AULA 9 – Estimativa da média aritmética e da proporção - Parte 3
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
ESTATÍSTICA PARA ADMINISTRAÇÃO
ESTIMATIVA PROPORÇÃO: AMOSTRAS GRANDES
Estimativa da proporção para amostras grandes
A proporção ou a percentagem p de uma população pode ser estimada a partir da proporção da amostra desde que a mesma seja suficientemente grande tal que:
(1) A distribuição da amostragem da proporção é (aproximadamente) normal;
(2) A média aritmética,
𝑝 ̂ , da distribuição de amostragem é igual à proporção p da população;
(3) O desvio-padrão da população (
𝑝 ̂ ) da distribuição de amostragem, , é ,onde q = 1- p;
(4) Caso p não esteja disponível, então, usar para estimar o desvio-padrão da população: s𝑝 ̂ .
ESTIMATIVA PROPORÇÃO: AMOSTRAS GRANDES
Importante: para a proporção, uma amostra é considerada grande se np ou nq são ambos maiores do que 5. Se p e q não são conhecidos, então, usa-se, e n .
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PARA GRANDES AMOSTRAS
O intervalo de confiança para com nível de confiança (1-)100% para proporção da população é:
z s
𝑝 ̂
Onde: s
𝑝 ̂.
O valor de z, aqui utilizado, é lido a partir da tabela de distribuição Normal padronizada para o nível de confiança especificado.
EXEMPLO 1:
Uma pesquisa com amostra de 1502 adultos (18 anos ou mais), selecionados aleatoriamente nos EUA, indica que 40% entraram com ações judiciais. Obter o intervalo de confiança de 95%
para a proporção p da população correspondente.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
= 0,4 s
𝑥 ̅Dados
Desvio-padrão amostral
= 1,96 n = 1502
Intervalo de confiança com nível 95%
0,4 1,96s
𝑥 ̅
= 0,4 1,96(0,01264)= 0,4 0,025 = [37,5%; 42,5%]
zs
𝒙̅= 0,6
ESTIMATIVA PROPORÇÃO: AMOSTRAS GRANDES
Importante: para a proporção, uma amostra é considerada grande se np ou nq são ambos maiores do que 5. Se p e q não são conhecidos, então, usa-se, e n .
= 1502*0,4 = 600,8 (maior que 5) e
n = 1502*0,6 = 901,2 (maior que 5)
EXEMPLO 2:
Uma pesquisa com amostra de 1502 adultos (18 anos ou mais), selecionados aleatoriamente nos EUA, indica que 40% entraram com ações judiciais. Obter o intervalo de confiança de 99%
para a proporção p da população correspondente.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
EXEMPLO 2:
Uma pesquisa com amostra de 1502 adultos (18 anos ou mais), selecionados aleatoriamente nos EUA, indica que 40% entraram com ações judiciais. Obter o intervalo de confiança de 99%
para a proporção p da população correspondente.
ESTIMATIVA DE INTERVALO: AMOSTRAS GRANDES
= 0,4 s
𝑥 ̅Dados
Desvio-padrão amostral
= 2,58 n = 1502
Intervalo de confiança com nível 99%
0,4 2,58s
𝑥 ̅
= 0,4 2,58(0,01264)= 0,4 0,026 = [36,7%; 43,3%]
zs
𝒙̅= 0,6
ERRO MÁXIMO PARA A ESTIMATIVA DE
ERRO MÁXIMO PARA ESTIMATIVA DE
É representado por E, e corresponde ao valor que é subtraído e adicionado ao valor de , de modo a obter um intervalo de confiança para p.
z
𝑝 ̂
se é conhecido z s caso contrário
O valor de z, aqui utilizado, é lido a partir da tabela de distribuição Normal padronizada para o nível de confiança especificado.
Onde: s
𝑝 ̂.
Como determinar o valor de n?
População ou População-alvo
Amostra
TAMANHO DA AMOSTRA PARA A ESTIMATIVA DE
z
O erro máximo E é:
Logo, dados E, e IC (z), é possível estimar n com:
Caso não se conheça , então, usa-se o desvio-padrão s de uma amostra preliminar. Porém, s pode introduzir um erro no valor de n.
Onde: s
𝑝 ̂.
TAMANHO DA AMOSTRA PARA A ESTIMATIVA DE
EXEMPLO 3:
Uma fábrica acabou de instalar uma nova máquina. A empresa deseja estimar a proporção de peças defeituosas produzidas por essa máquina. O gerente da empresa deseja estimar dentro de 0,02 em relação à proporção da população para um nível de confiança de 95%. Qual deve ser o tamanho do amostra?
=0,24
Dados E = 0,02 = 1,96
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
TAMANHO DA AMOSTRA PARA A ESTIMATIVA DE
EXEMPLO 4:
Uma fábrica acabou de instalar uma nova máquina. A empresa deseja estimar a proporção de peças defeituosas produzidas por essa máquina. O gerente da empresa deseja estimar dentro de 0,02 em relação à proporção da população para um nível de confiança de 90%. Qual deve ser o tamanho do amostra?
TAMANHO DA AMOSTRA PARA A ESTIMATIVA DE
EXEMPLO 4:
Uma fábrica acabou de instalar uma nova máquina. A empresa deseja estimar a proporção de peças defeituosas produzidas por essa máquina. O gerente da empresa deseja estimar dentro de 0,02 em relação à proporção da população para um nível de confiança de 90%. Qual deve ser o tamanho do amostra?
=0,24
Dados E = 0,02 = 1,65
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
