 8 ([Fra88], Theorem 3.5). Seja F um levantamento de um homeomorfismo f deT2_{, homot´}_{opico `}_{a identidade. Se} ₀_∈_ρ

erg(F) ent˜ao F

(23)

3.3. A GEOMETRIA DE UM CONJUNTO DE ROTAC¸ ˜AO 13

Provemos ent˜ao a seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 9 ([MZ89], Theorem 3.10). Seja F um levantamento de um homeomorfismof deT2_{, homot´}_{opico `}_{a identidade. Suponha que}₍_{r/q, s/q}₎_∈

ρerg(F) para r, s ∈ Z, q ∈ N com mdc(r, s, q) = 1 . Ent˜ao existe um ponto

f-peri´odico x ∈ T2 _{de per´ıodo m´ınimo} _q _{e que satisfaz} _ρ₍_{F, y}_{) =} _{(r q,

s q)}

para todo y∈π−1₍_x₎_.

Demonstra¸cão. Por hipótese (r/q, s/q) ∈ ρerg(F), logo 0 ∈ ρerg(Fq ₋ (r, s)). Pela proposi¸cão anterior temos um ponto z ∈ R2 _{tal que} _ρ₍_Fq₋ (r, s), z) ={0}. Usando novamente as propriedades aritméticas deρobtemos queρ(F, y) ={(r_q,_qs)}para todoy ∈π−1(π(z)).

Seja x = π(z). Observe que fq₍_x_{) =} _x_{, de forma que} _x _´e _f_-peri´_odico de per´ıodo q′ que divide q. Temos que Fq′

(z) = z+ (r′, s′) para algum (r′, s′)∈Z2 _{e calculando}

Fq(z) =z+

q q′r

′_, q

q′s ′

conluimos quer = _qq′r′ e s=

q

q′s′. Observe, portanto, que

q

q′ divider, s e q

logo por hip´otese _qq′ = 1, ou seja,q =q′.

Corol´ario ([MZ89], Corollary 3.11). Seja F um levantamento de um ho-meomorfismo f de T2_{. Ent˜}_ao _ρ_mes(_F₎_∩_Q2 ₌ _∪y

∈Pfρ(F, y) onde Pf ´e o conjunto dos pontosy ∈R2 _{tais que} _π₍_y₎ _´e_f_-peri´_odico.

Demonstra¸c˜ao. A inclus˜ao ρmes(F)∩Q2 _{⊆ ∪y}

∈Pfρ(F, y) ´e consequˆencia

da proposi¸c˜ao anterior.

Para a outra inclusão considere y ∈ Pf e obseverve que a medida de probabilidadeµcom suporte em{fi(π(y))}i∈Né ergódica e queR φdµ∈Q2

pelo teorema de Birkhoff.

Aqui, a hip´otese de que estamos trabalhando em T2 _n˜_{ao pode ser}

dis-pensada. De fato, a maior parte dos resultados dispon´ıveis hoje diz respeito ao toro de dimens˜ao 2, e mesmo assim partes importantes da teoria conti-nuam sem resposta (veremos mais sobre isso posteriormente). No restante desse trabalho estaremos supondo que estamos em T2_{, o que permite nos}

referirmos a ρ(F) unicamente como “conjunto de rota¸c˜ao”.

3.3 A geometria de um conjunto de rota¸

c˜

ao

O conjunto de rota¸c˜ao de um homeomorfismo do T2_{, homot´}_{opico `}_a

identi-dade, ´e um subconjunto compacto e convexo de R2_{. Desta forma ele pode}

ser um ponto, um segmento de reta ou possuir interior n˜ao vazio.

(24)

1. Um único vetorvarbitário. Como exemplo, basta considerar a transla¸cão pelo vetorv em R2_{. ´}_{E poss´ıvel construir exemplos mais interessantes,}

por exemplo com entropia topológica positiva (e portanto, não conju-gados a uma rota¸cão).

2. Um segmento de reta que

(a) Tenha inclina¸c˜ao racional e contenha um ponto de coordenadas racionais. Um exemplo ´e o homeomorfismo derivado do fluxo de Reeb, como definimos anteriormente, que tem ρ(F) = [−1,1]× {0}.

(b) Tenha um ponto extremo racional e todos outros pontos irracio-nais (esses exemplos são atribu´ıdos a Katok). A idéia é basica-mente come¸car com um campo de vetores de inclina¸cão irracional emR2 _{e criar um ponto fixo. Os detalhes podem ser encontrados}

em [Beg07].

3. Qualquer pol´ıgono convexo de extremos racionais [Kwa92]. O caso geral é bastante trabalhoso, mas não é dif´ıcil construir um homeomor-fismo para o qualρ(F) = [0,1]2_{. Considere}

G(x, y) = (x+φ(y), y), H(x, y) = (x, y+ψ(x))

onde φ, ψ : R → [0,1] são fun¸cões periódicas e satisfazem φ(t) =

ψ(t) = 0 se t ∈Z e φ(t) =ψ(t) = 1 se t∈ 1₂ +Z. Para F =H◦G

vˆe-se facilmente que

ρ

F,

1 2,0

= (0,1), ρ

F,

0,1

2

= (1,0)

e que

ρ

F,

0,0

= (0,0), ρ

F, 1 2, 1 2

= (1,1)

de forma que[0,1]2_⊆_ρ₍_F₎_{. ´}_{E f´}_{acil ver tamb´em que}_F₍_{x, y}₎₋₍_{x, y}_{) =}

(φ(y), ψ(x+φ(y))), de forma que Fn₍_{x, y}₎₋₍_{x, y}₎_∈_[0_{, n}_]2 _{e portanto}

ρ(F)⊆[0,1]2. Esse exemplo foi retirado de [Beg07].

4. Em [Kwa95] é construido um exemplo em queρ(F)não é um pol´ıgono pois contém uma quantidade enumerável infinita de vértices. A cons-tru¸cão é bastante longa e não será tratada aqui.

Fran¸cois Béguin propõe a seguinte questão em suas notas de aula:

Pergunta ([Beg07]). Existe um compacto convexo K ⊂ R2 _{que n˜}_{ao ´e o}

conjunto de rota¸c˜ao de nenhum homeomorfismo homot´opico a identidade de

(25)

3.4. CONJUNTOS DE ROTAC¸ ˜AO E CONTINUIDADE 15

Esse problema ´e mais simples se trocarmos “homeomorfismo”por “fluxo”. De fato, Franks e Misiurewicz ([FM90]) mostraram que um fluxo do 2-toro cujo conjunto de rota¸c˜ao possui interior vazio no R2 _{pode ser apenas}

1. Um ´unico ponto.

2. Um segmento qualquer de uma linha determinada por zero e outro ponto deQ2_.

3. Um segmento de inclina¸c˜ao irracional com um extremo em zero.

e que todos esses conjuntos de rota¸c˜ao s˜ao de fato realizados por algum fluxo emT2_.

Franks e Misiurewicz conjecturaram então que, se o conjunto de rota¸cão de um homeomorfismo f está contido em uma reta ele só pode ser de um dos tipos acima. Aparentemente não houve nenhum progresso significativo na dire¸cão de provar ou desprovar esta conjectura desde que foi enunciada.

3.4 Conjuntos de rota¸

c˜

ao e continuidade

Um problema interessante ´e perguntar se Fn → F na topologia da con-vergˆencia uniforme implica queρ(Fn)→ρ(F) na topologia de Hausdorff.

´

E fácil ver que, em T2_{, a aplica¸cão} _F _7→_ρ₍_F_{) é semi-continua}

superior-mente usando que ρ(F) =ρmes(F) e que o espa¸co das medidas é compacto na topologia ∗-fraca (mediante a identifica¸cão usual que já comentamos). Contudo, também é fácil ver com um exemplo que F 7→ ρ(F) não é semi-continua inferiormente.

✛ ✛

③ ③

Figura 3.2: Perturba¸c˜ao de um fluxo de Reeb

Proposi¸c˜ao 10 ([MZ89], Example 4.8 ; [LM91], Example 1). A fun¸c˜ao

ρ : HomI(T2) → R2 n˜ao ´e semi-cont´ınua inferiormente (aqui HomI(T2)

denota o conjunto dos levantamentos de homeomorfismo em T2 _{que s˜}_ao

(26)

Demonstra¸cão. Tomamos um campo de vetoresvdo tipo Reeb, como de-finimos anteriormente, e consideramos o homeomorfismoF dado pelo fluxo no tempo um. Note queFé homotópico a identidade eρ(F) = [−1,1]×{0}. Fa¸camos uma perturba¸cão ˜v dev por “bumps”em torno deR×(1₂+Z). O homeomorfismo ˜F dado pelo fluxo no tempo um de ˜v tem conjunto de rota¸cão igual a{(−1,0)}(vide a figura acima).

Apesar disso segue com algum esfor¸co e usando que F 7→ ρ(F) ´e semi-cont´ınua superiormente o seguinte resultado.

Proposi¸cão 11 ([LM91]). A aplica¸cão F 7→ ρ(F) é cont´ınua em qualquer

F tal que ρ(F) seja um conjunto unit´ario.

Aqui aparece então uma distin¸cão entre os casos em que ρ(F) possui interior vazio ou não-vazio emR2_.

Proposi¸cão 12 ([LM91]). A aplica¸cão F 7→ ρ(F) é cont´ınua em qualquer

F que tenha interior n˜ao-vazio.

Esse resultado é mais delicado, pois precisamos de um tipo de “esta-bilidade”que garanta que para todos vetores de coordenadas racionais que estejam em int(ρ(F)) as aplica¸cões próximas de F ainda tenham pontos periódicos com esse per´ıodo.

Em particular, obtemos que o conjunto dos homeomorfismosZ2_-peri´_odicos

deR2 _{cujo conjunto de rota¸c˜}_{ao tem interior n˜}_{ao vazio ´e um aberto na}

topo-logia da convergˆencia uniforme.

3.5 Conjuntos de rota¸

c˜

ao com interior

Exemplos como o homeomorfismo derivado do fluxo de Reeb mostram que, a princ´ıpio, apenas os pontos extremais (no sentido da análise convexa) do conjunto de rota¸cão são realizados por pontos deR2_{. A seguinte proposi¸cão}

mostra que os pontos extremais do conjunto de rota¸c˜ao s˜ao, de fato, sempre realizados.

Proposi¸cão 13 ([MZ89]). Se v é um ponto extremal de ρ(F) então existe

z∈R2 _{tal que}_ρ_p(_{F, z}_{) =}_{_v_}_.

Demonstra¸c˜ao. Como ρ(F) = Conv(ρerg(F)) todo ponto extremal de

ρ(F) ´e um ponto deρerg(F). Como argumentamos na se¸c˜ao 2, o teorema de Birkhoff diz que, dadov∈ρerg(F) existez∈R2 _{tal que} Fn₍_z₎₋_z

n

n→∞

−−−→ {v}, ou sejaρp(F, z) ={v}.

(27)

3.6. CONJUNTOS DE ROTAC¸ ˜AO SEM INTERIOR 17

coordenadas racionais e estão sobre um segmento de inclina¸cão irracional [LC05]). Observe essa propriedade nos exemplos da fam´ılia que demos no item 3 no in´ıcio dessa se¸cão.

O problema geral possui uma resposta mais direta se nos restringimos aos pontos no interior deρ(F).

Proposi¸cão 14 ([Fra89]). Se ρ(F) tem interior não vazio então todos os vetores de rota¸cão com coordenadas racionais em int(ρ(F)) são realizados por órbitas f-periódicas.

O resultado abaixo estende a proposi¸c˜ao anterior no caso em que um ponto em int(ρ(F)) n˜ao possui ao menos uma das coordenadas racional.

Proposi¸c˜ao 15 ([MZ91]). Sejaf um homeomorfismo de T2 _e_F _:_R2 _→_R2

um levantamento fixado. Sev∈int(ρ(F)) ent˜ao:

1. Existe um conjunto fechado X ⊆T2_{, n˜}_{ao vazio,} _f_{-invariante tal que}

ρp(F, y) =v para todo y∈π−1(X).

2. Existe uma medida erg´odicaµ, com respeito af, que satisfaz

Z

T2

(F◦π−1−π−1)dµ=v

Para finalizar essa se¸c˜ao comentamos mais um importante resultado.

Proposi¸cão 16 ([LM91]). Se ρ(F) tem interior não vazio então f tem entropia topológica estritamente positiva.

A aplica¸cãof =Idmostra que esse teorema não é verdadeiro seρ(F) tem interior vazio. É um problema interessante determinar condi¸cões adicionais sobref para garantir que, quandoρ(F) tem interior vazio,f tenha entropia topológica positiva.

3.6 Conjuntos de rota¸

c˜

ao sem interior

Como já discutimos, é fácil ver que o conjunto de rota¸cão de uma transla¸cão

Tv por vetor v∈R2 é o próprio vetorv. A a¸cãoRv induzida porTv em T2 é chamada, por analogia ao caso do c´ırculo, de uma rota¸cão no toro.

Temos então um problema natural herdado do c´ırculo: Quando um ho-meomorfismo deT2_{, homot´}_{opico a identidade, é conjugado com uma rota¸cão}

por vetorv?

(28)

Consideramos apenas rota¸cões por vetores de coordenadas irracionais pois, como vimos no caso do c´ırculo, é necessário que todos os pontos sejam periódicos para que um homeomorfismo seja conjugado a rota¸cão racional

Rv.

O problema apresentado não é simples (ele contém no m´ınimo dificulda-des similares ao caso do c´ırculo, devido ao exemplo de Denjoy) e os resul-tados na dire¸cão de resolvê-lo são recentes. Podemos citar, por exemplo, os trabalhos de Tobias Jäger que lidam com o caso em quevé um vetor de co-ordenadas totalmente irracionais (i.e., independentes sobreQ). Precisamos da seguinte defini¸cão.

Defini¸cão 5. Dizemos que uma pseudo-rota¸cão por vetor irracionalRρtem desvio médio limitado se

D(n, z) :=Fn(z)−z−nρ

se existec >0 tal quekD(n, z)k ≤cpara todon∈Ze z∈Rm

Proposi¸cão 17 ([Jäg08]). Seja f é uma pseudo-rota¸cão por vetor ρ que preserva área e homotópica a identidade. Suponha quef possui desvio médio limitado. Então vale que

1. ρé totalmente irracional se e só se f é semi-conjugado a Rρ.

2. ρé racional se, e só se, f possui um ponto periódico.

Jäger mostrou posteriormente ([Jäg09]) que esse teorema não vale se f

não preserva área. Outro resultado interessante de Béguin, Crovisier, Le Roux e Patou, que melhorou um resultado anterior de Kwapisz no caso de difeomorfismos.

Proposi¸cão 18 ([BCRP04]). Seja f uma pseudo-rota¸cão com ρ(F) ={v}. Então Rv pertence ao fecho da classe de conjuga¸cão de f.

Ao meu conhecimento, o estudo de homeomorfismos cujo conjunto de rota¸cão é um segmento de reta é menos desenvolvido. Entre os resultados conhecidos podemos citar o resultado de Jonker e Zhang ([JZ98]), que é uma versão do teorema de Le Calvez que citamos na se¸cão anterior (sobre pontos de coordenadas racionais contidos em segmentos de inclina¸cão irracional) quando o conjunto de rota¸cão não possui interior.

Ainda com respeito a existência de pontos periódicos temos também um resultado de Franks que será usado na prova de nosso teorema principal e tem um contrastre interessante com o exemplo derivado do fluxo de Reeb.

Teorema(Franks, [Fra96]). Seja f :T2 _→_T2 _{um homeomorfismo que}

pre-serva área e é homotópico à identidade. SejaF :R2 _→_R2 _{um levantamento}

(29)

3.6. CONJUNTOS DE ROTAC¸ ˜AO SEM INTERIOR 19

coordenadas racionais ent˜ao existe um ponto z∈R2 _{tal que} _π₍_z₎_∈_T2 _{´e um}

ponto peri´odico de f com v =ρ(F, z). Al´em disso, se v = (p/q, r/q), onde

p, q e r são relativamente primos então o per´ıodo deπ(z) éq.

Notamos também que esse resultado admite uma versão topológica (vide [KK08]).

(30)

(31)

Cap´ıtulo 4

A conjectura do

deslocamento uniforme

4.1 Nota¸

c˜

ao

Chamaremos, parai= 1,2,

πi :R2 →R (x1, x2)7→xi

Essas duas proje¸cões não devem ser confundidas com a proje¸cão natural

π : R2 _→ _T2_{. Sempre que for conveniente preferimos a nota¸c˜ao sufixa}

(x)i :=πi(x).

Denotamos por λa medida de Lebesgue em T2_.

A fun¸cão|.|denota o módulo de um número real. Denotaremos porh., .i o produto interno usual do R2 _{e por} _k_._k _{a norma associada.} _⌊_._⌋ _{denota a}

fun¸c˜ao ch˜ao (que associa a x∈Ro maior inteiro menor que x).

SejaR um subconjunto dos n´umeros reaisR. Dadas duas fun¸c˜oes f, g:

R →R diremos que f ∈o(g(x)) se e somente se para todo M ∈R+ _existe

x0 ∈R tal que

|f(x)| ≤M|g(x)| para todo x > x0

tamb´em diremos quef ∈O(g(x)) se e somente se existe M ∈R+ _e _x 0 ∈R

tais que

|f(x)| ≤M|g(x)| para todo x > x0

Note queo(g(x))⊆O(g(x)).

4.2 Motiva¸

c˜

ao da conjectura

Como notamos anteriormente decorre de que f ´e homot´opico a identidade que F(x)−x=F(x+ (p, q))−(x+ (p, q)) para todo (p, q)∈Z2_{, de forma}

(32)

22CAP´ITULO 4. A CONJECTURA DO DESLOCAMENTO UNIFORME

que dadox∈T2 _{a fun¸c˜ao}

(Fn◦π−1−π−1) :T2→R2

est´a bem definida. Suponha agora que ρ(F) = {0} ×[a, b] com a ≤ b. ´E evidente que, dadox∈T2_{, para todo}_y_∈_π−1₍_x_),

(Fn(y)−y)1∈o(n)

e em particular (Fn₍_y₎₋_y₎

1 ∈ O(n), de forma que o crescimento desta

fun¸cão em termos de n é no máximo linear. A priori a hipótese sobre a forma do conjunto de rota¸cão permite que (Fn(y)−y)1 ∈ o(ln(n)), pois

limn→∞ ln_n(n) = 0, de forma que (Fn(y) −y)1 n˜ao precisa tender a zero

e portanto n˜ao precisa pertencer a o(1). No entanto, ainda podemos nos perguntar se ´e poss´ıvel que (Fn₍_y₎₋_y₎

1∈O(1) (ou seja, se h´a deslocamento

sublinear).

Conjectura(do deslocamento uniforme). Sejaf :T2 _→_T2 _um

homeomor-fismo homot´opico a identidade e F : R2 _→ _R2 _{um levantamento fixado de}

forma queρ(F) ={0} ×[a, b]⊆R2_{, onde} _{a < b}_.

Nessas condi¸c˜oes existe M > 0 tal que |(Fn₍_x₎₋_x₎

1| < M para todo

n∈Z, x∈R.

Podemos ainda motivar esta conjectura da seguinte maneira: Como vi-mos no cap´ıtulo anterior, a geometria do conjunto ρ(F) pode implicar na existência de pontos do plano que se movem assintóticamente em diferen-tes dire¸cões pela a¸cão deF. Em particular vemos que quando ρ(F) possui interior não vazio e quando ρ(F) é um segmento de rela não vertical po-demos afirmar que existe x∈R2 _{tal que}_|(_Fn₍_x₎₋_x₎

1|´e ilimitado quando

n→ ∞. Será verdade então que quandoρ(F) é um segmento de reta vertical (eventualmente degenerado) passando por (0,0) temos que|(Fn₍_x₎₋_x₎

1|´e

uniformemente limitado?

Curiosamente, a conjectura do deslocamento uniforme é falsa no caso em que ρ(F) ={(0,0)}. Isto foi provado recentemente por Koropecki e Tal (vide [KT12a]), portanto vemos que a hipótese de quea < bé indispensável. Mesmo assim ainda não sabemos se essa conjectura é válida, a não ser sobre as hipóteses adicionais que incluiremos a seguir e devido no caso do seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 19 ([D´av11]). Seja f um homeomorfismo de T2 _homot´_{opico a}

identidade e suponha que existe levantamenteF :R2 _→ _R2 _{tal que} _ρ₍_F_{) =}

{0}×[a, b]coma <0< b. Ent˜ao ou todo ponto de coordenadas racionais em

ρ(F) ´e realizado ou para todox∈R2 _existe_{M >}₀ _{tal que} _|(_Fn₍_x₎₋_x₎

1|<

M para todo n∈N.

(33)

4.3. NOSSO RESULTADO 23

4.3 Nosso resultado

O que faremos a seguir ´e demonstrar a seguinte vers˜ao parcial da conjectura do deslocamento uniforme.

Teorema. Sejaf :T2 _→_T2 _{um homeomorfismo homot´}_{opico a identidade e}

F :R2 _→_R2 _{um levantamento fixado de forma que}_ρ₍_F_{) =}_{0}×_[_{a, b}_]_⊆_R2_,

onde a < b.

Suponhamos quef é ergódica com respeito a medida de Lebesgueλ. Su-ponhamos também que o vetor de rota¸cão médio com respeito a esta medida

ρλ(F) := Z

x∈T2

(F◦π−1(x)−π−1(x))dλ= (0, α)

para algum α irracional. Ent˜ao existe M > 0 tal que |(Fn(x)−x)1| < M

para todo n∈Z, x∈R.

Note que, como f é homotópico a identidade, é suficiente mostrar o desejado parax∈[0,1]. Dadom∈Za fun¸cãoFm₋_Id_{é cont´ınua, portanto} (Fm−Id)[0,1] é limitado. Como para m≥0 temos que ρ(Fm) =mρ(F) e supomos queρ(F) é um segmento de reta não-degenerado podemos assumir, fazendo se necessário uma troca de levantamento, que (0,0),(0,1),(0,−1)∈

ρ(F).

O teorema pode ser generalizado para alguns outros conjuntos de rota¸cão que são segmentos de reta não degenerados. Isso pode ser feito de maneira simples que portanto deixamos para tratar ao final do texto. Também discu-tiremos posteriormente esse resultado dentro de uma teoria mais geral, que busca entender alguns homeomorfismos homotópicos a identidade do 2-toro como aplica¸cões do anel e por sua vez aplicar os resultados dispon´ıveis nesse contexto.

A conjectura do deslocamento uniforme também pode ser estudada no caso em que f é homotópica a um Dehn Twist. Ela foi provada por Addas-Zanata, Garcia e Tal ([GTAZ11]), mas nesse caso a teoria difere do que discutimos no cap´ıtulo anterior e por isso não a discutiremos aqui.

A ferramenta que usaremos em nosso caso ´e estudar os conjuntos ω(B0)

(34)

24CAP´ITULO 4. A CONJECTURA DO DESLOCAMENTO UNIFORME

4.4 O papel da ergodicidade

A hipótese de ergodicidade com respeito a medida de Lebsegue em associa¸cão com as outras hipóteses do teorema que queremos provar implica, entre outras coisas, que para λ-quase todo ponto p ∈ T2 _{existe uma sequência}

nj j→∞

−−−→ ∞tal que

(Fnj₍_y₎₋_y₎

1

j→∞

−−−→0

para todoy ∈π−1(p). Para provar essa afirma¸cão usaremos o lema abaixo que é uma consequência do teorema de Atkinson (vide [Atk76]).

Lema 3 (Atkinson). Seja M uma variedade compacta e f : M → M

cont´ınua. Seja µ uma medida boreliana, de probabilidade, erg´odica. Seja

g:M →Rcont´ınua e satisfazendo

Z

M

gdµ= 0

para µ-qtp existe sequˆencia nk k→∞

−−−→ ∞ tal que

fnk₍_x₎_−−−→k→∞ _x e

n_Xk−1

i=n0

g(fi(x))−−−→k→∞ 0

Definindog:= (F◦π−1₋_π−1₎

1e pondoµ=λsabemos queλ(π(Bε(x)))>

0 para todoε >0 ex∈R2_{. Como}_λ_{´e erg´odica o teorema de Birkhoff garante}

que, paraλ-quase todo p∈π(Bε(x)), temos

1

n

n−1

X

i=n0

g(fi(p))−−−→k→∞ Z

T2

gdλ

Ent˜ao se assumirmos que ρ(F) est´a contido em {0} ×R e como para todo

p∈T2 _e _y_∈_π−1₍_p_{) temos que}

j X

i=0

g(fi(p)) = j X

i=0

(Fi+1(y)−Fi(y))1= (Fj+1(y)−y)1

conclu´ımos queR_T2(F ◦π−1−π−1)1dλ= 0. Podemos aplicar ent˜ao o lema

de Atkinson para obter uma sequˆencia nj j→∞

−−−→ −∞ e p ∈ π(Bε(x)) tal que paraλ-quase todo y ∈π−1₍_p_{) temos que}_fnj₍_p₎_−−−→j→∞ _p _{e (}_Fnj+1₍_y₎₋

y)1

j→∞

(35)

4.4. O PAPEL DA ERGODICIDADE 25

Os homeomorfismos ergódicos, por sua vez, são um Gδ (i.e., interseçcão enumerável de abertos) denso na topologia da convergência uniforme den-tre os homeomorfismos do toro que preservam a medida de Lebesgue no toro (esse resultado é conhecido como teorema de Oxtoby-Ulam; uma boa referência para o assunto é [AP00]).

(36)

(37)

Cap´ıtulo 5

Os conjuntos

B

₀

, B

_π

e

ω

(

B

₀

)

, ω

(

B

_π

)

5.1 Defini¸

c˜

oes;

B

₀

, B

_π

6 =

∅

Fixemos a nota¸c˜aoe0 = (1,0) eeπ = (−1,0). Definimos

V₀+:={x∈R2|hx, e0i ≥0}={x∈R2|(x)1 ≥0}

e

Vπ+:={x∈R2|hx, eπi ≥0}={x∈R2|(x)1 ≤0}

Considere R2_{∪ {∞} ∼} _S2 _{a compactifica¸c˜ao por um ponto de} _R2 _e _F_b

o homeomorfismo induzido por F em S2 que fixa o infinito. Os conjuntos d

V₀+:=V₀+∪ {∞}e dVπ+:=Vπ+∪ {∞}correspondem a V0+e Vπ+, respectiva-mente, emS2_.

SejaBc0 a componente conexa de

\

n≤0

b

Fn(dV₀+)

que cont´em o infinito. Seja tamb´em Bcπ como a componente conexa de \

n≤0

b

Fn(dVπ+)

que cont´em o infinito.

Podemos definir então os conjuntos B0 e Bπ em R2 que correspondem, respectivamente, aos conjuntos Bc0 e Bcπ de S2. Vamos mostrar que estes conjuntos não são vazios, sob as hipóteses de nosso teorema, com o lema que é consequência dos resultados a seguir.

(38)

28 CAP´ITULO 5. OS CONJUNTOSB0, Bπ E ω(B0), ω(Bπ)

Proposi¸c˜ao 20. Sejaf :T2 _→_T2_{um homeomorfismo homot´}_{opico a}

identi-dade e sejaF um levantamento fixado com ρ(F) ={0} ×[a, b]. Suponha que

f ´e erg´odico com respeito a medida de Lebesgue no toro. Se existe M ∈R,

n(M) ∈ Z e x ∈ R2 _{tal que} ₍_Fn(M)₍_x₎₋_x₎

1 > M ent˜ao existe z ∈ R2 e

m(M)∈Z tal que (Fm(M)₍_z₎₋_z₎

1 <−M+ 1.

Demonstra¸c˜ao. SejaM >0,n(M)∈ZexM ∈R2tais que (Fn(M)(xM)−

xM)1 > M. Por continuidade dado ε >0 existe δM >0 tal que para todo

y∈BδM(xM) temos

(5.1) M −ε <(Fn(M)(y)−y)1< M +ε

Aplique o lema de Atkinson, como fizemos na se¸c˜ao anterior, para g:= (F◦π−1₋_π−1₎

1. Podemos fazer isso poisλ(π(BδM(xM)))>0 e como para

todop∈T2 _e _y_∈_π−1₍_p_{) temos que}

j X

i=0

g(fi(p)) = j X

i=0

(Fi+1(y)−Fi(y))1= (Fj+1(y)−y)1

temos, como j´a vimos, pelo teorema de Birkhoff queR_T2(F◦π−1−π−1)₁dλ=

0. Obtemos assim uma sequˆencia nj j→∞

−−−→ ∞ e p ∈π(Bε(x)) tal que para todoy∈π−1(p) temos que fnj₍_p₎_−−−→j→∞ _p _e

(5.2) (Fnj+1₍_y₎₋_y₎

1

j→∞

−−−→0

Temos tamb´em que

(Fnj+1₍_y₎₋_Fn(M)₍_y₎₎

1 = (Fnj+1(y)−y)1+ (y−Fn(M)(y))1

logo por (5.1) e (5.2) temos que (Fnj₍_y₎₋_Fn(M)₍_y₎₎

1

j→∞

−−−→ −M. Se defi-nirmosz:=Fn(M)₍_y_{) ent˜ao}

(Fnj+1₍_y₎₋_Fn(M)₍_y₎₎

1 = (Fnj+1−n(M)(z)−z)1

de forma que

(Fnj+1−n(M)₍_z₎₋_z₎

1

j→∞

−−−→ −M

como desejamos. A demonstra¸cão para M <0 é análoga.

Proposi¸c˜ao 21. Seja f :T2 _→_T2 _{um homeomorfismo homot´}_{opico a}

(39)

5.1. DEFINIC¸ ˜OES; B0, Bπ 6=∅ 29

Demonstra¸c˜ao. Sejay∈R2 _{um ponto fixo. Como}_F₍_x_{+ (}_{i, j}_{)) =}_F₍_x_{) +}

(i, j) podemos assumir que 0≤(y)1 ≤1. Seja L:={x∈R2 |(x)1 = (y)1},

i.e.,L´e a reta vertical passando por todos os pontos (fixos) da formay+(0, i) para i ∈ Z. Usando a proposi¸c˜ao anterior podemos mostrar que B0 6= ∅

dividindo em dois casos:

1. Suponha que existe M >0 inteiro tal que para todo x ∈R2 _e _m_∈_Z

temos que|(Fm(x)−x)1| ≤M. Em particular temos que |(Fm(L)−

y)1| ≤M. Observe queL divideR2 em duas componentes conexas

(Vπ++ ((y)1,0))\L e (V₀++ ((y)1,0))\L

Como Fm₍_L_{) é ilimitada na vertical para todo} _m _≤ _{0, podemos} de-finir uma orienta¸cão “para cima”e dizer quando um conjunto está a esquerda ou a direita de Fm₍_L_{). Note que também temos pontos} fi-xos em (V₀++ ((y)1,0))\L. ComoF−1 é cont´ınua preserva o número

de componentes conexas, portanto estes pontos fixos garantem que a imagem da componente conexa que está a direita deL também está a direita deF−1₍_L_).

Como|(Fm₍_L₎₋_y₎

1| ≤M temos para todo n∈Z

Fn(L+ (M,0))⊆V₀+

Observe tamb´em queV₀++ ((y)1+M,0) est´a a direita deL+ (M,0),

de forma queFn₍_V

0+ (M+ (y)1,0)) est´a a direita de Fn(L+ (M,0))

e portanto, para todon∈Z, temos que

V₀++ (M+ (y)1,0)⊆Fm(V0+)

logo o conjunto ilimitadoV₀++ (M+ (y)1,0) est´a emB0.

2. Pela proposi¸c˜ao anterior podemos supor que para todoM >0 existe

xM ∈ R2 e n(M) ∈ Z tal que (Fn(M)(xM)−xM)1 > M. Note que,

como Fn(M)₋_Id_{´e invariante pela a¸c˜ao de} _Z2 _{podemos tomar} _x

M a esquerda deL com Fn(M)₍_x

M) a direita deL.

Em particular dado M > 0 existe n(M) ∈ Z o primeiro inteiro tal queFm₍_L₎_∩₍_V+

0 + (M,0))6=∅. SejaMk uma sequˆencia ilimitada de inteiros e γk uma curva conexa ilimitada para a direita e que come¸ca emFm(Mk)₍_L₎_∩₍_V+

0 + (Mk,0)).

Temos então que δk := F−m(Mk)(γk) está a direita de L. Como F é homotópica a identidade posso assumir, s.p.g., que o ponto inicial de cada curva δk está em [(y)1,(y)1 + 1]×[0,1]. Também podemos ver

que Fi₍_δ_k) _⊆_V+

0 para n(Mk) ≤i ≤0 utilizando que os pontos fixos

garantem que a imagem da componente conexa que est´a a direira de

(40)

Olhe então para as curvasδbk∈S2 que correspondem as curvasδk ∈R2. As curvas δbk ∈ S2 formam uma sequência de conjuntos compactos conexos que portanto possui (na topologia de Hausdorff) uma sub-sequência convergindo para um conjunto fechado conexoΓ, que est´b a a direita deLpoisδk→Γ eF(δk) está a direita deL. Note quebΓ6={∞} pois a sequência dos pontos iniciais das curvas δk converge para um ponto de [(y)1,(y)1+1]×[0,1]) Desta forma o conjunto correspondente

Γ⊂R2 _{mostra que}_B 0 6=∅.

A prova de que Bπ 6=∅ pode ser obtida analogamente.

No teorema acima podemos argumentar por um racioc´ınio semelhante sem as hipóteses ρ(F) = {0} ×[a, b] e de ergodicidade para obter que ao menos um dos conjuntos B0, Bπ é não-vazio (pois ou as imagens de L são uniformemente limitadas em módulo - caso 1 - ou são ilimitadas em ao menos um dos dois lados - caso 2).

Lema 4. SejaF um levantamento fixado de um homeomorfismo homotópico a identidade que é ergódico com repeito a medida de Lebsegue. Se ρ(F) = {0} ×[a, b]⊆R2_{, onde} _a_≤₀_≤_b_ent˜_ao_B

0 eBπ n˜ao s˜ao vazios.

Demonstra¸c˜ao. Se a < b, como (0,0) ∈ ρ(F), pelo teorema de Franks existex∈T2 _{tal que}

F(y)−y= (0,0)

para todo y∈ π−1₍_x_{). Para o caso} _a₌_b _{= 0 temos que (0}_,_{0) ´e um ponto}

extremal e a existência do ponto fixo pode ser vista como consequência de outro resultado de Franks que já citamos (proposi¸cão 8, página 12). Basta aplicar então a proposi¸cão anterior.

Em tempo, conhecemos outras condi¸cões sobre as quaisB0 eBπ são não vazios. Veja por exemplo [GTAZ11] e [Tal12].

Precisaremos tamb´em das seguintes caracteriza¸c˜oes dos conjuntos B0 e

Bπ:

Lema 5. B0 ´e a uni˜ao de todas os conjuntos conexos fechados, ilimitados

C de R2 _{que satisfazem}

(Fn(x))1 ≥0∀n∈N+

para todox∈C. Analogamente, Bπ ´e a uni˜ao de todos os conjuntos conexos

fechados, ilimitados Dde R2 _{que satisfazem}

(Fn(x))1 ≤0∀n∈N+

(41)

5.1. DEFINIC¸ ˜OES; B0, Bπ 6=∅ 31

Demonstra¸cão. Provaremos apenas a primeira afirma¸cão, pois a segunda é análoga. Por defini¸cãoBc0 é conexo e fechado. ClaramenteB0 não precisa

ser conexo, pois retiramos o ponto no infinito, mas cada uma de suas com-ponentes conexas precisa ser conexa e fechada, al´em de ilimitada. ComoB0

é a união de suas componentes conexas, basta ver que a órbita futura de seus pontos permanece emV₀+para sempre. Mas isso é consequência direta da forma que definimos Fb e dV₀+.

Observe também que, comodV₀+,dVπ+ são fechados eFbé homeomorfismo, c

B0,Bcπ são fechados. Assim, B0, Bπ são fechados (o que não segue do lema anterior).

Definimos ent˜ao oω-limite de B0, que ser´a denotado por

ω(B0) := ∞

\

i=1 ∞

[

j=i

Fj₍_B

0) = ∞

\

i=1

Fi(B0)

(poisF ´e homeomorfismo, B0 ´e fechado eFi+1(B0)⊆Fi(B0) parai≥01).

Analogamente

ω(Bπ) :=

∞

\

i=1

Fi(Bπ)

Argumentando como no lema anterior podemos ver queω(B0) eω(Bπ) s˜ao

fechados e todas suas componentes conexas s˜ao ilimitadas. Veja tamb´em queω(B0)⊆B0 (pois F(B0)⊆B0) e queω(Bπ)⊆Bπ.

´

E f´acil ver que F(ω(B0)) =ω(B0). Usando queF ´e um homeomorfismo

F−1₍_ω₍_B

0)) =ω(B0). Vemos por indu¸c˜ao queFi(ω(B0)) =ω(B0) para todo

i∈Z. Nesse caso diremos queω(B0) e ω(Bπ) s˜ao totalmente invariantes. Tamb´em precisaremos mais a frente do seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 22. Os conjuntos BC

0 , BπC, ω(B0)C e ω(Bπ)C possuem, cada

um, uma ´unica componente conexa.

Demonstra¸c˜ao. Vamos provar queBC

0 possui uma ´unica componente

co-nexa. O restante da proposi¸c˜ao pode ser provado de forma an´aloga. ´

E claro queB0⊆V₀+, de forma que podemos considerar Ω a componente

conexa de BC

0 que cont´em R2\V0+. Como B0 ´e F-invariante temos que

F(BC

0 ) ⊇ BC0, de forma que toda componente conexa de F(B0C) cont´em

uma componente conexa de B₀C (lembre que um homeomorfismo preserva o número de componentes conexas). Além disso F(Ω)∩Ω 6=∅ e vale que Ω⊆F(Ω). Em particular, ΩC _é _F_-invariante.

Seja z∈ΩC e Γ a componente conexa de ΩC que cont´em z. Como ΩC ´e invariante temos que Fi_(Γ)_∩_{Ω =} _∅ _{para todo} _i _∈_N_{. Como (}_V+

0 )C ⊆Ω 1

Isto n˜ao foi provado, mas ´e trivial. Basta supor queF(B0)*B0 e ver o que acontece

com o respectivo conjunto emS2

(42)

temos que Γ é um conjunto fechado, conexo cuja órbita futura não sai de

V₀+.

Al´em disso, como∂(ΩC₎_⊆_B

0, temos que Γ∩B0 6=∅. Sejaz∈Γ∩B0 e

Θ a componente conexa deB0 que cont´emz. Sabemos que Θ ´e ilimitado e

como Θ∩Γ6=∅ então Θ⊆Γ. Portanto Γ é ilimitado, fechado e sua órbita futura não sai de V₀+. Conclu´ımos que Γ⊆B0; isso mostra que ΩC =B0, e

tem portanto uma ´unica componente conexa.

5.2 ω

(

B

0

)

, ω

(

B

π

)

6 =

∅

Veremos nessa se¸c˜ao que, sob nossas hip´oteses, podemos assumir que ω(B0)

eω(Bπ) s˜ao ambos n˜ao vazios.

Proposi¸c˜ao 23. Se (p, q) ∈ Z2 _com _p _≥ ₀ _ent˜_ao _B

0+ (p, q) ⊆ B0. Al´em

disso, B0+ (0, q) =B0.

Demonstra¸c˜ao. Seja Γ uma componente conexa de B0. Claramente Γ +

(p, q) ´e conexo, fechado, ilimitado e tal que (Fi₍_y₎₎

1 ≥ 0 para todo y ∈

Γ + (p, q) (pois (Fi₍_y₎₎

1 ≥p≥0).

Assim, se x ∈ Γ ⊆ B0 ent˜ao (x+ (p, q)) ∈ (Γ + (p, q)) ⊆ B0. Por fim,

note que sep= 0 ent˜ao segue a igualdade do lema 5.

Podemos facilmente ver que vale um resultado an´alogo para Bπ quando

p≤0. Em tempo, a proposi¸cão seguinte é semelhante e será usada mais a frente.

Proposi¸c˜ao 24. Se(p, q)∈Z2 _com_p_≥₀ _ent˜_ao_ω₍_B

0) + (p, q)⊆ω(B0). Se

(p, q) ∈Z2 _com _p_≤₀ _ent˜_ao_ω₍_B_{π) + (}_{p, q}₎ _⊆_ω₍_B_π)_{. Al´em disso, se} _p _{= 0}

ent˜ao vale a igualdade em ambos os casos.

Demonstra¸c˜ao. Como ω(B0) =T∞i=1Fi(B0) temos

ω(B0) + (p, q) =

_\∞

i=1

Fi(B0)

+ (p, q) =

∞

\

i=1

Fi(B0+ (p, q))

Usando queF ´e homeomorfismo temos da proposi¸c˜ao anterior que ω(B0) +

(p, q) ⊆ ω(B0) e que vale a igualdade caso p = 0. O restante do pedido ´e

obtido analogamente.

Lema 6. Seω(B0) =∅ ent˜ao existe r∈R+∗ tal que

lim inf n→∞

(Fn₍_x₎₎

1

n ≥r

(43)

5.3. ESTRAT ´EGIA DA PROVA 33

Demonstra¸c˜ao. Afirmo que existe n ∈ N+ _{tal que} _Fi₍_B

0) ⊆ V₀++ (1,0)

para todo i > n. De fato, caso contr´ario existe uma sequˆencia ij → ∞ tal que, para todo j, existe um ponto xj ∈V0+ tal que Fij(xj)∈ V0+\(V0++

(1,0)) e portanto 0≤(Fij₍_x_j))

1 <1.

Os inteiros qj = ⌊(Fij(xj))2⌋ s˜ao tais que Fij(xj)−(0, qj) ∈ [0,1]2. Comoxj ∈V₀+ ⊆B0 e B0−(0, qj) =B0 temos quexj −(0, qj)∈B0. Mas

por compacidade o conjunto{Fij₍_x

j−(0, qj))}j∈Npossui uma subsequˆencia

convergindo para um pontow∈ω(B0) : contradi¸c˜ao, poisω(B0) =∅.

Afirmo agora que Fn₍_B

0) ⊆ B0 + (1,0). Seja x ∈ B0. Pela afirma¸c˜ao

anterior, Fi(x) ∈ V₀++ (1,0), ou ainda, Fi(x)−(1,0)∈ V₀+ para i > n e desta forma Fi₍_x₎₋₍₁_,₀₎_∈_B

0 o que prova a afirma¸c˜ao. Veja por indu¸c˜ao

que, para todok∈N+ _{temos que}

Fnk(B0)⊆B0+ (k,0)⊆V0++ (k,0)

de forma que para todox∈B0

lim inf n→∞

(Fn₍_x₎₎

1 n ≥ k nk = 1 n

Corol´ario. Se ω(B0) =∅ ent˜ao existe v∈ρ(F) com (v)1 >0.

Demonstra¸c˜ao. Pelo lema anterior e pela proposi¸c˜ao 21 existe x ∈ R2_,

r ∈ R e N ∈ N suficientemente grande tal que (Fn(x))1

n ≥r > 0 para todo

n > N. Desta forma

(ρn(F, x))1 = (F

n₍_x₎₋_x₎

1

n ≥r−

(x)1

n

n→∞

−−−→r >0

Seja {xi}i ∈ N uma sequˆencia em B0 cont´em infinitos pontos podemos

considerar

ρ(F) ´e compacto podemos extrair uma subsequˆencia de Fn(_nx)−x _n>N que converge para algum v∈ρ(F) com (v)1 >0.

De forma an´aloga podemos ver que

Corol´ario. Se ω(Bπ) =∅ ent˜ao existe v∈ρ(F) com (v)1<0.

Conclu´ımos que, para um homeomorfismo com conjunto de rota¸cão que coincide com um segmento de reta vertical, é suficiente estudar o caso em queω(B0) e ω(Bπ) são ambos não vazios.