O QUE É MATEMÁTICA: UM ESTUDO DE HEGEL
Roberto Ribeiro Baldino1 Resumo
Criticam-se as repostas que os matemáticos dão à pergunta “O que é matemática?” e se a substitui por outra “Matemática é nome de quê? A matemática é pensada a partir da lógica de Hegel como exteriorização da idéia natureza. Apenas o momento inicial das determinações o Ser é desenvolvido, acenando-se com o projeto de desenvolvimento futuro, dos momentos da Essência e do Conceito. Terminado esse desenvolvimento o conceito receberá o nome que lhe cabe, Matemática, com letra maiúscula. O fazer dos matemáticos é caracterizado como basteamento compulsivo do discurso e as determinações do Ser (matemática) são caracterizadas a partir do Ser-Outro: a arte.
Introdução: o que é matemática?
A resposta que o mais simples dos entendimentos, com ar de grande argúcia, tem dado a essa pergunta é a seguinte: matemática é aquilo que os matemáticos fazem. Quando alertados para que, por aí, fazer as compras ou a barba seriam também matemática, porque os matemáticos as fazem, ressalvam: matemática é aquilo que os matemáticos fazem quando estão fazendo matemática. Dão-se então conta da circularidade e acrescentam: matemática é aquilo que os matemáticos fazem quando dizem que estão fazendo matemática2. Essa resposta tem o mérito de remeter a questão ao âmbito dos discursos, das enunciações, daquilo que as pessoas dizem. Por outro lado, ela significa que o entendimento, do alto de sua argúcia, confessa não saber o que é matemática, que quem o sabe são os matemáticos.
A mesa redonda relatada por Carvalho e Silva [2000] constituiu-se em torno da pergunta, “o que é a matemática hoje?” Entretanto, no desdobramento dessa pergunta nota-se que os organizadores não parecem ter qualquer dúvida sobre o que é a matemática:
“É a matemática uma ciência na qual nó só podemos provar que a partir de certos axiomas podemos deduzir certos teoremas? Estava René Thom certo quando enfatizou o papel do significado dos conceitos matemáticos? Se quisermos ter absoluto rigor nas demonstrações, devemos abrir mão do significado?
Conceitos matemáticos (como “número”, “função”, “conjunto”, “fração”, “figura geométrica”) são ricos em significados diferentes, dependendo do contexto, por isso o significado é um tanto local” [Carvalho e silva 2000]
Ou seja, embora se pergunte o que é a “matemática” é, não se têm dúvidas de que, seja lá o que for que se entenda por “matemática”, isso é uma ciência, não se têm dúvidas de que há conceitos que pertencem a isso, que esses conceitos têm “significados” e até se sabe dar exemplos de conceitos disso.. De qualquer modo, quando se trata de responder a essa pergunta, os matemáticos perguntam a si mesmos. O desdobramento da pergunta da citada mesa redonda se inicial com a pergunta: “Como os matemáticos concebem o que é matemática?” [Carvalho e Silva, 2000, minha ênfase]. Embora o significante “matemática” ande na boca do povo, os matemáticos supõe que ninguém saiba do que está falando, só eles, como se no mundo não houvesse mais ninguém, só eles. Estranha atitude de quem pergunta o que é. Os matemáticos que parecem tão rigorosos quando se trata da lógica formal, mostram-se ingênuos ou descuidados quando se trata da dialética. A pergunta “o que é?” que fazem, com ares de filósofos, quando cai na enunciação se interverte em “Nós sabemos”.
Outros produzem respostas diversas. Dizem que se trata de produzir significado para textos, mas quais textos são matemáticos é algo que só se pode saber, da mesma maneira, isto é,
1 Voluntário da UNESP, Grupo de Pesquisa-Ação em Educação Matemática da UNESP, Rio Claro:
baldino@travelnet.com.br
2 Jairo José da Silva, SMEM, UNESP, Rio Claro, abril de 2000.
perguntando aos matemáticos3. Segundo esses modos de pensar, são os matemáticos que sabem o que os educadores matemáticos fazem e que, portanto, devem decidir o que estes devem ou não devem fazer. Estranha argúcia que transforma a pergunta em uma reverência?
Nem tanto, quando se nota que o primeiro respondente é um matemático. Ou seja, não era argúcia, era astúcia. Astúcia da razão matemática.
O entendimento, que costuma trabalhar entre abstrações vazias, aparentemente acha que a resposta que der o comprometerá a reduzir a ela tudo o que disser daí por diante, um poder e compromisso que atribui às definições quanto está "fazendo matemática" [Baldino, 2001]. Por isso, o entendimento costuma se evadir da pergunta, quer dizendo que é impossível respondê-la4 ou tentando devolvê-la ao contexto em que é formulada2. A astúcia do entendimento consiste em conservar sua posição hegemônica nas respostas, respectivamente "quem sabe sou eu", "quem sabe são eles", "ninguém sabe" ou "por que vocês perguntam?".
Não se nega que a pergunta é preocupante, tanto que foi organizando um ciclo temático dos Seminários de Matemática e Educação Matemática da UNESP, Rio Claro, em abril de 2000.
visando a, senão respondê-la, pelo menos discutir suas implicações. Entretanto, aparentemente, a preocupação não decorre da forma da pergunta. Quando se pergunta "o que é isto?" espera-se, com quietude e não com ansiedade, que se produza uma primeira determinação de algo que não se sabe o que é. Porém, quando se pergunta "o que é a matemática?" não se está pedindo a primeira determinação de um "isto", mas uma nova determinação de algo sobre o quê ninguém tem dúvidas, um algo pleno de determinações, tanto que as pessoas costumam se referir à tal matemática como "ela". Ou seja, no nível do entendimento, todos sabem, bem demais, o que é a matemática. Aceitar a pergunta "o que é?" vale, pois, como aceitação da exigência de que se ultrapassem as determinações do Ser e de que se produzam novas determinações, na direção da Essência e do Conceito. Não é tanto a perspectiva do trabalho teórico necessário que preocupa as pessoas. O que as preocupa é ter de reconhecer que esse trabalho ainda não foi feito e que, sobre isso, estamos no terreno da opinião.
A nova pergunta: Matemática é nome de quê?
Se a pergunta faz sentido, pelo menos no âmbito do SMEM, é porque, ela provoca, nas pessoas, a atribuição de algum significado ao significante "matemática". O próprio dicionário reconhece um significado prioritário. "Verbete: matemática: Ciência que investiga relações entre entidades definidas abstrata e logicamente" [Aurélio].
Começo a exposição invertendo a pergunta. Em vez de perguntar “O que é a matemática?”, ou “Matemática é o quê?”, troco a pergunta e indago: O que é isto que as pessoas, inclusive eu, chamam “matemática? Ou então: Matemática” é nome de quê? Essa reformulação produz um deslocamento da questão. Em vez de procurar a resposta em algo escondido atrás do significante no "o que é?", passamos a procurá-la no que está evidente à frente dele, no que as pessoas dizem, no discurso em que o significante comparece: "é nome de quê?". Essa inversão se justifica a partir de Hegel:
No primeiro caso é o próprio pensamento que põe diante de si o ob-jeto; este ocupa a posição e funciona como o outro do pensamento. Entretanto, o objeto é selecionado, escolhido, determinado, pelo próprio pensamento. Ou seja, o objeto é o próprio pensamento. Esse curto- circuito do pensamento consigo mesmo se faz passar por constitutivo da consciência pensante. O pensamento fica posto como outro (o objeto) que não é ele mesmo. Essa alteridade “convoca o pensamento a si mesmo como sujeito pensante, incitando-o a afirmar-se abstratamente diante do pensado tornado objeto [incitando-o] a negar-se como pensamento consciente (o serconsciente sendo apenas um momento ultrapassado e integrado no saber ou no pensamento) para se degradar em consciência pensante (o ser-pensante tornando-se o germe de verdade do momento da consciência que se põe abstratamente como absoluta), uma consciência pensante que, enquanto é como consciência determinante do pensamento, não é
3 Romulo Campos Lins, SMEM, UNESP, Rio Claro, Abril de 2000.
4 Irineu Bicudo, SMEM, UNESP, Rio Claro, abril de 2000.
mais verdadeiramente ou ainda não é propriamente pensante, presença transparente a si mesma do pensado no pensamento” [Bourgeois, 1970:90].
No segundo caso o que se toma como ob-jeto não é a “matemática”, mas o pensamento das pessoas sobre a matemática, incluindo, entre essas pessoas, eu mesmo. O que esse pensamento que se encontra no mundo pensa sobre isso? O que ele denomina matemática? Mais ainda, o sujeito pensante se inclui, enquanto pensante, no pensamento que ele visa a pensar. Na filosofia da natureza (e toda natureza é, desde sempre, social) “é o pensamento do pensamento enquanto [parte da] natureza, é o Outro do pensamento que é pensado, [qual] o sentido da sensibilização do sentido (...). É a identidade do pensante e do pensado que é outra que não ela mesma, ou melhor, que tem nela mesma seu outro” [ibid. 91].
A teoria do Ser
Tecnicamente, diremos que a nova pergunta, por um lado, põe em evidência o papel do significante como universal abstrato tal como se encontra no pensamento consensual das pessoas, ou seja, produto do entendimento. Por outro lado, a pergunta mostra o ponto de partida do desenvolvimento lógico, porque, se não sabemos de quê isso é nome, em princípio, é nome de nada, ou seja, é preciso partir do Ser sem qualquer determinação prévia e que, por não ter determinações, é idêntico ao Nada, que também não as tem.
O desenvolvimento lógico não visa a "conceituar" matemática ou a produzir o "conceito de"
matemática; trata-se, sim, de mostrar de que conceito a matemática é o desenvolvimento. Trata- se de mostrar como um certo conceito se desenvolve logicamente a ponto de pôr na boca das pessoas um significante cuja significação lhes parece imediata. Numa palavra, estaremos tratando, não do "conceito de matemática" e, sim, da matemática do conceito.
Hegel [1970] começa a Ciência da Lógica no primeiro volume da Enciclopédia das Ciências Filosóficas com a frase “A Lógica é a ciência da Idéia pura, quer dizer, da Idéia no meio abstrato do pensamento” [283] e termina assim.
“A liberdade absoluta da Idéia consiste em que ela não apenas passe na vida nem que, enquanto conhecimento finito se deixe mostrar-se em si mesma, mas, sim, em que, em sua absoluta verdade, ela decide, espontaneamente, exteriorizar o momento de sua particularidade, de sua primeira determinação, de sua alteridade que é a Idéia imediata, como reflexo seu, exteriorizar-se como natureza ” [4635].
Em resumo, a Idéia exterioriza sua primeira determinação na natureza. Note que essa exteriorização não é resultado do desenvolvimento dialético do domínio lógico porque, a natureza é posta como o não lógico. Hegel fala em exteriorização, não em “passagem”, da Idéia à natureza, porque ele reserva o termo passagem para denotar o resultado de uma dialética. O resultado da dialética da Idéia é a vida, não a natureza. A mediação entre o domínio lógico e seu Outro, a natureza, é o Espírito que, “tem a diferença absoluta em si mesmo, como diferença entre o lógico e seu Outro” [Bourgeois, 1970:92]. A dialética é interna ao domínio lógico. É contra-senso à filosofia hegeliana falar em “dialética da natureza” ou dialética do ovo e da galinha.i
A tal “matemática” de que tanto falam, como parte da natureza, como conjunto de práticas sociais, etc., é exteriorização da Idéia e se situa no domínio do não lógico, do ser Outro do lógico.
Porém, é precisamente aí que se situa a Idéia imediata, a primeira determinação da idéia. É aí que se encontram o ser a essência e o conceito. A passagem inversa, da natureza, enquanto não lógico, ao lógico é feita pela exposição do desenvolvimento do conceito, dentro do lógico.
Uma vez preenchidas todas as determinações do ser através do completo desenvolvimento do conceito, estaremos diante de um universal concreto, síntese de múltiplas determinações.
5« Mais la liberté absolue de l’idée consiste en ce qu’elle ne fait pas que passer dans la vie ni que, comme connaissance finie, la laisser paraître dans elle-même, mais, dans l’absolue vérité d’elle-même, se résout à laisser librement aller hors de d’elle-même le moment de sa particularité ou de la première détermination ou altérité, l’Idée immédiate, comme son reflet, elle-même comme nature ».
Faltará então dar um nome ao conceito, escolher um significante sem significado para designá-lo.
Teremos ido do significante ao ser, deste ao conceito e do conceito de volta ao significante, com o que se completa essa etapa do desenvolvimento lógico; teremos mostrado os momentos do desenvolvimento do conceito do qual a matemática é momento.
Em resumo, iremos do significante pleno – matemática - e do conceito vazio (ser) ao ser pleno (conceito) e significante vazio - o nome do conceito que será escolhido no fim será
“Matemática”, com maiúscula.
No que segue, chamaremos matemática o ser, isto é, este "que" para onde aponta a pergunta matemática é o nome de quê? A matemática como mero ser indeterminado que é nesse primeiro momento do desenvolvimento lógico não fica por muito tempo identificada ao nada porque logo intervém nossa Pulsão que nos compele a encontrar, nos dois termos, uma significação firme. Essa necessidade que leva mais longe o ser e o nada iniciais, lhes confere uma significação verdadeira, isto é, concreta, pensada, falada, exposta e defendida perante um interlocutor, uma audiência, um público, ou seja, perante o Outro. A pulsão esfacela a unidade instável desses dois termos e dá início ao Devir do ser, desde já guiado pelo conceito. Essa progressão é o desenvolvimento lógico e o curso dos pensamentos que serão expostos no que segue. A reflexão que encontra para eles determinações mais profundas é o pensamento lógico por meio do qual vêm à luz as determinações do ser ou, se preferirmos, os significados que o significante "matemática" adquiriu durante sua história, nas enunciações de que participou. Essas determinações, de modo algum são contingentes, mas surgem de modo necessário. Elas são denominadas Qualidades.
Por exemplo, não é difícil encontrar quem concorde com o seguinte: a matemática é difícil, é exata, é uma ciência, é certa, é angustiante. É um pouco menos fácil encontrar quem concorde que ela é puro pensar, é dedutiva, é lógica. Essas e tantas outras, são qualidades da matemática ou significados históricos do significante "matemática". Resolve-se, assim, a contradição entre o ser e o nada formando uma unidade em que esses dois termos são superados. O resultado é o que se chama o ser qualitativo determinado ou a matemática como Ser-aí. O ser aí constitui o que se denomina Realidade.
O ser-aí é a matemática como o entendimento a tem, como suas qualidades, algumas discutíveis, porque nem todos a acharão difícil, nem todos a acharão elegante, etc. Entretanto o conceito, em seu desenvolvimento, não fica preso a tais oposições igualmente válidas e externas umas às outras sobre a validade das quais o entendimento gosta de se alongar em discussões intermináveis. O que ocorre quando se afirma qualquer uma dessas qualidades, por mais indiscutível que ela seja, é de natureza bem mais sutil: cada qualidade apresentada sob a forma de uma enunciação se interverte em sua oposta.
Por exemplo, sustentar que a matemática é difícil só pode ser entendido diante da perspectiva de que ela não o seja e, uma vez que se torna necessário afirmar que ela é difícil, é porque não é tão óbvio assim que ela não seja fácil. O que Zenão conseguiu com sua demonstração da aparência do movimento de onde concluiu a imobilidade do ser verdadeiro, foi mostrar que não se consegue pensar no ser imóvel sem pensar no movimento que, portanto, antecede a imobilidade do ser. O que o entendimento que fica preso a seus enunciados abstratos não percebe é que, no plano das enunciações, onde as pessoas se arriscam a falar, sustentar que a matemática é difícil, o quer acontece é o seguinte: primeiro, invoca-se uma separação fácil/difícil e, segundo, toma-se partido nessa separação. A separação é, por aí reforçada, jamais apagada. Devido a essa contingência da enunciação dizemos que a qualidade se reflete no próprio ser e, com ela, a negação dela vem junto. Por isso disse Spinoza que toda determinação é uma negação. A unidade da qualidade com sua negação inerente é denominada Determinidade.
O desenvolvimento do conceito faz com que a matemática comece agora a sair do plano do entendimento. Ela é o ser junto com suas determinidades fácil/difícil, angustiante/prazerosa, exata/imprecisa, etc. O entendimento tem dificuldade de distinguir a qualidade da determinidade.
Ele costuma achar que a oposição existente dentro da determinidade destrói ou anula a qualidade, que a determinidade nada acrescenta ao ser. Não nota, no entanto, que não ocorre às
pessoas dizerem que doce/salgada, arenosa/lamacenta, etc. sejam determinidades da matemática. Portanto, as determinidades que provêm de qualidades defensáveis acrescentam, sim, fazem parte do devir do ser-aí. A pulsão é aquilo pelo que o sujeito comparece no desenvolvimento do conceito (ii). O ser-aí, determinado não só pelas qualidades mas pelas oposições constituídas pelas determinidades é denominado alguma coisa ou Algo. A matemática é, então, algo determinado também pelas oposições: pensamento puro/dado sensível, dedução/sofística, lógica/metáfora-metonímia. As negações das qualidades, a parte negativa das determinidades vão constituir o Ser-Outro, o outro da matemática. Tal ser-outro é igualmente um algo que tem por qualidades ser fácil, prazeroso, impreciso, empírico, etc.
Se a única determinidade da matemática fosse a oposição pensamento puro/dado sensível, poderíamos dizer que seu outro é a física. Esta também é algo, tem por qualidade o dado sensível que, nessa ciência recebe estatuto específico e adquire novas qualidades: é experiência, é observação, é matéria. É então a essas qualidades que o pensamento puro como qualidade da matemática se opõe como negação. Quando se compara a matemática com a física, perguntando pela diferença, é, via de regra, essa comparação do pensamento "interior" com o dado sensível
"exterior" que as pessoas apresentam como resposta. Por aí realizam a sobredeterminação da determinidade da matemática a partir de seu ser outro. A determinidade volta ao ser, refletida no ser-outro. É o que se chama determinação reflexiva na esfera do ser. Analogamente, se a única determinidade da matemática fosse dedução/sofística, poderíamos tomar como ser outro o exercício da advocacia, onde as teses são defendidas perante uma sociedade que as aceita ou rejeita, sem ficar presa a esquemas dedutivos. A partir desse ser outro a demonstração em matemática adquire determinações reflexivas. A determinidade lógica/metáfora-metonímia nos levaria ao ser outro como a poesia, como determinação reflexiva da qualidade lógica, etc.iii
Dois momentos do algo que é a matemática são portanto, a reflexão no outro – matemática como Ser-para-o-Outro – e a volta a si mesma com a sobredeterminação das qualidades – a matemática como Ser-em-Si. No ser-em-si a relação com o outro fica superada. A parte afirmativa das determinidades assim reforçadas são denominadas Determinações. As determinações expostas até cá caracterizam a matemática como pensamento lógico dedutivo, o que não significa que ela seja só isso, mas que pensamento lógico dedutivo é seu em-si, sem precisar mais ser levada ao outro para confirmar isso, são qualidades "estáveis", isto é, qualidades que a matemática tem.
O que se denomina Realidade é, então a determinidade da qual se abstrai a negação, ou seja, a realidade são as qualidades do ser, porém não do ponto de vista ingênuo em que o entendimento as tinha, mas, sim, as qualidades como partícipes das determinidades, porém tomadas isoladamente. Esse desenvolvimento do Ser segundo Hegel deve prosseguir com o desenvolvimento da Essência e do Conceito.
O infinito em Hegel
Hegel [1970] começa a pequena lógica, revisada em 1831 pouco antes de sua morte, com um capítulo intitulado "conceito preliminar" onde ele situa a filosofia especulativa diante dos sistemas filosóficos anteriores, especialmente o de Kant. Em seguida há três seções: a teoria do Ser, a teoria da Essência e a teoria do Conceito. A teoria do Ser começa com a seguinte frase: "O ser é o conceito apenas em-si" [§ 84]. Isso significa que essa primeira página já deve ser lida à luz da última, ou seja, falando do Ser já estamos falando do Conceito.
Inicialmente o Ser e o Nada são a mesma coisa. A verdade de ambos é o devir. Com a contradição que é o devir, o Ser e o Nada são ultrapassados e têm como resultado o ser-aí. "O ser-aí é o ser com uma determinidade que é (...) a qualidade. O ser-aí enquanto (...) refletido em si mesmo é um Algo" [§90].
Como se entende essa determinação hegeliana do "refletido em si mesmo"? O "refletir"
significa tanto a reflexão no sentido da luz que se reflete quanto a reflexão no sentido de pensar detidamente sobre. Refletir em si mesmo traz então à imagem de um holofote de onde emerge um raio de luz refletido no espelho, ao mesmo tempo que traz a imagem de alguém que perscruta o
holofote. O sujeito que reflete sobre a luz refletida que o faz refletir, isso é o ser refletido em si mesmo que Hegel chama de um Algo, ou de Alguma Coisa.
"Por causa de sua qualidade o Algo é, em primeiro lugar, finito e em segundo lugar, variável, de modo que a finitude e a variabilidade pertencem a seu ser" [§92]. Tomemos o "Algo" como sendo a matemática tal como ela está no momento atual do desenvolvimento do conceito, encarada com no senso comum, como conjunto de resultados devidamente catalogados, práticas sociais etc.
Esse algo é finito e variável. Pensemos essa variação segundo o que Hegel diz:
§93
Algo se torna um Outro, mas o Outro é, também, um Algo, logo ele se torna, igualmente, um Outro, e assim por diante, ao infinito.
§94
Essa infinitude é a má infinitude, ou infinitude negativa, à medida que ela é apenas a negação do finito, o qual, entretanto, renasce a cada passo. Consequentemente, a cada passo o finito não é suprimido ou [ainda] essa infinitude exprime apenas o deve-ser da supressão do finito. O progresso ao infinito permanece aí na expressão da contradição contida no finito, a saber, que o finito é tanto um Algo como seu Outro e o progresso ao infinito fica sendo a eterna continuação, da alternância dessas determinações, das quais uma leva a outra.
§95
O de que se trata aqui é que o Algo se torna um Outro e que o Outro, de modo geral, se torna um Outro. Em sua relação com um Outro, o Algo já é um Outro em relação a esse Outro. Porém, o resultado da transformação é a mesma coisa que aquilo que se transforma porque os dois termos não têm nenhuma outra determinação a não ser a única e mesma determinação de serem um Outro. Logo o Algo, em sua transformação em outra coisa, nada mais faz que vir a juntar-se a si mesmo e essa relação a si mesmo na transformação [em outra coisa] e no Outro, é a verdadeira infinitude. Ou, em termos negativos, o que foi mudado foi o Outro, ele se tornou Outro do Outro. Assim o ser ficou restaurado, mas como negação da negação e, como tal, ele é o ser-para-si.
A matemática não permanece imutável, ela se transforma pela descoberta de novos teoremas. Com os novos teoremas (parafraseando Hegel): "a matemática se torna uma Outra, mas a Outra é, também, a matemática, logo ela se torna, igualmente, uma Outra, e assim por diante, ao infinito". Essa é a má infinitude, porque a cada passo estamos no mesmo lugar, é sempre a matemática que está presente em todos os casos.
Vejam que Hegel não deixa isso de lado para dizer que a verdadeira infinitude seria outra coisa. Ele toma isso que foi dito e o prolonga: "a matemática, em sua transformação em outra coisa, nada mais faz que vir a juntar-se a si mesma e essa relação a si mesma na transformação [em outra coisa] e na Outra, é a verdadeira infinitude".
Parece que nada foi dito, entretanto, a relação da matemática consigo mesma, a relação dela antes com ela depois, aí está a verdadeira infinitude e pensar nisso não é pensar na matemática em um de seus estágios de desenvolvimento.
Notem também que a segunda negação, a negação da negação, não tem o mesmo grau da primeira. Primeiro uma matemática foi negada pela produção de novos resultados e ficou sendo a matemática atual, a outra. A partir daí o entendimento considera a segunda negação de dois modos. Primeiro como sendo um retorno à matemática porque esta teria permanecido invariante em sua identidade, apesar de acrescida. A negação negada seria um retorno à matemática como a matemática sempre foi. Outro modo seria dizer que, a matemática atual também será negada pela produção de novos resultados, e haverá uma outra desta outra presente e assim por diante.
Nesse caso a diferenciação continua. Assim, o sentido vulgar reduz a negação da negação, quer ao momento da identidade (a matemática é a matemática) quer ao momento da diferença (a matemática está em constante mudança).
A negação da negação em Hegel não é isso, porém, pressupõe isso. Pressupõe as duas unilateralidades do entendimento para dizer que a verdadeira infinitude é a relação da matemática consigo mesma na transformação. O Outro do Outro é a matemática pensada como nova (diferente) e idêntica (invariante) em sua relação com aquilo que ela era antes da transformação.
Nessa relação a identidade (da matemática) e a diferença (os teoremas novos) são uma única e mesma coisa, são idênticos. Por isso a filosofia de Hegel é reconhecida como a filosofia da identidade entre a identidade e a diferença. Porém note que as duas ocorrências do significante
"identidade" nessa frase não são o mesmo grau da idéia, do mesmo modo que não eram de mesmo grau a identidade da matemática pensada pelo entendimento e a identidade da matemática pensada pela dialética, como superação do entendimento.
Matemática e dialética
A definição matemática ou do entendimento pode ser tudo, menos circular. Ora, à dialética a circularidade não causa vertigens. Aceitemos, pois, a circularidade. A circularidade que a astúcia do entendimento evita indica a nova determinação procurada para: a matemática consiste em um certo fazer dos matemáticos. Que fazer é esse? Para percorrer uma circunferência, qualquer de seus pontos pode ser escolhido como início e fim do percurso. Por que então, não partir da seguinte citação da Grande Lógica de Hegel, escrita em 1816?
"A matemática rejeita uma certa metafísica que se contenta em dizer que o tempo consiste em pontos de tempo, que o espaço (ou em primeira aproximação, a reta) consiste de pontos de espaço, que o plano consiste de retas e que o espaço todo consiste de planos; a matemática não atribui validade alguma a tais Uns descontínuos. Embora a matemática determine, por exemplo, a grandeza de um plano como consistindo de uma soma infinita de linhas, ainda assim, essa discreção é considerada apenas como uma imagem momentânea. A pluralidade infinita de linhas implica, uma vez que o espaço que elas devem constituir é, afinal, limitado, que a discreção delas já foi transcendida" [Hegel, 1929, v.1, 202].
O que se pode dizer, hoje, desse texto? Na primeira parte Hegel faz alusão à problemática do discreto e do contínuo que perturbou a matemática desde a antigüidade e da qual os paradoxos de Zenão são o pivô. Ele diz que a matemática de sua época rejeita parcialmente essa problemática como sendo metafísica. Na segunda parte ele diz que ela ainda conserva a problemática dos indivisíveis que Cavalieri recuperou de idéias da Antigüidade e apresenta sua própria visão de que os indivisíveis podem ser pensados como imagem momentânea. Ele termina dizendo que, quando se fala de discreção, a continuidade já está pressuposta.
Um matemático, diante desse texto, diria mais: A matemática rejeitou totalmente essa metafísica; os significantes "plano" e "reta" foram liberados de suas significações espúrias. Aquilo que antes se dizia deles é mera curiosidade histórica, matematicamente, é nada. "Discreção transcendida", "pluralidade infinita", "imagem momentânea", nada disso tem qualquer sentido.
Hoje o "fato" de que o plano é constituído por retas é imediato, ninguém duvida.
x y x y
Plano ( , ) , , Retadeordenada y
(x, y) x
, Plano
x y x
y
( , )
O que ocorreu de 1816 até hoje? Se foi o matemático o responsável pela mudança, o que ele fez para que ela ocorresse? O que fica claro é o seguinte: o matemático tratou de se livrar de uma certa metafísica. Por mais que a matemática negue essa metafísica, ela não pode negar que, afinal, é essa metafísica que ela se preocupa em negar. A metafísica dos indivisíveis de Cavalieri, dos infinitésimos de Leibniz foi diligentemente negada durante o século 19. Cauchy reduziu os infinitésimos a quantidades que tendiam a zero. Essa nova metafísica foi negada por Weierstrass com os épsilons e deltas. Cauchy supôs que as seqüências fundamentais convergissem. Mas para onde? Nova metafísica exorcizada por Dedekind com o conceito de número real. O contínuo magro, depurado dos infinitésimos e dos fantasmas metafísicos da relação com o discreto serviu de base à explosão matemática do século seguinte. Alívio geral: a problemática da relação discreto/contínuo inaugurada com os paradoxos de Zenão seis séculos antes de Cristo estava finalmente superada. Foi então que veio Gödel e mostrou que o paraíso aonde Hilbert tinha
conduzido todos, nada mais era que um paraíso metafísico! O fantasma da metafísica continua a assombrar. Ao fugirem dele, os matemáticos fazem a matemática progredir, além de fazerem a barba, é claro.
A nova determinação da matemática proporcionada pela dialetização do entendimento exposta acima é, pois, a atividade de afastamento de um certo modo de significação que distingue simultaneamente, de um lado, o que a atividade rejeita como metafísica e do outro, o que ela recolhe como resíduo e que o entendimento denomina "a matemática".
A nova determinação, resultante da indagação sobre o fazer dos matemáticos aponta uma certa metafísica como o Ser-outro do qual a matemática não se separa. Essa determinação não apaga as anteriores, senão a matemática ficaria sendo uma metafísica às avessas e não seria possível modificá-la. Se a modificação ocorre, é porque determinidades outras intervêm; porém toda modificação deve ser vazada nos moldes da determinação obtida por oposição à tal metafísica que, hoje, assume a forma das teorias de conjuntos. O matemático mergulhado na experiência, costuma pensar seu fazer como descobrimento, porque ele vê o surgimento do objeto enquanto pensa sua própria consciência como imóvel. Nós, que o observamos, embora não estejamos experimentado o surgimento do objeto matemático, podemos apreender o lado formal desse surgimento, comparando a consciência anterior com a atual do matemático. A demonstração não pode ser um "eu acho". O rigor exige que se evidencie a possibilidade de reduzir qualquer dúvida ao âmbito de certos pressupostos. Fora disso a matemática não é.
Basteamento do discurso
Dando um passo além, perguntemos o que os matemáticos fazem para fazerem o que fazem. Como formam a certeza que os leva a agir e a dizer que, afinal, só eles entendem do que eles mesmos fazem? Eles estabelecem como pressuposto que o rigor os livra da metafísica, ou melhor, eles pressupõem uma metafísica da qual buscam se livrar pelo estabelecimento do rigor como pressuposição de sua atividade. Essa metafísica é demolidora porque é dialética. A dialética é, enfim o grande fantasma que os assombra. Para ter certeza de que conseguem subjugá-la eles não podem se limitar a escrever; têm que falar, dar aulas, expor, submeter-se ao diálogo nos seminários. Precisam estar seguros que, mesmo ao falar, a cadeia significante esteja absolutamente linearizada e que cada significante esteja preso a seu significado. Pontos de basta devem ser introduzidos a cada passo no discurso. O ideal é o basteamento contínuo como pensado por Saussure e que Lacan mostrou ser impossível. Numa palavra, o ideal matemático é reduzir a enunciação ao enunciado, retirando o sujeito.
Tudo tem de ser definido, todas as demonstrações têm de ser redutíveis ao quadro de pressupostos básicos. Em cada afirmação deve ter significado preciso. O significado não pode deslizar sob o significante, como na poesia ou nas ditas provas de advogado. Com a introdução de pontos de basta por toda a parte do discurso, numa tentativa de evitar o deslizamento do significado sob o significante, o matemático trabalha produzindo abstrações.
Não se trata, aqui, de comparar "ontogênese" e "filogênese". O processo filo e onto genético é uno e ininterrupto, tanto na história quanto no ensino. O que se chama resíduo já é a negação da metafísica e, ao estabelecermos o foco sobre a atividade e não sobre o produto, estamos negando a positividade do produto, porém, em outro nível, não no nível que nos levaria de volta à metafísica original, mas no nível em que se faz aparecer o sujeito da enunciação, o matemático, tanto em sua atividade de fazer matemática quanto em sua atividade de dizer o que faz. A primeira negação é a abstração do entendimento; a segunda negação é dialética. Portanto, a sala de aula é um lugar onde se processa essa negação em nível dos sujeitos da enunciação, ocorre ali a mera continuidade do processo histórico.
Não se trata, tampouco, de voltar ao passado, retomar o vale-tudo da "metafísica" para recuperar uma "pureza" ou "ternura" ou o "lado humano" da saudosa matemática do passado.
Portanto, se quisermos conhecer o resíduo, teremos te encarar a atividade que o pôs lá, bem como o negativo do resíduo, a "metafísica" da qual ele se separou. Em que consiste essa tal
"metafísica" que é o Ser-outro da matemática? A indicação da citação acima é que ela deve ser
procurada nas tentativas de compor ou decompor espaço, plano e reta, ou seja, na problemática do discreto e do contínuo.
Antecedendo o parágrafo citado Hegel escreve:
"A imaginação, operando sem o conceito, facilmente transforma a Continuidade em Combinação, isto é, em relação exterior dos Uns, uns aos outros, o Um permanecendo em sua exclusividade absoluta e frágil.
Porém, nós vimos, quando examinamos o Um em sua própria natureza que ele passa além para sua idealidade que é Atração e que, assim, a continuidade não é externa, mas peculiar a ele e fundada em su a essência"
[Hegel, 1929, v.1, 202].
O que quer dizer que o "Um passa além" para a "Atração"? É que não se pode falar do Um, do discreto, sem que, na enunciação, esse isolamento do Um se rompa e se esteja falando simultaneamente da atração que é determinação da continuidade.
Por um lado "a continuidade contém o momento do átomo, porque a continuidade existe si simplesmente como a possibilidade da divisão" [211]. Por outro lado, "a divisão ou a discreção, cancela toda a distinção entre os Uns – porque cada Um simples fica sendo o que os outros são – e por essa mesma razão contém a igualdade deles e, por isso, sua continuidade" [
Hegel, 1929, v.1,
211].Os paradoxos surgem porque se fala. Enunciados aparentemente razoáveis formado por abstrações muito simples como "a matéria e feita de átomos indivisíveis" e "a matéria é divisível", ou "tudo flui" são negados de modo imanente, mostrando que se contradizem ao serem levados à enunciação. Desaparecem quando se emudece: Diógenes pretendeu mostrar o movimento caminhando sem dizer palavra. De fato, no imaginário ou no real não há paradoxos. O paradoxo existe porque o sujeito fala.
"O exemplos dialéticos da escola eleática, especialmente os que tratam do movimento, são incomparavelmente mais profundos e ricos em significado que a antinomia de Kant de que tratamos" [
Hegel, 1929, v.1,
212]Em terceiro lugar, portanto, o Outro deve ser considerado como isolado e em relação a si próprio, como Outro em abstrato, como o de Platão que o considera como um dos momentos da totalidade, opondo-o ao Um e assim atribuindo ao Outro uma natureza própria. Esse Outro, considerado por si mesmo como tal, não é Outro do Algo, mas Outro por si mesmo, isto é, seu próprio Outro.
A Natureza Física é uma tal entidade que é Outro em relação a sua determinação: é o Outro do Espírito; e assim, preliminarmente essa determinação é meramente relativa e expressa não uma qualidade da Natureza mas uma relação externa a ela. Porém o espírito é o verdadeiro Algo e portanto, a Natureza, por ela mesma é apenas aquilo que ela é relativamente ao Espírito; por isso, se a Natureza é considerada por si mesma, sua qualidade é apenas que ela é Outro em si mesma [outro ainda não desenvolvido] ou aquilo que é externo a si mesmo (nas determinações do espaço, tempo e matéria).
Matemática e arte
A Arte é uma tal entidade que é Outro em relação a sua determinação: é Outro da Matemática; e assim, preliminarmente essa determinação é meramente relativa e expressa não uma qualidade da Arte mas uma relação externa a ela. Porém a matemática é o verdadeiro Algo e portanto, a Arte, por ela mesma, é apenas aquilo que ela é relativamente à matemática; por isso, se a Arte é considerada por si mesma, sua qualidade é apenas que ela é Outra em si mesma [outra ainda não desenvolvida] ou aquilo que é externo a si mesmo (nas determinações da literatura, pintura, música, etc.). [A Arte fica determinada por algo fora dela, a matemática.]
O outro para si é o outro em si e portanto, aquilo que é outro de si mesmo ou Outro do Outro [porque a Arte, como outro da matemática, ao se desenvolver a partir do em si, não deixa de ser apenas outro da matemática e, portanto, a arte para si é idêntica a arte em si, ou seja, não há variação; o Outro da Arte é a própria Arte, mas a Arte foi definida como o outro da matemática;
então a Arte é o Outro do Outro.]
A Arte é aquilo que em si, é o absolutamente não idêntico, o auto-negante ou mutante [porque o ser outro da matemática posto como negativo, não fica nisso, muda, se desenvolve].
Porém, também, a Arte permanece invariante, porque a única coisa em que ela poderia se transformar é o Outro dela, que não tem qualquer determinação a não ser a de ser Outro da matemática que ela já é.
Porém, aquilo que varia não é determinado de maneira diferente, mas da mesma maneira, a saber, a de ser Outro. Conseqüentemente, o Outro no Outro meramente entra em colapso. [Não há outro da Arte enquanto essa é tida como Outro da matemática.] Esse Outro no Outro [que entrou em colapso] é então posto como algo intro-refletido, adicionado ao qual há uma transcendência da alteridade. Esse Outro [Arte] é um Algo auto-idêntico [porque invariante] e a alteridade que também é um de seus momentos é, conseqüentemente algo separado dele e não pertencente a ele como Algo. [Por isso pode-se dizer, a matemática não é arte.]
Tem-se então a negação, não é, aquilo que era Outro, a Arte, negação da negação que é o Algo. A matemática não é “uma arte” é uma não-arte.
Referências bibliográficas
Baldino, R. R. (2001). O método analítico e o método sintético em Hegel e na matemática (Mimeo)
Carvalho e Silva. J. (2000) What is mathematics today? Abstract of the Round Table 1.
Third European Congress of Mathematicians. Barcelona, July, 10-14, 2000.To appear in the Proceedings of the Round Tables of the Third European Congress of Mathematicians
http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/
Hegel, G. W. F. (1970). La Science de la Logique. In Encyclopédie des Sicences Philosophiques, Vol. I. Trad. B. Bourgeois, Paris: J. Vrin.
Hegel, G. W. F. (1929). Science of Logic. 2 Vols. Tradução de W. H. Johnston e L. G.
Struthers. Londres: Allen and Unwin,
i Foi por pensarem a mediação entre o lógico e a natureza como dialética que Engels pôde criticar a dialética hegeliana como inútil e que Marx pôde dizer que a inverteu. O marxismo vulgar, a partir de seu conceito de produção, oriundo do chão da fábrica, acusou Hegel de ter pensado que o mundo, a “matéria”
seria produção da idéia e inverteu a fórmula, sustentando que a idéia é produção o mundo, da “matéria”.
Como para esse (des)entendimento vulgar a matéria é tão abstrata quanto o a idéia, na verdade não se saiu do lugar, a filosofia propagada pelo socialismo real, enquanto filosofia, foi um retrocesso à metafísica, a luta teórica foi perdida e 70 anos depois a contra-revolução triunfou.
ii Então é a idiossincrasia da vontade do sujeito que determina o desenvolvimento do conceito? Ou é o conceito que em seu desenvolvimento, recruta o sujeito que o desenvolve? O segundo ponto de vista foi atribuído a Hegel por Engels que ficou preso ao primeiro ponto de vista, que é kantiano e para o qual arrastou Lenin. Não bastou Hegel ter dito que "enquanto conceito (o ser) recebe a intensidade concreta do sujeito" [Hegel, 1929, I:128]. A superação dialética dessa dicotomia deve-se a Marx e Lacan que se declararam contrários a Hegel mas foram hegelianos na solução que deram a ela.
iii O parágrafo está redigido no condicional para explicitar uma dificuldade na exposição. Evidentemente a matemática, como algo, tem um só outro e é a partir desse outro único que todas as determinidades se refletem e voltam ao algo. Entretanto tal outro só poderá ser exposto a partir do ser completamente desenvolvido, ou seja, a partir do conceito, portanto só ao final do desenvolvimento lógico. O que se pode adiantar é que esse ser outro único terá determinidades tanto da física, quanto da advocacia quanto da poesia, de modo que as conclusões do parágrafo sobre a determinação reflexiva dessas qualidades será ainda válida.
