INTRODUÇÃO À ROBÓTICA MÓVELEdson PrestesDepartamento de Informática Teóricahttp://www.inf.ufrgs.br/~prestesprestes@inf.ufrgs.brAula 20

INTRODUÇÃO À ROBÓTICA MÓVEL

Edson Prestes

Departamento de Informática Teórica http://www.inf.ufrgs.br/~prestes

prestes@inf.ufrgs.br

Aula 20

Planejador BVP



É possível incorporar restrições ambientais durante o planejamento de caminhos ?



Restrições ambientais referem-se à preferência de movimentação por certas regiões do ambiente.



É melhor o robô seguir um caminho por uma região plana do que por uma região acidentada.



Regiões com restrições são diferentes de regiões com

obstáculos, pois elas podem ser cruzadas se necessário.

Planejador BVP



O planejador baseado na equação de Laplace gera sempre os caminhos mais seguros para alcançar a posição objetivo.

Figura extraída de [7]

Obstáculos

Objetivo

Planejador BVP



O planejador BVP distorce o campo potencial dando uma preferência de movimentação de acordo com os

parâmetros v e ²



Considere o caso unidimensional

Planejador BVP

Figura extraída de [7]

Planejador BVP

Figuras extraídas de [7]

Planejador BVP



No caso bidimensional, temos

com

e é o gradiente do potencial harmônico

Planejador BVP

(a)

(a) (c) (d)

(a) – ambiente de teste

(b) – curvas de nível do potencial harmônico

(c) – curvas de nível do potencial BVP com ²=0.2 (d) – curvas de nível do potencial BVP com ²=-0.2

Planejador BVP

(b) (a)

(a) – ambiente de teste. Regiões marcadas sofreram planificação (b) – curvas de nível do potencial harmônico

(c) – curvas de nível do potencial BVP. ²>0 apenas na região selecionada. Potencial sem planificação.

(c)

Planejador BVP

Planejador BVP



Regiões com alta preferência

²= 0.1 ²= 0.5

Planejador BVP



Regiões com baixa preferência

²= - 0.1 ²= -0.5

Planejador BVP



Regiões com diferentes graus de preferência

HP (²= 0.5) e VHP (²= 1.5) LP (²= -0.5) e V LP (²= -1.5)

Planejador BVP



Regiões com diferentes graus de preferência

Planejador BVP



Regiões com diferentes graus de preferência

Planejador BVP



Regiões com diferentes graus de preferência

HP (²= 1.5) e LP (²= -1.5) Figuras extraídas de [7]

Planejador BVP



Usar o campo vetorial do potencial harmônico como

campo de entrada na equação pode gerar situações

indesejadas.

∇ ² p(r) = !v · ∇ p(r)

∇

p(r) = ! |∇ p(r) | cos(θ(r))

Planejador BVP



Este efeito pode ser visto reescrevendo a equação



como



onde Θ é o angulo que o vetor v faz com o gradiente do

potential ∇p(r)

Planejador BVP



A partir da equação



assumimos , ou seja, que v= ∇p(r)/|∇p(r)|, obtendo [8]



Temos agora apenas um único parâmetro para o controle da preferência das regiões. Usando desigualdade

triangular temos,

∇

p(r) = ! |∇ p(r) | cos(θ(r))

∇

p(r) = !(r) !"" " " ∂ p(r)

∂ x

"

"

"

" +

"

"

"

" ∂ p(r)

∂ y

"

"

"

"

#

Planejador BVP

cos(θ(r)) = 1

∇

p(r) = !(r) |∇ p(r) |

Planejador BVP

In the algorithm, each cell c has a position (x, y) in the mesh; a potential p(c) and a parameter !(c) according to Equation 6. Cells c_n, c_s, c_w, c_e have position (x, y + 1), (x, y − 1), (x − 1, y), (x + 1, y), respectively. The value h(c) corresponds to the harmonic potential, ∇²p(c) = 0, and the term !(c)d(c)/4 corresponds to the distortion

!(c)!"""^∂p(c)_∂x

"

"

" + """^∂p(c)_∂y

"

"

"#

.

Algorithm 1 Basic Algorithm

1: for all cell c that does not contain the goal do

2: set its potential value to high potential ! p(c) ← 1

3: initialize "(c) ← 0

4: end for

5: for all cell c that contain the goal do

6: set its potential value to low potential ! p(c) ← 0

7: end for

8: while TRUE do

9: for all cell c that represents an environment free-space do

10: h(c) ← ¹₄(p(cn) + p(cs) + p(cw) + p(ce))

11: d(c) ← $""^p(cn)−₂^p(cs)""+ ""^p(cw)−₂ ^p(ce)""%

12: p(c) ← h(c) − ^!(c)₄ d(c)

13: end for

14: if potential converged then

15: for all cell c do

16: "(c) ← pref erence(c)

17: end for

18: end if

19: end while

The algorithm extension to handle dynamic environment or preferences collected in real-time by the robot is straight- forward. We need only to add lines to save the cells pref- erences from the data collected by robot sensors or to save the new features in the map and update the potential of the corresponding cells.

III. RESULTS

This section presents several results obtained in simulation to demonstrate the ideas discussed in the previous sections.

All experiments use the environment shown in Figure 3(a) represented by an array of 100 ×100 cells.

A. Experiment with Laplace Equation

Figure 5 shows an experiment using Laplace Equation.

Several paths(black lines) starting near the bottom wall are displayed. We can see that the robot tends to approach the environment center, since it diminishes the hitting probability with obstacles.

In what follows we discuss the role of the distortions in concavity/convexity and its relation with preferences in crossing a region. In order illustrate that, we produce in Figures 6 and 7 the two-dimensional equivalents of Figures 1 and 2. In these figures, a small square region is introduced at the center of the environment shown in Figure 3(a). In Figure 6 we investigate the effect in the paths when we distort the potential using ! > 0 while in Figure 7, ! < 0 is used.

Fig. 5. Experiment with Laplace Equation. Paths (black lines) produced by Laplace Equation from several robot starting positions.

B. Zone with High Preference (HP): ! > 0

Figures 6 (a) and (b) show the paths followed by the robot using Eq. 3 and Eq. 6, respectively. In both cases, there exists a HP region at the environment center with !(r) = 1.2 for all position r at this region. Observe that the concavity of the potential in this region is increased giving rise to an effective attractive force that pulls the trajectories towards this region.

The bigger the ! the more the paths approach the center of the region. Figures 6(c) and (d) illustrate the paths (black lines) over the level curves of the potential field computed in (a) and (b), respectively. Observe that the low potential zone is stretched diminishing the high potential zone, as compared to the harmonic potential (Figure 5). The distortion produced by Eq. 6 , show in (c), is stronger than the distortion generated by Eq. 3, show in (d). As a consequence, this region becomes still more attractive since the potential decays more quickly augmenting the influence of the goal.

C. Zones with Low Preference (LP): ! < 0

Figures 7(a) and (b) show the paths followed by the robot using Eq. 3 and Eq. 6, respectively, in an environment with a low preference region with !(r) = −1.2. We can observe that increasing the convexity in a region decreases its preference for path planning. Figures 7(c) and (d) illustrate the paths (black lines) over the level curves of the potential field computed in (a) and (b), respectively. The high potential zone is stretched diminishing the low potential zone, as compared to the harmonic potential (Figure 5). The paths tend to avoid the convex region. Again, we can see that Eq. 6 produces a distortion stronger than Eq.3 for the same ! value. Besides, in (a), we can see that some paths cross the low preference region. In (b), this does not happen and the robot changes its direction before getting too close to the low preference region.

D. Several zones of different preference levels

Figures 8(a) and (b) show an experiment in an environment with a barrier of alternating LP and very low preference (VLP) zones using Eq. 3 and Eq. 6, respectively. In both cases, !(r) = −0.6 at the LP region and !(r) = −1.2 at the VLP region. Observe the robot crosses LP regions to reach

Planejador BVP

Com campo harmônico Sem campo harmônico

Zona de Alta Preferência

Planejador BVP

Zona de Baixa Preferência

Com campo harmônico Sem campo harmônico

Planejador BVP

Diversas zonas de baixa preferência

Com campo harmônico Sem campo harmônico

Planejador BVP

Diversas zonas de baixa preferência

Com campo harmônico Sem campo harmônico

Planejador BVP

Diversas zonas de baixa preferência

Com campo harmônico Sem campo harmônico

Exploração direcionada

Durante a exploração, o robô considera a preferência de navegação das regiões do ambiente.

Estas preferências estão associadas às distorções locais produzidas no campo potencial.

O valor do parâmetro associado às distorções é obtido dinamicamente durante à exploração.

Esta estratégia [10] é a base para o desenvolvimento de métodos do tipo “integrated exploration”, pois favorece certas regiões do ambiente produzindo mapas de melhor qualidade.

Exploração direcionada

Equação base

∇

p(r) = !(r) !"" "

" ∂ p(r)

∂ x

"

"

"

" +

"

"

"

" ∂ p(r)

∂ y

"

"

"

"

#

ε(r) é a distorção local e está associada à preferência da região

Exploração direcionada

Exploração direcionada

Algoritmo

 Ativa e obtém as leituras dos sensores;

 Realiza a atualização local do mapa;

 Atualiza o atributo potencial das células da região visitada;

 Determina a preferência das regiões do ambiente e associa um valor de distorção às células da região.

 Calcula o vetor gradiente descendente da posição do robô;

 Desloca-se seguindo a direção definida por este gradiente;

 Repete o processo até que todo o ambiente esteja completamente explorado.

Exploração direcionada

Ambientes de Teste

Exploração direcionada

Com preferência Sem preferência

Exploração direcionada

Ambientes de Teste

Numeros de Passos Numeros de Visitas

Exploração direcionada

Com preferência Sem preferência

Exploração direcionada

Numeros de Passos Numeros de Visitas

Ambientes de Teste

Planejador BVP

Planejador BVP

Hierarchical BVP



Combination of BVP Path Planning and the Full Multigrid method (FMG) [9].



FMG solves PDE through a combination of solutions at

several resolution levels.

Hierarchical BVP

(1)

(2) Considering the error of approximation

Ae = − A p ˜

and using eq. (2), we obtain

where r is the residual and defined by The error is relaxed

and used to correct the potential

Assuming the operator , eq. 1 becomes

Hierarchical BVP

Hierarchical BVP

Hierarchical BVP

Operators:

Restriction (R) Prolongation (P)

Full weighting restriction Bilinear interpolation

Hierarchical BVP

Level
0

33
x
33

Hierarchical BVP

Level
0

33
x
33 Solves
the
coarsest
level

Hierarchical BVP

Level
0

33
x
33

The
robot
starts
the
 navigation
in
this
level

Hierarchical BVP

prolongs
the
potential

Level
0 Level
1

33
x
33 65
x
65

Hierarchical BVP

Level
0 Level
1

33
x
33 65
x
65

restricts
the
residual

Hierarchical BVP

Level
0 Level
1

33
x
33 65
x
65

restricts
the
residual

Compute
the
error
approximation

Hierarchical BVP

prolongs
the

error
and
updates
the
potential

Level
0 Level
1

33
x
33 65
x
65

restricts
the
residual

Hierarchical BVP

prolongs
the

error
and
updates
the
potential

Level
0 Level
1

33
x
33 65
x
65

restricts
the
residual

The
robot
can
navigate
 using
the
potential
field
at


this
level

Hierarchical BVP

prolongation prolongs
the
potential

Level
0 Level
1 Level
2

33
x
33 65
x
65 129
x
129

Hierarchical BVP

Level
0 Level
1 Level
2

33
x
33 65
x
65 129
x
129

restricts
the
residual

Hierarchical BVP

Level
0 Level
1 Level
2

33
x
33 65
x
65 129
x
129

restricts
the
residual restricts
the
residual

Hierarchical BVP

Level
0 Level
1 Level
2

33
x
33 65
x
65 129
x
129

restricts
the
residual restricts
the
residual Compute
the
error
approximation

Hierarchical BVP

Level
0 Level
1 Level
2

33
x
33 65
x
65 129
x
129

restricts
the
residual restricts
the
residual prolongs
and
update
the
error

Hierarchical BVP

Level
0 Level
1 Level
2

33
x
33 65
x
65 129
x
129

restricts
the
residual restricts
the
residual prolongs
and
update
the
error prolongs
and
update
the
error

Hierarchical BVP

Level
0 Level
1 Level
2

33
x
33 65
x
65 129
x
129

Update
de
potential.

The
robot
can
use
the
 highest
resolution
grid
to
navigate

Hierarchical BVP

prolongation prolongation

Level
0 Level
1 Level
2

33
x
33 65
x
65 129
x
129

restriction

restriction restriction

Hierarchical BVP

Hierarchical BVP

17x17

129
x129 Navigation
switching
the
grids

Hierarchical BVP

17x17

129
x129 Navigation
switching
the
grids

Hierarchical BVP

17x17

129
x129 Navigation
switching
the
grids

Hierarchical BVP

Resolution Time (seconds)Time (seconds)Time (seconds)Time (seconds) Resolution

HBVP PP BVP PP (SOR) BVP PP (GS) A*

9 x 9 2.29 x 10-5 2.04 x 10-3 2.01x10-3 6.58 x 10-5 17 x 17 2.37 x 10-4 2.10 x 10-3 3.61 x 10-3 2.10 x 10-4 33 x 33 1.24 x 10-3 5.52 x 10-3 3.11 x 10-2 5.57 x 10-4 65 x 65 1.51 x 10-2 3.53 x 10-2 4.88 x 10-1 1.70 x 10-3 129 x 129 2.64 x 10 -2 2.90 x 10-1 7.94 5.36 x10-3 257 x 257 2.39 x 10-1 2.56 130.32 1.95 x 10-2

BIBLIOGRAFIA

 [7] Prestes, E., Idiart, M. Sculpting Potential Fields in the BVP Path Planner. IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics, 2009.

 [8] Prestes, E. Idiart, M. Computing Navigational Routes in Inhomogeneous Environments using BVP Path Planner. IEEE/RSJ International Conference on Robotics and Systems, 2010.

 [9] Silveira, R. , Prestes, E. Nedel, L. Fast Path Planning using Multi-Resolution Boundary Value Problems. IEEE/RSJ International Conference on Robotics and Systems, 2010.

 [10] Prestes, E. Engel, P. Exploration driven by Local Potential Distortions.

Submetido ao IEEE/RSJ International Conference on Robotics and Systems, 2011.

 [11] Stachniss, C., Grisetti, G., Burgard, W. Information Gain-based Exploration using Rao-Blackwellized Particle Filters. Proc. of Robotics: Science and Systems (RSS), 2005.