2 L -QUADR´ATICASRiodeJaneiro2019 MINIST´ERIODADEFESAEX´ERCITOBRASILEIRODEPARTAMENTODECIˆENCIAETECNOLOGIAINSTITUTOMILITARDEENGENHARIAPROGRAMADEP´OS-GRADUA¸C˜AOEMENGENHARIAEL´ETRICAANACATARINAALMEIDAFILIZOLADEABREUAN´ALISEES´INTESEDECONTROLEROBUSTOPORREALI

MINIST´ ERIO DA DEFESA EX´ ERCITO BRASILEIRO

DEPARTAMENTO DE CIˆ ENCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUA ¸ C ˜ AO EM ENGENHARIA EL´ ETRICA

ANA CATARINA ALMEIDA FILIZOLA DE ABREU

AN ´ ALISE E S´ INTESE DE CONTROLE ROBUSTO POR REALIMENTA ¸ C ˜ AO DE ESTADOS DE SISTEMAS LINEARES A PAR ˆ AMETROS VARI ´ AVEIS UTILIZANDO FUN ¸ C ˜ OES DE LYAPUNOV

ASSINTOTICAMENTE L

-QUADR ´ ATICAS

Rio de Janeiro

2019

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

ANA CATARINA ALMEIDA FILIZOLA DE ABREU

AN ´ ALISE E S´ INTESE DE CONTROLE ROBUSTO POR REALIMENTA ¸ C ˜ AO DE ESTADOS DE SISTEMAS LINEARES A PAR ˆ AMETROS VARI ´ AVEIS UTILIZANDO

FUN ¸ C ˜ OES DE LYAPUNOV ASSINTOTICAMENTE L

-QUADR ´ ATICAS

Disserta¸c˜ ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´ os- Gradua¸c˜ ao em Engenharia El´ etrica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆ encias em Engenharia El´ etrica.

Orientador: Prof. Paulo C´ esar Pellanda, Dr. ENSAE Co-orientador: Prof

. Patricia Thompson Bandeira, DC

Rio de Janeiro

2019

c2019

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA Pra¸ca General Tib´ urcio, 80-Praia Vermelha Rio de Janeiro-RJ CEP 22290-270

Este exemplar ´ e de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poder´ a inclu´ı-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivamento.

E permitida a men¸c˜ ´ ao, reprodu¸c˜ ao parcial ou integral e a transmiss˜ ao entre bibliotecas deste trabalho, sem modifica¸c˜ ao de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado, para pesquisa acadˆ emica, coment´ arios e cita¸c˜ oes, desde que sem finalidade comercial e que seja feita a referˆ encia bibliogr´ afica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho s˜ ao de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s) orientador(es).

621.3 Ana Catarina Almeida Filizola de Abreu

A162a An´ alise e S´ıntese de Controle Robusto por Realimenta¸ c˜ ao de Estados de Sistemas Lineares a Parˆ ametros Vari´ aveis Utilizando Fun¸ c˜ oes de Lyapunov Assintoticamente L

-Quadr´ aticas / Ana Ca- tarina Almeida Filizola de Abreu; orientada por Prof. Paulo C´ esar Pellanda, Dr. ENSAE; Prof

. Patricia Thompson Bandeira, DC - Rio de Janeiro : Instituto Militar de Engenharia, 2019.

103 p.: il.

Disserta¸c˜ ao (mestrado) - Instituto Militar de Engenharia- Rio de Janeiro, 2019.

1. Curso de Engenharia El´ etrica - teses e disserta¸c˜ oes. 2. Sistemas Linear a Parˆ ametros Vari´ aveis - LPV. 3. Transformada Haar. 4. Desempenho Robusto H

I. Pellanda, Paulo C´ esar. II. Bandeira, Patr´ıcia Thompson.

III.Instituto Militar de Engenharia. IV. T´ıtulo.

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

ANA CATARINA ALMEIDA FILIZOLA DE ABREU

AN ´ ALISE E S´ INTESE DE CONTROLE ROBUSTO POR REALIMENTA ¸ C ˜ AO DE ESTADOS DE SISTEMAS LINEARES A PAR ˆ AMETROS VARI ´ AVEIS UTILIZANDO

FUN ¸ C ˜ OES DE LYAPUNOV ASSINTOTICAMENTE L

-QUADR ´ ATICAS

Disserta¸c˜ ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Engenharia El´ etrica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆ encias em Engenharia El´ etrica.

Orientador: Prof. Paulo C´ esar Pellanda, Dr. ENSAE Co-orientador: Prof

. Patricia Thompson Bandeira, DC

Aprovada em 6 de mar¸co de 2019 pela seguinte Banca Examinadora:

Prof. Paulo C´ esar Pellanda, Dr. ENSAE do IME - Presidente

Prof

. Patricia Thompson Bandeira, DC da Escola Naval

Prof. Glauco Nery Taranto, Ph.D. da UFRJ

Prof. Roberto Ades, Dr. do IME

Rio de Janeiro

2019

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador Paulo C´ esar Pellanda, pelas orienta¸c˜ oes, palavras de incentivo, dedica¸c˜ ao e todo apoio prestado n˜ ao somente a mim como a todos os seus orientandos;

certamente sem o senhor esta disserta¸c˜ ao n˜ ao teria se concretizado.

A minha coorientadora ` Patr´ıcia Thompson Bandeira, pelos conhecimentos transmiti- dos a respeito da Transformada Haar e toda a ajuda a mim oferecida durante a elabora¸c˜ ao dos teoremas e rotinas propostos nesta disserta¸c˜ ao.

Aos integrantes do Departamento de Engenharia El´ etrica do IME, pelo apoio prestado ao longo do desenvolvimento deste trabalho.

Aos meus colegas de curso, que estiveram presente nessa jornada, nos trabalhos, nas provas e nas choradeiras no transcorrer do curso.

Ao meu marido Jarc´ılio Marangone, pela paciˆ encia e compreens˜ ao nesses dois anos, ` a

minha fam´ılia que mesmo longe sempre me apoiou e torceu por mim em todos os momentos

dessa dif´ıcil jornada.

SUM ´ ARIO

LISTA DE ILUSTRA ¸ C ˜ OES . . . . 7

LISTA DE ABREVIATURAS E S´IMBOLOS . . . . 9

1 INTRODU ¸ C ˜ AO . . . . 13

1.1 Contexto e Motiva¸c˜ ao . . . . 13

1.2 Objetivos . . . . 17

1.2.1 Objetivos Gerais . . . . 17

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . . 17

1.3 Estrutura da Disserta¸c˜ ao . . . . 17

2 FUNDAMENTOS TE ´ ORICOS . . . . 19

2.1 Transformada Wavelet Discreta e de Haar . . . . 19

2.2 Desigualdades Matriciais Lineares (LMI) . . . . 28

2.3 Sistemas LPV e quasi-LPV . . . . 29

2.3.1 An´ alise de Estabilidade . . . . 34

2.3.2 An´ alise de Estabilidade Bi-Quadr´ atica . . . . 38

2.3.3 An´ alise de Desempenho Robusto H

. . . . 39

2.3.3.1 Desempenho Robusto H

. . . . 40

2.3.3.2 Desempenho Robusto H

Bi-Quadr´ atico . . . . 43

2.3.4 S´ıntese de Controle Robusto H

Bi-Quadr´ atico . . . . 45

2.4 Conclus˜ ao . . . . 47

3 AN ´ ALISE DE ESTABILIDADE E DESEMPENHO ROBUSTO DE SISTEMAS LPV UTILIZANDO TH . . . . 48

3.1 An´ alise de Estabilidade via TH . . . . 48

3.1.1 Existˆ encia de Limites Superiores para Res´ıduos Matriciais . . . . 50

3.1.2 PILF via TH para Estabilidade Quadr´ atica . . . . 52

3.1.3 PDLF via TH para a Estabilidade Quadr´ atica . . . . 53

3.1.4 Experimentos Num´ ericos . . . . 57

3.1.4.1 Exemplo 1 . . . . 57

3.1.4.2 Exemplo 2 . . . . 59

3.1.4.3 Exemplo 3 . . . . 61

3.2 An´ alise de Desempenho Robusto H

via TH . . . . 63

3.2.1 Desempenho H

com FL Independente do Parˆ ametro . . . . 63

3.2.2 Desempenho H

com FL Dependente do Parˆ ametro . . . . 64

3.2.3 Experimentos Num´ ericos - Exemplo 4 . . . . 66

3.3 Conclus˜ ao . . . . 70

4 NOVAS CARACTERIZA ¸ C ˜ OES LMI PARA AN ´ ALISE E S´ INTESE DE CONTROLE LPV COM DESEMPENHO L

GARANTIDO . 72 4.1 Reformula¸c˜ ao da An´ alise de Desempenho H

via TH . . . . 72

4.1.1 An´ alise com FL Independente do Parˆ ametro . . . . 72

4.1.2 An´ alise com FL Dependente do Parˆ ametro . . . . 75

4.2 S´ıntese de Controle LPV por Realimenta¸c˜ ao de Estados com Desem- penho L

garantido . . . . 80

4.2.1 S´ıntese com FL Independente do Parˆ ametro . . . . 82

4.2.2 S´ıntese com FL Dependente do Parˆ ametro . . . . 85

5 CONCLUS ˜ OES E PERSPECTIVAS . . . . 96

5.1 Conclus˜ oes . . . . 96

5.2 Perspectivas . . . . 97

6 REFERˆ ENCIAS BIBLIOGR ´ AFICAS . . . . 99

7 APˆ ENDICES . . . 103

7.1 Demonstra¸c˜ ao do Teorema 4.1 . . . 104

LISTA DE ILUSTRA ¸ C ˜ OES

FIG.2.1 Espa¸co V

. . . . 22

FIG.2.2 Rela¸c˜ ao entre os espa¸cos V

, W

. . . . 23

FIG.2.3 Perfil das fun¸c˜ oes da base Haar. . . . 26

FIG.2.4 Aproxima¸c˜ oes dadas pelas fun¸c˜ oes Haar em V

. . . . 27

FIG.3.1 A

(θ) = |θ|sin

(θ) para J = 2. . . . . 52

FIG.3.2 |A

(θ)| para J = 2. . . . 52

FIG.3.3 Exemplo de Q

(θ) para G = 1. . . . 55

FIG.3.4 P

(θ) e P

(θ) para J = 3, G = 1 e Q

(θ) da FIG. 3.3. . . . 55

FIG.3.5 Estimativas de ζ

para diferentes valores de J no Exemplo 1. Fonte: (BANDEIRA, 2018). . . . . 58

FIG.3.6 max

{k A ˜

(θ

)k} para o sistema 3.29. Fonte: (BANDEIRA, 2018). . . . . 59

FIG.3.7 Resposta no tempo do sistema 3.30 para diferentes valores de θ. Fonte: (BANDEIRA, 2018). . . . 60

FIG.3.8 P(θ) obtido para o sistema 3.30 com J = 9, G = 6 e ρ = 0,563. Fonte: (BANDEIRA, 2018). . . . . 60

FIG.3.9 Estimativas de ρ

para o Exemplo 3 e diferentes n´ıveis de resolu¸c˜ ao {J,G}. Fonte: (BANDEIRA, 2018). . . . . 62

FIG.3.10 Norma H

do sistema do Exemplo 4 obtida para valores fixos de θ. . . . 67

FIG.3.11 Valores de η, para o Exemplo 4, com FL independente do parˆ ame- tro. . . . . 67

FIG.3.12 Valores de η obtidos pelo uso do Teorema 3.4, para o Exemplo 4, com J = 13 e diferentes valores de G, ρ e J = 15, comparados com os resultados obtidos por (DE OLIVEIRA et al., 2002). . . . 69

FIG.3.13 Valores de η obtidos pelo Teorema 3.4 para o Exemplo 4, com J = 15, G = 5 e diferentes valores de ρ. . . . 69

FIG.3.14 P(θ) obtido para J = 15, G = 5 e ρ = 8, para o Exemplo 4. . . . . 70

FIG.4.1 Compara¸c˜ ao gr´ afica dos dados num´ ericos da TAB. 4.1. . . . 79

FIG.4.2 Valores de η obtidos pelo Teorema 4.2 para o Exemplo 3.2.3 com

J=13 com diferentes valores de G e ρ, comparando com os apre-

sentados no Teorema 3.4. . . . 79

FIG.4.3 Diagrama de blocos para s´ıntese de controle L

-LPV. . . . 80

FIG.4.4 X(θ) obtido para J = 15, G = 5 e ρ = 10. . . . 90

FIG.4.5 Autovalores m´ınimos de X(θ) obtidos para J = 15, G = 5 e ρ = 10 . . . . 91

FIG.4.6 Y(θ) obtido para J = 15, G = 5 e ρ = 10. . . . 92

FIG.4.7 K(θ) obtido para J = 15, G = 5 e ρ = 10. . . . 92

FIG.4.8 X(θ) com λ = 100, obtido para J = 10, G = 4 e ρ = 10. . . . 94

FIG.4.9 Y(θ) com λ = 100, obtido para J = 10, G = 4 e ρ = 10. . . . 94

FIG.4.10 K(θ) com λ = 100, obtido para J = 10, G = 4 e ρ = 10. . . . 95

LISTA DE ABREVIATURAS E S´ IMBOLOS

ABREVIATURAS

ARM - An´ alise de Resolu¸c˜ ao M´ ultipla EAG - Estabilidade Assint´ otica Global

FL - Fun¸c˜ ao de Lyapunov

FT - Transformada de Fourier (Fourier Transform)

HWT - Transformada Wavelet Haar (Haar Wavelet Transform) IME - Instituto Militar de Engenharia

LFT - Transforma¸c˜ ao Linear Fracion´ aria (Linear Fractional Transforma- tion)

LMI - Desigualdade Linear Matricial (Linear Matrix Inequality) LPV - Linear a Parˆ ametros Vari´ aveis (Linear Parameter Varying ) LTI - Linear Invariante no Tempo (Linear Time-Invariant) LTV - Linear Variante no Tempo (Linear Time Varying) PDLF - FL Dependente do Parˆ ametro

PILF - FL Independente do Parˆ ametro

PLMI - Desigualdade Linear Matricial Parametrizada PSD - Programa¸c˜ ao Semidefinida

STFT - Transformada de Fourier de tempo curto (Short Time FT )

TH - Transformada Haar

TWD - Transformada Wavelet Discreta (Discrete Wavelets Transform )

S´ IMBOLOS

C - conjunto dos n´ umeros complexos

N - conjunto dos n´ umeros naturais

R - conjunto dos n´ umeros reais

N

( R

) - conjunto dos n´ umeros naturais (reais) estritamente positivos R

- conjunto dos vetores reais com n elementos

R

- conjunto das matrizes reais com n linhas e m colunas S

- conjunto das matrizes sim´ etricas de dimens˜ ao n × n L

- espa¸co de fun¸c˜ oes quadraticamente integr´ aveis

`

( Z ) - espa¸co de sequˆ encias quadraticamente som´ aveis L

- espa¸co de fun¸c˜ oes com amplitude limitada M ∈ R

- matriz com n linhas e m colunas

M

- transposta da matriz M

M

- inversa da matriz M

T r(M) - tra¸co da matriz M ∈ R

kMk - norma 2 induzida

M

- (p,q)-´ esimo elemento de M

S (M) - utilizada para simplificar express˜ oes matem´ aticas S (M) , M + M

norma H

- m´ aximo valor singular no dom´ınio da frequˆ encia

hf (θ),g(θ)i - R

−∞

f (θ)g(θ)dθ - produto interno de duas fun¸c˜ oes hM(θ) , g(θ)i - matriz cujo elemento (p,q) ´ e dado por hM

(θ) , g(θ)i M ≺ 0 - matriz negativa definida

M 0 - matriz positiva definida

M ∈ L

( R

) - M

∈ L

( R ), ∀(p,q)

RESUMO

Nesta disserta¸c˜ ao, realiza-se um estudo na ´ area de sistemas n˜ ao estacion´ arios com de- pendˆ encia param´ etrica geral, Lineares a Parˆ ametros Vari´ aveis (LPV) ou quasi -LPV, cujo intuito ´ e testar e tornar menos conservadora uma t´ ecnica recente de an´ alise de desempe- nho robusto H

com base no uso da Transformada Wavelet Haar (HWT, sigla em inglˆ es para Haar Wavelet Transform ). Al´ em de, estendˆ e-la para a s´ıntese de controle robusto por realimenta¸c˜ ao de estados por meio do desenvolvimento de novas caracteriza¸c˜ oes por Desigualdades Matriciais Lineares (LMI, sigla em inglˆ es para Linear Matrix Inequalities) que definem o problema.

Algoritmos recentemente propostos para an´ alise de estabilidade e desempenho ro- busto de sistemas LPV se baseiam no gradeamento do dom´ınio param´ etrico por meio da expans˜ ao por HWT das fun¸c˜ oes de dependˆ encia param´ etrica do sistema e da busca de Fun¸c˜ oes de Lyapunov (FL) assintoticamente L

-quadr´ aticas, ou seja, FL com dependˆ encia quadr´ atica em rela¸c˜ ao aos estados do sistema e L

em rela¸c˜ ao aos parˆ ametros variantes no tempo. T´ ecnicas LPV que tratam de sistemas com representa¸c˜ oes por Transforma-

¸c˜ oes Lineares Fracion´ arias (LFT, sigla em inglˆ es para Linear Fractional Transformation ) ou polit´ opicas n˜ ao s˜ ao capazes de tratar dom´ınios param´ etricos n˜ ao convexos e sistemas com dependˆ encia param´ etrica geral. Contrariamente, t´ ecnicas LPV tradicionais de gra- deamento param´ etrico n˜ ao apresentam essas limita¸c˜ oes mas garantem condi¸c˜ oes somente necess´ arias para estabilidade e desempenho, devido aos problemas LMI envolvidos de di- mensionalidade infinita e de infinitas restri¸c˜ oes exigindo testes complementares. Os novos algoritmos se baseiam em condi¸c˜ oes suficientes, s˜ ao implement´ aveis computacionalmente e resolvem aqueles problemas associados ` as t´ ecnicas LPV tradicionais de gradeamento, sem no entanto requerer testes suplementares, mesmo para gradeamentos arbitrariamente esparsos. Diferentemente de resultados te´ oricos anteriores baseados na HWT, que n˜ ao s˜ ao construtivos de um ponto de vista num´ erico e algor´ıtmico, esses novos m´ etodos s˜ ao siste- m´ aticos e pass´ıveis de implementa¸c˜ ao pr´ atica, evitando manipula¸c˜ oes anal´ıticas complexas enquanto consideram uma ampla classe de dependˆ encias param´ etricas.

Este trabalho introduz novas caracteriza¸c˜ oes LMI para an´ alise de desempenho robusto

H

e s´ıntese de controle LPV por realimenta¸c˜ ao de estados com ganho L

garantido, por

meio do uso de FL assintoticamente L

-quadr´ aticas. Caracteriza¸c˜ oes LMI recentes para

an´ alise de desempenho robusto s˜ ao testadas e marginalmente melhoradas em termos de

conservadorismo sendo ent˜ ao estendidas para a s´ıntese de controle. Exemplos num´ eri-

cos s˜ ao utilizados para validar os algoritmos propostos e evidenciar as suas vantagens e

limita¸c˜ oes, por meio da compara¸c˜ ao com resultados da literatura.

ABSTRACT

In this dissertation, a study is carried out in the field of non-stationary systems with general parametric dependencies, Linear Parameter Varying (LPV) or quasi -LPV, whose purpose is to test and make less conservative a recent H

performance analysis technique based on the use of Haar Wavelet Transform (HWT), as well as extend it to the synthesis of robust control by state feedback through the development of new Linear Matrix Inequalities (LMI) characterizations that define the problem.

Recently proposed algorithms for stability and robust performance analysis of LPV systems are based on gridding the parameter domain by means of HWT expansion of para- metric dependence functions of the system and on looking for asymptotically L

-quadratic Lyapunov Functions (LF), that is, LF with quadratic dependence on the system states and L

on the time-varying parameters. LPV techniques dealing with systems repre- sented by Linear Fractional Transformation (LFT) or polytopic models are not able to treat non-convex parametric domains and systems with general parameter dependencies.

Conversely, classical parameter-gridding LPV techniques do not present these limitations but guarantee only necessary conditions for stability and performance due to infinite- dimensional and infinitely constrained LMI problems involved, requiring additional tests.

The new algorithms are based on sufficient conditions, are computationally implementable and solve that problems associated to the conventional LPV-gridding techniques, without requiring further checks, even for arbitrarily sparse parameter grids. In contrast with pre- vious Haar-based theoretical results which are not constructive from the algorithmic and numerical point of view, these new approaches are systematic and amenable for practical implementation, avoiding complex analytical manipulations while considering a vast class of parameter dependencies.

This work introduces new LMI characterizations for robust H

performance analysis

and state-feedback LPV-control synthesis with guaranteed L

gain through the use of

asymptotically L

-quadratic LF. Recent LMI characterizations for robust performance

analysis are tested and marginally improved in terms of conservatism and then extended

to the control synthesis. Numerical examples are used to validate the proposed algorithms

and to demonstrate their advantages and limitations, through comparison with literature

results.

1 INTRODU ¸ C ˜ AO

1.1 CONTEXTO E MOTIVA ¸ C ˜ AO

Na engenharia de controle, a maioria das t´ ecnicas de an´ alise e s´ıntese foram desen- volvidas para sistemas lineares. Contudo, muitos sistemas s˜ ao de natureza n˜ ao linear, o que motivou o desenvolvimento de t´ ecnicas nos ´ ultimos anos para an´ alise desses siste- mas. Apesar de serem n˜ ao lineares, muitas dessas plantas podem ser modeladas, para fins de an´ alise e s´ıntese, como Linear a Parˆ ametros Vari´ aveis (LPV) ou quasi -LPV. A denomina¸c˜ ao quasi -LPV se aplica quando pelo menos um elemento do vetor de parˆ ame- tros dependentes do tempo ´ e uma vari´ avel end´ ogena, ou seja, depende tamb´ em da pr´ opria dinˆ amica do modelo (DE ARA ´ UJO, 2013). A terminologia LPV foi inicialmente definida em (SHAMMA, 1988), de maneira distinta das outras classes tradicionais de sistemas, a Linear Invariante no Tempo (LTI) e a Linear Variante no Tempo (LTV), para fins de an´ alise de controle via escalonamento de ganho. Diferente dos sistemas LTI, os LPV s˜ ao n˜ ao estacion´ arios. Mais especificamente, os sistemas LPV s˜ ao uma classe particular de sistemas LTV, em que os elementos vari´ aveis dependem de parˆ ametros mensur´ aveis que variam ao longo do tempo.

Um dos m´ etodos mais utilizados para projetar controladores para sistemas n˜ ao lineares ou com dinˆ amica dependente de parˆ ametros, ´ e o escalonamento de ganhos (gain schedu- ling ). Conforme Shamma e Athans (1991), o m´ etodo consiste basicamente em selecionar pontos operacionais da dinˆ amica da planta, obter uma aproxima¸c˜ ao linear invariante no tempo para cada um desses pontos e, por fim, projetar um compensador linear para cada planta linearizada utilizando qualquer t´ ecnica dispon´ıvel de projeto de controle LTI, in- clusive de controle ´ otimo ou robusto. Os parˆ ametros (ou “ganhos”) dos compensadores s˜ ao interpolados (ou “escalonados”) entre os diversos pontos de opera¸c˜ ao, supondo que o parˆ ametro seja medido em tempo real, resultando em um compensador tamb´ em variante no tempo. Um limitador para aplica¸c˜ ao da t´ ecnica de lineariza¸c˜ ao para o escalonamento de ganhos ´ e que a estabiliza¸c˜ ao e o desempenho de um sistema n˜ ao estacion´ ario de malha fechada s´ o podem ser garantidos em uma vizinhan¸ca dos m´ ultiplos pontos de equil´ıbrio e sob uma suposi¸c˜ ao de varia¸c˜ ao lenta de sinais (RUGH; SHAMMA, 2000).

O controle LPV se enquadra como uma classe espec´ıfica de t´ ecnica gain scheduling em

que se busca uma fun¸c˜ ao de Lyapunov, geralmente quadr´ atica nos estados, pela solu¸c˜ ao de um problema de otimiza¸c˜ ao ou de viabilidade sujeito a um conjunto de restri¸c˜ oes do tipo Desigualdades Matriciais Lineares (LMI, da sigla em inglˆ es para Linear Matrix Inequalities). A s´ıntese de controle LPV, que inclui intrinsecamente a lei de interpola¸c˜ ao, passa pela s´ıntese de uma Fun¸c˜ ao de Lyapunov (FL) e, por isso, ´ e conhecida como sujeita ao paradigma de Lyapunov. O grande sucesso e o crescente interesse nos m´ etodos de controle LPV nas ´ ultimas trˆ es d´ ecadas talvez se deva ` a sua grande vantagem de garantia da estabilidade e do desempenho do sistema em malha fechada para todo o dom´ınio operativo. Al´ em de, consistir em uma extens˜ ao para sistemas LPV das t´ ecnicas de an´ alise e s´ıntese de controle robusto LTI dos tipos H

e H

introduzidos no final da d´ ecada de 1980.

A an´ alise de estabilidade e de desempenho robusto de sistemas LPV continua a ser um desafio, a despeito dos not´ aveis progressos recentes na teoria de controle de siste- mas dinˆ amicos, particularmente de controle LPV. A maior parte dos m´ etodos de an´ alise e s´ıntese para sistemas incertos ou variantes no tempo baseados na teoria de Lyapunov mostram-se, muitas vezes, inadequados no caso particular de sistemas LPV. Primeiro, porque assume-se, geralmente, que os parˆ ametros evoluem em algum politopo convexo, usualmente um hiper-retˆ angulo (GAHINET et al., 1996; BLIMAN, 2003) ou um simplex (GEROMEL; COLANERI, 2006; OLIVEIRA; PERES, 2007; CHESI et al., 2007). Infeliz- mente, tal suposi¸c˜ ao n˜ ao ´ e v´ alida para a grande classe de sistemas LPV em que o conjunto de trajet´ orias param´ etricas poss´ıveis define dom´ınios mais irregulares. Para contornar a eventual n˜ ao convexidade do dom´ınio param´ etrico, esses m´ etodos recorrem a algum tipo de t´ ecnica que estabele¸ca uma cobertura convexa, por exemplo, em (YU; SIDERIS, 1997).

No entanto, essas t´ ecnicas s˜ ao suscet´ıveis de introduzir conservadorismos, uma vez que trajet´ orias n˜ ao realistas s˜ ao consideradas. Em segundo lugar, os m´ etodos existentes, em geral, s˜ ao capazes de tratar somente uma classe limitada de dependˆ encias param´ etricas das matrizes do sistema, basicamente linear (BLANCHINI; MIANI, 1999; GEROMEL;

COLANERI, 2006; CHESI et al., 2007; OLIVEIRA; PERES, 2007), afim (GAHINET

et al., 1996; TROFINO NETO; DE SOUZA, 2001; BLIMAN, 2003) ou racional (SCHE-

RER, 2001; WANG; BALAKRISHNAN, 2002; CHESI, 2013). Consequentemente, esses

m´ etodos n˜ ao s˜ ao capazes de tratar diretamente dependˆ encias mais gerais encontradas em

algumas aplica¸c˜ oes de grande interesse pr´ atico, por exemplo, os modelos quasi -LPV que

aparecem no campo aeroespacial, onde alguns dos parˆ ametros end´ ogenos influenciam ele-

mentos das matrizes do sistema via fun¸c˜ oes trigonom´ etricas (MARCOS; BALAS, 2004).

Para aplicar os m´ etodos citados em tais problemas, recorre-se a algum tipo de esquema de lineariza¸c˜ ao ou inser¸c˜ ao do modelo em outro do tipo polit´ opico, o que ´ e, reconhecidamente, um procedimento conservador.

Nessas mesmas linhas, algumas t´ ecnicas que apresentam os mesmos inconvenientes, mas que s˜ ao de particular interesse para esta disserta¸c˜ ao por apresentarem exemplos num´ ericos com potencial para compara¸c˜ ao de resultados, s˜ ao as que prop˜ oem FL afim- quadr´ atica (FERON et al., 1996; HADDAD; BERNSTEIN, 1991; KAPILA et al., 1998;

YU; SIDERIS, 1997) e biquadr´ atica (TROFINO NETO; DE SOUZA, 1999; TROFINO NETO, 1999). Tamb´ em de interesse para este estudo, a t´ ecnica de Chesi (2013), j´ a ci- tada, introduziu um m´ etodo capaz de manipular uma classe particular de dependˆ encias param´ etricas racionais em dom´ınios polit´ opicos que, ap´ os aproxima¸c˜ oes das dependˆ encias param´ etricas por fun¸c˜ oes racionais, pode englobar um grande n´ umero de casos pr´ aticos com, supostamente, pouco conservadorismo, por tratar de condi¸c˜ oes necess´ arias e suficien- tes e considerar FL com dependˆ encia polinomial no estado. Por´ em, a maior desvantagem desse m´ etodo, tamb´ em comum a alguns outros, especialmente ` aqueles que utilizam re- presenta¸c˜ oes do tipo Transforma¸c˜ ao Linear Fracion´ aria (LFT, sigla para os termos em inglˆ es Linear Fractional Transformation ), ´ e que n˜ ao inclui a possibilidade de considerar FL dependentes do parˆ ametro e, por conseguinte, tamb´ em n˜ ao permite considerar taxas de varia¸c˜ ao param´ etrica limitadas, o que ´ e um fator de grande conservadorismo, pois em boa parte dos casos de interesse pr´ atico, os modelos dos sistemas n˜ ao est˜ ao sujeitos a descontinuidades (derivadas param´ etricas infinitas).

Uma estrat´ egia bem conhecida para contornar as desvantagens acima indicadas ´ e a discretiza¸c˜ ao ou gradeamento do dom´ınio param´ etrico (WU et al., 1996; APKARIAN;

ADAMS, 1998). Uma das caracter´ısticas mais atraentes dessa abordagem ´ e a possi-

bilidade de tratar uma classe muito mais geral de sistemas ou de FL dependentes do

parˆ ametro, incluindo dom´ınios param´ etricos n˜ ao convexos. Contudo, a grande falha das

t´ ecnicas tradicionais de gradeamento ´ e que as solu¸c˜ oes garantem a satisfa¸c˜ ao das res-

tri¸c˜ oes somente para os pontos do dom´ınio discreto considerado, e n˜ ao necessariamente

para o dom´ınio cont´ınuo inteiro. Consequentemente, uma estima¸c˜ ao otimista do dom´ınio

de estabilidade ou do desempenho robusto pode ocorrer. Na pr´ atica, deve-se selecionar

uma grade t˜ ao densa quanto poss´ıvel e esperar que as restri¸c˜ oes sejam atendidas para os

infinitos pontos n˜ ao considerados no c´ alculo. Obviamente, quanto maior a quantidade

de pontos considerados, maior ´ e a carga computacional associada. Em suma, as t´ ecnicas tradicionais de gradeamento fracassam ou por considerar apenas condi¸c˜ oes necess´ arias ou por n˜ ao fornecer regras sistem´ aticas para selecionar FL candidatas dependentes do parˆ ametro (APKARIAN; ADAMS, 1998; PELLANDA et al., 2004).

Em (DE ARA ´ UJO, 2013) e (DE ARA ´ UJO et al., 2015), os autores propuseram um m´ etodo baseado em grade param´ etrica para a an´ alise de estabilidade de sistemas LPV que consegue tratar as dificuldades das t´ ecnicas cl´ assicas de gradeamento pelo uso da Transformada Haar (TH). Ou seja, o m´ etodo se baseia na teoria wavelet Haar (BURRUS et al., 1998; MALLAT, 2009) para suplantar as limita¸c˜ oes citadas dos esquemas de gra- deamento cl´ assicos. A novidade da abordagem proposta reside no uso da teoria wavelet para garantir a satisfa¸c˜ ao das restri¸c˜ oes no dom´ınio param´ etrico inteiro, mesmo quando uma grade param´ etrica arbitrariamente esparsa ´ e considerada. Isso representa um grande avan¸co em rela¸c˜ ao aos m´ etodos tradicionais de gradeamento, que n˜ ao fornecem tal certifi- cado sem a realiza¸c˜ ao de testes de verifica¸c˜ ao suplementares. Com esse objetivo, a matriz de estado dependente do parˆ ametro ´ e substitu´ıda nas LMI por uma aproxima¸c˜ ao arbitra- riamente precisa, obtida por uma expans˜ ao em s´ erie de Haar truncada. Ent˜ ao, uma FL quadr´ atica no estado e afim por partes no parˆ ametro, tamb´ em baseada em uma expans˜ ao Haar, ´ e buscada via Programa¸c˜ ao Semi-Definida (PSD), enquanto um limitante superior da norma dos termos residuais da expans˜ ao Haar da matriz de estado ´ e tamb´ em consi- derado. A expans˜ ao Haar forma uma base para o espa¸co de fun¸c˜ oes L

e a dependˆ encia afim no parˆ ametro da FL quadr´ atica no estado se torna assintoticamente L

-quadr´ atica para expans˜ oes infinitas de Haar. Os algoritmos resultantes envolvem condi¸c˜ oes suficien- tes de estabilidade, cujo grau de conservadorismo decresce com o aumento da densidade da grade param´ etrica e do n´ıvel de truncamento da expans˜ ao Haar. Eles tamb´ em herdam as principais caracter´ısticas das t´ ecnicas cl´ assicas de gradeamento: podem tratar direta- mente uma vasta classe de sistemas, bem como dom´ınios param´ etricos n˜ ao convexos, e considerar taxas de varia¸c˜ ao param´ etrica limitadas, o que ´ e mais realista.

No entanto, os resultados te´ oricos envolvidos em (DE ARA ´ UJO et al., 2015) n˜ ao s˜ ao

sistem´ aticos nem construtivos de um ponto de vista num´ erico, requerendo manipula¸c˜ oes

alg´ ebricas especificas para cada sistema e para cada classe de fun¸c˜ ao de parˆ ametro da ma-

triz de estados. Mais recentemente, Bandeira (2018) e Bandeira et al. (2018) introduziram

novos algoritmos baseados em TH, derivados daqueles resultados, que s˜ ao adequados para

implementa¸c˜ ao pr´ atica e evitam manipula¸c˜ oes anal´ıticas e alg´ ebricas complexas quando

uma ampla classe de dependˆ encias e dom´ınios param´ etricos irregulares s˜ ao considerados.

Al´ em disso, Bandeira (2018) estendeu a t´ ecnica para a an´ alise de desempenho robusto H

e H

, utilizando tanto FL Independentes do Parˆ ametro (PILF) como Dependentes do Parˆ ametro (PDLF). Contudo, os testes num´ ericos apresentados focaram principalmente na an´ alise de desempenho H

.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 OBJETIVOS GERAIS

O principal objetivo deste trabalho ´ e testar numericamente a aplicabilidade dos al- goritmos propostos por Bandeira (2018), para an´ alise de desempenho robusto H

de sistemas LPV, propondo melhorias marginais em termos de complexidade e conservado- rismo, bem como estendˆ e-los para a s´ıntese de controle robusto com ganho L

garantido por realimenta¸c˜ ao de estados por meio do desenvolvimento de novas caracteriza¸c˜ oes LMI.

1.2.2 OBJETIVOS ESPEC´IFICOS

Para atingir os pontos supracitados, foram estabelecidos os seguintes objetivos espe- c´ıficos:

• estudar os algoritmos desenvolvidos em (BANDEIRA, 2018) e avaliar suas limita¸c˜ oes e potencialidades na an´ alise de desempenho robusto H

de modelos acadˆ emicos, de forma a complementar os resultados publicados;

• propor melhorias na t´ ecnica de an´ alise supracitada, em termos de complexidade e conservadorismo, mesmo que marginais;

• desenvolver e testar novos algoritmos para s´ıntese de controle por realimenta¸c˜ ao de estados para sistemas LPV via TH.

1.3 ESTRUTURA DA DISSERTA ¸ C ˜ AO

A disserta¸c˜ ao est´ a organizada em 4 cap´ıtulos, al´ em desta introdu¸c˜ ao, da seguinte maneira:

• Cap´ıtulo 2: Apresenta os fundamentos te´ oricos que s˜ ao a base dessa disserta¸c˜ ao,

bem como alguns resultados anteriores sobre an´ alise e s´ıntese de controle de sis-

temas LPV. S˜ ao apresentados conceitos sobre a transformada Wavelet Haar, as desigualdades matriciais lineares, os sistemas LPV, a an´ alise de estabilidade e de desempenho robusto H

de sistemas LPV.

• Cap´ıtulo 3: Apresenta de forma resumida as t´ ecnicas propostas em (DE ARA ´ UJO et al., 2015), (BANDEIRA, 2018) e (BANDEIRA et al., 2018) para an´ alise de esta- bilidade e de desempenho robusto H

de sistemas LPV utilizando a TH.

• Cap´ıtulo 4 Consiste no cerne do trabalhado desenvolvido, onde s˜ ao apresentadas as aplica¸c˜ oes da t´ ecnica proposta por Bandeira (2018) para a an´ alise de desempenho robusto H

de sistemas LPV, assim como as modifica¸c˜ oes propostas para melho- ria do conservadorismo e sua extens˜ ao para a s´ıntese de controle LPV-Haar por realimenta¸c˜ ao de estados.

• Cap´ıtulo 5: Discute-se, nesse cap´ıtulo, os pontos relevantes, as vantagens e limita¸c˜ oes

das t´ ecnicas estudadas, e tamb´ em s˜ ao apresentadas as considera¸c˜ oes finais, e as

perspectivas para futuros trabalhos.

2 FUNDAMENTOS TE ´ ORICOS

Neste cap´ıtulo s˜ ao apresentados os fundamentos te´ oricos, conceitos e defini¸c˜ oes rela- cionados ` as principais ferramentas utilizadas neste trabalho e que formam a base para a teoria de an´ alise e s´ıntese de controle LPV baseada na TH, apresentada no Cap´ıtulo 3, e para os desenvolvimentos e aplica¸c˜ oes num´ ericas introduzidos e apresentados no Cap´ı- tulo 4. A Se¸c˜ ao 2.1 ´ e dedicada ` a Transformada Wavelet Discreta e, particularmente, ` a TH. Na Se¸c˜ ao 2.2, algumas defini¸c˜ oes relacionadas ` as LMI s˜ ao apresentadas. A ´ ultima e mais longa se¸c˜ ao deste cap´ıtulo, a Se¸c˜ ao 2.3, relaciona conceitos sobre sistema LPV e a problem´ atica de sua an´ alise de estabilidade e desempenho e de s´ıntese de controle.

2.1 TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA E DE HAAR

Uma wave (onda) ´ e definida como uma fun¸c˜ ao que oscila no tempo ou no espa¸co. A an´ alise de Fourier ´ e uma an´ alise de ondas que expande sinais ou fun¸c˜ oes em termos de senoides (ou exponenciais complexas). No entanto, ao se trabalhar no dom´ınio da frequˆ en- cia, a informa¸c˜ ao no tempo ´ e perdida, e a an´ alise se restringe a fenˆ omenos estacion´ arios (BANDEIRA, 2018). Ao se analisar a transformada de Fourier de um sinal ´ e imposs´ıvel, por exemplo, identificar em que momento um evento particular ocorreu.

Como os sinais mais interessantes s˜ ao geralmente aqueles que contˆ em caracter´ısti- cas n˜ ao estacion´ arias, e estas s˜ ao as mais importantes, a an´ alise de Fourier n˜ ao ´ e ade- quada para detect´ a-las (BANDEIRA, 2018). Para tentar corrigir este problema, Gabor (1946a,b,c) adaptou a transformada de Fourier para analisar uma pequena janela do si- nal: a Short Time Fourier Transform fornece alguma informa¸c˜ ao sobre quando e em quais frequˆ encias o evento ocorre. Mas s´ o ´ e poss´ıvel obter esta informa¸c˜ ao com precis˜ ao limitada, sendo esta determinada pelo tamanho da janela.

Uma wavelet (pequena onda) tem sua energia concentrada no tempo e permite analisar

o transiente, sendo ´ util para fenˆ omenos n˜ ao estacion´ arios (BURRUS et al., 1998). Logo,

a an´ alise wavelet representa o pr´ oximo passo l´ ogico, isto ´ e, uma t´ ecnica de janelamento

com regi˜ oes de tamanho vari´ avel. A an´ alise wavelet permite o uso de intervalos de tempo

longos para obter informa¸c˜ ao em baixa frequˆ encia mais precisa e regi˜ oes menores para

obter informa¸c˜ ao em alta frequˆ encia (BANDEIRA, 2018).

Para simplificar a apresenta¸c˜ ao, nesta se¸c˜ ao, θ ´ e considerado um parˆ ametro escalar θ.

Uma wavelet possui as seguintes caracter´ısticas:

Defini¸ c˜ ao 2.1. Uma fun¸ c˜ ao ψ(θ) tem suporte compacto, se existe um intervalo fechado e limitado, fora do qual ψ(θ) = 0.

Defini¸ c˜ ao 2.2. Uma wavelet ´ e uma fun¸ c˜ ao ψ(θ) ∈ L

( R ) T L

( R ), tal que a fam´ılia de fun¸ c˜ oes

ψ

(θ) , 2

ψ 2

θ − k

, (2.1)

em que j e k s˜ ao inteiros arbitr´ arios, seja uma base ortonormal para o espa¸ co L

( R ).

Observa¸c˜ oes:

a) Da defini¸c˜ ao acima, se ψ ´ e uma wavelet, ent˜ ao ψ

tamb´ em o ser´ a para qualquer j,k ∈ Z .

b) O fator 2

mant´ em a norma da wavelet constante independente da escala j . c) Conforme o ´ındice j varia, a forma da wavelet muda em escala, o que permite

representar o detalhe ou resolu¸c˜ ao.

d) Note que conforme a escala se afina (j maior), os passos no tempo ficam menores.

Para uma melhor interpreta¸c˜ ao das wavelets, faz-se necess´ ario utilizar o conceito de resolu¸c˜ ao para definir os efeitos de mudan¸ca de escala. Portanto, define-se primeiro a fun¸c˜ ao escala φ, e depois a fun¸c˜ ao wavelet ψ em termos de φ (BURRUS et al., 1998).

Considere o conjunto de fun¸c˜ oes escala

φ

(θ) = φ (θ − k) , k ∈ Z , φ ∈ L

. (2.2) O subespa¸co de L

gerado por estas fun¸c˜ oes ´ e definido por

V

= span{φ

}, (2.3)

onde a barra representa fechamento de V

. V

cont´ em al´ em de todos os sinais que podem ser escritos como combina¸c˜ ao linear de φ

(θ), tamb´ em todos os sinais limites das expans˜ oes infinitas. Isto significa que ´ e poss´ıvel escrever qualquer fun¸c˜ ao f (θ) ∈ V

como

f (θ) = X

k

v

φ

(θ). (2.4)

Caso haja a necessidade de aumentar o tamanho do subespa¸co gerado, deve-se mudar a escala de tempo. Uma fam´ılia de fun¸c˜ oes bidimensionais ´ e gerada a partir do escalona- mento da fun¸c˜ ao de escala b´ asica:

φ

(θ) = 2

φ(2

θ − k), (2.5) tal que

V

= span{φ

(θ)} = span{φ

(2

θ)}, (2.6) o que significa que se f (θ) ∈ V

, ent˜ ao

f(θ) = X

k

v

φ

(2

θ − k). (2.7)

Para j > 0, V

´ e maior pois φ

´ e mais estreita e deslocada em passos menores, representando assim detalhes mais finos. Para j < 0, V

´ e menor j´ a que φ

´ e mais larga e deslocada em passos maiores, representando apenas informa¸c˜ oes grosseiras.

A formula¸c˜ ao An´ alise de Resolu¸c˜ ao M´ ultipla (ARM) requer que (BURRUS et al., 1998):

· · · ⊂ V

⊂ V

⊂ V

⊂ V

⊂ V

⊂ · · · ⊂ L

(2.8) ou

V

⊂ V

para todo j ∈ Z , (2.9)

com

V

= {0} e V

= L

. (2.10)

O espa¸co que cont´ em sinais de alta resolu¸c˜ ao tamb´ em cont´ em os de baixa resolu-

¸c˜ ao (FIG. 2.1). Os elementos de um espa¸co s˜ ao simplesmente vers˜ oes escalonadas dos elementos do pr´ oximo espa¸co

f (θ) ∈ V

⇔ f (2θ) ∈ V

. (2.11) O espa¸co dos intervalos de φ(2

θ −k), denotado por V

e apresentado em (2.8) e (2.11),

´

e obtido impondo que φ(θ) ∈ V

, isso significa que se φ(θ) est´ a em V

, tamb´ em est´ a em

V

, espa¸co ocupado por φ(2θ). Ou seja, φ(θ) pode ser escrita como a soma ponderada de

FIG. 2.1: Espa¸co V

. Fonte: (BANDEIRA, 2018) φ(2θ − n):

φ(θ) = X

n

h(n) √

2φ(2θ − n), n ∈ Z . (2.12)

onde os coeficientes h(n) s˜ ao uma sequˆ encia de n´ umeros reais ou possivelmente complexos chamados de coeficientes de fun¸c˜ ao de escala (ou filtro de escala ou vetor de escala).

As fun¸c˜ oes wavelet ψ

geram as diferen¸cas entre os espa¸cos gerados pelas fun¸c˜ oes escala. O complemento ortogonal de V

em V

´ e definido como W

. Isto significa que todos os elementos de V

s˜ ao ortogonais aos membros de W

:

hφ

(θ),ψ

(θ)i = Z

φ

(θ),ψ

(θ)dθ = 0, j,k,l ∈ Z . (2.13) Come¸cando (2.8) em j = 0, tem-se que

V

⊂ V

⊂ V

⊂ · · · ⊂ L

. (2.14) Definindo o subespa¸co W

gerado pela wavelet tal que

V

= V

⊕ W

(2.15)

que pode ser estendido para

V

= V

⊕ W

⊕ W

. (2.16)

Logo, em geral, conforme ilustrado na FIG. 2.2, tem-se que

L

= V

⊕ W

⊕ W

⊕ · · · (2.17)

FIG. 2.2: Rela¸c˜ ao entre os espa¸cos V

, W

. Fonte: (BURRUS et al., 1998)

A escala do espa¸co inicial ´ e arbitr´ aria e pode ser escolhida em uma resolu¸c˜ ao mais alta.

Como as wavelets residem no espa¸co ocupado pela pr´ oxima fun¸c˜ ao escala mais estreita, W

⊂ V

, elas podem ser escritas como a soma ponderada de φ(2θ − n), definida em (2.12) (BURRUS et al., 1998):

ψ(θ) = P

n

h

(n) √

2φ(2θ − n), n ∈ Z , h

(n) = (−1)

h(1 − n).

(2.18)

Como as fun¸c˜ oes definidas em (2.12) e (2.18) geram uma fam´ılia de fun¸c˜ oes, elas ` as vezes s˜ ao chamadas de “wavelet pai” e “wavelet m˜ ae”, respectivamente. De fato, o conjunto de fun¸c˜ oes φ

(θ) e ψ

(θ) gera o espa¸co L

, dessa maneira, qualquer fun¸c˜ ao f (θ) ∈ L

pode ser escrita como uma expans˜ ao em somat´ orio infinito, da seguinte forma:

f (θ) =

∞

X

k=−∞

v

φ

(θ) +

∞

X

j=0

∞

X

k=−∞

w

ψ

(θ). (2.19)

O primeiro somat´ orio fornece uma aproxima¸c˜ ao em baixa resolu¸c˜ ao de f(θ). O n´ıvel

de resolu¸c˜ ao da fun¸c˜ ao aumenta com o acr´ escimo no ´ındice j no segundo somat´ orio; ou

seja, existe uma analogia com a s´ erie de Fourier em que os termos de mais alta frequˆ encia contˆ em os detalhes do sinal.

Os coeficientes v

e w

, de (2.19), s˜ ao calculados pelos produtos internos:

v

= hf(θ) , φ

(θ)i , Z

−∞

f (θ)φ

(θ) dθ, (2.20a)

w

= hf (θ) , ψ

(θ)i , Z

−∞

f (θ)ψ

(θ) dθ. (2.20b) Neste estudo, as fun¸c˜ oes φ

(θ) e ψ

(θ) de interesse s˜ ao aquelas ortonormais, embora isso n˜ ao seja requisito obrigat´ orio para a defini¸c˜ ao de uma wavelet.

Se o primeiro somat´ orio da segunda parcela de (2.19) for truncado em j = J, uma aproxima¸c˜ ao ˆ f (θ) da fun¸c˜ ao f (θ) ´ e definida. Assim, quanto maior for o limitante J, menor ser´ a o erro de aproxima¸c˜ ao. Outro fator que influencia no erro de aproxima¸c˜ ao ´ e a fun¸c˜ ao de base escolhida. Neste caso, a partir de um espa¸co inicial V

, pode-se aproximar uma fun¸c˜ ao da seguinte forma:

f (θ) = ˆ f (θ) + e(θ) =

K

X

k=0

v

φ

(θ) +

J

X

j=0 g(j)

X

k=0

w

ψ

(θ) + e(θ), (2.21)

em que e(θ) ´ e o erro da aproxima¸c˜ ao ao se usar o truncamento, ou seja:

e(θ) =

∞

X

j=J+1 g(j)

X

k=0

w

ψ

(θ),

e g(j) relaciona o tempo ou localiza¸c˜ ao k com a escala ou frequˆ encia j, variando de acordo com o dom´ınio da fun¸c˜ ao.

Existem diversas vantagens para o uso de fun¸c˜ oes escalas e wavelets ortogonais entre si. Fun¸c˜ oes de base ortogonais permitem o c´ alculo dos coeficientes de expans˜ ao de forma simples e o teorema de Parseval associado permite particionar o sinal de energia no dom´ınio da transformada wavelet. Se as fun¸c˜ oes escala e wavelet formarem uma base ortonormal, ent˜ ao o teorema de Parseval pode ser utilizado para relacionar a energia do sinal f(θ) em cada componente com seus coeficientes wavelet, da seguinte forma:

Z

−∞

|f (θ)|

dt =

∞

X

k=−∞

|v

|

+

∞

X

j=0

∞

X

k=−∞

|w

|

. (2.22)

As bases wavelets ortogonais s˜ ao tamb´ em bases incondicionais

para uma ampla classe de fun¸c˜ oes e, portanto, s˜ ao bases ´ otimas para a sua compress˜ ao e reconstru¸c˜ ao (DONOHO, 1993). Isto significa que as expans˜ oes wavelet de fun¸c˜ oes possuem coeficientes cujos va- lores caem rapidamente com o aumento do n´ıvel de resolu¸c˜ ao, assim a fun¸c˜ ao pode ser representada com boa aproxima¸c˜ ao por um pequeno n´ umero de coeficientes. Note que a energia do erro, dada por R

−∞

|e(θ)|

dθ =

∞

P

j=J+1 g(j)

P

k=0

|w

|

, tende a zero quando J → ∞.

Haar (1910) mostrou que fun¸c˜ oes de ondas quadradas podem ser transladadas e es- calonadas para criar uma base para o espa¸co de fun¸c˜ oes L

. Somente muitos anos mais tarde, verificou-se que o sistema de Haar ´ e um caso particular de um sistema wavelet.

Uma wavelet Haar ´ e definida no espa¸co de Hilbert L

que assume valores em n 0, √

2

o , sendo i um n´ umero inteiro positivo. Escolhendo a fun¸c˜ ao escala φ(θ) com suporte com- pacto 0 ≤ θ ≤ 1, a solu¸c˜ ao de (2.12) ´ e uma fun¸c˜ ao retˆ angulo simples, com coeficientes h(0) =

2

e h(1) =

2

, o que equivale a:

φ(θ) = φ(2θ) + φ(2θ − 1), (2.23)

e a solu¸c˜ ao de (2.18) requer uma fun¸c˜ ao wavelet ψ(θ) com h

(0) =

2

e h

(1) = −

2

, ou seja,

ψ(θ) = φ(2θ) − φ(2θ − 1). (2.24)

Portanto, as respectivas fun¸c˜ oes da base Haar Pai e M˜ ae s˜ ao dadas por

φ(θ) =

( 1, se 0 ≤ θ < 1,

0, caso contr´ ario, (2.25a)

e

ψ(θ) =



 



 



1, se 0 ≤ θ < 0,5,

−1, se 0,5 ≤ θ < 1, 0, caso contr´ ario.

(2.25b)

e est˜ ao graficamente representadas na FIG. 2.3.

A partir da fun¸c˜ ao Haar m˜ ae, ´ e poss´ıvel construir fun¸c˜ oes de base de n´ıveis de resolu¸c˜ ao mais elevados. As fun¸c˜ oes desta base s˜ ao constitu´ıdas por constantes, ou constantes

1Uma base ortogonal de um espa¸co de fun¸c˜oes ´e incondicional, se qualquer permuta¸c˜ao de seus ele- mentos, ´e tamb´em uma base para esse espa¸co.

−0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5 1

Haar Pai

Variável

Função

−0.5 0 0.5 1 1.5

−1 0 1

Haar Mãe

Variável

Função

FIG. 2.3: Perfil das fun¸c˜ oes da base Haar.

Fonte: (BANDEIRA, 2018)

por partes, conforme podem ser verificadas nas representa¸c˜ oes das fun¸c˜ oes pai e m˜ ae apresentadas em (2.25) e na FIG. 2.3. Assim, todas as demais fun¸c˜ oes da base Haar geradoras dos subespa¸cos W

, por guardarem as caracter´ısticas da fun¸c˜ ao m˜ ae, tˆ em esta propriedade (BANDEIRA, 2018). Uma consequˆ encia disso ´ e que, no processo de s´ıntese de fun¸c˜ oes, a base Haar possibilita aproximar uma determinada fun¸c˜ ao por outra constante por partes.

A aproxima¸c˜ ao obtida pela TH, em v´ arias resolu¸c˜ oes, para uma dada fun¸c˜ ao teste,

´

e ilustrada na FIG. 2.4. O exemplo trata da mistura de um sinal ondulat´ orio, que tem perfeita representa¸c˜ ao no dom´ınio de Fourier, e duas descontinuidades. A componente no espa¸co inicial da decomposi¸c˜ ao ( V

) ´ e, simplesmente, a m´ edia do sinal. Com a inclus˜ ao crescente de escalas wavelets, a aproxima¸c˜ ao converge para o sinal original. Embora na FIG. 2.4 se utilize a base Haar, a recomposi¸c˜ ao ilustra uma propriedade geral bastante conhecida da Transformada Wavelet Discreta (TWD): cada novo n´ıvel de resolu¸c˜ ao acres- cido reduz o erro m´ edio quadr´ atico entre a s´ıntese e a fun¸c˜ ao original. Esta caracter´ıstica decorre da forma pela qual os coeficientes da transformada s˜ ao obtidos.

A partir desta abordagem, pode-se representar qualquer fun¸c˜ ao f (θ) ∈ L

( R ) da seguinte maneira:

f(θ) = v

(θ) +

∞

X

j=0

w

(θ), (2.26)

0 1 2 3 4 5 6

−0.5 0 0.5 1

Função Teste

0 1 2 3 4 5 6

−0.5 0 0.5 1

Projeção em V6

0 1 2 3 4 5 6

−0.5 0 0.5 1

Projeção em V5

0 1 2 3 4 5 6

0 0.5 1

Projeção em V4

0 1 2 3 4 5 6

0 0.5 1

Projeção em V3

0 1 2 3 4 5 6

0 0.5 1

Projeção em V2

0 1 2 3 4 5 6

0.35 0.4 0.45

Projeção em V1

0 1 2 3 4 5 6

−1 0 1 2

Projeção em V0

FIG. 2.4: Aproxima¸c˜ oes dadas pelas fun¸c˜ oes Haar em V

. em que

v

(θ) ∈ V

, ou seja v

(θ) =

∞

P

k=−∞

v

φ

(θ), e

w

(θ) ∈ W

, ou seja w

(θ) =

∞

P

k=−∞

w

ψ

(θ).

Assim

f (θ) = v

(θ)

| {z }

V0

+w

(θ)

| {z }

V1

+w

(θ)

| {z }

V2

+w

(θ)

| {z }

V3

+w

(θ)

| {z }

V4

+... (2.27)

Outras propriedades relativas ` a fun¸c˜ ao escalar e wavelet de Haar e tamb´ em aos al-

goritmos para a decomposi¸c˜ ao e reconstru¸c˜ ao Haar, podem ser encontrados em (BAN-

DEIRA, 2018). Algoritmos para decomposi¸c˜ ao e recomposi¸c˜ ao Haar e obten¸c˜ ao de ex-

pans˜ oes Haar truncadas est˜ ao dispon´ıveis no Wavelet Toolbox do programa Matlab

.

2.2 DESIGUALDADES MATRICIAIS LINEARES (LMI)

Os estudos sobre LMI associados a sistemas de controle foram motivados, principal- mente, pela teoria de estabilidade de Lyapunov (BOYD et al., 1994) que mostrou que um sistema linear homogˆ eneo

˙

x(t) = Ax(t), A ∈ R

(2.28)

´

e est´ avel, se e somente se, existir uma matriz real sim´ etrica P = P

, tal que

P 0 e que PA + A

P ≺ 0, (2.29)

em que s´ımbolo “” significa que P ´ e positiva definida, isto ´ e, u

Pu > 0 para todo u ∈ R

, u 6= 0, e o s´ımbolo “≺” significa que PA + A

P ´ e negativa definida. A segunda restri¸c˜ ao em (2.29) ´ e chamada de inequa¸c˜ ao de Lyapunov em P, sendo uma forma especial de LMI.

A matriz P tamb´ em ´ e referida muitas vezes na literatura como matriz de Lyapunov. Foi demonstrado por Lyapunov que essa LMI pode ser explicitamente resolvida. De fato, dada uma matriz Q = Q

0, pode-se encontrar analiticamente, pela solu¸c˜ ao de um conjunto de equa¸c˜ oes lineares, uma matriz P 0 que satisfaz a equa¸c˜ ao

PA + A

P = −Q (2.30)

se e somente se o sistema (2.28) for est´ avel.

Willems (1971) comprovou tamb´ em que a LMI

"

PA + A

P + Q PB + C

B

P + C R

#

0, P = P

0 (2.31)

poder ser resolvida pelo estudo das solu¸c˜ oes sim´ etricas da seguinte equa¸c˜ ao alg´ ebrica de Ricatti:

PA + A

P − (PB + C

)R

(B

P + C) = −Q, Q = Q

0. (2.32)

Nas LMI (2.29) e (2.31), a matriz P ´ e a vari´ avel do problema, sendo as outras matrizes

consideradas conhecidas a priori. Note que as matrizes das LMI s˜ ao lineares na vari´ avel.

Essas LMI podem ser facilmente reescritas na forma da defini¸c˜ ao a seguir, em que os elementos da matriz P passam a formar um vetor de vari´ aveis a serem determinadas.

Defini¸ c˜ ao 2.3. (BOYD et al., 1994) Uma LMI ´ e uma desigualdade da forma

F(x) := F

+

m

X

i=1

x

F

0 (2.33)

em que x = [x

,x

, . . . x

]

∈ R

´ e a vari´ avel e as matrizes sim´ etricas {F

∈ R

, i = 0,...,m} s˜ ao dados do problema.

A LMI 2.33 ´ e uma restri¸c˜ ao convexa em x, isto ´ e, o conjunto {x|F(x) 0} ´ e convexo.

Uma outra propriedade importante ´ e que todos os autovalores de uma matriz real e si- m´ etrica s˜ ao reais e que, se F(x) 0 (F(x) ≺ 0), todos os seus autovalores s˜ ao positivos (negativos), ou seja, o menor (maior) autovalor λ

(F(x)) (λ

(F(x))) ´ e positivo (ne- gativo). Uma maneira v´ alida de expressar m´ ultiplas LMI, F

(x) ≺ 0,...,F

(x) ≺ 0, ´ e por meio de uma simples LMI: diag(F

(x),...,F

(x)) ≺ 0. Tamb´ em, pode-se utilizar o complemento de Schur para converter algumas desigualdades matriciais n˜ ao lineares para a forma de LMI (BOYD et al., 1994).

Os problemas de encontrar P sujeito ` as restri¸c˜ oes (2.29) e (2.31) s˜ ao ditos problemas de viabilidade, mas muitos problemas na ´ area de sistemas de controle s˜ ao definidos como problemas de otimiza¸c˜ ao de uma combina¸c˜ ao linear das vari´ aveis sujeita a restri¸c˜ oes LMI, ou seja, min

x

c

x

sujeita a F(x) 0, em que c ´ e um vetor conhecido.

Muitos algoritmos de programa¸c˜ ao semidefinida est˜ ao dispon´ıveis hoje para solu¸c˜ ao num´ erica de problemas de viabilidade ou otimiza¸c˜ ao convexa (BOYD et al., 1994). Neste trabalho, o solver Mosek (ANDERSEN; ANDERSEN, 2000) ´ e utilizado para prover so- lu¸c˜ oes num´ ericas de problemas LMI.

2.3 SISTEMAS LPV E QUASI -LPV

Uma classe importante de sistemas dinˆ amicos n˜ ao estacion´ arios, da qual fazem parte v´ arios sistemas aeroespaciais e mecatrˆ onicos, pode ser representada por um conjunto de equa¸c˜ oes diferenciais n˜ ao lineares de primeira ordem. Modelos LPV s˜ ao, muitas vezes,

´

uteis para a aproximar a dinˆ amica de sistemas n˜ ao lineares (T ´ OTH et al., 2010; LOVERA

et al., 2013). A estrutura dos modelos LPV fica em um campo intermedi´ ario entre a

dinˆ amica linear e a n˜ ao linear, sendo descrita por equa¸c˜ oes diferenciais lineares cujos

dados dependem possivelmente de uma forma n˜ ao linear dos parˆ ametros que variam no tempo e podem depender da dinˆ amica do pr´ oprio sistema (BANDEIRA, 2018).

Por meio de uma escolha apropriada dos vetores das vari´ aveis de estado x(t) ∈ R

, da entrada u(t) ∈ R

e da sa´ıda y(t) ∈ R

, pode-se, em geral, obter um modelo M (θ(x(t),t),t), representado por uma nota¸c˜ ao mais simplificada como M (θ(t),t), n˜ ao linear em rela¸c˜ ao ao vetor de estado, mas linear em rela¸c˜ ao ` a entrada, da seguinte forma (RUGH; SHAMMA, 2000):

˙

x(t) = A (θ(t)) x(t) + B (θ(t)) u(t),

y(t) = C (θ(t)) x(t) + D (θ(t)) u(t). (2.34) As matrizes A (θ(t)), B (θ(t)), C (θ(t)) e D (θ(t)), cujos elementos s˜ ao supostos per- tencer ao espa¸co L

( R ), s˜ ao de dimens˜ oes compat´ıveis com as dimens˜ oes do vetor de estado, x(t) ∈ R

, e dos sinais de entrada, u(t) ∈ R

, e de sa´ıda, y(t) ∈ R

, e definem completamente a dinˆ amica do sistema.

Nota-se que a caracter´ıstica n˜ ao estacion´ aria tem origem no vetor de parˆ ametros θ (t) ∈ R

, com θ (t) =

θ

(x (t)) θ

(t)

, em que:

• θ

(x (t)) ∈ R

´ e uma vari´ avel end´ ogena, ou seja, que depende da dinˆ amica interna do sistema;

• θ

(t) ∈ R

´ e um parˆ ametro ex´ ogeno, ou seja, que evolui no tempo de forma inde- pendente da dinˆ amica interna do sistema.

A presen¸ca dos parˆ ametros end´ ogenos, θ

(x (t)), no vetor de parˆ ametros, θ (t), carac- teriza o modelo denominado de quasi-LPV (RUGH; SHAMMA, 2000), no qual a dinˆ amica n˜ ao linear da planta ´ e reescrita como se fosse independente dos estados por meio de pa- rˆ ametros vari´ aveis no tempo inseridos no vetor θ

(t), como detalhado mais adiante.

Os sistemas LPV podem ser vistos como uma generaliza¸c˜ ao dos sistemas Lineares Invariantes no tempo (LTI) ou dos sistemas Lineares Variantes no Tempo (LTV), j´ a que no conjunto de suas poss´ıveis trajet´ orias podem estar as fun¸c˜ oes constantes, θ(t) = θ

, ou fun¸c˜ oes do tempo θ(t) = t.

O paradigma LPV foi introduzido por Shamma (1988), em sua tese de doutorado, para an´ alise de tabelamento de ganhos no projeto de controladores. O tabelamento de ganhos

´

e uma abordagem que constr´ oi um controlador n˜ ao linear para uma planta n˜ ao linear,

interligando uma cole¸c˜ ao de controladores lineares. Esses controladores s˜ ao combinados

em tempo real (por chaveamento ou interpola¸c˜ ao) de acordo com uma medida em tempo real.

Nesse contexto, ´ e dif´ıcil dissociar o problema de an´ alise do problema de projeto ou s´ın- tese de controladores, em uma discuss˜ ao sobre modelagem ou sistemas LPV (BANDEIRA, 2018). Na s´ıntese de controladores dentro da t´ ecnica de tabelamento (ou interpola¸c˜ ao) de ganhos, em que coeficientes do controlador variam de acordo com os sinais que definem a opera¸c˜ ao do sistema, que por sua vez podem ser tanto ex´ ogenos quanto end´ ogenos em rela¸c˜ ao ` a planta, o primeiro passo ´ e a obten¸c˜ ao de uma descri¸c˜ ao linear aproximada do sistema n˜ ao linear descrito em (2.34) em torno de uma trajet´ oria das condi¸c˜ oes operati- vas, cujas varia¸c˜ oes s˜ ao consideradas suficientemente lentas (RUGH; SHAMMA, 2000).

A obten¸c˜ ao de modelos lineares justifica-se pelo grande desenvolvimento de t´ ecnicas de controle lineares nas ´ ultimas d´ ecadas.

A abordagem cl´ assica ´ e aquela baseada na lineariza¸c˜ ao Jacobiana da planta n˜ ao linear ao redor de uma fam´ılia de pontos de equil´ıbrio, tendo como resultado uma fam´ılia de plantas linearizadas. Na pr´ atica, historicamente, a maneira mais utilizada consiste em:

• obter um modelo linearizado, via lineariza¸c˜ ao Jacobiana cl´ assica do modelo (2.34) em torno de um conjunto de pontos de equil´ıbrio x

(u

),i = 1,2,...:

˙

x(t) ∼ = ˙ˆ x(t) = A(θ

)ˆ x(t) + B(θ

)u(t), y(t) ∼ = ˆ y(t) = C(θ

)ˆ x(t) + D(θ

)u(t), parametrizado por

θ

(t) =

"

θ

(x

) θ

(t)

#

∈ R

, r = r

+ r

;

• definir uma trajet´ oria nominal de x

(t) para o sistema e, supondo que θ

(x (t)) e θ ˙

(x (t)) = dθ

(x (t)) /dt s˜ ao limitadas e independentes de x

(t) e de dx

(t)/dt, derivar um modelo do tipo LPV (2.34) onde o parˆ ametro e sua taxa de varia¸c˜ ao evoluem em dom´ınios compactos, θ(t) ∈ Θ ⊂ R

, ˙ θ(t) ∈ Θ

⊂ R

,∀t;

• eventualmente, escolher uma trajet´ oria θ(t) ←− θ

(t) ou congelar o parˆ ametro em um ponto dado θ(t) ←− θ

, para obter, respectivamente, um modelo LTV ou LTI.

Contudo, as trajet´ orias dos estados do modelo LPV assim obtido aproximam as dos

estados do sistema n˜ ao linear somente para taxas de varia¸c˜ ao param´ etrica suficientemente

baixas (ROSENBROOK, 1963).