Defini¸c˜ao 0.207. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h , i. Para cada v ∈ V , chamamos o n´umerophv, vi ∈ R de norma de v e o denotamos por ||v||. Exemplo 0.208. Consideremos R

Defini¸c˜ao 0.207. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h, i. Para cadav ∈V, chamamos o n´umerop

hv, vi ∈Rdenorma dev e o denotamos por ||v||.

Exemplo 0.208. Consideremos Rⁿ com o produto interno (canˆonico) h(x1, x₂, . . . , x_n),(y1, y₂, . . . , y_n)i=x₁.y₁+x₂.y₂+· · ·+x_n.y_n. Ent˜ao

||(x1, x₂, . . . , x_n)||=p

x²₁+x²₂+· · ·+x²_n. Com efeito, ||(x1, x₂, . . . , x_n)|| = p

h(x1, x₂, . . . , x_n),(x1, x₂, . . . , x_n)i = px²₁+x²₂+· · ·+x²_n.

Exemplo 0.209. Consideremos C([a, b],R) com o produto interno hf, gi=Rb

a f(x).g(x)dx∈R. Ent˜ao

||f||=qRb

af(x)²dx.

De fato, ||f||=p

hf, fi=qRb

af(x)²dx.

Proposi¸c˜ao 0.210. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i. Ent˜ao:

1. ||v||>0, para todo v ∈V

2. ||v||= 0 se, e somente se, v =^→0

3. ||α.v||=|α|.||v||, para todo α∈R, v ∈V

Com efeito, por um lado, se v =^→0 , ent˜ao hv, vi =h^→0,^→0i = 0, donde ||v|| = phv, vi = √

0 = 0. Por outro lado, se v 6=^→0 , ent˜ao, por (P3), hv, vi > 0 e portanto ||v|| = p

hv, vi > 0. Logo, em qualquer caso, ||v|| > 0. Agora, notemos que, com esta argumenta¸c˜ao, tamb´em j´a mostramos que v =^→0 se, e somente se, ||v|| = 0. Mostremos, finalmente, (3). De fato, ||α.v|| = phα.v, α.vi = p

α.α.hv, vi = √ α².p

hv, vi = |α|.||v||, para todo α ∈ R, v ∈V.

Proposi¸c˜ao 0.211. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i. Sejam u, v ∈V. Ent˜ao:

1. hu, vi= ¹₄||u+v||²− ¹₄||u−v||²

2. |hu, vi|6||u||.||v||, e a igualdade vale se, e somente se, {u, v} ´e LD 3. ||u+v||6||u||+||v||

Com efeito, mostremos (1). Temos que

||u+v||² =hu+v, u+vi ^(P=¹⁾ hu, u+vi+hv, u+vi

= hu, ui+hu, vi+hv, ui+hv, vi

(P2)

= hu, ui+hu, vi+hu, vi+hv, vi

= ||u||²+ 2hu, vi+||v||²,

||u−v||² =hu−v, u−vi ^(P1)= hu, u−vi − hv, u−vi

= hu, ui − hu, vi − hv, ui+hv, vi

(P2)= ||u||² −2hu, vi+||v||². Logo, ||u+v||²− ||u−v||² = 4hu, vi, donde o resultado segue.

Mostremos agora (2). Se α, β ∈R, ent˜ao

06hαu−βv, αu−βvi ^(P=¹⁾ αhu, αu−βvi −βhv, αu−βvi

= α²hu, ui −αβhu, vi −βαhv, ui+β²hv, vi

(P2)

= α²||u||²−2αβhu, vi+β²||v||².

Tomando α:=||v||² e β :=hu, vi, obtemos que

06(||v||²)².||u||²−2||v||².hu, vi.hu, vi+hu, vi².||v||², isto ´e, 0 6 ||v||². ||u||².||v||² − hu, vi²

, donde, como ||v|| > 0, segue que

||u||².||v||²− hu, vi² >0. Da´ı, |hu, vi|=p

hu, vi² 6p

||u||².||v||² =||u||.||v||. Agora, por um lado, se {u, v} ´e LD, ent˜ao v =λu, para algum λ ∈R. Da´ı,

|hu, vi|=|hu, λui|=|λhu, ui|=|λ|.hu, ui=|λ|.||u||² =||u||.||v||, pois ||v||=

|λ|.||u||. Por outro lado, se|hu, vi|=||u||.||v||, ent˜ao 0 =hαu−βv, αu−βvi, onde α := ||v||² e β := hu, vi. Logo, αu+βv =^→0 . Se v =^→0 , acabou, pois {u,^→0}´e LD. Se v 6=^→0 , ent˜ao α =||v||² 6= 0 e portanto u = ^β_αv, ou seja, u´e um m´ultiplo de v e da´ı{u, v}´e LD.

Finalmente, mostremos (3). De fato, por (2), temos que ||u+v||² =||u||²+ 2hu, vi +||v||² 6 ||u||² + 2|hu, vi| + ||v||² 6 ||u||² + 2||u||.||v|| +||v||² =

||u||+||v||2

. Logo, ||u+v||6||u||+||v||.

Observa¸c˜ao 0.212. A igualdade do item (1) acima ´e a chamada de iden- tidade de polariza¸c˜ao (para R). A desigualdade do item(2) acima ´e cha- mada de desigualdade de Schwarz. E a desigualdade do item (3) acima

´e chamada de desigualdade triangular.

Observa¸c˜ao 0.213. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i. Definindo d :V ×V → R por d(u, v) = ||u−v||, para todo u, v ∈V, temos que d ´e uma m´etricaem V, pois:

1. d(u, v)>0, se u, v ∈V

2. d(u, v) = 0 se, e somente se, u=v 3. d(u, v) =d(v, u), se u, v ∈V

4. d(u, v)6d(u, w) +d(w, v), se u, v, w ∈V

Exemplo 0.214. Consideremos R³ com o produto interno

h(x₁, x₂, x₃),(y₁, y₂, y₃)i∗ = 17x₁.y₁+ 13x₂.y₂+ 11x₃.y₃

(verifique que de fato h, i∗ ´e um produto interno). Ent˜ao ||(x₁, x₂, x₃)||∗ = p17x²₁+ 13x²₂+ 11x²₃ e portanto ||(1,0,0)||∗ = √

17, ||(0,1,0)||∗ = √ 13 e

||(0,0,1)||∗=√

11. Da´ı, ||(^√1₁₇,0,0)||∗=1, ||(0,√¹

13,0)||∗=1 e ||(0,0,√¹

11)||∗=1.

Consideremos agora R³ com o produto interno canˆonico. Ent˜ao||(1,0,0)||= 1, ||(0,1,0)||= 1 e ||(0,0,1)||= 1.

Exemplo 0.215. SejaV um espa¸co vetorial com produto internoh, i. Sejam u, v ∈V tais que:

a) ||u|| = 3, ||v|| = 4 e ||u+v|| = 7. Calculemos hu, vi e ||u−v||. Como 7² =||u+v||² =hu+v, u+vi=hu, ui+hu, vi+hv, ui+hv, vi= 3²+2hu, vi+4², ent˜ao hu, vi= 12. Da´ı, como ||u−v||² =hu−v, u−vi=hu, ui+hu,−vi+ h−v, ui+h−v,−vi= 3²−2.12 + 4² = 1, ent˜ao ||u−v||= 1.

b) ||u||= 3, ||v||= 4 e ||u−v||= 5. Calculemos hu, vi e ||u+v||. Desde que 5² =||u−v||² = 3²−2hu, vi+ 4², ent˜ao hu, vi= 0. Da´ı, como ||u+v||² = 3²+ 2.0 + 4² = 25, ent˜ao ||u+v||= 5.

c)||u||= 0e||v||= 1. Calculemoshu, vie||u−v||e||u+v||. J´a que||u||= 0, ent˜ao u=^→0, donde hu, vi=h^→0, vi= 0, ||u−v||=|| −v||=| −1|||v||= 1 e

||u+v||=||v||= 1.

d) ||u −v|| = 2 e ||u+v|| = 4. Calculemos hu, vi. Temos que hu, vi =

1

4||u+v||²+¹₄||u−v||² = ¹₄4²− ¹₄2² = 3.

Observa¸c˜ao 0.216. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i. Se, para todo v ∈ V, hu, vi = 0, ent˜ao u =^→0. Com efeito, tomando em particular v =u, obtemos que hu, ui= 0 e portanto u=^→0.

Ortogonalidade

Defini¸c˜ao 0.217. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i. 1. Sejam u, v ∈V. Dizemos que u e v s˜ao ortogonais se hu, vi= 0.

2. Um subconjunto S de V ´e chamado de ortogonal se hu, vi= 0, para todo u6=v, u, v∈ S

3. Um subconjunto S de V ´e chamado de ortonormal se for ortogonal e

||u||= 1, para todo u∈ S

Observa¸c˜ao 0.218. Notemos que, se V ´e um espa¸co vetorial com produto interno h, i, ent˜ao o vetor nulo de V ´e ortogonal a todos os vetores de V, pois h^→0, vi = 0, para todo v ∈V. Al´em disto, mostramos que se hu, vi = 0, para todo v ∈V, ent˜ao u=^→0, donde ^→0 ´e o ´unico vetor de V que ´e ortogonal a todos os vetores de V.

Exemplo 0.219. A base canˆonica de Rⁿ (este com o produto interno canˆo- nico) ´e ortonormal.

A base canˆonica de Mm×n(R) (este com o produto interno canˆonico) ´e or- tonormal. De fato, para m = n = 2, lembremos que h(^aa¹¹₂₁ ^aa¹²₂₂), ^b_b^11b12

21b₂₂

i = a₁₁.b₁₁+a₁₂.b₁₂+a₂₁.b₂₁+a₂₂.b₂₂ e B^C ={(^{1 0}_{0 0}),(^{0 1}_{0 0}),(^{0 0}_{1 0}),(^{0 0}_{0 1})}. Como h(^{1 0}_{0 0}),(^{1 0}_{0 0})i= 1.1 + 0.0 + 0.0 + 0.0 = 1, ent˜ao ||(^{1 0}_{0 0})||= √

1 = 1. Analo- gamente, ||(^{0 1}_{0 0})||= 1, ||(^{0 0}_{1 0})||= 1 e ||(^{0 0}_{0 1})||= 1. Logo, os quatro vetores de B^C s˜ao unit´arios. Agora, desde que, h(^{1 0}_{0 0}),(^{0 1}_{0 0})i = 1.0 + 0.1 + 0.0 + 0.0 = 0, ent˜ao (^{1 0}_{0 0}) e (^{0 1}_{0 0}) s˜ao ortogonais. Analogamente, obtemos que h(^{1 0}_{0 0}),(^{0 0}_{1 0})i = 0,h(^{1 0}_{0 0}),(^{0 0}_{0 1})i = 0,h(^{0 1}_{0 0}),(^{0 0}_{1 0})i = 0,h(^{0 1}_{0 0}),(^{0 0}_{0 1})i = 0 e h(^{0 0}_{1 0}),(^{0 0}_{0 1})i= 0, donde B^C ´e ortonormal.

Proposi¸c˜ao 0.220. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i. SejaS um subconjunto ortogonal deV formado por vetores n˜ao nulos. Ent˜ao:

1. Se v ∈[v₁, v₂, . . . , v_n], com v₁, v₂, . . . , v_n ∈ S, segue que v = ^h_||^v,v_v ¹ⁱ

1||²v₁ +

hv,v₂i

||v₂||²v₂ + · · · + ^h_||^v,v_v ⁿⁱ

n||²v_n 2. S ´e LI

De fato, se v ∈[v₁, v₂, . . . , v_n], ent˜ao existem escalaresα₁, α₂, . . . , α_ntais que v =α₁v₁+α₂v₂+· · ·+α_nv_n. Mashv_i, v_ji= 0, sei6=j, poisv₁, v₂, . . . , v_n ∈ S eS ´e ortogonal. Da´ı,hv, v₁i=hα₁v₁+α₂v₂+· · ·+αnvn, v₁i^(P1)= α₁hv₁, v₁i+ α₂hv₂, v₁i+· · ·+α_nhv_n, v₁i = α₁hv₁, v₁i. Como v₁ 6=^→0 , ent˜ao hv₁, v₁i 6= 0, donde α₁ = _h^h_v^v,v1i

1,v₁i = ^h_||^v,v_v ¹ⁱ

1||². Da mesma forma, α₂ = ^h_||^v,v_v ²ⁱ

2||², . . . , α_n = ^h_||^v,v_v ⁿⁱ

n||². Logo, v = α₁v₁ +α₂v₂ + · · ·+α_nv_n = ^h_||^v,v_v ¹ⁱ

1||²v₁ + ^h_||^v,v_v ²ⁱ

2||²v₂ +· · · + ^h_||^v,v_v ⁿⁱ

n||²v_n. Mostremos (2). Seja c:=β₁u₁ +β₂u₂ +· · ·+β_mu_m uma combina¸c˜ao linear qualquer de vetores de S (com u₁, u₂, . . . , u_m ∈ S e β₁, β₂, . . . , β_m ∈ R).

Suponhamos que c ´e o vetor nulo. Da´ı, ^→0 = β₁u₁ +β₂u₂ + · · ·+ β_mu_m. Pela prova de (1), como ^→0∈ [u1, u₂, . . . , u_m], obtemos que β₁ = ^h

→0,u₁i

||u₁||², β₂ =

h^→0,u₂i

||u₂||², . . . , β_m = ^h

→0,umi

||um||², donde β₁ =β₂ =· · ·=β_m = 0 e portanto S ´e LI.

Corol´ario 0.221. SejaV um espa¸co vetorial com produto internoh, i. Seja B := {v₁, v₂, . . . , v_n} uma base ortonormal de V. Ent˜ao, para cada v ∈ V, v =hv, v₁iv₁+hv, v₂iv₂+· · ·+hv, v_niv_n.

Com efeito, desde queB ´e uma base deV, ent˜ao [v₁, v₂, . . . , v_n] = V. Agora, comoB´e, em particular, um subconjunto ortogonal deV formado por vetores n˜ao nulos, ent˜ao, pelo resultado anterior,v = ^h_||^v,v_v ¹ⁱ

1||²v₁+^h_||^v,v_v ²ⁱ

2||²v₂+· · ·+^h_||^v,v_v ⁿⁱ

n||²v_n, para todo v ∈ [v1, v₂, . . . , v_n] = V. Finalmente, desde que ||v₁|| = ||v₂|| =

· · ·=||v_n||= 1, poisB ´e ortonormal, ent˜ao o resultado segue.

O pr´oximo resultado nos fornece um modo de obtermos um conjunto orto- gonal a partir de um conjunto LI.

Teorema 0.222. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i. Se S:={v₁, v₂, . . ., v_n}´e um subconjunto LI deV, ent˜ao existeSe:={w₁, w₂, . . ., w_n} um subconjunto ortogonal de V tal que [Se] = [S].

Fa¸camos por indu¸c˜ao em n.

Se n = 2, tomemos w₁ := v₁ e w₂ := v₂ − ^h_||^vw^2,w₁||¹²ⁱw₁. Notemos que w₂ 6=^→0 , pois v₂ n˜ao ´e um m´ultiplo dew₁ =v₁, j´a que {v₁, v₂}´e LI. Comohw₁, w₂i=

hv₁, v₂i − ^h_||^v_v²₁^,v_||¹2ⁱhv₁, v₁i = hv₁, v₂i − hv₂, v₁i = 0, ent˜ao {w₁, w₂} ´e ortogo- nal. Ainda, como w₁, w₂ ∈ [v₁, v₂], ent˜ao [w₁, w₂] ⊂ [v₁, v₂]. Da´ı, desde que dim_R[w1, w₂] = 2 = dim_R[v1, v₂] (pois {w₁, w₂}´e base para [w1, w₂] e {v₁, v₂}

´e base para [v1, v₂]), segue que [w1, w₂] = [v1, v₂].

Suponhamos por hip´otese de indu¸c˜ao (HI) que o resultado vale para n−1.

Seja S :={v₁, v₂, . . . , v_n} um subconjunto LI de V. Como {v₁, v₂, . . . , v_n−1}

´e LI, ent˜ao, por (HI), existe {w₁, w₂, . . . , w_n−1} um subconjunto ortogonal de V tal que [v₁, v₂, . . . , v_n−1] = [w₁, w₂, . . . , w_n−1] (*). Tomemos w_n :=

v_n−Pn−1 i=1 hvn,wii

||wi||² w_i. Seja Se:={w₁, w₂, . . ., w_n}. Notemos quew_n6=^→0 , pois v_n n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de v₁, . . . , v_n−1, j´a que S ´e LI, e portanto tamb´em n˜ao ´e combina¸c˜ao linear de w₁, . . . , w_n−1, por (*). Agora, para todo j = 1,2, . . . , n−1,

hwn, wji = hvn−Pn−1 i=1 hvn,wii

||wi||² wi, wji

= hv_n, w_ji −Pn−1 i=1 hvn,wii

||wi||² hw_i, w_ji

= hv_n, w_ji − ^h_||^vw^n,wj||^j2ihw_j, w_ji

= 0,

poishw_i, w_ji= 0, se i6=j, uma vez que {w₁, w₂, . . . , w_n−1}´e ortogonal. Da´ı, Se´e ortogonal. Ainda, como, pela constru¸c˜ao dew_ne por (*),w₁, w₂, . . . , w_n ∈ [v₁, v₂, . . . , v_n], segue que [Se] ⊂ [S]. Da´ı, desde que dim_R[Se] = n = dim_R[S] (pois Se´e base para [Se] eS ´e base para [S]), segue que [Se] = [S].

Observa¸c˜ao 0.223. A constru¸c˜ao feita na prova acima ´e chamada de pro- cesso de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt.

Observa¸c˜ao 0.224. Se V ´e um espa¸co vetorial com produto interno h, i e v ∈ V \ {^→0}, ent˜ao o vetor _||^v_v|| ´e um m´ultiplo por escalar de v tal que

||_||^v_v||||= 1, pois ||_||^v_v||||=|_||¹_v|||.||v||= _||¹_v||.||v||= 1.

Corol´ario 0.225. Todo espa¸co vetorial (de dimens˜ao finita maior do que 0) com produto interno tem uma base ortonormal.

De fato, sejaV um espa¸co vetorial com produto interno, com dim_RV =n >0.

Seja B := {v₁, v₂, . . . , v_n} uma base de V. Pelo resultado anterior, existe Be := {w₁, w₂, . . . , wn} um subconjunto ortogonal de V tal que [Be] = [B].

Tomemos C :={_||^ww¹₁||, ^w2

||w₂||, . . . , ^wn

||wn||}. Como C ´e LI, pois ´e um subconjunto ortonormal de V, e gera V, pois [C] = [Be] = [B] = V, segue que C ´e uma base ortonormal de V.

Exemplo 0.226. Consideremos R² com o produto interno canˆonico h,i. Temos que {(1,1),(1,2)} ´e uma base de R². Vamos construir uma base ortonormal de R². Sejam v₁ := (1,1) e v₂ := (1,2). Tomemos w₁ := v₁. Temos que ||w₁||² =hw₁, w₁i= 1.1 + 1.1 = 2 e hv₂, w₁i= 1.1 + 2.1 = 3. Da´ı, tomemos w₂ :=v₂− ^h_||^vw^2,w₁||¹²ⁱw₁ = (1,2)− ³₂(1,1) = (1− ³₂,2− ³₂) = (−¹₂,¹₂).

Logo, {w₁, w₂} ´e ortogonal (pelo processo acima). Da´ı, {_||^ww¹₁||, ^w2

||w₂||} ´e uma base ortonormal de R² (pois ´e um conjunto LI com dois vetores). Notemos que _||^w_w¹

1|| = ^(1,1)√₂ = (^√₂²,^√₂²) e _||^w_w²

2|| = ^(−√12₂^,12)

2

= (^−√₂²,^√₂²).

Defini¸c˜ao 0.227. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h, i. Seja S um subconjunto de V. Chamamos de ortogonal a SSS ao conjunto S^⊥ :=

{v ∈V|hv, ui= 0,para todou∈ S}.

Proposi¸c˜ao 0.228. SejaV um espa¸co vetorial com produto interno h, i. Se S ´e um subconjunto de V, ent˜ao S^⊥ ´e um subespa¸co de V.

De fato, ^→0∈ S^⊥, pois h^→0, ui= 0, para todo u∈V. Sejam λ∈R, v, w∈ S^⊥. Como hλv+w, ui =λhv, ui+hw, ui=λ.0 + 0 = 0, para todo u ∈V, ent˜ao λv+w∈ S^⊥. Assim, S^⊥ ´e um subespa¸co de V.

Observa¸c˜ao 0.229. Notemos que S^⊥ ´e sempre um subespa¸co de V, mesmo que S n˜ao o seja.

Ainda, se S = {^→0}, ent˜ao, para todo v ∈ V, hv,^→0i = 0, donde V ⊂ S^⊥ e portanto S^⊥=V.

Se S cont´em uma base ortogonal {u₁, u₂, . . . , un} de V, ent˜aoS^⊥ ={^→0}. De

fato, se v ∈ S^⊥, existem escalares α₁, α₂, . . . , α_n tais que v =α₁u₁+α₂u₂+

· · ·+α_nu_n. Da´ı,0 = hv, ui=α₁hu₁, ui+α₂hu₂, ui+· · ·+α_nhu_n, ui, para todo u ∈ S. Em particular, 0 = hv, u₁i = α₁hu₁, u₁i, donde, como hu₁, u₁i > 0, segue que α₁ = 0. Analogamente, obtemos que α₂ =· · ·=α_n= 0. Portanto, neste caso, se v ∈ S^⊥, ent˜ao v =^→0, isto ´e, S^⊥ ={^→0}.

Exemplo 0.230. Consideremos R³ com o produto interno canˆonico h,i. SejaS :={(1,1,1),(1,1,2)}. CalculemosS^⊥e mostremos queR³ = [S]⊕S^⊥. Se (x, y, z)∈ S^⊥, ent˜ao h(x, y, z),(1,1,1)i= 0 e h(x, y, z),(1,1,2)i= 0, isto

´e,

( 1x+ 1y+ 1z = 0 1x+ 1y+ 2z = 0

Logo, z = 0 e y=−x, donde S^⊥={(x,−x,0)|x∈R}= [(1,−1,0)].

Agora, [S] = [(1,1,1),(1,1,2)] = {α(1,1,1) +β(1,1,2)|α, β ∈ R} = {(α+ β, α+β, α+ 2β)|α, β ∈ R}. Se (α+β, α+β, α+ 2β) = (x,−x,0), ent˜ao α+β = x = −(α+β) e α+ 2β = 0. Da´ı, β = 0 e α = 0, donde (α+ β, α+β, α+ 2β) = (0,0,0) e portanto [S]∩ S^⊥ ={(0,0,0)}. Ainda, como {(1,1,1),(1,1,2),(1,−1,0)} gera R³ (verifique), segue que R³ = [S] +S^⊥. Portanto, R³ = [S]⊕ S^⊥.

O pr´oximo resultado nos d´a uma caracteriza¸c˜ao dos vetores do ortogonal a um subespa¸co.

Proposi¸c˜ao 0.231. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i. Sejam W um subespa¸co de V e B := {w₁, w₂, . . . , w_k} um conjunto gerador de W. Ent˜ao v ∈W^⊥ se, e somente se, hv, w_ii= 0, para todo i= 1, . . . , k.

De fato, se w ∈ W, ent˜ao existem escalares α₁, α₂, . . . , α_k tais que w = α₁w₁+α₂w₂+· · ·+α_kw_k. Da´ı, se v ∈V, ent˜ao hv, wi=hv, α₁w₁+α₂w₂+

· · · + α_kw_ki = α₁hv, w₁i +α₂hv, w₂i + · · · +α_khv, w_ki. Por um lado, se hv, wii = 0, para todo i = 1, . . . , k, ent˜ao hv, wi = 0, para todo w ∈ W, e

portanto v ∈ W^⊥. Por outro lado, se v ∈ W^⊥, ent˜ao, para todo w ∈ W, hv, wi= 0 e da´ıhv, w_ii= 0, para todo i= 1, . . . , k, pois w₁, w₂, . . . , w_k ∈W.

Observa¸c˜ao 0.232. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i. Se S ´e um subconjunto de V, ent˜ao [S]^⊥ = S^⊥. De fato, por um lado, se w ∈[S]^⊥, ent˜ao, em particular, hw, ui= 0, para todo u∈ S, donde w ∈ S^⊥ e portanto [S]^⊥ ⊂ S^⊥. Por outro lado, se w ∈ S^⊥, ent˜ao hw, ui = 0, para todou∈ S. Da´ı, comoS ´e um conjunto gerador de [S], ent˜ao, pelo resultado anterior, w∈[S]^⊥ e portanto S^⊥ ⊂[S]^⊥. Logo, [S]^⊥ =S^⊥.

Proposi¸c˜ao 0.233. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h,i de dimens˜ao finita. Se W ´e um subespa¸co de V, ent˜ao V =W ⊕W^⊥.

Com efeito, se V = {^→0}, ent˜ao {^→0} = {^→0} ⊕ {^→0} e o resultado segue.

Seja ent˜ao V 6= {^→0}. Seja W um subespa¸co de V. Se W = {^→0}, ent˜ao W^⊥ = V e portanto V = {0} ⊕V. Seja ent˜ao W 6= {0}. Como W ´e um subespa¸co de dimens˜ao finita maior do que 0, segue que W possui uma base ortonormal B :={w₁, w₂, . . . , w_k}. ComoB ´e LI, existe uma base de V que cont´em B, digamos {w₁, w₂, . . . , w_k, v₁, v₂. . . , v_n}. Aplicando o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt, obtemos C :={u₁, u₂, . . . , u_k+n}, com

u₁ := w₁,

u₂ := w₂−^hw_||u²₁^,u_||¹2ⁱu₁ =w₂ ...

u_k := w_k−Pk−1 i=1 hwk,uii

||ui||² u_i =w_k,

pois hw_j, w_ii= 0, para todo j 6=i. Verifiquemos que W^⊥ = [uk+1, . . . , u_k+n].

De fato, como hu_k+1, w_ii = 0, para todo i = 1, . . . , k, pois C ´e ortogo- nal, ent˜ao pela proposi¸c˜ao anterior segue que u_k+1 ∈ W^⊥. Da mesma forma, u_k+2, . . . , u_k+n ∈ W^⊥, donde, como W^⊥ ´e um subespa¸co, segue que [u_k+1, . . . , u_k+n]⊂W^⊥. Mas sew∈W^⊥, ent˜ao sabemos quew=Pk+n

i=1 hw,uii

||ui||²u_i,

pois em particular w∈[u₁, . . . , u_k+n] = [C] e C ´e um conjunto ortogonal for- mado por vetores n˜ao nulos. Da´ı, desde que, hw, w_ii = 0, pois w ∈ W^⊥ e wi ∈ W, para todo i = 1, . . . , k, ent˜ao w = Pk+n

i=k+1hw,uii

||ui||²ui e portanto w ∈ [uk+1, . . . , u_k+n]. Logo, W^⊥ = [uk+1, . . . , u_k+n]. Finalmente, notemos que V = W +W^⊥ pois C gera V, e W ∩W^⊥ = {^→0} pois C ´e LI. Portanto, V =W ⊕W^⊥.

Observa¸c˜ao 0.234. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h, i de dimens˜ao finita. Se S ´e um subconjunto de V, ent˜ao, pelos resultados anteriores, V = [S]⊕ S^⊥, pois V = [S]⊕[S]^⊥ e [S]^⊥=S^⊥.

Exemplo 0.235. Consideremos R² com o produto interno canˆonico h,i. Seja S:={(11,13)}. CalculemosS^⊥. Se(x, y)∈ S^⊥, ent˜ao h(x, y),(11,13)i= 0, isto ´e, 11x+ 13y= 0. Logo, y =−¹¹₁₃x, donde S^⊥ ={(x,−¹¹₁₃x)|x∈R}= [(1,−¹¹₁₃)]. Pela observa¸c˜ao anterior, R² = [S]⊕ S^⊥ = [(11,13)]⊕[(1,−¹¹₁₃)].

Corol´ario 0.236. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h, i de dimens˜ao finita. Se W ´e um subespa¸co de V, ent˜ao dim_RV = dim_RW + dim_RW^⊥.

Com efeito, seja W um subespa¸co de V. Ent˜ao, pelo resultado anterior, V = W ⊕W^⊥. Da´ı, dim_RV = dim_RW + dim_RW^⊥−dim_R(W ∩W^⊥) = dim_RW + dim_RW^⊥−0 = dim_RW + dim_RW^⊥.

Programa de Ver˜ao 2012 04/01/2012 a 17/02/2012

B.6 - ´Algebra Linear (turma 2) 2^a a 6^a das 19h `as 21h - sala B-16

Gustavo de Lima Prado - glprado@ime.usp.br - www.ime.usp.br/ glprado

Programa: Vetores noRⁿ. Espa¸cos vetoriais e subespa¸cos. Transforma¸c˜oes lineares e matrizes. Semelhan¸ca e Diagonaliza¸c˜ao. Determinantes. Produto interno e ortogonalidade.

Pr´e-requisitos: 1 a 2 anos de gradua¸c˜ao em Ciˆencias Exatas.

P´ublico: Alunos de gradua¸c˜ao em Ciˆencias Exatas.

Carga Hor´aria: 120h Bibliografia:

F. U. Coelho e M. L. Louren¸co, Um curso de ´Algebra Linear, EDUSP, 2010;

C. A. Callioli, H. H. Domingues e R. C. F. Costa, ´Algebra L. e Aplica¸c˜oes, Editora Atual, 1998;

K. Hoffman e R. Kunze, ´Algebra Linear, LTC, 1979;

A. Howard e R. C. Busby, ´Algebra L. Contemporˆanea, Editora Bookman, 2006.