Funções de valor com pesos difusos

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Funções de valor com pesos difusos

Daniel Nuno Ribeiro Rego

MESTRADO EM ENGENHARIAELETROTÉCNICA E DE COMPUTADORES

ESPECIALIZAÇÃO EM ENERGIA

Orientador: Professor Doutor Manuel António Cerqueira da Costa Matos

Janeiro 2023

Resumo

Ao longo dos anos, a sociedade deparou-se com inúmeros problemas de decisão em diversas áreas, como a economia, política, saúde, engenharia, entre outras. Uma particularidade deste tipo de problemas é o facto de serem constituídos por várias alternativas avaliadas segundo mais do que um critério, tratando-se assim de problemas de decisão multiatributo. O tratamento destes problemas pode ser auxiliado com a utilização de diferentes métodos, como oAnalytic Hierarchy Processe oÉlimination Et Choix Traduisant la Realité.

Na presente dissertação, pretendeu-se desenvolver uma metodologia para auxiliar o Agente de Decisão a lidar com questões de indecisão na definição de parâmetros nas funções de valor, designados de pesos. O Agente de Decisão é a pessoa ou o conjunto de peritos que têm o papel de tomar a decisão perante determinado problema.

A revisão de literatura revelou a recorrente utilização de métodos baseados em funções de valor ou em relações deoutranking(prevalência) entre as alternativas, para a realização da sua escolha, ordenação ou classificação.

Para a formulação analítica, a metodologia desenvolvida baseou-se na teoria de funções de va- lor, tendo sido considerados números difusos na sua formulação. Para situações de maior número de critérios, foi proposto um método de simulação, baseado noStochastic Multicriteria Accepta- bility Analisys.

Para demonstrar o potencial da metodologia desenvolvida, esta será utilizada para lidar com um caso de estudo, neste caso, na área de Energia do Mestrado de Engenharia Eletrotécnica e Computadores. Os resultados obtidos nos exemplos ilustrativos e no caso de estudo revelaram que a utilização desta metodologia é capaz de reduzir a incerteza final, auxiliando o Agente de Decisão na toma da sua decisão, através dos valores da percentagem de ocorrência e o grau de pertença máximo de cada ordenação, consoante o nívelα que considere adequado.

Palavras-chave:Dependência, Função de valor, Pesos difusos, Solução preferida.

i

Abstract

Over the years, society has been confronted with numerous decision-making problems in va- rious fields such as economics, politics, health, technology, and others. A distinctive feature of these types of problems is that they consist of several alternatives evaluated according to more than one criterion, making them multi-attribute decision problems. The treatment of these pro- blems can be supported by the use of different methods, such as the Analytic Hierarchy Process and the Élimination Et Choix Traduisant la Realité.

In this dissertation, the goal was to develop a methodology that helps the Decision Maker to deal with indecision problems in defining parameters. The Decision Maker is the person or set of experts who have the role of making a decision when faced with a given problem.

The literature review revealed the recurrent use of methods based on value functions or on outranking relations between the alternatives, to perform their choice, ordering or ranking.

For the analytical formulation, the developed methodology was based on the theory of value functions, and fuzzy numbers were considered in its formulation. For situations with a greater number of attributes, a simulation method was proposed, based on the Stochastic Multicriteria Acceptability Analisys.

To demonstrate the potential of the developed methodology, it will be used to deal with a case study, in this case, in the Energy area of the Master’s Degree in Electrotechnical and Computer Engineering.

The results obtained in the illustrative examples and in the case study revealed that the use of this methodology is capable of reducing the final uncertainty, assisting the Decision Maker in making his decision, through the values of the percentage of occurrence and the maximum degree of belongingness of each ordination, according to theα-cut he considers appropriate.

Keywords:Dependency, Fuzzy Weigths, Preferred Solution, Value Function.

iii

Agradecimentos

Em primeiro lugar, agradeço ao Professor Doutor Manuel Matos por todo o acompanhamento, paciência e conselhos ao longo da realização desta dissertação.

Quero expressar a minha gratidão para com a minha família, pela oportunidade e apoio para a concretização deste curso, em especial à minha irmã Rebeca e namorada Catarina por me terem ensinado como se deve escrever em português. Não esquecendo também da minha segunda família, a família Mota, que vão ter sempre um lugar especial no meu coração.

Quero agradecer também aos meus amigos que me acompanharam ao longo do percurso aca- démico, nos bons e menos bons momentos. Ao Dias, por seres tão atraente. Obrigado por seres quem és. Ao Peixe, o animal + aleatório que vi. À Mafi, pelas belas tardes de álcool depois de um dia inteiro na biblioteca. Ao Bernardo, por me permitir trabalhar num ambiente tranquilo e sossegado que me proporcionou a alcançar os meus objetivos. Ao Rui, ser muito amigável, obri- gado. Ao VT, por me ter acompanhado este tempo todo com a tese dele também, e por todos os finos de reflexão após longos dias de trabalho. Ao meu amigo Luisão, por me convencer que os super-poderes são inúteis. Ao Ramiro, o Repetente, por ser o melhor parceiro para torneios de vo- leibol, apesar de ser manco. Ao Tropa, por se sacrificar sempre para tirar as fotografias de grupo.

Aos guerreiros de eletro, Marco, Lúcio, Henrique e Martim, por partilharem comigo o meu sofri- mento e alegrias durante os últimos 6 anos e meio. Ao Ilha, Enes, Hélder, Armando e Mera, por tomarem sempre bem conta de mim (vocês sabem). À Sara, por ser a melhor parceira que podia ter para os trabalhos de grupo. Ao Restivo, por me ter oferecido um emblema da Super Bock. À Rita, Lina, Guida e Miguel, por proporcionarem grandes noites de convívio que ficaram na pouca memória que me sobra. À Carolina, por não me deixar escrever "Organizando as ordenações por ordem decrescente..." na dissertação. Ao João, obrigado pelos jantares, em detrimento de tudo o resto. Ao grupo de Discord mais lindo, oPatapouf, grupo mais aleatório de pessoas, pelas galas e jogos que ajudaram a ocupar o tempo durante a quarentena. Não posso esquecer de agradecer ao grupo dos mais gostosos de Lousada e arredores, Mister Moura, Gabi, Edu, (Joca, Rogério e Jorge), Leal e Ruizão, pelas noites de copofonia para relaxar e recarregar energias para a semana de trabalho seguinte. À Márcia, por me manter confiante e motivado para acabar o curso, nunca deixando de falar dos seus cãezinhos lindos. À Lara por ter utilizado o seu tempo no desemprego para me ajudar a rever a tese várias vezes. À Elisa, por me iluminar os dias sempre com boas vibes. Devido a ter fraca memória, certamente que me esqueci de alguém. Por esse motivo, quero fazer um agradecimento geral aos meus amigos todos, que assim ninguém se sente posto de lado.

Finalmente, nunca é demais agradecer ao meu amigoDias.

Por último, esta tese é dedicada.

Daniel Rego

v

“The world isn’t perfect. But it’s there for us, doing the best it can. . . that’s what makes it so damn beautiful”

Roy Mustang

vii

Índice

Resumo i

Abstract iii

Agradecimentos v

Abreviaturas xv

1 Introdução 1

1.1 Enquadramento e motivação . . . 1

1.2 Objetivos . . . 1

1.3 Estrutura da Dissertação . . . 2

2 Problemas de decisão multiatributo 3 2.1 Funções de valor . . . 4

2.2 Escola Francesa . . . 8

2.3 Síntese . . . 9

3 Incerteza nos pesos 11 3.1 Ajuda na escolha dos pesos . . . 11

3.2 Números difusos . . . 14

3.3 Pesos difusos . . . 16

3.4 Pontuações difusas . . . 17

3.4.1 Colapso por centro de gravidade . . . 18

3.4.2 Outros métodos . . . 19

3.5 Stochastic Multicriteria Acceptability Analisys. . . 20

3.6 Síntese . . . 22

4 Dependência entre pesos difusos 23 4.1 Efeito da dependência no cálculo das pontuações difusas . . . 23

4.2 Efeito da dependência na comparação das pontuações difusas . . . 25

4.3 Síntese . . . 27

5 Formulações analíticas 29 5.1 Problema de decisão multiatributo com dois critérios . . . 30

5.1.1 Abordagem . . . 30

5.1.2 Exemplo ilustrativo 1 . . . 32

5.2 Problema de decisão multiatributo com três critérios . . . 37

5.2.1 Abordagem . . . 37 ix

5.2.2 Exemplo ilustrativo 2 . . . 38

5.3 Síntese . . . 43

6 Validação dos resultados por simulação 45 6.1 Método de simulação . . . 45

6.2 Análise dos resultados . . . 48

6.2.1 Validação do exemplo ilustrativo 1 . . . 48

6.2.2 Validação do exemplo ilustrativo 2 . . . 50

6.3 Síntese . . . 52

7 Caso de estudo 55 7.1 Apresentação do caso de estudo . . . 55

7.2 Análise de resultados . . . 57

7.2.1 Pesos determinísticos . . . 59

7.2.2 Pesos sob a forma de intervalos . . . 60

7.2.3 Pesos sob a forma de números difusos triangulares . . . 63

7.3 Síntese . . . 66

8 Conclusões 69 8.1 Observações finais . . . 69

8.2 Trabalho futuro . . . 70

Referências 71 A Método de simulação desenvolvido 75 A.1 Sorteio dos pesos . . . 75

A.2 Grau de pertença . . . 76

A.3 Ordenação . . . 77

A.4 Convergência . . . 78

Lista de Figuras

3.1 Representação de um número intervalar⁽¹⁾, número difuso triangular⁽²⁾e número

difuso trapezoidal⁽³⁾, [1] . . . 14

3.2 Representação da multiplicação entre dois números difusos trapezoidais, adaptado de [2] . . . 16

3.3 Representação do peso jpara um nívelα . . . 17

3.4 Fluxograma do procedimento utilizado pelo SMAA, adaptado de [3] . . . 21

4.1 Representação das pontuações das alternativas considerando independência entre pesos difusos . . . 24

4.2 Representação da comparação entre as pontuações das alternativas considerando independência e dependência entre pesos difusos . . . 25

4.3 Representação das pontuações das alternativasAeB . . . 25

4.4 Comparação das pontuações difusas, considerando independência e dependência entre pesos difusos . . . 27

5.1 Representação da interseção do espaço de pesos com as expressões . . . 31

5.2 Representação do espaço de pesos definidos pelo AD para um problema de decisão com dois critérios . . . 32

5.3 Representação do espaço de pesos para dois critérios intersetado com as inequa- ções lineares . . . 33

5.4 Representação da interseção das inequações lineares com o espaço de pesos para diferentes níveisα: (1)α=0; (2)α=0,5 e (3)α=1 . . . 35

5.5 Representação do espaço de pesos definidos pelo AD com a interseção da reta auxiliar e as inequações lineares . . . 36

5.6 Representação do espaço de pesos para três critérios . . . 38

5.7 Representação do espaço de pesos para os três critérios definidos pelo AD . . . . 39

5.8 Representação da interseção das inequações lineares com o espaço de pesos defi- nidos pelo AD, comw₃fixado . . . 41

7.1 Função de valor parcial do Custo de Investimento e Manutenção . . . 57

7.2 Função de valor parcial das Emissões deCO₂ . . . 58

7.3 Função de valor parcial do Emprego . . . 58

7.4 Comparação dos critérios dos três projetos de investimento . . . 59

7.5 Representação das pontuações de cada alternativa . . . 61

7.6 Representação das pontuações da diferença entre pares de alternativas . . . 62

7.7 Representação das pontuações das alternativas do caso de estudo com pesos sob a forma determinística . . . 66

xi

7.8 Representação da percentagem de ocorrência de cada ordenação do caso estudo com pesos sob a forma de intervalos . . . 67 7.9 Representação da percentagem de ocorrência de cada ordenação do caso estudo

com pesos sob a forma de números difusos triangulares . . . 67 7.10 Representação do grau de pertença máximo de cada ordenação do caso de estudo

com pesos sob a forma de números difusos triangulares . . . 68

Lista de Tabelas

2.1 Representação de um problema multiatributo comnalternativas avaliadas segundo

mcritérios . . . 3

3.1 Pesos dos critérios utilizandoThe point of allocation method . . . 12

5.1 Percentagem de ocorrência relativa a cada ordenação . . . 33

5.2 Percentagem de ocorrência de cada ordenação para diferentes níveisα . . . 35

5.3 Grau de pertença máximo para cada ordenação . . . 36

5.4 Evolução da percentagem de ocorrência e respetivo grau de pertença máximo de cada ordenação para diferentes níveisα . . . 37

5.5 Percentagem de ocorrência parcial de cada ordenação para os valores de∆consi- derados . . . 41

5.6 Percentagem de ocorrência para cada ordenação para um nívelα≥0 . . . 42

6.1 Percentagem de ocorrência de cada ordenação . . . 49

6.2 Evolução da percentagem de ocorrência e grau de pertença máximo de cada orde- nação para diferentes níveisα . . . 49

6.3 Percentagem de ocorrência para cada ordenação . . . 50

6.4 Evolução da percentagem de ocorrência e grau de pertença máximo correspon- dente a cada ordenação para diferentes níveisα . . . 52

7.1 Avaliação do tipo de critério . . . 57

7.2 Matriz de decisão inicial . . . 57

7.3 Matriz de funções de valor parciais de cada critério para cada alternativa . . . 59

7.4 Percentagem de ocorrência e grau de pertença máximo para cada ordenação . . . 63

7.5 Evolução da percentagem de ocorrência e respetivo grau de pertença máximo re- lativo a cada ordenação para diferentes níveisα . . . 65

xiii

Abreviaturas

AD Agente de Decisão

AHP Analytic Hierarchy Process

CoG Centro de Gravidade

ELECTRE Élimination Et Choix Traduisant la Realité

MACBETH Measuring Attractiveness by a Categorical Based Evalua tion Technique PROMETHEE Preference ranking organization method for enrichment evaluation SMAA Stochastic Multicriteria Acceptability Analisys

xv

Capítulo 1

Introdução

1.1 Enquadramento e motivação

Ao longo dos anos, a sociedade deparou-se com inúmeros problemas de decisão em diversas áreas, como a economia, política, saúde, engenharia, entre outras. Uma particularidade deste tipo de problemas é o facto de serem constituídos por várias alternativas avaliadas segundo mais do que um critério, tratando-se assim de problemas de decisão multiatributo. Usualmente, os critérios são conflituosos, sendo assim impossível chegar a uma solução ótima [4]. Dessa forma, são utilizados métodos para lidar com problemas de decisão, com a finalidade de auxiliar o Agente de Decisão (AD) na decisão da alternativa que lhe é preferida.

Uma das abordagens para lidar com este tipo de problemas baseia-se na teoria de funções de valor. As funções de valor são utilizadas para calcular as pontuações de cada alternativa, pressupondo-se que são sempre a maximizar, pelo que o AD pode, ou ordenar as alternativas por ordem decrescente, ou escolher a alternativa com maior pontuação. Para se poder aplicar as funções de valor, é necessário ter informação sobre os pesos relativos a cada critério, onde, em certas condições, o AD pode fixar diretamente os valores dos pesos. No entanto, há situações em que o AD pode ter incerteza sobre que valores utilizar, pelo que lhe é permitido definir os pesos sob a forma de intervalos ou outros números difusos.

1.2 Objetivos

Na presente dissertação, pretende-se desenvolver uma reflexão sobre a incerteza dos pesos dos critérios, com a finalidade de fornecer resultados consistentes ao AD.

Desta forma, definiram-se os seguintes objetivos:

• Desenvolver uma metodologia para permitir lidar com questões de indecisão.

• Explorar funções de valor aplicadas a métodos para problemas de decisão multiatributos.

• Analisar o efeito da dependência entre pesos.

1

• Desenvolvimento de uma formulação analítica da metodologia.

• Desenvolvimento de um método de simulação.

• Aplicação da metodologia no caso de estudo.

1.3 Estrutura da Dissertação

A presente dissertação está dividida emoito capítulos.

NoCapítulo 1, é realizada uma introdução relativa ao trabalho a desenvolver, onde é feito um enquadramento do problema e se referem quais os objetivos a atingir com a realização da presente dissertação.

No Capítulo 2, é apresentado o estado de arte, onde se caracteriza um problema de deci- são multiatributo e algumas abordagens para lidar com esse tipo de problemas. Por um lado, há abordagens baseadas na teoria de funções de valor, onde, em certas circunstâncias, pode ser utili- zado um procedimento simplificado baseado emtrade-offs. Por outro lado, há abordagens que se baseiam em relações de prevalência entre alternativas.

NoCapítulo 3, são apresentados métodos de ajuda à escolha dos pesos em situações de in- certeza por parte do AD. Com isto, é introduzido o conceito de número difuso, que pode ser estendido aos pesos. Por se tratar de pesos difusos, são apresentados métodos para realizar o co- lapso das pontuações das alternativas. Por último, é apresentado um método de simulação para lidar com incerteza em problemas de decisão.

NoCapítulo 4, é analisada a importância da consideração da dependência entre pesos difusos no cálculo das pontuações e na comparação das pontuações das alternativas.

NoCapítulo 5, são apresentadas as formulações analíticas da metodologia desenvolvida para lidar com problemas de decisão multiatributo com diferentes números de critérios. Para exempli- ficar a aplicação das abordagens, consideraram-se dois exemplos ilustrativos, a partir dos quais é feita uma análise e discussão dos resultados obtidos.

No Capítulo 6, é descrito o método desenvolvido para obter os resultados por simulação, seguido da aplicação aos exemplos ilustrativos considerados no capítulo anterior.

NoCapítulo 7, é apresentado o caso de estudo, seguido da recolha e análise dos resultados finais por aplicação da metodologia desenvolvida.

Por último, noCapítulo 8, são apresentadas as conclusões finais do trabalho e sugestões para o trabalho futuro.

Capítulo 2

Problemas de decisão multiatributo

Num problema de decisão consideram-se diversos critérios de avaliação das possíveis solu- ções, onde, na maioria dos casos, os critérios são conflituosos. Este tipo de problemas são deno- minados de problemas de decisão multicritério [5].

Um problema de decisão multicritério pode apresentar-se como um problema multiobjetivo ou um problema multiatributo. Um problema de decisão multiobjetivo é definido por um conjunto de restrições e por várias funções objetivo [6], que normalmente são conflituosas. Nesta dissertação não se vai focar neste tipo de problema.

Um problema de decisão multiatributo é definido por um conjunto de alternativas,A₁,A₂, . . . , A_n, avaliadas segundo os critérios,C₁, C₂, . . . , C_m, em quen representa o número de alternati- vas e mo número de critérios que constituem o problema de decisão multiatributo. Assume-se que as alternativas estão completamente definidas e viáveis, e que os atributos podem ser cara- terizados por valores determinísticos, probabilísticos, intervalos, números difusos triangulares ou números difusos trapezoidais. As alternativas relativas ao problema de decisão podem ser organi- zadas conforme apresentado na Tabela2.1, ondeai j representa o valor do atributo correspondente à alternativaisegundo o critério j, comi∈ [1; n]e j∈ [1; m]. A alternativaA_i corresponde a Ai= (ai1, a_i2, . . . , aim).

Tabela 2.1: Representação de um problema multiatributo comnalternativas avaliadas segundom critérios

Alternativas Critérios C₁ C₂ · · · Cm

A₁ a₁₁ a₁₂ · · · a_1m A₂ a₂₁ a₂₂ · · · a_2m

· · · · An a_n1 a_n2 anm

Os problemas de decisão multiatributo podem assumir diferentes tipos, podendo ser um pro- blema de escolha, ordenação ou classificação das alternativas propostas. Normalmente, não existe

3

uma solução ótima devido à conflitualidade entre os critérios, pelo que as soluções finais são de- nominadas de soluções preferidas. As metodologias de ajuda à decisão não têm como finalidade fornecer uma solução, mas sim auxiliar o AD a decidir qual a solução preferida.

A abordagem usada em problemas de decisão multiatributo pode ser baseada na teoria de fun- ções de valor - conceito que vai ser explorado no ponto 2.1- que alguns autores denominam de Teoria de Utilidade Multiatributo determinístico [7]. Existe ainda uma panóplia de métodos base- ados na teoria de funções de valor que procuram explorar os julgamentos de preferência binária do AD, salientando-se o método Analytic Hierarchy Process (AHP) [8] e o métodoMeasuring Attractiveness by a Categorical Based Evaluation Technique(MACBETH) [9].

O método AHP, desenvolvido por Thomas L. Saaty nos anos 70, baseia-se na realização de julgamentos pelo AD sobre as relações de preferência entre alternativas. Por outro lado, o mé- todo MACBETH, desenvolvido no início dos anos 90 por C. A. Bana e Costa e J. C. Vansnick, baseia-se na realização de julgamentos da diferença de preferência entre alternativas. Ambos os métodos recorrem a matrizes de comparação binárias, onde são estabelecidas relações entre pares de alternativas segundo cada critério, e uma outra matriz de comparação binária para os critérios, onde são estabelecidas relações entre pares de critérios.

Em contrapartida, existem outros métodos que não são baseados na teoria de funções de valor.

Na década de 60, Bernard Roy fundou a escola Francesa [10] (escola Europeia), que se baseia em relações de prevalência entre as alternativas e na utilização de pesos que caraterizam a força do voto do critério. A escola Francesa foi desenvolvida a partir de críticas à teoria de funções de valor, introduzindo os conceitos de limiar de veto(veto threshold), limiar de indiferença e limiar de preferência forte, para caraterizar a posição do AD na comparação de duas alternativas. Da escola Francesa, salientam-se dois métodos: oÉlimination Et Choix Traduisant la Realité(ELECTRE) e oPreference ranking organization method for enrichment evaluation(PROMETHEE). Ambos os métodos vão ser explorados no ponto2.2.

2.1 Funções de valor

Para lidar com problemas de decisão multiatributo podem ser utilizadas funções de valor, especialmente na sua forma aditiva quando são verificadas certas condições de independência [11], podendo ser formuladas segundo a expressão apresentada em (2.1). Este tipo de funções de valor são denominadas de funções de valor aditivas [12]. Uma função de valor aditiva, ondeAirepresenta a alternativa dentro do domínio do problema, pode ser representada pela seguinte função:

v(Ai) =

m

∑

j=1

k_j·v_i(ai j) (2.1)

Onde,

• i= (1, 2, . . . , n)e j= (1,2, . . . , m);

• kj representa os parâmetros da função multiatributo, geralmente designados por pesos;

2.1 Funções de valor 5

• ai jrepresenta o atributo da alternativaisegundo o critério j;

• vi(ai j)representa o valor da alternativaisegundo o critério j.

SejaXo conjunto de todas as alternativas, ondex,yezsão alternativas dentro do domínio da função, uma função de valor pode ser elaborada se forem respeitados os seguintes axiomas [12]:

1. (x≥yex̸=y) =⇒ x≻y,∀(x,y)∈ X;

2. ∀(x,y, z)∈Xde tal modo quex≻y≻z,∃!λ ∈(0,1)tal quey∼(λ·x+ (1−λ)·z) Uma função de valorv(Ai), ondexeysão alternativas dentro do domínio da função, apresenta as seguintes condições [13]:

v(x)>v(y)⇒x≻y (2.2)

v(x) =v(y)⇒x∼y (2.3)

Segundo B. Roy e Ph. Vincke [14], das situações que resultam da comparação de duas alter- nativas, destacam-se as mencionadas acima. Quando o valor da alternativax é superior ao valor da alternativay, a alternativaxé preferível(≻)quando comparada com a alternativay(condição 2.2). Por outro lado, quando o valor das alternativas é igual, há indiferença(∼)na escolha entre as alternativasxey(condição2.3).

Para a determinação dos parâmetros das funções de valor multiatributo, vulgarmente conheci- dos por pesos, é necessário recorrer a julgamentos de preferência realizados pelo AD. Dos diversos procedimentos existentes, destacam-se o julgamento de indiferença e oswing weights[15].

Como indicado, um método para determinar os pesos é baseado no estabelecimento de jul- gamentos de indiferença [16]. O AD realiza m−1 julgamentos de indiferença, ondemé o nú- mero de critérios do problema de decisão, que vão constituir um sistema de equações, a par- tir do qual se obtém o peso relativo a cada critério. Considerando um problema multiatributo com quatro alternativas(R, S, T, U)avaliadas segundo três critérios(m=3), é necessário criar dois julgamentos de indiferença. Assume-se que o AD tem indiferença entre as alternativasReS (R∼S)⇒(r₁,r₂,r₃)∼(s₁, s₂,s₃)e as alternativasT eU(T ∼U)⇒(t₁,t₂,t₃)∼(u₁,u₂,u₃).

Definidos os julgamentos de indiferença pelo AD, pode-se construir um sistema de equações (2.4) para determinar os valores dos pesos.











k₁·v₁(r₁) +k₂·v₂(r₂) +k₃·v₃(r₃) =k₁·v₁(s₁) +k₂·v₂(s₂) +k₃·v₃(s₃) k₁·v₁(t₁) +k₂·v₂(t₂) +k₃·v₃(t₃) =k₁·v₁(u₁) +k₂·v₂(u₂) +k₃·v₃(u₃) k₁+k₂+k₃=1

(2.4)

Nesta perspetiva, os parâmetros k não correspondem a pesos relativos da importância dos critérios, exceto em situações em que se utiliza a mesma escala em todos os atributos. Por exemplo, em Portugal, utiliza-se a escala de 0 a 20 para as classificações académicas. Nos problemas de decisão em que os atributos se encontram à mesma escala, o AD pode fixar diretamente os valores

dos pesos nas funções de valor. Este aspeto será considerado para a criação da metodologia de ajuda à decisão.

Outro método para a determinação dos pesos baseia-se noswing weights[15]. Neste método, o AD ordena os critérios por ordem decrescente de importância, com base no aumento de satisfa- ção quando o critério varia(swing)do seu valor mínimo para máximo. Ao critério cuja variação apresenta maior satisfação, é-lhe atribuído um valor (peso) de 100. Os pesos dos restantes critérios são obtidos em relação ao critério com maior aumento de satisfação (maiorswing). Considerando dois critérios,c₁ec₂, admite-se que o critérioc₁teve o maior aumento de satisfação. O valor do peso relativo ao critérioc₂é igual ao valor quec₁deve de ter para compensar a variação do crité- rioc₂do seu valor máximo para mínimo. Este processo é repetido para todos os critérios, sempre em relação ao critério cuja variação dá maior satisfação. No final, é realizada a normalização dos pesos, de modo a que o somatório dos pesos totalize 1,∑^m_j=1 wj=1.

Quando a função de valor se escreve da forma apresentada na equação (2.1), cada critério pode ser caraterizado por uma função de valor individual. A função de valor individual descreve a variação de satisfação do AD ao longo da escala de um critério, sem considerar a influência dos outros critérios, pelo que podem assumir diversos tipos - linear, quadrática, exponencial - de acordo com a preferência do AD.

Numa função de valor individualv(ai j), ondea_{i j} representa o atributo da alternativaisegundo o critério j, geralmente, em cada critério, atribui-se o valor de 1 ao melhor atributo e 0 ao pior atributo.

Devido à existência de critérios com direções de preferência diferentes, as funções de valor individuais podem ser de minimização ou maximização, sendo representadas com(1)e(2), res- petivamente, nas expressões (2.5), (2.6), (2.7), (2.8), (2.9) e (2.10). Apesar disso, as funções de valor individuais definidas para cada critério são sempre orientadas à maximização do seu valor, independentemente de o critério ser a minimizar ou a maximizar. Importante salientar que as ex- pressões apresentadas para definir cada tipo de função de valor individual são exemplos, podendo ser definidas por outras expressões.

Nos casos em que o AD define que variações iguais num atributo correspondem a variações iguais no valor do atributo ao longo da sua escala, a função de valor individual assume o tipo linear. As funções de valor lineares podem ser definidas segundo as seguintes expressões:

(1): v(x) =x_n= x_max−x xmax−xmin

(2.5) (2): v(y) =y_n= y−y_min

y_max−y_min (2.6)

No entanto, há situações em que o AD tem necessidade de definir valorizações diferentes para a variação do atributo ao longo da sua escala. Por esse motivo, a função de valor individual pode ser do tipo quadrática ou exponencial. Relativamente às funções de valor quadráticas, podem ser definidas segundo as seguintes expressões:

2.1 Funções de valor 7

(1): v(x) = (xn)²=

xmax−x xmax−xmin

2

(2.7) (2): v(y) = (yn)²=

y−ymin

ymax−ymin

2

(2.8) No que toca às funções de valor exponenciais, podem ser definidas segundo as seguintes ex- pressões:

(1): v(x) = e^a·xn−1 e^a−1 =e^a·

xmax−x

xmax−xmin

−1

e^a−1 (2.9)

(2): v(y) = e^a·yn−1 e^a−1 =e^a·

_y−

ymin ymax−ymin

−1

e^a−1 (2.10)

O parâmetroa nas expressões (2.9) e (2.10) permite ajustar a função consoante a maior ou menor preocupação do AD em permanecer na proximidade dos melhores valores. Os melhores valores são aqueles que se aproximam dos valores quando se considera uma função do tipo linear.

Determinadas as funções de valor individuais e estabelecidos os pesos relativos a cada critério, podem ser aplicadas as funções de valor para calcular a pontuação de cada alternativa. Como as funções de valor são orientadas a maximizar o seu valor, pressupõe-se que as pontuações também são a maximizar. Calculadas as pontuações, o AD pode, ou escolher a alternativa com maior pontuação, ou ordenar as alternativas por ordem decrescente.

Nos casos em que todas as funções de valor individuais são lineares, pode ser utilizado um procedimento simplificado baseado emtrade-offs(valores de compensação) para a formulação de funções de valor não normalizadas. Otrade-offentre dois critérios,ciecj, pode ser definido como sendo um compromisso no qual, uma diminuição ou perda no critérioc_i resulta num aumento ou ganho no critérioc_j, comi̸=j[17].

Os trade-offs permitem a avaliação das alternativas através da seguinte função agregada de avaliação:

f(a_i1,a_i2, . . . , a_1m) =a_i1±β₁·a_i2± · · · ±βm−1·a_im (2.11) Onde,

• a_i1representa o atributo associado ao critério de referência;

• β₁, . . . , βm−1 correspondem aos trade-offs dos atributos a_i2, . . . , a_1m, relativamente ao atributoa_i1.

Na função apresentada em (2.11), geralmente, o critério relativo ao custo é definido como sendo o critério de referência - corresponde ao critério relativo ao atributo a_i1 - sendo depois estabelecidostrade-offs para os restantes critérios. Ao admitir o custo como sendo o critério de referência e que as restantes parcelas estão na mesma unidade ( C/uni.), tem-se que a função apre- sentada em (2.11) é do tipo custo equivalente. Este tipo de abordagem serve unicamente para

realizar a comparação e sucessiva ordenação das alternativas, não tendo um significado monetário real.

O operador matemático que separa as parcelas na fórmula (2.11) é apresentado com "±" uma vez que depende da direção de preferência do critério. Como a função apresentada é do tipo custo equivalente, pressupõe-se que se pretende minimizar o custo total. Por este motivo, utiliza-se o operador positivo ou negativo, se houver interesse em minimizar ou maximizar o critério em causa, respetivamente.

A utilização desta abordagem admite que os trade-offs são válidos (constantes) em todo o espaço de decisão, podendo ser traduzidos em curvas de indiferença lineares.

2.2 Escola Francesa

Uma das principais características dos métodos desenvolvidos na escola Francesa passa por incluírem pesos consoante a importância dos critérios [18]. Estes são usados numa espécie de votação, onde os critérios votam nas alternativas de acordo com o seu peso e performance. É uma abordagem diferente da abordagem baseada na teoria de funções de valor, visto que os pesos não desempenham o mesmo papel, apesar de terem a mesma denominação que os pesos referidos no ponto2.1. Neste caso, não correspondem a parâmetros de uma função de valor.

Como foi referido, um dos métodos da escola Francesa é o ELECTRE [19], desenvolvido por Bernard Roy e seus associados na década de 60. O ELECTRE é uma família de métodos, tais como: ELECTRE I, IS, II, III, IV e Tri. De um modo geral, o ELECTRE consiste na realização de comparações entre pares de alternativas para cada critério, onde são calculados índices de concor- dância e discordância para estabelecer a prevalência entre as alternativasA_peA_q, ondeA_p,A_q∈A.

Além disso, este método dispõe de um parâmetro denominado de limiar de veto [20], que pode ser definido como sendo um intervalo de valores, que são suficientes para negar a afirmação de que uma alternativa supera outra.

Os conceitos de concordância e discordância entre duas alternativas,aeb, podem ter a seguinte interpretação [21]:

• Concordância: coligação dos critérios que concordam com a afirmação de que a alternativa anão é pior do que a alternativab.

• Discordância: desacordo com a afirmação de que a alternativa a supera a alternativa b.

Atinge o valor de 1 se a vantagem da alternativa b sobre a alternativa a for superior ao limiar de veto.

Outro método da escola Francesa é o PROMETHEE [22], desenvolvido por Jean-Pierre Brans na década de 80. Este método consiste na realização de comparações da diferença entre as pon- tuações de pares de alternativas para cada critério, para estabelecer a prevalência da alternativa A_p relativamente à alternativa A_q, ondeA_p, A_q∈Ae p̸=q. Para tal, é calculado para cada par de alternativas um índiceπ(Ap, Aq), que representa o grau no qual a alternativaApé preferida à

2.3 Síntese 9

alternativaAq, com as seguintes propriedades:











0≤π(Ap, A_q)≤1, 0≤π(Aq,Ap)≤1,

0≤π(Ap, A_q) +π(Aq,A_p)≤1.

(2.12)

Para se realizar a classificação das alternativas, são calculados dois índices para cada alterna- tiva, denominados de fluxo de saída,φ⁺, e fluxo de entrada,φ⁻[23]:

• φ⁺ representa o grau em que uma alternativa domina todas as outras. Quanto maior for o valor deφ⁺, melhor a alternativa;

φ⁺= 1 n−1

n

∑

q=1 q̸=p

π(Ap,Aq)

• φ⁻representa o grau em que uma alternativa é dominada por todas as outras. Quanto menor for o valor deφ⁻, melhor a alternativa.

φ⁻= 1 n−1

n

∑

q=1 q̸=p

π(Aq,A_p)

Obtidos os fluxos de saída e entrada para cada alternativa, pode ser realizada a classificação parcial (PROMETHEE I) ou completa (PROMETHEE II) das alternativas, de acordo com a pre- ferência do AD [24]. Na maioria dos casos, o AD prefere obter informação sobre a classificação completa das alternativas, pelo que é preciso calcular o fluxo de prevalência de cada alternativa:

φ(Ai) =φ⁺(Ai)−φ⁻(Ai) (2.13) Comi∈[1; n].

Dadas duas alternativasa, b∈A, a alternativaasupera a alternativabse: φ(a)≥φ(b), e há indiferença entre as alternativas se:φ(a) =φ(b).

2.3 Síntese

Existem inúmeros problemas de decisão que são constituídos pornalternativas avaliadas se- gundomcritérios, consistindo assim em problemas de decisão multiatributo. Estes atributos podem ser caraterizados por valores determinísticos, probabilísticos, intervalos, números difusos triangu- lares ou números difusos trapezoidais. Uma abordagem para lidar com problemas de decisão desta natureza tem como base a teoria de funções de valor. Uma função de valor representa o valor de uma alternativa segundo os diferentes critérios. A utilização destas funções na sua forma aditiva permite caraterizar cada critério segundo uma função de valor individual. Por sua vez, uma função

de valor individual descreve a variação da satisfação do AD ao longo da escala de um critério, sem a influência de ademais critérios. Outras abordagens para lidar com problemas de decisão, desenvolvidas na Escola Francesa, consistem na utilização de pesos consoante a importância dos atributos, como o ELECTRE e o PROMETHEE.

Capítulo 3

Incerteza nos pesos

Nas condições descritas no capítulo anterior, nos problemas de decisão em que todos os atribu- tos estão definidos na mesma escala, o AD tem a opção de fixar diretamente os valores dos pesos.

Com isto, pressupõe-se que as pontuações resultantes das funções de valor definidas são sempre a maximizar. No entanto, há situações em que o AD tem incerteza sobre que valores utilizar, pelo que lhe é possível fornecer os pesos sob a forma de intervalos, números difusos triangulares ou número difusos trapezoidais.

3.1 Ajuda na escolha dos pesos

Como mencionado anteriormente, quando os atributos estão todos à mesma escala, o AD pode fixar diretamente os valores dos pesos. Para tal, existem diversos métodos que auxiliam o AD no estabelecimento dos valores dos pesos, desde métodos subjetivos, com aplicação direta, a métodos objetivos, onde a informação relativa aos critérios é processada através de fórmulas matemáticas.

Ao utilizar métodos subjetivos, os valores dos pesos podem ser determinados pelo AD ou por um conjunto de pessoas, com base nos seus conhecimentos e preferências. De entre os métodos subjetivos existentes [25], salientam-se os seguintes:

1. The pairwise comparisons: comparação entre pares de critérios, no qual o AD quantifica a relação entre pares de critérios, numa escala de 1 a 9, consoante a sua preferência. Este procedimento é utilizado em métodos como o AHP.

2. Ranking method: neste, o AD atribui uma classificação a cada critério, desde o mais ao menos importante. Os pesos podem ser calculados de três formas diferentes:

• Rank sum(RS): divisão da classificação relativa ao critério j, pela soma das classifi- cações de todos os critérios, ambos normalizados.

w_j(RS) = m−pj+1

∑^m_k=1m−p_k+1 (3.1)

Ondepj é a classificação do critério de índicej, com j∈[1; n].

11

• Rank exponent(RE): semelhante aoRank sumsendo que, neste caso, o divisor e o di- videndo são elevados a um expoenteq, cujo valor é estimado pelo AD, como resultado do critério mais importante.

wj(RE) = (m−pj+1)^q

∑^m_k=1(m−p_k+1)^q (3.2)

• Rank reciprocal (RR): divisão do inverso da classificação relativa ao critério j pelo inverso das somas das classificações de todos os critérios, ambos normalizados.

wj(RR) =

1 p_j

∑^m_k=1p¹

k

(3.3)

É de salientar que este método não é aconselhado quando se trata de problemas de decisão com um elevado número de critérios [25].

3. The point of aloccation method:o AD atribui um número hipotético de pontos a cada cri- tério. Quanto maior for a importância relativa do critério, maior a pontuação que recebe. A título de exemplo, considerou-se um projeto de implementação de um parque solar fotovol- taico numa certa localização, com os seguintes critérios: investimento, tempo de retorno, produção, poupança, exposição solar. Na Tabela3.1está representado uma possível combi- nação de pesos para os critérios apresentados.

Tabela 3.1: Pesos dos critérios utilizandoThe point of allocation method

Critério Pesos

Investimento 10 Tempo de retorno 10

Produção 25

Poupança 35

Exposição solar 20

Total 100

4. Ratio weighting method: o AD atribui, por ordem crescente de importância do critério, múltiplos de 10, sendo que o critério com menor importância tem um peso de 10. Os pesos finais vão ser normalizados, de forma a que a soma totalize 1.

5. Nominal Group Technique:neste método, os valores dos pesos são determinados pela dis- cussão e votação por parte de um painel de peritos.

6. Simple Multi-attribute Rating Technique:o AD classifica cada critério segundo o seu nível de importância. Atribui um peso igual a 10 ao critério que considera menos importante e um peso igual a 100 ao critério que considera mais importante, sendo que os valores dos restantes pesos são definidos consoante a preferência do AD, tendo como referência os critérios menos e mais importantes.

3.1 Ajuda na escolha dos pesos 13

Por outro lado, os valores dos pesos podem ser obtidos por aplicação de métodos objetivos.

Nestes casos, os valores dos pesos são obtidos através do processamento da informação reco- lhida sobre cada critério em fórmulas matemáticas. De entre os métodos objetivos existentes [25], salientam-se os seguintes:

1. Mean Weight:utiliza-se este método quando a informação sobre os critérios é insuficiente ou inexistente. É aplicado um peso igual para todos os critérios, ou seja, considera-se que todos os critérios têm a mesma importância.

wj= 1

m (3.4)

Ondew_jrepresenta o valor do peso do critério j, com j∈ [1;m].

2. Standard Deviation Method:determina os pesos de cada critério em relação ao seu desvio padrão por aplicação de (3.5):

wj= σj

∑ⁿ_j=1σj

(3.5) Ondeσjrepresenta o desvio padrão para o critério j, com j∈[1; m].

3. Criteria importance through inter-criteria:método baseado noStandard Deviation Method no qual é feita uma análise da correlação para determinar o peso de cada critério. Para tal, primeiro é necessário determinar a matriz de decisão normalizada, por aplicação de (3.6) e (3.7). A fórmula (3.6) é usada para critérios de benefício (qualidade, quantidade, etc.) e a fórmula (3.7) é usada para critérios de restrição (custo, emissões, etc.).

ρi j= yi j−y^min_j

y^max_j −y^min_j (3.6)

ρi j= y^max_j −yi j

y^max_j −y^min_j (3.7)

Comi∈[1; n]e j∈[1;m].

Para obter o peso relativo a cada critério, é necessário calcular o coeficiente de correlação linear entre os valores dos critérios por aplicação de (3.8).

vjk= ∑^m_i=1(ρi j−ρ¯j)(ρik−ρ¯k) p

∑^m_i=1(ρi j−ρ¯j)²∑^m_i=1(ρik−ρ¯k)² (3.8) Por fim, para determinar o peso japlica-se a equação (3.9).

w_j= βj

∑^m_k=1βk

(3.9) Ondeβj=σj×∑^m_k=1(1−vjk), com j∈[1;m].

Dos métodos apresentados, a escolha do método depende do número de critérios do problema de decisão e da contribuição do AD com informação sobre os critérios.

No entanto, mesmo com o auxílio dos métodos mencionados, o AD pode continuar com incer- teza nos valores dos pesos estabelecidos, pelo que, em vez de fornecer pesos determinísticos, pode fornecer pesos difusos, isto é, pode definir os pesos sob a forma de intervalos, números difusos triangulares ou números difusos trapezoidais.

3.2 Números difusos

Um número difuso estende-se como sendo um conjunto difuso normalizado e convexo de valores possíveis, surgindo, geralmente, sob a forma de intervalos, números difusos triangulares ou números difusos trapezoidais [1]. De forma a ilustrar a representação de um número difuso, será considerado um número intervalar (intervalo)A= (a; b), um número difuso triangularB= (a;b; c)e um número difuso trapezoidalC= (a;b; c; d), Figura3.1.

Figura 3.1: Representação de um número intervalar⁽¹⁾, número difuso triangular⁽²⁾e número di- fuso trapezoidal⁽³⁾, [1]

Cada número difuso é caraterizado por uma função de pertença,µ(x), a partir da qual se pode obter o grau de pertença (0≤u≤1) para qualquer valor do número difuso, dentro da sua gama. Se o número difuso for definido sob a forma de intervalo, o grau de pertença é unitário para a gama de valores possíveis. Por outro lado, se o número difuso for definido sob a forma de um número

3.2 Números difusos 15

difuso triangular, o grau de pertença obtém-se por aplicação de (3.10) e se o peso for definido sob a forma de um número difuso trapezoidal, o grau de pertença obtém-se por por aplicação de (3.11).

µ(x) =























0, sex≤a

x−a

b−a, sea≤x≤b 1, sex=b

c−x

c−b, seb≤x≤ c 0, sex≥c

(3.10)

µ(x) =























0, sex≤a

x−a

b−a, sea≤x≤b 1, seb≤x≤c

d−x

d−c, sec≤x≤ d 0, sex≥d

(3.11)

Certos procedimentos usados com números reais são inválidos a partir do momento que se está a lidar com números difusos. De modo a apresentar algumas das fórmulas aritméticas difusas utilizadas ao longo da dissertação, serão considerados dois números difusos triangulares, ambos positivos: A = (l₁;m₁;u₁) e B = (l₂; m₂; u₂)[26].

1.A⊕B= (l₁; m₁; u₁)⊕(l₂;m₂;u₂)

= (l1+l₂;m₁+m₂;u₁+u₂)

(3.12)

2.A⊖B= (l1; m₁; u₁)⊖(l2;m₂;u₂)

= (l1−u₂;m₁−m₂; u₁−l₂) (3.13)

3.A⊙B= (λ)⊙(l₁;m₁;u₁)

= (λl₁;λm₁;λu₁) (3.14)

4.A⊙B= (l₁; m₁; u₁)⊙(l₂;m₂;u₂)

≃(l₁l₂;m₁m₂; u₁u₂) (3.15)

Relativamente à equação (3.15), apesar da multiplicação entre dois números difusos triangu- lares não dar origem a um número difuso triangular, pode ser feita essa aproximação. Quanto à multiplicação entre dois números difusos trapezoidais, apesar de não dar origem a um número difuso trapezoidal, pode fazer-se essa aproximação, Figura3.2.

Figura 3.2: Representação da multiplicação entre dois números difusos trapezoidais, adaptado de [2]

3.3 Pesos difusos

Como foi mencionado, em situações em que é permitido fixar diretamente os valores dos pesos, o AD pode fornecer os pesos sob forma difusa para lidar com incerteza nos valores a utilizar. De entre os números difusos possíveis, o peso difuso pode ser definido sob a forma de intervalo, podendo ser representado da seguinte forma: wj = (w⁻_j; w⁺_j ), onde w⁻_j e w⁺_j representam os valores mínimo e máximo do peso j. Todos os valores para o peso j, dentro do seu intervalo, têm grau de pertença unitário.

Admitindo que o AD define um grau de pertença diferente para cada peso dentro da sua gama, os pesos podem ser definidos sob a forma de números difusos triangulares. Os números difusos triangulares são derivados dos números intervalares, acrescentando informação sobre o grau de pertença do peso. Os pesos sob a forma de números difusos triangulares podem ser representados da seguinte forma: w_j=(w⁻_j; w⁰_j; w⁺_j), ondew⁻_j ew⁺_j representam os valores mínimo e máximo do peso j, respetivamente, ew⁰_j representa o valor intermédio do peso j. O valor intermédio tem grau de pertença unitário e os valores mínimo e máximo têm grau de pertença igual a 0. O grau de pertença dos restantes valores que o peso pode assumir, pode ser obtido por aplicação da adaptação da função de pertença (3.16).

µ(wj) =



























w_j<w⁻_j ⇔u=0

w⁻_j <wj<w⁰_j ⇔u= ¹

w⁰_j−w⁻_j ×(wj−w⁻_j ) w_j=w⁰_j ⇔u=1

w⁰_j <wj<w⁺_j ⇔u= ¹

w⁰_j−w⁺_j ×(wj−w⁺_j ) wj>w⁺_j ⇔u=0

(3.16)

3.4 Pontuações difusas 17

Com j∈[1;m].

A função de pertença (3.16) também permite definir uma nova gama de valores para o peso j, consoante o nívelα considerado adequado pelo AD, Figura3.3. Dado um peso sob a forma de número triangular, para um nívelα, o peso jé igual awj_α =

w^∗_j−;w⁰_j;w^∗_j+

.

Figura 3.3: Representação do peso jpara um nívelα

3.4 Pontuações difusas

Devido à natureza difusa dos pesos, a pontuação de cada alternativa é dada sob a forma de intervalo, tendo um mínimo e máximo associados. A pontuação relativa à alternativaAié dada por v_Ai = (v⁻_A

i;v⁺_A

i), comi∈[1;n]. O valor relativo às pontuações, mínima e máxima, pode ser obtido por aplicação de (3.17) e (3.18), respetivamente:

v_A⁻

i =min ∑^m_j=1ai j×wj

∑^m_j=1wj

, ondewj∈(w⁻_j; w⁺_j) (3.17)

v_A⁺

i =max ∑^m_j=1ai j×wj

∑^m_j=1w_j ,ondewj∈(w⁻_j;w⁺_j) (3.18) Determinadas as pontuações difusas de cada alternativa, pode ser realizado o colapso (desfuzi- ficação) das pontuações difusas, que consiste na conversão de um número difuso para um número determinístico [27]. Realizado o colapso das pontuações difusas, o AD pode [28]:

• ordenar as alternativas por ordem decrescente das pontuações;

• escolher a alternativa que lhe é preferida, podendo corresponder à alternativa com maior pontuação.

Quando se realiza a ordenação das alternativas, podem surgir resultados enganadores. Para evitar isso, a ordenação das alternativas tem que se basear em análises da diferença entre pares de alternativas (por exemplo: v_(A1−A2)>0). Isto deve-se ao facto de ser necessário ter em conta

a dependência entre pesos, ou seja, considerar a mesma combinação de pesos para o cálculo das pontuações das alternativas. Este aspeto será retomado mais à frente no Capítulo4.

Existe uma panóplia de métodos que podem ser utilizados para auxiliar o AD na desfuzificação das pontuações difusas. Porém, muitos dos método criados foram depreciados por não respeita- rem certas regras, nomeadamente a consideração da dependência entre os pesos difusos. Entre os métodos existentes, salienta-se o centro de gravidade (CoG) [29].

3.4.1 Colapso por centro de gravidade

O método mais utilizado para realizar o colapso das pontuações difusas é o CoG [29], podendo ser realizado por aplicação da seguinte equação:

CoG(Ai) = R_∞

−∞ x·A_i(x)dx R_∞

−∞ Ai(x)dx (3.19)

Este método é dos mais utilizados devido à sua simplicidade e adaptabilidade para trabalhar com intervalos, números difusos triangulares ou números difusos trapezoidais. Por este motivo, será explorada a adaptação da equação integral (3.19) em funções de pertença trapezoidais e tri- angulares [30]. Considerando uma função trapezoidalA(x)caraterizada pelos pontos(a;b;c; d), tem-se que:

CoGtrap(Ai) = R_d

a x·A_i(x)dx Rd

a Ai(x)dx (3.20)

Desenvolvendo o numerador e o denominador da equação (3.20), por aplicação de métodos numéricos [31], obteve-se a seguinte expressão:

CoG_trap(Ai) = a²+b²+a·b−c²−d²−c·d

3·(a+b−c−d) (3.21)

Considerando uma função triangularA(x)caraterizada pelos pontos(a; b; c), tem-se que:

CoGtri(Ai) = Rc

a x·Ai(x)dx Rc

a Ai(x)dx (3.22)

Desenvolvendo a equação (3.22), por aplicação de métodos numéricos [31], obteve-se a se- guinte expressão:

CoG_tri(Ai) =a+b+c

3 (3.23)

As pontuações das alternativas são calculadas por aplicação de (3.17) e (3.18), pelo que a pontuação é representada sob forma de intervalo, tendo um mínimo e máximo associados. Dessa forma, o colapso por CoG devolve o ponto que divide o intervalo em duas partes iguais:

v^∗_A

i=v⁻_A

i+v⁺_A

i

2 (3.24)

3.4 Pontuações difusas 19

Onde,i∈[1;n].

A título de exemplo, será considerado um problema com três alternativas,A₁,A₂eA₃, com as seguintes pontuações difusas: vA₁ = (11,4; 11,6),vA₂ = (11,2; 11,8) evA₃ = (10,6; 11,4). Por aplicação de (3.24), as pontuações difusas das alternativas são iguais a:

v^∗_A

1 =11,4+11,6

2 =11,5

v^∗_A

2 =11,2+11,8

2 =11,5

v^∗_A3=10,6+11,4

2 =11

Efetuado o colapso das pontuações,v^∗_A

i, organizando as alternativas por ordem decrescente da pontuação, tem-se que:

A₁∼A₂≻A₃

Como há indiferença na escolha entre as alternativasA₁ eA₂, visto que têm a mesma pontua- ção, a alternativa preferida pode ser aA₁ou aA₂, seguidas pela alternativaA₃.

Apesar das pontuações terem sido calculadas corretamente, a aplicação do CoG para reduzir a pontuação difusa final a um número determinístico, não permite ter confiança nas conclusões retiradas. Isso deve-se ao facto de se considerar apenas os extremos dos intervalos das pontua- ções, descartando informação relativa aos outros valores que a pontuação pode ter dentro do seu intervalo.

3.4.2 Outros métodos

Para além do COG, existem outros métodos para realizar o colapso das pontuação difusas que devem ser mencionados [32]. Desses métodos, destacam-se os seguintes:

1. Adamo: o resultado é igual ao número difuso que se encontra mais à direita, para um dado nívelα.

AD_α(Ai) =a⁺_α (3.25)

O nívelα permite determinar o(s) ponto(s) de um número difuso.

2. Center of maxima: caso particular do CoG, onde o resultado é igual à média dos extremos de um intervalo.

CoM(Ai) =a⁻_i +a⁺_i

2 (3.26)

3. Median: o resultado é definido pela mediana dos números difusos, através da minimização da seguinte expressão:

min

Z _Med(Ai)

−∞

A_i(x)dx− Z _∞

Med(Ai)

A_i(x)dx

(3.27)

4. Chen’s method: neste, realiza-se a maximização e minimização dos intervalos dos números difusos, comk>0.

Ai_max(x) =

x−xmin

xmax−xmin

k

, Ai_min(x) =

xmax−x xmax−xmin

k

Usando estes dois valores, definem-se os intervalos de utilidade da esquerda e direita de um número difusoAi.

L(Ai) =sup min(Aimin(x),Ai(x)) R(Ai) =sup max(Ai_max(x),Ai(x))

Finalmente, obtém-se o resultado com base nos valores de(LA_i)e (RA_i), por aplicação de (3.28):

CH^k(Ai) =1

2(R(Ai) +1−L(Ai)) (3.28) 5. Possibilistic mean: o resultado é igual ao peso médio dos pontos intermédios para um corte

de nívelα de um número difuso.

E p(Ai) = Z ₁

0

α(a⁻_α+a⁺_α)dx (3.29)

Dependendo do método escolhido, a pontuação das alternativas e respetiva classificação pode ser diferente. Nestes casos, o AD analisa os resultados obtidos, escolhendo aquele que se adequa às suas preferências.

Os métodos descritos no ponto3.1para a escolha dos pesos estão dependentes de informação disponibilizada pelo AD. Consequentemente, os métodos descritos no ponto 3.4 também estão dependentes dessa informação, visto que as pontuações são calculadas a partir dos pesos definidos pelo AD. Em certas situações, o AD encontra-se perante problemas de decisão em que sente dificuldade no estabelecimento dos pesos, podendo derivar de incerteza ou falta de informação sobre os critérios. No entanto, há métodos para lidar com este tipo de casos, sendo um deles o Stochastic Multicriteria Acceptability Analisys(SMAA).

3.5 Stochastic Multicriteria Acceptability Analisys

Como mencionado anteriormente, o SMAA é uma família de métodos que lidam com a incer- teza ou falta de informação, tanto nos valores dos pesos que avaliam cada critério, como no valor do próprio atributo [33], para tratar problemas de decisão.

Este método baseia-se na realização de simulações para diferentes combinações de parâmetros, atributos e pesos, onde se calcula em cada iteração a pontuação das alternativas. Pretende-se com isso determinar o número de vezes que cada alternativa é a preferida. Uma alternativa é preferida quando a sua pontuação é maior relativamente às pontuações das outras alternativas.

3.5Stochastic Multicriteria Acceptability Analisys 21

Em vez do método tradicional em que o modelo determina a melhor alternativa tendo em conta os pesos definidos pelo AD para cada critério, é aplicado o modelo inverso ("inverse weight space analisys"). Esta abordagem consiste na realização de simulações com pesos aleatórios, dentro dos seus limites, de modo a determinar o número de vezes que cada alternativa obteve a melhor pon- tuação. A alternativa que tiver o maior número de ocorrências é definida como sendo a preferida de entre as alternativas existentes, podendo ser escolhida pelo AD.

O seguinte fluxograma representa o procedimento utilizado pelo SMAA para a obtenção da suposta melhor alternativa, podendo ser escolhida pelo AD. Relativamente ao fluxograma, Figura 3.4, são realizadasN_maxiterações (sorteios), ondeNSrepresenta o número do sorteio.

Figura 3.4: Fluxograma do procedimento utilizado pelo SMAA, adaptado de [3]

3.6 Síntese

Nos problemas de decisão em que os atributos se encontram à mesma escala (por exemplo, as classificações académicas), o AD pode fixar diretamente os valores dos pesos nas funções de valor.

Existem diferentes métodos (subjetivos e objetivos) que auxiliam o AD no estabelecimento dos valores dos pesos. Apesar do contributo destes métodos, o AD pode permanecer com incerteza sobre os valores dos pesos estabelecidos. Por este motivo, o AD pode optar por fornecer pesos sob a forma de números difusos em detrimento de pesos determinísticos.

Um número difuso corresponde a um conjunto de valores possíveis, surgindo, habitualmente, sob a forma de intervalo ou números difusos triangular e trapezoidal. Cada peso difuso é carate- rizado por uma função de pertença, a partir do qual se pode obter o grau de pertença de um dado valor do número difuso. Todos os valores de um peso difuso sob a forma de intervalo, dentro do seu intervalo de valores, têm um grau de pertença unitário. Por sua vez, o grau de pertença dos va- lores possíveis do peso difuso triangular pode ser obtido por aplicação de uma função de pertença.

A partir desta função, é possível determinar uma nova gama de valores do peso difuso, consoante um nívelα adequado.

Devido à natureza dos pesos, a pontuação de cada alternativa é dada sob a forma de intervalo, tendo um mínimo e máximo associados. Partindo destas pontuações, pode ser realizado o seu colapso, permitindo ao AD ordenar as alternativas ou escolher aquela que lhe é preferida.

Existem ainda métodos iterativos para lidar com incerteza ou falta de informação, tanto nos valores dos pesos que avaliam cada atributo, como no valor do próprio atributo. O SMAA é um método que se baseia na realização de simulações de diferentes parâmetros, pesos e atributos, onde é calculada a pontuação das alternativas com intuito de determinar o número de vezes que cada alternativa é a preferida (quando a sua pontuação é superior às restantes).