Parte 1. Conjuntos finitos, enumeráveis e

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Parte 1

Conjuntos finitos, enumer ´aveis e

n ˜ao-enumer ´aveis

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1818) R ´ussia.

Para saber mais sobre os n ´umeros cardinais, consulte:

Halmos, Paul R.,Teoria Ing ´enua dos Conjuntos, Editora Pol´ıgono, S ˜ao Paulo, 1970.

Giuseppe Peano (1858-1932) It ´alia.

Julius Wihelm Richard Dedekind (1831-1916) Braunschweig,

A descoberta de que h á diversos tipos de infinito deve-se a Georg Cantor. Mas, para os objetivos do nosso curso, ser á necess ário distin- guir os conjuntos, quanto ao n úmero de elementos, apenas em tr ês ca- tegorias: os conjuntos finitos; os conjuntos enumer áveis e os conjuntos n ão-enumer áveis.

A noç ão deconjunto enumer ável, como veremos, est á estritamente ligada ao conjunto N dos n úmeros naturais. Por isso iniciamos o curso com uma breve apresentaç ão da teoria dos n úmeros naturais a partir dos axiomas de Peano, que exibem os n úmeros naturais como n úmeros ordi- nais, isto é, objetos que ocupam lugares determinados numa sequ ência ordenada. Depois, empregaremos os n úmeros naturais para a contagem dos conjuntos finitos, mostrando que eles podem ser considerados como n úmeros cardinais.

Dedekinddefiniu o conjuntoNdos n ´umeros naturais a partir da teoria dos conjuntos e demonstrou os axiomas de Peano (ver [Halmos]).

Do ponto de vista dePeano, os n úmeros naturais n ão s ão definidos.

E apresentada uma lista de propriedades (axiomas) que eles satisfazem´ e tudo o mais decorre da´ı. N ão interessa o que os n úmeros s ão, mas apenas as suas propriedades.

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Os n ´umeros naturais

1. Os n ´umeros naturais

Toda a teoria dosn ´umeros naturaispode ser deduzida dos tr ˆes axiomas abaixo, conhecidos comoaxiomas de Peano.

S ão dados, como objetos n ão-definidos, um conjunto, que se de- signa pela letra N, cujos elementos s ão chamados n úmeros naturais, e uma funç ão s : N −→ N. Para cada n ∈ N, o n úmero natural s(n) é chamado osucessorden.

A func¸ ˜aossatisfaz aos seguintes axiomas:

(I)s:N−→N ´e injetiva, ou seja, ses(m) =s(n), ent ˜aom=n.

(II) N −s(N) consiste de um ´unico elemento, ou seja, existe um

único n úmero natural que n ão é sucessor de outro n úmero natural. Este n úmero, chamadoum, é representado pelo s´ımbolo1.

Assim,s(n)6=1para todon∈Ne, sen6=1, existe um ´unicom ∈N tal ques(m) =n.

Uma demonstraç ão na qual o axioma (III) é empregado, chama-se umademonstraç ão por induç ão.

Ver exemplo 1.1.

(III) (Princ´ıpio de Induç ão) Se X ⊂ N é tal que 1 ∈ X e, para todo n∈Xtem-ses(n)∈X, ent ãoX=N.

Exemplo 1.1

Demonstrar por induç ão ques(n)6=npara todon∈N. Soluç ão: SejaX={n∈N|s(n)6=n}.

(1)1 ∈X, pois, pelo axioma (II), s(n) 6=1para todo n∈ N. Em particular s(1)6=1.

(2)Sejan∈X, ou seja,s(n)6=n.

Comos ´e injetiva, pelo axioma (I),s(s(n))6=s(n). Isto ´e,s(n)∈X.

Ent ão, pelo princ´ıpio de induç ão, axioma (III), X = N, ou seja, s(n) 6= n para todon∈N.

N ão menos importante do que demonstrar proposiç ões usando o princ´ıpio de induç ão é saberde- finirobjetospor induç ão.

As definiç ões por induç ão baseiam-se na possibilidade de se iterar uma funç ãof:X−→Xum n úmero arbitr ário,n, de vezes.

Mais precisamente, sejamX um conjunto ef: X−→ Xuma func¸ ˜ao.

A cadan∈Npodemos associar, de modo único, uma funç ãofⁿ:X−→X tal que:

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f¹=f e f^s(n)=f◦fⁿ.

Usando as iteradas da funç ão s:N−→Nvamos definir por induç ão aadiç ão de n úmeros naturais.

Numa exposiç ão sistem ática da teoria dos n úmeros naturais, a exist ência don−ésimo iteradofⁿ de uma funç ão f : X −→ Xé um teorema, chamado Teorema da Definiç ão por Induç ão.

A operaç ão de adiç ão de n úmeros naturais é uma funç ão que a cada par de n úmeros naturais (m, n) ∈ N× N faz corresponder o n úmero natural sⁿ(m) designado m+ne chamado asoma demen.

Isto ´e,

+ :N×N −→ N

(m, n) 7−→ m+n=sⁿ(m)

Definic¸ ˜ao 1.1

Sejam m, n ∈ N. O n úmero natural sⁿ(m) é chamado a somademene é designado porm+n. Isto é,

m+n=sⁿ(m).

A operaç ão que consiste emsomarn úmeros naturais é denominadaadiç ão, e é designada pelo s´ımbolo+.

Assim,

•m+1=s(m)(somarm com1significa tomar o sucessor dem).

•m+s(n) =s^s(n)(m) =s(sⁿ(m)) = s(m+n),

ou seja,

m+ (n+1) = (m+n) +1.

Proposic¸ ˜ao 1.1

A adiç ão de n úmeros naturais possui as seguintes pro- priedades:

(a)Associatividade: m+ (n+p) = (m+n) +p. (b)Comutatividade: m+n=n+m.

(c)Tricotomia: dadosm, n∈N, exatamente uma das seguintes tr ˆes alter- nativas ocorre: oum =n, ou existe p∈Ntal que m=n+p, ou existe q∈Ntal quen=m+q.

(d)Lei de cancelamento: m+n=m+p=⇒n=p.

Prova.

(a)Sejamm, n∈Nn úmeros naturais arbitr ários e seja X={p∈N|m+ (n+p) = (m+n) +p}. Ent ão1∈Xe sep∈X, tem-se que

m+ (n+s(p)) = m+s(n+p) =s(m+ (n+p)) = s((m+n) +p)

= (m+n) +s(p).

Logo, s(p) ∈ X e, portanto, X = N, ou seja, m+ (n+p) = (m+n) +p, quaisquer que sejamm, n, p∈N.

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(b)•SejaX={m ∈N|m+1=1+m}.Ent ˜ao,1∈Xe sem ∈X, tem-se 1+s(m) =s(1+m) =s(m+1) =s(s(m)) =s(m) +1,

ou seja,s(m)∈X. Logo, X=N, isto ´e,m+1=1+m, qualquer que seja m∈N.

•SejaY ={m∈N|m+n=n+m}, onden∈N.

Ent ˜ao, pelo provado acima,1∈Y. E sem ∈Y, tem-se que n+s(m) = s(n+m) =s(m+n) =m+s(n)

= m+ (n+1) =m+ (1+n) = (m+1) +n

= s(m) +n ,

ou seja, s(m) ∈ Y. Logo, Y = N, isto ´e, m +n = n+m quaisquer que sejamm, n ∈N.

(c)Sejam ∈Ne seja

X={n∈N|nem satisfazem a propriedade de tricotomia}.

(1)1 ∈ X. De fato, oum =1ou m 6=1 e, neste caso,m ´e o sucessor de algum n ´umeron₀∈N, ou seja, existen₀∈Ntal que

1+n₀=n₀+1=s(n0) =m.

(2)Sejan ∈ X. Ent ˜ao, oun =m, ou existe p∈ Ntal que n = m+p, ou existeq∈Ntal quem =n+q.

Vamos provar ques(n)∈X.

De fato,

•sen=m=⇒s(n) =s(m) =m+1.

•sen=m+p=⇒s(n) =s(m+p) = (m+p) +1=m+ (p+1).

• sem = n+q =⇒ ouq = 1 ou q 6= 1. Se q = 1, m = n+1, ou seja, s(n) =m. Seq6=1, existeq₀∈Ntal queq₀+1=q.

Logo,

m =n+q=n+ (q0+1) =n+ (1+q₀) = (n+1) +q₀=s(n) +q₀. Em qualquer caso, provamos que ou s(n) = m, ou existe r ∈ N tal que s(n) =m+r, ou existeℓ∈Ntal quem=s(n) +ℓ.

Logo, X = N, ou seja, dadosm, n ∈ N temos que, ou m = n, ou existe p∈Ntal quem=n+p, ou existeq∈Ntal quen=m+q.

Exerc´ıcio 1:Para provar que vale exatamente uma das tr ˆes alternativas ao lado, verifique antes que n+p6=nquaisquer que sejam n, p∈N.

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(d)Sejamm, n, p∈Ntais quem+n=m+p.

Pela propriedade de tricotomia, temos que ou p = n ou existe q ∈ N tal quen=p+q, ou existeℓ∈Ntal quep=n+ℓ.

Ent ˜ao, sep6=n, temos que:

•n =p+q =⇒ m+ (p+q) = m+p=⇒ (m+p) +q =m+p, o que é uma contradiç ão (ver o exerc´ıcio 1 acima).

ou

•p =n+ℓ =⇒ m+n= m+ (n+ℓ) = (m+n) +ℓque é tamb ém uma contradiç ão.

Logo,p=n.

Arelaç ão de ordemno conjunto dos n úmeros naturais é definida em termos da adiç ão.

Definic¸ ˜ao 1.2

Dados m, n ∈ N, dizemos que m ´emenor do quen (ou que n ´e maior do que m) e escrevemos m < n (ou n > m) se existir p∈Ntal quen=m+p.

A notac¸ ˜aom≤nsignifica quem

´e menor do que ou igual an.

Proposic¸ ˜ao 1.2

A relac¸ ˜ao<possui as seguintes propriedades:

(a) Transitividade: sem < nen < p, ent ˜aom < p.

(b) Tricotomia: dadosm, n ∈N, ocorre exatamente uma das alternativas seguintes:

m=n, ou m < n, ou n < m.

(c) Monotonicidade: sem < nent ˜aom+p < n+ppara todop∈N.

Prova.

(a) Se m < n e n < p, existem q₁ ∈ N e q₂ ∈ N tais que n = m+q₁ ep=n+q₂.

Logo,

p=n+q2= (m+q1) +q2 =m+ (q1+q2).

Ent ˜ao,m < p.

(b)Sejam m, n ∈ N. Ent ˜ao, ocorre exatamente uma das seguintes alternativas:

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•oum =n;

•ou existep∈Ntal quem=n+p, ou sejan < m;

•ou existeq∈Ntal quen=m+q, ou sejam < n.

(c)Sejamm, n, p∈N. Sem < n, existeq∈Ntal quen=m+q.

Logo,

n+p= (m+q) +p=m+ (q+p) =m+ (p+q) = (m+p) +q, ou seja,m+p < n+p.

Definiremos, agora, a multiplicaç ão de n úmeros naturais.

Definic¸ ˜ao 1.3

^{Para cada}^m∈N, sejaf_ma func¸ ˜ao definida por f_m:N −→ N

p 7−→ f_m(p) =p+m .

Oprodutode dois n ´umeros naturais ´e definido por:

•m·1=m,

•m·(n+1) = (fm)ⁿ(m).

A operaç ão de multiplicaç ão é a funç ão que a cada par de n úmeros naturais associa o seu produto:

·:N×N −→ N (m, n) 7−→ m·n Multiplicar dois n ´umeros naturais significa calcular o produto entre eles.

O produto demen´e designado porm·nou pormn.

Assim, multiplicar um n úmero m por 1 n ão o altera, e multiplicar m por um n úmero maior que 1, ou seja, por um n úmero da forma n+1, é iterarn−vezes a operaç ão de somarm, começando comm.

Por exemplo:

m·2=f_m(m) =m+m;

m·3= (f_m)²(m) =f_m(f_m(m)) =f_m(m+m) =m+m+m.

Observac¸ ˜ao 1.1

Pela definic¸ ˜ao acima, temos que m·(n+1) =m·n+m , ∀m, n∈N

De fato, sen=1, ent ˜ao

m·n+m=m·1+m =m+m = (f_m)¹(m) =m·(1+1). Sen6=1, existen0∈Ntal ques(n0) =n. Logo,

m·n+m = m·(n0+1) +m = (fm)ⁿ⁰(m) +m

= f_m((fm)ⁿ⁰)(m) = (fm)^s(n⁰⁾(m)

= (fm)ⁿ(m) =m·(n+1).

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Proposic¸ ˜ao 1.3

A multiplicaç ão de n úmeros naturais satisfaz as se- guintes propriedades:

(a) Distributividade: m·(n+p) =m·n+m·pe(m+n)·p=m·p+n·p.

(b) Associatividade: m·(n·p) = (m·n)·p.

(c) Comutatividade: m·n=n·m.

(d) Monotonicidade: m < n=⇒m·p < n·p.

(e) Lei de cancelamento: m·p=n·p=⇒m=n.

Prova.

(a)Sejamm, n∈Ne sejaX={p∈N|m·(n+p) =m·n+m·p}. J ´a vimos que1∈X. Suponhamos quep∈X. Ent ˜ao,

m·(n+ (p+1) = m·((n+p) +1) =m·(n+p) +m·1

= (m·n+m·p) +m=m·n+ (m·p+m)

= m·n+m·(p+1), ou seja, p+1∈X . Logo, X = N. Isto ´e, m·(n+p) = m·n+m·p quaisquer que sejam m, n, p∈N.

Seja, agora,Y ={p∈N|(m+n)·p=m·p+n·p}. Ent ˜ao,

•1∈Y, pois(m+n)·1=m+n=m·1+n·1.

•Sep∈Y, temos:

(m+n)·(p+1) = (m+n)·p+ (m+n) =m·p+n·p+m+n

= m·p+m+n·p+n=m·(p+1) +n·(p+1),

ou seja,p+1∈Y. Logo,Y=N, isto ´e,(m+n)·p=m·p+n·pquaisquer que sejamm, n, p∈N.

(b)Sejamm, n∈Ne sejaX={p∈N|m·(n·p) = (m·n)·p}. Ent ˜ao,

•1∈X, poism·(n·1) =m·n= (m·n)·1.

•Sep∈X, temos

m·(n·(p+1)) = m·(n·p+n) =m·(n·p) +m·n

= (m·n)·p+m·n= (m·n)·(p+1),

ou seja,p+1∈X.

Logo,X=N, isto ´e,m·(n·p) = (m·n)·pquaisquer que sejamm, n, p∈N.

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(c)SejaX={m∈N|m·1=1·m}. Ent ˜ao,1∈Xe sem∈Xtemos que (m+1)·1=m·1+1·1=1·m+1·1=1·(m+1),

ou seja,m+1∈X.

Logo,X=N, isto ´e,m·1=1·m,∀m∈N.

Seja, agora, Y = {m ∈ N|m·n = n·m}, onde n ∈ N. Ent ˜ao, pelo que acabamos de provar acima,1∈Y.

Sem∈Y, temos

(m+1)·n=m·n+1·n=n·m+1·n=n·m+n=n·(m+1), ou seja,m+1∈Y.

Logo,Y =N, ou seja,m·n=n·mquaisquer que sejamm, n ∈N. (d)Sejamm, n∈Ntais quem < n. Ent ˜ao, existeq∈Ntal quen=m+q.

Logo,

n·p= (m+q)·p=m·p+q·p, ou seja,m·p < n·p.

(e)Sejamm, n, p∈Ntais quem·p=n·p.

Ent ˜ao,m=n, pois, caso contr ´ario, ter´ıamos que:

•m < n=⇒m·p < n·p(absurdo), ou

•n < m=⇒n·p < m·p(absurdo) .

Definic¸ ˜ao 1.4

^Seja^X⊂ N. Dizemos quep∈ X ´eo menor elemento de X, ou oelemento m´ınimodeX, se p≤n para todon∈X.

Observac¸ ˜ao 1.2

• 1 ´e o menor elemento de N, pois se n 6= 1, existe n₀ ∈Ntal quen₀+1=n. Ent ˜ao, n > 1.

•SeX⊂Ne1∈X, ent ˜ao1 ´e o menor elemento deX.

•O menor elemento de um conjuntoX⊂N, se existir, é único. De fato, se peqs ão menores elementos deX, ent ãop≤qeq≤p. Logo,p=q.

Existe X ⊂ N sem menor elemento?

Definic¸ ˜ao 1.5

SejaX ⊂ N. Dizemos que p∈ X ´e omaior elementode X, ou oelemento m ´aximodeX, sep≥npara todon∈X.

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Observac¸ ˜ao 1.3

• Nem todo subconjunto de N possui um maior elemento. Por exemplo,Nn ˜ao tem um maior elemento, pois sen∈N, ent ˜ao n+1=s(n)∈Nen+1 > n.

•Se existir o maior elemento de um conjuntoX⊂N, ele ´e ´unico.

Teorema 1.1

(Princ´ıpio da Boa Ordenac¸ ˜ao)

Todo subconjunton ˜ao-vazio A⊂Npossui um elemento m´ınimo.

Prova.

SejaX={n∈N| {1, . . . , n}⊂N−A}.

Se1∈A, ent ão1 é o menor elemento de A. Se16∈A, ent ão1∈X.

ComoA6=∅eX⊂N−A, temos queX6=N.

Logo, pelo princ´ıpio de induc¸ ˜ao, existen₀∈Xtal quen₀+16∈X, ou seja, 1, . . . , n₀6∈Aen₀+1∈A.

Assim,n₀+1≤n, para todon∈A.

Outra demonstrac¸ ˜ao.

Suponha, por absurdo, queAn ˜ao tem um menor elemento. Seja X={p∈N|p≤n , ∀n∈A}.

Ent ˜ao:

(1)1∈X, pois1≤n∀n∈N.

(2)Sejap∈X, ou seja,p∈Nep≤n∀n∈A.

ComoAn ˜ao tem um menor elemento, temos quep6∈A. Logo,p < npara todon∈A, ou seja, para todo n∈Aexiste q_n∈Ntal quen=p+q_n. Ent ˜ao,p < p+q_n=⇒p+1≤p+q_n=n , ∀n∈A=⇒p+1∈X.

Pelo princ´ıpio de induç ão, temos que X = N, o que é um absurdo, pois, como A 6= ∅, existe n₀ ∈ A. Sendo X = N, n₀ +1 ∈ X e, portanto, n₀+1≤n₀.

Teorema 1.2

(Segundo Princ´ıpio de Induc¸ ˜ao)

Seja X ⊂ N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n ∈ N, se X cont ém todos os n úmeros naturais m tais que m < n, ent ão n ∈ X.

Nestas condic¸ ˜oes,X=N.