Se incluem todas aquelas transformações destinadas a criação de imagens a partir da combinação de bandas da imagem original.
A imagem resultante depende de toda a imagem original e não apenas dos níveis digitais de cada pixel ou de seu entorno (utiliza-se estatísticas globais).
O bj ti é id i l t í ti i t t i l l ti d i f ã
O objetivo é evidenciar alguma característica importante ou isolar algum tipo de informação de mais interesse que na imagem original estava oculta.
Análise de Componentes Principaisp p
Geralmente existe grande redundância na informação obtida pelas diversas bandas da imagem, referendada pela alta correlação entre os dados proporcionados.
Imagem Landsat 5 TM 21/01/2099 Órbita 223 Ponto 81.
Assim, mediante a combinação linear das bandas originais da imagem, a transformação a componentes principais gera novas bandas, que são linearmente independentes entre si, ou seja, sem redundância entre elas.
A ACP busca os eixos de variabilidade da imagem, de grande utilidade para estudos multitemporais ou para construir 3 novas bandas e a partir delas formar uma combinação colorida que concentre mais informação que qualquer das bandas originais.q ç q q q g
Diagramas de Dispersão 2D:
Diagramas de Dispersão 2D:
Diagramas de Dispersão 3D:
Imagem: Variável Aleatório Multivariante
Os ND multiespectrais de uma imagem digital podem ser considerados como uma variável
l tó i t i l ( d b d é t d t )
aleatória vetorial (cada banda é um componente do vetor).
A função de distribuição multivariante constitui o histograma multiespectral da imagem.
A função de densidade de cada histograma pode ser considerada uma distribuição gaussiana, ficando então caracterizada pela média e variância de seus dados e pela relação entre elas mediante os correspondentes coeficientes de correlação.
A imagem multiespectral será:
onde n representa o número de bandas da imagem.p g Para a banda k, a média pode ser calculada:
e a variância:
sendo que zij é o ND de cada píxel (i,j) e N o número de píxeis da imagem.
Imagem: Variável Aleatório Multivariante
A relação existente entre duas bandas quaisquer pode ser definida pela covariância:
Resolvendo a equação teremos:
Imagem: Variável Aleatório Multivariante ou seja:
além disso, temos:
e
O coeficiente de correlação entre as bandas k e l se define como:
onde o mesmo estará no intervalo:
Imagem: Variável Aleatório Multivariante
Considerando as n bandas da imagem e tratando-a como uma variável aleatória
lti i t d d fi i t i d di ã X d iâ i iâ i (Σ)
multivariante podemos definir as matrizes de dimensão n X n de variância-covariância (Σ) e correlação (R).
A matriz de variância-covariância de um conjunto de bandas linearmente independentes será diagonal, ou seja, a diagonal principal estará ocupada pelas variâncias das combinações eg , j , g p p p p ç os elementos fora da diagonal principal (covariâncias) serão nulos (zero), já que a soma de todos os produtos positivos será igual a soma de todos os produtos negativos (equação da covariância).
Por tanto, a transformação que consiga diagonalizar a matriz de variância-covariância é aquela que deve ser aplicada para obter novas bandas linearmente independentes.
Imagem: Variável Aleatório Multivariante
Correlação entre bandas:
Correlação Positiva:
As bandas i e j estão correlacionadas positivamente, ou seja quando os valores da banda i crescem os
Sem Correlação:
ou seja, quando os valores da banda i crescem os valores da banda j também crescem.
As bandas não estão
correlacionadas ou seja
Co elação Negati a
correlacionadas, ou seja, não mostram dependência uma da outra.
Correlação Negativa:
As bandas i e j estão correlacionadas negativamente, ou seja, quando os valores da banda i crescem os valores da banda quando os valores da banda i crescem os valores da banda j também decrescem.
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal:
A partir de uma transformação A se denominam vetores próprios ou autovetores
( i t ) l ã li t f d j l
(eigenvectors) aqueles que são colineares com seus transformados, ou seja, aqueles que cumprem a condição:
sendo A a matriz que caracteriza a transformação e λ o valor próprio ou autovalor (eigenvalues).
P d t bé
Podemos escrever também:
onde I representa a matriz unitária, isto é, uma matriz diagonal tal que aii = 1 e aij = 0.
Igualando a zero teremos:
Na equação acima devemos incluir a resolução de uma equação de características φ(λ), que proporciona os autovalores para a matriz A:
proporciona os autovalores para a matriz A:
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal:
No caso da matriz de variância-covariância teremos:
onde podemos obter n soluções λ1, λ2, … , λn, que são os autovalores da matriz, ordenando- se habit almente da seg inte manei a λ ≥ λ ≥ ≥ λ
se habitualmente da seguinte maneira: λ1≥ λ2≥ …≥ λn.
Os autovetores da matriz de variância-covariância Σ se obtem mediante a resolução da seguinte equação:g q ç
isto é:
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal:
d sendo:
A transformação em diagonal da matriz de variância-covariância é dada por:
d onde:
P matriz auxiliar formada pelos autovetores colocados por colunas na mesma ordem da P matriz auxiliar formada pelos autovetores colocados por colunas na mesma ordem da
matriz diagonal.
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal:
No caso de:
Precisamente por ser um vetor próprio, posso colocar da seguinte forma:
desta forma teremos:
A matriz auxiliar P define uma mudança de base no espaço dos reais ℜn de tal forma que se a imagem original tinha uma matriz de variância-covariância ∑, a imagem final terá uma matriz de variância-covariância Λ.
Isto é, as bandas da nova imagem são linearmente independentes ou sem correlação.
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal:
A transformação a componentes principais consiste na multiplicação da imagem original pela
t i d t t d t i d iâ i iâ i
matriz de autovetores da sua matriz de variância-covariância.
ou seja:j
Sendo xij os elementos da matriz P, isto é, os componentes dos autovetores postos por colunas o desenvolvimento da equação acima fica:
Passos para transformar a matriz de variância-covariância em diagonal:
Por outro lado a transformação é ortogonal, razão pela qual o somatório das variâncias (∑) é
i l tó i d t l (Λ)
igual ao somatório dos autovalores (Λ):
Isto significa que a variância se distribui sem perdas sobre os componentes principais.
A Primeira Componente corresponde a maior parte da variância da imagem (mais informação).
A variância restante se distribui nos seguintes componentes de forma decrescente.
A variância original explicada por cada componente principal se calcula como a proporção do autovalor correspondente em relação a soma total de autovalores:
autovalor correspondente em relação a soma total de autovalores:
Resultado da Análise de Componentes Principais Correlação Positiva:
Sem Correlação:
Sem Correlação:
Correlação Negativa:
O resultado da ACP é que as bandas novas não tem correlação entre si.
Os autovalores da transformação indicam o tamanho dos Os autovalores da transformação indicam o tamanho dos eixos das elipses e os autovetores a direção dos mesmos.
Resultado da Análise de Componentes Principais
A ACP encontra um novo sistema de referência que explica melhor a variabilidade da iimagem.
A elipse correspondente a representação bidimensional dos valores de duas bandas quaisquer fica agora orientada com seus eixos paralelos ao novo sistema, explicando o
q q g p , p
eixo de coordenadas paralelo ao eixo maior da elipse a maior parte da informação contida entre as bandas comparadas (figura abaixo).
Aplicações
Melhora a visualização da imagem ao concentrar em apenas 3 bandas (as necessárias para
f ) t d i f ã d i
formar a cor) quase toda a informação da imagem.
Estudos multitemporais:
Podemos reduzir a apenas um componente as bandas da imagem em cada uma das datas de trabalho. Posteriormente faz-se a classificação dos CPs isolando os fenômenos que mostraram mudanças entre duas datas sucessivas.
Detecção de mudanças entre duas datas:
Se transforma em CP todas as bandas de ambas datas
As primeiras componentes principais explicarão a maior parte da variância da imagem e portanto incluirão todos os aspectos comuns das duas datas.
As componentes principais secundárias conterão informações sobre fenômenos que não podem explicar-se em duas datas simultâneas e portanto indicam uma mudança.
Desenvolvida por Kauth e Thomas é uma transformação mais geral que a ACP mediante a qual se obtém diversos índices com significado físico concreto que constituirão as novas bandas da imagem.
O procedimento tem base na evolução espectral dos cultivos ao longo de seu período vegetativo.
Analisando a variação dos ND dos píxeis das áreas cobertas por vegetação em um espaço tridimensional o caminho da nuvem de pontos no transcurso do tempo deixa um rastro que adquire a forma de uma toca (tasseled cap).
Considerando a banda do vermelho e do infravermelho próximo, a base da toca está definida pela linha de solos nus, ao longo da qual se distribuem os diferentes tipos de solo, de acordo ao seu estado de umidade e iluminação, principalmente.ç , p p
A medida que o cultivo se desenvolve e chega ao pleno vigor, os pontos tendem a aproximar-se do infravermelho próximo, retirando-se da linha do solo nu.
Quando se inicia o período de senescência a nuvem de pontos vai convergindo a um ponto único, que corresponde ao ponto de murcha permanente do cultivo e cuja posição tende a regressar novamente a linha de solo nu.g
A TTC pretende encontrar novos eixos de variação que ressalte o comportamento biológico dos cultivos, em concreto separar a variação dos ND das áreas de cultivo daquela associada ao solo, no qual ocorre a seguinte combinação linear:
onde: é a imagem multibanda obtida com a transformação;
é a imagem original;
é uma matriz de coeficientes que caracteriza a transformação;
é uma constante vetorial para evitar valores negativos (geralmente = 32).
A expressão acima ajustada para o Landsat TM é a seguinte:p j p g
Para o Landsat TM:
O componente brilho é a soma ponderada dos ND correspondentes a todas as bandas
l i d i f lh t l
excluindo o infravermelho termal.
O verdor destaca o contraste existente entre as bandas visíveis e as pertencentes ao infravermelho especialmente o infravermelho próximo.p p
O componente umidade contrasta a refletância da cobertura no visível e o infravermelho médio, onde a água apresenta várias bandas de absorção.
Os três eixos transformados formam um espaço vetorial no qual podemos diferenciar três planos característicos:
A vegetação formado pelos eixos brilho e verdor;
O solo formado entre os eixos brilho e umidade;
O plano de transição formado pelos eixos verdor e umidade.
São transformações que buscam realçar as áreas cobertas de vegetação, reforçando a contribuição espectral devido a vegetação e minimizando os distorções, tais como o solo, a irradiância solar, o ângulo de elevação do Sol e a própria atmosfera.
Podemos agrupar os IV existentes em duas categorias:
a) Transformações ortogonais similares as realizadas em ACP.) ç g b) Índices com base em quocientes entre bandas.
Índices com base em t ansfo mações Índices com base em transformações
Se rota os eixos no espaço
bidimensional originalmente formado g pelas bandas do vermelho e
infravermelho próximo para o novo eixo formado entre a linha que define os solos e sua perpendicular
os solos e sua perpendicular.
⇒ Índice de Vegetação Perpendicular (PVI – Perpendicular Vegetation Index):
O PVI mede a distância espectral existente entre o ND dos píxeis de Vegetação e Solo
b d d V lh I f lh P ó i (d l id Ri h d
nas bandas do Vermelho e Infravermelho Próximo (desenvolvido por Richardson e Wiegand).
onde: o subíndice v indica o ND da banda considerada para a vegetação e o s para a linha de solo.
P L d t MSS t
Para o Landsat MSS teremos:
Estendendo o conceito a um espaço multidimensional podemos gerar o Índice de Vegetação Verde (GVI – Green-Vegetation Index), que pode ser aplicado para quatro bandas, como desenvolvido por Kauth e Thomas; a seis bandas como o de Crist e Cicone ou a n desenvolvido por Kauth e Thomas; a seis bandas, como o de Crist e Cicone ou a n bandas, desenvolvido por Jackson.
Índices com base em quocientes
Os quocientes são divisões entre os ND de uma banda por outra. O caso mais geral pode ser d
expressado como segue:
onde: z’ é a nova imagem formada pelo quociente das bandas k e l;
a e b são constantes, geralmente de valor 1, para evitar qualquer divisão por zero.
P d tili l it i i i t d i lt t i
Podemos utilizar um logaritmo para corrigir o escurecimento da imagem resultante, assim:
Em muitos caso é difícil separar entre duas coberturas vegetais diferentes por seus NDs estarem muito próximos. Os quocientes entre bandas pode proporcionar um melhor critério de separação.
O relevo do terreno origina diferentes graus de iluminação que são independentes do tipo de O relevo do terreno origina diferentes graus de iluminação que são independentes do tipo de
cobertura vegetal.
A redução da reflectância em áreas de sombra afeta por igual as diferentes bandas da imagem. A vantagem do quociente entre bandas é o fato de que o resultado independeg g q q p da irradiância.
Portanto, é uma transformação muito indicada para reduzir o efeito radiométrico do relevo na imagem final.
Índices com base em quocientes
Os mais utilizados combinam bandas do infravermelho próximo com as do visível.
Isso se deve a alta reflectância no IRp e baixa no VIS, especialmente no vermelho.
Índices com base em quocientes
⇒ Razão Simples (SR – Simple Ratio):
⇒ Índice de Vegetação de Diferença Normalizada (NDVI – Normalized Difference Vegetation Index):
ou
⇒ Índice de Vegetação Transformado (TVI –g ç ( Transformed Vegetation Indexg ):)
Índice de Umidade por Diferença Normalizada ou Índice de Água (NDMI ou NDWI Water
⇒ Índice de Umidade por Diferença Normalizada ou Índice de Água (NDMI ou NDWI – Water Index):
Índices com base em quocientes
⇒ Índice de Conteúdo Relativo de Água Foliar (LWCI):
⇒ Índice de Vegetação Ajustado ao Solo (SAVI):
ENTRE OUTROS.
