Requisito saber geometria plana Revisão das áreas das principais figuras planas

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• • •

Este é minha lauda que projeto no quadro durante as aulas. Está sendo disponibilizada para que possa ajudar de alguma forma aos alunos das terceiras séries em 2018. Vale lembrar que não é a aula completa, pois, as aulas envolvem explanação de cada assunto e uso de outros recursos como exemplo o GeoGebra e escrita no quadro. Por ser rascunho pode conter alguns pequenos erro de digitação que na verdade foram consertados ou comentados durante as aulas em sala. Enfim este arquivo é apenas para quem perdeu algum tópico da matéria em sala e não tem no caderno para se orientar. Veja as listas de atividades no site: https://goo.gl/H051ix. O assunto oficial está no livro didático adotado em 2018 pelo Ifes/Alegre

“Aprender matemática é obter independência e autonomia para resolução e

discussões de futuras questões de matemática”

Referência para estudos 2018

• Gelson Iezzi [et al]. Matemática: Ciências e Aplicações. 7º edição – São Paulo, Editora saraiva, Volume 1, 2, 3, 2013.

• Portal da matemática: http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/index

• http://video.impa.br/index.php?page=download

3º série 2018

• Geometria Espacial • Sólidos de Platão • Relação de Euler • Prismas

• Esferas

• Corpos redondos • Geometria Analítica. • Polinômios

• Cônicas

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Geometria espacial

Requisito saber geometria plana

Revisão das áreas das principais figuras planas

• O que é o PI? • Retângulo • Triângulo • Círculo

A geometria espacial e o ramo da matemática que estuda os sólidos.

• Cilindro • Cone

• Bloco retangular • Blocos retangulares • Piramides

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Visualização de sólidos geométricos em 3D – UFF

http://www.cdme.im-uff.mat.br/html5/pdp/pdp-html/pdp-br.html

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Poliedros

Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces em que cada uma das faces é um polígono.

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NH4Cl

Poliedros de Platão

a) Em todas as suas faces polígonos regulares congruentes entre si.

b) Todos os seus ângulos poliédricos são regulares e congruentes entre si.

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Não é poliedro de Platão

Relação de Euler

(11)

V + F = A + 2 ou V + F – A = 2 Dica:

https://www.youtube.com/watch?v=vcfH6JRM2jI

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Atividades propostas

1) Determine o número de faces de um sólido (poliedro convexo) que possui 10 arestas e 6 vértices.

2) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

R:. 60

3) Calcule o número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares.

4) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. Qual é o número de arestas desse poliedro? A= 24

(13)

O Cilindro

Considere o cilindro reto com raio r e altura h.

ou

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Exemplo de aplicação I

O cilindro abaixo é a usado para armazenar ração para frangos. Calcule:

a) O volume do mesmo;

b) A área lateral;

c) A área da base;

d) A área total;

e) Na data de 22/11/2016 há apenas 20% da capacidade total de ração armazenada. Determine a quantidade de ração armazenada neste dia.

Exemplo de aplicação II

(16)

Calcule área total do sólido representado na figura abaixo

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Atividade 1

Calcule o volume e a área total deste bloco.

Com a folha abaixo é possível construir o bloco acima? Justifique!

40 cm

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Calcule o volume e a área total deste hexaedro (cubo)

Determine o valor de x para que o volume do sólido abaixo tenha volume de 550 m³.

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Qual a altura que a água atingirá se mudar a base para 30 cm por 25 cm?

Foi construída uma base de concreto como ilustrada abaixo para fixar uma estátua.

Calcule o volume necessário de concreto para construir este bloco.

a) Calcule o volume de concreto necessário para este trabalho.

b) Se cada m³ custa R$ 250,00. Calcule o valor necessário com o concreto nesta base.

c) Determine aproximadamente quantos % o volume do hexaedro (cubo) representa em relação ao bloco retangular maior.

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O sólido abaixo é um tubo cilíndrico dentro de uma caixa em forma de hexaedro (cubo). Se h= 2 m e a = 2 m. Calcule:

O porta sapatos de canos PVC como ilustrado abaixo onde cada cano tem diâmetro de 20 cm e comprimento de 30 cm. Atividade extra

a) Calcule o volume de cada cano.

b) Calcule o volume vazio entre 3 os cilindros da figura ao lado. a) Volume do cubo.

b) Volume do cilindro.

c) Volume entre os dois sólidos.

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Cone

Sólido formado pelo giro de triângulo retângulo em torno de um eixo vertical

Modelo matemático

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Exemplo I:

Calcule o volume, área da base e área total do cone abaixo

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Exercícios de fixação

1. Calcule o volume do copo abaixo

cm

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Trono de cone

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Prismas

Um prisma é um poliedro com duas bases congruentes e paralelas (bases) e cujas demais faces (faces laterais) são paralelogramos.

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AT = 2..Ab + AL

V = Ab . H

Sempre duas bases congruentes e faces são paralelogramos (tantas quantos lados dos polígonos das bases)

Fixação

Considere o sólido geométrico abaixo onde o triângulo ABC é equilátero de lado 8 cm e = 12 cm

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Real Modelo matemático

a) Classificação deste sólido?

b) Calcule a área total do sólido.

c) Calcule o volume do sólido.

d) Calcule a área total do sólido.

Abelhas armazenam mel em sólidos com o formato abaixo.

Real Modelo matemático

a) Por qual motivo é neste formato deste sólido? (Discussões)

b) Calcule a área da base deste sólido.

c) Calcule o volume deste sólido.

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Um prisma de base retângular tem suas dimensões formando uma progressão aritmética de razão 4cm. Sabendo que seu volume 840 cm³, determine suas dimensões.

Princípio de cavalieri

Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) nasceu em Milão, onde recebeu o nome Francesco Cavalieri. Ao juntar-se à ordem dos jesuítas, em 20 de setembro de 1615, adotou o nome Bonaventura. Em 1616 foi transferido para a cidade de Pisa, onde mais tarde conheceu Galileu Galilei, tornando-se um de seus discípulos. Em 1635, publicou a Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Pro-mota (Um Certo Método para o Desenvolvimento de uma Nova Geometria dos Indivisíveis Contínuos), onde aparece o princípio famoso que leva seu nome.

Dados dois sólidos incluídos entre um par de planos paralelos, se todo plano paralelo ao par de planos e que intersecta os sólidos o faz em seções cujas áreas estão sempre na mesma razão, então os volumes dos sólidos também estão nessa mesma razão.

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Dica: https://www.youtube.com/watch?time_continue=11&v=wQpi2ZfrITw

Exercícios I

Determine o volume do paralelepípedo oblíquo de base quadrada da figura abaixo, sabendo que duas de suas faces estão contidas em planos perpendiculares ao plano que contem a base.

Exercícios II

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Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 8 vértices? R:. 2160°

Dica:https://www.youtube.com/watch?v=2-jak_QmtGo

Atividades

1. Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Calcule a soma dos ângulos internos de todas as faces. R:. 3240º

2. Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 12 faces e 30 arestas? R:. 6480

º

3. Qual a soma dos ângulos das faces do tetraedro regular? R:. 720º

4. Qual a soma dos ângulos das faces do icosaedro regular? R: 3600º

Atividade

Considere as duas embalagens de PIZZA abaixo.

20 cm 20 cm

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a) Descreva o nome de cada sólido acima.

b) É possível colocar uma PIZZA de raio 15 cm em cada uma das embalagens? Justifique.

c) Determine a área total de papel usado para fabricar cada embalagem.

Esferas

Chamamos de esfera de centro O e raio r o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio r.

10 cm

10 cm 10 cm

10 cm _{10 cm}

10 cm 10 cm

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(Ver gif planificação)

e

Relações em uma esfera

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Atividade de fixação

1. Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para

A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a

a) 168. b) 304. c) 306. d) 378. e) 514.

Resolução

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(42)

Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de R= 4 cm e h = 12

cm.

Resolução

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Introdução a geometria Analítica

Dica de vídeo:

http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/index#7

René Descartes, filósofo e matemático francês nascido em 1596…..

Revisão sobre coordenadas cartesianas

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(46)

(47)

Localize os pontos no plano Cartesiano

P( 2; 5); A(-3; 7) B(-2; -4) C(-4; 5) H(0; 5) F(4, 0)

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Exercícios

Dados os pontos A(– 2, 4) e B(2,2). Calcule a distância

(49)

(50)

Considere os pontos A(-4;-4); B(-2;-2); C(1,-4) e D(3,-2)

a) Marque no plano todos os pontos;

b) Qual é o polígono definido por estes quatro pontos;

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Ponto médio de segmento

O ponto M que divide um segmento ao meio é denominado pontoo médio deste segmento

Professor demostrar a fórmula.

(52)

Calcule o comprimento da mediana partindo do vértice B do , cujos vértices são A(0; 0), B(4; -6) e C(-1; -3).

(53)

Dados A(4; 5), B(1; 1) e C(x; 4), determine x de forma que o triângulo ABC seja retângulo em B

(54)

Dados A(8; 7) e C(-2; -3), extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos outros dois vértices.

Lugar Geométrico

Lugar geométrico é o conjunto de pontos que tem uma propriedade em comum.

• Reta; • Parábola; • Circunferência; • Elipse; • Hipérbole; Reta

Reta é o lugar geométrico onde os pares ordenados (x; y) são colineares para quaisquer x e y reais.

Pontos Colineares

Condição de alinhamento de dois pontos. (Professor)

Determine k pra que os pontos A(k; k), B(3; 1) e C(7; -3) estejam alinhados.

R:. k = 2

Mostrar que os pontos A(-1;1), B(1; 3) e C(7; 9) estão alinhados.

(55)

Seja os pontos A(1;2), B(3; n+2) e C(n-1; 1). Determina n de forma que a área do seja ½.

Em um triângulo ABC, em que o ponto médio de AB é M (6; 4), o ponto médio de BC é N (5; 2) e o ponto médio do lado CA é P (3; 5), qual o valor da área do triângulo ABC?

Área de triângulo qualquer

Considere os pontos e

(Coeficiente de inclinação ou coeficiente angular da reta )

(56)

O ângulo é denominado inclinação da reta

Determine o coeficiente de inclinação e a inclinação para reta definida pelos pontos A(2; 3) e B(0; 5)

(57)

Equação da reta

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(61)

Exercício de aplicação

1) Considere os pontos H(-1; 5), F(-5,1)

a) Localize no plano cartesiano os pontos H e F; b) Determine o coeficiente de inclinação da reta ; c) Determine a equação geral da reta ;

d) Determine onde a reta corta o eixo x; e) Determine onde a reta corta o eixo y;

f) Determine o ângulo de inclinação da reta .

g) Determine mais dois pontos que pertencem a reta .

Menor distância entre um ponto e uma reta

A menor distância entre um ponto A(x0; y0) e uma reta (r) Ax + By + C = 0 é o seguimento

(62)

Exercício

Determine a menor distância entre a reta x + 3y – 4 = 0 e o ponto P(2; -4)

(63)

Posição entre duas retas no plano cartesiano

Condição para que duas retas sejam perpendiculares no plano cartesiano.

(64)

Logo: (Condição de Perpendicularidade)

Por outro lado duas retas só serão paralelas se e duas retas serão concorrentes se

Resumo no quadro (Professor)

Exercício:

1. Verificar se x + y – 6 = 0 e 2x + 2y +4 = 0 são paralelas ou perpendiculares.

2. Determine equação da reta que passa pelo ponto A(1; 5) e é paralela à reta de equação x - 3y + 4 = 0

(65)

4. Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto F(1; -3) e é paralela à reta 2y + 3x + 6 = 0

5. Determinar m de forma que as retas e sejam.

a) Paralelas;

b) Concorrentes;

c) Perpendiculares.

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Circunferência

Uma circunferência é o lugar geométrico em que todos os pontos (x; y) estão a uma mesma distância de um ponto A(x0; y0).

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Método I Método II

Comparação Completar quadrados

Professor

Exemplo I

Obter a equação da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

Revisão sobre fatoração e completar quadrado

Completar o quadrado da expressão?

(68)

Considere a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 obtenha pelos dois métodos o raio e o centro da circunferência.

Considere a equação x² + y² – 4x – 2y + 4= 0 obtenha pelos dois métodos o raio e o centro da circunferência.

(69)

Determine o raio e escreva a equação na forma reduzida e na forma geral da circunferência abaixo

Obtenha a posição entre o ponto P(2; 5) e a circunferência x² +y² +2x-2y+1=0

Determine a posição no plano cartesiano entre a reta 3x + 4y – 35 = 0 e a circunferência x² +y² – 8x -6y+24 = 0

(70)

Se a reta 2x – y + k = 0 é tangente a circunferência (λ) x² +y² - 4 =0. Determine k.

Qual é a equação geral da circunferência que tem diâmetro com extremidades definidas pelos pontos A(4; 0) e B(0;0)

Qual é o comprimento da corda determinada pela reta (r) x – y + 4 = 0 na circunferência (λ) x² + y² -2x – 4y - 4 = 0. R:. u

(71)

O ponto P (3; B) pertence a circunferência de centro C (0;3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada B.

(72)

(73)

São duas ou mais circunferências com mesmo centro.

Considerando o centro C(xo; yo) então a equações da família é dada por:

(x-xo)² + (y-yo)² = k; sendo k > 0

Exemplo: Dado o ponto P(5; 4) e a circunferência de equação x² + y² – 2x – 2y – 20 = 0, a equação da circunferência concêntrica com a circunferência dada e que passa por P é:

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C) x² + y² – 2x – 2y – 22 = 0 D) x² + y² – 2x – 2y – 23 = 0 E) x² + y² – 2x – 2y – 24 = 0

Exemplo: Dadas as circunferências λ e σ, de equações: Verifique a posição relativa entre elas.

λ: x2 + y2 = 9 σ: (x – 7)2 + y2 = 16

Exemplo:

Dada as equações das circunferências λ₁ : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ₂ : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum.

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Temos que duas circunferências de equações λ₁: x² + y² = 16 e λ₂: x² + y² + 4y = 0 são tangentes, isto é, possuem um ponto em comum. Determine a coordenada desse ponto.

Lista de exercícios complementares

1) Uma circunferência tem centro no ponto C(2;1) e passa pelo ponto A(5; -3). Qual é o comprimento e a área desta circunferência?

2) O centro das circunferências concêntricas abaixo é A(5; -3). Obtenha a equação entre elas e calcule a área destacada entre elas.

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Observação

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Modelo Matemático

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Dedução e discussão da fórmula em sala (Professor)

Se o vértice da parábola for V(xo; yo) a equação poderá ser:

a) (x - x0)² = 4.p.(y – y0): Tem termo x²

b) (x - x0)² = - 4.p.(y – y0): Tem termo x²

(83)

d) (y - y0)² = - 4.p.(x – x0): Tem termo y²

Obtenha a equação da parábola com foco F(0; -2) e V(0; 0)

(84)

Determine o foco e o vértice da parábola de equação.

a) x² =4y

b) y² = - 8 x

Obtenha a equação de uma parábola cujo vértice é a origem e o foco é F(0;-2). R:. x² = -8y

(85)

Obtenha a equação da parábola de F(2; 4) e V(2; 1). R:. (x-2)² = 12(y-1)

Dada a parábola x² – 2x – y = 0: Obtenha:

a) O vértice; b) O Foco;

(86)

Dado o foco F(−2; 5) e a diretriz a reta y = 3 de uma parábola. Obter a equação da parábola.

Dada a equação da parábola y = x² – 4x + 2: Obtenha:

a) O vértice; b) O Foco;

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Dada a parábola 4x² – 20x – 24y + 97 = 0 obtenha: a) O vértice; R:. V(5/2; 3)

b) O Foco; R:.F(5/2; 9/2)

c) A diretriz da parábola. R:. Diretriz y = 3/2

Obtenha o foco, a diretriz e o vértice da parábola

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Elipses

(90)

Se você conectar os focos de uma elipse, o ponto médio do segmento que você cria é denominado o centro da elipse. Pelo meio passam dois eixos perpendiculares, um horizontal e um vertical. O mais longo dos dois eixos é denominado eixo maior e o mais curto é o eixo menor. Cada ponto final do eixo maior é denominado vértice. E a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.

(91)

Excentricidade

A excentricidade de uma elipse, definida como é um valor no intervalo [0; 1[ que descreve a

“ovalidade” de uma elipse.

(92)

Equação padrão da elipse.

Dedução pelo professor em sala:

(93)

Escreva a equação de cada elipse na forma padrão e represente-a graficamente: A elipse com vértices (6,1) e (6,–9) e focos (6,0) e (6,–8)

Uma elipse tem eixo maior medindo 6 e eixo menor medindo 4. Determine sua distância focal e sua excentricidade.

(94)

Determine a equação da elipse cujo eixo maior mede 6 e cujos focos são os pontos

F

1

(-2,-1) e F

2

(1,-1)

Uma elipse cujo eixo maior é vertical tem centro C(-1,1), excentricidade e = 1/3 e eixo

menor de medida 6. Determine sua equação

Determine as equações da seguinte elipse centro (0, 0), V(13, 0) e F(-5; 0)

Numa elipse a medida do eixo maior é 26_{e a medida do eixo menor é}24_{. Determine a distância focal}

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Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse.

Calcule a excentricidade da elipse com a equação

R:.

Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta.

a) Seu centro é (−2,1).

b) A medida do seu eixo maior é 25.

c) A medida do seu eixo menor é 9.

d) A distância focal é 4.

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R:. 24u²

Determine a excentricidade e o centro da elipse

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Obtenha os focos da elipse de equação 16x² + 36y² + 32x – 216y – 236 =0

Escreva a equação elíptica em sua forma x² +4y² – 4x + 10y + 100 = 0 padrão, represente-a graficamente e calcule o comprimento de seu eixo maior.

Calcule a excentricidade da elipse com a equação.

a) 5x² +y² -3y +1 =0