CPIICSC III

COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª CERTIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA II – ANO 2014 3ª SÉRIE - MANHÃ

__ de ________________ de 2014

CPII CSC III

Professor: Coord. MARIA HELENA M BACCAR TURMA: NOTA:

Nome: GABARITO NÚMERO:

1ª QUESTÃO (valor: 0,5) Considere

3 MP MN

NQ   , sendo MN a base do retângulo KNML. Se a soma das áreas dos triângulos NQL e PLM é 16, calcule a área do retângulo KLMN.

Solução. Os triângulos NQL, QPL e PLM possuem a mesma altura. A soma das áreas desses três triângulos vale a metade da área do retângulo KLMN.

Temos:

3 MN 3

MN2 MN3 3 MN MN2 QP 3 MN QP MN2

3 MN QP MN 3 MN 3 MP MN NQ

MN MP QP NQ

 























 

 













.

Logo, os triângulos NQL, QPL e PLM base de mesma medida. Então as três áreas são iguais.

 ^{(A. NQL ) (A QPL ) (A MPL )}  ^{.(2 )24 48}

2 ) KLMN (A) iii

24 8 8 8 ) MPL (A ) QPL (A ) NQL (A) ii

2 8 ) 16 NQL (A 16 ) NQL (A.

) 2 MPL (A ) NQL (A

16 ) MPL (A ) NQL )i (A































 

 







.

2ª QUESTÃO (valor: 1,0)

A figura representa os quadrados ABCD e EFGH circunscrito e inscrito na circunferência de centro O.

Se o lado do quadrado maior é 4, calcule a área da parte hachurada.

Solução. O círculo possui raio valendo a metade do lado do quadrado maior: r = 2. A diagonal do quadrado menor vale d = 4. A área pedida é a diferença entre a área do círculo e a área do quadrado menor:

8 4 ) 2 2 ( ) 2 ( ) hachurada (

A ) ii

2 2 2

2 4 2 . 2 2 l 4 2 l 4 2 l d ) i

2

2

   

















 .

3ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Um armário, com a forma de um paralelepípedo de dimensões 0,5m, 2,5m e 4m, deve ser pintado. O rendimento da tinta empregada é de 5m² por litro. Determine a quantidade de tinta necessária para pintar toda a parte interna do armário.

Solução. Calculando a área total, temos:

           

 

 

 

 ^{13 , 25}  ^{26 , 5 m}

²

. 2 ) total ( A

25 , 13 . 2 ) total ( A

25 , 1 10 2 . 2 ) total ( A

5 , 2 . 5 , 0 5 , 2 . 4 5 , 0 . 4 . 2 ) total ( A



















.

Calculando a quantidade de tinta, vem: ^{5 , 3 litros} 5

) 1 ).(

5 , 26 x ( x

m 5 , 26 litro 1

m

5

^{2 2}







 .

4ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Todas as faces de um poliedro convexo são quadrangulares. Sabe-se que a soma dos ângulos de todas as suas faces é igual a 4320

^o

. Qual é o número de arestas desse poliedro?

Solução 1. Se todas as faces são quadrangulares, a soma dos ângulos internos de cada face é 360º. Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos das faces, temos:

24 2 26 2 12 14 A F V 2 A) iii

º 12 360

º F) 4320 ii

14 2 12 V 12 2 º V 360

º 2 4320 V º 4320 )2 V º.(

º 360 4320 S

)2 V º.(

360 )i S

















































 

 







.

O Poliedro possui 24 arestas.

Solução 2. Seja F o número de faces quadrangulares, A o número de arestas e V o de vértices:

24 A 2.

12 A 2 12 12 A 2 A A 2 14 A 2 A F V 2 A) iii

2 F A 2 F2

A) F4 ii

14 2 12 V 12 2 º V 360

º 2 4320 V º 4320 )2 V º.(

º 360 4320 S

)2 V º.(

360 )i S

































































 

 







.

BOA PROVA