Extensões de álgebras obtidas a partir de álgebras de Hopf

Curso de Pós-Graduação em Matemáti a e

Computação Cientí a

Extensões de Álgebras obtidas a

partir de Álgebras de Hopf

Mateus Medeiros Teixeira

Orientador: Prof. Dr. Eliezer Batista

Florianópolis

Curso de Pós-Graduação em Matemáti a e

Computação Cientí a

Extensões de Álgebras obtidas a partir de

Álgebras de Hopf

Dissertação apresentada ao Curso de

Pós-Graduação em Matemáti a e Computação

Cientí a, do Centro de Ciên ias Físi as e

Matemáti as da Universidade Federal de

Santa Catarina, para a obtenção do grau de

MestreemMatemáti a, omÁreade

Con en-tração em Álgebra.

MateusMedeiros Teixeira

Florianópolis

Álgebras de Hopf

por

MateusMedeiros Teixeira

Estadissertaçãoserájulgadaparaaobtenção doTítulodeMestreem

Matemáti a,ÁreadeCon entraçãoemÁlgebra,eaprovadaemsua

formanal pelo CursodePós-GraduaçãoemMatemáti ae

ComputaçãoCientí a.

Dr. ClóvisCaesarGonzaga

CoordenadoremExer í iodaPós-Graduaçãoem

Matemáti a

ComissãoExaminadora

Prof. Dr. EliezerBatista(UFSC-Orientador)

Prof. Dr. Mar eloMuniz Silva Alves(UFPR)

Prof. Dr. Al idesBuss (UFSC)

Prof. Dr. GillesGonçalves de Castro

(UFSC)

Primeiramente agradeço a Deus pelos momentos de

inspi-raçãonarealizaçãodestetrabalho.

AosmeuspaisDilmareJaime,eaminhairmãMarina, pelo

apoioe arinhoin ondi ional. Porentenderemquenemsempreminha

presençanosmomentos familiareserapossível,por todadedi ação na

onstrução do meu arater epor todosos sa rifí iosa que se

subme-teram paraqueeutivesseumaboaedu ação.

Aomeu orientador,professorEliezer Batista,portodoo

en-sinamentodurenteessesdoisanosdemestradoetambémpelosquatro

anos degradução. Aotodo, foram6dis iplinas alémdaorientação, e

nãohouveumdiaemqueelenumfalassedemaneiradedi adae

lamo-rosasobreamatemáti a,sempreembus adeexemplosquepudessem

darnoçõesumpou omaisreaisamaispuradasteorias.

Aos meus olegas da sala

106

, pelos momentos de alegria, ompanheirismo,amizadeein ontáveishorasdeestudodivididas,sem

ontaroví ionoban oimobiliáriode artas.Emespe ial,aViviamque

esteveaomeu ladoem grandepartedesta jornada,peçafundamental

para o meu res imento tanto matemáti o quanto pessoal. Vo ê é, e

Aos professoresmembrosdaban aexaminadora,por

gentil-mente terem a eitadoo onvite. Por terem lidootrabalho om tanto

uidado, ontribuindo para o melhoramento do material e

prin ipal-mente,por terem a eitado ante iparem uma semanaaminhadefesa,

mepropor ionandoentrarnaUFSC omoprofessorsubstituto.

Tambémagradeçotodosos outrosprofessoresqueme

auxili-aramedealgumaformaatravessarammeu aminho, omoprofessores

eatémesmoamigos.

Agradeçoaosamigos, olegas,par eirosquezduranteesses

seis anos de UFSC, pessoas que me propor ionarambons momentos

de onversanoRU, queme onven iamaabandonartudoejogarum

ampeonatodefutebolnosnaisdesemana,ousimplesmenteporuma

rápida onversanos orredoresdoCFM. Em espe ial, aoDeividi,que

dividiuapesquisa omigoduranteoprimeiro semestrede2010,

dimi-nuindoa argadeseminários.

Aos amigos que assim posso hamar há

5

anos e que me a eitaramfazerpartedogruposeletodeles,nãoporseronamoradoda

Viviam, massim por quem eu era. Obrigado pelos mergulhosde ano

novo,pelosen ontrosgastronmi os,pelasrisadas, onversase

jogati-nas.

Aos amigos do vlei ou, melhor dizendo, dos sábados de

aleatoriedades e falta de estudo. Com quem perdi grande parte dos

meussábadosdemanhãedosquaistenhomuitoorgulho.

Aos demais amigos que ao longo dessa jornada

ompreen-deramminhaausên iaeajudaramsemprequepossível.

Por m, mas nãomenos importantes, aos amigosda dança,

quesertanejoaindanãoviroumodaproEri daraulasequeforammeus

par eiros,fossedançandoforróLaPedreira,ouentãoparti ipandodos

bailinhosnaKirinus.

A CAPES, pelo suporte nan eiro no de orrer desses dois

Neste trabalho fazemos uma des rição ompleta do grupo

quânti o

A(SL

q

(2))

, em que

q

é araiz úbi adaunidade, omouma extensão de Hopf-Galois elmente plana de

A(SL(2, C))

a partir da sequên iaexatadeálgebrasdeHopf

A(SL(2, C))

F r

// A(SL

q

(2))

// A(F )

determinadapelomorsmo deFrobenius

F r

. Além disso,estendemos oresultadoparaosubgrupoquânti odeBorel,obtendoaestruturade

produto ruzado.

Nomais,éfeitoumestudo dosresultadosdateoriade

álge-brasde Hopf e dateoriade extensõesdeálgebrasobtidasapartir de

álgebras de Hopf. Ainda, mostramos que toda biálgebra que admite

umaextensão deHopf-GaloiselmenteplanaéumaálgebradeHopf.

Palavras- have: álgebrasdeHopf,extensõesdeHopf-Galois,

Inthiswork,wepresenta ompletedes riptionofthe

quan-tum group

A(SL

q

(2))

, where

q

is the ubi root from the unit, just likeafaithfull at Hopf-Galoisextensionof

A(SL(2, C))

for theHopf algebra'sexa tsequen e

A(SL(2, C))

F r

// A(SL

q

(2))

// A(F )

determined by theFrobenius' morphism

F r

. Also, weextendthe re-sultto theBorel'squantum subgroup,obtainingthestru tureof ross

produ t.

Beyondthat,wepresentastudyaboutHopfalgebrastheory

and extensionof algebrasobtainedfrom Hopf algebras. Furthermore,

weshowthat abialgebra that admits afaithfull at Hopf-Galois

ex-tensionisaHopf algebra.

Key-words: Hopfalgebras,Hopf-Galoisextension,quantum

Introdução 1 1 Álgebrasde Hopf 7 1.1 Biálgebras . . . 7 1.2 ÁlgebrasdeHopf . . . 14 1.3 MódulosdeHopf . . . 25 1.4 Integrais . . . 32

1.4.1 Integraissobre Biálgebras . . . 32

1.4.2 IntegralemálgebrasdeHopf . . . 35

1.5 ProdutoSmash . . . 44

1.6 FunçãoTraço . . . 47

1.6.1 Integraltotal . . . 51

1.7 ContextodeMorita. . . 55

1.8 ProdutoCruzado . . . 62

2 Extensõesem Álgebras obtidas a partir de Álgebras de Hopf 69 2.1 ExtensõesFielmentePlanas . . . 70

2.2 ExtensãoFendida. . . 74

2.3.2 ExtensõesdeGaloisparaÁlgebrasdeHopf deDimensãoFinita101

2.4 ExtensõesHomogêneasPrin ipais. . . 109

3 Biálgebraque admiteextensãode Hopf-Galoiséálgebra de Hopf131 4 O grupoquânti o

A(SL

e

2πi/3

(2))

143 4.1 Cál uloQuânti o . . . 144

4.2

A(SL

q

(2))

omoálgebradeHopf . . . 146

4.3 Umaabordagemgeométri ade

A(SL

q

(2))

. . . 152

4.4

A(SL

q

(2))

omoextensãodeHopf-Galoiselmenteplana155 4.5

A(SL

q

(2))

omoExtensãodeHopf-GaloisFendida . . . 169

ConsideraçõesFinais 177 A Álgebras e Coálgebras 179 A.1 Álgebras . . . 179

A.2 Coálgebras . . . 193

A.3 AÁlgebraeaCoálgebraDual. . . 207

A.4 ODual FinitodeumaÁlgebra . . . 216

A.5 MóduloseComódulos . . . 224

B MóduloPlano eFielmentePlano 239 C Resultados Importantes de Álgebra 249 C.1 LemadoDiamante . . . 249

C.2 LemadaCobra . . . 252

C.3 LemadeDedekind . . . 253

AteoriadeálgebrasdeHopfteveseuiní ioem1941,emque

Heinz Hopf observou oprimeiro exemploda mesma. Tal exemplofoi

eviden iado na topologiaalgébri a, onde foi rela ionado a homologia

deumgrupodeLie onexo omaálgebradeHopf graduada.

Alémdessaasso iação omatopologiaalgébri a,asálgebras

de Hopf também estão rela ionadas omdiversas áreas, entre elas, a

me âni aquânti a,ateoriadosnúmeros(atravésdosgruposformais),

o on eito de

H

-espaço, ateoriade esquemas de gruponageometria algébri a,ateoriade Lie(umavezqueaálgebraenvolventeuniversal

de uma álgebra de Lie é um exemplo de álgebra de Hopf), a teoria

de grupos(atravésdo on eitodeaneldegrupo),ateoriadeGaloise

extensõesseparáveisde orpos,ateoriade operadores,teoriadeanéis

graduados, e assim segue uma lista inndável, o quea torna um dos

grandes amposdepesquisa emálgebraatualmente.

A grosso modo, uma álgebra de Hopf é uma estrutura que

admiteum produtoeumaunidade (estruturadeálgebraasso iativa),

um oprodutoeuma ounidade(estruturade oálgebra),umarelação

de ompatibilidade entre essas duas estruturas e por m, um

as álgebras de Hopf tiveramum desenvolvimento tardio, tornando-se

objeto de estudo estritamente algébri o apartirdo m dadé ada de

60etendoseugrandeavançoapenasnonaldadé adade80,ondefoi

observadosuaforte onexão omame âni aquânti a,manifestandoo

interessedemuitosfísi osteóri osematemáti os.

Osgruposquânti osforamintroduzidosporJimboeDrinfeld

por voltade 1985,em trabalhosindependentes, em queambos

deni-ramuma lassedeálgebrasdeHopfquepodem ser onsideradas omo

deformações de umparâmetro das álgebrasenvolventes universais de

uma álgebra de Lie semi-simples omplexa (

U

q

(sl(2))

). Em algumas referên ias,tal lassere ebeonomedeálgebradeDrinfeld-Jimbo,em

homenagemaosmesmos. Umoutroeventomar ante,queo orre

simul-taneamenteaoprimeiro,éainvenção,porS.L.Woronowi z,dogrupo

quânti o

SU

q

(2)

eodesenvolvimento dateoriadegrupos dematrizes quânti as ompa tas. Um outro exemplo surge no trabalho de L.D.

Faddeeveaes oladeLeningradosobre ométododeespalhamento

in-verso pararesolvermodelosintegráveis. Ainda,neste mesmoperíodo,

foidadaumaaproximaçãoalgébri aparaasálgebras oordenadas

quan-tizadasporYu.I.Manin.

Umgrupoquânti opodeservisto,agrossomodo, omouma

generalização da teoria de grupos, uma vez que podemos onsiderar

umgrupo omouma oleçãodetransformações. Transformaçõesestas

quesãoinvertíveis. Assim,qualquer oleçãofe hadadetransformações

invertíveis é um grupo. Do mesmo modo, grupos quânti os também

podemagirsobre ertosespaços. Entretanto,agora,astransformações

não são todas invertíveis, na verdade, há uma estrutura um pou o

váriasgeneralizaçõesdateoriadegrupospodemserfeitasparagrupos

quânti osatravésdessafra ainversibilidade.

Umaoutradenição quepodemosdarparaumgrupo

quân-ti o é advinda de Drinfeld, que em [13℄, deniu um grupo quânti o

omo uma álgebra de Hopf não omutativae não o omutativa. Na

verdade, as estruturas de omutatividade e de o omutatividade são

ontroladasporumamatriz

R

, eaessaestrutura, hamamosálgebras deHopf quasi-triangulares.

Este trabalho pode ser dividido em três partes.

Primeira-mente,estudamos ateoriadeálgebrasdeHopf para ganharmos

fami-liaridade omessa estrutura, noprimeiro apítulo,mostramos alguns

resultadossobreaantípoda,denimoso on eitodepardual,módulos

de Hopf, integralsobre álgebradeHopf, produto Smash, ontexto de

Moritaeproduto ruzado. Jáno segundo apítulo,nosdedi amos ao

estudo de extensõesdeálgebrasobtidasapartirde álgebrasde Hopf.

Nele,denimosas extensõesvistasnestetrabalho(extensõeselmente

planas, fendidas, de Hopf-Galois e homogêneas prin ipais), algumas

propriedadesdas mesmas eresultados que as rela ionam. Ainda,

ve-mosarelaçãoentreoproduto ruzadoeasextensõesfendidas.

Depois,passamosaoestudo doartigo"Abialgebrathat

ad-mitsaHopf-GaloisextensionisaHopfalgebra"doautorPeter

S hauen-burg([31℄). Podemosvertalartigo omoumaapli açãoteóri ada

teo-riadeextensõesde álgebrasobtidasapartirdeálgebrasdeHopf. Por

m,estudamosoartigo"Expli itHopf-GaloisDes riptionof

SL

e

2iπ/3

-Indu ed Frobenius Homomorphisms"de Ludwik Dabrowski, Piotr M.

Haja , Pasquale Sinis al o ([8℄), o que podemos entender omo uma

deHopf-Galois,queforamintroduzidasporChaseeSweedlerem1969,

ondeasidéiasdeaçõesdegrupossobreanéis omutativos(extensõesde

Galois)foramestendidaspara oaçõesdeálgebrasdeHopfagindosobre

umak-álgebra omutativa, omkumanel omutativo. Egeneralizadas

porKreimereTakeu hino asodeálgebrasdeHopfdedimensãonita,

alémdessa,vemostambém anoçãodeextensõeselmente planas,

ex-tensõesfendidas,quetemforteasso iação omaestruturadeproduto

ruzado, eextensões homogêneas prin ipais, em quea álgebra

A

que apare enadeniçãodeextensãodeHopf-Galoisagorapassaaseruma

álgebradeHopf e

A

évisto omo uma

A/J

extensão de Hopf-Galois, emque

J

éumidealdeHopf.

Quandoestudamos essa idéia de

H

-extensões,é omum as-sumirmos que

H

é uma álgebra de Hopf. Uma ex eção é feita em [11℄, onde extensões fendidas sobre uma biálgebra são onsideradas.

Já a questão de se há possibilidade de uma biálgebra (que não tem

antípoda)admitir uma extensãodeHopf-Galois hamouaatençãodo

autorYokioDoiem onexão om[30℄.

NoCapítulo 3 desse trabalho, usamos a noção de extensão

sobrebiálgebra,para então onstruirmos umaestruturadeálgebrade

Hopfsobreamesma. Aidéiaé onstruirmosummorsmo,denominado

S

, que seja o inverso por onvolução do morsmo identidade. Para tanto, utilizamos um lema té ni o que pode ser utilizado em outras

situações, uma vez que o resultado é enun iado para uma oálgebra

enão para a estruturade biálgebra aqual trabalhamosneste mesmo

apítulo. Ainda, abe salientar que durante todo oter eiro apítulo,

onsideramos

k

umanel omutativo omunidade.

exemplosdegruposquânti os,porém,asduasprin ipaissão

U

q

(sl(2))

e

SL

q

(2)

. Nessasestruturasbaseiam-seamaiorpartedostrabalhossobre gruposquânti os,eobserva-sequeexisteumarelaçãodualentreambas.

Neste trabalho, estudamos uma dessas duas lassesde exemplos, que

éogrupoquânti o dasfunções oordenadas

A(SL

q

(2))

,em que

q

éa raiz úbi a da unidade,ou seja,

q = e

2πi/3

. Neste apítulo, todosos

espaçosvetoriaissão onsideradossobre

C

.

Talgrupoquânti opossuiuma sériederelaçõesdenidoras,

queemboraapareçamimpostasnumprimeiromomento,surgem

natu-ralmentequando onsideramosa oaçãode

M

2

(C)

em

C

q

[x, y]

àdireita eàesquerda,umavezqueaestruturadebiálgebrade

M

2

(C)

oin ide omaestruturadebiálgebrade

A(SL

q

(2))

.

ComaestruturadeálgebradeHopfsobre

A(SL

q

(2))

denida e tendo familiaridade om essa estrutura, ini iamos um estudo para

sabermosse o grupo quânti o em questão admite algumadas

exten-sõesvistas no Capítulo2. Na verdade, vemosque

A(SL

q

(2))

admite uma extensão de Hopf-Galoiselmente planainduzida pelo morsmo

de Frobenius. Notrabalho, provamos este resultadode forma direta,

porém,omesmopodeserfeitoutilizandoadualidadeentrefunções

so-bregruposeasálgebrasenvelopeuniversais. Provamostambémque,se

onsiderarmososubgrupoquânti odeBorel,

A(SL

q

(2))/

hT

21

i

,emque

T

21

éumdoselementosgeradoresde

A(SL

q

(2))

,omesmoadmiteuma extensãodeHopf-Galoisfendida,novamenteinduzidapelomorsmode

Frobenius. Nesteúltimo,apresentamos laramenteomorsmofendae

tambémomorsmoquedeneo o i loeaaçãodo o i lo,obtendoa

estruturadeproduto ruzado.

Por m, o trabalho en ontra-sedividido em 4 apítulos e 4

Noapêndi e1,introduzimos asnoçõesdeálgebrase

oálge-bras. Este estudo serve de base para todo o trabalho, uma vez que

dependemos dessas duas estruturas para podermos deniro quevem

aserumaálgebradeHopf. Além dasnoçõesusuaisdessasestruturas,

vemosaindaateoriadeálgebrae oálgebradual,odualnitodeuma

álgebraenalizamosestudandoasestruturasdemódulose omódulos.

O segundo apêndi e é dedi ado ao estudo de duas lasses

espe iais de módulos, hamados módulos planos e elmente planos.

Essas lassesdemódulossãoimportantes,poisapartirdelespodemos

deniraestruturadeextensõeselmente planasquepossuiapli ações

interessantesvistastantono apítulo3quantono apítulo4. Também,

provamos que todo módulo projetivo nitamente gerado é elmente

plano.

Noter eiroapêndi etratamosdetrêslemasdaTeoriade

Ál-gebrasquesãodefundamentalimportân iaparaotrabalho. Oprimeiro

estabele e ondiçõesparaseen ontrarbasesemálgebras ujos

elemen-tossãoexpressosporpolinmiosnão omutativos.Osegundoresultado

tratadarelaçãoentreokerneleo okerneldedeterminadosdiagramas

omutativosatravésdesequên iasexatas.Enalizamos omoLemade

Dedekind,queestale e ondiçõesparaobtermos onjuntoslinearmente

independentes.

Por m, no último apêndi e, trazemos alguns detalhes de

onta que não são apresentados no apítulo quatro por rermos que,

aso feito, deixaria a demonstração do resultado em questão muito

Álgebras de Hopf

Neste apítulointroduzimosanoçãodeálgebradeHopf. Tal

estrutura é a base deste trabalho e portanto é de suma importân ia

a onhe ermos, assim omo vermosalgumas propriedadesdamesma,

parapodermosentãodarprosseguimento omos estudosdeextensões

sobreálgebrasdeHopfeexemplos.

1.1 Biálgebras

Ini iamos este trabalho denindo a estrutura de biálgebra,

quenadamaisédoqueumespaçovetorialquetêmestruturadeálgebra

ede oálgebrasatisfazendouma ertarelaçãode ompatibilidadeentre

tais estruturas.

NoApêndi e A trazemosos prin ipais resultados das

estru-turasdeálgebrae oálgebra. Lembramosaquisuasrespe tivasdenições

parapodermosdenirformalmenteuma biálgebra.

um

k

-espaçovetorial,

µ : A

⊗ A → A

e

η : k

→ A

são morsmos de

k

-espaçosvetoriaistais queos seguintesdiagramas omutam:

A

_{⊗ A ⊗ A}

µ⊗I

A



I

A

⊗µ

// A ⊗ A

µ



A

⊗ A

µ

// A

A

_{⊗ A}

µ



k

_{⊗ A}

η⊗I

A

_t

t

::t

t

t

t

t

t

t

A

_{⊗ k}

I

A

⊗η

ddJJ

_JJ

JJ

_JJ

J

A

≃

ddJJ

JJJ

JJJ

JJ

≃

::t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

Epor oálgebraentendemosumatripla

(C, ∆, ε)

,em que

C

éum

k

-espaçovetorial,

∆ : C

→ C ⊗ C

e

ε : C

→ k

sãomorsmosde

k

-espaçosvetoriaistais queos diagramasabaixosão omutativos:

C

∆

//

∆



C

_{⊗ C}

I⊗∆



C

_{⊗ C}

∆⊗I

// C ⊗ C ⊗ C

C

∆



k

_{⊗ C}

ψ

_t

t

99t

t

t

t

t

t

t

t

C

_{⊗ k}

ψ

′

eeJJ

_JJJ

JJJ

_JJ

C

_{⊗ C.}

ε⊗I

eeJJ

_JJ

JJ

_JJ

J

I⊗ε

99t

t

t

t

t

t

t

t

t

Assim,umabiálgebraéumaquíntupla

(H, µ, η, ∆, ε)

,emque

(H, µ, η)

dene uma estruturade álgebra,

(H, ∆, ε)

dene uma estru-turade oálgebra, om

∆(h) =

P

h

(1)

⊗ h

(2)

, para todo

h

∈ H

pela notaçãodeSweedler,evalemas ondiçõesdaseguinte proposição:

Proposição 1.1 Dada a quíntupla

(H, µ, η, ∆, ε)

, em que

(H, µ, η)

é umaálgebra e

(H, ∆, ε)

é uma oálgebra. Sãoequivalentes:

(i)

µ

e

η

sãomorsmosde oálgebras; (ii)

∆

e

ε

sãomorsmosdeálgebras.

válidos:

(I)

H

⊗ H

µ

//

∆

H⊗H



H

∆



(H

⊗ H) ⊗ (H ⊗ H)

_µ⊗µ

// H ⊗ H

emque

∆

H⊗H

= σ

23

◦ (∆ ⊗ ∆)

e

σ

23

= I

H

⊗ σ ⊗ I

H

,ondeomorsmo

σ : H

_{⊗ H → H ⊗ H}

éatransposição

σ(h

⊗ k) = k ⊗ h

.

(II)

H

⊗ H

µ

//

ε

H⊗H

""E

E

E

E

E

E

E

E

E

H

ε

H



k

emque

ε

H⊗H

= ε

⊗ ε

.

(III)

k

η

//

∆

k



H

∆

H



(k

_{⊗ k)}

η⊗η

// H ⊗ H

(IV)

k

η

//

ε

k

=

=

=

=

=

=

=

=

H

ε

H



k

Epor(ii)temosos seguintesdiagramasválidos:

(V)

H

_{⊗ H}

µ

//

∆⊗∆



H

∆



(H

_{⊗ H) ⊗ (H ⊗ H)}

_µ

_H⊗H

_{// H ⊗ H}

emque

µ

H⊗H

= (µ

⊗ µ) ◦ σ

23

.

(VI)

H

∆

// H ⊗ H

k

η

__>>

>>

>>

_>>

η

H⊗H

<<y

y

y

y

y

y

y

y

y

emque

η

H⊗H

(λ) = λ(1

H

⊗ 1

H

)

,paratodo

λ

∈ k

.

(VII)

H

_{⊗ H}

µ

//

ε⊗ε



H

ε



(k

⊗ k)

µ

k

// k

(VIII)

H

ε

// k

k

η

H

__>>

_>>

>>

_>>

η

k

@@

Eassim,éfá ilvermosque(i)éválidose,esomentese,(ii)é

válido,umavezquetemosaequivalên iaentreosseguintesdiagramas,

(I)

⇔

(V),(II)

⇔

(VII), (III)

⇔

(VI)e(IV)

⇔

(VIII).



Exemplo1.2 Seja

G

um grupo. Conforme os exemplos A.6 e A.25 , temosque

kG

é umaálgebraeuma oálgebra. Como suaestruturade oálgebraédadapor

∆(g) = g

⊗ g

e

ε(g) = 1

k

, a laroque

∆

e

ε

são morsmosde álgebraseportanto

kG

éumabiálgebra.

Exemplo1.3 Dadas duas biálgebras

A

e

B

, podemos ver fa ilmente que

A

⊗ B

admiteumaestruturade biálgebra om

µ

A⊗B

= (µ

A

⊗ µ

B

)

◦ σ

23

, η

A⊗B

(λ) = λ(1

A

⊗ 1

B

);

∆

A⊗B

= σ

23

◦ (∆

A

⊗ ∆

B

), ε

A⊗B

= ε

A

⊗ ε

B

.

B

podemos denir umaestruturade biálgebra, onde a omultipli ação é dada por

∆(x) = x

⊗ 1

U(g)

+ 1

U(g)

⊗ x

e ounidade

ε(x) = 0

, para todo

x

∈ U(g)

.

Exemplo1.5 No exemplo A.24 temos que um

k

-espaço vetorial

H

ombase

{c

i

: i

∈ N}

temumaestruturade oálgebra. Denimossobre

H

uma estruturade álgebradaseguinteforma:

Sejam

c

i

, c

j

∈ H

, então a multipli ação dos elementos

c

i

e

c

j

, paratodo

i, j

∈ N

édada por

µ(c

i

⊗ c

j

) = c

i

· c

j

:=





i + j

i



 c

i+j

. E aunidadeem

H

é dadapor

c

0

.

Vejamosqueamultipli açãodenidaa imaéasso iativa.

Se-jam

c

n

, c

m

e

c

p

∈ H

, logo,

(c

n

· c

m

)

· c

p

=









n + m

n



 c

n+m



 · c

p

=





n + m

n









n + m + p

n + m



 c

n+m+p

=

(n + m + p)!

n!m!p!

c

n+m+p

=





m + p

m









n + m + p

n



 c

n+m+p

=

c

n

·









m + p

m



 c

m+p





=

c

n

· (c

m

· c

p

).

Claramente,aestruturaéunital. Mostremosque

H

temuma estrutura de biálgebra. Lembremos que

H

tem uma estruturade oál-gebra dada por

∆(c

m

) =

m

P

i=0

vermosque

∆(c

n

· c

m

) = ∆(c

n

)

· ∆(c

m

)

. De fato,

∆(c

n

)

· ∆(c

m

)

= (

n

P

i=0

c

i

⊗ c

n−i

)(

m

P

j=0

c

j

⊗ c

m−j

)

=

n

P

i=0

m

P

j=0

c

i

· c

j

⊗ c

n−i

· c

m−j

=

n

P

i=0

m

P

j=0





i + j

i









n + m

− i − j

n

_{− i}



 c

i+j

⊗ c

n+m−i−j

∆(c

n

)

· ∆(c

m

)

i+j=t

=

m+n

_P

t=0

t

P

i=0





t

i









n + m

− t

n

_{− i}



 c

t

⊗ c

n+m−t

=

n+m

_P

t=0





n + m

n



 c

t

⊗ c

n+m−t

=

∆









n + m

n



 c

n+m





=

∆(c

n

· c

m

).

Observamos que na igualdade entre a primeirae a segunda

linha, utilizamos uma identidade ombinatória onhe ida omo

Fór-mula de Euler. A mesma pode ser en ontrada em diversos livros de

AnáliseCombinatória,dentreeles,indi amos,[27℄e[15℄.

Exemplo1.6 Seja

k

um orpoe

n > 2

uminteiropositivo. Mostremos quenãoexiste umaestruturade biálgebrasobre

M

n

(k)

tal quea estru-turade álgebraéaálgebra matri ial.

De fato, sejam

k

e

n > 2

omo a ima. Suponhamos que

M

n

(k)

admita umaestruturadebiálgebra.

Entãoexiste

ε : M

n

(k)

→ k

um morsmo de álgebras. Daí,

ker(ε)

éideal de

M

n

(k)

. Logo,

ker(ε) = 0

ou

ker(ε) = M

n

(k)

. Como

ε(1

M

injetora,oqueé umabsurdo, umavezque

dim(M

n

(k)) > dim(k)

. Assim omonasestruturasdeálgebrae oálgebra,emque

de-nimosanoçãodeidealemorsmo,podemosrefazê-loaqui,denindo:

Denição 1.7 Umsubespaço

I

⊆ H

éum

bi

− ideal

se

I

forum ideal eum oidealde

H

onformeasdeniçõesA.10eA.33respe tivamente. Denição 1.8 Uma apli ação

f : H

→ H

1

de biálgebras é hamada morsmo de biálgebras se

f

for morsmo de álgebras (vide Denição A.11 ) ede oálgebras(vide DeniçãoA.30 ).

Ainda,observamosqueoquo iente

H/I

éumabiálgebrase, esomentese,

I

forumbi-idealde

H

. Neste aso,aapli ação anni a

H

_{→ H/I}

éummorsmodebiálgebras.

Nointuitodeadquirirmosmaisexemplosdebiálgebras,

on-sideramosaseguinte proposição,queavaliaodualdeumabiálgebra.

Proposição1.9 Seja

(H, ∆, ε, µ, η)

umabiálgebra om

dim(H) <

∞

. Então

H

∗

éuma biálgebra.

Demonstração: Defato, omo

dim(H) <

∞

, sabemosquedadasas estruturas

(H, µ, η)

e

(H, ∆, ε)

deálgebrae oálgebrarespe tivamente, podemosdualizá-las,obtendo asestruturas

(H

∗

_{, µ}

∗

_{, η}

∗

₎

e

(H

∗

_{, ∆}

∗

_{, ε}

∗

₎

de oálgebraeálgebra,pelaProposição A.43epelo CorolárioA.38 do

Apêndi eA,respe tivamente.

Ainda, omo

H

éuma biálgebra, temos que

µ

e

η

são mor-smos de oálgebrae

∆

e

ε

sãomorsmos de álgebra,oque impli a, respe tivamente, em

µ

∗

e

η

∗

serem morsmos de álgebra e

∆

∗

e

ε

∗

seremmorsmosde oálgebra. Eportanto,

H

∗

éuma biálgebra.

Disto, on luímosque

kG

e

(kG)

∗

sãobiágebraspara

G

um gruponito.

En erramosestaseçãodenindoo on eitodepardual. Mais

afrenteestendemosessanoçãoparaálgebrasdeHopfeautilizamosna

demonstraçãodealgunsresultados.

Denição 1.10 Sejam

H

e

A

biálgebras. Dizemosqueumaapli ação linear

h , i : H × A → k

éum par dualentre

H

e

A

sevale:

(i)

hh, 1

A

i = ε

H

(h)

,paratodo

h

∈ H

; (ii)

h1

H

, a

i = ε

A

(a)

, paratodo

a

∈ A

;

(iii)

hh ⊗ g, ∆

A

(a)

i = hhg, ai

,paratodo

h, g

∈ H

e

a

∈ A

; (iv)

h∆

H

(h), a

⊗ bi = hh, abi

, para todo

h

∈ H

e

a, b

∈ A

, emque

hh⊗g, ∆

A

(a)

i =

X

hh, a

(1)

ihg, a

(2)

i

e

h∆

H

(h), a

⊗bi =

X

hh

(1)

, a

ihh

(2)

, b

i.

1.2 Álgebras de Hopf

Apartirdestaseçãoini iamosoestudodasálgebrasdeHopf.

A grosso modo, uma álgebra de Hopf é uma biálgebra om uma

es-truturade"inversibilidade",aoqualdenominamosantípoda. Antesde

denirmosformalmenteessanovaestrutura,lembramosquese

(C, ∆, ε)

éuma oálgebrae

(A, µ, η)

éumaálgebra,então

Hom

K

(C, A)

éuma ál-gebra omoprodutode onvolução

∗

,ouseja,

(f

∗g)(c) =

P

f (c

(1)

)g(c

(2)

)

, omovistonaProposiçãoA.37,eunidade

η

◦ ε

.

H

c

_{= (H, ∆, ε)}

e

H

a

_{= (H, µ, η)}

,então

Hom

K

(H

c

_{, H}

a

₎

éumaálgebra

omoprodutode onvolução

∗

,eportanto,denimosoque hamamos deantípodapor:

Denição 1.11 Seja

(H, µ, η, ∆, ε)

umabiálgebra. Umatransformação linear

S : H

→ H

é hamada uma antípoda em

H

se

S

é a inversa da transformação identidade

I : H

→ H

om respeito ao produto de onvoluçãoem

Hom

K

(H

c

_{, H}

a

₎

, ouseja,

S

∗I = I ∗S = η ◦ε

,ouainda,

ε(h)1

H

= (S

∗ I)(h) =

X

h

S(h

(1)

)h

(2)

(1.1)

ε(h)1

H

= (I

∗ S)(h) =

X

h

h

(1)

S(h

(2)

)

(1.2)

quepode ser resumido nasigualdades:

X

h

h

(1)

S(h

(2)

) = ε(h)1

H

=

X

h

S(h

(1)

)h

(2)

.

(1.3)

Denição 1.12 Umabiálgebra

H

quepossuiumaantípodaé hamada umaÁlgebra de Hopf.

ObservamosqueaantípodadeumaálgebradeHopféúni a,

pois

Hom(H, H)

éumanel,esabemosqueseoinversodeumelemento deumanelexiste, entãoéúni o.

Exemplo1.13 Já vimos que

kG

possui uma estrutura de biálgebra. Mostremosqueaapli ação

S : kG

→ kG

denida por

S(g) = g

−1

para

todo

g

∈ G

satisfazaequação 1.3 . De fato, omo

∆(g) = g

⊗ g

, temos que

I

_{∗ S(g) =}

X

g

gS(g) =

X

g

g

_{· g}

−1

= e = η

_{◦ ε(g).}

Éfá il vermos queo mesmo o orre para

S

∗ I

eportanto, o morsmo

S

satisfazapropriedadedaantípoda. Logo

kG

éumaálgebra de Hopf.

Exemplo1.14 Sejam

G

um grupo nito e

{p

g

/g

∈ G}

a base de

(kG)

∗

, dadapor

hp

g

, h

i = δ

gh

paratodo

g, h

∈ G

. Oespaço

H = (kG)

∗

temumaestruturade álgebra deHopf ommultipli açãosatisfazendo

hp

g

p

h

, l

i = hp

g

, l

ihp

h

, l

i = δ

gl

δ

hl

,

paratodos

g, h, l

∈ G

e

1

H

= ε

afunçãoaumentode

kG

. A omultipli- açãode

H

étal que

∆(p

g

) =

X

h∈G

p

gh

−1

⊗ p

_h

e

ε

H

(p

g

) = δ

ge

paratodo

g, h

∈ G

. Por m, a antípoda

S

é dada por

S(p

g

) = p

g

−1

, paratodo

g

∈ G

.

Exemplo1.15 Sejam

H

e

L

álgebras de Hopf, vejamosque podemos obterumaestruturade álgebrade Hopfsobre

H

⊗ L

.

Já vimos anteriormente que há uma estrutura de biálgebra

sobre

H

⊗ L

. Denimos:

b

S : H

_{⊗ L → H ⊗ L}

h

_{⊗ l}

_{7→ b}

S(h

_{⊗ l) := S}

H

(h)

⊗ S

L

(l),

Seja

h

⊗ l ∈ H ⊗ L

, logo,

( b

S

_{∗ I}

H⊗L

)(h

⊗ l) = µ

H⊗L

( b

S

⊗ I

H⊗L

)∆

H⊗L

(h

⊗ l)

=

µ

H⊗L

( b

S

⊗ I

H⊗L

)(

P

h

(1)

⊗ l

(1)

⊗ h

(2)

⊗ l

(2)

)

=

µ

H⊗L

(P bS(h

(1)

⊗ l

(1)

)

⊗ (h

(2)

⊗ l

(2)

))

=

P

(µ

H

⊗ µ

L

)(I

H

⊗ σ ⊗ I

L

)(

P

S

H

(h

(1)

)

⊗ S

L

(l

(1)

)

⊗ h

(2)

⊗ l

(2)

)

( b

S

∗ I

H⊗L

)(h

⊗ l)

=

P

S

H

(h

(1)

)h

(2)

⊗ S

L

(l

(1)

)l

(2)

= ε

H

(h)1

H

⊗ ε

L

(l)1

L

= ε

H⊗L

(h

⊗ l)1

H⊗L

.

Analogamente,

(I

H⊗L

∗ b

S) = η

H⊗L

ε

H⊗L

, e segueque

S

b

é a antípodade

H

⊗ L

.

Exemplo1.16 Vimos no Exemplo 1.5 que um

k

-espaço vetorial

H

om base

{c

i

: i

∈ N}

é umabiálgebra. Vejamos quehá umaestrutura de álgebrade Hopfsobre

H

. Paraisso,denimosaantípodade forma re orrenteda seguinteforma:

S(c

0

) = S(1

H

) = 1

H

,

para

n = 0.

E,suponhamosque

S

estejadenidapara

c

i

, om

0 6 i 6 n

− 1

,assim, denimos

S(c

n

) :=

−S(c

0

)c

n

− S(c

1

)c

n−1

− · · · − S(c

n−1

)c

1

.

Mostremosque

S

éde fatoaantípoda.

(S

_{∗ I}

H

)(c

n

) =

n

P

i=0

S(c

i

)c

n−i

=

n−1

P

i=0

S(c

i

)c

n−i

+ S(c

n

)c

0

(S

∗ I

H

)(c

n

)

=

n−1

_P

i=0

S(c

i

)c

n−i

− S(c

0

)c

n

− S(c

1

)c

n−1

− · · · − S(c

n−1

)c

1

= 0 = ε(c

n

)1

H

,

omo queríamos. Analogamente, vemosque

(I

H

∗ S) = ηε

.

Noque segue, denimosa noção de pardual para álgebras

deHopfeapresentamosalgumaspropriedadesdaantípoda.

Denição 1.17 Seja

H

umaálgebradeHopfe onsideremosseudual nito

H

0

dado naDeniçãoA.49 . Denimosopar dualentreas

álge-brasde Hopf

H

◦

e

H

pelo morsmo:

h , i : H

◦

⊗ H → k

hf, ai

7→ f(a).

Proposição 1.18 Sejam

H

e

A

álgebras de Hopf om antípodas

S

e

S

′

respe tivamentee

h , i : H ⊗ A → k

umpardualentre

H

e

A

,então

hS(h), ai = hh, S

′

_(a)

i,

paratodo

h

∈ H

etodo

a

∈ A

.

Demonstração: Denimosasapli ações

F : H

⊗ A → k

h

_{⊗ a}

_{7→ hS(h), ai,}

G : H

_{⊗ A → k}

h

_{⊗ A 7→ hh, ai}

e

J : H

_{⊗ A → k}

h

_{⊗ a}

_{7→ hh, S}

′

_(a)

i.

Mostraremos que

F = J

atravésdo produtode onvolução em

Hom

k

(H

⊗ A, k)

. Seja

h

⊗ a ∈ H ⊗ A

.

F

∗ G(h ⊗ a) =

P

hS(h

(1)

), a

(1)

ihh

(2)

, a

(2)

i

=

P

hS(h

(1)

)

⊗ h

(2)

, a

(1)

⊗ a

(2)

i

=

_h

P

S(h

(1)

)h

(2)

, a

i

= ε

H

(h)

h1

H

, a

i

= ε

H

(h)ε

A

(a).

Poroutrolado,

G

_{∗ J(h ⊗ a) =}

P

_hh

(1)

, a

(1)

ihh

(2)

, S

′

(a

(2)

)

i

=

P

_hh

(1)

⊗ h

(2)

, a

(1)

⊗ S

′

(a

(2)

)

i

=

_hh,

P

a

(1)

S

′

(a

(2)

)

i

=

_{hh, 1}

A

iε

A

(a)

= ε

H

(h)ε

A

(a).

Portanto,

F

e

J

são inversaspor produto de onvolução de

G

, e omo sabemos que essa inversa é úni a, temos que

F = J

e onsequentemente,temosnossoresultadodemonstrado.



Proposição1.19 Sejam

H

1

e

H

2

álgebras de Hopf omantípodas

S

1

e

S

2

respe tivamente. Se

f : H

1

→ H

2

é um morsmo de biálgebras então

S

2

◦ f = f ◦ S

1

.

Demonstração: Consideremos o onjunto

Hom

k

(H

1

, H

2

)

, a idéia é provarmos que

(f

◦ S

1

)

∗ f = ηε = f ∗ (S

2

◦ f)

. De fato, para todo

((f

_{◦ S}

1

)

∗ f)(h) =

P

(f

◦ S

1

)(h

(1)

)f (h

(2)

)

=

f (

P

S

1

(h

(1)

)h

(2)

)

=

f (ε(h)1

H

1

)

=

ε(h)1

H

2

= ηε(h),

por outrolado,

(f

∗ (S

2

◦ f))(h) =

P

f (h

(1)

)(S

2

◦ f)(h

(2)

)

=

f (h)

(1)

S

2

(f (h)

(2)

)

=

ε(f (h))1

H

2

=

ε(h)1

H

2

= ηε(h).



Se

f

éummorsmodebiálgebrasesatisfaza ondiçãoa ima, dizemosque

f

éummorsmodeálgebrasdeHopf.

Proposição 1.20 Seja

H

umaálgebradeHopf omantípoda

S

. Então (i)

S(ab) = S(b)S(a)

paratodo

a, b

∈ H

;

(ii)

S(1

H

) = 1

H

; (iii)

∆(S(h)) =

X

h

S(h

(2)

)

⊗ S(h

(1)

)

paratodo

h

∈ H

; (iv)

ε(S(h)) = ε(h)

paratodo

h

∈ H

.

Demonstração: (i)Parademonstrarmos talfato, onsideramosa

ál-gebrade onvolução

Hom

k

(H

⊗ H, H)

edenimosos morsmos:

F : H

_{⊗ H → H}

G : H

_{⊗ H → H}

a

_{⊗ b}

_{7→ S(b)S(a)}

M : H

_{⊗ H → H}

a

⊗ b

7→ ab

Aidéiaémostrarmosque

F

∗ M = ηε = M ∗ G

,poisassim, omo ainversapor produto de onvoluçãoé úni a, teremos

F = G

e portanto,

S(ab) = S(b)S(a)

omoqueremos.

Seja

a

⊗ b ∈ H ⊗ H

, logo,

(F

∗ M)(a ⊗ b) =

P

F (a

(1)

⊗ b

(1)

)M (a

(2)

⊗ b

(2)

)

=

P

S(a

(1)

b

(1)

)a

(2)

b

(2)

=

P

S((ab)

(1)

)(ab)

(2)

= ε(ab)1

H

= ε(a)ε(b)1

H

= ηε(a

_{⊗ b).}

Domesmomodo,

(M

∗ G)(a ⊗ b) =

P

M (a

(1)

⊗ b

(1)

)G(a

(2)

⊗ b

(2)

)

=

P

a

(1)

b

(1)

S(b

(2)

)S(a

(2)

)

=

P

ε(b)a

(1)

S(a

(2)

)

= ε(a)ε(b)1

H

= ηε(a

⊗ b).

(ii)Claramente

S(1

H

) = S(1

H

)1

H

= ε(1

H

)1

H

= 1

H

.

(iii)Consideramosnovamenteaálgebrade onvolução

Hom

k

(H

⊗

H, H)

edenimosos morsmos:

Φ :

H

_{→ H ⊗ H}

Ψ : H

_{→ H ⊗ H}

h

_7→

P

S(h

(2)

)

⊗ S(h

(1)

)

Mostremos que ambos são inversos por onvoluçãopara

∆

. Seja

h

∈ H

,logo,

∆

_{∗ Φ(h) =}

P

∆(h

(1)

)Φ(h

(2)

)

=

P

(h

(1)(1)

⊗ h

(1)(2)

)(S(h

(2)

)

(1)

⊗ S(h

(2)

)

(2)

)

=

P

h

(1)(1)

S(h

(2)

)

(1)

⊗ h

(1)(2)

S(h

(2)

)

(2)

=

P

(h

(1)

S(h

(2)

))

(1)

⊗ (h

(1)

S(h

(2)

))

(2)

=

∆(

P

h

(1)

S(h

(2)

))

=

∆(ε(h)1

H

) = ε(h)(1

H

⊗ 1

H

)

=

(η

H⊗H

◦ ε)(h).

Por outrolado,

Ψ

_{∗ ∆(h) =}

P

Ψ(h

(1)

)∆(h

(2)

)

=

P

(S(h

(2)

)

⊗ S(h

(1)

))(h

(3)

⊗ h

(4)

)

=

P

S(h

(2)

)h

(3)

⊗ S(h

(1)

)h

(4)

=

P

ε(h

(2)

)1

H

⊗ S(h

(1)

)h

(3)

= 1

H

⊗

P

S(h

(1)

)h

(2)

= ε(h)(1

H

⊗ 1

H

)

= (η

H⊗H

◦ ε)(h).

Portanto, omooinversopor onvoluçãoéúni o, temosque

Ψ = Φ

esegueque

P

S(h)

(1)

⊗ S(h)

(2)

=

P

S(h

(2)

)

⊗ S(h

(1)

)

. (iv)Defato,

ε(S(h)) =

P

ε(S(h

(1)

))ε(h

(2)

) = ε(

P

S(h

(1)

)h

(2)

)

=

ε(ε(h)1

H

) = ε(h)ε(1

H

) = ε(h).



Proposição1.21 Seja

H

uma álgebra de Hopf om antípoda

S

. São equivalentes: (i)

X

h

S(h

(2)

)h

(1)

= ε(h)1

H

paratodo

h

∈ H

; (ii)

X

h

h

(2)

S(h

(1)

) = ε(h)1

H

paratodo

h

∈ H

; (iii)

S

2

_{= I}

H

,emqueentendemospor

S

2

a omposição

S

◦ S

.

Demonstração: (i)

⇒

(iii)De fato,

(S

_{∗ S ◦ S)(h) =}

P

S(h

(1)

)S

◦ S(h

(2)

)

=

S(

P

S(h

(2)

)h

(1)

)

=

S(ε(h)1

H

)

=

ε(h)1

H

.

(iii)

⇒

(i) Sabemos que

P

S(h

(1)

)h

(2)

= ε(h)1

H

. Então, apli ando omorsmo

S

emambosos ladosdaequação,temosque

ε(h)1

H

= S(

X

S(h

(1)

)h

(2)

) =

X

S(h

(2)

)S

◦S(h

(1)

) =

X

S(h

(2)

)h

(1)

.

Porra io ínioanálogo,vemosque(iii)

⇔

(ii).



Proposição1.22 Se

H

éumaálgebrade Hopfdedimensãonita en-tão

H

∗

tambéméálgebrade Hopf.

Demonstração: Jávimosnaseçãoanteriorque

H

∗

éumabiálgebra. Denimos

S

∗

_{: H}

∗

→ H

∗

h

∗

7→ S

∗

_(h

∗

_{) := h}

∗

◦ S

,

emque

S

∗

_(h

∗

_{) : H}

→ k

édenidopor

S

∗

_(h

∗

_{)(h) := h}

∗

_(S(h))

. Vejamos

que

S

∗

satisfazos axiomasdaantípoda. Defato,

(S

∗

∗ I)(h

∗

_)(h)

₌

P

_(S

∗

_(h

∗

(1)

)h

∗

(2)

)(h)

=

P

S

∗

_(h

∗

(1)

)(h

(1)

)h

∗

(2)

(h

(2)

)

=

P

h

∗

(1)

(S(h

(1)

))h

∗

(2)

(h

(2)

)

=

h

∗

₍

P

_S(h

(1)

)h

(2)

)

=

h

∗

_(ε(h)1

H

)

=

ε(h)h

∗

₍₁

H

) = η

H

∗

ε

_H

∗

(h

∗

)(h),

emque

η

H

∗

: k

→ H

∗

édadapor

η

H

∗

(λ) = λε

e

ε

H

∗

(h

∗

_{) = h}

∗

₍₁

H

)

. Claramenteomesmo valepara

I

∗ S

∗

eportanto,

H

∗

éuma

álgebradeHopf omoqueríamos.



AgorapodemosdeniroquevemasersubálgebradeHopfe

idealdeHopf.

Denição 1.23 Seja

H

umaálgebrade Hopf. Um subespaço

A

de

H

éditoumasubálgebrade Hopfse

A

ésubálgebraesub oálgebrade

H

e

S(A)

_{⊆ A}

.

Denição 1.24 Seja

H

umaálgebrade Hopf. Denimos

I

oideal de Hopfde

H

,se

I

éum ideal eum oidealde

H

e

S(I)

⊆ I

.

Observamos que seI é um idealde Hopf, então abiálgebra

quo iente

H/I

tem uma estrutura natural de álgebra de Hopf, om antípodadadapor

S : H/I

→ H/I

edenida por

S(x) = S(x)

.

En erramosa seção denindouma lasse desubálgebras de

Hopf, hamadas subálgebras normais e apresentamos um resultado

ne essárionoestudo daSeção2.3 enoCapítulo4, equetambémnos

serve de exemplo de ideal de Hopf. Ini iamos notando

H

para

H

éumaálgebradeHopf.

Denição 1.25 Uma subálgebra de Hopf

A

de

H

é dita normal se

HA

+

_{= A}

+

_H

, emque

A

+

_{= A}

T

_ker(ε

H

)

.

Proposição1.26 Seja

A

umasubálgebrade Hopf de

H

. Se

A

é nor-mal, então

I = A

+

_H

éumidealde Hopf em

H

.

Demonstração: Claramente,

I

é um ideal de

H

, pois

A

é normal. Agora, omo

ε = (ε

⊗ ε)∆

,notamosquese

a

∈ A

+

então

∆(a)

_{∈ A}

+

⊗ A + A ⊗ A

+

_,

de fato,seja

a

∈ A

+

,então

a

∈ ker(ε)

e

a

∈ A

, logo,

∆(a)

∈ ker(ε) ⊗

H + H

⊗ ker(ε)

e

∆(a)

∈ A ⊗ A

, oqueimpli a em

∆(a)

perten era interse çãodesses onjuntos,ouseja,

∆(a)

_{∈ A}

+

_{⊗ A + A ⊗ A}

+

,

e onsequentemente,

∆(ah)

∈ (A

+

⊗ A + A ⊗ A

+

_)(H

⊗ H) = A

+

⊗ H + H ⊗ A

+

_.

Portanto

A

+

_H

é um oideal. Ainda, omo

S(A

+

₎

⊆ A

+

,

seguequeaantípodaestabiliza

A

+

_H

.



1.3 Módulos de Hopf

Seja

H

um álgebra de Hopf om antípoda

S

e seja

M

um

por

ρ : M

→ M ⊗ H

.

Denição 1.27 Dizemos que

M

é um módulo de Hopfà direitase o diagrama abaixo omutar

M

_{⊗ H}

·

//

ρ⊗∆



M

ρ

// M ⊗ H

M

_{⊗ H ⊗ H ⊗ H}

I

M

⊗τ ⊗I

H

// M ⊗ H ⊗ H ⊗ H

·⊗µ

H

OO

ouseja,se

ρ(m

· h) =

X

h,m

(m

(0)

· h

(1)

)

⊗ (m

(1)

h

(2)

),

paratodo

m

∈ M

etodo

h

∈ H

.

Exemplo1.28 Seja

V

um

k

-espaço vetorial. Denimossobre

V

⊗ H

uma estrutura de

H

-módulo à direita dada por

(v

⊗ h)g = v ⊗ hg

, e umaestruturade

H

- omódulo àdireita

ρ : V

⊗ H → V ⊗ H ⊗ H

dada por

ρ(v

⊗ h) = v ⊗ h

(1)

⊗ h

(2)

. Então

V

⊗ H

tem uma estruturade

H

-módulode Hopf. Veriquemosque

ρ((v

⊗h)g) =

P

(v

⊗h)

(0)

_g

(1)

⊗(v⊗h)

(1)

g

(2)

.

ρ((v

⊗ h)g) = ρ(v ⊗ hg)

=

P

v

⊗ (hg)

(1)

⊗ hg

(2)

=

P

v

_{⊗ h}

(1)

g

(1)

⊗ h

(2)

g

(2)

=

P

(v

_{⊗ h}

(1)

)g

(1)

⊗ h

(2)

g

(2)

=

P

(v

_{⊗ h)}

(0)

_g

(1)

⊗ (v ⊗ h)

(1)

g

(2)

.

Node orrer do trabalho, veremos mais algunsexemplos de

Denição 1.29 Seja

H

uma álgebra de Hopf e sejam

M

e

N

dois

H

-módulos de Hopf à direita. Dizemos que uma apli ação linear

f :

M

_{→ N}

éum morsmo de módulosde Hopf se

f

for um morsmo de módulos àdireitaeum morsmo de omódulos àdireita.

Denição 1.30 Seja

H

umaálgebrade Hopfeseja

M

um

H

-módulo àesquerdaeum

H

- omóduloàdireita.

(i)O onjuntodosinvariantesde

H

em

M

édadopor

M

H

₌

{m ∈ M/h · m = ε(h)m

,

∀h ∈ H};

(ii)O onjuntodos oinvariantesde

H

em

M

édadopor

M

coH

=

{m ∈ M/ρ(m) = m ⊗ 1}.

Um resultadopreliminar que tiramos dessas denições

rela- ionao onjuntodos oinvariantesde

H

omo onjuntodosinvariantes de

H

∗

em

M

omosegue.

Lema 1.31 Seja

H

uma álgebra de Hopfde dimensãonita e

M

um

H

- omódulo à direita. Consideremos aestruturade

H

∗

-módulo à

es-querdade

M

dada por

f ⊲ m =

P

m

(0)

_{f (m}

(1)

₎

, então

M

coH

= M

H

∗

.

Demonstração: Mostremosque

M

coH

_{⊆ M}

H

∗

. Sejam

m

∈ M

coH

e

f

_{∈ H}

∗

, omo

ρ(m) = m

⊗ 1

H

,temos

f ⊲ m

=

P

f (m

(1)

_)m

(0)

=

µ(f

_{⊗ I}

M

)σ

◦ ρ(m)

= f (1

H

)

· m

= ε

H

∗

(f )m.

Eportanto,

m

∈ M

H

∗

.

Sejam agora

{h

i

}

base de

H

,

{h

∗

i

}

abase dual de

H

∗

,

m

∈

M

H

∗

e

f

∈ H

∗

. Por

{h

i

}

e

{h

∗

i

}

serembases de

H

e

H

∗

respe tiva-mente,temos que

f :=

P

f (h

i

)h

∗

i

. Assim,

f ⊲ m =

X

f (h

i

)(h

∗

i

⊲

m) =

X

f (m

(1)

)m

(0)

.

Logo, omo

m

∈ M

H

∗

,temos:

ρ(m)

=

P

(h

∗

i

⊲

m)

⊗ h

i

=

P

ε(h

∗

i

)m

⊗ h

i

= m

_⊗

P

< h

∗

i

, 1

H

> h

i

= m

⊗ 1

H

.



Exemplo1.32 Seja

H

o

H

- omódulo omestruturainduzida por

∆

. Então

H

coH

_{= k1}

H

. Defato,seja

h

∈ H

coH

,então

P

h

(1)

⊗h

(2)

= ∆(h) = h

⊗1

H

, oqueimpli aem

h =

P

ε(h

(1)

)h

(2)

= ε(h)1

H

∈ k1

H

. Poroutrolado, seja

h = α1

H

∈ k1

H

,daí,

∆(h) =

∆(α1

H

)

=

α∆(1

H

)

=

α1

h

⊗ 1

H

=

h

_{⊗ 1}

H

⇒ h ∈ H

coH

_.

Portanto,

H

coH

_{= k1}

H

.

Teorema 1.33 (Teorema Fundamental de Módulos de Hopf) Seja

H

uma álgebra de Hopf e

M

um

H

-módulo de Hopf à direita. Então a apli ação

f : M

coH

⊗ H → M

m

_{⊗ h}

_{7→ mh}

éum isomorsmode módulos de Hopf.

Demonstração: NotemosprimeiramentequeoExemploA.5nosgarante

umaestruturade

H

-módulodeHopfàdireitasobre

M

coH

⊗ H

. A es-truturade

H

-módulodeHopfsobre

M

édadapeloseguintemorsmo:

ρ : M

_{→ M ⊗ H}

m

_7→

P

m

(0)

⊗ m

(1)

_.

Ainda,denimosomorsmo

g : M

_{→ M}

m

_7→

P

m

(0)

_S(m

(1)

_),

quenosauxiliarána onstruçãodainversadomorsmo

f

. Mostremosqueparatodo

m

∈ M

,

g(m)

∈ M

coH

.

ρ(g(m))

= ρ(

P

m

(0)

_S(m

(1)

₎₎

=

P

(m

(0)

_S(m

(1)

₎₎

(0)

⊗ (m

(0)

_S(m

(1)

₎₎

(1)

=

P

m

(0)(0)

_S(m

(1)

₎

(1)

⊗ m

(0)(1)

S(m

(1)

)

(2)

=

P

m

(0)(0)

_S(m

(1)

(2)

)

⊗ m

(0)(1)

_S(m

(1)

(1)

)

=

P

m

(0)

_S(m

(1)

(3)

)

⊗ m

(1)

(1)

S(m

(1)

(2)

)

=

P

m

(0)

_S(m

(1)

(2)

)

⊗ ε(m

(1)

(1)

)1

H

=

P

m

(0)

_S(ε(m

(1)

(1)

)m

(1)

(2)

)

⊗ 1

H

=

P

m

(0)

_S(m

(1)

₎

_{⊗ 1}

H

= g(m)

⊗ 1

H

.

Portanto,

g(m)

∈ M

coH

.

Vistoisso,fazsentidodenirmos omorsmo

F : M

_{→ M}

coH

⊗ H

m

_7→

P

g(m

(0)

₎

⊗ m

(1)

_.

Mostremosque

F

éainversade

f

. De fato,sejam

m

∈ M

e

m

_{⊗ h ∈ M}

coH

⊗ H

,logo,

f

_{◦ F (m) = f(}

P

g(m

(0)

₎

⊗ m

(1)

₎

=

P

f (g(m

(0)

₎

⊗ m

(1)

₎

=

P

g(m

(0)

_)m

(1)

=

P

(m

(0)

₎

(0)

_S((m

(0)

₎

(1)

_)m

(1)

=

P

m

(0)

_S(m

(1)

(1)

)m

(1)

(2)

=

P

m

(0)

_ε(m

(1)

₎₁

H

= m.

Por outrolado,

F

_{◦ f(m ⊗ h) = F (mh)}

=

P

g((mh)

(0)

₎

⊗ (mh)

(1)

=

P

g(m

(0)

_h

(1)

)

⊗ m

(1)

h

(2)

=

P

g(mh

(1)

)

⊗ h

(2)

=

P

(mh

(1)

)

(0)

S((mh

(1)

)

(1)

)

⊗ h

(2)

=

P

(m

(0)

_h

(1)(1)

)S(m

(1)

h

(1)(2)

)

⊗ h

(2)

=

P

m

(0)

_h

(1)

S(m

(1)

h

(2)

)

⊗ h

(3)

=

P

mh

(1)

S(h

(2)

)

⊗ h

(3)

=

P

mε(h

(1)

)

⊗ h

(2)

=

P

m

⊗ ε(h

(1)

)h

(2)

=

m

⊗ h.

Porm,devemosverque

f

éummorsmode

H

-módulosde Hopf,istoé,

f

émorsmode

H

-móduloe

H

- omódulo.

Vejamosprimeiramentequeémorsmode

H

-módulos. Seja

m

⊗ h ⊗ h

′

_{∈ M ⊗ H ⊗ H}

.

· ◦ (f ⊗ I

H

)(m

⊗ h ⊗ h

′

) =

·(mh ⊗ h

′

) = (mh)h

′

=

m(hh

′

) = f (m

⊗ hh

′

₎

=

f

_{◦ (I}

M

⊗ µ)(m ⊗ h ⊗ h

′

).

Sejaagora

m

⊗ h ∈ M

coH

⊗ H

,então

ρ

_{◦ f(m ⊗ h) = ρ(mh)}

=

P

(mh)

(0)

⊗ (mh)

(1)

=

P

m

(0)

_h

(1)

⊗ m

(1)

h

(2)

=

P

mh

(1)

⊗ h

(2)

=

P

(f

⊗ I

H

)(m

⊗ h

(1)

⊗ h

(2)

)

=

(f

⊗ I

H

)(I

M

⊗ ∆)(m ⊗ h),

oquenosdizque

f

éummorsmode

H

- omódulos.

Ini iaremos onstruindoateoriadeintegraissobrebiálgebras

eentãoestenderemosos resultadospara asálgebrasde Hopf. Aidéia

deintegraltemorigem,assim omoamaiorpartedateoriadeálgebras

deHopf,nateoriadegrupos,ondeédenido aintegraldeHaarsobre

umgrupo

G

.

1.4.1 Integrais sobre Biálgebras

Seja

H

uma biálgebra. Então

H

∗

possui uma estrutura de

álgebraqueédualdaestruturade oálgebrade

H

, ommultipli ação dadapeloprodutode onvolução.

Denição 1.34 Umaapli ação

T

∈ H

∗

é hamadaintegralàesquerda

sobreumabiálgebra

H

se

h

∗

∗ T = h

∗

₍₁

H

)

· T

,para todo

h

∗

∈ H

∗

Denimospor

R

L

o onjunto dasintegrais àesquerda sobre

H

.

Antesdevermosalgumaspropriedadeseexemplosdessa

teo-ria,observamos que

T

∈ H

∗

éuma integralà esquerdase, esomente

se,

P

T (h

(2)

)h

(1)

= T (h)1

H

,paratodo

h

∈ H

. Defato,seja

T

∈ H

∗

uma integralàesquerda. Então, para

todo

h

∗

_{∈ H}

∗

etodo

h

∈ H

,temos:

h

∗

∗ T (h)

=

P

h

∗

_(h

(1)

)T (h

(2)

)

= h

∗

(

P

T (h

(2)

)h

(1)

)

k

h

∗

₍₁

H

)T (h) =

h

∗

(T (h)1

H

).

Oqueimpli aem

P

T (h

(2)

)h

(1)

= T (h)1

H

.