str GABARITO

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III TERCEIRA ETAPA LETIVA / 2010

3ª SÉRIE - MATEMÁTICA I PROFESSOR: WALTER TADEU

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

TRABALHO DA 3ª CERTIFICAÇÃO 1) O polinômio P(x) = ax

³

+ bx

²

+ cx + 2 satisfaz as seguintes condições:

 













x 3

)x (P )x (P

0 )1 (P

, qualquer que seja x real. Calcule P(2).

Solução. Fazendo as substituições indicadas nas condições, temos:

     

   



   

    ^{2 2 4 6 2 0}

2 3 2 )2 2 (P 2 2 x 3 2 )x x (P , Logo

2 b 3 0

)1 (P

2 b 3 2 2 b 2 1 1 2 b

)1 1 (P

2 2 bx

)x x (P 0 c 2 e a 1 0 c2

1 a x 2

cx 2 ax 2

x )x (P )x (P

cx 2 ax 2 2 cx bx ax 2

cx bx ax )x (P )x (P

2 cx bx ax 2 x c x b x a )x (P

2 cx bx ax )x (P

3 2 2

3 3 2

3 2 3

3

3

3 2

3 2

3

2 2 3

3 2 3



























 

 























 

















 

 



 







 

 



































 





































.

2) (FGV) O gráfico representa a função polinomial P(x) = x

³

– 2x

²

– 49x + 98. Sendo r, s, t e 2 as únicas interseções do gráfico com os eixos. Calcule o valor de

st r .

Solução. As interseções com o eixo X representam as raízes do polinômio. Logo, s, 2 e t são as raízes. A interseção com o eixo Y representa o valor do polinômio quando x = 0.

Aplicando as relações de Girard e as informações no gráfico, temos:

  

      ^{0 02 49 0 98 98 r 98 st r 98 49 2}

)0(

P r) 0(P

2 49 st 98 1 2.t 98 .s:

oduto Pr

2

3 

 





 

 





















.

3) (MACK) Se as três raízes reais do polinômio p(x) = x

³

– a

³

x

²

+ ax – 1, a  IR , formam uma progressão geométrica, calcule o valor de  ^{a  a}

³

 ^.

Solução. Considerando “q” como a razão e, as raízes como r, s e t, representam-se estas raízes em progressão

como

_



 





, s , s . q q

s . Aplicando as Relações de Girard, temos:

  

      _{1 a a 1 0 a a 0}

0 )1 ( P

1 1 a 1 a 1 )1 ( P

.0 )1 ( P , Logo . raiz 1 1 s 1 1 s

)1 q. (

s . s q . oduto s Pr

3 3

3 2 3

3 3















 

 























 



 



 



 

.

4) O produto de duas raízes do polinômio p ( x )



2 x

³ 

mx

² 

4 x



3 é igual a (-1). Determine:

a) O valor de m. b) As raízes de p(x).

Solução. Considere as raízes como r, s e t, sendo (r.s) = – 1. Aplicando as Relações de Girard, vem:

a)

 

9 7 63 9

36 m 27 0 36 m9 27 0 4 36

m9 4 27 2 0

P 3

2 3 4 3 2 m 3 2 2 3 2 P 3

2 0 P, 3 Logo .raiz 2 t 3 2 t 3 2

oduto 3 Pr

)t)(1 (t .s.

r oduto Pr

2 3



 





















 



 





 

 





 

 

 



 

 



 

 



 





 

 



 







 

 









.

2

b) Sabendo uma raiz, aplicamos o algoritmo de Briot-Ruffini e descobrimos as outras pela solução da equação do 2º grau.

Logo, Q(x) = 2x

²

– 4x – 2. Encontrando as raízes deste polinômio, temos:



 









 

 

 









 

2 1 x

2 1 x 4

2 4 4 4

32 4 )2(

2

)2 )(2(

4 )4 ( )4 x (

2 2 1

.

As raízes de p(x) são: , 1 2 , 1 2 2

3

 

.

5) Considere a matriz A=

 







 







 x 0

2 2

1 x x 0

x 1 x

. O determinante de A é um polinômio p(x).

a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x). b) Determine todas as raízes de p(x).

Solução. Expressando o polinômio p(x) com o desenvolvimento do determinante, temos:



²

 x  0 2 x  x

³

2 x 2 x

²

2 1 x 2 0 1 0 x x x 0

2 2

1 x x 0

x 1 x ) x (

p        

 



 



 

  









 







 









 .

a) Se 2 for raiz, então P(2) = 0.

. raiz é 2 , Logo . 0 2 2 8 8 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( p 2 x x 2 x ) x (

p

 ³  ²     ³  ²       

.

b) Sabendo uma raiz, aplicamos o algoritmo de Briot-Ruffini e descobrimos as outras pela solução da equação do 2º grau.

Logo, Q(x) = x

²

– 1. Encontrando as raízes deste polinômio, temos:

 





 











 x 1

1 0 x

)1 x).(

1 x(

0 1 x

2

2 1 _.

As raízes de p(x) são:

^{1,1, 2}

.

3