Bases Numéricas

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

1

Professoras:

Ariane Machado Lima Fátima L. S. Nunes

Bases Numéricas

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

2

Notação hindu-arábica

 Surgiu na Índia terceiro século a.C.

 Levada para Bagdá, no oitavo século d.C.

 Zero surgiu no século nove d.C.

 Notação arábica deve-se à divulgação pelo matemático árabe Al-Khwarizmi – daí o

nome algarismo dados aos símbolos usados

para representar números.

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3

Notação indu-arábica

 Notação posicional  permite representar

números grandes e realizar operações sobre os

números.

 Base 10 = posição do algarismo determina as potências de 10 que irão multiplicar o número

denotado pelo algarismo.

496

4 x10² + 9 x 10¹ + 6 x 10⁰

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4

Bases

 Decimal → Símbolos: 0123456789

 Binária → Símbolos: 01

 Octal → Símbolos: 01234567

 Hexadecimal → Símbolos: 0123456789ABCDEF

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

5

Bases

 496

= 4 x10

+ 9 x 10

+ 6 x 10

= 496

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

6

Bases

 496

= 4 x10

+ 9 x 10

+ 6 x 10

= 496



1001

= ???

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

7

Bases

 496

= 4 x10

+ 9 x 10

+ 6 x 10

= 496

 1001

= 1 x 2

+ 0 x 2

+ 0 x 2

+ 1 x 2

= 9



760

= ???

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

8

Bases

 496

= 4 x10

+ 9 x 10

+ 6 x 10

= 496

 1001

= 1 x 2

+ 0 x 2

+ 0 x 2

+ 1 x 2

= 9

 760

= 7 x 8

+ 6 x 8

+ 0 x 8

= 496



1F0

= ???

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

9

Bases

 496

= 4 x10

+ 9 x 10

+ 6 x 10

= 496

 1001

= 1 x 2

+ 0 x 2

+ 0 x 2

+ 1 x 2

= 9

 760

= 7 x 8

+ 6 x 8

+ 0 x 8

= 496

 1F0

= 1 x 16

+ 15 x 16

+ 0 x 16

= 496



111110000

= ???

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

10

Bases

 496

= 4 x10

+ 9 x 10

+ 6 x 10

= 496

 1001

= 1 x 2

+ 0 x 2

+ 0 x 2

+ 1 x 2

= 9

 760

= 7 x 8

+ 6 x 8

+ 0 x 8

= 496

 1F0

= 1 x 16

+ 15 x 16

+ 0 x 16

= 496



111110000

= 496

10

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

11

Octal x Binário

0

↔ 000

1

↔ 001

2

↔ 010

3

↔ 011

4

↔ 100

5

↔ 101

6

↔ 110

7

↔ 111

Exemplo:

235

↔ 010011101

235

= Quanto é na Base 10???

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

12

Octal x Binário

0

↔ 000

1

↔ 001

2

↔ 010

3

↔ 011

4

↔ 100

5

↔ 101

6

↔ 110

7

↔ 111

Exemplo:

235

↔ 10011101

235

= 2 x 8

+ 3 x 8

+ 5 x 8

= 2 x 64 + 3 x 8 + 5 x 1 = 128 + 24 + 5 = 157

157

10

10

= 10011101

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

13

Hexadecimal x Binário

0

↔ 0000

1

↔ 0001

2

↔ 0010

3

↔ 0011

4

↔ 0100

5

↔ 0101

6

↔ 0110

7

↔ 0111

Exemplo:

9D

↔ 10011101

9D

= quanto é na base 10?

8

↔ 1000

9

↔ 1001

A

↔ 1010

B

↔ 1011

C

↔ 1100

D

↔ 1101

E

↔ 1110

F

↔ 1111

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

14

Hexadecimal x Binário

0

↔ 0000

1

↔ 0001

2

↔ 0010

3

↔ 0011

4

↔ 0100

5

↔ 0101

6

↔ 0110

7

↔ 0111

Exemplo:

9D

↔ 10011101

9D

= 9 x 16

+ 13 x 16

= 9 x 16 + 13 x 1 = 144 + 13

= 157

10

157

10

= 10011101

8

↔ 1000

9

↔ 1001

A

↔ 1010

B

↔ 1011

C

↔ 1100

D

↔ 1101

E

↔ 1110

F

↔ 1111

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

15

Exercícios (1)

 Determine a representação, no sistema de numeração binário, octal e hexadecimal, de cada um dos

seguintes números, escritos na base decimal:

(a) 19 (b) 458 (c) 67 (d) 321

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

16

Exercícios (2)

 Determine a representação, no sistema de numeração octal, decimal e hexadecimal, de cada um dos

seguintes números, escritos na base binária:

(a) 1110₂ (b) 110110₂ (c) 10101010₂ (d) 11110000₂

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

17

Exemplo “Vai um”

Adição de binários

0110010

1011000

10001010

+

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

18

Exemplo “Vai um”

Subtração de binários

1011000

0110010

0100110

-

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

19

Exercícios (3)

 Realize as operações abaixo, sobre números

representados no sistema de numeração binário:

(a) 1011₂ + 101₂ (b) 10100₂ - 1101₂

(c) 00000001₂ + 01111111₂ (d) 10000000₂ - 00000001₂

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

20

Números negativos em binário

Sinal-Magnitude

 sinal-magnitude (um bit indica o sinal)

Convenção: 1 negativo, 0 positivo

 1101

= 1 x 2

+ 0 x 2

+ 1 x 2

= -5

 0101

= 1 x 2

+ 0 x 2

+ 1 x 2

= 5

 Qual é o problema ???

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

21

Números negativos em binário

Sinal-Magnitude

 sinal-magnitude (um bit indica o sinal)

Convenção: 1 negativo, 0 positivo

 1101

= 1 x 2

+ 0 x 2

+ 1 x 2

= -5

 0101

= 1 x 2

+ 0 x 2

+ 1 x 2

= 5

Problema: Duas representações para o valor “ZERO”

 1000

= 0 x 2

+ 0 x 2

+ 0 x 2

= 0

 0000

= 0 x 2

+ 0 x 2

+ 0 x 2

= 0

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

22

Números negativos em binário

Complemento de dois

 Seja p um número , 0 < p <= 2

(n bits)

 Complemento de 2 de p (com n bits) é 2

– p C

(5) = 2

– 5 = 11

 Número inteiro positivo

representados na base binária, da maneira usual

 Número inteiro negativo

representados pelo complemento de 2 do valor absoluto do número

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

23

 Número 5 (Maneira usual) 5

= 0101

 Número -5 => Valor absoluto 5 C

(5) = 2

– 5 = 11

-5

= 1011

Números negativos em binário

Complemento de dois

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

24

Complemento de dois (4 bits)

0₁₀ → 0000₂ 1₁₀ → 0001₂ 2₁₀ → 0010₂ 3₁₀ → 0011₂ 4₁₀ → 0100₂ 5₁₀ → 0101₂ 6₁₀ → 0110₂ 7₁₀ → 0111₂

-8

→ 1000

-7

→ 1001

-6

→ 1010

-5

→ 1011

-4

→ 1100

-3

→ 1101

-2

→ 1110

-1

→ 1111

C

(-8) → 8

C

(-7) → 9

C

(-6) → 10

C

(-5) → 11

C

(-4) → 12

C

(-3) → 13

C

(-2) → 14

C

(-1) → 15

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25

Complemento de dois

 O bit mais à esquerda da representação de um número inteiro na notação de complemento de 2 é igual a 1, se o número for negativo, e igual a 0, caso contrário.

Esse bit pode ser, portanto, interpretado como o sinal do número.

Podem ser representados com n bits (-2^n-1 .. 2^n-1 – 1)

n = 8 → -128 .. 127 (em Java: tipo byte)

n = 16 → -32768 .. 32767 (Java: tipo small)

n = 32 → -2147483648 .. 2147483647 (Java: tipo int)

n = 64 → -2⁶³ .. 2⁶³ – 1 (Java: tipo long)

• -2⁶³ ↔ -9223372036854775808 (19 casas decimais)

• 2⁶³ – 1 ↔ 9223372036854775807

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26

Complemento de dois (adição)

 Usando essa representação, a adição de dois números inteiros n e m pode ser feita da maneira usual, sendo descartado o bit “vai um” obtido mais à esquerda.

0001₂ ( 1₁₀) 1110₂ (-2₁₀) + +

1100₂ (-4₁₀) 1101₂ (-3₁₀) --- ---

1101₂ (-3₁₀) 1011₂ (-5₁₀)

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27

Complemento de dois (subtração)

 Usando essa representação, a subtração de dois números inteiros n e m pode ser feita da maneira

usual, sendo descartado o bit “vai um” obtido mais à esquerda.

0001₂ ( 1₁₀) 1110₂ (-2₁₀) - -

1100₂ (-4₁₀) 1101₂ (-3₁₀) --- ---

0101₂ ( 5₁₀) 0001₂ ( 1₁₀)

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28

Complemento de dois (overflow/underflow)

 A adição/subtração de números binários (representados em n bits) pode ter como resultado um número que não pode ser

representado com apenas n bits.

 “Overflow/Underflow” - Resultado inconsistente

 “8” e “-9” não podem ser representados com apenas 4 bits

0011₂ ( 3₁₀) 1001₂ (-7₁₀) + -

0101₂ ( 5₁₀) 0010₂ (2₁₀) --- ---

1000

2

( -1

10

) 0111

2

( 7

10

)

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29

Complemento de dois

Podem ser representados com n bits (-2^n-1 .. 2^n-1 – 1)

n = 8 → -128 .. 127 (em Java: tipo byte)

n = 16 → -32768 .. 32767 (Java: tipo small)

n = 32 → -2147483648 .. 2147483647 (Java: tipo int)

n = 64 → -2⁶³ .. 2⁶³ – 1 (Java: tipo long)

• -2⁶³ ↔ -9223372036854775808 (19 casas decimais)

• 2⁶³ – 1 ↔ 9223372036854775807

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30

Exercícios (4)

 Determine a representação na notação de

complemento de 2, com 8 bits, de cada um dos seguintes números:

(a) 23 (b) 108 (c) -25 (d) -123

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31

Exercícios (5)

 Indique como seria feito o cálculo das seguintes

operações, em um computador que utiliza notação de complemento de 2 para representação de números (de tamanho 8 bits):

(a) 57 + (-118) (b) (-15) + (-46) (c) 37 - 23

(d) -23 - (-34)

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Professoras:

 Fátima L. S. Nunes

 Ariane Machado Lima

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