Teoria da Amostragem
Anna Regina Cˆ orbo
DEMAT - CEFET/RJ
Aula Te´ orica 10
Teoria da Amostragem
´ E o estudo das rela¸ c˜ oes existentes entre uma popula¸ c˜ ao e as amostras dela extra´ıdas.
Medidas Popula¸ c˜ ao Amostra (Parˆ ametros) (Estat´ısticas)
Tamanho N n
Total T t
M´ edia
µx ¯
Variˆ ancia
σ2s
2Desvio-padr˜ ao
σs
Propor¸ c˜ ao Π p
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Teoria da Amostragem
Tipologia:
1
Amostragem Probabil´ıstica
2
Amostragem N˜ ao-Probabil´ıstica
Tipos de Amostragem Probabil´ıstica
Amostragem Aleat´oria Simples
Amostragem de f´ acil implementa¸ c˜ ao e utiliza¸ c˜ ao: sorteios
sucessivos em uma popula¸ c˜ ao enumerada at´ e completar o tamanho da amostra.
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Tipos de Amostragem Probabil´ıstica
Amostragem Sistem´atica
Procedimentos:
1
Sejam N o tamanho da popula¸ c˜ ao e n o tamanho da amostra.
2
Calcula-se a =
Nn, onde a ´ e considerado como o comprimento do intervalo de amostragem.
3
Sorteia-se um valor inicial x entre 1 e a, formando a amostra
x, x + a, x + 2a,
· · ·, x + (n
−1)a.
Tipos de Amostragem Probabil´ıstica
Amostragem Estratificada (ou Amostragem por Cotas)
T´ ecnica empregada quando a popula¸ c˜ ao ´ e heterogˆ enea e pode-se identificar subpopula¸ c˜ oes homogˆ eneas, chamadas de estratos.
N = N
1+ N
2+
· · ·+ N
Le N
1∩N
2∩ · · · ∩N
L=
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Tipos de Amostragem Probabil´ıstica
Amostragem Estratificada - Exemplo
Popula¸c˜ ao de 50.000 oper´ arios de uma ind´ ustria, selecionar uma amostra de 5% de oper´ arios e estimar seu sal´ ario m´ edio.
Estrato “cargo” e considere amostras de 5% de cada estrato, chegamos a seguinte amostragem:
CARGO POPULAC ¸ ˜ AO 5% AMOSTRA
Chefe 5.000 250 250
Op. especializados 15.000 750 750
Op. n˜ ao-especializados 30.000 1500 1500
Tipos de Amostragem N˜ ao-Probabil´ıstica
Utilizadas por impossibilidade de se obter amostras probabil´ısticas, como seria desej´ avel.
1
Amostragem a esmo
2
Amostragem por volunt´ arios
3
Amostragem por julgamento
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C´ alculo do n´ umero de amostras poss´ıveis da popula¸c˜ ao
1
Extra¸ c˜ ao com reposi¸ c˜ ao: todos os elementos da popula¸ c˜ ao participam de todos os sorteios da amostras.
# Amostras poss´ıveis de tamanho n = N
n2
Extra¸ c˜ ao sem reposi¸ c˜ ao: cada elemento sorteado ´ e retirado da popula¸ c˜ ao nos sorteios seguintes.
# Amostras poss´ıveis de tamanho n = C
NnC´ alculo do tamanho da amostra
O tamanho da amostra ´ e dado por:
n = N
·n
0N + n
0onde N ´ e o tamanho da popula¸ c˜ ao e n ´ e o tamanho da amostra.
O termo n
0´ e dado por:
n
0= 1
ε20onde n
0´ e a primeira estimativa do tamanho da amostra e
ε0´ e o erro amostral toler´ avel.
Se o n´ umero de elementos da popula¸ c˜ ao (N) ´ e muito grande, a primeira aproxima¸ c˜ ao ser´ a suficiente.
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C´ alculo do tamanho da amostra
Exemplos
1
Em uma empresa com 2.000 colaboradores, deseja-se fazer uma pesquisa de satisfa¸ c˜ ao. Quantos colaboradores devem ser entrevistados para tal estudo:
a) Com erro toler´ avel de 2%?
b) Com erro toler´ avel de 4%? (exerc´ıcio)
2
Pesquisa eleitoral nacional com erro amostral toler´ avel de 3%.
Qual o tamanho da amostra?
Distribui¸c˜ ao amostral das m´ edias
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Distribui¸c˜ ao amostral das m´ edias
Supondo n ´ e muito grande ou que cada amostra X
i´ e retirada com reposi¸ c˜ ao, temos:
E X
=µ V
X
= σ2 n
Se cada amostra X
ide tamanho n ´ e retirada sem reposi¸ c˜ ao:
E X
=µ V
X
= σ2
n · N−n N−1
Distribui¸c˜ ao amostral das m´ edias
Exemplo na Distribui¸c˜ao Normal
Se X ∼ N (µ, σ
2) = ⇒ X ∼ N (µ,
σn2) (X popula¸c˜ ao) (X m´ edia amostral)
No caso da vari´ avel aleat´ oria normal padr˜ ao Z , temos:
Z
∼N(0, 1)
⇒
z = X
−µσ
(popula¸ c˜ ao) z
i= X
i −µσ/√
n (amostra)
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