a) Todo subespa¸co vetorial ´ e um espa¸co vetorial.

3

LISTA DE ´ ALGEBRA LINEAR II

Espa¸cos Vetoriais Profa. Anna Regina Corbo

1. Demonstre os itens abaixo quando verdadeiros ou dˆ e contra-exemplos quando falsos:

a) Todo subespa¸co vetorial ´ e um espa¸co vetorial.

b) Mostre que se {u, v, w} ⊆ V ´ e LI ent˜ ao {u + v, u + w, v + w} tamb´ em ´ e um conjunto LI.

c) Se [v

, v

, v

, v

] = R

ent˜ ao quaisquer trˆ es vetores deste conjunto formam uma base de R

.

d) Se {v

, v

, · · · , v

} ⊆ V ´ e LI ent˜ ao qualquer um dos seus subconjuntos tamb´ em

´ e LI.

e) Sejam V um espa¸co vetorial n-dimensional e o conjunto {v

, v

, · · · , v

} ⊆ V linearmente independente. Ent˜ ao {v

, v

, · · · , v

, v} ´ e uma base de V qualquer que seja o vetor v ∈ V .

f) Seja {v

, v

, · · · , v

} ⊆ V . Se v

= 0

, para algum i = 1, · · · , n ent˜ ao {v

, v

, · · · , v

}

´ e LD.

g) Sejam {v

, v

, · · · , v

} ⊆ V e {u

, u

, · · · , u

} ⊆ V .

[v

, v

, · · · , v

] = [u

, u

, · · · , u

] se e somente se cada um dos vetores do conjunto

{v

, v

, · · · , v

} ´ e uma combina¸c˜ ao linear dos vetores u

, u

, · · · , u

e cada um dos

vetores do conjunto {u

, u

, · · · , u

} ´ e uma combina¸c˜ ao linear dos vetores v

, v

, · · · , v

.