Anota¸c˜oes sobre corpos ﬁnitos.

(1)

Anota¸c˜oes sobre corpos finitos.

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

rodrigo.uff.math@gmail.com

‡

(2)

1

(3)

Sum ´ario

1 Corpos finitos 3

1.1 Homomorfismo e Isomorfismo . . . 4 1.1.1 Potˆencias da caracter´ıstica . . . 7

2

(4)

Cap´ıtulo 1

Corpos finitos

Iremos considerar sempre K como um corpo finito.

Consideramos o conjunto

BK ={n >0∈N|n.1=0}

tal conjunto é não vazio pois como o corpo K é finito tem-se m > n tal que m.1=n.1 e da´ı (m−n)

| {z }

>0∈N

.1=0. logo o conjunto B_K ´e n˜ao vazio.

m

Defini ¸c ˜ao 1 (Caracter´ıstica de um corpo finito). A caracter´ıstica de um corpo finito K ´e definida como

car(K) =minB_K

o m´ınimo desse conjunto existe pelo princ´ıpio da boa ordena¸cão, pois o conjunto B_K é não vazio e é um conjunto de n úmeros naturais .

b

Propriedade 1. car(K) =p ´e um n ´umero primo.

ê Demonstra ¸c ão. Suponha por absurdo que não seja um número primo, então p.1 = (m.1).(n.1) = 0 onde 1 < m, n < p da´ı m.1 = 0 ou n.1 = 0 o que contradiz o fato de p ser o elemento m´ınimo com essa propriedade, então p deve ser primo .

Iremos denotar em geral car(K) =p.

3

(5)

CAP´ITULO 1. CORPOS FINITOS 4

b

Propriedade 2. Se m.a=0 com m∈Z, a∈K ent˜ao m=tp ou a=0.

ê Demonstra ¸c ão. Por propriedade de corpo tem-se m.a= 0 então m.1= 0 ou a=0. Se m.1=0 tomamos a divisão euclidiana de m por p

m=t.p+r e da´ı

m.1=t.p.1+r.1=r.1

como vale 0≤r < p, n˜ao pode valer 0< r < p pois iria contradizer a minimalidade de p, logo r=0 e m =t.p.

1.1 Homomorfismo e Isomorfismo

m

Defini ¸c ˜ao 2 (Homomorfismo de corpos). Sejam A, B corpos. Uma fun¸c˜ao f:A→B chama-se um homomorfismo quando se tem

f(x+y) =f(x) +f(y)

f(x.y) =f(x).f(y) f(1A) =1B

para quaisquerx, y∈K.Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1Bpelos mesmos s´ımbolos e escrevemos f(1) =1.

b

Propriedade 3. Se f é homomorfismo então f(0) =0. ê Demonstra ¸c ão. Temos

f(0+0) =f(0) +f(0) =f(0) somando −f(0) a ambos lados segue

f(0) =0.

(6)

b

Propriedade 4. Vale f(−a) = −f(a).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Pois

f(a−a) =f(0) =0=f(a) +f(−a) da´ı f(−a) = −f(a).

$

Corol ´ario 1.

f(a−b) =f(a) +f(−b) =f(a) −f(b).

b

Propriedade 5.Se a é invert´ıvel entãof(a) é invert´ıvel e vale f(a⁻¹) =f(a)⁻¹. ê Demonstra ¸c ão.

f(a.a⁻¹) =f(1) =1=f(a).f(a⁻¹)

ent˜ao pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)⁻¹ =f(a⁻¹).

b

Propriedade 6. f ´e injetora.

ê Demonstra ¸c ão. Sejamx, ytais quef(x) =f(y), logof(x)−f(y) =0,f(x−y) = 0, se x 6=y então x−y seria invert´ıvel logo f(x−y) não seria nulo, então segue que x=y.

b

Propriedade 7. f(A) ´e subcorpo de B. ê Demonstra ¸c ˜ao.

• A adi¸cão é fechada, dados a=f(x) e b=f(y) então a+b∈f(A) pois f(x+y) =f(x) +f(y) =a+b.

• O produto ´e fechado, pois f(x.y) =f(x).f(y) =a.b.

• −a∈f(A) pois f(−x) = −f(x) = −a.

• Se a6=0 então a⁻¹ ∈f(A) pois f(x⁻¹) =f(x)⁻¹, x6=0 pois se fosse x =0 então a=0, logo x é invert´ıvel.

(7)

b

Propriedade 8. Se f é bĳetora então a fun¸cão inversa f⁻¹ de f é um homomorfismo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Sejam a=f⁻¹(x) e b=f⁻¹(y).

• f⁻¹(1) =1 pois f(1) =1.

•

f⁻¹(x+y) =f⁻¹(f(a) +f(b)) =f⁻¹(f(a+b)) =a+b=f⁻¹(x) +f⁻¹(y).

•

f⁻¹(x.y) =f⁻¹(f(a).f(b)) = f⁻¹(f(a.b)) =a.b =f⁻¹(x).f⁻¹(y).

m

Defini ¸c ˜ao 3 (Isomorfismo). Um Isomorfismo ´e um homomorfismo bĳetor.

Dois corpos são ditos isomorfos se existir um isomorfismo entre eles. Para todos os efeitos dois corpo isomorfos são considerados idênticos.

b

Propriedade 9. K com car(K) =p possui um subcorpo isomorfo `a Z_p.

ê Demonstra ¸c ão. Consideramos a fun¸cão f:Z_p →K definida como f(n) =n.1. f é um homomorfismo pois

f(n+m) = (n+m).1=n.1+m.1=f(n) +f(m) f(n.m) =n.m(1) = (n.1).(m.1) =f(n).f(m).

f(1) =1.1=1.

$

Corol ´ario 2. f(Zp) ´e um subcorpo de K isomorfo a Zp.

$

Corol ´ario 3. Um corpo finito de caracter´ıstica p possui pⁿ elementos, para algum n natural .

(8)

1.1.1 Potˆencias da caracter´ıstica

b

Propriedade 10. Sejam K corpo finito de caracter´ıstica p e com q = pⁿ, n >0∈N, vale

(a±b)^q =a^q±b^q

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n, para n=1 vale que (a±b)^p =a^p±b^p,

pois

(a+b)^p = Xp

k=0

p

k

a^k.b^p−k =a^p+ [ Xp−1

k=1

p

k

a^k.b^p−k] +b^p,

por´em p|

p

k

com 0< k < p, pois vale se k=1, e

p

1

=p, caso 1< k < p, temos

p

k

= p!

k!(p−k)! = p× · · · ×(p−k+1)(p−k)!

k!(p−k)! = p× · · · ×(p−k+1)

k! ,

da´ı k! é composto e por isso não divide o primo p, por isso tal fator é múltiplo de p e portanto nulo num corpo de caracter´ıstica p, de onde segue

(a+b)^p =a^p+ [ Xp−1

k=1

p

k

a^k.b^p−k]

| {z }

0

+b^p=a^p+b^p.

Isso prova o caso base. Supondo para n, vamos provar para n+1

(a±b)^pⁿ⁺¹ = [(a±b)^pⁿ]^p = [a^pⁿ ±b^pⁿ]^p =a^pⁿ⁺¹±b^pⁿ⁺¹.

$

Corol ´ario 4. Vale que

( Xn

k=1

a_k)^q = Xn

k=1

a^q_k e

( Xn

k=1

a_kX^k)^q = Xn

k=1

a^q_kX^kq

(9)

b

Propriedade 11. Seja K um corpo com car(K) =p, então a fun¸cão f:K→R dada por f(x) =x^q ( com q=pⁿ ) é um isomorfismo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale que

f(a+b) = (a+b)^q =a^q+b^q =f(a) +f(b) ,

f(a.b) = (a.b)^q =a^q.b^q =f(a).f(b) e

f(1) =1^q =1

, logo temos um homomorfismo. Como f é injetora e K é finito, f é bĳetora, logo temos um isomorfismo.

b

Propriedade 12. Seja K um corpo com car(k) = p e F = {a ∈ K|a^q = a} ent˜ao F ´e subcorpo de K.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Basta mostrar que a, b∈F implica a−b∈F e a b ∈F.

(a−b)^q =a^q−b^q =a−b (a

b)^q = a^q b^q = a

b.

b

Propriedade 13. Seja P(x)∈K[x] . TemosP⁰(X) =0 sse existe um polinˆomio Q(x)∈K[x] tal que [Q(x)]^p =P(x)

ê Demonstra ¸c ˜ao. ⇒ P(x) ´e da forma P(x) =akx^k, derivando P⁰(x) =

Xn

k=0

a_k.kx^k−1 = Xn

k=1

a_k.kx^k−1=0 da´ı a_k.k=0, se a_k 6=0 ent˜ao p|k o que nos permite escrever

P(x) = Xn

k=0

a_k.p⁰ x^k.p

(10)

pelo resultado anterior a_k.p⁰ =b^p_k ent˜ao P(x) =

Xn k=0

b^p_kx^k.p = ( Xn

k=0

b_kx^k)^p.

⇐

P(x) = Xn

k=0

a^p_kx^k.p derivando

P⁰(x) = Xn

k=0

a^p_k(k.p)x^k.p−1=0.

b

Propriedade 14. P(x) =x^q−x n˜ao possui fatores irredut´ıveis m´ultiplos em F[x].

ê Demonstra ¸c ˜ao. Derivando temos P⁰(x) = −1, da´ı P(x) e P⁰(x) s˜ao primos entre si .

b

Propriedade 15. Seja K um corpo finito com n elementos, para todo a∈K^∗ tem-se que

aⁿ⁻¹ =1.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Considere a fun¸c˜ao f dada por K^∗ → K^∗

x 7→ a.x

f é injetora e como K^∗ é finito segue que f é bĳetora, sendo K^∗ ={x_k, k∈I_n−1}

vale que

{a.x_k, k∈I_n−1}={x_k, k∈I_n−1} tomando o produto de todos esses elementos tem-se

Yn−1 k=1

(a.x_k) =aⁿ⁻¹. Yn−1

k=1

(x_k) = Yn

k=1

(x_k) logo aⁿ⁻¹ =1.

(11)

$

Corol ´ario 5. Sendo K um corpo finito com n elementos, para todo x ∈ K e para todo t ∈N vale que

aⁿ^t =a.

b

Propriedade 16. Sejam K um corpo finito com car(K) =p e n elementos, F uma extensão deK, então os elementos de K são os elementos de F que são ra´ızes de Xⁿ =X.

ê Demonstra ¸c ão. Sabemos que os elementos de K são ra´ızes do polinômio Xⁿ = X, mas esse polinômio tendo grau n possui no máximo n ra´ızes, logo suas ra´ızes são todos elementos de K.

m

Defini ¸c ˜ao 4 (Ordem de um elemento). A ordem de x ∈K^∗ ´e o natural n tal que

ord(x) =min{n >0∈N|aⁿ =1}

b

Propriedade 17. Seja K um corpo finito com n elementos e seja a ∈ K^∗. Se para algum inteiro positivo m tem-se a^m = 1 ent˜ao ord(a)|m, em especial ord(a)|n−1.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Dividimos m por ord(a), m = ord(a).s+r onde 0 ≤ r <

ord(a) ent˜ao

a^m=a^ord(a).sa^r =1=a^r

da´ı r=0 pois se n˜ao a minimalidade de ord(a) estaria comprometida .

b

Propriedade 18. Seja Kum corpo finito,a, b∈Kcommdc(ord(a), ord(b)) = 1 ent˜ao ord(a.b) =ord(a).ord(b).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja m = ord(a) e n = ord(b). Vale que (a.b)^n.m = 1 e se (a.b)^t =1 ent˜ao

1= (a.b)^t.m =b^t.m

(12)

da mesma maneira

1= (a.b)^t.n =a^t.n

isso significa que m|tn e n|tm por termos mdc(n, m) =1 segue que m.n|t da´ı

m.n=min{t >0|(a.b)^t =1}

logo ord(a.b) =ord(a).ord(b).

b

Propriedade 19. Seja K um corpo finito a ∈ K^∗ e n ∈ N, se ord(a) = m ent˜ao

ord(aⁿ) = m mdc(m, n).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja t =ord(aⁿ) logo t ´e o menor tal que a^n.t =1,

t ´e o menor n ´umero tal que m|n.t, da´ı n.t=mmc(m, n) t= mmc(m, n)

n = m

mdc(m, n) onde usamos a identidade m.n=mmc(m, n).mdc(m, n).

FTeorema 1. Para cada primoP en≥1 natural existe um corpo finito de ordem pⁿ denotado por F_pⁿ, unicamente determinado como um subcorpo de um fecho algébrico Fâ_p, sendo o corpo de decomposi¸cão do polinômio X^pⁿ −X, os elementos de Fpⁿ são as ra´ızes de tal polinômio. Cada corpo finito é isomorfo a exatamente um corpo F_Pⁿ, usualmente denotamos pⁿ=q e da´ı F_q no lugar de F_pⁿ.

b

Propriedade 20. Seja F_q um corpo finito n ≥ 1 ∈ N, em um dado fecho algébricoFâ_q existe uma e apenas extensão de F_q de grau ne tal extensão é o corpo F_qⁿ.

(13)

F Teorema 2. O grupo multiplicativo de um corpo finito ´e c´ıclico . ê Demonstra ¸c ˜ao.

m

Defini ¸c ão 5 (Fun¸cão de Frobenius). A fun¸cão f : F_q → F_q com f(x) =x^p é um automorfismo que fixa F_p, chamada fun¸cão de Frobenius.

F Teorema 3. O grupo de automorfismos de Fq ´e c´ıclico de grau n e gerado por f, fun¸c˜ao de Frobenius .

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja G o grupo gerado por f, notamos que fⁿ = I, pois fⁿ(x) =x^pⁿ =x ∀x∈F_q.

Seja d p per´ıodo para f, d≥1, temos

f^d(x) =x^p^d =x∀ x∈F_q então x∈f_q é raiz da equa¸cão

x^p^d−x =0

que tem at´e p^d ra´ızes, logo d≥ n, usando d ≤ n ent˜ao d =n. Falta mostrar que G

é o grupo de todos automorfismos de F_q. Qualquer autormorfismo de F_q deve deixar Fp fixado então é um automorfismo de Fq sobre Fp. O n úmero de tais automorfismos

´e ≤[F_q :F_p] =n, F_q n˜ao pode ter outro automorfismo exceto aqueles de G.

b

Propriedade 21. Sejam m, n inteiros ≥1, em qualquer fecho algébrico de F_p, o subcorpo F_pⁿ está contido em F_p^m ⇔ n|m . Se esse é o caso seja q = pⁿ e m=nd, então F_p^m é normal e separável sobre F_q, e o grupo de automorfismos de Fp^m sobre Fq é c´ıclico de ordem d, gerado por fⁿ.