MAT5797 - Tópicos de álgebra 1o.sem/2011 LISTA 3
1. SejaKum corpo e sejaLum corpo que é uma extensão deK. Mostre que seV é umK-espaço vetorial com base{xλ:λ ∈Λ}, entãoL⊗KV é umL-espaço vetorial com base{1⊗xλ :λ ∈Λ}.
2. SejaRum anel, sejamM,M0R-módulos à direita e sejamN,N0R-módulos à esquerda. Sejam f:M→ M0eg:N→N0homomorfismos de módulos. Mostre que existe um único homomorfismo de grupos
f⊗g:M⊗RN→M0⊗RN0tal que(f⊗g)(x⊗y) = f(x)⊗g(y), para todosx∈Mey∈N.
3. SejamMR,MR0,RN,RN0 e sejam f1,f2,f ∈HomR(M,M0) eg1,g2,g∈HomR(N,N0). Demonstre as identidades abaixo:
(a) (f1+f2)⊗g= (f1⊗g) + (f2⊗g), (b) f⊗(g1+g2) = (f⊗g1) + (f⊗g2), (c) f⊗0=0⊗g=0,
(d) 1M⊗1N=1M⊗RN.
4. SejamMR,MR0,MR00,RN,RN0,RN00e sejam f∈HomR(M,M0), f0∈HomR(M0,M00),g∈HomR(N,N0), g0∈HomR(N0,N00). Mostre que(f0⊗g0)(f⊗g) = (f0f)⊗(g0g).
5. (a) SejamReSálgebras sobre um anel comutativoK. Mostre que
(i) R⊗KSé umaK-álgebra com produto satisfazendo(r⊗s)(r0⊗s0) =rr0⊗ss0,para todos r,r0∈Res,s0∈S;
(ii) as funçõesγR:r 7→r⊗1 e γS: s7→1⊗s são homomorfismos de K-álgebras de Re S, respectivamente, emR⊗KSsatisfazendoγR(r)γS(s) =γS(s)γR(r), para todosr∈Res∈S.
(b) SejamR,SeT álgebras sobre um anel comutativoK. Sejam f:R→T eg:S→T homomorfis- mos deK-álgebras tais que f(r)g(s) =g(s)f(r), para todosr∈Res∈S. Mostre que existe um único homomorfismo deK-álgebrash:R⊗KS→T tal quehγR= f ehγS=g. (Note que essas duas condições sobrehsão equivalentes ah(r⊗s) = f(r)g(s), para todosr∈Res∈S.) 6. SejamReSálgebras sobre um anel comutativoK. Mostre que seMé um(R,S)-bimódulo, entãoM
tem uma estrutura deR⊗KSop-módulo à esquerda e uma estrutura deRop⊗KS-módulo à direita tais que(r⊗s)·m=rms e m·(r⊗s) =rms, para todosr∈R,s∈S,m∈M.
7. SejaKum corpo e sejamm,ninteiros não negativos. Mostre que asK-álgebrasMm(K)⊗KMn(K)e Mmn(K)são isomorfas.
8. Seja R um anel e seja P um R-módulo à esquerda projetivo e finitamente gerado. Mostre que o R-módulo à direitaP∗=HomR(P,R)é projetivo e finitamente gerado.
9. Mostre que não existe nenhum funtorF:Grp→Abtal queFG=Z(G), onde Z(G)denota o centro do grupoG. (Sugestão:Considere homomorfismos convenientesS2→S3eS3→S2.)
10. Mostre que os funtores HomR(R,−)e o funtor esquecimento demod-Remmod-Zsão naturalmente isomorfos.
11. SejaCuma categoria e sejaF:C→Cum funtor. Mostre que seFé naturalmente isomorfo ao funtor identidade 1C, entãoFé fiel e pleno.
12. SejamReSanéis, sejaF:mod-R→mod-Sum funtor covariante aditivo e sejaG:mod-R→mod-S um funtor contravariante aditivo. Mostre que se 0→L−→f M−→g N→0 é uma sequência exata que
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cinde emmod-R, então 0→FL−−→F(f) FM−−→F(g) FN→0 e 0→GN−−→G(g) GM −−→G(f) GL→0 são sequências exatas que cindem emmod-S.
13. SejaRum anel. Mostre que existem isomorfismo naturais entre os funtores abaixo:
(a) 1R-mode HomR(R,−)deR-modemR-mod.
(b) 1R-mode(R⊗R−)deR-modemR-mod.
14. Seja Rum anel, seja M um R-módulo à direita e seja {Nλ :λ ∈Λ} uma família de R-módulos à direita. Mostre que existem isomorfismos deZ-módulos
HomR
M,
∏
λ∈Λ
Nλ
∼=
∏
λ∈Λ
HomR(M,Nλ) e HomR
M
λ∈Λ
Nλ,M
∼=
∏
λ∈Λ
HomR(Nλ,M).
15. SejaRum anel, sejaMumR-módulo à direita finitamente gerado e seja{Nλ :λ ∈Λ}uma família deR-módulos à direita. Mostre que HomR(M,Lλ∈ΛNλ)∼=Lλ∈ΛHomR(M,Nλ), comoZ-módulos.
16. SejaRum anel e seja 0→L→M→N→0 uma sequência exata emmod-R. Mostre que seLeN forem planos, entãoMé plano.
17. Sejam Re S anéis e seja F: mod-R→mod-S um funtor covariante e aditivo. Dizemos que F é exatose para toda sequência exata curta 0→L−→f M−→g N→0 de mod-R, a sequência demod-S obtida aplicandoF, qual seja, 0→FL−−→F(f) FM−−→F(g) FN→0, for exata. Mostre queF é exato se, e somente se, para toda sequência exataL−→f M−→g Ndemod-R, a sequênciaFL−−→F(f) FM−−→F(g) FNfor exata emmod-S. Conclua que seF é exato entãoF manda sequências exatas arbitrárias demod-R em sequências exatas demod-S.
18. Mostre que um anelRé semi-simples se, e somente se, para todo anelS, qualquer funtor covariante e aditivoF:mod-R→mod-Sfor exato.
19. SejaRum anel e sejaS⊆Z(R)um subconjunto multiplicativamente fechado. SejaMumR-módulo à direita finitamente gerado. Mostre queS−1M=0 se, e somente se, existirs∈Stal queMs=0.
20. SejaRum anel e sejaS⊆Z(R)um subconjunto multiplicativamente fechado. Sejaλ: R→S−1Ro homomorfismo natural definido porλ(a) =a/1, para todoa∈R. Seja ¯R=R/kerλ, sejaπ:R→R¯ o homomorfismo canônico e seja ¯S=π(S). Mostre que ¯S⊆Z(R), que ¯¯ Sé um subconjunto multipli- cativamente fechado de ¯Re que os anéisS−1Re ¯S−1R¯são isomorfos.
21. SejaRum anel e sejamS,T⊆Z(R)dois subconjuntos multiplicativamente fechados tais queS⊆T. Mostre que existe um homomorfismo de anéisφ:S−1R−→T−1Rque satisfaz, para todoa/s∈S−1R, φ(a/s) =a/s, visto como um elemento de T−1R. Além disso, mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
(i) φé um isomorfismo.
(ii) Para cadat∈T,t/1 é inversível emS−1R.
(iii) Para cadat∈T, existea∈Rtal queat∈S.
22. SejaR um anel e sejaQ umR-módulo à direita injetivo. Mostre que todo somando direto deQ é injetivo.
23. Mostre que um anelRé semi-simples se, e somente se, todo ideal à direita deRfor umR-módulo injetivo.
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